APLICACIONES DE LA FUNCIONES MATEMÁTICAS A LA VIDA DIARIA

Uno de los conceptos más importantes en Matemáticas es el de función, ya que se

puede aplicar en numerosas situaciones de la vida cotidiana, y determinar las

relaciones que existen entre magnitudes tanto en Matemáticas, Físicas, Economía,

etc., y poder calcular el valor de una de ellas en función de otras de las que depende.

HISTORIA DE LAS FUNCIONES

• El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes para designar una potencia xn de la variable x. En 1694 el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó el término para referirse a varios aspectos de una curva, como su pendiente.

FUNCIÓNES

• Es una regla de asociación que relaciona dos o más conjuntos entre si; generalmente cuando tenemos la asociación dos conjuntos las función se define como una regla de asociación entre un conjunto llamado dominio con uno llamado codominio, también dominio e imagen respectivamente o dominio y rango.

• Variables dependientes• Son aquellas variables que como su nombre lo

indica, dependen del valor que toma las otras variables Por ejemplo(x)= x, y o f(x) es la variable dependiente ya que está sujeta a los valores que se le subministre a x.

• Variable independiente• Es aquella variable que no depende de

ninguna otra variable, en el ejemplo anterior la x es la variable independiente ya que la y es la que depende de los valores de x.

• Variable constante• Es aquella que no está en función de ninguna

variable y siempre tiene el mismo valor ejemplo:

• Y=2, la constante gravitacional, entre otras.

FUNCIÓN CUADRATICA• Una función cuadrática es aquella que puede escribirse de la forma:• f(x) = a+ b+c• Donde a, b y c son números reales cualesquiera y a distinto de cero.• Si representamos "todos" los puntos (x,f(x)) de una función

cuadrática, obtenemos siempre una curva llamada parábola.

• Dependiendo del valor del discriminante (D) de la ecuación, se pueden presentar tres situaciones distintas:

• · Si D > 0, la ecuación tiene dos soluciones reales y distintas y la parábola cortará al eje OX en dos puntos.

• · Si D = 0, la ecuación tiene una solución real y, por tanto, la parábola cortará al eje OX en un punto (que será el vértice).

• · Si D < 0, la ecuación no tiene soluciones reales y la parábola no cortará al eje OX

FUNCIONES LOGARITMICAS

• Se llama función logarítmica a la función real de variable real:

• a>1 0<a<1• La función logarítmica es una aplicación biyectiva

definida de R* + en R:• La función logarítmica solo está definida sobre los

números positivos.• Los números negativos y el cero no tienen logaritmo• La función logarítmica de base a es la recíproca de la

Función

Propiedades• Logaritmos Decimales• Se llaman logaritmos decimales o vulgares a

los logaritmos que tienen por base el número 10. Al ser muy habituales es frecuente no escribir la base.

• • Logaritmos Neperianos• Se llaman logaritmos neperianos, naturales o

hiperbólicos a los logaritmos que tienen por base el número e.

• Cambio de Base

• Antilogaritmo• Es el número que corresponde a un logaritmo

dado. Consiste en el problema inverso al cálculo del logaritmo de un número es decir, consiste en elevar la base al número resultado

• Cologaritmo• Se llama cologaritmo de un número N al logaritmo de su

recíproco.

• Equivalencias de los logaritmos

FUNCIÓN EXPONENCIAL• Se llama función exponencial de base a

aquella cuya forma genérica es f (x) = a , siendo a un número positivo distinto de 1. Por su propia definición, toda función exponencial tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales R.

• La función exponencial puede considerarse como la inversa de la función logarítmica, por cuanto se cumple que:

Propiedades de las funciones exponenciales• La función aplicada al valor cero es siempre

igual a 1:• f (0) = x = 1.• La función exponencial de 1 es siempre igual a

la base:• f (1) = x = x.

• Igualación de la base: consiste en aplicar las propiedades de las potencias para lograr que en los dos miembros de la ecuación aparezca una misma base elevada a distintos exponentes:

• a = a• En tales condiciones, la resolución de la

ecuación proseguiría a partir de la igualdad x = y.

Leyes de los exponentes:

FUNCIÓN LINEAL

• y = mx• Su gráfica es una línea recta que pasa por el

origen de coordenadas.• Ejemplo: • y = 2x

x 0 1 3 4 5

Y=2x 0 2 6 8 10

• Pendiente• La pendiente es la inclinación de la recta con

respecto al eje de abscisas.• Si m > 0 la función es creciente y ángulo que

forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo

• Si m < 0 la función es decreciente y ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es obtuso.

FUNCIONES POLINÓMICAS

• Expresión matemática formada por una suma de productos de números reales por potencias enteras de una variable generalmente representada por la letra x; es decir, un polinomio es una expresión del tipo P(x) = a + b + c + d + e..., en la que la mayor potencia de la variable se la llama grado del polinomio.

• Suma de polinomios: Se suman todos los términos aplicando axn +bxn = (a + b)xn; así, por ej.,

• (3x2 + 4x + 2)+ (5x – 1) = 3x2 + (4 + 5) x + (2-1) =3x2 + 9x + 1.

• Producto de un número por un polinomio: Se multiplican todos los términos por el número.

• Ejemplo:• 3 · (2x3 − 3 x2 + 4x − 2) = 6x3 − 9x2 + 12x – 6

• Resta de Polinomios: Para restar polinomios se multiplica el segundo por –1 y se suman.

• Ejemplo:• P(x) − Q(x) = (2x3 + 5x - 3) − (2x3 - 3x2 + 4x)• P(x) − Q(x) = 2x3 + 5x - 3 − 2x3 + 3x2 − 4x• P(x) − Q(x) = 2x3 − 2x3 + 3x2 + 5x− 4x - 3• P(x) − Q(x) = 3x2 + x - 3

• Producto de Polinomios: Se multiplica cada uno de los términos de un polinomio por todos los del otro [teniendo en cuenta que (axn) .(bxm) =abxn+m], y se suman los resultantes

• Ejemplo: • P(x) = 2x2 − 3 Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x• P(x) · Q(x) = (2x2 − 3) · (2x3 − 3x2 + 4x) =• = 4x5 − 6x4 + 8x3 − 6x3 + 9x2 − 12x =• = 4x5 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 12x

MÁXIMO ENTERO

• Si x es un numero real, el máximo entero de x representaremos por [[x]] y es el mayor de todo los enteros menores o iguales a x, es decir:

• Para calcular el máximo entero de un numero real x, se observa todos los enteros que se encuentran en la izquierda de x (o que coincidan con x, en caso que x sea entero) y el mayor de todos ellos es el máximo entero [[x]], por ejemplo.

• -1 0 1 x 2 3 4 5• De donde [[x]] = 2• Ejemplo.- Hallar [[3.7]]

• • -1 0 1 2 3 4 3.7 5

• De donde [[3.7]] = 3

Propiedades de máximo entero:•

1. [[x]]∈Z,∀x∈R

2. [[x]]=x↔ x∈Z

3. [[x ]]≤[[x ]]≤[[x ]]+1,∀x∈R

5. [[x ]]=n ↔ n≤x ≤ n+1,n∈ Z

6. Si a∈Z,[[x ]]≥a ↔ x ≥ a

7. Si a∈Z,[[x ]]<a ↔ x<a

8. Si a∈Z,[[x ]]≤a ↔x<a+1

9. Si m∈Z→[[x+m ]]=[[x ]]+m

10. ∀x,y∈R, Si x≤y→[[x ]]≤[[y ]]

APLICACIONES DE LAS FUNCIONES A DISTIINTAS ÁREAS:

• Aplicación de las funciones cuadráticas en la vida real

• El puente Golden Gate enmarca la entrada a la bahía de San Francisco. Sus torres de 746 pies de altura están separadas por una distancia de 4200 pies. El puente está suspendido de dos enormes cables que miden 3 pies de diámetro: el ancho de la calzada es de 90 pies y ésta se encuentra aproximadamente a 220 pies del nivel del agua. Los cables forman una parábola y tocan la calzada en el centro del puente.

• Determinar la altura de los cables a una distancia de 1000 pies del centro del puente.

• Solución.Empezarnos seleccionando la ubicación de los ejes de coordenadas de modo que el eje x coincida en la calzada y el origen coincida en el centro del puente.Como resultado de esto, las torres gemelas quedarán a 746-220=526 pies arriba de la calzada y ubicadas a 42002=2100 pies del centro.Los cables de forma parabólica se extenderán desde las torres, abriendo hacia arriba, y tendrán su vértice en (0,0) como se ilustra en la figura

• La manera en que seleccionamos la colocación de los ejes nos permite identificar la ecuación de una parábola como

• y=ax2,a>0.• Obsérvese que los puntos (−2100,526) y (2100,526) están

en la gráfica parabólica.

Con base en estos datos podemos encontrar el valor de a en y=ax2:

• y=ax2 526=a(2100)2 a=526(2100)2• Así, la ecuación de la parábola es • y=526(2100)2x2• La altura del cable cuando x=1000 es• y=526(2100)2(1000)2≈119.3pies• Por tanto, el cable mide 119.3 pies de altura cuando se

está a una distancia de 1000 pies del centro del puente.

Aplicación de Funciones Cuadráticas a la biología

• Se estudiaron los efectos nutricionales sobre ratas que fueron alimentadas con una dieta que contenía un 10% de proteína. La proteína consistía en levadura y harina de maíz. Variando el porcentaje P de levadura en la mezcla de proteína, se estimó que el peso promedio ganado (en gramos) de una rata en un período fue de f( P) , donde:

• • Encuentre el máximo peso ganado.• f (P) =- P2+2P+20, 0£ P£ 100

• Solución:• El máximo peso ocurre en el vértice V de la

función cuadrática f( P) , donde:

• En consecuencia, el máximo peso ganado de la rata fue de 21 gramos, a un 50% de levadura en la mezcla de proteína.

Aplicación de las Funciones Cuadráticas al Movimiento de Proyectiles

• En la década de 1940, Emmanuel Zacchini realizaba con regularidad el acto de la bala humana en el circo Ringling Brothers and Barnum & Bailey. La boca del cañón estaba a 1m del suelo y la distancia horizontal total que recorría era de 175m. Cuando el cañón se apunta a un ángulo de 45o, la ecuación del tiro parabólico tiene la forma y=ax2+x+c, donde x representa la distancia horizontal recorrida y y la distancia vertical. Determine una ecuación que describa el vuelo y a partir de ella encuentre la altura máxima alcanzada por la bala humana.

• Solución:• Es notable por la animación y los datos del problema, que

cuando x=0; y=1, y cuando x=175; y=0, en consecuencia al sustituir estos pares ordenados en la ecuación y=ax2+x+c se obtiene lo siguiente:

• Por lo tanto, la ecuación que describe el movimiento de vuelo es:• y=-5. 746 9× 10-3x2+x+1•

Hallemos el vértice V de esta parábola para determinar la altura máxima alcanzada:

• En conclusión la altura máxima alcanzada es de 44.5014m.