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Apéndice B

Cosmología

1.B Elemento de línea de Robertson-Walker

Haciendo uso exclusivo del principio cosmológico que exige la homogeneidad eisotropía del espacio, se llega al elemento de línea aplicable al Universo como un todo

2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2sin

1

drds c dt R t r d r d

kr� � �

� ��

�� donde R t es el factor de escala cósmico y k es la curvatura espacial que puede tomarlos valores 1, 0, -1. Cuando k es 0 se trata de un espacio tridimensional plano. Si k tomael valor +1, entonces el mayor valor posible de la coordenada r es la unidad, es decir setrata de espacios espacialmente cerrados y finalmente en el caso de que la curvaturaespacial sea -1, r puede tomar cualquier valor, o sea se trata de espacios abiertos.

Se le llama corrimiento hacia el rojo a

e ob

ob

z

��

siendo e

la frecuencia con la que fue emitida la radiación procedente de una galaxiay

ob la frecuencia con la que es medida por el observador en la Tierra. Con carácter

general el desplazamiento hacia el rojo es

1ob

e

R tz

R t� �

donde ob

t es el momento de la observación de la señal y e

t el momento en que fueemitida.

2.B Ecuaciones de Friedman

Al aplicar las ecuaciones de Einstein al elemento de línea de Robertson-Walker seobtienen las siguientes dos ecuaciones que permiten determinar el factor de escalacósmico

c

donde el punto significa derivación respecto al tiempo cósmico y no respecto a 0x . � es

la densidad propia de energía (es decir la densidad respecto al volumen propio), p es la

223

usuario

Texto escrito a máquina

usuario


Wenceslao Segura González: Gravitoelectromagnetismo y principio de Mach, ISBN: 978-84-616-3522-1

usuario


usuario


GRAVITOELECTROMAGNETISMO Y PRINCIPIO DE MACH

presión y � es la constante cosmológia.

3.B Ecuación de conservación

En relatividad general la ecuación de conservación de la energía-momento toma laforma

0.ik

kD T �

Suponemos que el sustrato universal corresponde a un fluido perfecto, por tanto eltensor energía-momento es

2.

ik i k ikT p c u u pg��

Teniendo en cuenta: que la derivada covariante del tensor métrico es nula, que la deri-vada de un escalar es igual a su derivada parcial, que el tensor de energía-momento essimétrico y que la materia que forma el sustrato cósmico es comóvil, es decir que 0

u c�

y 0u�

� , se encuentra

2 2

0 0

10

pg p c c

x xg�

� � � ��

como 3 2 2sin 1g R t r kr�� la ecuación de conservación queda

3 3 2 .dp d

R t R t c pdt dt

��

Debemos de señalar tres situaciones especiales. En la primera de ellas predomina lamateria en forma de polvo, lo que significa que es nula la presión ejercida. Al aplicar laecuación (1.B) se encuentra la variación que experimenta la densidad de materia amedida que varía el factor de escala cósmico

3.

MR t� �

�

En el caso de que en el Universo predomine la radiación de cuerpo negro, la relaciónentre su presión y densidad de energía es dada por

21,

3R R

p c��

por tanto de (1.B) se obtiene la evolución de la densidad de energía de la radiación4

.R

R t� �

�

Si fuera el vacío quien predominara, tendríamos (tal como veremos más adelante) quesu densidad de energía está relacionada con la presión que ejercería por

2,

V Vp c��

por tanto de (1.B) se llega a que la densidad de energía del vacío permanece constantecon independencia de la variación del factor de escala cósmico.

Se puede establecer una ecuación de estado que relacione densidad de energía conla presión y que cumple de forma genérica la relación

i i ip � ��

donde i

� es un factor que depende de si se trata de materia, radiación o vacío y toma losvalores

2 20; 3;

M R Vc c� � ��

mientras que la relación entre la densidad de energía y el factor 0

a R R� (0

R es el

(1.B)

224

factor de escala en el momento actual) es

,in

i a��

�

y fácilmente se puede comprobar que se cumple

3; 4; 0.M R V

n n n� � �

4.B Ecuaciones de Friedman en función

de la densidad de energía y de la presión

Se define la «constante» de Hubble por

)H tR t

�

y el parámetro de desaceleración por

.� �

Con estas definiciones se pueden volver a escribir las ecuaciones de Friedman (sintérmino cosmológico) que toman la forma

2

2

2

2 2

2

2

3

8

1 2 .8

kcH

G R

c kcp H q

G R

��

�

� ��

�

� � � � ��

� �Si aplicamos las ecuaciones al momento actual encontramos que existe una densidadcrítica a partir de la cual el Universo cambia de abierto a cerrado. Utilizando el subíndice0 para representar los valores actuales, la densidad crítica actual del Universo es

2

0 03

8c

H

G�

��

si la densidad es mayor que ese valor, entonces k es positivo y el Universo esespacialmente cerrado, si el valor de la densidad del Universo en el momento presentees menor que el anterior valor tendríamos una curvatura negativa, lo que significa unUniverso abierto. Finalmente, si la densidad que hay ahora en el Universo tuviera elpreciso valor de la densidad crítica, entonces el Universo sería plano, o sea sin curva-tura espacial.

5.B La edad del Universo cuando no existe término cosmológico

La densidad de energía de la materia (en forma de polvo, o sea, sin presión) varíacon respecto al factor de escala cósmico según la ley

3

0

0

t R t

t R t

�

�

� ��

además, en el caso de dominio de la materia, por la segunda de las ecuaciones deFriedman (y al suponer presión nula) se obtiene

2 2 2

0 0 02 1kc R q H� �

Apéndice B: Cosmología 225


y utilizando este resultado en la primera de las ecuaciones de Friedman

2

0 0 0

82

3

Gq H

��

donde el subíndice 0 representa valores actuales.Si volvemos a la primera de las ecuaciones de Friedman

32 2

2 0

02 3 2

8 8

3 3

RG kc G kcH t

R R R

� ��

y haciendo uso de las fórmulas anteriores, llegamos a la ecuación diferencial

2 20

0 0 0 02

0

2 1 2R

q H q HRR

� � �

de donde se deduce

1 2

0

0

0

211 2 ,

qdt q da

H a

�

� ��

� esta fórmula nos permite obtener la función factor de escala respecto al tiempo, conoci-da la constante de Hubble y el parámetro de desaceleración en el momento presente.

En el caso de un Universo abierto que está permanentemente en expansión, su edadse calcula por

1 21

0

0 0

0 0

211 2 ,

qt q da

H a

�

� ��

� �

donde 1 es el valor de a que corresponde al momento actual del Universo y el valor 0 esel que toma a en el big bang.

Cuando el radicando que aparece en la integral anterior se hace negativo deja dehaber solución, lo que nos viene a decir que existe un valor máximo de R, o sea que nosencontramos con un Universo que colapsa. Este máximo valor se obtiene anulando laderivada de R en (2.B)

0

0 0max

2,

2 1

qR

R q

� ��

�� entonces cuando el Universo es cerrado, es decir colapsa, su edad en la fase de expan-sión también se calcula mediante (3.B), mientras que el tiempo que tarda el Universo enevolucionar desde el big bang hasta el estado de máxima expansión es

0

0

2

1 22 1

0

0

0 0

211 2 .

q

q

m

qt q da

H a

��

� ��

� �

6.B Presión y densidad de energía del vacío

La ecuación de campo de Einstein en presencia de término cosmológico toma laforma

� ��

considerando, como antes, que el sustrato universal es un fluido perfecto

(2.B)

(3.B)

226

�

�

entonces

c ��

donde ��y p son la densidad de energía y la presión de la materia y de la radiación. Lasúltimas igualdades hay que entenderlas como la existencia de una energía y presiónasociada a �, aún en el caso de que no exista ni materia ni radiación, es decir, esnecesario asociar al vacío la densidad de energía

2

2 8V

c

Gc�

��

� ��

y la presión2 .

V Vp c��

7.B Definición de los parámetros de densidad

Se definen los parámetros de densidad de la materia, de la radiación, del vacío y decurvatura por las relaciones

2 2

2 2 2 2 2

8 8; ; ; ,

3 3 3M M R R k

G G c kc

H H H H R

� ��

�

��

que dependen de la edad del Universo. De las anteriores definiciones se deduce

; .� � � � � �� M M c R R c V V c

De la primera de las ecuaciones de Friedman se encuentra la relación2 2

2

2

8

3 3

G kc cH

R

��

��

con � se representa la suma de las densidades de energía de la materia y de la radia-ción. La anterior ecuación se transforma en

1.�

� �� M R k

Al igual que se hizo con las ecuaciones de Friedman sin término cosmológico,podemos despejar la densidad y la presión (se entiende presión y densidad de lamateria y de la radiación, excluida la del vacío), entonces tendríamos las ecuaciones

2 2 2 2 2

2 2

2 2

3; 1 2 .

8 3 8 3

kc c c kc cH p q H

G GR R�

� �

� � � ��

� � �

8.B Ecuaciones cosmológicas cuando se considera la radiación

La densidad de energía de la radiación en un Universo en expansión disminuyemás rápidamente que la correspondiente densidad de energía de la materia. Entonces,si partimos de que actualmente la densidad de energía es una parte de la densidad demateria, hay que suponer que en un pasado la radiación debió dominar sobre la mate-ria. De aquí la necesidad de considerar Universos dominados por la radiación.

Teniendo en cuenta que la densidad de energía es la suma de la debida a la materiay a la de la radiación, tenemos



3 4

0 0

0 03 4� � � � ��

M R M R

R R

R R

por tanto la primera de las ecuaciones cosmológicas queda3 4 2 2

2 0 0

0 03 4 2

8 8.

3 3 3

� ��

��

M R

R RG G c kcH

R R R

La anterior ecuación cosmológica se puede poner como2 3 4

2 0 0 0 2 0 20 0

0 02M R k

R RdRH R R

dt R R�

� ��

� � donde los parámetros de densidad son calculados para el tiempo actual. Introducien-do el factor

0a R R�

2 0 0

2 0 2 0

0 2

M R

k

daH a

dt a a�

� ��

� � o bien

2

2 0 0 0 2

0 2

1 11 1 1 1 .

M R

daH a

dt a a�

� ��

� � � � � �� De la anterior expresión se obtiene el factor de escala cósmico para un momento tcualquiera mediante

01 2

0 0 0 2

2

0 0

1 1 11 1 1 1 ,

R R

M Rt a da

H a a

�

�

��

� � � ��

si introducimos una nueva variable 0

t t� � donde 0

t es el tiempo actual o edad presen-te del Universo, podemos poner

01 2

0 0 0 2

2

0 0 0

1 1 11 1 1 1

R R

M Ra da

H t a a�

�

�

��

� � � ��

de donde se obtiene la función .a a �� Para calcular la edad del Universo en la actua-lidad aplicamos la fórmula

1 21

0 0 0 2

0 2

0 0

1 1 11 1 1 1 .

M Rt a da

H a a

�

�

��

� � � ��

Tomemos como ejemplo un Universo caracterizado por 0�k , 00.7

�� y

00.0002

R� � . A partir de (5.B) se calcula la edad de este Universo en función de laconstante de Hubble para el momento actual, resultando

0

0

10.9634 .t

H�

9.B Distancia propia

Consideremos una concha esférica de radio coordenado r, de donde parte una señalluminosa (o cualquier otra que viaje a la velocidad de la luz) en el instante retrasado t,llegando al observador situado en el centro de la concha esférica en el momento t̂ . Setrata de determinar el radio propio ��de esa esfera en el momento de emitir la señal.

Según el elemento de línea de Robertson-Walker, el movimiento de un rayo que se

(4.B)

(5.B)

228

acerca al centro de la esfera viene dada por la expresión

2

.

1

dr cdt

R tkr

� ��

Introduciendo la variable0

t t� � e integrando desde el momento en que partió la señalhasta el momento de llegada

ˆ

0

0

0ˆ

,ctd d

r ctR R a

� �

� �

� �

� �

� � � ��

� �� S S

debemos advertir que r no depende del tiempo, ya que los cuerpos que componen elsustrato cósmico son comóviles y sus coordenadas invariables. La función S quedadefinida de la siguiente forma: si 1�k entonces sin�x xS ; si 1� �k , sinh�x xS

y si 0�k �x xS .De la métrica de Robertson-Walker se deduce que la distancia propia radial desde el

origen a un punto de coordenada r es

2

0 1

rdr

R t

kr

� ��

�

y de (6.B) se encuentraˆ

0ˆ,

dct a

a

�

�

��

�

��

��Haciendo el cálculo numérico, por ejemplo, para el modelo con 0k � , 0

0.3M

� � y0

0.7�

� � se encuentra la curva representada en la gráfica 1.B.Volvemos a insistir que se trata de distancias propias retardadas, es decir la que

tenía la fuente en el momento de la emisión. Por ejemplo, los puntos cerca del origencorresponden a la emisión de luz por cuerpos en el big bang y que por tanto se encon-traban muy cerca del punto de observación, aunque la luz que emitieron sea observable

(7.B)

(8.B)

Gráfica 1.B

(6.B)

0.1

0.2

0.3

0.4

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

�

�

�

ˆ 1� �



Gráfica 2.B

en el momento presente y esos cuerpos se encuentren actualmente a gran distancia.Obsérvese que, en nuestro ejemplo, existe un máximo de la distancia propia que

corresponde al momento 0.306� � . Para este tiempo el valor de la distancia propia es

00.4256 .ct� �

Una de las expresiones que tenemos que manejar en el capítulo 18 es la integral de

d d� � � � � � ��

donde la evaluación se hace a todo el Universo conectado causalmente con el observa-dor. La derivada de la distancia propia se obtiene de (8.B)

ˆ

0ˆ, 1

dct a

a

�

�

��

�

� ��

��

aplicando este resultado, como ejemplo, al modelo cósmico considerado y para el mo-mento presente, se obtiene la gráfica 2.B.

De la gráfica 1.B se observa que la pendiente de la curva es positiva hasta llegar almáximo, es decir � � es positivo. Pero en la zona de descenso de la curva, la pendientees negativa y así también lo es � � . Para evitar esta situación que no tiene sentido físico,en la gráfica 2.B se ha dibujado el valor absoluto de �� , por lo que toda la curvaaparece en la parte positiva.

10.B Universo de Einstein-de Sitter

Vamos a aplicar los conceptos anteriores al Universo de Einstein-de Sitter, caracte-rizado por contener solo materia y cumpliendo 0k � y 0

�� . En este caso la densi-

dad del Universo corresponde a su valor crítico y de (4.B) se obtiene

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

�

�

�

2 2

0c t��

230

2

2

0

1daH

dt a

� ��

� que al integrar queda

2 3

3 2

0 0

0

2 3,

3 2

RH t a H t

R

��

� �

cuando 0

t t� ocurre que 0

R R� entonces 0 0

2 3H t � y la ecuación (9.B) queda

2 3

2 3

0

0

.t

R t R at

� � �

� � � ��

De la anterior ecuación se obtiene que la «constante» de Hubble tiene la siguientedependencia con el tiempo cósmico

2 1.

3H t

t�

La densidad de este Universo es2

2

2 2

0

3 1 1 1 1.

8 6 6c

H tt t

G G Gt t� � �

� � �

��

La coordenada radial de donde se encontraba un cuerpo que emitió la señal en t y quellega en el momento t̂ al observador es, según (6.B)

ˆ

1 3 1 30 0

0 0

3ˆ .

ct ctdr

R a R

�

�

��

�

��

��La correspondiente distancia propia es

1 3 2 3

0ˆ ˆ, 3 ,R t r ct� � � � � ��

(9.B)

(10.B)

(11.B)

Gráfica 3.B

0.1

0.2

0.3

0.4

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

�

�

�

ˆ 1� �

ˆ 0.8� �

ˆ 0.5� �

ˆ 0.2� �

0ˆ, ct� � �



mientras que

2 2 2 3 1 3 1 3 2 3

0

2 5ˆ ˆ9 .

3 3d d c t d� � ��

��

La señal que salió de la posición más alejada y que llega en el momento presente alobservador, debió partir en el momento

3

max

2ˆ ˆ0.296 ,

3� � �

� ��

� y la distancia propia desde la que salió esta señal es

max 0ˆ4 9 .ct� ��

11.B Distancia luminosidad

Supongamos un objeto galáctico con una luminosiad absoluta L, que representa laenergía que emite por unidad de tiempo. Sea l la luminosidad relativa, es decir, laenergía que llega al observador por unidad de tiempo y unidad de área. Si el espaciofuera euclídeo,

Ld representaría la distancia a la que se encuentra el objeto y se cumple

2,

4L

Ll

d��

en un espacio curvo (13.B) será la expresión que define lo que llamaremos distancia deluminosidad. Vamos a suponer que el objeto galáctivo emite fotones de igual frecuencia

e� , entonces el número total de fotones emitidos en un intervalo de tiempo

et� es

e

e

L tN

h

�

��

donde h es la constante de Planck. El área de una esfera centrada en el objeto luminosoy que pasa por el observador en el instante de llegada de los fotones en el tiempo

0t , se

obtiene a partir del elemento de línea de Robertson-Walker2 2

04 ,�A R r�

donde 0

R es el valor del factor de escala cósmica en el momento de la observación, quesuponemos es el momento presente. Para la deducción anterior hemos tenido en cuen-ta que el objeto galáctico se encuentra en una posición con coordenadas fijas. Si

et�

representa el periodo de la señal emitida y 0

t� el periodo de la misma señal en el lugarde recepción, se encuentra por el elemento de línea que existe la relación

0

0

�e

e

t t

R t R t

� �

donde se ha tenido en cuenta que tanto el emisor como el receptor se encuentran inmó-viles. Entonces

0

1 . � eh

zh

�

�

Con los resultados anteriores se obtiene que la luminosidad relativa o aparente es

0

22 2

0 0

.

4 1

� ��

Nh Ll

A t R r z

�

� �

Si definimos la distancia de luminosidad por la relación (13.B) se encuentra

01� �

Ld R r z (14.B)

(13.B)

(12.B)

232

que es la fórmula que vamos a utilizar para encontrar la relación entre la magnitudaparente de una galaxia y su desplazamiento hacia el rojo.

12.B Relación entre el módulo de distancia

y el desplazamiento hacia el rojo

Por la definición de magnitud absoluta como la magnitud estelar que tendría unobjeto si estuviera situado a una distancia de 10 parsec, se encuentra que el módulo dedistancia m M� (m es la magnitud relativa y M la magnitud absoluta) está relacionadacon la distancia por

05log 25 5log 5log 25,� � � �

L Lm M d D H

Ld es medida en megaparsec,

0�

L LD H d y

0H es la constante de Hubble en el momento

de observación, normalmente expresada en las unidades 1 1� �

kms Mpc . En vez de lamagnitud absoluta se prefiere la magnitud de punto cero, definida por

05log 25,� � M HM

agrupando de esta manera los dos parametros M y 0

H , entonces la relación (15.B)queda

5 log .L

Dm ��M

Para obtener la relación entre el módulo de distancia y el desplazamiento hacia elrojo, es necesario previamente hallar la relación existente entre la distancia de lumino-sidad y z, para lo que utilizamos la relación (14.B) donde debemos poner su segundomiembro en función de z.

Por definición de k

�

2

0 0 0 0 0

0 01

k M R

c kc c kR

H H�

� ��

� ��

válida siempre que 0�k . 0

H y 0

k� son los correspondientes valores en el momento de

la observación.De (6.B) se encuentra que para un rayo que proceda de una galaxia en la posición r

que salió en el momento e

t y que llegó a la posición del observador 0r � en el momento

0t

1

0 1

1 21

0 0 0 2 1

2

0 0 1

1 11 1 1 1 .

r

z

M R

z

ca a da

R H a a

�

�

�

�

�

�

�

�

� ��

� � � ��

Poniendo la integral del segundo miembro en función de z y resolviendo la integral delprimer miembro, queda al aplicar (14.B)

1 2

2 20 0 0

00

11 1 2 1 2

z

L M R

c zd z z z z z z z dz

H

�

�

�

�

� � � ��

�S

cuando k es positivo sin�x xS y 0 0 01

M R�

�� ; si k es negativo sinh�x xS

y � es igual que antes; finalmente si 0�k entonces �x xS y 1�� .Ya estamos en condiciones de expresar la magnitud relativa de un objeto galáctico

(15.B)



de mangitud de punto cero M en función del desplazamiento hacia el rojo para el casoen que se desprecie el efecto de la radiación

1 2

2 0 0

0

5log1

1 1 2 ,

z

M

c zm z z z z z dz�

�

�

��

� ��

�M S

c tiene que venir expresada en 1�kms si

0H viene en 1 1� �kms Mpc . El parámetro M , al

igual que los parámetros de densidad, se obtiene ajustando los datos observacionales.Esto se puede conseguir utlizando exclusivamente para el ajuste los pequeños valoresde z o bien usar tanto los pequeños como los grandes valores de z. En el caso de usarcomo referencia las supernovas del tipo Ia entonces -3.17�M .

13.B Referencias1.- CARROLL, Sean M.; PRESS, William H.; TURNER, Edwin L.: «Cosmological constant», Annualreview of Astronomy and Astrophysics 30 (1992) 499-542.2.- CARROLL, Sean M.: «The Cosmological Constant», arXiv:astro-ph/0004075v2, 2000.3.- PERLMUTTER, S. and others: «Measurements of the Cosmological Parameters W and L from

the First seven Supernovae at 0.35z � », Astrophysical Journal 483 (1997) 565-581.

(16.B)

234

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