aplicación de los metodos numericos en la ingenieria quimica

8/16/2019 Aplicación de Los Metodos Numericos en La Ingenieria Quimica

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UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DESAN MARCOS

(UNIVERSIDAD DEL PERÚ, DECANA DE AMÉRICA)

FACULTAD DE CIENCIAS MATEMATICASE.A.P. INVESTIGACION OPERATIVA

METODOS NUMERICOS I

APLICACIÓN DE LOS METODOS NUMERICOS EN LA

INGENIERIA QUIMICA

PROFESOR: JUAN TOLEDO

GRUPO: N ° 4

ALUMNOS:

ROJAS ZAPATA CRISTIAN 11140323

CALLUPE ARTICA MIREYA11140078


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BALVIN AURIS KARINA 1114027

C!"#$# U%!&'()!*$(!$+ ,"-! #'- 2013

APLICACI/N DE LOS METODOS NUMERICOS ENLA INGENIERIA UIMICA

I. OBJETIVO- Comparar los resultados de la aplicación de los métodos numéricos Newton-Raphson y Bisección a un problema de ingeniería química sobre termodinámicautilizando como unciones la !cuación "eneral de los "ases #deales y laecuación de $an der %aals&

II. CONCEPTOS PREVIOS

1. ESTADO GASEOSO GASES

!s el estado de agregación molecular de la materia' donde las moléculas seencuentran en mo(imiento caótico )desorden molecular o entropía* debido a sualta energía cinética' es decir sus moléculas están separadas debido a que lauerza de repulsión pre(alece sobre la uerza de atracción&+a orma y (olumen de una sustancia en estado gaseoso depende delrecipiente que lo contiene&+a palabra ,"./ ue inicialmente usada por el ísico belga $an 0elmont' a lassustancias que se desprendían al quemar madera&

2. PROPIEDADES DEL ESTADO GASEOSOConsiderando a un con1unto de moléculas )propiedades macroscópicas*&

A. COMPRESION 2omando como reerencia el tama3o de las partículas de un gas' e4iste unagran distancia de espacio (acío entre ellas' lo que hace posible su comprensióno compresibilidad' es decir' la reducción o disminución de los espacios (acíosentre sus moléculas' esto se logra aumentando la presión y5o disminuyendo latemperatura&

B. EXPANSION


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Cuando se calienta una muestra de gas' aumenta la (elocidad promedio de suspartículas' las cuales se mue(en en un espacio mayor' dando como resultadoel aumento de su (olumen&

C. DIFUSIONCuando dos gases entran en contacto' se mezclan hasta quedaruniormemente repartidas las partículas de uno en otro' esto es posible por elgran espacio e4istente entre sus partículas y por su continuo mo(imiento )altaenergía cinética y alta entropía*&

D. EFUSION!s el proceso por el cual las moléculas de un gas escapan por un 6no ori6ciodebido a una (ariación de presión a una temperatura constante&

3. VARIABLES TERMIDINAMICAS

A. PRESION7n gas e1erce presión debido al choque incesante de las moléculas contra lasparedes interiores del recipiente que lo contiene& +a presión de un gas semani6esta en dierentes direcciones con igual intensidad en cualquier parteinterior del recipiente que lo contiene&+as unidades de medida de la presión se representan por el cociente de lasunidades de uerza entre las de super6cie8 g5cm9' :g5cm9' lb5in9' etc&

!qui(alencias de la presión8;resión atmosérica8 < atm= >?@ mm0g = >?@ 2orricelli =


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+as unidades de medida del (olumen son8 centímetros cAbicos )cm*decímetros cAbicos )dm*' metros cAbicos )m*' litros )+* mililitros )m+*':ilolitros ):+*' etc&

!qui(alencias ?@ 2orricelli = G Ke acuerdo con la ley de (ogadro' un mol de cualquier gas ocupa el mismo(olumen que un mol de cualquier otro gas' cuando los (olAmenes se miden enlas mismas condiciones de temperatura y presión& !s decir un mol de cualquiergas' en condiciones normales' ocupa siempre el mismo (olumen' este (olumenes e el (olumen molar y es de FF&L litros&


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. TEORIA CINETICA MOLECULAR DE LOS GASESCuyos postulados principales son8

M&


6/36

• No tienen interacciones )uniones intermoleculares' uerzas de repulsión'etc&*&

• 7n gas puede considerarse ideal a altas temperaturas y ba1as presiones&

.1 LEYES DE LOS GASES IDEALES

A. LEY DE BOYLE MARIOTTE

0acia el a3o


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)(olumen*& !stas magnitudes resultaron ser directamente

proporcionales al contrario que en el e4perimento de Boyle& medida

que aumentaba 2 también lo hacía $& !n este caso matemáticamente la

constante estaba dada por los cocientes entre $ y 2&

$


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,+a presión que e1erce un gas es directamente proporcional a la

temperatura si el (olumen permanece constante&/

P1

T 1= P

2

T 2

.2 ECUACION GENERAL DE LOS GASES IDEALES

+as leyes de Boyle y de Charles pueden cambiarse para proporcionarnos unaley más general que relacione la presión' el (olumen' y la temperatura&Consideremos una masa de gas que ocupa un $olumen $


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1usti6car el comportamiento macroscópico de la materia de dierentes gases'que a la misma presión y temperatura contienen el mismo nAmero demoléculasO deduce que en un mol de cualquier sustancia e4iste el mismonAmero de moléculas que calcula en ?&@FG4


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0ay tres tipos de uerzas8

7.2.1.F"'($) #' D!)'()!9% #' L%#%: las cuales e4isten entre lasmoléculas como resultado de un nAcleo positi(o de una molécula

que atrae electrones de otra molécula& 2odas las sustancias

moleculares e4hiben uerzas de +ondon&

7.2.2.L$) !%*'($;;!%') D!-D!-: las cuales son uerzas quee4isten entre las moléculas polares en donde la cola positi(a de

una molécula atraen a la cola negati(a de otra& .olo las moléculas

polares pueden e4hibirlo' para las uerzas de $an der %aals es

considerado como el segundo más uerte

7.2.3. L) '%-$;') "'%*') #'

o4ígeno' nitrógeno' o SAor& !ste representa un dipolo uerte quetendrá un hidrógeno al 6nal )positi(o* atrayente de otra molécula

con 6nal )negati(o*&

7.2. ECUACI/N DE VAN DER 6AALS

+a ecuación del gas ideal pierde mucha e4actitud a altas presiones y ba1as

temperaturas' y no es capaz de predecir la condensación de gas en líquido& ;or

ello' el holandés $an der %aals consideró' que cada molécula ocupaba un

(olumen peque3o pero no despreciable&

;or lo tanto' el (olumen real ocupado por el gas es algo mayor que el (olumen

ideal8

$real = $ideal E $moléculas

T el (olumen ocupado por las moléculas sería el producto del (olumen de cada

molécula por el nAmero de moléculas&

;or otro lado' si las moléculas no son completamente independientes' sino quee1ercen uerzas de atracción unas sobre otras' la presión real del gas seríamenor que la presión ideal8

;real = ;ideal U ;moléculas

!sta presión intermolecular depende de la densidad del gas' es decir' de loale1adas que están las moléculas entre sí' ya que de haber muy pocasmoléculas en un (olumen muy grande' la interacción entre ellas es muypeque3a&


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Con estas dos (ariaciones sobre el modelo de gases ideales pero manteniendoel resto de las bases teóricas' $an der %aals dedu1o una ecuación con dos,actores de corrección/ que contrarrestan los dos eectos del tama3omolecular y las interacciones entre moléculas&

;or lo que $an der %aals utiliza la ecuación de los gases ideales en términosdel (olumen y la presión ,ideales/' pero despe1ando ambos de sus relaciones

respecti(as con los (alores reales ;real y $real&

!l holandés se dedicó a estimar tanto $moléculas como ;moléculas en términos deconstantes propias de cada gas& .ustituyendo ambos actores' $an der %aalsobtu(o la siguiente ecuación8

( )2

a p V b RT

V

+ − = ÷

;ara obtener los (alores de las constantes a y b' e4isten dos métodos que

lle(an a un similar resultado8 aplicando las condiciones de inSe4ión en el punto

crítico y el otro es desarrollar la ecuación como una ecuación cAbica en

(olumen& ;ero es recomendable que a y b se obtengan sólo a partir de ;c y 2c'

por lo que se obtiene8

c

2

c

2

64p

T27R =a

c

c

8p

RT=b

Konde8

$: #nteracciones intermoleculares

>: $olumen molecular

+a (irtud de la ecuación de $an der %aals es que se puede utilizar para

predecir el comportamiento tanto de la región líquida como de la gaseosa' así

como también predecir transiciones de ase de líquido a (aporO además predice

la e4istencia de un estado crítico&

7.3. VALORES DE LAS CONSTANTES $ Y >

GASES ! L2>$(?@-2 " L?@-


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;!# $;*!; &F @&


13/36

/!# %*(!; VN!*(9='% @&@M>?

T'*($H"("( #' )!-!;! L&FM< @&@MM><D!9!# #' $"(' ?&@G @&@M?G?C-("( #' ')*$ F>&F> @&


14/36

+as presiones de dise3o de interés son de @@ &1. PROCEDIMIENTO

.e dise3a el algoritmo de Newton Raphson' colocando como constantes ) R' a yb *&

+a (ariable n )cantidad de moles* se considera con el (alor de


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n= input)\ -#ngrese el numero de iteraciones8 \*O i=


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disp)\-------------------------------\* disp)\ 2B+ K! R!.7+2KW. \* disp)\-------------------------------\* disp)\i $m)+5mol* _!_ \* disp)\-------------------------------\*

while i`=n


17/36

---------------------------------------------------+!T!. K! +W. ".!. #K!+!. T NW #K!+!.

---------------------------------------------------


18/36

i $&m&)+5mol* __------------------------------------< F&L?


19/36

#ngrese + 2!Q;!R27R )D*8 M@@#ngrese en ;R!.#WN )atm* 8 <#ngrese la tolerancia8 @&@@<#ngrese el nAmero de iteraciones8 F@

$alor inicial8 L@@

------------------------------------ 2B+ K! R!.7+2KW.------------------------------------

i $&m&)+5mol* __------------------------------------< L@@ @&@LLVF L@&VF


20/36

#ngrese la tolerancia8 @&@@<ingrese el nAmero de iteraciones8 F@

$alor inicial8 @&L

------------------------------------

2B+ K! R!.7+2KW.------------------------------------ i $&m&)+5mol* __

------------------------------------< @&L @&@LG@MF @&G?>FF @&@@@VF

!l (olumen molar del Bió4ido de carbono es8@&G??G

---------------------------------------------------+!T!. K! +W. ".!. #K!+!. T NW #K!+!.

---------------------------------------------------@@#ngrese en ;R!.#WN )atm*8 <#ngrese la tolerancia8 @&@@<ingrese el nAmero de iteraciones8 F@

$alor inicial8 M>&LG>@

------------------------------------ 2B+ K! R!.7+2KW.------------------------------------

i $&m&)+5mol* __------------------------------------< M>&LG>@ @&@&LV? @&@@@@@

!l (olumen molar del Bió4ido de carbono es8M>&L


21/36

$alor inicial8 M&>LG>

------------------------------------ 2B+ K! R!.7+2KW.------------------------------------

i $&m&)+5mol* __

------------------------------------< M&>LG> @&@FL @&@@@@@

!l (olumen molar del Bió4ido de carbono es8M&>FLF

---------------------------------------------------+!T!. K! +W. ".!. #K!+!. T NW #K!+!.

---------------------------------------------------@@#ngrese en ;R!.#WN )atm*8 LG

------------------------------------ 2B+ K! R!.7+2KW.------------------------------------

i $&m&)+5mol* __------------------------------------< @&M>LG @&@F @&MM>?@ @&@@@@M

!l (olumen molar del Bió4ido de carbono es8@&MM>?P!#! $% &!': OXIGENO

---------------------------------------------------+!T!. K! +W. ".!. #K!+!. T NW #K!+!.

---------------------------------------------------


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$alor inicial8 FL&?


23/36

$alor inicial8 @&FL?


24/36


25/36

+!T!. K! +W. ".!. #K!+!. T NW #K!+!.---------------------------------------------------

@@#ngrese en ;R!.#WN )atm*8 <#ngrese la tolerancia8 @&@@<ingrese el nAmero de iteraciones8 F@

$alor inicial8 M>&LG>@

------------------------------------ 2B+ K! R!.7+2KW.------------------------------------

i $&m&)+5mol* __------------------------------------

< M>&LG>@ @&@@F M>&LLMV> @&@@@@@

!l (olumen molar del W4igeno esM>&LL?@

---------------------------------------------------

+!T!. K! +W. ".!. #K!+!. T NW #K!+!.---------------------------------------------------

@@#ngrese en ;R!.#WN )atm*8 LG>

------------------------------------ 2B+ K! R!.7+2KW.------------------------------------

i $&m&)+5mol* __------------------------------------< M&>LG> @&@@GFF M&>MF


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!l (olumen molar del W4igeno esM&>MF<

---------------------------------------------------+!T!. K! +W. ".!. #K!+!. T NW #K!+!.

---------------------------------------------------@@#ngrese en ;R!.#WN )atm*8 LG

------------------------------------ 2B+ K! R!.7+2KW.------------------------------------

i $&m&)+5mol* __------------------------------------< @&M>LG @&@@VFF @&MLF@ @&@@@@<

!l (olumen molar del W4igeno es@&MLF


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TABLA FINAL


28/36


29/36

r=input)\#ngrese el (olumen molar inicial 8 \*O

tol=input)\#ngrese la tolerancia8 \*O

n= input)\#ngrese el numero de iteraciones8 \*O

i=


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BIOXIDO DE CARBONO

;rimero gra6caremos la unción para obtener los (alores del inter(alo donde se

encuentra el (alor del (olumen apro4imado&

3 24.8872 3.2 0.1


31/36

+uego podemos

considerar como (alor

del (olumen

inicial FL y como(alor de (olumen

6nal FM' ya que en

el gra6co se obser(a

que la raíz está entre

esos (alores&

-----------------------Q!2WKW K! + B#.!CC#WN-----------------------#ngrese la uncion de $an der %aals )4*=4ZG-FL&?M>Y4ZFEG&MVFY4-@&#ngrese el (olumen molar inicial 8 FL#ngrese el (olumen molar inicial 8 FM#ngrese la tolerancia8 @&@@<#ngrese el numero de iteraciones8 F@

------------------------------------------- 2B+ K! $+WR!.-------------------------------------------i $&m #nicial $&m inal $&m&< FL&@@@@@ FM&@@@@@ FL&M@@@@F FL&M@@@@ FM&@@@@@ FL&>M@@@G FL&M@@@@ FL&>M@@@ FL&?FM@@L FL&M@@@@ FL&?FM@@ FL&M?FM@M FL&M@@@@ FL&M?FM@ FL&MG


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OXIGENO

#gualmente gra6caremos la unción para obtener los (alores del inter(alo

donde se encuentra el (alor del (olumen apro4imado&

3 24.48032 1.30 0.0432888


33/36

+uego podemos considerar como (alor del (olumen inicial FL y como (alor de

(olumen 6nal FM' ya que en el gra6co se obser(a que la raíz está entre esos

(alores&

-----------------------Q!2WKW K! + B#.!CC#WN-----------------------#ngrese la uncion de $an der %aals )4*=4ZG-FL&?L@GY4ZFEM@@@G FL&M@@@@ FL&>M@@@ FL&?FM@@L FL&M@@@@ FL&?FM@@ FL&M?FM@M FL&M?FM@ FL&?FM@@ FL&MVG>M? FL&M?FM@ FL&MVG>M FL&M> FL&M>M FL&MMVL FL&MMVL FL&MVG>M FL&MVLV FL&MVL FL&MVG>M FL&MV

!l (olumen molar apro4imado es8 FL&MVF>>

IV. OBSERVACIONES

B!9!# #' ;$(>%7tilizando el método de Newton Raphson con la unción de $an der %aals'

se obtu(o el (olumen molar apro4imado del Bió4ido de carbono en F

iteraciones8


34/36

------------------------------------ 2B+ K! R!.7+2KW.------------------------------------

i $&m&)+5mol* __------------------------------------< FL&?


35/36

------------------------------------ 2B+ K! R!.7+2KW.------------------------------------

i $&m&)+5mol* __------------------------------------

< FL&?


36/36

• +uego de los resultados obtenidos por ambos métodos' se concluye que

utilizando el método de Newton Raphson para distintas condiciones de

temperatura y presión' con(erge más rápido al (olumen molar

apro4imado del Bió4ido de Carbono y W4igeno que utilizando la

bisección&

• .e recomienda utilizar el método de Newton Raphson para calcular el

(olumen molar&

aplicación de los metodos numericos en la ingenieria quimica

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