aplicaciÓns das derivadassigno de n’ + 0 - 0 + variación de n 2000 { y w r x u t r +∞...
TRANSCRIPT
APLICACIÓNS DAS DERIVADAS
ESTUDA E REPRESENTA AS SEGUINTES FUNCIÓNS POLINÓMICAS
SEGUNDO OS PASOS INDICADOS EN CLASE.
1. 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 + 3𝑥2 − 12𝑥 + 6
2. 𝑓(𝑥) = 𝑥5 − 5𝑥3
3. 𝑓(𝑥) = 3𝑥4 + 4𝑥3 − 12𝑥2 + 7
4. 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 3𝑥2 + 2
5. 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥2 − 9𝑥 + 9
6. 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥2 + 1
7. 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 − 9𝑥2 + 12𝑥 − 1
8. 𝑓(𝑥) = 2𝑥4 − 2𝑥2
9. 𝑓(𝑥) = 3𝑥3 − 9𝑥 + 6
10. 𝑓(𝑥) = −𝑥3 + 3𝑥 − 2
11. 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥2 + 1 Repetido. Igual ao 6
12. 𝑓(𝑥) = 𝑥4 + 8𝑥3 − 2
13. 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 4𝑥3 + 16𝑥
14. 𝑓(𝑥) = 4𝑥3 − 12𝑥2
15. 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 − 𝑥2 − 4𝑥
16. 𝑓(𝑥) = −3𝑥4 + 4𝑥3
17. 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 9𝑥2 − 24𝑥 − 20
18. 𝑓(𝑥) = 𝑥6 − 3𝑥2
19. 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 2𝑥2
20. 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 6𝑥2 + 9𝑥 + 1
21. 𝑓(𝑥) = 3𝑥4 + 4𝑥3 − 36𝑥2 + 100
RESOLVE OS SEGUINTES PROBLEMAS DE APLICACIÓN DA DERIVADA
1.-Un investigador que está probando a acción dun fármaco sobre unha bacteria, unha vez subministrado o fármaco, encontra que o número de bacterias, N, varía en función do tempo, t en horas segundo a expresión:
𝑵(𝒕) = 𝟐𝟎 𝒕𝟑 − 𝟓𝟏𝟎 𝒕𝟐 + 𝟑 𝟔𝟎𝟎 𝒕 + 𝟐 𝟎𝟎𝟎
a) Cantas bacterias había no momento de subministrar o medicamento? ¿E ao cabo de 10 horas?
b) Nese momento, o número de bacterias está aumentando ou diminuindo?
c) En que momento comeza a notarse o efecto do fármaco?
d) En que momento comeza a perder o seu efecto o medicamento?
e) Representa este proceso mediante unha gráfica.
2.-Un analista de xogos de azar comprobou empíricamente que as
gañancias, G , en euros, que proporciona certo xogo dependen do
tempo no que se está xogando segundo a función
𝑮(𝒕) =𝟏𝟎 𝟎𝟎𝟎𝒕
𝒕𝟐+𝟒𝟎𝟎 , onde t se mide en minutos
a) ¿Qué gañancias se obteñen ao cabo de 10 minutos?.E ao cabo dunha hora?
b) Canto máis tempo permaneza xogando, será maior a gañancia que se obtén?
c) Cando se produce a maior gañancia? .Cal é esa gañancia?
d) A qué ritmo varía a función aos 10 minutos de xogo? .E aos 40 minutos? .E ás dúas horas?
3.- Os membros dunha asociación ecoloxista fundada en 1980 variaron, durante os cinco primeiros anos, segundo a función
𝒇(𝒙) = 𝟓𝟎(𝟐𝒙𝟑 − 𝟏𝟓𝒙𝟐 + 𝟑𝟔𝒙 + 𝟐), onde x son os anos transcorridos.
a) Cantos foron os socios fundadores?
b) En que períodos aumenta o número de socios?
c) Houbo algunha crise na asociación?
d) Cales son as perspectivas de futuro a xulgar polo que ocorre ao quinto ano da súa fundación?
4.- A producción de tomates nun invernadoiro, C en kg, depende da
temperatura, T en ºC, segundo a función:
C(T) = (T + 1)2 (32 - T)
a) Calcular razoadamente cál é a temperatura óptima a manter no
invernadoiro.
b) ¿Qué producción de tomates se obtería?
c) Determina a derivada da función para 15 ºC e explica o que
significa .
5.- O custe anual, C , en miles de euros, que supón para unha
produtora de televisión a contratación de actores principais para as
súas series de máxima audiencia exprésase mediante a función:
𝑪(𝒙) =𝟏𝟐𝒙𝟐+𝟑𝟔𝟎𝒙+𝟒 𝟖𝟎𝟎
𝒙 , onde x é o número de actores
contratados.
a) Determina o número de actores que debe contratar a produtora
para que o custe anual sexa o mínimo.
b) A canto ascende ese custe mínimo?
c) Calcula a derivada da función para 18 actores contratados.
Explica o significado dese número
6.- Durante varias semanas estivéronse rexistrando as velocidades do tránsito da saída dunha autoestrada. Os datos confirman que entre las 12.00 horas e as 18.00 horas dun día laborable, a velocidade V, en km/h ,de tránsito na saída vén dada pola función :
𝑽(𝒙) = 𝟐𝒕𝟑 − 𝟐𝟏𝒕𝟐 + 𝟔𝟎𝒕 + 𝟒𝟎 , onde t é o número de horas que transcorreron desde o mediodía.
a) ¿En qué intervalos de tempo, entre o mediodía e as 18:00 horas, o tránsito foi máis lento?
b) E en cal foi más rápido?
7.- Nun encoro, a cantidade de auga recollida,C, en millóns de litros ,durante un ano, en función do tempo t en meses, vén dada pola expresión
𝑪(𝒕) =𝟏𝟎
(𝒕 − 𝟔)𝟐 + 𝟏 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 < 𝑡 ≤ 12
a) En que instante se obtivo a cantidade máxima de auga?
b) Cal foi esa cantidade máxima?
c) En que periodo de tempo aumentou a cantidade de auga recollida?
d) Calcula a derivada da función no terceiro mes e no noveno mes. Explica o significado deses números
8.- A cantidade C de membros dunha peña deportiva fundada no ano 2014, t anos despois da súa fundación, está dada pola
función 𝑪(𝒕) = −𝟏
𝟑(𝒕𝟑 − 𝟗𝒕𝟐 + 𝟐𝟒𝒕 − 𝟒𝟖) .
a) Cantos foron os membros fundadores?
b) En que ano tivo o máximo número de membros entre 2014 e 2019 ?
c) Cal é a tendencia actual , e a que ritmo o fai?
d) Chegará a quedarse sen socios?
9.- O rendemento r en porcentaxe dun alumno nun exame dunha hora ven dado en función do tempo t pola expresión
𝒓(𝒕) = 𝟑𝟎𝟎𝒕(𝟏 − 𝒕) , onde 𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟏 en horas .Pídese:
a) En que momentos o rendemento é nulo? b) En que momentos aumenta ou diminúe o rendemento? c) Cando se alcanza o maior rendemento e cal é?
SOLUCIÓN AOS PROBLEMAS
DE
APLICACIÓN DAS DERIVADAS
ESTUDA E REPRESENTA ÁS SEGUINTES FUNCIÓNS POLINÓMICAS
1.- Gráfica
Cadro de variación da función
x -∞ (-∞,-2) -2 (-2,1) 1 (1, +∞) +∞
Signo de y’ + 0 - 0 + Variación de y -∞ 26 -1 +∞
Monotonía de f Crece M Decrece m Crece Extremos de f Máximo=(-2,26) mínimo=(1,-1)
2.- Gráfica
Cadro de variación da función
x -∞ (−∞, −√3) −√3 (−√3, 0) 0 (0, √3) √3 (√3, +∞) +∞
Signo de y’ + 0 - 0 - 0 + Variación de y -∞ 6√3 0 −6√3 +∞
Monotonía de f Crece M Decrece In Decrece m Crece
Extremos Máximo =(−√3, 6√3) mínimo =(√3, −6√3)
3.- Gráfica
Cadro de variación da función
x -∞ (−∞, −2) −2 (−2,0) 0 (0,1) 1 (1, +∞) +∞
Signo de y’ - 0 + 0 - 0 + Variación de y +∞ −25 7 2 +∞
Monotonía de f Decrece m Crece M Decrece m Crece
Extremos mínimo =(−2, −25) Máximo(0,7) mínimo =(1,2)
4.- Gráfica
Cadro de variación da función
x -∞ (−∞, −
√6
2) −
√6
2 (−
√6
2, 0)
0 (0,
√6
2)
√6
2 (
√6
2, +∞)
+∞
Signo de y’ - 0 + 0 - 0 + Variación de y +∞ −
1
4 2 −
1
4 +∞
Monotonía de f decrece m Crece M Decrece m Crece
Extremos mínimo =(−√6
2, −
1
4) Máximo =(0,2) mínimo =(
√6
2, −
1
4)
5.- Gráfica
Cadro de variación da función
x -∞ (-∞,-1) -1 (-1,3) 3 (3, +∞) +∞
Signo de y’ + 0 - 0 + Variación de y -∞ 14 -18 +∞
Monotonía de f Crece M Decrece m Crece Extremos de f Máximo=(-1,14) mínimo=(3,-18)
6.-Gráfica
Cadro de variación da función
x -∞ (-∞,0) 0 (0,2
3)
2
3 (
2
3, +∞) +∞
Signo de y’ + 0 - 0 + Variación de y -∞ 1 23
27 +∞
Monotonía de f Crece M Decrece m Crece Extremos de f Máximo=(0,1) mínimo= (
2
3,
23
27)
7.-Gráfica
Cadro de variación da función
x -∞ (-∞,1) 1 (1,2) 2 (2, +∞) +∞
Signo de y’ + 0 - 0 + Variación de y -∞ 4 3 +∞
Monotonía de f Crece M Decrece m Crece Extremos de f Máximo=(1,4) mínimo=(2,3)
8.- Gráfica
Cadro de variación da función
x -∞ (−∞, −√2) −√2 (−√2, 0) 0 (0, √2) √2 (√2, +∞) +∞
Signo de y’ - 0 + 0 - 0 + Variación de y +∞ −
1
2 0 −
1
2 +∞
Monotonía de f Decrece m Crece M Decrece m Crece
Extremos mínimo =(−√2, −1
2) Máximo =(0,0) mínimo =(√2, −
1
2)
9.- Gráfica
Cadro de variación da función
x -∞ (-∞,-1) -1 (-1,1) 1 (1, +∞) +∞
Signo de y’ + 0 - 0 + Variación de y -∞ 12 0 +∞
Monotonía de f Crece M Decrece m Crece Extremos de f Máximo=(-1,12) mínimo=(1,0)
10.- Gráfica
Cadro de variación da función
x -∞ (-∞,-1) -1 (-1,1) 1 (1, +∞) +∞
Signo de y’ + 0 - 0 + Variación de y +∞ -4 0 -∞
Monotonía de f Decrece m Crece M Decrece Extremos de f minimo=(-1,-4) Máximo=(1,0)
11.- Repetido : igual que o seis
12.- Gráfica
Cadro de variación da función
x -∞ (−∞, −6) −6 (−6,0) 0 (0, +∞) +∞
Signo de y’ - 0 + 0 + Variación de y -∞ −434 0 +∞
Monotonía de f Decrece m Decrece In Crece
Extremos mínimo=(-6,-434)
13.- Gráfica
Cadro de variación da función
x -∞ (−∞, −1) −1 (−1,2) 2 (2, +∞) +∞
Signo de y’ - 0 + 0 + Variación de y -∞ −11 16 +∞
Monotonía de f Decrece m Decrece In Crece
Extremos mínimo=(-1,-11)
14.- Gráfica
Cadro de variación da función
x -∞ (-∞,-0) 0 (0,2) 2 (2, +∞) +∞
Signo de y’ + 0 - 0 + Variación de y -∞ 0 -16 +∞
Monotonía de f Crece M Decrece m Crece Extremos de f Máximo=(0,0) mínimo=(2,-16)
15.-Gráfica
Cadro de variación da función
x -∞ (−∞, −2
3) −
2
3
(0,1) 1 ( 1, +∞) +∞
Signo de y’ + 0 - 0 + Variación de y -∞ 44
27 −3 +∞
Monotonía de f Crece M Decrece m Crece Extremos de f Máximo=(-
2
3,
44
27) mínimo= (1, −3)
16.- Gráfica
Cadro de variación da función
x -∞ (−∞, 0) 0 (0,1) 1 (1, +∞) +∞
Signo de y’ + 0 + 0 - Variación de y -∞ 0 1 +∞
Monotonía de f Crece In Crece M Decrece
Extremos Máximo=(1,1)
17.- Gráfica
Cadro de variación da función
x -∞ (−∞; −1,12) ≅ −1,12 (0; 7,12) ≅ 7,12 ( 1, +∞) +∞
Signo de y’ + 0 - 0 + Variación de y -∞ ≅ −5,81 ≅ −286,2 +∞
Monotonía de f Crece M Decrece m Crece Extremos de f Máximo=(- 1,12; −5,81) mínimo= (7,12; −286,2)
18.- Gráfica
Cadro de variación da función
x -∞ (−∞, −1) −1 (−1,0) 0 (0,1) 1 (1, +∞) +∞
Signo de y’ - 0 + 0 - 0 + Variación de y +∞ −2 0 −2 +∞
Monotonía de f Decrece m Crece M Decrece m Crece
Extremos mínimo =(−1, −2) Máximo =(0,0) mínimo =(1, −2)
19.- Gráfica
Cadro de variación da función
x -∞ (−∞, −1) −1 (−1,0) 0 (0,1) 1 (1, +∞) +∞
Signo de y’ - 0 + 0 - 0 + Variación de y +∞ −1 0 −1 +∞
Monotonía de f Decrece m Crece M Decrece m Crece
Extremos mínimo =(−1, −1) Máximo =(0,0) mínimo =(1, −1)
20.- Gráfica
Cadro de variación da función
x -∞ (−∞, 1) 1 (1,3) 3 ( 3, +∞) +∞
Signo de y’ + 0 - 0 + Variación de y -∞ 5 1 +∞
Monotonía de f Crece M Decrece m Crece Extremos de f Máximo=(- 1,5) mínimo= (3,1)
21.- Gráfica
Cadro de variación da función
x -∞ (−∞, −3) −3 (−3,0) 0 (0,2) 2 (2, +∞) +∞
Signo de y’ - 0 + 0 - 0 + Variación de y +∞ −89 100 36 +∞
Monotonía de f Decrece m Crece M Decrece m Crece
Extremos mínimo =(−3, −89) Máximo =(0,100) mínimo =(2,36)
SOLUCIÓN DOS PROBLEMAS DE APLICACIÓN DA DERIVADA
1.- problema da acción dun fármaco
a) 𝑁(𝑡) = 20 𝑡3 − 510 𝑡2 + 3 600 𝑡 + 2 000
N(0) = 2 000 bacterias
N(10)= 7 000 bacterias
b) 𝑁′(𝑡) = 60𝑡2 − 1020𝑡 + 3 600
N’(0)= 3 600 >0 , entón está aumentando
N’(10)= - 600 < 0 , entón está diminuíndo
Cadro de variación da función
t 0 (0,5) 5 (5,12) 12 ( 12, +∞) +∞
Signo de N’ + 0 - 0 + Variación de N 2000 9 750 6 320 +∞
Monotonía de f Crece M Decrece m Crece Extremos de f Máximo=(5 , 9 750) mínimo= (12 , 6 320)
c) Comézase a notar os efectos do fármaco ás 5 horas
d) Comézase a perder o seu efecto o medicamento ás 12 horas
e) Gráfica do proceso
2.- Problema do xogo
a) 𝑮(𝒕) =𝟏𝟎 𝟎𝟎𝟎𝒕
𝒕𝟐+𝟒𝟎𝟎 ; 𝑮′(𝒕) =
−𝟏𝟎 𝟎𝟎𝟎𝒕𝟐+𝟒 𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎
(𝒕𝟐+𝟒𝟎𝟎)𝟐 ; 𝑮′(𝒕) = 𝟎 → 𝒕 = ±𝟐𝟎
G(10)= 200 €
G(60)= 150 €
b)
Cadro de variación da función G
t 0 (0,20) 20 (20, +∞) +∞
Signo de G’ + 0 - Variación de G 0 250 0
Monotonía de f Crece M Decrece Extremos Máximo (20,250)
Non. Como se pode observar no cadro de variación das gañancias a partir dos
20 minutos comeza a diminuír a gañancia
c) G’(t)= 0 , entón -10 000 t2 + 4 000 000=0 ; t = ± 20 ;
t= 20 minutos ; G(20)=250 €
d) G’(10)= 12 €/min
G’(40)= -3 €/min
G’(120)= -0,64 €/min
3.- Problema da asociación ecoloxista
a) 𝑓(𝑥) = 50(2𝑥3 − 15𝑥2 + 36𝑥 + 2)
f(0) = 100 socios
b) cando y
Cadro de variación da función (número de socios )
x 0 (0,2) 2 (2,3) 3 ( 3, +∞) +∞
Signo de f’ + 0 - 0 + Variación de y -∞ 1500 1450 +∞
Monotonía de f Crece M Decrece m Crece Extremos de f Máximo=(- 2,1500) mínimo= (3,1450)
O número de socios aumenta durante os dous primeiros anos. Despois houbo un ano en el que se produciu un decrecemento e a partir do terceiro ao aumentaron outra vez os membros da asociación.
c) A crise produciuse entre o segundo e o terceiro ano.
d) Ao quinto ano a asociación ten f(5) = 2 850 socios e, ademais , f’(5)=1 800, o
que indica que o número de socios está aumentando a un ritmo de 1800
socios/ano. Pódese afirmar que as perspectivas son boas
4.- Problema da producción de tomates
C(T) = (T + 1)2 (32 - T) ; C’(T) = -3T2+60T+63
C’(T) = 0 ; T=-1ºC e T=21ºC
Cadro de variación da función (producción de tomates )
T -∞ (−∞, 2) −1 (−1,21) 21 ( 21, +∞) +∞
Signo de C’ - 0 + 0 - Variación de C +∞ 0 5324 -∞
Monotonía de C Decrece m Crece M Decrece Extremos de C mínimo=( −1,0) Máximo= (21,5324)
a)Polo tanto a temperatura óptima será aos 21 ºC
b)A máxima producción será C(21)= 5 324 kg
c) C’(15)= 288 kg/ºC . Indica que a producción de tomates está aumentando a
razón de 288 kg por ºC
5.- problema da produtora de televisión
𝑪(𝒙) =𝟏𝟐𝒙𝟐+𝟑𝟔𝟎𝒙+𝟒 𝟖𝟎𝟎
𝒙 ; C(x)= 12x+360+4800x-1 ;
C’(x)= 12- 4800x-2
a) C’(x)=0 ; 12 −4 800
𝑥2 = 0 ; 12𝑥2 = 4800 , 𝑥2 = 400 ; 𝑥 = ±20 ;
Como só ten sen sentido para x>0 a posible solución será de 20 actores
Compróbase que se trata dun mínimo probando que C’(x)<0 para valores de x
menores de 20 e C’(x)>0 para valores de x maiores de 20.
b) C(20)= 360 millóns de €
c) C’(18)= -2,8 miles de €/actor contratado
O custe anual está diminuindo a razón de 2,8 miles de euros por actor
contratado
6.- Problema da autoestrada
O que nos piden é ver en qué intervalos de tempo a función velocidade crece e
decrece.
Partimos das 12.00h como t=0 e as 18.00h como t=6
𝑽(𝒙) = 𝟐𝒕𝟑 − 𝟐𝟏𝒕𝟐 + 𝟔𝟎𝒕 + 𝟒𝟎 ; 𝑽′(𝒕) = 𝟔𝒕𝟐𝟐 − 𝟒𝟐𝒕 + 𝟔𝟎
𝑽′(𝒕) = 𝟔𝒕𝟐𝟐 − 𝟒𝟐𝒕 + 𝟔𝟎 = 𝟎 → 𝒕 = 𝟐 𝒆 𝒕 = 𝟓
Cadro de variación da función (Velocidade de tránsito )
t 0 (0,2) 2 (2,5) 5 ( 5, 6) 6
Signo de V’ + 0 - 0 + Variación de V 40 92 65 76
Monotonía de V Crece m Decrece M Crece
a) A velocidade de tránsito foi máis lenta entre as 14.00 h e ás 17.00 horas
b) A velocidade do tráfico foi máis rápida das 12.00 h ás 14.00h e desde as
17.00h ás 18.00 h
7.- Problema do encoro
Estudo da función no intervalo 𝑡 ∈ [0,12]
𝑪(𝒕) =𝟏𝟎
(𝒕−𝟔)𝟐+𝟏 ; 𝑪′(𝒕) = −
𝟐𝟎(𝒕−𝟔)
[(𝒕−𝟔)𝟐+𝟏]𝟐 ; C’(t)=0 → t=6
t 0 (0,6) 6 (6,12) 12
Signo de C’ + 0 -
Variación de C 10
37 10 10
37
Monotonía Crece Máx Decrece
a) No sexto mes é onde aparece o máximo da función C(t)
b) A cantidade que lle corresponde ao sexto mes é C(6)= 10 millóns de
litros
c) A cantidade de auga aumentou no intervalo onde a función é crecente,
ou sexa, até o sexto mes.
C’(3) = 0,6 ; Este número indica que o encoro está aumentando a súa
cantidade de auga a un ritmo de 0,6 millóns de litros/mes, ou sexa, neste
caso indica o caudal .
C’(9) = - 0,6 ; Este número indica que o encoro está diminuíndo a súa
cantidade de auga a un ritmo de 0,6 millóns de litros /mes, ou sexa,
neste caso indica o caudal de perda de auga
8.- Problema da peña deportiva
Gráfica da evolución dos membros da peña
C’(t)=O → t=2 e t=4
Cadro de variación da función (producción de tomates )
t 0 (0,2) 2 (2,4) 4 t > 4
Signo de C’ - 0 + 0 - Variación de C 16 28
3
32
3
Monotonía de C Decrece m Crece M Decrece Extremos de C mínimo=( 2,
28
3) Máximo= (4,
32
3)
a) C(0) = 16 membros fundadores
b) O máximo de membros da peña dáse no cuarto ano, ou sexa no 2018
c) Tendencia actual no 2019, corresponde a t=5 ; C’(5) = -3
A tendencia ven indicada polo signo negativo, ou sexa tende a diminuír a
cantidade de membros e o ritmo indicao o número, ou sexa tres
membros/ano
d) Sí, chegará a quedarse sen membros, segundo se observa no gráfico, a
partir de mediados do 2020.
9.- Problema do rendemento exame
Estudo da función rendemento no intervalo 𝑡 ∈ [0,1]
𝒓(𝒕) = 𝟑𝟎𝟎𝒕(𝟏 − 𝒕); 𝒓′(𝒕) = 𝟔𝟎𝟎𝒕 − 𝟑𝟎𝟎; 𝒓′(𝒕) = 𝟎 → 𝒕 =𝟏
𝟐
t 0 ( 0 ,1
2 )
𝟏
𝟐 (
1
2 , 1) 1
Signo de r’ + 0 -
Variación de r 0 75 0
Monotonía Crece Máx Decrece
a) O rendemento é nulo r(t) = 0 → t=0 h e t=1 h, ou sexa, ao principio e ao
final do exame
b) O rendemento aumenta desde o comezo do exame até a media hora
O rendemento diminúe desde a media hora até rematar o exame
c) O maior rendemento alcánzase á media hora cun valor do 75%