Aplicación De Las Derivadas Parciales

Definición:

En resumen, las derivadas parciales es derivar respecto a una variable.

Ejemplo: si existe F(x,y), entonces la derivada parcial sería la derivada parcial respecto de x y

también la derivada parcial respecto de y. Si existieran más variables, se sigue derivando de la

misma manera dependiendo el número de variables que existan en la función.

Sí , las primeras derivadas parciales de respecto de x e y son las funciones

definidas como :

siempre que el límite existe.

Demostración:

Recordemos que la derivada de una función de una variable se define como :

Ahora como tenemos la función lo que hacemos es fijar el valor de una de las

variables a una constante, de esta manera analizamos el cambio en la función con respecto

solo al cambio de una de sus variables.

Entonces hacemos aquí lo que hicimos fue fijar el valor de , y al hacer esto

tenemos una función que depende sólo de .

Derivamos la función

Como entonces y cambiamos la expresión

anterior,

Entonces tenemos que la derivada de la función cuando fijamos y

cambiamos es, (o dicho de otra manera la derivada parcial de la función con respecto al eje

x)

En las aplicaciones en que intervienen funciones de varias variables suele presentarse la cuestión de cómo resulta afectada la función por cambio en una de sus variables independientes. Se puede contestar esta pregunta considerando por separado esa variable independiente. por ejemplo para determinar el efecto de un catalizador en una experimento, un químico puede realizar varias veces el experimento, con distintas cantidades de ese catalizador cada vez, mientras mantiene constantes todas las demás variables, tales como temperatura y presión. un procedimiento análogo sirve para encontrar el ritmo de cambio de una función f con respecto a una de sus varias variables independientes. Este proceso se llama derivación parcial y el resultado se llama derivada parcial de f respecto de esa variable independiente elegida.

Como entonces y cambiamos la expresión anterior,

Entonces tenemos que la derivada de la función cuando fijamos y

cambiamos es, (o dicho de otra manera la derivada parcial de la función con respecto al eje

x)

En las aplicaciones en que intervienen funciones de varias variables suele presentarse la

cuestión de cómo resulta afectada la función por cambio en una de sus variables

independientes. Se puede contestar esta pregunta considerando por separado esa variable

independiente. por ejemplo para determinar el efecto de un catalizador en una experimento, un

químico puede realizar varias veces el experimento, con distintas cantidades de ese catalizador

cada vez, mientras mantiene constantes todas las demás variables, tales como temperatura y

presión. un procedimiento análogo sirve para encontrar el ritmo de cambio de una función f con

respecto a una de sus varias variables independientes. Este proceso se llama derivación

parcial y el resultado se llama derivada parcial de f respecto de esa variable independiente

elegida.

Notación

Dada sus derivadas parciales se denotan por

y

Las primeras derivadas parciales evaluadas en el punto se denotan por

y

Interpretación Geométrica

Las derivadas parciales de una función de dos variables tienen una interesante

interpretación geométrica. Si es la curva intersección de la

superficie con el plano .

Por tanto,

da la pendiente de esa curva en el punto . Notar que tanlo la cura

como la recta tangente están en el plano . Análogamente,

da la pendiente de la curva intersección de con el

plano en como se ve en la siguiente figura,

Lo que viene a decirnos que los valores de y en el

punto dan las pendientes de la superficie en las direcciones del eje

x y el eje y.

Orden de las derivadas parciales

El orden de una ecuación diferencial parcial es el de la derivada mayor de orden que

aparezca en dicha ocasión.

Ejemplo:

1.

2.

Derivadas Parciales de Orden Superior

Tomando la función derivada de una función es posible a veces volver a derivar

aquella. Esto es análogo a calcular la segunda derivada de una función de una

variable cuando se deriva dos veces con respecto a la misma variable; las derivadas

obtenidas se llaman derivadas parciales segundas.

Si f es una función de 2 variables entonces son a su vez funciones, por lo

que tiene sentido calcularle sus derivadas parciales.

A las derivadas