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Aplicación de la teoría de grado ala resolución de algunos problemas
resonantesPablo Amster
Universidad de Buenos Aires and CONICET
ARGENTINA
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Introducción. Problemas Reso-nantesMuchos problemas en análisis no lineal puedenescribirse en la forma:
Lu = Nu
donde L es un operador diferencial lineal, definido enalgún espacio funcional adecuado, y N es un operadorno lineal (involucrando por lo general los términos deorden menor).Ejemplos:
u′′(t) = f(t, u(t), u′(t))
−∆u − λu = f(x, u,∇u)
con distintas condiciones de frontera.
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El problema se llama no resonante cuando el operadorL es inversible. En este caso el problema puedereducirse a un problema de punto fijo:
u = L−1Nu.
Cuando el operador L no es inversible, el problema sedenomina resonante.
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Problemas ElípticosEl problema
∆u + λu + g(u) = p(x) en Ω ⊂ Rn
u = 0 en ∂Ω
es resonante si y sólo si λ ∈ σD(−∆).
Cuando el problema es no resonante, y g : R → R escontinua y sublineal:
lım|u|→+∞
g(u)
u= 0
es fácil ver (utilizando el teorema de Schauder) quehay solución por ejemplo para toda p ∈ C(Ω).
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Sin embargo, cuando el problema es resonante esto nosucede, y es necesario introducir otras condicionespara tener existencia.En un trabajo clásico, E. Landesman y A. Lazer(J. Math. Mech, 1970) estudiaron el caso en que lafunción g : R → R es continua, y tiene límites eninfinito:
g(±∞) = lımu→±∞
g(u).
Supongamos que λ = λk es un autovalor simple de−∆ con autofunción ϕk, y consideremos
Ω+ = x ∈ Ω : ϕk(x) > 0
Ω− = x ∈ Ω : ϕk(x) < 0
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Teorema 1 (Landesman-Lazer) Si se verifica lacondición:
g(−∞)
∫
Ω+
ϕk(x)dx + g(+∞)
∫
Ω−
ϕk(x)dx
<
∫
Ω
ϕk(x)p(x)dx
< g(+∞)
∫
Ω+
ϕk(x)dx + g(−∞)
∫
Ω−
ϕk(x)dx
Entonces el problema anterior tiene al menos unasolución. Si además g(−∞) < g(u) < g(+∞) paratodo u, entonces la condición es también necesaria.
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Por simplicidad, estudiaremos una situación mássencilla, pero que contiene los principales ingredientesdel caso general. Por ejemplo, el problema periódicopara una ecuación ordinaria de segundo orden
u′′ + g(u) = p(t)
u(0) = u(T ), u′(0) = u′(T ).(1)
Aquí la resonancia se produce en el primer autovalorλ0 = 0, y la condición de Landesman-Lazer es mássimple: en este caso, ϕ0 ≡ 1, de modo que lacondición equivale a decir que el promedio de p seencuentra entre los valores g(−∞) y g(+∞).
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Más concretamente, se demuestra hay solucionescuando
g(−∞) < p < g(+∞)
o bieng(+∞) < p < g(−∞).
Esto puede probarse directamente con el teorema deSchauder, o empleando métodos variacionales.Pero es más fácil hacerlo directamente con unaherramienta muy poderosa: la teoría de gradotopológico.
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Teoría de gradoIntuitivamente, el grado topológico es un “conteoalgebraico” de los ceros de una función continuaf : D → X , en donde X es un espacio de Banach, yD ⊂ X es un abierto acotado. Para que el grado estébien definido, se pide que f no se anule en ∂D.Cuando X es de dimensión infinita el grado no estádefinido para cualquier función continua, pero sí loestá para aquellas que tienen la forma I − K, endonde K es un operador compacto.
Veamos primero la construcción en dimensión finita,el llamado:
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Grado de BrouwerEn el caso concreto N = 2, el grado se define deforma sencilla empleando la integral compleja. Enparticular, si f : D → C es una función holomorfaque no se anula en ∂D, entonces su grado equivale ala integral
1
2πi
∫
∂D
f ′(z)
f(z)dz,
que como es sabido cuenta los ceros de f en D.Un poco más en general, si f : D ⊂ R
N → RN es de
clase C1 con 0 /∈ f(∂Ω), y 0 es un valor regular de f ,entonces se define
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deg(f,D, 0) =∑
x∈f−1(0)
sgn(Jac f(x)).
Esta definición se extiende a funciones para las que 0no es valor regular, y luego a funciones continuascualesquiera. De las importantes propiedades delgrado, en este trabajo emplearemos las siguientes:
1. deg(Id,D, 0) = 1 si 0 ∈ D.
2. Si deg(f,D, 0) 6= 0, entonces f se anula en D.
3. Si f y g son homotópicas (es decir, hay unahomotopía continua que no se anula cuandox ∈ ∂D), entonces tienen el mismo grado.
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Dos aplicaciones sencillas1. Consideremos el problema periódico de primerorden
X ′ = F (t,X)
X(0) = X(T )(2)
para F : [0, t] × RN → R
N continua y localmenteLipschitz en X .Por la teoría clásica de ecuaciones ordinarias,sabemos que existe el flujo φ : dom(φ) → R
N dadopor φ(X0, t) = X(t), en donde X es la única solución(local) del problema de valores iniciales
X ′ = F (t,X)
X(0) = X0.(3)
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Más aun, φ es continua y
dom(φ) =⋃
X0∈RN
X0 × IX0
es un abierto de RN × R (en donde IX0
es el intervalomaximal). Esto permite definir el operador dePoincaré
PT (X0) := φ(X0, T ),
que resulta de gran utilidad para estudiar el problema(2). En efecto, el problema equivale a encontrarX0 ∈ dom(PT ) tal que PT (X0) = X0.
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En general, no es fácil determinar con exactitud cuáles el abierto dom(PT ) ⊂ R
N de datos iniciales cuyasolución correspondiente está definida hasta T .Aunque es fácil demostrar usando el lema deGronwall, por ejemplo, que si existen constantes A,Btales que |F (t,X)| ≤ A|X| + B para todo t ∈ T ytodo X ∈ R
N , entonces dom(PT ) = RN .
Empleando el grado de Brouwer es posible probar, enciertos casos, que la función f : dom(PT ) → R
N dadapor f(X0) = X0 − PT (X0) posee al menos un cero.
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Por ejemplo, supongamos que para cierto R > 0 vale
〈F (t,X), X〉 < 0 (4)
para todo t ∈ [0, T ] y todo X ∈ RN tal que |X| = R.
En tal caso, se puede definir la homotopía
h(λ,X0) = X0 − λPT (X0),
y verificar:
1. h está definida para |X0| ≤ R.
2. h(λ,X0) 6= 0 para λ ∈ [0, 1] y |X0| = R.
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En efecto, por la condición (4) sabemos que si X es lasolución correspondiente a cierto X0 ∈ BR(0),entonces
〈X ′, X〉 = 〈F (t,X), X〉 < 0
cuando |X(t)| está suficientemente cerca de R. Pero〈X ′, X〉 = 1
2
(
|X|2)′
, lo que dice que |X| decrececuando |X| está cerca de R. En particular, |X| < Rpara t > 0 pequeño, y luego no puede subir hastaalcanzar el valor R. La teoría clásica de ecuacionesordinarias nos dice que entonces X está definida hastaT , y luego h está definida sobre BR(0).
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Pero además h no se anula cuando |X0| = R, pues porlo anterior vale |PT (X0)| < R, y en particularλPT (X0) 6= X0 para λ ∈ [0, 1]. Luego,
deg(f,BR(0), 0) = deg(Id,BR(0), 0) = 1,
lo que prueba que f se anula en la bola de radio R.
Observación: el resultado anterior se pruebadirectamente con el teorema de Brouwer aplicado a labola BR(0). Sin embargo, el mismo razonamientovale tambien cuando se invierte la desigualdad en (4):en tal caso, es fácil ver que vale 2, aunque hace faltaalguna condición adicional que garantice 1.
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A modo de ejemplo, podemos considerar para N = 1el problema x′ = x3, cuyas soluciones son de la forma
x(t) =x0
√
1 − 2x20t
,
que están definidas solamente para t < 12x2
0
. Luego, el
operador de Poincaré no está definido en BR(0)
cuando T > 12R2 (aunque el problema admite la
solución periódica x ≡ 0). En cambio, la ecuaciónx′ = −x3, que cumple la condición (4) para cualquierR > 0, tiene soluciones de la forma x(t) = x0√
1+2x20t,
que están definidas en [0, T ] para cuaquier T .
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EjercicioPara el problema anterior, supongamos:
• F (0, X) 6= 0 para |X| = R.
• BR(0) ⊂ dom(PT )
• deg(F (0, ·), BR(0), 0) 6= 0.
Entonces, o bien existe alguna solución X de períodoT ∗ < T tal que |X(0)| = R, o bien existe algunasolución X de período T tal que |X(0)| ≤ R.Sugerencia: emplear la homotopía
h(X0, λ) =
Pλ(X0)−X0
λλ ∈ (0, 1]
F (0, X0) λ = 0
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2. Consideremos ahora el problema semilineal desegundo orden con condiciones de Dirichlet
u′′(t) = f(t, u(t))
u(0) = u(1) = 0(5)
con f : [0, T ] × R → R continua. En el año 1905,Severini introdujo un método elemental para laecuación (5), hoy conocido como método de shooting.La idea es muy simple: si f es localmente Lipschitzen u, entonces para cualquier valor λ ∈ R el problemade valores iniciales
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u′′ = f(t, u)
u(0) = 0, u′(0) = λ(6)
tiene una única solución uλ, definida en ciertointervalo (maximal) no trivial Iλ = [0,M), conM = M(λ) ∈ (0, +∞].
Objetivo: encontrar λ tal que uλ(1) = 0.Como antes, no se puede garantizar que M(λ) > 1;sin embargo, sobre el conjunto λ : M(λ) > 1 lafunción λ 7→ uλ(1) es continua, de modo que bastacon encontrar un intervalo Λ = [λ−, λ+] tal que uλ(1)exista para todo λ ∈ Λ, y uλ
−
(1) ≤ 0 ≤ uλ+(1), o
viceversa.
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Por ejemplo, si f es acotada, entonces las solucionesde (6) están definidas en todo el intervalo [0, 1].Además, u′
λ(t) = λ +∫ t
0 f(s, uλ(s)) ds; luego, siλ > ‖f‖∞ entonces
u′λ(t) ≥ λ − t‖f‖∞ > 0
para t ≤ 1. De esta forma, uλ es creciente, y resultauλ(1) > 0. Del mismo modo, para λ < −‖f‖∞ seobtiene que uλ(1) < 0, y en consecuencia uλ(1) = 0para algún λ ∈ [−‖f‖∞, ‖f‖∞].En otras palabras, la existencia de soluciones estágarantizada por uno de los teoremas topológicos máselementales: el teorema de Bolzano.
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Aparece el gradoPregunta: ¿se puede generalizar el resultado anteriorpara un sistema de N ecuaciones?
La idea es la misma, pero ahora λ 7→ uλ(1) es unafunción continua de R
N en RN , y a partir de la
identidad u′λ(t) = λ +
∫ t
0 f(s, uλ(s)) ds, se deduceque |uλ(1) − λ| ≤ ‖f‖∞. Entonces se puede aplicar elanálogo de Bolzano para dimensión mayor que 1, quees el teorema de Brouwer o, más precisamente, unaversión equivalente: el teorema de Miranda. Perotambién podemos verlo con el grado de Brouweraplicado a la función S(λ) = uλ(1): basta considerarla homotopía lineal
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h(λ, σ) = σS(λ) + (1 − σ)λ.
Como |S(λ) − λ| ≤ ‖f‖∞, se ve que S(λ) 6= 0 para|λ| = R > ‖f‖∞ y entonces
deg(S,BR(0), 0) = deg(Id,BR(0), 0) = 1,
lo que garantiza que S se anula en BR(0).
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Grado de Leray-SchauderComo vimos al comienzo, muchos problemas comolos anteriores pueden escribirse en la formaLu = Nu. El último de los ejemplos era un caso noresonante, y para f continua y acotada la existencia desoluciones se prueba fácilmente empleando elteorema de Schauder al operador compacto L−1N .Sin embargo, también se puede pensar al problemacomo una ecuación F (u) = 0, en dondeF (u) = u − L−1Nu.En tal caso, se puede emplear el grado para obtener uncero de F . Pero el grado de Brouwer no nos sirve,pues F está definida en un espacio de dimensióninfinita: necesitaremos emplear el grado deLeray-Schauder.
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El grado de Leray-Schauder se define para operadoresde la forma F = I − K, con K compacto, definidosen la clausura de un abierto acotado D ⊂ X , en dondeX es un espacio de Banach. A grandes rasgos, la ideaconsiste en mostrar que, siendo D es acotado, K seaproxima por operadores de rango finito, y se puededefinir
degLS(I − K,D, 0) = deg((I − Kε)|Vε, D ∩ Vε, 0),
en donde Kε es una ε-aproximación de K conIm(Kε) ⊂ Vε, un subespacio de dimensión finita.
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Se prueba que el grado de Leray-Schauder está biendefinido, y tiene propiedades análogas al grado deBrouwer. Para la invariancia por homotopía, ademásde la continuidad se requiere naturalmente queh(·, λ) = I − Kλ con Kλ compacto para todo λ.
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Y, por fin...El teorema de Landesman y Lazer
Como dijimos, vamos a ver una demostración delcaso particular para el problema
u′′ + g(u) = p(t)
u(0) = u(T ), u′(0) = u′(T ).(7)
Veamos que si g : R → R es continua y acotada, conlímites en infinito de modo tal que
g(−∞) < p < g(+∞) o viceversa,
entonces (7) tiene al menos una solución.
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En este caso, podemos considerar los espacios
X = u ∈ C([0, T ]) : u(0) = u(T ),
Y = C([0, T ])
y los operadores L : dom(L) → Y , N : X → Ydados por
Lu = u′′, Nu = p − g(u).
Es inmediato verificar que
Ker(L) = R (funciones constantes),
R(L) = ϕ ∈ C([0, T ]) : ϕ = 0.
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Además, se puede definir K : R(L) → dom(L)inverso a derecha de L, dado por K(ϕ) = u, únicasolución del problema
u′′ = ϕ
u(0) = u(T ), u′(0) = u′(T )
u = 0.
Es fácil ver que K es compacto, lo que permite unaformulación abstracta adecuada para aplicar la teoríade grado al problema.
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Formulación abstractaDescomposición de Lyapunov-Schmidt:u ∈ dom(L) es solución de (7) si y solo si
u − u = K(Nu − Nu)
Nu = 0.
Esto último equivale a decir que
u − u = Nu + K(Nu − Nu);
en otras palabras, el problema es equivalente a buscarun cero de la función
Fu := u − u − Nu − K(Nu − Nu).
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Luego, si definimos la homotopía
Fλu := u − u − Nu − λK(Nu − Nu),
entonces basta con probar:
1. Fλu 6= 0 para λ ∈ [0, 1] y ‖u‖∞ = R 0.
2. degLS(F0, BR(0), 0) 6= 0,
en donde BR(0) denota ahora la bola de radio R en X .Para λ ∈ (0, 1], la ecuación Fλu = 0 es equivalente adecir que u ∈ dom(L) es solución del problema
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u′′ + λg(u) = λp(t)
u(0) = u(T ), u′(0) = u′(T ).(8)
Pero en tal caso,
‖u − u‖∞ ≤ c‖u′′‖∞ ≤ c(‖p‖∞ + ‖g‖∞),
y tomando promedio en los dos términos de (8) se
deduce que 1T
∫ T
0 g(u(t)) dt = p. Veamos que siR 0, entonces ‖u‖∞ < R. En efecto, si no fuera asíexistirían soluciones un de (8) para λ = λn ∈ (0, 1]tales que ‖un‖∞ → ∞.
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Pero sabemos que ‖un − un‖∞ está acotada; luego|un| → ∞. Tomando una subsucesión, podemossuponer por ejemplo que un → +∞ o un → −∞, yde la igualdad
p =1
T
∫ T
0
g(un(t)) dt =1
T
∫ T
0
g(un +un(t)−un) dt
se deduce (por convergencia mayorada) quep = g(+∞) o p = g(−∞), lo que es absurdo.Para λ = 0 hay que ver, en cambio, que si R 0,vale:
u = u + Nu ⇒ ‖u‖∞ < R.
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Pero si u = u + Nu, tomando promedio se ve queNu 6= 0 y en consecuencia u = u. Como g(u) 6= ppara u ∈ R tal que |u| 0, el resultado es inmediato.Finalmente, observemos que F0u = u − K0, conK0u = u + Nu ∈ R. Esto dice que
degLS(F0, BR(0), 0) = degB(F0|R, BR(0) ∩ R, 0).
Ahora bien, para u ∈ R se tiene que
F0(u) = −Nu =1
T
∫ T
0
g(u) dt − p = g(u) − p.
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Además, BR(0) ∩ R = (−R,R), y el resultado esentonces evidente, pues g(R) − p y g(−R) − p tienensignos opuestos.
[Continuará...]
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Muchas gracias por su atención!