“manual de ejercicios: estocastica...

UNIVERSIDAD DE LOS ANDESFACULTAD DE INGENIERIA

ESCUELA DE SISTEMASDEPARTAMENTO DE INVESTIGACION DE OPERACIONES

“Manual de Ejercicios: ESTOCASTICA 1”

Por: Karla Patricia Ramırez Araujo

Mayo de 2009

A mi familia, que siempre me ha dado mas

de lo que he sonado.

Indice general

0.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1. Estadıstica Descriptiva 3

1.1. Histogramas y Polıgonos de Frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2. Medidas Descriptivas Numericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3. Introduccion al Muestreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.3.1. Muestreo Simple Aleatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.3.2. Muestreo Sistematico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

1.3.3. Muestreo por Conglomerados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

1.3.4. Muestreo Estratificado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

1.4. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2. Teorıa de la Probabilidad 54

2.1. Teorıa de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.2. Teorıa de Probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.3. Teorıa Combinatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

2.3.1. Principio de Multiplicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

2.3.2. Principio de la Suma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2.3.3. Permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

2.3.4. Combinaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

2.4. Probabilidad Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

2.5. Independencia de eventos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

i

INDICE GENERAL ii

2.6. Teorema de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83


3. Variable Aleatoria Unidimensional 91

3.1. Distribucion de Probabilidad de una Variable Aleatoria Discreta . . . . . . 91

3.2. Distribucion de Probabilidad de una Variable Aleatoria Continua . . . . . . 99

3.3. Distribucion de la Funcion de una Variable Aleatoria . . . . . . . . . . . . 111

3.4. Valores Esperados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

3.5. Momentos de una Ley de Probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138


4. Distribuciones Clasicas Discretas y Continuas 145

4.1. Distribuciones Clasicas Discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

4.1.1. Distribucion Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

4.1.2. Distribucion de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

4.1.3. Distribucion Geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

4.1.4. Distribucion de Pascal o Binomial Negativa . . . . . . . . . . . . . 162

4.1.5. Distribucion Hipergeometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

4.1.6. Distribucion Multinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

4.2. Distribuciones Clasicas Continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

4.2.1. Distribucion Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

4.2.2. Distribucion Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

4.2.3. Distribucion Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184


5. El Teorema del Lımite Central 208

5.1. La Desigualdad de Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

5.2. Teorema del Lımite Central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

5.3. Teorema de Moivre-Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221


INDICE GENERAL iii

6. Vector Aleatorio 227

6.1. Variable Aleatoria Bi-dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

6.2. Distribuciones Marginales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

6.3. Distribuciones Condicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

6.4. Variables Aleatorias Independientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

6.5. Momentos de Variables Aleatorias Bidimensionales . . . . . . . . . . . . . 259

6.6. La Covarianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

6.7. Coeficiente de Correlacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

6.8. Distribucion de la funcion de dos variables aleatorias . . . . . . . . . . . . 270


Bibliografıa 283

0.1. Introduccion

Dentro del programa curricular de la carrera de Ingenierıa de Sistemas de la Universidad

de Los Andes, esta contemplado estudiar el area de Estocastica con el fin de poder analizar,

representar, evaluar y controlar sistemas ya sean naturales o artificiales.

Si bien cuando se habla de estocastica automaticamente se relaciona con todo lo con-

cerniente al azar, esta es una teorıa estadıstica que estudia los procesos cuya evolucion

es completamente aleatoria, y de allı se desprenden leyes, modelos y tecnicas de repre-

sentacion de los fenomenos aleatorios del mundo.

El presente manual tiene como finalidad ser una guıa de apoyo para los estudiantes de

Estocastica 1, para las tres opciones de la carrera, aquı encontrara una serie de ejercicios

completamente resueltos y algunos propuestos.

El manual esta dividido en seis capıtulos segun el programa de la materia de Estocastica

1, de la siguiente manera:

En el Capıtulo 1, estudiaremos una parte de la Estadıstica Descriptiva, los ejercicios

estan enfocados en recoleccion, representacion y analisis de datos cualitativos y cuantita-

tivos.

En el Capıtulo 2, se comienza a dar las nociones de Probabilidades, la cual es el com-

ponente principal de la materia. Se estudiara las propiedades y principios basicos de la

probabilidad.

En el Capıtulo 3, se analizaran las variables aleatorias unidimensionales, como tambien

sus distribuciones de probabilidad y sus propiedades.

Una vez estudiadas las distribuciones de probabilidad de las variables aleatorias, en el

INDICE GENERAL 2

Capıtulo 4 se presentaran algunas distribuciones que por sus atributos, ya se les consideran

clasicas y que se adaptan a la mayorıa de los fenomenos aleatorios del mundo.

En el Capıtulo 5, hablaremos de algunos Teoremas Lımites que son fundamentales en

el estudio probabilıstico y estadıstico en la ciencia moderna.

Por ultimo, en el Capıtulo 6 se estudiaran las variables aleatorias bidimensionales, su

distribucion de probabilidad y sus relaciones entre sı.

Es importante aclarar que este manual esta basado en la solucion de varios problemas

formulados por el Profesor Oswaldo Ramırez de la Escuela de Ingenierıa de Sistemas,

del Profesor Armas del Departamento de Estadıstica y de algunos otros autores. Ademas

esta basado en algunos problemas de la autora del manual.

Capıtulo 1

Estadıstica Descriptiva

La Estadıstica Descriptiva es un area de la Estadıstica que se encarga de los metodos

de recoleccion, organizacion, descripcion y presentacion de datos que son tomados de un

fenomeno bajo estudio; esta representacion puede ser en forma de cuadros o en forma de

graficos, como tambien pueden ser presentados de forma numerica (Armas, 2002).

Las aplicaciones de la estadıstica descriptiva dentro de la Ingenierıa de Sistemas abarca

varios campos, alguno de ellos son: el control estadıstico de la calidad, teorıa de colas,

diseno de encuestas, diseno de sistemas dinamicos, modelado y simulacion de sistemas y

en la toma de decisiones, entre otros.

En este capıtulo se presenta una introduccion a la estadıstica descriptiva, donde estu-

diaremos la representacion tabular y grafica de los datos por medio de las tablas de dis-

tribucion de frecuencia, histogramas y polıgonos de frecuencia; seguidamente estudiare-

mos la representacion numerica, la cual se realizara por medio de las medidas numericas

de tendencia central y de dispersion. Por ultimo estudiaremos algunos metodos de muestreo

aleatorio de datos.

3

CAPITULO 1. ESTADISTICA DESCRIPTIVA 4

1.1. Histogramas y Polıgonos de Frecuencia

Un Histograma es un diagrama de barras que se encuentran juntas, su objetivo es el

de representar graficamente una variable. La altura de cada una de las barras representa la

frecuencia de los valores bajo estudio, es decir, senala el numero de veces que se repite un

valor o una caracterıstica especıfica en una serie de datos.

Para construir un histograma se coloca en el eje de las abscisas el valor cualitativo

o cuantitativo que se desea representar, y en el eje de las ordenadas va la frecuencia del

mismo en el conjunto de datos.

Otra forma de representacion grafica de los datos se hace por medio del Polıgono de

Frecuencia, el cual consiste en unir por medio de una lınea, los puntos medios de la parte

superior de cada una de las barras del histograma con el eje de las abscisas.

EJERCICIOS

1. Suponga que en la ciudad de Merida un hotel tiene 25 habitaciones, y todas se en-

cuentran ocupadas para cierta fecha de temporada alta. El numero de personas alo-

jadas por habitacion se muestra en la Tabla 1.1.

1 4 3 1 52 6 2 2 24 5 3 2 11 2 2 2 13 4 5 2 3

Tabla 1.1: Numero de personas por habitacion

Elabore el histograma de la cantidad de personas alojadas por habitacion en el hotel.

Solucion:


Para construir el histograma es recomendable ordenar los datos en la distribucion de

frecuencia.

Una Distribucion de Frecuencias es una ordenacion tabular que contiene:

El numero de personas alojadas por habitacion.

La frecuencia absoluta, que es el numero de veces que aparece la cantidad de

personas alojadas por habitacion en el conjunto.

Y por ultimo frecuencia acumulada, que es el numero de veces que aparece la

cantidad de personas alojadas mas la frecuencia acumulada anterior.

A partir de esto tenemos la distribucion de frecuencia del ejercicio en la Tabla 1.2.

No de Frecuencia Abosulta Frecuencia Acumuladapersonas ( fi) (Fi)

1 5 52 9 143 4 184 3 215 3 246 1 25

Tabla 1.2: Distribucion de Frecuencia

La sumatoria de la frecuencia absoluta y el ultimo valor de la frecuencia acumulada,

deben ser iguales al numero total de datos que se tenga en la muestra, para este

ejemplo son iguales a 25.

Para elaborar el histograma, se debe colocar en el eje de las abscisas el numero de

personas alquiladas por habitacion (es decir: 1, 2, 3, 4, 5 y 6) y en el eje de las

ordenadas la frecuencia absoluta ( fi) (segunda columna de la Tabla 1.2), como se

muestra en la Figura 1.1.

Tambien se puede representa el histograma con la Frecuencia Acumulada (Ver Figura

1.2).


1 2 3 4 5 60

1

3

5

7

9

Fre

cuen

cia

Abs

olut

a (f

i)

Número de persona por habitación

Figura 1.1: Histograma con la fi

1 2 3 4 5 60

5

10

15

20

25

Fre

cuen

cia

Acu

mul

ada

(F

i)

Número de persona por habitación

Figura 1.2: Histograma con la Fi


2. En un estudio realizado en una escuela de primaria, se recolectaron los pesos en

kilogramos de 30 ninos escogidos al azar, con edad comprendida entre los 9 y 11

anos, los resultado se muestran en la Tabla 1.3.

28,3 30,7 27,6 29,7 28,6 30,0 31,3 29,4 27,3 29,330,3 28,2 26,0 30,3 28,9 28,7 30,2 30,7 26,4 26,928,2 31,7 29,8 27,6 29,2 30,8 30,7 27,2 29,7 30,3

Tabla 1.3: Peso de 30 ninos entre 9 y 11 anos

Elabore la Distribucion de Frecuencia con intervalos de clases que contenga: Mar-

ca de la Clase, Frecuencia Absoluta, Frecuencia Acumulada, Frecuencia Relativa y

Frecuencia Relativa Acumulada.

Dibuje el Histograma y Polıgono de Frecuencia.

Solucion:

Para construir la Distribucion de Frecuencia, organizaremos los datos en 6 intervalos.

Para calcular la amplitud de la clase utilizaremos la siguiente formula1 :

Ci =Valor Maximo - Valor Mınimo

k

Donde:

Ci = Amplitud de la clase

k = Numero de clases

Si por el contrario se tiene es la amplitud de las clases y se desea conocer es el numero

de intervalos que se tendran en la distribucion, se puede usar la misma formula, solo

que despejando el valor de k:

k =Valor Maximo - Valor Mınimo

Ci

1 Esta ecuacion es recomendada por el Profesor Armas en su publicacion “Estadıstica Sencilla Descripti-va”de la Escuela de Estadıstica de la ULA


El mayor valor de la serie de datos es 31,3 kilogramos y el menor valor es 26,0

kilogramos, al sustituir tenemos:

Ci =31,3 − 26,0

6= 0,88333 ≈ 1

Por lo tanto, la amplitud de los intervalos es de 1 kilogramo. Tambien existen casos

donde se hace necesario establecer diferentes amplitudes para las clases.

Al observar los datos podemos establecer como lımite inferior del primer intervalo el

valor de 26 kilogramos, a partir de este valor se construye los 6 intervalos sumando

1 unidad a cada uno, quedando como se muestra en la Tabla 1.4.

Intervalo[26 - 27)[27 - 28)[28 - 29)[29 - 30)[30 - 31)[31 - 32)

Tabla 1.4: Intervalos resultantes

Como se observa en la tabla, se recomienda que los intervalos sean semi-abiertos,

es decir, el intervalo debe contener el lımite inferior y no debe contener el lımite

superior.

La marca de la clase es el punto medio de la misma y se calcula de la siguiente

manera:

mi =LIi − LS i

2

La frecuencia absoluta ( fi) de esta distribucion sera el numero de veces que se repiten

los numeros contenidos en ese intervalo.

La frecuencia relativa ( f r) se obtiene dividiendo la frecuencia absoluta entre el

numero total de observaciones (n = 30), siendo esta la proporcion de datos con-


tenidos en la clase.

f ri =fi

nk∑

i=1

f ri = 1

Por ultimo, la frecuencia relativa acumulada (Fri) se obtiene dividiendo la correspon-

diente frecuencia acumulada (Fi) entre el numero total de datos. Este valor representa

la proporcion de datos que son menores que el lımite superior de la clase i.

Fri =Fi

n

De esta forma, la distribucion de frecuencia para la informacion de los pesos de los

30 ninos se muestra en la Tabla 1.5.

Peso Marca de Frecuencia Frecuencia Frecuencia Frecuenciaen Kg la Clase Absoluta Acumulada Relativa Relativa(Xi) (mi) ( fi) (Fi) ( f ri) Acum. (Fri)

[26 - 27) 26.5 3 3 0.100 0.100[27 - 28) 27.5 4 7 0.133 0.233[28 - 29) 28.5 6 13 0.200 0.433[29 - 30) 29.5 6 19 0.200 0.633[30 - 31) 30.5 8 27 0.267 0.900[31 - 32) 31.5 3 30 0.100 1.000


Para dibujar el histograma con la frecuencia divida por clases, se elabora de igual

manera solo que los lımites del intervalo son los extremos de la barra y la marca de

la clase sera entonces el centro de la misma.

Ahora, para el polıgono de frecuencia se crea una clase ficticia anterior a la primera

clase, con su misma amplitud, y una clase ficticia al final; la primera clase ficticia

sera entonces [25− 26) y su marca es 25,5; la ultima clase ficticia sera [32− 33) y su

marca es 32,5.


Aclaramos que como dichas clases no exiten en el problema original, la altura de las

barras son iguales a cero.

Una vez hecho esto, prolongamos la lınea hasta las dos marcas ficticias, cerrando

ası el polıgono de frecuencia como se observa en la Figura 1.3 .

25.5 26.5 27.5 28.5 29.5 30.5 31.5 32.50

1

2

3

4

5

6

7

8

Pesos (Kilogramos)

Fre

cuen

cia

Abs

olut

a (

fi)

Figura 1.3: Histograma y Polıgono de Frecuencia con la fi

Es importante resaltar que cuando todas las clases de la distribucion de frecuencia

tienen la misma amplitud (como es este caso), se cumple que el area total de todas

las barras es exactamente igual al area del polıgono de frecuencia.

Por otra parte, los histogramas tambien se pueden elaborar con otras frecuencias, por

ejemplo con la acumulada, con la relativa, con la relativa acumulada, etc.

Ahora bien, veamos como quedarıa el histograma con la frecuencia relativa ( f r) de

este ejemplo; es interesante resaltar que graficamente el histograma es igual al ante-

rior, solo cambia la escala del eje de las orfenadas.


26.5 27.5 28.5 29.5 30.5 31.50

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Pesos (Kilogramos)

Fre

cuen

cia

Rel

ativ

a (

Fr)

Figura 1.4: Histograma con la Fr

3. Se realizo una encuesta a un grupo de 40 hombres de la Facultad de Ingenierıa donde

se les pregunto por su grupo sanguıneo. Se obtuvieron los resultados mostrados en la

Tabla 1.6.

A B O A A O O O A OO O A B A A O B O OO O O A O O A O O OA B O O A O O A A A

Tabla 1.6: Informacion de los 40 hombres

Elabore:

a) La distribucion de frecuencia de los 40 datos.

b) Un histograma con la frecuencia relativa.

c) Un histograma con la frecuencia relativa acumulada.

Solucion:


Dentro del conjunto de datos se tienen solo 3 grupos sanguıneos A, B y O. Estos

datos son de tipo cualitativo y a pesar de esto tambien se pueden representar en forma

tabular y en forma grafica.

a) La distribucion de frecuencia del problema la podemos ver en la Tabla 1.7.

Grupo Frecuencia Frecuencia Frecuencia FrecuenciaSanguıneo Absoluta Acumulada Relativa Relativa

( fi) (Fi) ( f ri) Acum. (Fri)A 14 14 0.35 0.35B 4 18 0.10 0.45O 22 40 0.55 1.00


b) El histograma con la frecuencia relativa se observa en la Figura 1.5.

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Grupo Sanguíneo

Fre

cuen

cia

Rel

ativ

a (

fr)

A B O

Figura 1.5: Histograma con la f r

c) El histograma con la frecuencia relativa acumulada se observa en la Figura 1.6.


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Grupo Sanguíneo

Fre

cuen

cia

Rel

ativ

a A

cum

ulad

a (

Fr)

A B O

Figura 1.6: Histograma: Frecuencia Relativa Acumulada

4. La Tabla 1.8 es la distribucion de frecuencia de las calificaciones del primer examen

de Estocastica 1.

Notas 9 10 12 13 14 15 16 17 18 19 20No de Estudiantes 1 2 1 2 2 2 1 7 2 6 4


Represente los datos en un histograma y en un polıgono de frecuencia, utilizando la

frecuencia absoluta.

Solucion:

Para este ejercicio ya la tabla de la distribucion de frecuencia esta dada en el

planteamiento del problema; sin embargo observamos en la tabla que no se encuentra

la columna con la calificacion de 11 puntos, ni la cantidad de alumnos de la misma,

por lo tanto se asume automaticamente que la cantidad de alumnos con esa califi-

cacion es igual a cero.


Estos valores tambien deben representarse en el histograma y en el polıgono, para

esto la altura de la barra correspondiente al valor 11 es cero, y el polıgono baja hasta

cortar el eje de las abcsisas.

El histograma y el polıgono con la frecuencia absoluta la podemos observar en la

Figura 1.7.

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 210

1

2

3

4

5

6

7

Calificación

Fre

cuen

cia

Abs

olut

a (

fi)

Figura 1.7: Histograma y Polıgono de Frecuencia con la fi

5. En el centro de la ciudad de Merida se llevo a cabo un experimento, el cual consiste

en registrar el numero de accidentes de transito que ocurrian diariamente en la tem-

porada alta, esto se realizo durante un periodo de 40 dıas. La informacion obtenida

se refleja en la Tabla 1.92 .

Obtenga el histograma y el polıgono de frecuencia acumulada (Ojiva).

2 Los datos del numero de accidentes diarios para este ejercicio no son reales


2 2 0 1 3 2 3 4 2 21 1 0 2 3 1 0 6 2 00 2 3 1 2 0 4 1 1 34 0 2 6 1 1 4 2 2 4

Tabla 1.9: Accidentes de transito por dıa

Solucion:

Si observamos los datos, el numero de accidentes diarios oscilan entre 0 y 6 acci-

dentes, como son pocos valores dejamos los datos individuales.

La Distribucion de Frecuencia del problema con la fi y la Fi la podemos ver en la

Tabla 1.10.

Numero de Frecuencia Absoluta Frecuencia AcumuladaAccidentes ( fi) (Fi)

0 7 71 9 162 12 283 5 334 5 385 0 386 2 40


La Ojiva es un grafico curvilıneo que se utiliza para representar las frecuencias acu-

muladas, se dibuja de forma similar que el polıgono de frecuencia, solo que no se

crea una clase ficticia al final (Ver Figura 1.8).

Si se desea se puede colocar en el eje de las ordenadas la frecuencia relativa acumu-

lada (Fri) multiplicada por 100 y de esta manera se obtiene la ojiva porcentual.


0 1 2 3 4 5 60

5

10

15

20

25

30

35

40

Número de accidentes diarios

Fre

cuen

cia

Acu

mul

ada

(F

i)

Figura 1.8: Histograma y Ojiva

1.2. Medidas Descriptivas Numericas

Las medidas descriptivas son indicadores numericos que proporcionan una idea sobre

las caracterısticas y atributos relevantes de una serie de datos, como por ejemplo: el valor

promedio de los datos, el valor que ocupa la posicion central, el valor que mas se repite,

ası como tambien el grado de dispersion entre los mismos y alrededor del valor central.

Estas medidas se clasifican en dos tipos:

Medidas de Tendencia Central: Son los valores centrales o promedios de la colec-

cion de datos. Los mas conocidos y que estudiaremos en este manual son: la media

aritmetica, la mediana y la moda.

Medidas de Dispersion Absoluta: Son los valores que miden la variabilidad de los

datos con respecto a un valor central especıfico, es decir, a las medidas de tendencia


central. Las mas conocidas son la varianza y la desviacion estandar.

EJERCICIOS

1. El gerente de una pequena empresa tiene a su cargo 13 empleados. Cuatro de ellos

ganan Bs. F 7344 al ano, seis ganan Bs. F 12000 y tres ganan Bs. F 14400. El sueldo

anual del gerente de la empresa es de Bs. F 19200.

a) Hallar la media y la mediana de los sueldos de las 14 personas de la empresa.

b) Hallar la media y la mediana de los sueldos si el gerente decide incrementar su

sueldo anual a Bs. F 31200.

Solucion:

a) La Media Aritmetica de un conjunto de datos denotada por X, se define como

la suma de todos los valores dividida entre el numero total de ellos.

X =x1 + x2 + ... + xn

n=

∑ni=1 Xi

n

Ordenamos los datos de los sueldos en una distribucion de frecuencias (ver

Tabla 1.11).

Sueldos Anuales Frecuencia Absoluta Frecuencia Acumulada(Bs.F) ( fi) (Fi)7344 4 4

12000 6 1014400 3 1319200 1 14


Una vez ordenados calculamos la media, esta se calcula de la siguiente manera:

X =

∑ki=1 fi ∗ Xi∑k

i=1 fi


Sustituimos los valores y tenemos:

X =4 ∗ 7344 + 6 ∗ 12000 + 3 ∗ 14400 + 1 ∗ 19200

4 + 6 + 3 + 1= 11698,29

En promedio, el sueldo anual de las 14 personas que trabajan en la empresa es

de Bs. F 11698,29.

La Mediana de una serie de datos, denotada por X, es el valor que ocupa la

posicion central de los datos, una vez que han sido ordenados de forma creciente

o decreciente.

Se calcula de la siguiente manera:

X =

Termino

[(n + 1)

2

]si n es impar

Termino(n/2) + Termino (n/2 + 1)2 si n es par

Para calcular la mediana de este ejercicio, primero buscamos el valor de n y ve-

mos que tenemos 14 datos, por lo que n es par, utilizamos la segunda ecuacion:

X =Termino(14/2) + Termino(14/2 + 1)

2=

Termino(7) + Termino(8)2

X =12000 + 12000

2= 12000

El 50 % de los sueldos de los empleados esta por debajo de los Bs. F 12000.

b) Si el gerente de la empresa se aumenta el sueldo a Bs. F 31200 tenemos una

nueva distribucion de frecuencia (ver Tabla 1.12).

Sueldos Anuales Frecuencia Absoluta Frecuencia Acumulada(Bs.F) ( fi) (Fi)7344 4 4

12000 6 1014400 3 1331200 1 14

Tabla 1.12: Distribucion de Frecuencia con el aumento de sueldo


Como uno de los sueldos cambio debemos calcular una nueva media aritmetica:

X =4 ∗ 7344 + 6 ∗ 12000 + 3 ∗ 14400 + 1 ∗ 31200

4 + 6 + 3 + 1= 12555,43

En nuevo promedio del sueldo anual de las 14 personas que trabajan en la em-

presa es de Bs. F 12.555,43 aumento es un 7,33 %.

La nueva mediana de los datos es:


2=


X =12000 + 12000

2= 12000

Observamos que la mediana no es afectada por el incremento del sueldo del gerente

como lo es la media aritmetica, esto es debido a que la media se ve afectada por la

magnitud de los valores y en cambio la mediana se ve afectada por la cantidad de los

datos alrededor de ella.

2. Demostrar las propiedades de la media aritmetica.

Solucion:

Para demostrar las propiedades, utilizaremos los datos de una encuesta realizada a un

grupo de 80 estudiantes preguntandole su peso corporal en kilogramos.

43 48 50 51 52 54 55 56 58 60 62 66 68 72 76 8045 48 50 51 52 54 55 57 58 60 62 66 69 75 78 8445 48 50 51 53 55 55 57 58 61 64 67 69 75 79 8445 49 50 52 53 55 55 57 59 61 65 68 70 75 80 8548 50 51 52 54 55 56 57 59 61 65 68 72 76 80 85

Tabla 1.13: Peso (en kilogramos) de 80 estudiantes

Propiedad 1: La suma de las diferencias de cada uno de los datos con respecto a su

media es igual a cero.n∑

i=1

(Xi − X

)= 0


Calculamos la media:

X =

∑80i=1 Xi

80=

485480

= 60, 675

La media de los pesos es de 60,675 kilogramos.

Segun la propiedad la sumatoria de las diferencias de cada uno de los datos con

respecto a 60,75 es cero:

80∑

i=1

(Xi − 60, 675) = 0

Propiedad 2: La suma de las diferencias de cada uno de los datos con respecto a su

media elevada al cuadrado es mınima.

n∑

i=1

(Xi − X)2 es un valor mınimo

Tenemos:80∑

i=1

(Xi − 60, 675)2 = 9851,55

Si deseamos comprobar esta propiedad podemos restarle al conjunto de datos otro

numero diferente de la media y debe dar como resultado un numero mayor que

9581,55. Veamos con dos valores: 58 y 62.

80∑

i=1

(Xi − 58)2 = 10154

80∑

i=1

(Xi − 62)2 = 9722

Ambos son mayores que 9581,5.

Propiedad 3: Si todos los datos son iguales a un mismo valor k, entonces la media es

igual a k.

X =3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3

8= 3


Propiedad 4: Si a cada uno de los datos se les suma un mismo numero real k, se

obtiene X1 + k, X2 + k, . . . , Xn + k, entonces la nueva media sera X + k:

Considere el siguiente conjunto de datos:

5, 6, 8, 4, 6, 8, 9, 5, 6

La media es:

X =5 + 6 + 8 + 4 + 6 + 8 + 9 + 5 + 6

9= 6,333

Si al mismo conjunto de datos le sumamos la constante k = 3, obtenemos el nuevo

conjunto:

8, 9, 11, 7, 9, 11, 12, 8, 9

Y la nueva media aritmetica sera:

X =8 + 9 + 11 + 7 + 9 + 11 + 12 + 8 + 9

9= 9,333

O que es lo mismo:

XN = X + k = 6,333 + 3 = 9,333

Propiedad 5: Si a cada uno de los datos se les multiplica por un mismo numero real

k, se genera un nuevo conjunto de datos X1k, X2k, . . ., Xnk, entonces la nueva media

sera kX

Considere los datos anteriores, si multiplicamos el conjunto de datos por k = 0,1

obtenemos:

0,5; 0,6; 0,8; 0,4; 0,6; 0,8; 0,9; 0,5; 0,6

La nueva media aritmetica sera entonces:

XN =0,5 + 0,6 + 0,8 + 0,4 + 0,6 + 0,8 + 0,9 + 0,5 + 0,6

9= 0,6333


O que es lo mismo:

XN = X ∗ k = 6,333 ∗ 0,1 = 0,6333

Propiedad 6: Si se tienen k diferentes grupos de datos de diferentes tamanos n1, n2,

. . ., nk, con medias X1, X2, . . ., Xk, respectivamente, entonces la media de todos esos

datos juntos es:

X =n1X1 + n2X2 + ... + nkXk

n1 + n2 + ... + nk

Para demostrar estos datos utilizaremos 3 conjuntos de datos:

S 1 = 5, 6, 8, 5, 4, 3, 9, 7

X =5 + 6 + 5 + 8 + 4 + 3 + 9 + 7

8= 5,875

S 2 = 12, 10, 9, 15, 8

X =12 + 10 + 9 + 15 + 8

5= 10,8

S 3 = 54, 60, 50, 52, 58, 65, 57

X =54 + 60 + 50 + 52 + 58 + 65 + 57

7= 56,571

Si calculamos la media aritmetica de la forma tradicional tendrıamos que hacer loscalculos de la siguiente manera:

X =5 + 6 + 5 + 8 + 4 + 3 + 9 + 7 + 12 + 10 + 9 + 15 + 8 + 54 + 60 + 50 + 52 + 58 + 65 + 57

20

X = 24,85

Ahora bien, con la propiedad podemos calcularlo directamente con la formula:

X =n1X1 + n2X2 + n3X3

n1 + n2 + n3


X =8 ∗ 5,875 + 5 ∗ 10,8 + 7 ∗ 56,571

8 + 5 + 7= 24,85

Observamos que ambas medias aritmeticas dieron como resultado 24,85.

3. Considere la distribucion de frecuencia correspondiente al nivel de hemoglobina, en

gr/100ml, de 40 personas que aparece en la Tabla 1.14.

Nivel de Marca de la Frecuencia FrecuenciaHemoglobina Clase Absoluta mi ∗ fi Acumulada(gr/100 ml) (mi) ( fi) (Fi)[11.5 - 12.5) 12 2 24 2[12.5 - 13.5) 13 1 13 3[13.5 - 14.5) 14 6 84 9[14.5 - 15.5) 15 16 240 25[15.5 - 16.5) 16 9 144 34[16.5 - 17.5) 17 5 85 39[17.5 - 18.5) 18 1 18 40


Calcular la media aritmetica, la mediana y la moda.

Solucion:

Calculamos la media aritmetica:

X =

∑7i=1 mi ∗ fi∑7

i=1 fi=

24 + 13 + 84 + 240 + 144 + 85 + 1840

= 15,2

El promedio del nivel de hemoglobina de los 40 pacientes es de 15,2 gr/100ml.

Como los valores estan agrupados, para calcular la mediana se siguen los siguientes

pasos:

Primero se consigue la clase medianal, la cual es la clase que contenga el valor n/2

en la frecuencia acumulada:n2

=402

= 20


Clase Medianal: [14.5 - 15.5)

Luego utilizamos la siguiente formula:

X = LI +

n2 − Fam

fm∗Cm

Donde:

LI = Lımite inferior de la clase medianal

n = Numero total de datos

Fam = Frecuencia acumulada de la clase anterior a la clase medianal

fm = Frecuencia absoluta de la clase medianal

Cm = Amplitud de la clase medianal

Entonces tenemos que:

X = 14,5 +

402 − 916

∗ 1 = 15,1875

Aproximadamente el 50 % de las personas de ese grupo tienen la hemoglobina por

encima de los 15,1875 gr/100ml.

La Moda (Mo) de una serie de datos es el valor que mas se repite, es decir, el que

aparece con mayor frecuencia.

En este ejemplo, dado que se tiene clases en intervalos, la clase modal sera la que

tiene mayor frecuencia absoluta y la moda sera entonces la marca de la clase:

Clase modal: [14,5 - 15,5)

Mo = 15

Para este grupo de personas, lo mas comun es conseguir un valor de hemoglobina de

15 gr/100ml.

4. Calcular la media (X), la mediana (X) y la moda (Mo) de la distribucion de frecuen-

cias correspondiente al numero de materias inscritas en un grupo de 100 estudiantes

en cierto semestre.


Numero de Frencuencia FrecuenciaMaterias Absoluta Acumulada

1 15 152 16 313 30 614 25 865 9 956 5 100


Solucion:

Calculamos la media aritmetica:

X =1 ∗ 15 + 2 ∗ 16 + 3 ∗ 30 + 4 ∗ 25 + 5 ∗ 9 + 6 ∗ 5

100= 3,12

El promedio de materias inscritas por alumnos en el semestre es de 3,12 materias.

Calculamos la mediana:


2=


X =3 + 3

2= 3

El 50 % de los alumnos inscribieron menos de 3 materias en el semestre.

Calculamos la moda:

Mo = 3

Lo mas comun para ese grupo de 100 estudiantes es que inscribieran 3 materias para

el semestre.

5. Hallar la media, la mediana, la varianza y la desviacion estandar de los siguientes

datos:

5, 4, 7, 8, 3, 5, 8, 10, 6, 7


Solucion:


X =5 + 4 + 7 + 8 + 3 + 5 + 8 + 10 + 6 + 7

10= 6,3

Para calcular la mediana ordenamos los datos de forma ascendente:

3, 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 10

Calculamos la mediana:


2=


X =6 + 7

2= 6,5

La varianza, es una medida numerica de dispersion e indica el promedio de los

desvıos, elevada al cuadrado, de cada uno de los valores con respecto a la media.

La varianza poblacional se puede calcular mediante la ecuacion3 :

σ2 =

∑ni=1(Xi − X)2

N − 1

La varianza muestral, que constituye una estimacion de la varianza poblacional:

S 2 =

∑ni=1(Xi − X)2

n − 1

Para el ejemplo tenemos que:

σ2 =(3 − 6,3)2 + (4 − 6,3)2 + 2(5 − 6,3)2 + (6 − 6,3)2 + 2(7 − 6,3)2 + 2(8 − 6,3)2 + (10 − 6,3)2

10 − 1

σ2 =40,1

9= 4,4556

3 Donde N es el tamano de la poblacion


Como la varianza viene dada en unidades al cuadrado, para obtener el valor numerico

de la variacion promedio utilizamos la Desviacion Estandar, la cual es la raız cuadra-

da de la varianza:

σ =√σ2

O si se trata de la muestral:

S =√

S 2

Para este ejercicio tenemos:

σ =√σ2 =

√4,456 = 2,1108

Esto significa que en promedio, todos los valores estan alejados de su promedio con

una distancia de 2,1108.

6. En cierto poblado merideno, 20 estudiantes presentaron la prueba de la OPSU. Las

calificaciones obtenidas por este grupo se muestran en la Tabla 1.16. Clasifique las

notas en 4 clases. Hallar la media, la mediana, la varianza y la desviacion estandar.

74 80 65 85 95 72 76 72 93 8475 75 60 74 75 63 78 87 90 70

Tabla 1.16: Notas

Solucion:

La distribucion de frecuencia la podemos ver en la Tabla 1.17.

X =

∑4i=1 mi ∗ fi∑4

i=1 fi=

195 + 750 + 390 + 28520

= 78,5

La nota promedio de los 20 estudiantes en la prueba de la OPSU es de 78,5 puntos.

Calculamos la mediana:n2

=202

= 10


Notas Marca de la Frecuencia Frecuencia(Puntos) Clase Absoluta Acumulada mi ∗ fi

(mi) ( fi) (Fi)[60 - 70) 65 3 3 195[70 - 80) 75 10 13 750[80 - 90) 85 4 17 390[90 - 100) 95 3 20 285


Clase medianal: [70 - 80)

X = 70 +

202 − 310

∗ 10 = 77

Aproximadamente el 50 % de los 20 alumnos sacaron mas de 77 puntos en la prueba

de la OPSU.

Dado que los datos estan agrupados, calculamos la varianza utilizando la siguiente

ecuacion:

S 2 =

∑fiX2

i − (∑

fiXi)2∑

fi

(∑

Fi) − 1

S 2 =124900 − (1570)2

20

20 − 1= 87,10

La varianza o promedio de las desviaciones de los datos con respecto a su media

elevada al cuadrado es igual a 87,10 puntos2.

Calculamos la desviacion estandar:

S =√

S 2 =√

87,10 = 9,33

Aproximadamente la variacion promedio de las notas con respecto a la media (78,5

puntos) es de 9,33 puntos.


7. Demostrar cada una de las propiedades de la varianza y de la desviacion estandar.

Solucion:

Propiedad 1: La varianza y la desviacion estandar son no negativas, es decir σ2 ≥ 0

y σ ≥ 0.

La varianza siempre va a dar un numero positivo, ya que se trata de la suma de las

diferencias entre los valores y su media, elevados al cuadrado, y en tal sentido la

desviacion estandar tambien ya que es la raız cuadrada no negativa de la varianza.

Propiedad 2: Si cada uno de los datos X1, X2, . . ., Xn es igual a una constante k,

entonces la varianza σ2 y la desviacion estandar σ son iguales a cero.

Para demostrar esta propiedad utilizamos el siguiente conjunto de datos:

50, 50, 50, 50, 50, 50, 50, 50, 50, 50, 50, 50

X = 50

σ2 =

∑12i=1(50 − 50)2

12 − 1= 0

Si bien sabemos que la varianza es el promedio de los desvıo de los datos con respecto

a su media elevada al cuadrado, si todos los datos son iguales, no existe tal desvıo,

en tal sentido la varianza y la desviacion estandar son cero.

Propiedad 3: Si a cada uno de los datos originales se le suma un mismo numero real k,

(positivo o negativo), entonces la nueva coleccion de datos tienen la misma varianza

y desviacion estandar que los datos originales.

Para demostrar esta propiedad tenemos el siguiente conjunto de datos:

5, 6, 8, 4, 6, 8, 9, 5, 6

X =5 + 6 + 8 + 4 + 6 + 8 + 9 + 5 + 6

9= 6,3


σ2 =(5 − 6,3)2 + (6 − 6,3)2 + (8 − 6,3)2 + (4 − 6,3)2 + (6 − 6,3)2 + (8 − 6,3)2 + (9 − 6,3)2 + (5 − 6,3)2 + (6 − 6,3)2

9 − 1

σ2 = 2,75

σ =√σ2 =

√2,75 = 1,6583

Si le sumamos la constante k = 3, obtenemos el nuevo conjunto:

8, 9, 11, 7, 9, 11, 12, 8, 9

La nueva media aritmetica sera:

X =8 + 9 + 11 + 7 + 9 + 11 + 12 + 8 + 9

9= 9,3

σ2 =(8 − 9,3)2 + (9 − 9,3)2 + (11 − 9,3)2 + (7 − 9,3)2 + (9 − 9,3)2 + (11 − 9,3)2 + (12 − 9,3)2 + (8 − 9,3)2 + (9 − 9,3)2

9 − 1

σ2 = 2,75

σ =√

S 2 =√

2,75 = 1,6583

De esta manera se demuestra que si se suma una misma constante a todos los datos

la varianza y la desviacion estandar son la misma, esto es debido a que al sumar o

restar un mismo numero lo que se hace es desplazar los datos a la izquierda o a la

derecha, pero la distancia entre ellos sigue siendo la misma.

Propiedad 4: Si cada uno de los datos originales se multiplica por un mismo numero

real k, la varianza y la desviacion estandar de los nuevos datos vienen dados por

k2 ∗ σ2 y |k| ∗ σ, respectivamente.

Si consideramos los datos de la propiedad anterior y tomamos k = 10, tenemos que:

50, 60, 80, 40, 60, 80, 90, 50, 60


X =50 + 60 + 80 + 40 + 60 + 80 + 90 + 50 + 60

9= 63,33

σ2 =

∑9i=1(Xi − 63,333)2

9 − 1= 275

σ =√σ2 =

√275 = 16,583

O que es lo mismo:

σ2N = k2 ∗ σ2 = (10)2 + (2,75) = 275

σN = |k| ∗ σ = |10| ∗ (1,6583) = 16,583

8. Se mide la estatura, en metros, a diez mujeres y se obtienen los siguientes datos:

1.62 1.68 1.56 1.66 1.62 1.55 1.69 1.6 1.59 1.63

Tabla 1.18: Estatura en metros

Determine la media, la varianza y la desviacion estandar.

Solucion:


X =1,62 + 1,68 + 1,56 + 1,66 + 1,62 + 1,55 + 1,69 + 1,6 + 1,59 + 1,63

10= 1,62

El promedio de la estatura de las diez mujeres del grupo es de 1,62 metros.

Calculamos la varianza y la desviacion estandar:

S 2 =

∑10i=1(Xi − 1,62)2

10 − 1= 0,0022 metros2

S =√

S 2 =√

0,0022 = 0,0471 metros

La distancia promedio de las estaturas con respecto a la media (1,62 metros) es de

0,0471 metros.


Posteriormente a la evaluacion, se detecto que el instrumento de medicion tenıa una

falla que consistıa en aumentar la estatura de las mujeres en 3 centımetros; entonces

¿cuales son los valores reales de la media, varianza y desviacion estandar?

XN = X − 0,03 = 1,59 metros

S 2N = S 2 = 0,0022 metros2

S N = S = 0,0471 metros

9. Se sabe que el sueldo mensual promedio de los trabajadores de una empresa es de Bs.

F 654 y que la varianza y desviacion estandar de los sueldos son de 16900 (Bs. F)2

y 130 Bs. F respectivamente. Si hay un aumento del 8 % en los sueldos, ¿cual es el

nuevo sueldo mensual promedio y cual es la nueva varianza y la nueva desviacion

estandar?

En general, si el sueldo mensual promedio es X y la varianza S 2 y hay un aumento en

los sueldos del k %, ¿cual es el nuevo sueldo promedio y cual es la nueva varianza?

Solucion:

Si el aumento es del 8 % entonces es de Bs. F 52,32, en tal sentido la nueva media

sera:

XN = 654 + 52,32 = 706,32 Bs. F

La nueva varianza y desviacion estandar seguiran siendo las mismas antes del au-

mento del 8 %:

S 2N = S 2 = 16900 (Bs. F)2

S N = S = 130 Bs. F

En general, para un aumento del k % tenemos que:

XN = X +

(k

100

)∗ X


S 2N = S 2

S N = S

10. Una investigacion realizada en una fabrica sobre los costos de 4 tipos de productos,

arrojo como resultados que la fabrica gastaba en costos fijos un promedio de 100 Bs.

F por unidad, con una desviacion estandar de 20 Bs. F.

Si se produce un aumento del 100 % de los costos fijos. ¿Cuanto sera el gasto prome-

dio por unidad? ¿y cual sera la varianza?

Solucion:

Si se aumenta los costos fijos en un 100 % quiere decir que ahora cada unidad gasta

el doble de lo que gastaba originalmente, por medio de las propiedades de la media

aritmetica tenemos que la nueva media es:

XN = 2 ∗ X = 2 ∗ 100 = 200

Entonces el costo fijo por unidad es de 200 Bs. F.

Con respecto a la varianza tenemos que:

S 2 = (20)2 = 400 (Bs. F)2

Por propiedades, la varianza despues del aumento sera entonces:

S 2N = k2 ∗ S 2 = (2)2 ∗ (400) = 1600 (Bs. F)2

11. Las ventas diarias de una tienda durante 30 dıas, se presentan en la Distribucion de

Frecuencia de la Tabla 1.19.

a) Construir el histograma, polıgono de frecuencias, ojiva y ojiva porcentual.

b) Calcular la media, la moda, la varianza y la desviacion estandar de los datos.

c) Determinar entre cuales cantidades de Bs. F estuvieron las ventas por lo menos

el 60 % de los dıas.


d) Determinar aproximadamente el numero de dıas que se vendieron mas de 98

Bs. F.

Ventas Numero Marca de la Frecuencia Fri ∗ 100(Bs. F) de dıas Clase (mi) Acumulada (Fi)

[60 - 70) 3 65 3 10[70 - 80) 5 75 8 26.7[80 - 90) 6 85 14 46.7

[90 - 100) 6 95 20 66.7[100 - 110) 10 105 30 100


Solucion:

a) Graficamos y obtenemos el histograma y polıgono de frecuencia con la frecuen-

cia absoluta en la Figura 1.9.

55 65 75 85 95 105 1150

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Ventas (Bs. F)

Fre

cuen

cia

Abs

olut

a (f

i)

Figura 1.9: Histograma y Polıgono de Frecuencia

La Ojiva la podemos ver en la Figura 1.10 y la Ojiva Porcentual en la Figura

1.11.


55 65 75 85 95 1050

5

10

15

20

25

30

Ventas (Bs. F)

Fre

cuen

cia

Acu

mul

ada

(F

i)

Figura 1.10: Ojiva

55 65 75 85 95 1050

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Ventas (Bs. F)

Fre

cuen

cia

Rel

ativ

a A

cum

ulad

a *

100

Figura 1.11: Ojiva Porcentual

b) Calculamos la media:

X =3 ∗ 65 + 5 ∗ 75 + 6 ∗ 85 + 6 ∗ 95 + 10 ∗ 105

3 + 5 + 6 + 6 + 10= 90

El promedio de las ventas diarias de la tienda es de Bs. F 90, para la muestra de

30 dıas.


Calculamos la moda:

Clase modal: [100-110)

Mo = 105 Bs. F

El monto de las ventas mas comun de la tienda es de 105 Bs. F.

Calculamos la varianza:

S 2 =

∑fiX2

i − (∑

fiXi)2∑

fi

(∑

fi) − 1=

248580 − 729000030

30 − 1= 191,3793


S =√

S 2 =√

191,3793 = 13,8339

El promedio de los desvıos de las ventas con respecto a la media de 90 Bs. F,

es de 13,8339 Bs. F.

c) Para determinar entre cuales cantidades (en Bs. F) estuvo el 60 % de los dıas,

utilizamos la grafica de la ojiva porcentual (Figura 1.12).

55 65 75 85 95 1050

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Ventas (Bs. F)

Fre

cuen

cia

Rel

ativ

a A

cum

ulad

a *

100

Figura 1.12: Ojiva Porcentual


En el eje de las ordenadas, se busca el valor de 60 %, seguidamente se prolonga

una recta horizontal hasta la curva de la ojiva y luego se prolonga una recta

vertical hasta el eje de las abscisas, de esta manera encontramos el valor en Bs.

F en que esta el 60 %.

d) Para calcular el numero de dıas que se vendieron mas de 98 Bs. F utilizamos una

relacion de triangulos, tomamos una seccion de la ojiva y se obtiene el triangulo

de la Figura 1.13.

95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106

20

22

24

26

28

30

QM

A

C

Figura 1.13: Relacion de triangulos

AP

AB=

PQ

BC

98 − 95105 − 95

=M − 2030 − 20

Despejamos a M y tenemos:

M = 23

30 − 27 = 7 dıas

Aproximadamente 7 dıas se vendieron mas de 98 Bs. F.


1.3. Introduccion al Muestreo

El muestreo es una tecnica de la Estadıstica que se encarga de seleccionar una muestra

de una poblacion cualquiera, en esta seccion del capıtulo haremos una breve introduccion

al muestreo probabilıstico.

Existen dos tipos de muestreo:

Muestreo Probabilıstico: en este tipo de muestreo, se conoce de antemano la proba-

bilidad asociada a cada muestra posible.

Muestreo No Probabilıstico: puede ser: intencional, erratico, por comodidad, a con-

veniencia economica o administrativa y a juicio del investigador.

Dentro del Muestreo Probabilıstico existen varios tipos de muestreo, en esta seccion

veremos en que consisten algunos de ellos, junto con algunos ejericios.

1.3.1. Muestreo Simple Aleatorio

Una muestra aleatoria simple es la que resulta de aplicar un metodo por el cual todas las

muestras posibles de un determinado tamano tenga la misma probabilidad de ser elegidos.

Los elementos podran ser seleccionados de dos formas: con o sin reemplazo.

Muestreo con reemplazo: en el muestreo con reemplazo cada objeto elgido se devuelve

a la poblacion antes de escoger el siguiente. Se permite las repeticiones.

Muestreo sin reemplazo: en el muestreo aleatorio sin reemplazo de poblaciones finitas

o muestreo irrestricto aleatorio, el objeto que se escoge no se devuelve a la poblacion antes

de que el siguiente objeto sea escogido.


EJERCICIOS

1. Una poblacion esta conformada por el siguiente conjunto S = 4, 7, 10, siendo un

espacio equiprobable. Las muestras aleatorias de tamano 2 son elegidas con reem-

plazo.

a) Calcular la media poblacional µ y la desvacion estandar σ.

b) Hallar la distribucion de muestreo para la media muestral.

c) Calcular la media µX y la desviacion σX de X y comparlas con µ y σ.

Solucion:

a) Un espacio equiprobable significa que todos los elementos de S tienen la misma

probabilidad de ser seleccionados, para este caso cada uno tiene una probabili-

dad de 13 .

Calculamos la media poblacional:

µ =

3∑

i=1

Xi ∗ P(xi) = 4 ∗ 13

+ 7 ∗ 13

+ 10 ∗ 13

= 7

La media del conjunto S es 7.


σ =

√√3∑

i=1

(Xi − µ)2 ∗ P(xi)

σ =

√(4 − 7)2 ∗ 1

3+ (7 − 7)2 ∗ 1

3+ (10 − 7)2 ∗ 1

3

σ = 2,4495

b) Calculamos las medias muestrales, para ello primero seleccionamos las posibles

muestras y calculamos su media muestral, ver Tabla 1.20.

La Distribucion de la media muestral la podemos ver en la Tabla 1.21.


Muestra X = X1+X22

4,4 44,7 5,54,10 77,4 5,57,7 77,10 8,510,4 710,7 8,510,10 10

Tabla 1.20: Medias muestrales con reemplazo

X P(X)4 1/9

5.5 2/97 3/9

8.5 2/910 1/9

Tabla 1.21: Distribucion muestral con reemplazo

c) Calculamos la media y desviacion estandar muestral.

µX = E(X) =

5∑

i=1

X ∗ P(X)

µX = 4 ∗ 19

+ 5,5 ∗ 29

+ 7 ∗ 39

+ 8,5 ∗ 29

+ 10 ∗ 19

= 7

La media muestral es igual a 7.

σ =

√√5∑

i=1

(X − µX)2 ∗ P(X)

σ =

√(4 − 7)2 ∗ 1

9+ (5,5 − 7)2 ∗ 2

9+ (7 − 7)2 ∗ 3

9+ (8,5 − 7)2 ∗ 2

9+ (10 − 7)2 ∗ 1

9

σ = 1,7321


Realizamos la comparacion de la poblacional y con la muestral. Para el caso en

que el muestreo es aleatorio simple con reemplazo, se debe cumplir que:

µ = µX

σX =σ√

n


µ = µX = 7

σX =2,449√

2= 1,732

2. Las muestras aleatorias de tamano 2 se obtienen sin reemplazo de la poblacion S =

4, 7, 10, siendo un espacio equiprobable.

a) Calcular la media poblacional µ y la desvacion estandar σ.

b) Hallar la distribucion de muestreo para la media muestral.

c) Calcular la media µX y la desviacion σX de X y comparlas con µ y σ.

Solucion:

a) Para este ejemplo, la media y desviacion estandar poblacional son iguales a las

del ejercicio anterior.

µ = 4 ∗ 13

+ 7 ∗ 13

+ 10 ∗ 13

= 7

σ =

√(4 − 7)2 ∗ 1

3+ (7 − 7)2 ∗ 1

3+ (10 − 7)2 ∗ 1

3= 2,4495

b) Calculamos las medias muestrales, repetimos el procedimiento de calcular las

posibles muestras, sin reemplazo, y su media muestral, el resultado lo podemos

observar en la Tabla 1.22, y la Distribucion de la media muestral se muestra en

la Tabla 1.23.


Muestra X = X1+X22

4,7 5,54,10 77,4 5,57,10 8,510,4 710,7 8,5

Tabla 1.22: Medias muestrales sin reemplazo

X P(X)5.5 2/97 3/9

8.5 2/9

Tabla 1.23: Distribucion muestral sin reemplazo

c) Calculamos la media y desviacion estandar muestral.

µX = 5,5 ∗ 26

+ 7 ∗ 26

+ 8,5 ∗ 26

= 7

σ =

√(5,5 − 7)2 ∗ 2

6+ (7 − 7)2 ∗ 2

6+ (8,5 − 7)2 ∗ 2

6= 1,2247

Para el caso en que el muestreo aleatorio simple es sin reemplazo, se debe

cumplir que:

µ = µX

σX =σ√

n∗

√N − nN − 1


µ = µX = 7

σX =2,449√

2∗

√3 − 23 − 1

= 1,224

3. ¿Cuantos comites de 6 personas se pueden formar de un grupo de 30 personas, de los

cuales 10 son profesores y 20 son estudiantes de Sistemas? ¿cual sera la composicion

mas probable, solo alumnos, solo profesores o 3 alumnos y 3 profesores?


Solucion:

Para conocer la cantidad de comites de 6 personas que se pueden formar de un total

de 30 personas, utilizaremos Combinatoria, ya que el muestreo es sin reemplazo y

no importa el orden en que son seleccionados los miembros.

Por lo tanto tenemos que:

Comite de seis personas: (306

)= 593775

Se pueden formar 593775 combinaciones distintas de comites de 6 personas.

Solo alumnos: (206

)= 38760

Se pueden formar 38760 combinaciones distintas de comites con 6 alumnos de

los 20.

Solo profesores: (106

)= 210

Se pueden formar 210 combinaciones distintas de comites con 6 profesores de

los 10 disponibles.

Tres alumnos y tres profesores:(203

)(103

)= 136800

Se pueden formar 136800 combinaciones distintas de comites conformados por

3 profesores y tres alumnos.

Segun los calculos, es mas probable que el comite este conformado por 3 profesores

y 3 alumnos que si fuera solo conformado por alumnos o profesores.

4. Una variable aleatoria poblacional X tiene una media poblacional igual a 25 y

desviacion estandar poblacional igual a 4 ¿cuales son la media y la desviacion


estandar de la media muestral X para variables aleatorias de tamano 6 obtenidas con

reemplazo y sin reemplazo, si el tamano de la poblacion es 100?

Solucion:

Con reemplazo: µ = 25 y σ = 4

µX = µ = 25

σX =σ√

n=

4√6

= 1,6330

Sin reemplazo: µ = 25 ; σ = 4 y N = 100

µX = µ = 25

σX =σ√

n∗

√N − nN − 1

=4√6∗

√100 − 6100 − 1

= 1,5912

1.3.2. Muestreo Sistematico

Este tipo de muestreo se utiliza cuando la poblacion es de gran tamano o se extiende en

el tiempo, y consiste en ir seleccionando cada observacion usando un sistema o una regla.

Para utilizarlo, primero se ordenan las unidades de la poblacion, luego se divide la

poblacion en n grupos iguales de tamano k, de tal forma que:

k =Nn

Siendo k el periodo que se utiliza para dividir la poblacion en n grupos.

Luego se selecciona un numero al azar del primer grupo (de 1 a k) y luego se selecciona

sucesivamente los elementos que ocupen la misma posicion.

EJERCICIOS


1. Sean las unidades U(i) = i con i = 1, 2, ...,N, y N = 12. Por medio del muestreo

sistematico seleccione una muestra de tamano 4.

Solucion:

k =Nn

=124

= 3 periodos

Escogemos un numero aleatorio de 1 a k, es decir, de 1 a 3, y seleccionamos el

numero 2.Grupo 1︷︸︸︷

1 2 3

Grupo 2︷︸︸︷4 5 6

Grupo 3︷︸︸︷7 8 9

Grupo 4︷︸︸︷10 11 12

U(2) = 2

U(2+k) = U(2+3) = U(5) = 5

U(2+2k) = U(2+2∗3) = U(8) = 8

U(2+3k) = U(2+3∗3) = U(11) = 11

2. Se desea obtener una muestra de 10 suscriptores telefonicos en una poblacion de

1000 habitantes. Realice la recoleccion por medio del muestreo sistematico.

Solucion:

k =Nn

=100010

= 100 periodos

El numero aleatorio de 1 a 100 que escogemos es el numero 44, entonces tenemos

que los suscriptores seleccionados segun su numero de inscripcion son:

44, 144, 244, 344, 444, 544, 644, 744, 844 y 944

1.3.3. Muestreo por Conglomerados

Cuando la poblacion se encuentra dividida de manera natural en grupos, y se suponen

que estos grupos tienen todos la misma variabilidad de la poblacion, puede seleccionarse


solo algunos de esos grupos o conglomerados para realizar el estudio, y dentro de cada

conglomerado, se selecciona al azar una muestra de sus individuos.

EJERCICIOS

1. Se desea realizar una encuesta a los duenos de restaurantes. Como zona de estudio se

toma el centro de la ciudad, la cual posee 7 calles. Si en total hay 55 restaurantes en

la zona, ¿como se realizarıa el muestro por medio del muestreo por conglomerados?

Solucion:

La zona de estudio se divide en 7 conglomerados que son las 7 calles, luego por

medio del muestreo aleatorio simple se seleccionan 4 calles:

S = 1, 4, 5, 7

Luego de escoger las calles se procede a realizar las encuentas a la totalidad de restau-

rantes que se encuentran en las calles mencionadas.

2. Se quiere estudiar el tiempo que los estudiantes de secundaria de todos los liceos

de la ciudad de Merida dedican a navegar por Internet, y se desea seleccionar una

muestra de trescientos estudiantes.

Solucion:

Primero seleccionamos al azar unas cuantas parroquias de la ciudad de Merida (con-

glomerado = parroquias).

Dentro de cada parroquia seleccionamos al azar algunos liceos de secundaria (con-

glomerados = liceos).

Ahora dentro de cada liceo seleccionamos al azar algunas secciones de clases (con-

glomerados = secciones de clases).

Ya dentro de las secciones seleccionadas, y a partir de la lista de clases, selec-

cionamos una muestra (por medio del muestreo aleatorio simple sin reemplazo) de

estudiantes.


Por ultimo, unimos las muestras obtenidas en cada seccion de clases, y de esta manera

obtenemos la muestra global.

1.3.4. Muestreo Estratificado

Una muestra aleatoria estratificada es la obtenida mediante la division de la poblacion

en subpoblaciones denominadas estratos, en la cual, dentro de cada estrato se selecciona en

forma independiente una muestra aleatoria simple sin reemplazo.

La media poblacional esta dada por la siguiente ecuacion

µ =1N

L∑Niyi

y la muestral del i-esimo estrato se muestre en la formula:

µX =

n∑

j=1

Yi j

ni

La varianza poblacional y muestral son:

σ2 =1

N2

L∑

i=1

N2i

(Ni − ni

Ni

) (S 2

i

ni

)

S 2i =

∑Y2

i j − (∑

Yi j)2

ni

ni − 1

Donde:

N = Tamano de la muestra

L = Numero de estratos


Ni = Tamano del i-esimo estrato i = 1, 2, . . . , L

ni = Tamano de la muestra

EJERCICIOS

1. La produccion de lechoza por arbol en cierta region estan mostrados en la Tabla 1.24.

Los arboles de las tres ultimas filas son mas jovenes que los otros. Estime la cosecha

media de la poblacion por arbol, basado en muestras estratificadas de tamano 6 para

el estrato de las primeras 5 filas y de tamano 2 de el estrato de las ultimas 3 filas.

7 8 5 6 6 10 7 65 4 4 7 6 6 3 84 7 8 10 8 4 6 66 4 6 4 8 7 9 86 3 9 9 7 8 11 96 3 4 3 5 2 4 35 3 3 4 5 4 3 44 5 4 3 3 4 3 6

Tabla 1.24: Produccion de lechoza por arbol

Solucion:

Tenemos que:

El tamano poblacional del estrato 1 es N1 = 40, y el tamano poblacional del estrato 2

es N2 = 24; los tamanos muestrales de los estratos 1 y 2 son 6 y 2, respectivamente.

Para seleccionar los 6 y 2 arboles necesarios, utilizamos el muestreo aleatorio simple

sin reemplazo, lo que nos da:

Estrato 1 = 11, 3, 9, 10, 8, 7 Estrato 2 = 6, 2

La media muestral de los estratos 1 y 2 son:

µX1 =11 + 3 + 9 + 10 + 8 + 7

6= 8


µX2 =6 + 2

2= 4

Por lo tanto tenemos que la media poblacional de produccion de lechozas por arbol

es:

µ =1N

L∑Niyi =

4064∗ 8 +

2464∗ 4 = 6,5

1.4. Ejercicios Propuestos

1. Dada la siguiente distribucion de frecuencia para la variable edad (en anos) de cierta

poblacion, construya el histograma de frecuencia relativa.

Edad (Anos) Frecuencia Absoluta[0 - 4) 12[4 - 9) 12

[9 - 14) 12[14 - 19) 10[19 - 24) 10[24 - 29) 8[29 - 34) 8[34 - 39) 6[39 - 44) 5[44 - 49) 3[49 - 54) 4[54 - 59) 3[59 - 64) 264 y mas 5


2. La duena de una pequena fabrica de dulces andinos, quiere saber como se comportan

las ventas diarias durante algunos meses de temporada alta (Julio, Agosto y Septiem-

bre).

Para lograr esto, ella tomo nota de las ventas diarias duranete esos meses y obtuvo

los siguientes datos:


Ventas (Bs. F) Frecuencia Absoluta[75 - 85) 7[85 - 95) 6

[95 - 105) 10[105 - 115) 22[115 - 125) 12[125 - 135) 8[135 - 145) 12[145 - 155) 15


a) Elabore el histograma y polıgono de frecuencia.

b) Calcule la media aritmetica, moda, varianza y desviacion estandar.

c) ¿Que porcentaje de las ventas estuvieron por debajo de 125 Bs. F?

d) ¿Que tipo de muestreo le recomendarıa a la duena para conocer el compor-

tamiento de las ventas en un ano?

3. Dado el Histograma de la Figura 1.14.

12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 250

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Temperatura en ºC

Fre

cuen

cia

Abs

olut

a (

fi)



a) Calcule la media y la desviacion estandar.

b) ¿Que porcentaje de dıas la temperatura estuvo entre 18.5 y 20.5oC?

4. Dada las edades de 100 personas censadas en cierta poblacion en la Tabla 1.27.

0 1 40 71 30 16 7 19 41 022 28 47 2 0 17 32 22 10 423 5 24 11 5 44 7 35 48 626 14 35 9 61 3 20 33 10 3975 15 32 24 28 5 50 12 14 8551 9 8 21 54 25 18 15 32 2016 3 14 14 56 59 16 89 2 318 24 65 19 53 13 21 39 37 301 11 57 31 6 64 43 35 7 51 44 8 30 25 29 13 26 4 20

Tabla 1.27: 100 edades

a) Construya la distribucion de frecuencia con las siguientes caracterısticas:

i. 15 intervalos.

ii. Marca de la clase.

iii. Frecuencia absoluta.

iv. Frecuencia relativa.

v. Frecuencia acumulada.

vi. Frecuencia relativa acumulada.

b) Calcular la media y desviacion estandar, ¿que significa estos valores?

c) ¿Que porcentaje de personas son menores de edad?

d) ¿Que proporcion de personas son de la tercera edad (de 65 anos en adelante)?

5. El siguiente histograma indica el numero de personas que tienen cierta cantidad de

hijos.


1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Número de hijos

Fre

cuen

cia

Abs

olut

a (

fi)


a) ¿Que porcentaje de personas tienen mas de 7 hijos?

b) Calcule la media de las personas que tienen 5 o mas hijos.

c) Grafique la Ojiva.

6. La siguiente distribucion de frecuencias muestra los espesores (en pulgadas) de re-

cipientes de acero, hallar la media aritmetica, la mediana, la moda y la desviacion

estandar.

Espesor (pulgadas) Frecuencia Absoluta[0.307 - 0.310) 3[0.310 - 0.314) 5[0.314 - 0.318) 5[0.318 - 0.322) 22[0.322 - 0.326) 14[0.326 - 0.330) 1



7. Calcule la varianza a partir de los siguientes datos:

138,2 195,8 124,5 101,7 137,1 130,3110,0 101,4 104,5 128,5 135,5 197,5159,6 140,7 103,2 134,3 191,0 180,6189,9 186,3 116,4 155,3 146,6 199,1188,4 113,8 121,9 135,7 142,6 125,6

Tabla 1.29: Datos

8. Suponga que se quiere obtener una lista de 12 estudiantes entre los 1400 de cierta

facultad utilizando muestreo sistematico. Seleccione la muestra.

9. Una poblacion esta conformada por el conjunto S = 3, 4, 6, 7, 9, siendo un espacio

equiprobable. Se toman muestras aleatorias de tamano 2 sin reemplazo, determine:

a) La media y desviacion estandar poblacional.

b) La distribucion muestral para la media muestral.

c) Calcular la media y la desviacion estandar muestral y compararlas con la pobla-

cional.

Capıtulo 2

Teorıa de la Probabilidad

La Teorıa de probabilidad son leyes matematicas que modelan la aleatoriedad; en este

capıtulo estudiaremos las nociones basicas de la probabilidad, sus axiomas, sus teoremas,

probabilidad condicional e independiencia.

2.1. Teorıa de Conjuntos

Antes de comenzar con la teorıa de probabilidad, es conveniente realizar un breve repa-

so de la Teorıa de Conjuntos con una serie de ejercicios que nos ayudara a comprender los

temas posteriores.

La Teorıa de Conjuntos es una parte de las matematicas que estudia los conjuntos;

dichos conjuntos son colecciones de objetos, entes o cantidades.

EJERCICIOS

1. Se lanza un dado y una moneda (ambos son correctos) al mismo tiempo y escribimos

el resultado.

54

CAPITULO 2. TEORIA DE LA PROBABILIDAD 55

a) Exprese el espacio muestral.

b) Exprese explıcitamente los siguientes sucesos:A = que salga un numero par y selloB = que salga un numero primo y caraC = que salga un numero impar

c) Expresar explıcitamente los siguientes sucesos:

i) A o B ocurren.

ii) B y C ocurren.

iii) Solo ocurra A.

Solucion:

a) El espacio muestral del lanzamiento de una moneda y un dado es:

S = C1,C2,C3,C4,C5,C6, S 1, S 2, S 3, S 4, S 5, S 6

b) Para esta parte del problema establecemos los puntos muestrales de cada uno

de los eventos, de la siguiente manera:

A = que salga un numero par y selloA = S 2, S 4, S 6B = que salga un numero primo y caraB = C2,C3,C5C = que salga un numero imparC = C1,C3,C5, S 1, S 3, S 5

c) Para esta parte definimos los sucesos conformados por la union, complemento

o interseccion entre los eventos:

A o B ocurran:A ∪ B = S 2, S 4, S 6,C2,C3,C5B y C ocurran:B ∩C = C3,C5Solo ocurra A:ABcCc = S 2, S 4, S 6


2. Sean los sucesos A, B y C, experimentos aleatorios. Exprese las siguientes proposi-

ciones verbales en notacion de conjuntos.

a) Exactamente uno de los 3 ocurre.

b) Al menos dos ocurren.

c) No ocurre mas de 2 sucesos juntos.

d) Exactamente dos ocurren

Solucion:

Para realizar la notacion en conjunto hacemos uso de las intersecciones, uniones y

complementos de los eventos1 .

a) Exactamente uno de los 3 ocurre:(ABcCc) ∪ (AcBCc) ∪ (AcBcC)

b) Al menos uno ocurre:A ∪ B ∪C

c) No ocurre mas de 2 sucesos juntos:[(ABcCc) ∪ (AcBCc) ∪ (AcBcC)] ∪ [(ABCc) ∪ (ABcC) ∪ (AcBC)]

d) Exactamente dos ocurren:(ABCc) ∪ (ABcC) ∪ (AcBC)

3. Sean los sucesos A y B. Hallar una expresion y dibujar un Diagrama de Venn para

los dos sucesos:

Que ocurra A pero no B;

Que ocurra B;

Que ocurra A y B;

Ninguno de los 2.

Solucion:1 Debemos aclarar que las expresiones desarrolladas para este ejemplo y los siguientes no son las uni-

cas existentes, el estudiante debe tratar de desarrollar otras expresiones que representen estas proposicionesverbales.


Los Diagramas de Venn se utilizan para representar conjuntos y las relaciones en-

tre ellos, estos son de gran utilidad al momento de representar la ocurrencia de los

sucesos, ya que de una forma visual facilitan la compresion de la teorıa de conjuntos.

Para este ejercicio realizamos el diagrama de la siguiente manera: los dos eventos

se representan por medio de elipses dentro de una caja que representa el espacio

muestral S , una vez representados se rellena de color verde (para este ejemplo) el

suceso solicitado.

Ocurra A pero no B:A ∩ Bc

A B

Ocurra B:B

BA

Ocurre A y B:A ∩ B

A B


Ninguno de los 2:(A ∪ B)c

BA

4. Se lanzan dos dados al mismo tiempo y se anotan los resultados. Hallar el numero de

elementos de cada uno de los siguientes sucesos.

a) A = los dos numeros son iguales

b) B = la suma es 8 o mas

c) C = sale 1 en el segundo dado

Solucion:

El espacio muestral (S ) del lanzamiento de dos dados simultaneamente esta mostrado

en la Figura 2.1.

1 2 3 4 5 60

1

2

3

4

5

6

7

Primer dado

Seg

undo

dad

o

(1,1)

(1,2)

(1,3)

(1,4)

(1,5)

(1,6)

(2,1)

(2,2)

(2,3)

(2,4)

(2,5)

(2,6)

(3,2)

(3,3)

(3,4)

(3,5)

(3,6)

(3,1) (4,1)

(4,2)

(4,3)

(4,4)

(4,5)

(4,6)

(5,1)

(5,2)

(5,3)

(5,4)

(5,5)

(5,6)

(6,1)

(6,2)

(6,3)

(6,4)

(6,5)

(6,6)

Figura 2.1: Espacio Muestral del lanzamiento de 2 dados


A partir de este espacio muestral se crean los elementos que pertenecen a cada suceso

pedido, por lo tanto tenemos:

a) Definimos el suceso A:A = los dos numeros son igualesA = (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5)

b) Definimos el suceso B:B = la suma es 8 o masB = (2, 6), (3, 5), (3, 6), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 2), (6, 3)(6, 4), (6, 5), (6, 6)

c) Definimos el suceso C:C = sale 1 en el segundo dadoC = (1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1), (6, 1)

5. Un ingeniero contrato a un grupo de estudiantes para realizar una encuesta entre 1000

suscriptores de un periodico, preguntando por su estado civil, sexo, y nivel educativo.

Los alumnos entregaron los siguientes resultados:

312 hombres

470 casados

525 bachilleres

42 hombres bachilleres

147 bachilleres casados

86 hombres casados

25 bachilles hombres casados

El ingeniero reviso los resultados y lo devolvio a los estudiantes diciendoles que ellos

habıan inventado los datos, pues no eran consistentes. ¿Se equivoco el ingeniero?.

Solucion:

Para sacar conclusiones sobre el informe, se utiliza el Diagrama de Venn. Definimos

los siguientes sucesos:

Hombre = H

Casados = C


Bachilleres = B

Para identificar los eventos y la cantidad de elementos que tiene que cada uno, se

comienza por el evento donde ocurren los 3 sucesos es decir, bachilleres hombres y

casados, los cuales son 25; a partir de aca se rellena los espacio donde ocurren dos

eventos, por ejemplo, el evento hombre-bachiller tiene 42 elementos, si le restamos

los 25 que estan en los 3 eventos nos queda entonces 17, y asi sucesivamente con el

resto de los eventos; el diagrama queda como muestra la Figura 2.2.

1

B

61 17

25

262122

61

209

C

H

Figura 2.2: Diagrama de Venn

Si sumamos todos los elementos de los eventos y sus combinaciones da un total de

1057 personas, si en teorıa se encuestaron a 1000 personas, esto quiere decir que el

ingeniero tenıa razon y los estudiantes inventaron los datos.

6. Compruebe las leyes de Morgan: Si An para n ≥ 1 en cualquier sucesion de conjun-

tos, entonces:

a) (∪An)c = (∩Acn)

b) (∩An)c = (∪Acn)


Solucion:

Establecemos los eventos A y B para demostrar las leyes y su respectivo diagrama

de Venn lo podemos observar en la Figura 2.3.

A = 100, 200 B = 200, 300

1

AB

200100 300

400


(A ∪ B)c = 400(Ac ∩ Bc) = 400

1

AB

(A ∩ B)c =

100 + 300 + 400 = 800(Ac ∪ Bc) =

(300 + 400) ∪ (100 + 400)= 800

1

AB


2.2. Teorıa de Probabilidad

Como se dijo al principio de este capıtulo, la teorıa de probabilidad es el modelo

matematico de un fenomeno aleatorio.

Las probabilidades son numeros que reflejan la posibilidad de ocurrencia de hechos o

sucesos bajo ciertas condiciones.

La probabilidad se usa ampliamente en en la ciencia, planificacion estrategica, control

de procesos y la filosofıa, esto con el fin de sacar conclusiones sobre la ocurrencia de

algunos sucesos.

EJERCICIOS

1. Supongamos que se elige aleatoriamente a un estudiante de entre 80, de los cuales se

sabe que 30 estudian Estocastica 1, 20 estudian programacion 3 y 10 estudian ambas

asignaturas. Hallar la probabilidad p de que el alumno este estudiando Estocastica 1

o Programacion 3.

Solucion:

muestra = n = 80 estudiantes

Estocastica 1 (E) = 30 alumnos

Programacion 3 (P) = 20 alumnos

Probabilidad de que el alumno estudie Estocastica 1:

P(E) =# Estudiantes de Estocastica 1

Total de Estudiantes=

3080

Probabilidad de que el alumno estudie Programacion 3:

P(P) =# Estudiantes de Programacion 3


2080


Probabilidad de que el alumno estudie Estocastica 1 y Programacion 3:

P(E ∩ P) =# Estudiantes de Estocastica 1 y Programacion 3


1080

Entonces tenemos que la probabilidad de que el estudiante estudie Estocastica 1 o

Programacion 3 es de:

P(E ∪ P) = P(E) + P(P) − P(E ∩ P) =3080

+2080− 10

80= 0,5

2. Tres caballos A, B y C estan en una carrera; A tiene el doble de posibilidades de ganar

que B y B tiene el doble de posibilidades que C. Hallar las respectivas probabilidades

de ganar de cada caballo.

Solucion:

El caballo que tiene menos posibilidades de ganar es el caballo C, a este le asignamos

una probabilidad p cualquiera:P(C) = p

Si B tiene el doble de posibilidad de ganar que C, entonces tenemos:P(B) = 2P(C) = 2p

Y por ultimo, si A tiene el doble de posibilidades de ganar que B, tenemos:P(A) = 2P(B) = 4p

Si la probabilidad del suceso seguro es 1, entonces tenemos que el suceso seguro

“gana alguno de los caballos” es igual a 1:

P(A) + P(B) + P(C) = 1

4p + 2p + p = 1

p =17

Sustituimos el valor de p en las probabilidades y tenemos que:

P(A) =47

; P(B) =27

; P(C) =17


3. Suponga que A y B son 2 sucesos para los cuales P(A) = X; P(B) = Y y P(A∩B) = Z.

Exprese las siguientes probabilidades en terminos de X, Y y Z.

a) P(Ac ∪ Bc)

b) P(Ac ∩ B)

c) P(Ac ∪ B)

d) P(Ac ∩ Bc)

Solucion:

Sabemos que: P(A) = X ; P(B) = Y y P(A ∩ B) = Z.

Utilizamos el Diagrama de Venn:

a) P(Ac ∪ Bc):

(Ac ∪ Bc) = (A ∩ B)c

P(Ac ∪ Bc) = P(A ∩ B)c

P(Ac ∪ Bc) = 1 − P(A ∩ B)P(Ac ∪ Bc) = 1 − Z

1

AB

b) P(Ac ∩ B):

P(Ac ∩ B) = P(B)− P(A∩ B)P(Ac ∩ B) = Y − Z

BA


c) P(Ac ∪ B):

P(Ac ∪ B) = P(Ac) + P(A∩ B)P(Ac∪B) = 1−P(A)+P(A∩B)P(Ac ∪ B) = 1 − X + Z

BA

d) P(Ac ∩ Bc):

(Ac ∩ Bc) = (A ∪ B)c

P(Ac ∩ Bc) = P(A ∪ B)c

P(Ac ∩ Bc) = 1 − P(A)−−P(B)+ P(A∩B)

P(Ac ∪ Bc) = 1 − X − Y + Z

BA

4. A, B y C son tres sucesos tales que P(A) = P(B) = P(C) = 14 ; P(A ∩ B) = 1

8 ,

P(A ∩ B) = P(C ∩ B) = 0. Calcule la probabilidad de que al menos uno de los 3

sucesos A, B o C ocurra.

Solucion:

La probabilidad de que ocurra A o B o C se puede calcular por medio del siguiente

Teorema:

P(A ∪ B ∪C) = P(A) + P(B) + P(C) − P(AB) − P(AC) − P(BC) − P(ABC)

Dibujamos el Diagrama de Venn de este caso para conocer los valores de las proba-

bilidades:


B

C

A

1/8

1/8

1/8

1/4


Sustituimos y tenemos:

P(A ∪ B ∪C) =14

+14

+14

+14− 0 − 1

8− 0 − 0 =

58

5. Un minorista vende solamente dos marcas de televisores y segun sus registros de

ventas, ambos tienen la misma demanda. Cuatro clientes entran uno tras otro a la

tienda para comprar un televisor. El minorista se interesa en las preferencias de sus

clientes.

a) Establezca las posibilidades con respecto a la distribucion de las preferencias

entre los cuatro clientes (es decir, obtenga el espacio muestral).

b) Asigne las probabilidades a los puntos muestrales.

c) Sea A el evento de que los cuatro clientes prefieren una misma marca de televi-

sor. Encuentre P(A).

Solucion:

a) Designamos las siguientes nomenclaturas:

Marca 1 = 1 y Marca 2 = 2

2 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 2 = 24 = 16 puntos muestrales


S = 1111, 1112, 1121, 1211, 2111, 1122, 2211, 2121, 1212, 1221, 2112, 1222,

2122, 2212, 2221, 2222

b) P(cada punto muestral) = 116

c) A = los cuatros clientes prefieren el mismo equipoP(A) = P(1111 o 2222) = 1

16 + 116 = 1

8

6. Demostrar que si A y B son sucesos independientes, entonces Ac y Bc tambien son

sucesos independientes.

Solucion:

Si Ac y Bc son sucesos independientes, entonces se debe cumplir que:

P(Ac ∩ Bc) = P(Ac) ∗ P(Bc)

Tenemos por la Ley de Morgan: (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc:

P(A ∪ B)c = P(Ac ∩ Bc)

P(Ac ∩ Bc) = 1 − P(A ∪ B)

P(Ac ∩ Bc) = 1 − [P(A) + P(B) − P(A ∩ B)]

P(Ac ∩ Bc) = 1 − P(A) − P(B) + P(A ∩ B)

P(Ac ∩ Bc) = 1 − P(A) + P(B) − P(A) ∗ P(B)

P(Ac ∩ Bc) = 1 − P(B) − P(A) ∗ [1 − P(B)]

P(Ac ∩ Bc) = P(Bc) − P(A) ∗ P(Bc)

P(Ac ∩ Bc) = P(Bc) ∗ [1 − P(A)]

P(Ac ∩ Bc) = P(Bc) ∗ P(Ac)

Por lo tanto queda demostrado que Ac y Bc son independientes.


2.3. Teorıa Combinatoria

Esta teorıa es aplicable cuando enumerar los puntos muestrales directamente no es posi-

ble ni practico, es mayormente usada para resuelve problemas que aparecen al estudiar,

cuantificar y formar conjuntos.

Esta teorıa maneja dos principios de conteo: el principio de multiplicidad y el principio

de la suma.

2.3.1. Principio de Multiplicidad

Si un suceso puede ocurrir de n1 maneras diferentes, un segundo suceso de n2 maneras

diferentes, un tercero de n3 maneras, etc., el suceso compuesto por los sucesos 1, 2, 3,...,

puede ocurrir de n1 ∗ n2 ∗ n3 ∗ ... maneras diferentes.

EJERCICIOS

1. Un equipo de baseball esta compuesto por 9 jugadores. ¿De cuantas maneras puede

elegirse un presidente, un secretario y un capitan para el equipo?

Solucion:

Para este caso importar el orden en que son seleccionados los nombres de los ju-

gadores, ya que el primero seleccionado sera el presidente, el segundo seleccionado

sera el secretario y por ultimo el tercero sera capitan, por lo tanto tenemos que:

n1 ∗ n2 ∗ n3 maneras diferentes de escoger presidente, secretario y capitan

9 * 8 * 7 = 504 maneras

Se puede escoger de 504 maneras diferentes, los tres representantes del equipo de

baseball.


2. Un examen consta de 5 preguntas del tipo verdadero o falso. ¿De cuantas maneras

diferentes puede contestarse el examen?

Solucion:

Son 5 preguntas y cada una tiene dos posibles soluciones, tenemos entonces:

2 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 2 = 32 posibles soluciones

3. ¿Cuantos numeros de 3 cifras distintas se pueden formar con las 9 cifras significativas

del sistema decimal?

Solucion:

Para este caso importa y ademas dice que son cifras distintas, significa que no pueden

repetirse, por lo que usamos el principio de la multiplicidad:

9 ∗ 8 ∗ 7 = 504

Se pueden formar 504 numeros.

2.3.2. Principio de la Suma

Suponga un suceso 1 que puede ocurrir de n1 maneras diferentes y otro suceso 2 que

puede ocurrir de n2 maneras diferentes. Si no es posible que los 2 sucesos ocurran si-

multaneamente, habra n1 + n2 formas de ocurrir el suceso 1 o 2.

EJERCICIOS

1. Suponga que se puede viajar un dıa a 2 sitios, a la montana o a la playa. A la montana

se puede ir de 3 maneras: a pie, en teleferico o en vehıculo; y a la playa se puede ir

de 4 maneras: en vehıculo, en bus, en moto o en bibicleta. ¿cuantas formas de viajar

hay para ese dıa?

Solucion:


maneras de ir a la montana + maneras de ir a la playa

n1 + n2 = 3 + 4 = 7 maneras

Se puede puede viajar ese dıa de 7 maneras diferentes.

2.3.3. Permutaciones

Consideremos n objetos diferentes, una permutacion de los n elementos es cualquier

arreglo diferente que se puede obtener de ellos intercambiando su orden.

nPn = n ∗ (n − 1) ∗ (n − 2) ∗ . . . ∗ (2) ∗ (1) = n!

Ahora bien, si se quiere ordenar k de los n objetos en lınea, se tiene que hay n maneras

de escoger el primnero, n − 1 maneras de escoger el segundo,. . ., y finalmente n − k + 1

maneras de escoger el k-esimo; por lo tanto el numero de arreglos es:

nPk = n ∗ (n − 1) ∗ (n − 2) ∗ . . . ∗ (n − k + 1) =n!

(n − k)!

EJERCICIOS

1. Sean las letras A, B, C, D y E. Queremos saber cuantos posibles permutaciones de 3

letras pueden formarse.

Solucion:

n = numero de letras = 5

k = numero de letras a formar = 3

nPk =n!

(n − k)!=⇒ 5P3 =

5!(5 − 3)!

= 60

Se pueden realizar 60 permutaciones de 3 letras con las 5 letras disponibles.


2. Con los siguiente sımbolos griegos: Ω β λ β ∆ Ω ρ λ λ ρ β α ¿cuantas permuta-

ciones se puede formar?

Solucion:

En este caso no todos los elementos son diferentes entre sı, para ello utilizamos la

siguiente formula:n!

n1! ∗ n2! ∗ ... ∗ nk!

n = 12 :

Ω→ n1 = 2

β→ n2 = 3

λ→ n3 = 3

∆→ n4 = 1

α→ n5 = 1

ρ→ n6 = 2

12!2! ∗ 3! ∗ 3! ∗ 1! ∗ 1! ∗ 2!

= 3326400 permutaciones

3. ¿Cuantas secuencias pueden obtenerse al lanzar 20 veces una moneda, que tengan 6

caras y 14 sellos?

Solucion:

En este caso tambien tenemos repeticiones, por lo tanto tenemos:

20!6! ∗ 14!

= 38760

Existen 38760 secuencias con 6 caras y 14 sellos.


2.3.4. Combinaciones

Se define como combinacion de tamana k a todo subconjunto de k elementos que

pueden formarse de un conjunto de n elementos diferentes. Para este caso no se tomara en

cuenta el orden de los elementos.

El numero de subconjuntos de k elementos, escogidos de un conjunto de n elementos

se calcula de la siguiente manera:(nk

)=

n!k!(n − k)!

EJERCICIOS

1. En un salon de clases hay 25 estudiantes y se desea seleccionar una comision de 5

personas para organizar cierto evento. ¿Cuantas comisiones se pueden formar?

Solucion:

Para este caso no importa el orden en que son seleccionados los estudiantes que

conformaran la comision, por lo tanto tenemos:(255

)= 53130 combinaciones

Se pueden formar 53130 comisiones de 5 alumnos diferentes entre los 25 disponibles.

2. ¿Cual sera la combinacion mas probable de una comision de 4 miembros escogidos

al azar entre 22 mujeres y 18 hombres?

Solucion:

Debemos probar todas las combinaciones posibles:

Conformado por 4 mujeres:(224

)= 7315 comisiones


Conformado por 3 mujeres y 1 hombre:(223

)∗(181

)= 27720 comisiones

Conformado por 2 mujeres y 2 hombres:(222

)∗(182

)= 35343 comisiones

Conformado por 1 mujer y 3 hombres:(221

)∗(183

)= 17952 comisiones

Conformado por 4 hombres:(184

)= 3060 comisiones

Segun los resultados obtenidos, es mas probable formar una comision de 2 mujeres

y 2 hombres.

2.4. Probabilidad Condicional

Se le llama probabilidad condicional a la probabilidad de que ocurra un evento

cualquiera, dado que ya ha ocurrido otro evento previamente.

Definicion:

Sean los eventos A y B pertenecientes al espacio muestral S y tal que P(B) > 0. La

probabilidad condicional del suceso A, cuando ha ocurrido el suceso B es:

P(A/B) =P(A ∩ B)

P(B)

EJERCICIOS


1. Se arroja un par de dados y se suman los numeros que aparecen. Si se sabe que la

suma de ambos numeros fue 6, ¿cual es la probabilidad de que un dado haya caido

en 2?

Solucion:

El espacio muestral (S ) esta conformado por 36 elementos, que son los resultados

del lanzamiento de dos dados. Ahora definimos los sucesos:

A = un dado cayo por 2.

A = (1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(2,4),(4,2),(2,5),(5,2),(2,6),(6,2)P(A) = 11

36

B = la suma fue 6.

B = (1,5),(5,1),(3,3),(2,4),(4,2)P(B) = 5

36

Definimos el conjunto donde los elementos de B forman parte de A:

A ∩ B = la suma es 6 y uno de los dados es 2.

A ∩ B = (2,4),(4,2)P(A ∩ B) = 2

36

Calculamos la probabilidad condicional:

P(A/B) =P(A ∩ B)

P(B)=

236536

=25

2. En una caja hay 2 bolas azules y 3 bolas rojas. Se va a sacar al azar una bola, la cual

sera dejada fuera de la caja. Despues se sacara al azar otra bola de la caja. Calcular:

a) P(A ∩ R)

b) P(A ∩ A)

c) P(R ∩ A)

d) P(R ∩ R)


Solucion:

A = la bola es azul ; R = la bola es roja

Podemos utilizar los diagramas de arbol para este problema, el cual lo podemos ver

en la Figura 2.5.

2 azules

3 rojas

R

R

R

A2/5

3/5

1/4 A

2/4

2/4

A

3/4

Figura 2.5: Diagrama de Arbol

Utilizando el diagrama de arbol tenemos las siguientes probabilidades:

P(1era fue A) = P(A) =25

P(1era fue R) = P(R) =35

P(A dado que la 1era fue A) = P(A/A) =14

P(R dado que la 1era fue A) = P(R/A) =34

P(A dado que la 1era fue R) = P(A/R) =24

P(R dado que la 1era fue R) = P(R/R) =24

Buscamos las probabilidades pedidas:


a) P(A ∩ R):

P(A ∩ R) = P(A) ∗ P(R/A) =25∗ 3

4=

620

b) P(A ∩ A):

P(A ∩ A) = P(A) ∗ P(A/A) =25∗ 1

4=

220

c) P(R ∩ A):

P(R ∩ A) = P(R) ∗ P(A/R) =35∗ 2

4=

620

d) P(R ∩ R):

P(R ∩ R) = P(R) ∗ P(R/R) =35∗ 2

4=

620

3. Una encuesta entre los consumidores en una comunidad particular mostro que el

10 % quedaron inconformes con los trabajos de plomerıa efectuado en sus casas. La

mitad de las quejas se referıan al plomero A. Encuentre las siguientes probabilidades

si el plomero A realiza el 40 % de los trabajos de plomerıa en la ciudad:

a) De que el consumidor reciba un trabajo de plomerıa que no le satisfaga dado

que se trata del plomero A.

b) De que el consumidor reciba un trabajo de plomerıa satisfactorio, dado que se

trata del plomero A.

Solucion:

Definimos los siguientes eventos y sus probabilidades:

I = Inconformes→ P(I) = 0,10Ic = Satisfechos→ P(Ic) = 0,90A = El plomero A realiza el trabajo→ P(A) = 0,40Ac = El plomero A no realiza el trabajo→ P(Ac) = 0,60

P(I ∩ A) =0,10

2 = 0.05

a) El consumidor reciba un trabajo de plomerıa que no le satisfaga:

P(I/A) =P(I ∩ A)

P(A)=

0,050,4

= 0,125


La probabilidad de que un cliente no este satisfecho con el trabajo hecho dado

que lo realizo el plomero A es del 12,5 %.

b) El consumidor reciba un trabajo de plomerıa satisfactorio:

P(Ic/A) =P(Ic ∩ A)

P(A)=

0,350,4

= 0,875

Por el contrario, la probabilidad de que un cliente si este satisfecho con el tra-

bajo hecho, dado que lo realizo el plomero A es del 87,5 %.

4. En la Facultad de Ingenierıa el 25 % de los alumnos retiro Calculo 10, el 15 % Sis-

temas de Representaciones 10 y el 10 % retiro ambas. Se elige un alumno al azar.

a) Si el alumno retiro Sistemas de Representaciones 10, ¿cual es la probabilidad

de que retiro Calculo 10?

b) Si retiro Calculo 10, ¿cual es la probabilidad de que retiro Sistemas de Repre-

sentaciones 10?

c) ¿Cual es la probabilidad de que retiro Calculo o Sistemas de Representaciones?

d) ¿Cual es la probabilidad de que el alumno no hubiera retirado ninguna?

Solucion:

C = Retiro de Calculo 10P(C) = 0,25

S = Retiro de Sistemas de Representaciones 10P(S ) = 0,15

C ∩ S = Retiro Calculo y Sistemas de RepresentacionesP(C ∩ S ) = 0,10

a) La probabilidad de que retiro Calculo 10, dado que retiro Sistemas de Repre-

sentaciones es:

P(C/S ) =P(C ∩ S )

P(Q)=

0,100,15

= 0,6667


b) La probabilidad de que retiro Sistema de Representaciones 10, dado que retiro

Calculo 10 es:

P(S/C) =P(Q ∩C)

P(C)=

0,100,25

= 0,4

c) La probabilidad de que retiro Calculo o Sistema de Representaciones es:

P(C ∪ S ) = P(C) + P(S ) − P(C ∩ S ) = 0,25 + 0,15 − 0,10 = 0,3

d) La probabilidad de que el alumno no hubiera retirado ninguna es:

P(C ∪ S )c = 1 − P(C ∪ S ) = 1 − 0,3 = 0,7

5. Sean X, Y y Z tres monedas de una caja. Suponga que X es una moneda correcta, Y

es una moneda con 2 caras y Z esta hecha de tal forma de que la probabilidad de que

salga cara es 13 . Se escoge una moneda al azar.

a) Hallar la probabilidad de que salga cara.

b) Si sale cara, hallar la probabilidad de que sea de la moneda no trucada X.

c) Si sale sello, hallar la probabilidad de que sea la moneda Z.

Solucion:

1/3

X

1/2 C

1/2 S

1/3Y

1C

S0

1/3

Z

1/3 C

2/3 S



a) La probabilidad de que salga cara es:

P(C) =13∗ 1

2+

13∗ 1 +

13∗ 1

3=

1118

b) La probabilidad de que sea la moneda X dado que salio cara es:

P(X/C) =P(X ∩C)

P(C)=

13 ∗ 1

21118

=3

11

c) La probabilidad de que sea la moneda Z dado que salio sello es:

P(Z/S ) =P(Z ∩ S )

P(S )=

13 ∗ 2

2

1 − 1118

=47

6. Se tienen tres cajas: I = tiene 2 bolas blancas y 4 rojasII = tiene 8 bolas blancas y 4 rojasIII = tiene 1 bola blanca y 3 rojas

Se saca una bola al azar de cada caja. Si se sabe que 2 de esas bolas fueron blancas,

¿Cual es la probabilidad de que la bola sacada de la caja II haya sido blanca?

Solucion:

2 blancas4 rojas

I II

8 blancas4 rojas

1 blanca3 rojas

IIIP(B) = 1/4P(R) = 3/4

P(B) = 8/12P(R) = 4/12

P(B) = 2/6P(R) = 4/6

Figura 2.7: Distribucion de las bolas en las cajas

Definimos el espacio muestral S y los eventos:


S = BBB, BBR, BRB, RBB, BRR, RBR, RRB, RRR

A = 2 bolas son blancas → A = BBR, BRB, RBBB = la bola sacada de II sea blanca → B = BBB, BBR, RBB, RBR

A ∩ B = 2 bolas blancas y la bola de la caja II es blanca → A ∩ B = BBR, RBB

Calculamos las probabilidades:

P(A) = P(BBR) o P(BRB) o P(RBB)

P(A) =26∗ 8

12∗ 3

4+

26∗ 4

12∗ 1

4+

46∗ 8

12∗ 1

4=

1136

P(A ∩ B) = P(BBR) o P(RBB)

P(A ∩ B) =26∗ 8

12∗ 3

4+

46∗ 8

12∗ 1

4=

518

P(B/A) =P(A ∩ B)

P(B)=

5/1811/36

=1011

La probabilidad de que la bola de la segunda caja sea blanca dado que se sabe que

salieron dos blancas es del 90,90 %.

2.5. Independencia de eventos

Los sucesos A y B de un espacio muestral S , son independientes si la ocurrencia de uno

de ellos no influye o afecta la ocurrencia del otro.

A y B son independientes si y solo si:

P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(B) ; siendo P(A) > 0 ; P(B) > 0


A partir de la definicion podemos decir que:

P(A/B) =A ∩ BP(B)

= P(A)

Esto es debido a que, no importa que previamente ocurriera B, su ocurrencia no afecta

en nada la probabilida de ocurrencia de A.

Tambien se cumple de forma viceversa:

P(B/A) =A ∩ BP(A)

= P(B)

Tambien se puede comprobar la independencia para mas de dos sucesos, por ejemplo,

tres sucesos son independiente si se cumplen todas las condiciones siguientes:

P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(B)

P(A ∩C) = P(A) ∗ P(C)

P(B ∩C) = P(B) ∗ P(C)

P(A ∩ B ∩C) = P(A) ∗ P(B) ∗ P(C)

EJERCICIOS

1. En una caja hay 2 bolas azules y 3 bolas rojas. Se va a sacar 1 bola al azar, la cual

sera metida nuevamente a la caja antes de sacar una segunda bola de la caja. Calcular:

a) P(A ∩ R).

b) P(A ∩ A).

c) P(R ∩ A).

d) P(R ∩ R).

Solucion:

Desarrollamos el diagrama de arbol del problema:


2 azules3 rojas

A

R

R

A

R

A

2/5

3/5

3/5

2/5

2/5

3/5


a) P(A ∩ R):

P(A ∩ R) = P(A) ∗ P(R/A) =25∗ 3

5=

625

P(A ∩ R) = P(A) ∗ P(R) =25∗ 3

5=

625

b) P(A ∩ A):

P(A ∩ A) = P(A) ∗ P(A/A) =25∗ 2

5=

425

P(A ∩ A) = P(A) ∗ P(A) =25∗ 2

5=

425

c) P(R ∩ A):

P(R ∩ A) = P(R) ∗ P(A) =35∗ 2

5=

625

d) P(R ∩ R):

P(R ∩ R) = P(R) ∗ P(R) =35∗ 3

5=

925

2. Dado el circuito de la Figura 2.9. La probabilidad de cerrar los capacitores 1,2,3 y 4

es p. Si todos los capacitores funcionan independientemente, ¿cual es la probabilidad

que pase corriente de A a B?


A B

1 2

3 4

Figura 2.9: Circuito

Solucion:

Definimos los eventos:C = pase corriente por 1 y 2 D = pase corriente por 3 y 4

Por lo tanto tenemos:

P(C ∪ D) = P(C) + P(D) − P(C ∩ D)

P(C ∪ D) = P(1 ∩ 2) + P(3 ∩ 4) − P(1 ∩ 2 ∩ 3 ∩ 4)

P(C ∪ D) = P(1) ∗ P(2) + P(3) ∗ P(4) − P(1) ∗ P(2) ∗ P(3) ∗ P(4)

P(C ∪ D) = p ∗ p + p ∗ p − p ∗ p ∗ p ∗ p = 2p2 − p4

2.6. Teorema de Bayes

Ahora bien, en esta seccion introduciremos un nuevo concepto que es el Teorema de

Bayes, este teorema es el resultado que da la distribucion de probabilidad condicional de


un suceso Bi dado A (P(Bi/A)), en terminos de la distribucion de probabilidad condicional

de A dado Bi (es decir, lo contrario a lo pedido P(A/Bi)) y la distribucion de probabilidad

total de A (P(A)).

P(Bi/A) =P(A ∩ Bi)

P(A)=

P(Bi)P(A/Bi)P(B1)P(A/B1) + P(B2)P(A/B2) + . . .

EJERICICIOS

1. Con respecto al Ejercicio 5 de la seccion anterior, resuelva los ıtems b) y c) por medio

del Teorema de Bayes.

Solucion:

P(X/C) =P(X) ∗ P(C/X)

P(X) ∗ P(C/X) + P(Y) ∗ P(C/Y) + P(Z) ∗ P(C/Z)=

13 ∗ 1

213 ∗ 1

2 + 13 ∗ 1 + 1

3 ∗ 13

P(X/C) =3

11

P(Z/S ) =P(Z) ∗ P(S/Z)

P(X) ∗ P(S/X) + P(Y) ∗ P(S/Y) + P(Z) ∗ P(S/Z)=

13 ∗ 2

313 ∗ 1

2 + 13 ∗ 0 + 1

3 ∗ 23

P(Z/S ) =47

Observamos que los resultados son exactamente iguales a los obtenidos anterior-

mente por meido de probabilidad condicional.

2. Una empresa de manufactura emplea 3 planes analıticos para el diseno y desarrollo de

un producto especıfico. Por razones de costos, los 3 planes se utilizan en momentos

diferentes, de hecho, los planes 1, 2 y 3 se utilizan respectivamente, para el 30, 20 y

50 % de los productos. La tasa de defectuosos es diferente para los 3 procedimientos,

es decir:

P(D/P1) = 0,01 ; P(D/P2) = 0,03 ; P(D/P3) = 0,02


Si se observa un producto al azar y esta defectuoso ¿cual fue el plan que se uso con

mayor probabilidad y fue el responsable?

Solucion:

Para resolver este problema debemos calcular la probabilidad de que dado que el

producto esta defectuoso, cual fue el plan responsable, para ello calculamos las tres

probabilidades condicionales:

P(P1/D) =P(P1) ∗ P(D/P1)

P(P1) ∗ P(D/P1) + P(P2) ∗ P(D/P2) + P(P3) ∗ P(D/P3)

P(P1/D) =0,0030,019

= 0,1579

P(P2/D) =P(P2) ∗ P(D/P2)


P(P2/D) =0,060,019

= 0,3158

P(P3/D) =P(P3) ∗ P(D/P3)


P(P3/D) =0,010,019

= 0,5263

Segun estos resultados, el Plan 3 deberıa ser el responsable ya que su probabilidad

de ser utilizado fue del 52,63 %.

3. Se tienen dos cajas, una caja I contiene 2 bolas blancas y tres bolas negras y una caja

II contiene 4 bolas blancas y tres negras. Se saca una bola al azar de la caja I y sin

verla se coloca en la caja II. A continuacion se saca una bola de II y resulta ser negra.

¿Cual es la probabilidad de que la bola pasada de la caja I a la II fuese blanca?

Solucion:

Definimos los sucesos:


A = la bola pasada de I a II es blancaB = la bola pasada de I a II es negraC = la bola sacada de II es negra

Por Bayes tenemos:

P(A/C) =P(A) ∗ P(C/A)

P(B) ∗ P(C/B) + P(A) ∗ P(C/A)

P(A/C) =

25 ∗ 3

835 ∗ 4

8 + 25 ∗ 3

8

=13

La probabilidad de que la bola pasada de I a II, dado que se sabe que la bola sacada

posteriormente de II es negro, es del 33,33 %.

4. En una tienda trabajan 3 cajeras: Marıa, Ana y Gabriela. Marıa atiende el 40 % de

los clientes, Ana el 35 % y Gabriela el 25 %.

Cuando atiende Marıa hay un 2 % de probabilidad de que cobre mal, cuando lo hace

Ana hay un 1 % y si cobra Gabriela hay un 3 % de probabilidad de que se equivoque.

Un cliente se quejo diciendo que le cobraron mal.

¿Cual es la probabilidad de que lo atendiera Gabriela?

Solucion:

Definimos los eventos y el diagrama de arbol del problema (Figura 2.10):

C = se realizo un mal cobroM = fue atendido por MarıaA = fue atendido por AnaG = fue atendido por Gabriela

Utilizando el Teorema de Bayes:

P(G/C) =P(G) ∗ P(C/G)

P(M) ∗ P(C/M) + P(A) ∗ P(C/A) + P(G) ∗ P(C/G)

P(G/C) =0,25 ∗ 0,03

0,4 ∗ 0,02 + 0,35 ∗ 0,01 + 0,25 ∗ 0,03= 0,3947


0,4

MC’

0,35A

C

C’

0,25

G

C

C’

C

P(C/A) = 0,01

P(C/M) = 0,02

P(C/G) = 0,03


La probabilidad de que el cliente fuera atendido por Gabriela dado que le cobraron

mal, es del 39,47 %.


1. Dado el conjunto A = a, b, c, liste todos los posibles subconjuntos de A.

2. Una fabrica produce cierto artıculo, y diariamente se realiza un experimento que

consiste en examinar cada uno de los artıculos producidos (uno tras otro) para veri-

ficar su calidad. Una vez examinado, los artıculos se dividen en dos, “BUENOS” o

“DEFECTUOSOS”. El experimento termina cuando se encuentra el primer artıculo

defectuoso. Determine el espacio muestral.

3. Un experimento aleatorio consiste en registrar la nota en Estocastica 1 de cierto alum-


no.

a) ¿Cual es el espacio muestral?

b) Defina los siguiente sucesos:

A = el alumno tiene por lo menos quince puntosB = el alumno es reprobado en el examenC = el alumno tiene como maximo 16 puntos

4. Considere el espacio muestral S = cobre, sodio, nitrogeno, potasio, uranio, oxıgeno,

zinc, y los eventos:A = cobre, sodio, zincB = sodio, nitrogeno, potasioC = oxıgeno

Liste los elementos y dibuje el diagrama de Venn de los conjuntos que corresponden

a los siguientes eventos:

a) Ac

b) (A ∩ Bc) ∪Cc

c) (Ac ∪ Bc) ∩ (Ac ∩C)

5. Una caja contiene A bolas numeradas del 1 a A. Designe N como el numero de

bolas de cierto color, donde N ≤ A. Sea una muestra de tamano n extraıda con o

sin reemplazo (en cuyo caso n ≤ A). Encuentre la probabilidad de que la muestra

contenga exactamente k bolas de ese color para cada caso.

6. ¿Cual es la probabilidad de sacar dos bolas azules de una caja que contiene 15 bolas

blancas y 12 azules, sin reemplazar la bola extraıda?

7. Una bolsa contiene 12 bolas blancas y 8 negras. Si se sacan dos bolas al azar. ¿Cual

es la probabilidad de que sean del mismo color?

8. Un inspector visita 6 maquinas diferentes durante el dıa. A fin de impedir que los

operadores sepan cuando inspecionara, varıa el orden de las visitas. ¿De cuantas


maneras lo puede hacer?. Si de 6 maquinas puede visitar solamente 3, ¿de cuantas

maneras lo puede hacer?

9. La Escuela de Sistemas cuenta con 37 profesores, ¿de cuantas maneras podemos

escoger un Director y 3 Representantes Profesorales?

10. ¿Cuantos diptongos posibles se pueden encontrar en la literatura castellana, con vo-

cales diferentes?

11. La probabilidad de que un artıculo provenga de una fabrica A es de 0,3; y la proba-

bilidad de que provenga de otra fabrica B es de 0,7. Se sabe que la fabrica A produce

4 por mil artıculos defectuosos y la B produce 8 por mil.

a) Se observa un artıculo y se ve que esta defectuoso. ¿Cual es la probabilidad de

que provenga de la fabrica B?

b) Se pide un artıculo a una de las dos fabricas, elegida al azar. ¿Cual es la proba-

bilidad de que este defectuoso?

c) Se piden 5 artıculos a la fabrica A. ¿Cual es la probabilidad de que haya alguno

defectuoso?

12. Hay una extrana enfermedad que solo afecta a 1 de cada 500 personas. Se dispone de

una prueba para detectarla. Un resultado correcto positivo (un paciente que realmente

tiene la enfermedad) ocurre 95 % de las veces; en tanto un resultado positivo falso (un

paciente que no tiene la enfermedad) ocurre 1 % de las veces. Si se somete a prueba

una persona elegida al azar, y el resultado es positivo, ¿cual es la probabilidad de que

la persona tenga la enfermedad?

13. Una companıa constructora emplea a 2 ingenieros de ventas. El ingeniero 1 hace el

trabajo de estimar costos en 70 % de las cotizaciones solicitadas en la empresa. El

ingeniero 2 lo hace para el 30 % de tales cotizaciones. Se sabe que la tasa de error

para el ingeniero 1 es tal que 0.02 es la probabilidad de un error en el trabajo; del


ingeniero 2 es de 0.04. Suponga que llega una solicitud de cotizacion y ocurre un

error grave al estimar los costos. ¿que ingeniero supondrıa usted que hizo el trabajo?

14. En una bolsa A hay 2 bolas amarillas y 4 rojas. En una bolsa B hay 5 amarillas y 3

rojas. Se extrae una bola de A y se introduce en B sin verla. Luego se saca una bola

de B. Calcular:

a) La probabilidad de que haya pasado bola roja de A a B, si la bola extraıda de B

es amarilla.

b) La probabilidad de que haya pasado bola amarilla de A a B, si la bola extraıda

de B es amarilla.

15. Sea S = a; b; c; d un espacio muestral con los eventos elementales equiprobables.

Los eventos A = a; b, B = a; c y C = a; d ¿son independientes?

Capıtulo 3

Variable Aleatoria Unidimensional

Una Variable Aleatoria de un espacio muestral S es la regla que asigna un valor numeri-

co a cada resultado de S . Esta siempre es denotada con letras mayusculas.

Las variables aleatorias pueden ser discretas o continuas.

Una variable aleatoria es discreta si su conjunto de valores posibles es un conjunto

discreto, es decir, toma un numero finito de valores numerables.

Una variable aleatoria continua toma un valor infinito de valores no numerables, es

decir, su conjunto de posibles valores es todo un intervalo de numeros.

3.1. Distribucion de Probabilidad de una Variable Aleato-

ria Discreta

Una Distribucion de Probabilidades es el modelo que describe los resultados de un

experimento con las respectivas probabilidades que se espera ver.

91

CAPITULO 3. VARIABLE ALEATORIA UNIDIMENSIONAL 92

Para construir la distribucion de probabilidad de una variable aleatoria discreta tenemos

que, la probabilidad de que X tome el valor x, es decir P(X = x), se define como la suma

de las probabilidades de todos los puntos muestrales de S que tiene asignado el valor X.

EJERCICIOS

1. Suponga que se lanza una moneda 2 veces, y el espacio muestral es S = CC, CS,

SC, SS. Siendo X el numero de caras que pueden salir. Encuentre la distribucion de

probabilidad correspondiente a la variable aleatoria X.

Solucion:

Lo primero que debemos hacer es asociar los puntos muestrales de S a numeros,

siendo X el numero de caras que pueden salir:

Punto muestral CC CS SC SSX 2 1 1 0

Tabla 3.1: Asignacion de valores a X

Calculamos la probabilidad para cada valor que puede tomar X:

P(CC) =12∗ 1

2=

14→ P(X = 2) =

14

P(CS ) =12∗ 1

2=

14→ P(X = 1) =

14

P(S C) =12∗ 1

2=

14→ P(X = 1) =

14

P(S S ) =12∗ 1

2=

14→ P(X = 0) =

14

Con estos datos construimos la distribucion de probabilidad, la cual esta conforma-

da por la variable aleatoria discreta X y su respectiva probabilidad, ya calculadas

previamente:


X 0 1 2p(x) 1

424

14

Tabla 3.2: Distribucion de probabilidad

2. Un supervisor de una fabrica tiene 3 hombres y 3 mujeres trabajando para el. Desea

elegir 2 trabajadores para una labor especial y decide seleccionar al azar para no

introducir ningun sesgo en su seleccion. Sea X el numero de mujeres en su seleccion.

Encuentre la distribucion de probabilidad para X.

Solucion:

Asignamos a cada suceso un valor numerico:

Ninguna mujer→ X = 0

Una mujer→ X = 1

Dos mujeres→ X = 2

Calculamos las probabilidades para cada uno de los valores de X:

P(X = 0) =

(30

)(32

)

(62

) =3

15

P(X = 1) =

(31

)(31

)

(62

) =9

15

P(X = 2) =

(32

)(30

)

(62

) =3

15



X 0 1 2p(x) 0,2 0,6 0,2


3. En el caso de lanzar 3 monedas y registrar el numero de caras que aparecen. Calcular:

a) P(2 < X ≤ 3)

b) P(2 ≤ X ≤ 3)

c) P(2 < X < 3)

d) P(2 ≤ X < 3)

Solucion:

El espacio muestral del experimento aleatorio: lanzamiento de 3 monedas y su dis-

tribucion se probabilidad se muestran a continuacion en la Tabla 3.4. Ademas se

muestra la funcion de distribucion del problema (F(x)), la cual es la acumulada de la

distribucion de probabilidad (p(x)).

S = CCC,CCS ,CS C, S CC,CS S , S CS , S CC, S S S

X 0 1 2 3p(x) 1

838

38

18

F(x) 18

48

78 1

Tabla 3.4: Distribucion de Probabilidad y Funcion de Distribucion

a) P(2 < X ≤ 3):

P(2 < X ≤ 3) = P(X ≤ 3) − P(X ≤ 2)

P(2 < X ≤ 3) = F(3) − F(2)

P(2 < X ≤ 3) = 1 − 78

=18


b) P(2 ≤ X ≤ 3):

P(2 ≤ X ≤ 3) = F(3) − F(2) + p(2)

P(2 ≤ X ≤ 3) = 1 − 78

+38

=12

c) P(2 < X < 3):

P(2 < X < 3) = F(3) − F(2) − p(3)

P(2 < X < 3) = 1 − 78− 1

8= 0

d) P(2 ≤ X < 3):

P(2 ≤ X < 3) = F(3) − F(2) + p(2) − p(3)

P(2 ≤ X < 3) = 1 − 78

+38− 1

8=

38

4. La funcion de distribucion de una variable aleatoria X esta definido ası:

F(x) = 0 si X < −2

F(x) = 12 si − 2 ≤ X < 0

F(x) = 34 si 0 ≤ X < 2

F(x) = 1 si X ≥ 2

Calcule:

a) P(X ≤ 2)

b) P(X < 0)

c) P(0 < X ≤ 2)

d) P(1 ≤ X ≤ 2)

Solucion:

Graficamos la distribucion de probabilidad (Figura 3.1) y la funcion de distribucion

(Figura 3.2):


−2 −1 0 1 2 X

0.8

0.6

0.4

0.2

p(x)

Figura 3.1: Distribucion de Probabilidad

−2 −1 0 1 2

0.5

0.75

1.0

F(x)

X

Figura 3.2: Funcion de Distribucion

a) P(X ≤ 2) = 1

b) P(X < 0) =34

c) P(0 < X ≤ 2) = F(2) − F(0) = 1 - 34 =

14

d) P(1 ≤ X ≤ 2) = F(2) − F(1) + p(1) = 1− 34 + 0 =

14


5. Suponga que se va a lanzar un par de dados balanceados y la variable aleatoria X

denota la suma de los puntos.

a) Obtenga la distribucion de probabilidad para X.

b) Encuentre la funcion de distribucion F(x) para la variable aleatoria X.

c) Elabore una grafica de esta funcion.

Solucion:

a) Describimos el espacio muestral en la Tabla 3.5:

Par∑

Par∑

Par∑

Par∑

Par∑

Par∑

(1,1) 2 (2,1) 3 (3,1) 4 (4,1) 5 (5,1) 6 (6,1) 7(1,2) 3 (2,2) 4 (3,2) 5 (4,2) 6 (5,2) 7 (6,2) 8(1,3) 4 (2,3) 5 (3,3) 6 (4,3) 7 (5,3) 8 (6,3) 9(1,4) 5 (2,4) 6 (3,4) 7 (4,4) 8 (5,4) 9 (6,4) 10(1,5) 6 (2,5) 7 (3,5) 8 (4,5) 9 (5,5) 10 (6,5) 11(1,6) 7 (2,6) 8 (3,6) 9 (4,6) 10 (5,6) 11 (6,6) 12

Tabla 3.5: Puntos muestrales

Por lo tanto tenemos la distribucion de probabilidad en la Tabla 3.6:

X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12f (x) 1

36236

336

436

536

636

536

436

336

236

136

Tabla 3.6: Distribucion de Probabilidad


b) La funcion de distribucion F(x) se muestra a continuacion:

F(x) =

0 para X < 2136 para 2 ≤ X < 3336 para 3 ≤ X < 4636 para 4 ≤ X < 61036 para 5 ≤ X < 61536 para 6 ≤ X < 72136 para 7 ≤ X < 82636 para 8 ≤ X < 93036 para 9 ≤ X < 103336 para 10 ≤ X < 113536 para 11 ≤ X < 12

1 para X ≥ 12

c) La grafica de la funcion de distribucion (F(x)) se muestra en la Figura 3.3:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

X

F(x

)



3.2. Distribucion de Probabilidad de una Variable Aleato-

ria Continua

En el caso de una variable aleatoria continua X, la distribucion de probabilidad es la

integral de la funcion de densidad.

EJERCICIOS

1. Sea X una variable aleatoria continua con la funcion de densidad de probabilidad

dada por:

f (x) =

3x2 si 0 ≤ X ≤ 1

0 en cualquier otro punto

Encontrar F(x) y graficar f (x) y F(x).

Solucion:

Graficamos la funcion de probabilidad f (x) (Figura 3.4):

−1 0 1

2

1

3

f(x)

X



Calculamos F(x):

F(x) =

∫ x

−∞f (t)dt

F(x) =

∫ x

03t2dt = x3

Por lo tanto podemos observar la funcion de distribucion junto con su grafica a con-

tinuacion:

F(x) =

x3 si 0 < X < 1

1 si X ≥ 1

−1 0 1

1

F(x)

X


2. Dada la funcion de probabilidad:

f (x) =

cx2 si 0 < X < 3


a) Encuentre la constante c.

b) Calcule P(1 < X < 3).

c) Encuentre la funcion de distribucion.

Solucion:


a) Sabemos que:

F(x) =

∫ ∞

−∞f (x)dx = 1


F(x) =

∫ 3

0ct2dt = 1

Integramos la distribucion de probabilidad f (x) e igualamos a 1, se despeja c y

tenemos que:

c =19

Sustituimos en la distribucion de probabilidad y obtenemos:

f (x) =

x2

9 si 0 < X < 3


b) Utilizando la distribucion de probabilidad calculamos P(1 < X < 3):

P(1 < X < 3) =

∫ 2

1

x2

9dx =

727

c) La funcion de distribucion se debe calcular segun los intervalos en que

esta definida, de la siguiente manera:

Para (−∞ ; 0):

f (x) = 0

F(x) = 0

Para [0 ; 3):

f (x) =x2

9

F(x) = F(0) +

∫ x

0

t2

9dt = 0 +

x3

27=

x3

27

Para [3 ;∞):

f (x) = 0

F(x) = F(3) +

∫ x

30dt = 1


Por lo tanto tenemos que la funcion de distribucion es la siguiente:

F(x) =

0 si X < 0x3

27 si 0 ≤ X < 3

1 si X ≥ 3

3. La vida de cierto dispositivo electronico, medida en unidades de 1000 horas, esta da-

da por la ley:

f (x) = e−x paraX > 0

El costo de producir el dispositivo es 5 UM y el precio de venta es 15 UM. El vende-

dor promete devolver el dinero si el dispositivo dura funcionando menos de 600

horas.

Sea G la ganancia obtenida por el fabricante cuando vende un dispositivo. Obtenga

la distribucion de G.

Solucion:

Si el dispositivo dura menos de 600 horas la ganancia serıa entonces de -5,

definimos a la variable X:

X =600 horas

1000 horas= 0,6

Y su probabilidad sera entonces de:

P(X < 0,6) =

∫ 0,6

0e−xdx = 0,45

Si el dispositivo dura mas de 600 horas la ganancia serıa entonces de 10 y su

probabilidad sera entonces de:

P(X ≥ 0,6) = 1 − P(X < 0,6) = 1 − 0,45 = 0,55

La distribucion de probabilidad de G se observa en la Tabla 3.7:


G -5 10P(G) 0.45 0.55

Tabla 3.7: Distribucion de probabilidad de la Ganancia

4. Sea X una variable aleatoria continua con la siguientes distribucion

f (x) =

x6 + k si 0 ≤ X ≤ 3

0 por otra parte

a) Evaluar k.

b) Hallar P(1 ≤ X ≤ 2).

Solucion:

a) Otra manera de calcular el valor de k, diferente al caso anterior, es por medio de

areas, en la Figura 3.6 observamos la grafica de la distribucion de probabilidad

y se trata de un trapecio, el area de total de ese trapecio debe ser igual a 1.

1 2 30

0.5

kbn

X

f(x)

k +

bm

h


El area del trapecio es:

A =(bm + bn) ∗ h

2= 1


Sustituimos y despejamos a k:

( 12 + k + k) ∗ 3

2= 1→ k =

112

Por lo tanto tenemos que la distribucion es la siguiente:

f (x) =

x6 + 1

12 si 0 ≤ X ≤ 3

0 por otra parte

b) P(1 ≤ X ≤ 2):

P(1 ≤ X ≤ 2) =

∫ 2

1f (x)dx =

∫ 2

1

(x6

+1

12

)dx =

13

5. La variable aleatoria continua X esta distribuida ası:

f (x) =

ax 0 ≤ X ≤ 1

a 1 < X ≤ 2

−ax + 3a 2 < X ≤ 3

0 cualquier otro valor

a) Encuentre el valor de la constante a.

b) Determine F(x) y grafiquela. Grafique tambien f (x).

c) Si se hacen 3 observaciones independientes de la variable X, ¿cual es la proba-

bilidad de que exactamente una de ellas sea mayor que 1,5?

Solucion:

a) Calculamos el valor de la constante a igualando a uno, ya que es el area total

bajo la curva:∫ 1

0(ax)dx +

∫ 2

1(a)dx +

∫ 3

2(−ax + 3a)dx = 1

a =12



f (x) =

x2 0 ≤ X ≤ 112 1 < X ≤ 2

− x2 + 3

2 2 < X ≤ 3

0 cualquier otro valor

b) Calculamos la funcion de distribucion (F(x)):

Para (−∞; 0):

f (x) = 0

F(x) = 0

Para [0 ; 1]:

f (x) =x2

F(x) = F(0) +

∫ x

0f (t)dt

F(x) = 0 +

∫ x

0

t2

dt

F(x) =x2

4

Para (1 ; 2]:

f (x) =12

F(x) = F(1) +

∫ x

1f (t)dt

F(x) =(1)2

4+

∫ x

1

12

dt

F(x) =x2− 1

4

Para (2 ; 3]:

f (x) = − x2

+32

F(x) = F(2) +

∫ x

2f (t)dt


F(x) =

(14

+22− 1

2

)+

∫ x

2

(− t

2+

32

)dt

F(x) = − x2

4+

3x2− 5

4

Para (3 ; +∞):

f (x) = 0

F(x) = F(3) +

∫ x

3f (t)dt

F(x) = − (3)2

4+

3 ∗ 32− 5

4

F(x) = 1

Por lo tanto tenemos que la funcion de distribucion es:

F(x) =

0 X < 0x2

4 0 ≤ X ≤ 1x2 − 1

4 1 < X ≤ 2

− x2

4 + 3x2 − 5

4 2 < X ≤ 3

1 X > 3

c) Calculamos la probabilidad de que una observacion sea mayor que 1,5:

P(X > 1,5) =

∫ 3

1,5f (x)dx =

∫ 2

1,5

(12

)dx +

∫ 3

2

(− x

2+

32

)dx

P(X > 1,5) =12

Definimos los siguientes sucesos:M = mayor que 1,5m = menor que 1,5

P(exactamente 1 sea mayor que 1,5) = P(Mmm) + P(mMm) + P(mmM)

P(exactamente 1 sea mayor que 1,5) = 3 ∗(

12

)2 ∗ 12 = 3

8

Por lo tanto la probabilidad de que de tres muestras una sea mayor que 1,5 es

del 37,5 %.


6. El diametro X de cierto cable electrico, es una variable aleatoria continua con densi-

dad f (x) = kx(1 − x) para 0 ≤ X ≤ 1.

a) Obtenga el valor de k.

b) Obtenga F(x).

c) Determine el valor de b tal que P(X < b) = 2P(X > b).

d) Calcule P(X < 12 | 1

3 < X < 23 ).

Solucion:

a) Calculamos el valor de k:∫ 1

0kx(1 − x)dx = 1

k = 6

Por lo tanto tenemos que la funcion de probabilidad es:

f (x) = 6x(1 − x) 0 ≤ X ≤ 1

b) Calculamos la funcion de distribucion:

Para (−∞; 0):

f (x) = 0

F(x) = 0

Para [0 ; 1]:

f (x) = 6x(1 − x)

F(x) = F(0) +

∫ x

0f (t)dt

F(x) = 0 + 6∫ x

0(x − x2)dt

F(x) = 3x2 − 2x3


Para (1 ; +∞):

f (x) = 0

F(x) = F(1) +

∫ x

1f (t)dt

F(x) = 3(1)2 − 2(1)3 = 1

Por lo tanto tenemos que la funcion de distribucion es:

F(x) =

0 X < 0

3x2 − 2x3 0 ≤ X ≤ 1

1 X > 1

c) P(X < b) = 2P(X > b):

P(X < b) = 2P(X > b)

P(X < b) = 2(1 − P(X < b))

P(X < b) = 2 − 2P(X < b)

3P(X < b) = 2

P(X < b) =23

P(X < b) =

∫ b

06(x − x2)dx =

23

−2b3 + 3b2 − 23

= 0

Calculamos las raices del polinomio cubico:

−2b3 + 3b2 − 23

=

b1 = −0,4169

b2 = 0,613

b3 = 1,3039

Como X esta definida en el intervalo (0; 1), el valor de b debe estar en ese

intervalo, por lo que podemos concluir que b = 0,613.


d) Calculamos P(X < 12

∣∣∣ 13 < X < 2

3)

P(X <

12

∣∣∣∣∣13< X <

23

)=

∫ 1/2

1/36(x − x2)dx

∫ 2/3

1/36(x − x2)dx

= 0,4999

7. La variable aleatoria X esta distribuida como indica la Figura 3.7.

−1 0 2

X

f(x)


Obtenga f (x) y F(x), y ¿cual es la probabilidad de que X sea mayor que 0,5?

Solucion:

Se calcula la distribucion de probabilidad de la variable a partir de la figura, sabemos

que el area total de la figura, en este caso el area del triangulo, debe ser igual a 1, de

esta manera se calcula la altura del mismo:

Area Total =base ∗ altura

2= 1

3 ∗ h2

= 1 −→ h =23

Una vez obtenida la altura del triangulo se procede a calcular las ecuaciones de las

rectas:


Para (-1;0]:

f (x) = 2X3 + 2

3

Para (0;2):

f (x) = −X3 + 2

3

Por lo tanto tenemos la distribucion de probabilidad es:

f (x) =

2x3 + 2

3 −1 < X ≤ 0

− x3 + 2

3 0 < X < 2

Calculamos la funcion de distribucion (F(x)):

Para (−∞ ; -1];

f (x) = 0

F(x) = 0

Para (-1 ; 0]:

f (x) =2x3

+23

F(x) = F(−1) +

∫ x

−1

(23

t +23

)dt =

x2

3+

23

x +13

Para (0 ; 2):

f (x) = − x3

+23

F(x) = F(0) +

∫ x

0

(−2

3t +

23

)dt = − x2

6+

2x3

+13

Para [2 ; +∞):

f (x) = 0

F(x) = F(2) = 1



F(x) =

0 X ≤ −1x2

3 + 2x3 + 1

3 −1 < X ≤ 0

− x2

6 + 2x3 + 1

3 0 < X < 2

1 X ≥ 2

Calculamos la probabilidad P(X > 0,5):

P(X > 0,5) =

∫ 2

0,5

(− x

3+

23

dx)

= 0,3750

3.3. Distribucion de la Funcion de una Variable Aleatoria

Caso Discreto:

1. La variable aleatoria X esta distribuida como muestra en la Tabla 3.8

X -3 -2 -1 0 1 2 3p(x) 1

16216

316

416

316

216

116

Tabla 3.8: Distribucion de probabilidad de X

Hallar la distribucion de Y = X2 − 1

Solucion:

Se sustituye el valor de X en Y; y se obtiene:

Y(−3) = 8 Y(1) = 0

Y(−2) = 3 Y(2) = 3

Y(−1) = 0 Y(3) = 8

Y(0) = -1


P(Y = −1) = P(X = 0) = 416

P(Y = 0) = P(X = −1) + P(X = 1) = 316 + 3

16 = 616

P(Y = 3) = P(X = −2) + P(X = 2) = 216 + 2

16 = 416

P(Y = 8) = P(X = −3) + P(X = 3) = 116 + 1

16 = 216

Por lo tanto tenemos que la distribucion de probabilidad de Y es:

Y -1 0 3 8g(y) 4

16616

416

216

Tabla 3.9: Distribucion de probabilidad de Y

2. Una variable aleatoria discreta obedece la siguiente ley:

X -1 0 1p(x) 1

312

16


¿Como estan distribuidas las siguientes variables?

a) Y = 3X + 1

b) Z = X2

Solucion:

a) Para Y = 3X + 1:

Y(−1) = -2 P(Y = 2) = P(X = −1) = 13

Y(0) = 1 P(Y = 1) = P(X = 0) = 12

Y(1) = 4 P(Y = 4) = P(X = 1) = 16

b) Para Z = X2:

Z(−1) = 1 P(Z = 2) = P(X = −1) = 13

Z(0) = 0 P(Z = 0) = P(X = 0) = 12

Z(1) = 1 P(Z = 1) = P(X = 1) = 16


Y -2 1 4g(y) 1

312

16

Tabla 3.11: Distribucion de probabilidad de Y

Z 0 1p(z) 1

212

Tabla 3.12: Distribucion de probabilidad de Z

Caso Continuo:

Para el caso de variables aleatorias continuas se utiliza el siguiente Teorema:

Sea X una variable aleatoria continua con funcion de densidad f (x) para a < X < b.

“Sea Y = h(x) una funcion continua y monotona de X.

La variable aleatoria Y estara distribuida:

g(y) = f [w(y)] ∗ |w′(y)|

donde w(y) = Y−1.

La variacion de Y sera α < Y < β donde α y β se obtienen calculando h(a) y h(b)”

3. La variable aleatoria X esta distribuida f (x) = 2x para 0 < X < 1 y cero para otros

valores de X. Hallar la distribucion de Y = 8x2

Solucion:

Calculamos w(y) y w′(y):

w(y) = Y−1 =

(y8

) 13

; w′(y) =1

24

(y8

) −23

Sustituimos en la ecuacion:

g(y) = f [w(y)] ∗ |w′(y)|

g(y) = 2(y8

) 13 ∗ 1

24

(y8

) −23


Calculamos los lımites de variacion de Y:

α = h(a) = Y(0) = 0

β = h(b) = Y(1) = 8

Por lo tanto tenemos que la distribucion de probabilidad de Y = 8x2 es:

g(y) =

1

12

(y8

)− 13 0 < Y < 8

0 para otro valor de Y

4. Un proceso para refinar azucar pura produce diariamente hasta una tonelada de

azucar, pero la produccion real (X), es una variable aleatoria debido a descompos-

turas de la maquinaria y otros retrasos. Suponga que X tiene una distribucion de

probabilidad dada por:

f (x) =

2x 0 ≤ X ≤ 1


Obtenga la funcion de utilidad U, en cientos de Bs. F si la companıa recibe 300 Bs.

F por cada tonelada de azucar, pero tambien tiene un gasto fijo diario de 100 Bs. F.

Obtenga la distribucion de probabilidad y la funcion de distribucion de la utilidad

diaria.

Solucion:

La ecuacion de utilidad en cientos de de Bs. F es:

U = 3X − 1

Calculamos w(u) y w′(u):

w(u) = U−1 =U + 1

3; w′(u) =

13

g(u) = f [w(u)] ∗ |w′(u)|


g(u) = 2(u + 1

3

)∗ 1

3=

29

(u + 1)

Los lımites de variacion de U son:

α = h(a) = U(0) = −1

β = h(b) = U(1) = 2

Por lo tanto tenemos que la distribucion de probabilidad de la utilidad es:

g(u) =

29 (u + 1) −1 ≤ U ≤ 2

0 para otro valor de U

Calculamos la funcion de distribucion:

Para (−∞ ; -1):

g(u) = 0

G(u) = 0

Para [-1 ; 2]:

g(u) =29

(u + 1)

G(u) = G(−1) +

∫ u

−1

29

(t + 1)dt =19

(u2 + 2u + 1)

Para (2 ; +∞):

g(u) = 0

G(u) = G(2) = 1


G(u) =

0 U < −119 (u2 + 2u + 1) −1 ≤ U ≤ 2

1 U > 2


5. La variable aleatoria X esta distribuida f (x) = e−x para X > 0. Encuentre la densidad

de Y = 2X + 2.

Solucion:


w(y) = Y−1 =y − 2

2; w′(y) =

12


g(y) = f [w(y)] ∗ |w′(y)|

g(y) =

[e−

( y−22

)]∗ 1

2

Calculamos los lımites de variacion de Y:

α = h(a) = Y(0) = 2

Tenemos que la distribucion de probabilidad de Y es:

g(y) =

12e

2−y2 Y > 2

0 para otro valor de Y

6. La distribucion de probabilidad de X esta dado por f (x) = 5(1 − x)4 para 0 < X < 1.

Compruebe que si Y = F(x), su distribucion sera uniforme en el intervalo unitario,

es decir, que g(y) = 1 para Y perteneciente al intervalo (0;1).

Solucion:

Calculamos Y:

Y = F(x) =

∫ x

05(1 − t)4dt = 1 − (1 − x)5

w(y) = Y−1 = 1 − (1 − y)15 ; w′(y) =

(1 − y)−45

5



g(y) = f [w(y)] ∗ |w′(y)|

g(y) = 5[1 − (1 − (1 − y)

15 )]4 ∗ (1 − y)−

45

5= 1

Por lo tanto comprobamos que g(y) = 1 para Y perteneciente al intervalo (0;1).

7. La variable aleatoria X esta distribuida f (x) = 1/15 para −5 < X < 10.

Si Y = 3X2, encuentre la densidad de Y .

Solucion:

Graficamos f (x) y se obtiene la Figura 3.8, y la grafica de Y la podemos ver en la

Figura ??.

−6 −4 −2 0 2 4 6 8 10x

f(x)

1/15

Figura 3.8: Distribucion de Probabilidad de X

Segun el Teorema presentado en esta seccion, la funcion Y debe ser monotona, para

este caso y como observamos en la Figura 3.9 se trata de una parabola, por tal motivo

se debe dividir la curva en dos secciones, una parte decrediente y la otra creciente,

por tal motivo se debe trabajar con dos w(y), segun los valors de X.


−6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 x

75

300

Y

Figura 3.9: Y = 3X2

Y = h1(x) = 3X2 para −5 < X < 0

w1(y) = −(

y3

) 12

w′1(y) = − 16

(y3

)− 12

Y = h2(x) = 3X2 para 0 < X < 10

w2(y) =(

y3

) 12

w′2(y) = 16

(y3

)− 12

Calculamos g(y) segun el valor de Y .

Para Y ∈ [0;75] si X ∈ (-5;0] o (0;5]:

g(y) = f [w1(y)] ∗ |w′1(y)| + f [w2(y)] ∗ |w′2(y)|

g(y) =115∗∣∣∣∣∣∣−

16

(y3

)− 12

∣∣∣∣∣∣ +1

15∗∣∣∣∣∣∣16

(y3

)− 12

∣∣∣∣∣∣ =1

45

(y3

)− 12

Para Y ∈ (75;300) si X ∈ (5;10):

g(y) = f [w2(y)] ∗ |w′2(y)|

g(y) =1

15∗∣∣∣∣∣∣16

(y3

)− 12

∣∣∣∣∣∣ =1

90

(y3

)− 12


Por lo tanto tenemos que la distribucion de probabilidad de Y es:

g(y) =

145

(y3

)− 12 0 ≤ Y ≤ 75

190

(y3

)− 12 75 < Y < 300

8. La variable aleatoria X esta distribuida como indica la Figura 3.10. Encuentre la

densidad de Y = 2X2.

−1 −0.5 0 0.5 1 x

f(x)

Figura 3.10: Distribucion de Probabilidad de X

Solucion:

Para calcular la distribucion de Y se necesita primero f (x), para ello se calcula las

ecuaciones que rigen cierta distribucion a partir de la Figura ??.

Para calcular las ecuaciones se necesita la altura del triangulo; sabemos que el area

total bajo la curva (para este ejercicio un triangulo) debe ser igual a 1, por lo que

tenemos:

Area del triangulo = 1

base ∗ altura2

=2 ∗ h

2= 1

h = 1


Por lo tanto tenemos que la distribucion de probabilidad de X es:

f (x) =

x + 1 −1 < X ≤ 0

−x + 1 0 < X < 1

Graficamos Y = 2X2 (Figura 3.11) y observamos que no es monotona, por lo que

dividimos la funcion en dos partes:

−1 −0.5 0 0.5 1 x

2

Y

Figura 3.11: Y = 2X2

Calculamos w(y) y w′(y).

Y = h1(x) = 2X2 para −1 < X < 0

w1(y) = −(

y2

) 12

w′1(y) = − 14

(y2

)− 12

Y = h2(x) = 2X2 para 0 < X < 1

w2(y) =(

y2

) 12

w′2(y) = 14

(y2

)− 12

Calculamos g(y):

Para Y ∈ [0;75] si X ∈ (-5;0] o (0;5]:


g(y) = f [w1(y)] ∗ |w′1(y)| + f [w2(y)] ∗ |w′2(y)|

g(y) =

(−

(y2

) 12

+ 1) ∣∣∣∣∣∣−

14

(y2

)− 12

∣∣∣∣∣∣ +

(−

(y2

) 12

+ 1) ∣∣∣∣∣∣

14

(y2

)− 12

∣∣∣∣∣∣

g(y) = −12

+12

(y2

)− 12

Tenemos que la distribucion de probabilidad de Y es:

g(y) =

12

(y2

)− 12 − 1

2 0 ≤ Y ≤ 2


9. La variable aleatoria X esta distribuida f (x) = 12 para −1 < X < 1. Encuentre y

dibuje la distribucion de probabilidad de Y = ex y de Z = 2X2 + 1.

Solucion:

a) Para Y = ex:

La grafica de f (x) la podemos ver en la Figura 3.12 y la grafica de Y en la Figura

3.13:

−1 −0.5 0 0.5 1 x

f(x)

0.5

Figura 3.12: Distribucion de probabilidad de X


−1 −0.5 0 0.5 1

1

Y

Figura 3.13: Y = ex


w(y) = ln Y

w′(y) = 1y


g(y) = f (w(y)) ∗ |w′(y)|

g(y) =12∗∣∣∣∣∣1y

∣∣∣∣∣ =12y

Los lımites de variacion de Y son:

α = Y(−1) = e−1

β = Y(1) = e1

Por lo tanto tenemos que la distribucion de probabilidad g(y) es:

g(y) =

12y e−1 < Y < e


La grafica de g(y) la podemos ver en la Figura 3.14


0 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5 1.8 2.1 2.4 2.7 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

g(y)

Figura 3.14: Distribucion de probabilidad de Y

b) Para Z = 2X2 + 1:

La grafica de f (x) es la misma mostrada en la Figura 3.12, ahora graficamos Z

(Figura 3.15):

−1 −0.5 0 0.5 1 x

Z

1

3

Figura 3.15: Z = 2X2 + 1

Ahora calculamos w(z) y w′(z):


Para Z = h1(x) = 2X2 + 1 para −1 < X < 0:

w1(z) = −(

z−12

) 12

w′1(z) = −14

(z−1

2

)− 12

Para Z = h2(x) = 2X2 + 1 para 0 < X < 1:

w2(z) =(

z−12

) 12

w′2(z) = 14

(z−1

2

)− 12

g(z) = f (w1(y)) ∗ |w′1(y)| + f (w2(y)) ∗ |w′2(y)|

g(z) =12∗∣∣∣∣∣∣∣−

14

(z − 1

2

)− 12

∣∣∣∣∣∣∣ +12∗∣∣∣∣∣∣∣14

(z − 1

2

)− 12

∣∣∣∣∣∣∣ =14

(z − 1

2

)− 12

Por lo tanto tenemos la distribucion de probabilidad g(z) y su grafica son:

g(z) =

14

(z−1

2

)− 12 1 < Z < 3


−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

g(z)

Figura 3.16: Distribucion de probabilidad de Z

10. Dada la distribucion de probabilidad f (x) = 2x para 0 < X < 1. Encuentre la densi-

dad de Y = (3X − 1)2.


Solucion:

Graficamos f (x) (Figura 3.17) y Y (Figura 3.18).

0 0.5 10

0.5

1

1.5

2

x

f(x)


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4Y

x

Figura 3.18: Y = (3X − 1)2


Para Y = h1(x) = (3X − 1)2 para 0 < X < 13 :

w1(y) =−√y+1

3

w′1(y) = − 16 (y)−

12


Para Y = h2(x) = (3X − 1)2 para 13 < X < 1

2 :

w2(y) =√

y+13

w′2(y) = 16 (y)−

12

Caculamos la distribucion de probabilidad:

Para Y ∈ (0;1) si X ∈(0; 1

3

]o(

13 ; 2

2

]:

g(y) = f [w1(y)] ∗ |w′1(y)| + f [w2(y)] ∗ |w′2(y)|

g(y) = 2 ∗(−√y + 1

3

)∗∣∣∣∣∣−

16

(y)−12

∣∣∣∣∣ + 2 ∗( √

y + 13

)∗∣∣∣∣∣16

(y)−12

∣∣∣∣∣

g(y) =2

9√

y

Para Y ∈ [1;4) si X ∈(

23 ; 1

):

g(y) = f [w2(y)] ∗ |w′2(y)|

g(y) = 2 ∗( √

y + 13

)∗∣∣∣∣∣16

(y)−12

∣∣∣∣∣

g(y) =(y)−

12 + 19

Por lo tanto tenemos que la distribucion de probabilidad g(y) es:

g(y) =

2

9√

y 0 < Y < 1(y)−

12 +1

9 1 ≤ Y < 4

11. Supongase que el radio de una esfera es una variable aleatoria con distribucion f (r) =

6r(1 − r) para 0 < r < 1. Diga como se distribuyen el volumen y la superficie de la

esfera.

Solucion:


a) Volumen de la esfera:

La grafica de la distribucion de probabilidad ( f (r) = 6r(1 − r)) la podemos

observar en la Figura 3.19, ademas tenemos que la ecuacion del volumen de la

esfera y su grafica (Figura 3.20) son:

V =4πr3

3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

V

r

Figura 3.19: Distribucion de probabilidad del radio

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

V

r

Figura 3.20: Volumen

Calculamos w(v) y w′(v):


w(v) =

(3V4π

) 13

; w′(v) =1

4π

(3V4π

)− 23

g(v) = f [w(v)] ∗ |w′(v)|

g(v) =

6(3V4π

) 131 −

(3V4π

) 13 ∗

∣∣∣∣∣∣∣1

4π

(3

4π

)− 23

∣∣∣∣∣∣∣

g(v) =3

4π

(3V4π

)− 13

− 1

Por lo tanto tenemos que la densidad del volumen de la esfera es:

g(v) =

34π

[(3V4π

)− 13 − 1

]0 < V < 4π

3


b) Superficie de la esfera:

La ecuacion del area de la esfera y su grafica (Figura 3.21) son:

a = 4πr2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

2

4

6

8

10

12

r

A

Figura 3.21: Area


Calculamos w(a) y w′(a):

w(a) =

( a4π

) 12

; w′(a) =1

8π

( a4π

)− 12

g(a) = f [w(a)] ∗ |w′(a)|

g(a) =

[6( a4π

) 12(1 −

( a4π

) 12)]∗∣∣∣∣∣∣

18π

( a4π

)− 12

∣∣∣∣∣∣

g(a) =3

4π

(1 −

( a4π

) 12)

Por lo tanto tenemos que la funcion de densidad del area de la esfera es:

g(a) =

34π

(1 −

(a

4π

) 12)

0 < A < 4π


12. La variable aleatoria continua X esta distribuida como indica la Figura 3.22. Com-

pruebe que si:

Y = F(x), entonces g(y) = 1 para 0 < Y < 1

0 1 2 3 4

f(x)

x


Solucion:


Calculamos la altura del triangulo, igualando el area del triangulo a 1:

base ∗ altura2

= 1 − > h = 1

Por lo tanto la funcion de densidad de X es:

f (x) =12

X − 1

Calculamos la funcion de distribucion (F(x)) que sera Y:

Y = F(x) =

∫ x

2

(12

t − 1)

dt =14

(x − 2)2


w(y) = 2√

y + 2

w′(y) = (y)−12

Calculamos g(y):

g(y) = f [w(y)] ∗ |w′(y)|

g(y) =

[12

(2√

y + 2) − 1

]∗∣∣∣∣(y)−

12

∣∣∣∣ = 1

Buscamos los lımites de variacion de y:

α = h(2) = 0β = h(4) = 1


g(y) = 1 para 0 < Y < 1

3.4. Valores Esperados

La Esperanza Matematica (E(x)) de una variable aleatoria X da un valor que es repre-

sentativo o promedio de los valores de X, y se define como:


a. Sea X una variable aleatoria discreta distribuida p(x). El valor esperado de X es:

E(x) =∑

X

xp(x)

b. Sea X una variable aleatoria continua con densidad f (x). El valor esperado de X es:

E(x) =

∫ ∞

−∞x f (x)dx

EJERCICIOS

1. Se tiran 2 dados. Sea X el mayor de los numero que aparecen, es decir, X(a, b) =

max(a, b); y sea Y la suma de los numeros que salen, es decir, Y(a, b) = a + b.

Calcular E(x) y E(y).

Solucion:

a) Calculamos E(x):

El espacio muestral para el caso en que X(a, b) = max(a, b) se muestra en las

Tablas 3.13 y 3.14:

1 2 3 4 5 61 1 2 3 4 5 62 2 2 3 4 5 63 3 3 3 4 5 64 4 4 4 4 5 65 5 5 5 5 5 66 6 6 6 6 6 6

Tabla 3.13: Mayor numero en el lanzamiento de dos dados

Numero 1 2 3 4 5 6Frecuencia 1 3 5 7 9 11

Tabla 3.14: Frecuencia


E(x) = 1 ∗ 136

+ 2 ∗ 336

+ 3 ∗ 536

+ 4 ∗ 736

+ 5 ∗ 936

+ 6 ∗ 1136

= 4,472

Se espera que el maximo valor obtenido en el lanzamiento de dos dados sea

4,472.

b) Calculamos E(y):

El espacio muestral de Y(a, b) = a + b se muestra en las Tablas 3.15 y 3.16:

1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6 72 3 4 5 6 7 83 4 5 6 7 8 94 5 6 7 8 9 105 6 7 8 9 10 116 7 8 9 10 11 12

Tabla 3.15: Suma de los numeros en el lanzamiento de dos dados

Numero 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Frecuencia 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1

Tabla 3.16: Frecuencia

E(y) = 2∗ 136

+3∗ 236

+4∗ 336

+5∗ 436

+6∗ 536

+7∗ 636

+8∗ 536

+9∗ 436

+10∗ 336

+11∗ 236

+12∗ 136

E(y) = 7

Se esperar que al lanzar dos dados la suma sea 7.

2. Se lanza un dado equilibrado. Si sale el 2, 3 o 5, el jugador gana ese numero en Bs.

F , pero si sale el 1, 4 o 6, pierde ese numero en Bs. F. Calcule el valor esperado del

juego.

Solucion:


X -1 2 3 -4 5 -6p(x) 1

616

16

16

16

16


Establecemos la distribucion de probabilidad para X = ganancia del jugador, en la

Tabla 3.17

E(x) = −1 ∗ 16

+ 2 ∗ 16

+ 3 ∗ 16− 4 ∗ 1

6+ 5 ∗ 1

6− 6 ∗ 1

6= −1

6

Como la esperanza es negativa, se espera que el jugador pierda dinero en ese juego.

3. Si X esta distribuida f (x) = 2X para 0 < X < 1, encuentre la esperanza de Y = 3X.

Solucion:

E(x) =

∫ ∞

−∞x ∗ f (x)dx

E(x) =

∫ 1

0(X ∗ 2X)dx =

23

E(y) = E(3X) = 3E(x) = 3 ∗ 23

= 2

4. La funcion de densidad de una variable aleatoria X esta dada por:

f (x) =

X2 0 < X < 2


Calcular E(x) y E(3x2 − 2x).

Solucion:

Calculamos E(x) :

E(x) =

∫ 2

0x ∗ x

2dx =

43

Calculamos E(3x2 − 2x):

E(3x2 − 2x) =

∫ 2

0(3x2 − 2x)

x2

dx =103


5. Una rifa vende 1000 tickets y ofrece los siguientes premios: 4 primeros premios de

200000 Bs. F; 10 segundos premios de 100000 Bs. F y 20 terceros premios de 10000

Bs. F. Una persona que compra un ticket, ¿cuanto debe pagar por el si se considera

que este es un juego justo?

Solucion:

Denotamos el precio del ticket con X y establecemos la distribucion de probabilidad

de la ganancia en la Tabla 3.18:

g 200000 − X 100000 − X 10000 − X −Xp(g) 4

100010

100020

1000966

1000

Tabla 3.18: Distribucion de probabilidad de la ganancia

Para que el juego sea justo la esperanza de la ganancia debe ser igual a cero, esto es

debido a que no debe existir ningun sesgo ni para los vendedores de la rifa, ni para

que los que la compran, por lo tanto tenemos que:

E(g) = 0

E(g) = (200000 − X)4

1000+ (100000 − X)

101000

+ (10000 − X)20

1000= 0

800 − 4X1000

+ 1000 − 10X1000

+ 200 − 20X1000

− 966X1000

= 0

Despejamos a X y tenemos que:

X = 2000

Para que el juego sea justo, la persona debe pagar 2000 Bs. F por el ticket.

6. En una caja hay a bolas blancas y b bolas negras. Se saca al azar una bola de la caja

¿cual es el numero esperado de bolas blancas que quedan en la caja?

Solucion:

Definimos la varible alatoria X como el numero de bolas blancas que quedan en la

caja, y su distribucion de probabilidad se representa en la Tabla 3.19:


X a a − 1p(x) b

a+ba

a+b


E(x) = a ∗ ba + b

+ (a − 1) ∗ aa + b

E(x) =a2 + ab − a

a + b

7. Un blanco circular esta dividido en 3 zonas concentricas de radios 1, 2 y 3, como

se muestra en la Figura 3.23. Si al lanzar un dardo contra el blanco usted pega en la

zona i (i = 1,2,3), obtendra esa misma cantidad en Bs. F.

1

2

3

Figura 3.23: Circulos concentricos

Si usted realiza un disparo en forma aleatoria, ¿cual es su ganancia esperada?

Solucion:

La ganancia del juego segun la zona es que acierte se puede establecer de la siguiente

manera:

Cae en la Zona 1 = 1 Bs. F




Calculamos la probabilidades de las ganancias basandonos en el area de las zonas:

P(cae zona 1) =A(zona 1) − A(zona 2)

A(total)

=π(3)2 − π(2)2

π(3)2 =59

P(cae zona 2) =A(zona 2) − A(zona 1)

A(total)

=π(2)2 − ππ(3)2 =

39

P(cae zona 3) =A(zona 3)

A(total)

=π

π(3)2 =19

Entonces tenemos que la distribucion de probabilidad de la ganancia se muestra en

la Tabla 3.20:

G 1 2 3p(g) 5

939

19

Tabla 3.20: Distribucion de probabilidad de G

E(g) = 1 ∗ 59

+ 2 ∗ 39

+ 3 ∗ 19

=149

Se espera que con ese juego, la persona gane 1,556 Bs. F.

8. El fabricante de cierto componente electronico sabe que la duracion de su producto

(medida en unidades de 1000 horas), es una variable aleatoria cuya distribucion es:

f (x) = 2e−2X ; paraX > 0

El costo de fabricacion es de Bs. F 20 y el precio de venta es de Bs. F 50. El fabricante

garantiza al comprador que si el artıculo le dura funcionando menos de h horas, le

dovolvera el dinero.


Si el fabricante quiere ganarle en promedio 10 Bs. F a cada artıculo que venda, ¿cual

debera ser el valor de h?

Solucion:

Graficamos la funcion f (x)

0

1

2

x

f(x)

h


La probabilidad de que el componente electronico dure menos de h horas y mas de h

horas son:

P(X ≤ h) =

∫ h

02e−2Xdx = 1 − e−2h

P(X > h) = 1 − P(X ≤ h) = 1 − (1 − e−2h) = e−2h

Por lo tanto la distribucion de probabilidad de la ganancia (g) es:

g -20 30p(g) 1 − e−2h e−2h

Tabla 3.21: Distribucion de probabilidad de g

Si el fabricante quiere ganarle en promedio 10 Bs. F a cada artıculo entonces:

E(g) = 10


E(g) = −20(1 − e−2h) + 30(e−2h) = 10

h = 0,2554

Si la variable viene expresada en miles de horas, entonces el vendedor debe ofertar

sus productos con un h = 255, 4 horas.

3.5. Momentos de una Ley de Probabilidad

Los momentos de una distribucion de probabilidad son los valores esperados de las

potencias de la variable que tiene esa distribucion.

EJERCICIOS

1. Sea X una variable aleatoria con distribucion f (x). El momento r-esimo Mr de X se

define por:

Mr = E(xr) =∑

Xri f (xi)

Hallar los 5 primeros momentos de X, si X tiene la siguiente distribucion:

X -2 1 3f (x) 1

214

14


Solucion:

Momento 1: Media

M1 = E(x) =∑

xi f (xi)

M1 = (−2) ∗ 12

+ (1) ∗ 14

+ (3) ∗ 14

= 0


Momento 2: Varianza

M2 = E(x2) =∑

x2i f (xi)

M2 = (−2)2 ∗ 12

+ (1)2 ∗ 14

+ (3)2 ∗ 14

= 4,5

Momento 3:

M3 = E(x3) =∑

x3i f (xi)

M3 = (−2)3 ∗ 12

+ (1)3 ∗ 14

+ (3)3 ∗ 14

= 3

Momento 4:

M4 = E(x4) =∑

x4i f (xi)

M4 = (−2)4 ∗ 12

+ (1)4 ∗ 14

+ (3)4 ∗ 14

= 28,5

Momento 5:

M5 = E(x5) =∑

x5i f (xi)

M5 = (−2)5 ∗ 12

+ (1)5 ∗ 14

+ (3)5 ∗ 14

= 45

2. Una variable aleatoria continua X tiene densidad:

f (x) =

2e−2X X > 0

0 X ≤ 0

Encuentre la media, la varianza y la desviacion estandar.

Solucion:

Para calcular la Media de una variable aleatoria continua, debemos calcular el primer

momento, es decir, E(x):

E(x) =

∫ ∞

−∞x f (x)dx =

∫ ∞

0x2e−2Xdx =

12

La Varianza es igual al segundo momento menos el primer momento elevado al

cuadrado:

V(x) = E(x2) − [E(x)]2


E(x2) =

∫ ∞

0x22e−2Xdx =

12

V(x) =12−

[12

]2

=14

Como sabemos la Desviacion Estandar, es la raız cubica de la varianza:

σ =√

V(x) =

√14

=12

3. Sea X una variable aleatoria cuya funcion de densidad es:

f (x) =

x 0 ≤ X ≤ 1

2 − x 1 < X ≤ 2

0 en otro caso

Encontrar la Media y la Varianza.

Solucion:


E(x) =

∫ 1

0x2dx +

∫ 2

1x(2 − x)dx = 1


E(x2) =

∫ 1

0x3dx +

∫ 2

1x2(2 − x)dx =

76

V(x) = E(x2) − [E(x)]2 =76− 1 =

16

4. Demuestre que:

E[(x − µ)2] = E(x2) − [E(x)]2


Solucion:

E[(x − µ)2] = E(x2 − 2µx + µ2)

= E(x2) − 2µE(x) + µ2

= E(x2) − 2µ2 + µ2

= E(x2) − µ2

= E(x2) − [E(x)]2

5. La variable aleatoria X esta distribuida como muestra la Figura 3.25. Obtenga la

media y la varianza de X.

−1 0 1 2 3 x

f(x)


Solucion:

Calculamos la ecuacion de f (x) siendo la altura h = 12 (segun el area total bajo la

curva):

f (x) = − x8

+38

; para − 1 < X < 3


E(x) =

∫ 3

−1x(− x

8+

38

)dx =

13



E(x2) =

∫ 3

−1x2

(− x

8+

38

)dx = 1

V(x) = 1 −(13

)2

=89


1. Suponga una caja que contiene 10 bolas rojas y 5 bolas blancas. Retiramos al azar 3

bolas sin reemplazo. Defina X como el numero de bolas rojas. Obtenga la distribucion

de probabilidad y la funcion de distribucion de X.

2. La funcion de distribucion F(x) de una variable aleatoria X viene dada por:

F(x) =

0 X < −113 + 2

3 (x + 1)2 −1 ≤ X ≤ 0

1 X > 0

Obtenga las siguientes probabilidades:

a) P(X > 1

3

)

b) P(|X| ≥ 1)

3. El tiempo T (en minutos) que realiza cierta maquina un proceso cualquiera, es una

variable aleatoria con la siguiente distribucion de probabilidad:

T 2 3 4 5 6 7p(t) 1

10110

310

210

210

110

Tabla 3.23: Distribucion de probabilidad de T

a) Calcule el tiempo medio de proceso y su desviacion estandar.


b) Por cada unidad procesada por la maquina, la empresa gana 4 Bs. F fijo y si

se procesa una unidad en menos de 6 minutos gana 1 Bs. F por cada minuto

ahorrado.

Encuentre la distribucion de la variable aleatoria G (cantidad ganada por

unidad) y su esperanza.

4. Determine el valor de c de modo que cada una de las siguientes funciones sirva como

distribucion de probabilidad de la variable aleatoria discreta X.

a) p(x) = c(x2 + 4) para X = 0, 1, 2, 3

b) p(x) = c(

2x

)(3

3−x

)para X = 0, 1, 2

Calcule F(x) para a) y b) y grafique.

5. La variable aleatoria X esta distribuida f (x) = X + 2 para −2 < X < 5. Si Y = 2X2,

encuentre la densidad de Y .

6. Suponga que una empresa de procesamiento de datos esta tan especializada que al-

gunos tienen dificultades para obtener utilidades en el primer ano. La distribucion de

probabilidad que caracteriza la proporcion X que obtiene utilidades esta dada por:

f (x) =

kx4(1 − x)3 0 ≤ X ≤ 1

0 en otro punto

a) ¿Cual es el valor de k que hace que f (x) sea valida?

b) Encuentre la probabilidad de que al menos el 50 % de las empresas tenga utili-

dades durante el primer ano.

c) Encuentre la probabilidad de que como maximo el 20 % de las empresas no

tenga utilidades durante el primer ano.

7. Considere la variable aleatoria X con distribucion de probabilidad:

f (x) =1

ln(2)∗ 1

xpara 25 ≤ X ≤ 50


Calcule la funcion de distribucion y la varianza.

8. Suponga que X esta distribuida:

f (x) = x2 para −√

2 < X < 1

Determine la distribucion de probabilidad de: Y = 4 − 2x2

9. Las maquinas tejedoras en una fabrica de elastico usan un rayo laser para detectar los

hilos rotos. Cuando se rompe un hilo, es necesario detener la maquina y el tecnico

debe localizar y reparar el hilo roto. Suponga que la distribucion de probabilidad de

X (numero de veces que se detiene en cada dıa una maquina especıfica), esta dada

por:

f (x) =6 − 2|x − 3|

20para x = 1, 2, 3, 4, 5

f (x) =4 − |x − 3|

20para x = 0 o 6

a) Calcule la distribucion de probabilidad y la funcion de distribucion de X.

b) Si X < 0, ¿cual es el valor de F(x)?

c) Si X > 6, ¿cual es el valor de F(x)?

Capıtulo 4

Distribuciones Clasicas Discretas yContinuas

Como se dijo en el capıtulo anterior, la distribucion de probabilidad f (x) es la funcion

que asigna a cada evento de X una probabilidad.

En tal sentido, en el mundo existen varias distribuciones de probabilidad que son am-

pliamente conocidas y utilizadas, es por esto que se les denomina Distribuciones Clasicas,

y su objetivo principal es construir un modelo simplificado de la realidad (donde exista

incertidumbre), que servira como ayuda en la toma de decisiones.

En este capıtulo se estudiaran las distribuciones de variables aleatorias discretas, tales

como: La Distribucion Binomial, la Poisson, la Pascal, la Geometrica, la Hipergeometrica

y la Multinomial.

Dentro de las continuas principales veremos: la Distribucion Uniforme, la Exponencial

y la Normal.

145

CAPITULO 4. DISTRIBUCIONES CLASICAS DISCRETAS Y CONTINUAS 146

4.1. Distribuciones Clasicas Discretas

4.1.1. Distribucion Binomial

El Experimento Binomial se basa en la repeticion sucesiva de un mismo experimento de

Bernoulli, independientes todos entre si, y que solo tiene dos posibles resultados: EXITO

o FRACASO.

La distribucion se denota por: X ∼ B(n; p), donde la variable aleatoria X representa el

numero de exitos en n ensayos de un experimento binomial.

La distribucion de probabilidad esta dada por:

P(X = x) =

(nx

)px(1 − p)n−x con x = 0, 1, 2, . . .

Las propiedades de la Distribucion Binomial son:

Media o numero esperado de exitos:µ = n ∗ p

Varianza:σ2 = n ∗ p ∗ (1 − p)σ2 = n ∗ p ∗ q

Desviacion Estandar:σ =

√n ∗ p ∗ q

En la Figura 4.1 se muestra graficamente varias distribuciones binomiales, para un n fijo

y varias probabilidades de exito (p), y observamos que la funcion se hace mas simetrica a

medida que se incremente p de 0 a 0,5 y se decremente cuando p se mueve de 0,5 a 1.


0 3 6 9 12 150

0.2

0.4

x

p(x)

0 3 6 9 12 150

0.1

0.2

x

p(x)

0 3 6 9 12 150

0.2

0.4

x

p(x)

n = 15 ; p = 0.1

n = 15 ; p = 0.5

n = 15 ; p = 0.9

Figura 4.1: Distribucion Binomial

EJERCICIOS

1. ¿Cual es la probabilidad de obtener exactamente 2 caras en 6 lanzamientos de una

moneda balanceada? y ¿cual es la probabilidad de obtener exactamente 3 caras?

Solucion:


Definimos los parametros y las variables:

n = 6

x = 2

p = 12

−→ X ∼ B(6; 0,5)

P(X = 2) =

(62

)(0,5)2(0,5)4 = 0,2343

La probabilidad de obtener exactamente 2 caras en 6 lanzamientos es del 23,43 %.

P(X = 3) =

(63

)(0,5)3(0,5)3 = 0,3125

La probabilidad de obtener exactamente 3 caras es del 31,25 %.

2. Al lanzar un dado, se gana si sale el 1. Si se lanza el dado 5 veces. ¿cual es la

probabilidad de obtener 3 unos?

Solucion:n = 5

x = 3

p = 16

−→ X ∼ B

(5;

16

)

P(X = 3) =

(53

) (16

)3 (56

)2

= 0,0322

3. En un juego de lanzamiento de dardos, la probabilidad de que Pedro de en el blanco

es p = 14 . Si tira 6 veces, hallar la probabilidad de que de en el blanco:

a) Exactamente 2 veces.

b) Mas de 4 veces.

c) Al menos 1 vez.

Solucion:


a) Exactamente 2 veces:

n = 6

x = 2

p = 14

−→ X ∼ B

(6;

14

)

P(X = 2) =

(62

) (14

)2 (34

)4

= 0,2966

b) Mas de 4 veces:

n = 6

x = 5, 6

p = 14

−→ X ∼ B

(6;

14

)

P(X > 4) = P(X = 5) + P(X = 6)

P(X > 4) =

(65

) (14

)5 (34

)+

(66

) (14

)6 (34

0)= 0,0046

c) Al menos 1 vez:

n = 6

x = 1, 2, 3, 4, 5, 6

p = 14

−→ X ∼ B

(6;

14

)

P(X ≥ 1) = 1 − P(X < 1) = 1 − P(X = 0)

P(X ≥ 1) = 1 −(60

) (14

)0 (34

)6 = 0,820

4. La probabilidad de que Luis de en el blanco es de p = 34 . Si tira 100 veces, hallar el

numero esperado µ de veces que dara en el blanco y la desviacion estandar σ.

Solucion:n = 100

p = 34

−→ X ∼ B(100;

34

)



µ = n ∗ p = 100 ∗ 34

= 75

Se espera que de 75 veces en el blanco.


σ =√

n ∗ p ∗ q =

√100 ∗ 3

414

= 4,33

5. De 200 familias con 4 hijos cada una, cuantos esperarıa encontrar:

a) Con al menos 1 nino

b) Con 2 ninos

c) 1 o 2 ninas

d) No ninas

Solucion:

a) Con al menos 1 nino:

Definimos la variable aleatoria binomial X = sea nino

n = 4

x = 1, 2, 3, 4

p = 12

−→ X ∼ B

(4;

12

)

P(X ≥ 1) = 1 − P(X < 1) = 1 − P(X = 0)

P(X ≥ 1) = 1 −(40

) (12

)0 (12

)4 = 0,9375

µ = 2000 ∗ 0,9375 = 1875

Se espera encontrar 1875 familias con al menos 1 nino de los 4 hijos.


b) Con 2 ninos:

n = 4

x = 2

p = 12

−→ X ∼ B

(4;

12

)

P(X = 2) =

(42

) (12

)2 (12

)2

= 0,375

µ = 2000 ∗ 0,375 = 750

Se espera encontrar 750 familias que tengan exactamente 2 ninos.

c) 1 o 2 ninas:

n = 4

x = 2, 3

p = 12

−→ X ∼ B

(4;

12

)

P(2 ≤ X ≤ 3) = P(X = 2) + P(X = 3)

P(2 ≤ X ≤ 3) =

(42

) (12

)2 (12

)2

+

(43

) (12

)3 (12

)= 0,625

µ = 2000 ∗ 0,625 = 1250

Se espera encontrar 1250 familias con 1 o 2 ninas.

d) No ninas:

n = 4

x = 4

p = 12

−→ X ∼ B

(4;

12

)

P(X = 4) =

(44

) (12

)4 (12

)0

= 0,0625


µ = 2000 ∗ 0,0625 = 125

Se espera encontrar 125 familias con todos sus hijos varones.

6. Sea X una variable Binomial con p = 0,4 y n = 20. Encuentre el mayor valor de b tal

que P(X > b) > 0,2 y P(X > b) > 0,8.

Solucion:

Para P(X > b) > 0,2:

P(X > b) > 0,2

1 − P(X ≤ b) > 0,2

−P(X ≤ b) > 0,2 − 1

−P(X ≤ b) > −0,8

P(X ≤ b) < 0,8

Con b = 9:

F(9) = 0,7553

Con b = 10:

F(10) = 0,8725

Por lo tanto b = 9, ya que se cumple que sea menor que 0,8.

Para P(X > b) > 0,8:

P(X > b) > 0,8

1 − P(X ≤ b) > 0,8

−P(X ≤ b) > 0,8 − 1

−P(X ≤ b) > −0,2

P(X ≤ b) < 0,2


Con b = 5:F(9) = 0,1256

Con b = 6:F(10) = 0,25

Por lo tanto b = 5, ya que se cumple que sea menor que 0,2.

4.1.2. Distribucion de Poisson

La Distribucion de Poisson es la distribucion de probabilidad de una variable aleatoria

X que representa el numero de veces que ocurre un evento en una unidad de tiempo, area,

volumen, etcetera. Se representa por X ∼ P(λ) y viene dada por:

P(X = x) =e−λλx

x!para x = 0, 1, 2, . . . y λ > 0

Las propiedades de la Distribucion de Poisson son:

Media:E(x) = λ

Varianza1 :V(x) = λ

La Distribucion de Poisson puede derivarse como una forma lımite de la Distribucion

Binomial. Es decir, en la distribucion binomial, si n es grande mientras que p es cercana a

cero, el evento recibe el nombre de evento raro. En tal sentido, se considera un evento raro

si n ≥ 50, mientras que np es menor que 5; por lo que la Binomial se aproxima bastante a

la Distibucion de Poisson.

En la Figura 4.2 se observa la distribucion de poisson para diferentes valores de λ:1 Esta distribucion es la unica donde su media es igual a su varianza


0 5 10 150

0.2

0.4

X

p(x)

0 5 10 150

0.1

0.2

X

p(x)

0 5 10 150

0.05

0.1

X

p(x)

P(2)

P(8)

P(16)

Figura 4.2: Distribucion de Poisson

EJERCICIOS

1. A la caja de un supermercado llegan en promedio 2 clientes por minuto. Calcular la

probabilidad de que:

a) No lleguen clientes en un minuto.

b) Llegue mas de un cliente en un minuto.

c) Lleguen 5 clientes en 2 minutos.


Solucion:

a) No lleguen clientes en un minuto:

Definimos los parametros:

X = numero de clientes que llegan a la caja en un minuto.λ = numero de ocurrencias del fenomeno poissoniano por unidad de tiempo.

x = 0

λ = 2

−→ X ∼ P(2)

P(X = 0) =e−2 ∗ (2)0

0!= 0,1353

La probabilidad de que no lleguen clientes en un minuto es del 13,53 %.

b) Llegue mas de un cliente en un minuto:

x = 2, 3, 4, . . .

λ = 2

−→ X ∼ P(2)

P(X > 1) = 1 − P(X ≤ 1) = 1 − P(X = 0) − P(X = 1)

P(X > 1) =e−2 ∗ (2)0

0!+

e−2 ∗ (2)1

1!= 0,594

c) Lleguen 5 clientes en 2 minutos:

Definimos el nuevo λ para un tiempo de 2 minutos:

λ = 2 ∗ 2 = 4

P(X = 5) =e−4 ∗ (4)5

5!= 0,1563

2. En una fabrica de calzado se producen 7 accidentes en 35 dıas de trabajo. Si esta

situacion se mantiene, calcular la probabilidad de que:

a) En un dıa cualquiera no se produzcan accidentes.


b) Se produzcan 2 accidentes en 3 dıas de trabajo.

c) Se produzcan como maximo 3 accidentes en 7 dıas de trabajo.

Solucion:

a) En un dıa cualquiera no se produzcan accidentes:

Calculamos λ:

7 accidentes35 dıas

= 0,2 accid / dıa

λ = 1 ∗ 0,2 = 0,2

X ∼ P(0,2)

Buscamos en la tabla de la Distribucion de Poisson y obtenemos la probabili-

dad:

P(X = 0) = 0,8187

b) Se produzcan 2 accidentes en 3 dıas de trabajo:

λ = 3 ∗ 0,2 = 0,6

X ∼ P(0,6)

Buscamos en la tabla:

P(X = 2) = 0,0988

c) Se produzcan como maximo 3 accidentes en 7 dıas de trabajo:

λ = 7 ∗ 0,2 = 1,4

X ∼ P(1,4)

Buscamos en la tabla de la Distribucion de Poisson:

P(X ≤ 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)

P(X ≤ 3) = 0,2466 + 0,3452 + 0,2417 + 0,1128 = 0,9463


3. Un libro de 520 paginas contiene 390 errores tipograficos. Suponiendo que el numero

de errores por pagina es una variable de Poisson, encuentre la probabilidad de que 4

paginas seleccionadas al azar esten libres de errores.

Solucion:

Definimos la variable aleatoria X:

X = numero de errores por pagina

390 errores520 paginas

= 0,75 errores / pag.

λ = 4 ∗ 0,75 = 3

X ∼ P(3)

P(X = 0) =e−3(3)0

0!= 0,0498

4. Un libro de 200 paginas contiene 30 errores de imprenta. Si suponemos que el

numero de errores por pagina es una variable de Poisson.

¿Cual es la probabilidad de que por lo menos una pagina contenga mas de 2 errores?

Solucion:

Primero calculamos la probabilidad de que por lo menos una pagina contenga mas

de 2 errores:

P(1 pagina tenga 2 o menos errores) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)

P(1 pag. tenga 2 o menos errores) =e−0,15(0,15)0

0!+

e−0,15(0,15)1!

+e−0,15(0,15)2

2!

P(1 pag. tenga 2 o menos errores) = 0,99949714

P(todas las pags. contiene 2 o menos errores) = (0,99949714)200 = 0,90429712

P(todas las pags. contienen mas de 2 errores) = 1 − 0,90429712 = 0,09570288


5. El 10 % de las herramientas producidas en cierto proceso de fabricacion son defec-

tuosas. Encuentre a probabilidad de que en una muestra de 10 herramientas, selec-

cionadas al azar, exactamente 2 sean defectuosas usando:

a) La Distribucion Binomial

b) La aproximacion de Poisson a la Binomial

Solucion:

a) Por la Binomial:

n = 10

x = 2

p = 0,1

−→ X ∼ B(10; 0,1)

P(X = 2) =

(102

)(0,1)2(0,9)8 = 0,1937

b) Por Poisson:

λ = n ∗ p

λ = 10 ∗ 0,1 = 1

−→ X ∼ P(1)

P(X = 2) = 0,1839

Si observamos los dos resultados, la aproximacion no es lo suficientemente

buena, esto es debido a que no se cumple la regla de que n ≥ 50.

6. Si la probabilidad de que una persona tenga una mala reaccion a la inyeccion de un

determinado suero es 0,001, determine la probabilidad de que de cada 2000 individ-

uos:

a) Exactamente 3 tengan una mala reaccion.

b) Mas de 2 individuos tengan una reaccion mala.


Solucion:n = 2000

p = 0,001

−→ X ∼ B(2000; 0,001)

λ = n ∗ p

λ = 2

−→ X ∼ P(2)

a) Exactamente 3:

P(X = 3) = 0,1804

b) Mas de 2:

P(X > 2) = 1 − P(X ≤ 2) = 1 − 0,6767 = 0,3233

7. Una companıa de seguros encuentra que el 0.005 % de la poblacion fallece cada ano

de cierto tipo de accidente. ¿Cual es la probabilidad de que tengan que pagar a mas

de 3 de los 10000 asegurados contra tal riesgo en un ano dado?

Solucion:

X = Numero de asegurados a pagar

n = 10000

x = 4, 5, 6, . . .

p = 0,00005

−→ X ∼ B(10000; 0,00005)

λ = n ∗ p

λ = 10000 ∗ 0,00005 = 0,5

−→ X ∼ P(0,5)

P(X > 3) = 1 − P(X ≤ 3) = 1 − 0,9982 = 0,0018

0,0018 ≈ 1556 Aproximadamente hay que pagarle el seguro a mas de 3 personas cada

556 anos.


4.1.3. Distribucion Geometrica

La Distribucion Geometrica proporciona la probabilidad de realizar x experimentos de

Bernoulli independientes, con probabilidad de exito (p) constante, a fin de obtener el primer

exito.

La distribucion se denota X ∼ G(p) y viene dada por:

P(X = x) = p(1 − p)x−1 con x = 1, 2, 3, . . .

Las propiedades de la Distribucion Geometrica:

Media:

µ = 1p

Varianza:

σ2 =(1−p)

p

Propiedad de no memoria:

P(X = s + t/ X > s) = P(X = t)

EJERCICIOS

1. Se sabe que 5 de cada 100 carros que circulan en una ciudad, presentan fallas que

ocasionan contaminacion del aire. Si se seleccionan carros aleatoriamente uno tras

otro, ¿cual es la probabilidad de que el decimo carro revisado sea el que presente este

tipo de falla?

Solucion:p = 0,05

x = 10

−→ X ∼ G(0,05)


P(X = 10) = (0,05)(0,95)9 = 0,0315

2. Supongamos que la probabilidad de que un cohete alcance un objetivo es p = 0,2 y

el cohete se dispara repetidamente hasta alcanzar el objetivo.

a) Encuentre el numero esperado E(x) de cohetes que seran disparados.

b) Encuentre la probabilidad p de que 4 o mas cohetes seran requeridos para al-

canzar finalmente el objetivo.

Solucion:

a) Numero esperado de cohetes que seran disparados: p = 0,2

µ = E(x) =1p

=1

0,2= 5

Se espera disparar 5 cohetes.

b) Probabilidad de que 4 o mas cohetes seran requeridos para alcanzar finalmente

el objetivo:

P(X ≥ 4) = 1 − P(X < 4) = 1 − [P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)] = 0,512

3. Cada vez que Juan lanza la pelota de basquetboll desde el tiro libre, tiene una proba-

bilidad 0,40 de encestarla, ¿cual es la probabilidad de que tenga que lanzarla mas de

3 veces para encestarla por primera vez?

Solucion:p = 0,4

x = 4, 5, ...

−→ X ∼ G(0,4)

P(X > 3) = 1 − P(X ≤ 3) = 1 − [P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)] = 0,216


4. Encuentre la probabilidad de que en 5 lanzamientos sucesivos de un dado balanceado,

aparezca un 3 por primera vez en el quinto lanzamiento.

Solucion:

X ∼ G(

16

)

P(X = 5) =

(16

) (56

)4

= 0,0804

5. Sabemos que la probabilidad de lanzar un dado 8 veces para sacar el 4 por primera

vez es de (5/ 6)7(1/ 6). Si el dado ya se lanzo 4 veces y no ha salido el 4, ¿cual es la

probabilidad de tener que lanzar el dado otras 8 veces mas para sacar el 4 por primera

vez?

Solucion:

Segun la propiedad de no memoria de la distribucion geometrica:

P(X = 12/ X > 4) = P(X = 8) =

(56

)7 (16

)

Para demostrar esta propiedad tenemos:

P(X = s + t/ X > s) = P(X = t)

P(X = 4 + 8/ X > 4) = P(X = 8)

P(X = 12/ X > 4) = P(X = 8)

(1/ 6)(5/ 6)11

(5/ 6)4 =

(56

)7 (16

)

(56

)7 (16

)=

(56

)7 (16

)

4.1.4. Distribucion de Pascal o Binomial Negativa

Esta distribucion representa el numero de veces que debe repetirse un experimento para

obtener r exitos; esta se denota por X ∼ BN(r; p) y su distribucion de probabilidad viene


dada por:

P(X = x) =

(x − 1r − 1

)prqx−r para x = r, r + 1, r + 2, . . .

Media:

E(x) =rp

Varianza:

σ2 =rqp2

Observamos que cuando r = 1 en la Distribucion de Pascal, se trata en si de la distribu-

cion del numero de ensayos de Bernoulli hasta que ocurre el primer exito y como sabemos

esta distribucion es la Geometrica.

EJERCICIOS

1. ¿Cual es la probabilidad de que haya que lanzar 5 veces un dado para obtener 2

cuatros?

Solucion:p = 1/ 6

x = 5

r = 2

−→ X ∼ BN

(2,

16

)

P(X = 5) =

(5 − 12 − 1

) (16

)2 (56

)5−2

= 0,0643

2. En un caso de partıculas raras en un fluido, suponga que la probabilidad de hallar

partıculas en una muestra de un mililitro es 0,5. El experimento de muestreo se repite

hasta hallar cuatro muestras con partıculas en suspension, ¿cuantas muestras se es-

pera necesario observar?

Solucion:


E(x) =rp

=4

0,5= 8

Se esperar que sean 8 muestras.

3. En un examen en el que se van haciendo preguntas sucesivas, para aprobar hay que

contestar correctamente a 10 preguntas. Suponiendo que el alumno sepa el 80 % de

las respuestas, ¿cual es la probabilidad de que apruebe en las 12 primeras preguntas?

Solucion:p = 0,8

x = 12

r = 10

−→ X ∼ BN(10, 0,8)

P(X = 12) =

(12 − 110 − 1

)(0,8)10(0,2)12−10 = 0,2362

4. En una poblacion las personas que padecen fobia son hombres en un 51 %. Suponien-

do que se extraen aleatoriamente individuos de la poblacion con reemplazo, ¿Cual es

la probabilidad de que, antes de que se haya obtenido una cantidad igual a 10 hom-

bres, se hayan extraido exactamente 10 mujeres?

Solucion:p = 0,51

x = 20

r = 10

−→ X ∼ BN(10; 0,51)

P(X = 20) =

(20 − 110 − 1

)(0,51)10(0,49)20−10 = 0,0877


4.1.5. Distribucion Hipergeometrica

Esta distribucion se refiere a un espacio muestral donde hay elementos de 2 tipos posi-

bles. Indica la probabilidad de tener un numero de objetos X de uno de los tipos, al sacar

una muestra de tamano n, de un total de N objetos, de los cuales r son del tipo requerido.

X ∼ H(N; r; n)

P(X = x) =

(rx

)(N−rn−x

)(

Nn

) para x = 0, 1, 2, . . .

Las propiedades de esta distribucion son:

Media:E(x) = np ; p =

rN

Varianza:σ2 = npq N−n

N−1

EJERCICIOS

1. Una fabrica de pequenos motores, los empaca en cajas de 50. Antes de ser aceptados,

un inspector elige 5 motores al azar y los examina. Si todos estan perfectos, acepta la

caja, de lo contrario examina todos los motores de la misma. Suponga que en una caja

hay 3 motores defectuosos. ¿Cual es la probabilidad de que haya que inspeccionar

todos los motores de la caja?

Solucion:N = 50

n = 5

r = 3

x = 1, 2, 3

−→ X ∼ H(50; 3; 5)


P(X ≥ 1) = 1 − P(X < 1) = 1 − P(X = 0)

P(X ≥ 1) = 1 −(

30

)(50−35−0

)(

505

) = 0,2760

2. Una clase con 10 estudiantes tiene 6 hombres. Supongamos que se ha seleccionado

una muestra aleatoria de 5 estudiantes. Encuentre la probabilidad de que exactamente

3 hombres sean seleccionados.

Solucion:N = 10

n = 5

r = 6

x = 3

−→ X ∼ H(10; 6; 5)

P(X = 3) =

(63

)(10−65−3

)(

105

) = 0,4762

3. Entre 12 hombres que solicitan un trabajo, 9 de ellos, sus esposas trabajan. Si se

seleccionan aleatoriamente a 2 de los solicitantes para una consideracion adicional,

cuales son las probabilidades de que:

a) La esposa de ninguno trabaje.

b) Solo la esposa de uno trabaje.

c) Las esposas de ambos trabaje.

Solucion:

Se define la variable aleatoria, sea X el numero de hombres cuyas esposas trabajan

N = 12

n = 2

r = 9

−→ X ∼ H(12; 9; 2)


a) La esposa de ninguno trabaja: (X = 0)

P(X = 0) =

(90

)(12−92−0

)(

122

) = 0,0455

b) Solo la esposa de uno trabaja: (X = 1)

P(X = 1) =

(91

)(12−92−1

)(

122

) = 0,4091

c) Las esposas de ambos trabajan: (X = 2)

P(X = 2) =

(92

)(12−92−2

)(

122

) = 0,5455

4. Un inspector de aduanas decide revisar 3 de 16 embarques provenientes de Madrid

por vıa aerea. Si la seleccion es aleatoria y 5 de los embarques contienen contrabando

encuentre las probabilidades de que el inspector de aduanas:

a) No encuentre ningun embarque con contrabando.

b) Encuentre 1 con contrabando.

c) Encuentre 2 con contrabando.

d) Encuentre 3 con contrabando.

Solucion:

Sea X el numero de embarques con contrabando

N = 16

n = 3

r = 5

−→ X ∼ H(16; 5; 3)

a) No encuentre ningun embarque con contrabando:

P(X = 0) =

(50

)(16−53−0

)(

163

) = 0,2946


b) Encuentre 1 con contrabando:

P(X = 1) =

(51

)(16−53−1

)(

163

) = 0,4911

c) Encuentre 2 con contrabando:

P(X = 2) =

(52

)(16−53−2

)(

163

) = 0,1964

d) Encuentre 3 con contrabando:

P(X = 3) =

(53

)(16−53−3

)(

163

) = 0,0179

4.1.6. Distribucion Multinomial

Esta distribucon es una extension de la Binomial, ya que se consideran k posibles resul-

tados.

Los k resultados pueden ser llamados 1, 2, . . ., k.

P(X1 = n1; X2 = n2; . . . ; Xk = nk) =n!

n1! ∗ n2! ∗ . . . ∗ nk!Pn1

1 ∗ Pn22 ∗ . . . ∗ Pnk

k

El numero esperado de veces del suceso es:

E(x1) = np1

E(x2) = np2

...

E(xk) = npk

EJERCICIOS


1. Se lanza un dado 18 veces, ¿cual es la probabilidad de que cada uno de los 6 numeros

haya salido 3 veces?

Solucion:

P(x1 = 3; x2 = 3; . . . ; x5 = 3; x6 = 3) =18!

3!3!3!3!3!3!

(16

)3 (16

)3 (16

)3 (16

)3 (16

)3 (16

)3

= 0,0013

2. El 80 % de los artıculos que fabrica una maquina resultan ser de primera calidad, el

15 % de calidad aceptable, y el 5 % resulta ser defectuosos. Si de la produccion de

un dıa cualquiera, sacamos 20 artıculos de esta maquina, ¿cual es la probabilidad de

que se obtengan 2 defectuosos, uno aceptable y 17 de primera calidad?

Solucion:

Definimos las variables y sus probabilidades:

X1 = primera calidad ; p1 = 0,8X2 = calidad aceptable ; p2 = 0,15X3 = defectuoso ; p3 = 0,05

P(x1 = 17; x2 = 1; x3 = 2) =20!

17!1!2!(0,8)17(0,15)1(0,05)2 = 0,089

3. Una caja contiene 5 bolas rojas, 4 bolas blancas y 3 bolas azules. Se seleccionan

al azar una bola de la caja, se anota su color y se devuelve a la caja. Encuentre la

probabilidad de que de 6 bolas seleccionadas de esta manera, 3 sean rojas, 2 sean

blancas y 1 sea azul.

Solucion:


X1 = bolas rojas ; p1 = 512

X2 = bolas blancas ; p2 = 412

X3 = bolas azules ; p3 = 312


P(x1 = 3; x2 = 2; x3 = 1) =6!

3!2!1!

(5

12

)3 (4

12

)2 (312

)= 0,1207

4. Encuentre la probabilidad de no obtener, 1, 2 o 3 en 4 lanzamientos de un dado

balanceado.

Solucion:


X1 = 1 ; p1 = 16

X2 = 2 ; p2 = 16

X3 = 3 ; p3 = 16

x4 = 4, 5, 6 ; p4 = 36

P(x1 = 0; x2 = 0; x3 = 0; x4 = 4) =4!

0!0!0!4!

(16

)0 (16

)0 (16

)0 (36

)4

= 0,0625

4.2. Distribuciones Clasicas Continuas

4.2.1. Distribucion Uniforme

Esta funcion tambien es conocida como la Distribucion Rectangular, y se dice que una

variable aleatoria X esta distribuida uniformemente en a ≤ X ≤ b, si su distribucion de

probabilidad f (x) es:

f (x) =

1

b−a a ≤ X ≤ b

0 de otra manera

Su grafica se muestra en la Figura 4.3.


0 Xa b

f(x)

Figura 4.3: Distribucion de Probabilidad de la Distribucion Uniforme

Para valores diferentes de a y b se obtienen diferentes distribuciones, por lo que estos

son los parametros de la Distribucion y se denota: X ∼ U(a; b)

Su funcion de distribucion F(x) esta dada por:

F(x) =

0 X < ax−ab−a a ≤ X < b

1 X ≥ b

0 X

F(x)

ba

1

Figura 4.4: Funcion de Distribucion de la Distribucion Uniforme


Las propiedades de la Distribucion Uniforme son:

Media:µ =

(a+b)2

Varianza:σ2 =

(a+b)2

12

EJERCICIOS

1. Sea X una variable aleatoria con distribucion de probabilidad U(2; 4). Especificar y

graficar su funcion de densidad, y calcular su media, su varianza y P(X > 3,2).

Solucion:

Graficamos la distribucion de probabilidad (Figura 4.5):

0 1 2 3 4 X

F(x)


La funcion de densidad para el intervalo (2;4) sera entonces:

f (x) =1

4 − 2=

12

Entonces tenemos:

f (x) =

12 2 ≤ X ≤ 4

0 de otra manera


Calculamos la media y la varianza:

µ =(2 + 4)

2= 3

σ2 =(4 − 2)2

12=

13

Calculamos la probabilidad P(X > 3,2):

P(X > 3,2) =

∫ 4

3,2

12

dx = 0,4

2. Si un paracaıdista cae en un sitio aleatorio de la lınea recta entre los marcadores

A y B, encuentre la probabilidad de que este mas cerca de A que de B. Calcule la

probabilidad de que la distancia con repecto a A sea mas de 3 veces la distancia con

repecto a B.

Solucion:

Observamos en la recta que si se desea calcular la probabilidad de que el paracaıdista

caiga mas cerca de A, entonces debemos calcular la probabilidad de que caiga en la

zona de color rojo.

BA+BA2

P(mas cerca de A) =

∫ A+B2

A

1B − A

dx =12

Ahora bien, la siguiente probabilidad a calcular es la mostrada en la recta:

BA C3 veces


Buscamos la relacion entre A, B y C: CB = 3AC

B −C = 3(C − A) −→ B −C = 3C − 3A

4C = B + 3A −→ C = B+3A4

P =

∫ B+3A4

A

1B − A

dx =14

3. Una barra de 50 centımetros de longitud puede partirse por cualquier punto en forma

aleatoria. ¿Cual es la probabilidad de que se parta a menos de 5 cm de cualquiera de

los extremos?

Solucion:

Dibujamos la barra de 50 cm y definimos los puntos de corte: Buscamos la distribu-

3 vecesa bdc

cion de probabilidad y luego la probabilidad pedida:

f (x) =1

b − a=

150 − 0

=1

50para 0 ≤ X ≤ 50

P(a ≤ X ≤ c) o P(d ≤ X ≤ b) = P(a ≤ X ≤ c) + P(d ≤ X ≤ b)

=

∫ 5

0

150

dx +

∫ 50

45

150

dx =15

4. El tiempo de viaje (ida y vuelta) de lo camiones que transportan concreto hacia una

obra de construccion en una carretera, esta distribuido uniformemente en un intervalo

de 50 a 70 minutos. ¿Cual es la probabilidad de que la duracion del viaje sea mayor

a 65 minutos si se sabe que la duracion del viaje es mayor a 55 minutos? Hallar la

media y la varianza de los tiempos de viaje.


Solucion:

Dibujamos la distribucion de probabilidad para este ejercicio y calculamos la fun-

cion:

45 50 55 60 65 70 75

f(x)

X

f (x) =1

70 − 50=

120

para 50 ≤ X ≤ 70

Calculamos la probabilidad pedida:

P(X > 65/X > 55) =

∫ 70

65120dx

∫ 70

55120dx

=13

Calculamos la media y la varianza:

E(x) =a + b

2=

50 + 702

= 60 minutos

V(x) =(b − a)2

12=

(70 − 50)2

12= 3,333 minutos2

5. Supongamos que X esta distribuida uniformemente en el intervalo (−a; a), donde

a > 0. Determine a de manera que se cumplan las condiciones siguientes:

a) P(X > 1) = 13


b) P(X > 1) = 12

c) P(|X| < 1) = P(|X| > 1)

d) P(X < 1

2

)= 0,7

Solucion:

f (x) =1

a − (−a)=

12a

para − a < X < a

a) P(X > 1) = 13 :

−a 0 1 a−a

f(x)

X

1/3

P(X > 1) =13

=⇒∫ a

1

12a

dx =13

x2a

∣∣∣∣∣a

1=

13

=⇒ a − 12a

=13

a = 3

b) P(X > 1) = 12 :

P(X > 1) =12

=⇒∫ a

1

12a

dx =12


−a 0 1 a−a

f(x)

X

1/2

x2a

∣∣∣∣∣a

1=

12

=⇒ a − 12a

=12

=⇒ 2a − 2 , 2a

No existe un a tal que la P(X > 1) sea igual a 12 .

c) P(|X| < 1) = P(|X| > 1):

Para resolver esta parte, partimos de la definicion del valor absoluto, por lo tanto

tenemos:

|x| =−x si x < 0

x si x ≥ 0

Para P(|X| < 1): (Ver Figura 4.6)

|x| < 1 =

−x < 1 =⇒ x > −1

x < 1

Para P(|X| > 1): (Ver Figura 4.7)

|x| > 1 =

−x > 1 =⇒ x < −1

x > 1


−a −1 0 1 a

f(x)

X

Figura 4.6: Para P(|X| < 1)

−a −1 0 1 a

f(x)

X

Figura 4.7: Para P(|X| > 1)


P(|X| < 1) = P(|X| > 1)∫ 1

−1

12a

dx =

∫ −1

−a

12a

dx +

∫ a

1

12a

dx

x2a

∣∣∣∣∣1

−1=

x2a

∣∣∣∣∣−1

−a+

x2a

∣∣∣∣∣a

1


a = 2

d) P(X < 1

2

)= 0,7:

−a 0 0.5 a

X

f(x)

0.7

P(X <

12

)= 0,7 =⇒

∫ 0,5

−a

12a

dx = 0,7

x2a

∣∣∣∣∣0,5

−a= 0,7 =⇒ 0,5 + a

2a= 0,7 =⇒ a = 1,25

6. Demuestre que la media y la varianza de la distribucion uniforme estan dadas respec-

tivamente por:

a) µ = (a + b)/2

b) σ2 = (b − a)2/12

Solucion:

a) µ = (a + b)/2

Sabemos que la media de una distribucion de probabilidad debe ser igual a la

esperanza matematica, por lo tanto tenemos:

E(x) =

∫ b

ax ∗ 1

b − adx =

x2

2(b − a)

∣∣∣∣∣∣b

a

=a + b

2


b) σ2 = (b − a)2/12

Tenemos que la varianza es V(x) = E(x2) − [E(x)]2:

E(x2) =

∫ b

ax2 ∗ 1

b − adx =

x3

3(b − a)

∣∣∣∣∣∣b

a

=b2 + ab + a2

3

V(x) =b2 + ab + a2

3−

[a + b

2

]2

=(b − a)2

12

4.2.2. Distribucion Exponencial

Se dice que una variable aleatoria continua X tiene una distribucion exponencial con

parametro α, si su funcion de densidad es:

f (x) = αe−αx para X > 0

La variable aleatoria se denota por: X ∼ EXP(α). Y su funcion de distribucion F(x) es:

F(x) =

∫ x

0αe−αtdt = 1 − e−αx para X > 0

Las propiedades de la Distribucion Exponencial son:

Media:

µ = 1/ α

Varianza2 :

σ2 = 1/ α2

No memoria:

P(X > s + t/ X > s) = P(X > t)2 Esta distribucion es la unica en que su desviacion estandar es igual a su media


Es importante senalar que existe una relacion entre la Distribucion Exponencial y la

Poisson. Sabemos que la Distribucion de Poisson considera el numero de ocurrencias de

un evento con parametro λ, entonces la distribucion del intervalo entre las ocurrencias es

exponencial con parametro λ.

EJERCICIOS

1. Supongamos que la duracion de X (en dıas) de cierto componenete C es exponencial,

donde α = 1/ 120. Encuentre la probabilidad de que el componente C dure:

a) Menos de 60 dıas.

b) Mas de 240 dıas.

Solucion:

a) Menos de 60 dıas:

P(X < x) = F(x) = 1 − e−αx

P(X < 60) = F(60) = 1 − e−60

120 = 0,3935

b) Mas de 240 dıas:

P(X > 240) = 1 − P(X ≤ 240) = 1 − F(240) = e−240120 = 0,1353

2. Verifique con un ejemplo numerico la propiedad de no memoria de la distribucion

exponencial f (x) = 3e−3x para X > 0.

Solucion:

P(X > s + t/ X > s) = P(X > t)

P(X > 2/ X > 1) = P(X > 1)

P(X > 2) ∩ P(X > 1)P(X > 1)

= P(X > 1)


P(X > 2)P(X > 1)

= P(X > 1)

e−6

e−3 = e−3 =⇒ e−3 = e−3

3. Considere el componente C del ejercicio numero 1. Si C aun esta trabajando despues

de 100 dıas, encuentre la probabilidad de que este dure mas de 340 dıas.

Solucion:

Utilizamos la propiedad de no memoria:

P(X > s + t/ X > s) = P(X > t)

P(X > 340/ X > 100) = P(X > 240) = 1 − P(X ≤ 240)

P(X > 340/ X > 100) = 0,1353

4. La duracion en horas de cierto dispositivo electronico puede ser modelada por la

distribucion exponencial con un promedio de 100 horas. El vendedor da al comprador

la siguiente garantıa: si el dispositivo que compra le dura menos de 20 horas, le

devolvera el dinero. El costo de fabricacion de cada dispositivo es de 100 y el precio

de venta es 200.

a) Obtenga la ganancia esperada.

b) Si el vendedor quiere incrementar la ganancia esperada en un 20 % modificando

la garantia ¿como quedara esta entonces?

Solucion:

Tenemos que:

µ = 100

α = 0,01

a) Ganancia Esperada (E(G)):

La ganancia puede tomar 2 valores, ver Tabla 4.1:


G -100 100P(G) P(X < 20) P(X ≥ 20)

Tabla 4.1: Distribucion de probabilidad de la Ganancia

Calculamos las probabilidades:

P(X < 20) = F(20) = 1 − e−0,01∗20 = 0,1813

P(X ≥ 20) = 0,8187

Por lo tanto tenemos que la esperanza es:

E(G) = −100 ∗ 0,1813 + 100 ∗ 0,8187 = 63,74

Se espera que el vendedor tenga una ganancia de 63,74 UM.

b) Nueva garantia:

Si el vendedor desea aumentar la ganancia en un 20 %, entonces tenemos que

la nueva ganancia es de: 63,74 + 0,2*63,74 = 76,488 UM.

Definimos a x como la nueva garantıa (en dıas), y la nueva distribucion de

probabilidad de la ganancia sera entonces:

G -100 100P(G) P(X < x) P(X ≥ x)P(G) 1 − e−0,01x e−0,01x

Tabla 4.2: Distribucion de probabilidad de la nueva ganancia

Tenemos entonces:

E(G) = −100 ∗ (1 − e−0,01x) + 100 ∗ e−0,01x = 76,488

Despejamos a x y tenemos:

x = 12,51

Esto quiere decir que la nueva garantıa debe ser de 12,51 dıas para aumentar la

ganancia en un 20 %.


4.2.3. Distribucion Normal

Una variable aleatoria continua X, que puede asumir todos los valores entre −∞ e ∞,

se dice que esta distribuida normalmente si su densidad se expresa ası:

f (x) =1√2πσ

e−12 ( x−µ

σ )2

La Normal depende de dos parametros, la media µ (que es el centro de la misma) y

la varianza σ, y se denota por: X ∼ N(µ;σ2). La normal es simetrica con respecto a la

media y la desviacion estandar actua como un coeficiente de elasticidad; entre mas grande

es la desviacion, mas abierta es la distribucion. En la Figura 4.8 podemos observar como se

traslada la curva de la Distribucion Normal cuando se varıa la media (la desviacion estandar

se mantiene en 1).

−2 0 2

Media = 0Media = −2 Media = 2

Desviación = 1

Figura 4.8: Distribucion Normal

En la Figura 4.9 se observa como la curva se abre a medida que aumenta la desviacion

estandar, esto confirma como este parametro cumple su funcion como un coeficiente de


elasticidad.

0

Desviación = 0.5

Desviación = 1

Desviación = 2


La funcion de distribucion es:

F(x) = P(X ≤ x) =1

σ√

2π

∫ x

−∞e−

12 ( t−µ

σ )2

dt

Distribucion Normal estandarizada

Toda Distribucion Normal puede ser llevada a la distribucion normal estandarizada me-

diante la siguiente transformacion:

Z =x − µσ

Se observa que Z tambien es una variable aleatoria distribuida normalmente con µ = 0

y σ = 1, es decir, Z ∼ N(0; 1).


El calculo de la probabilidad:

P(a ≤ X ≤ b) =1√2πσ

∫ b

ae−

12 ( x−µ

σ )2

dx

Se convierte en:

P(a ≤ X ≤ b) =1√2πσ

∫ (b−µ)/ σ

(a−µ)/ σe−

Z22 dx

P(a ≤ X ≤ b) = Φ

(b − µσ

)− Φ

(a − µσ

)

La probabilidad de los valores de la variable estandarizada ((a− µ)/σ y (b− µ)/σ), son

encontrados en la tabla de la distribucion normal estandarizada; es importante acotar que

la probabilidad dada en la tabla es la probabilidad acumulada.

−2 −1 0 1 2 X

34.1% 34.1%

2.15% 2.15%

13.6%13.6%

Z

0.4

EJERCICIOS

1. Supongamos que la estatura (en centımetros) de los hombres de la Facultad de In-

genierıa esta distribuida en forma normal con media µ = 172,72 cm y desviacion


estandar σ = 6,35 cm. Encuentre el porcentaje de hombres que estan entre 167,64 y

180,34 centımetros.

Solucion:

Como dice el enunciado del ejercicio, la variable aleatoria X esta distribuida como

una normal:

X ∼ N(172,72; 40,3225)

Se desea encontrar:

P(167,64 ≤ X ≤ 180,34)

Estandarizamos la variable aleatoria X, restandole su media y dividiendo entre la

desviacion estandar:

P(167,64 ≤ X ≤ 180,34) = P(167,64 − 172,72

6,35≤ X − µ

σ≤ 180,34 − 172,72

6,35

)

P(167,64 ≤ X ≤ 180,34) = P(−0,8 ≤ Z ≤ 1,2)

P(167,64 ≤ X ≤ 180,34) = Φ(1,2) − Φ(−0,8)

Buscamos en la tabla estadistica de la distribucion normal estandarizada los valores

1.2 y -0.8 y tenemos que sus respectivas probabilidades, y la probabilidad buscada

es:

P(167,64 ≤ X ≤ 180,34) = 0,8849 − 0,2119 = 0,673

Graficamente el calculo que se esta realizando es el siguiente:

Observamos en la Figura 4.10 que la probabilidad buscada (area sombreada) se en-

cuentra entre los valores -0.8 y 1.2, dado que la probabilidad propocionada por la

tabla estadıstica es la probabilidad acumulada, el calculo de la probabilidad de ese

intervalo se realiza restandole a la probabilidad φ(1,2) la de φ(−0,8), lo que quiere de-

cir que aproximadamente el 67,3 % de los estudiantes hombres de la facultad tienen

una estatura entre 167,64 y 180,34 centımetros.


−0.8 0 1.2 X

Z

0.21190.8849

Figura 4.10: Distribucion Normal Estandarizada

2. El peso en kilogramos de cierto grupo de personas es una variable aleatoria normal

con media 72 kilogramos y desviacion estandar 8 Kg. Si en el grupo hay 2400 per-

sonas, ¿cuantos se espera que pesen mas de 85 Kg.?

Solucion

X = peso en kilogramos de las personas.

X ∼ N(72; 64)

Dado que se pide cuantas personas superan los 85 kilogramos en el grupo, primero se

debe calcular la probabilidad de que una persona pese mas de 85 kilogramos siendo

la media 72 kilogramos, para ello realizamos el siguiente calculo:

P(X > 85)

Estandarizamos la variable y obtenemos:

P(X > 85) = P(

X − µσ

>85 − 72

8

)= P(Z > 1,625)


Como se ha mencionado anteriormente, la probabilidad dada en la tabla es acumulada

y en este caso lo que se desea calcular es el extremo derecho de la curva (ver Figura

4.11).

0 1,625 Z

g(z)


Para este caso le restamos al area total de la curva (igual a 1) la probabilidad acumula-

da hasta 1,625, de esta manera obtenemos la probabilidad pedida; entonces tenemos

que:

P(Z > 1,625) = 1 − P(Z ≤ 1,625)

Ahora bien, dado que el valor de la variable estandarizada 1,625, no se encuentra

en la tabla, pero si se encuentra los valores 1,62 y 1,63, lo mas recomendable es

interpolar para hallar dicha probabilidad, para ello se asume que el segmento de la

curva tomado entre 1,62 y 1,63 es tan pequeno que se toma como una recta y por lo

tanto podemos utilizar la siguiente ecuacion, que no es mas que la ecuacion de una

recta:

f (x) = Y0 +Y1 − Y0

X1 − X0(X − X0)

Definiendo las valores de las X y las Y tenemos:


X0 = 1,62 Y0 = 0,9474X = 1,625 YX1 = 1,63 Y1 = 0,9484

Sustituimos en la ecuacion de la recta y tenemos:

f (1,625) = 0,9474 +

(0,9484 − 0,9474

1,63 − 1,62

)(1,625 − 1,62) = 0,9479

Y = 0,9479


P(Z > 1,625) = 1 − 0,9479 = 0,0521

La probabilidad de que una persona pese mas de 85 kilogramos es de 0,0521; ahora

bien, ¿cuantas personas del grupo se espera que tengan esa condicion?

0,0521 ∗ 2400 = 125,04

Se espera que 125 personas de ese grupo pesen mas de 85 kilogramos.

Como se dijo en un principio de esta seccion, la curva de la distribucion normal es

simetrica con respecto a su media, esta propiedad nos permite facilitar los calculos

de probabilidad utilizando la simetrıa.

En la Figura 4.12 podemos observar que el area donde Z > 1,625 es exactamente

igual al area donde Z < −1,625, lo que quiere decir que, la probabilidad P(Z >

1,625) es exactamente igual a la probabilidad P(Z ≤ 1,625), por lo que simplemente

buscamos directamente en la tabla de la normal estadarizada la probabilidad P(Z <

−1,625).


−1.625 0 1.625

P(Z > 1.625)P(Z < −1.625)


3. Una empresa metalmecanica produce rodamientos con diametros que tienen una dis-

tribucion normal con una media de 3,0005” y una desviacion estandar de 0,001”.

Las especificaciones requieren que los diametros esten en el intervalo 3±0,002”. Se

rechazan los rodamientos con diametros que quedan fuera del intervalo y deben vol-

verse a maquinar. Con la maquinaria actual, ¿que fraccion de la produccion total

sera rechazada?

Solucion:

X = diametro en centımetros de los rodamientos

X ∼ N(3, 0005; 0,000001)

Tenemos que:

P(rechazados) = 1 − P(aprobados)

P(aprobados) = P(2,998 ≤ X ≤ 3,002)

P(aprobados) = P(2,998 − 3,0005

0,001≤ Z ≤ 3,002 − 3,0005

0,001

)


P(aprobados) = P(−2,5 ≤ Z ≤ 1,5) = 0,9332 − 0,0062 = 0,927

−2.5 0 1.5

RechazadosRechazados Aprobados92.7%


En la Figura 4.13 se puede observar el intervalo con las especificaciones en que los

rodamientos son aceptados (color rojo) y a los lados la proporcion que es rechazada,

es decir, tenemos que aproximadamente un 92,7 % de la produccion es aceptada, y

por lo tanto le restamos a la unidad esta probabilidad y obtenemos que un 7,3 %

sera rechazada aproximadamente.

4. Se observo durante un perıodo que la cantidad semanal gastada en el mantenimiento

y en las repaciones en cierta fabrica tiene aproximadamente una distribucion normal

con una media de 400 Bs. F y una desviacion estandar de 20 Bs. F. Si el presupuesto

para la proxima semana es de Bs. F 450, ¿cual es la probabilidad de que los cos-

tos reales sean mayores que la cantidad presupuestada? ¿de cuanto tendrıa que ser

el presupuesto para reparaciones semanales y mantenimiento, para que la cantidad

presupuestada solamente se rebasara con una probabilidad de 0,1?

Solucion:

X = presupuesto semanal en Bs. F


X ∼ N(400; 400)

P(X > 450) = 1 − P(X ≤ 450)

P(X > 450) = 1 − Φ

(450 − 400

20

)= 1 − Φ(2,5)

P(X > 450) = 1 − 0,9938 = 0,0062

La probabilidad de que los costos reales se sobrepasen de 450 Bs. F para esa semana

es de 0,0062.

Ahora bien, si se desea saber de cuanto deberıa ser el presupuesto (valor de X),

planteamos el siguiente caso:

P(

X − µσ≥ X − 400

20

)= 0,1

P(Z ≥ X − 400

20

)= 0,1

1 − P(Z ≤ X − 400

20

)= 0,1

P(Z ≤ X − 400

20

)= 0,9

Buscamos una probabilidad igual a 0,9 en la tabla de la normal estandarizada para

saber que a valor de Z pertenece esa probabilidad.

La probabilidad exacta de 0,9 no aparece en la tabla, debemos interpolar.

f (x) = Y0 +Y1 − Y0

X1 − X0(X − X0)

Definiendo los valores de las X y las Y tenemos:

X0 = 0,8997 Y0 = 1,28X = 0,9 Y

X1 = 0,9015 Y1 = 1,29



f (0,9) = 1,28 +

(1,29 − 1,28

0,9015 − 0,8997

)(0,9 − 0,8997) = 1,2817

Por lo tanto tenemos que el valor de Z con probabilidad igual a 0,9 es 1,2817, si

igualamos la variable X estandarizada a este valor obtenemos:

Z ≤ X − µσ

=⇒ Z ≤ X − 40020

Despejamos a X y obtenemos X ≥ 425, 633, esto quiere decir que el presupuesto

semanal debe ser mayor de 425,633 Bs. F para que el presupuesto se sobrepase en

un 10 %.

5. Los alambres que se utilizan en cierta computadora deben tener una resistencia entre

0,12 y 0,14 ohms. Las resistencias reales de los alambres producidos por la companıa

A tienen una distribucion de probabilidad normal con una media de 0,13 ohms y una

desviacion estandar de 0,005 ohms.

a) ¿Cual es la probabilidad de que un alambre seleccionado al azar de la produc-

cion de la companıa A satisfaga las especificaciones?

b) Si se utilizan cuatro de estos alambres en el sistema y los seleccionan de la

companıa A, ¿cual es probabilidad de que los 4 alambres satisfagan las necesi-

dades?

Solucion:

X = resistencia del alambre medida en ohms.

X ∼ N(0,13; 0,000025)

a) Probabilidad de que un alambre satisfaga las especificaciones:

P(0,12 ≤ X ≤ 0,14) = P(0,12 − 0,13

0,005≤ Z ≤ 0,14 − 0,13

0,005

)

P(−2 ≤ Z ≤ 2) = Φ(2) − Φ(−2) = 0,9772 − 0,0228


P(−2 ≤ Z ≤ 2) = 0,9544

La probabilidad de que un alambre satisfaga las especificaciones con respecto

a la resistencia es del 95,44 %.

b) Probabilidad de que 4 alambres satisfagan las necesidades:

P(4 satisfagan las especificaciones) = (0,6544)4 = 0,8297

La probabilidad de que 4 alambres seleccionados al azar de la companıa A y

que satisfagan las especificaciones del 82,97 %.

6. Una variable aleatoria X obedece la distribucion normal estandarizada. Demuestre

que:

a) P(|X| < k) = 2Φ(k) − 1

b) P(|X| > k) = 2(1 − Φ(k))

Solucion:

a) P(|X| < k) = 2Φ(k) − 1:

Desarrollamos la primera parte de la igualdad, es decir, P(|X| < k).

Segun la definicion del valor absoluto tenemos:

|x| < k =

−x < k =⇒ x > −k

x < k

A partir de esto tenemos que:

P(|X| < k) = P(−k < X < k)

Si observamos la Figura 4.14, el area sombreada representa el area del intervalo

(−k ; k), recordemos que la variable aleatoria X ya esta estandarizada, por lo

que podemos trabajarla directamente.


−1.625 0 1.625−K K

Figura 4.14: Distribucion Normal e intervalo (−k ; k)

P(|X| < k) = Φ(k) − Φ(−k)

Por simetrıa de la curva normal, podemos realizar el siguiente cambio:

P(|X| < k) = Φ(k) − [1 − Φ(−k)]

P(|X| < k) = Φ(k) − 1 + Φ(−k)] = 2Φ(k) − 1

Por lo tanto queda demostrado que:

P(|X| < k) = 2Φ(k) − 1

b) P(|X| > k) = 2(1 − Φ(k)):

Desarrollamos la primera parte de la igualdad, P(|X| > k):

|x| > k =

−x > k =⇒ x < −k

x > k

A partir de esto tenemos que:

P(|X| > k) = P(−∞ < X < −k) + P(k < X < +∞)


−1.625 0 1.625−K K

Figura 4.15: Distribucion Normal para P(|X| > k)

En la Figura 4.15, se presentan las areas de los intervalos (−∞;−k) y (k; +∞).

P(|X| > k) = Φ(−k) + [1 − Φ(k)]

P(|X| > k) = Φ(−k) + 1 − Φ(k)

P(|X| > k) = 1 − Φ(k) + 1 − Φ(k) = 2(1 − Φ(k))

Por lo tanto queda demostra que:

P(|X| > k) = 2(1 − Φ(k))

7. El peso en libras de las personas de cierta poblacion obedece a la ley normal (µ;σ2).

Supongamos que P(X ≤ 160) = 12 y que P(X < 140) = 1

4 .

a) Encuentre los valores de µ y σ.

b) Encuentre la probabilidad de que una persona tomada al azar pese mas de 200

libras.

c) De todas las personas de esta poblacion que pesan por lo menos 200 libras,

¿que porcentaje pesara mas de 220 libras?


Solucion:

a) Media y desviacion estandar:

Se sabe que la distribucion normal es simetrica con respecto a su media, por lo

tanto la probabilidad de que un valor sea menor o igual a su media es exacta-

mente igual a 0.5; dentro de los datos dados tenemos que P(X ≤ 160) = 12 , por

lo tanto µ = 160.

Para calcular la desviacion estandar utilizamos la P(X < 140) = 14 .

P(

X − µσ

<140 − 160

σ

)=

14

Dado que en la tabla de la distribucion normal estandarizada no se encuentra la

probabilidad exacta de 0.25, interpolamos.

Definiendo los valores de las X y las Y tenemos:

X0 = 0,2514 Y0 = −0,67X = 0,25 Y

X1 = 0,2483 Y1 = −0,68


f (0,25) = −0,67 +

( −0,68 + 0,670,2483 − 0,2514

)(0,25 − 0,2514) = −0,6745


Z =140 − 160

σ=⇒ −0,6745 =

140 − 160σ

Despejamos la desviacion estandar y encontramos que σ = 29,65, por lo tanto:

X ∼ N(160; 879, 1225)

b) La probabilidad de que una persona pese mas de 200 libras es:

P(X > 200) = P(Z >

200 − 16029,65

)


P(X > 200) = P(Z > 1,35) = P(Z < −1,35) = 0,0885

La probabilidad de que una persona tomada al azar pese mas de 200 libras es

del 8,85 %.

c) El porcentaje de personas que pesara mas de 220 libras dado que se sabe que

pesan mas de 200 libras es:

P(X > 220/ X > 200) =P(X > 220)P(X > 200)

P(X > 220/ X > 200) =P(Z > 2,02)P(X > 1,35)

=P(Z < −2,02)P(X < −1,35)

= 0,2452

El 24,52 % de las personas (de la poblacion que pesa mas de 200 libras), pesa

mas 220 libras.

8. Una variable aleatoria es normal con media µ y desviacion estandar σ = 12 . Encuentre

la constante c tal que P(|X − µ| < c) = 0,9.

Solucion:

P(|X − µ| < c) = 0,9

P(−c < X − µ < c) = 0,9 =⇒ P(−c + µ < X < c + µ)

P(X < c + µ) − P(X < −c + µ) = 0,9

P(Z <

c + µ − µ0,5

)− P

(Z <−c + µ − µ

0,5

)= 0,9

Φ(2c) − Φ(−2c) = 0,9

Φ(2c) − [1 − Φ(2c)] = 0,9

Φ(2c) = 0,95

El valor de Z correspondiente a una probabilidad igual a 0,95, es Z = 1, 645; por lo

tanto tenemos que:

2c = 1,645 =⇒ c = 0,8225


9. Si X es Normal (0, σ2), Encuentre E(|x |).

Solucion:

E(|x |) =

∫ ∞

−∞|x | f (x)dx

E(|x |) =

∫ ∞

−∞|x | 1√

2πσe−

12 ( x−µ

σ )2

dx

Utilizando la definicion de valor absoluto; segun el area en que esta definida la dun-

cion, X puede tomar valores negativos si X < 0 y valores positivos si X ≥ 0, por lo

tanto tenemos:

E(|x |) =

∫ 0

−∞−x

1√2πσ

e−12 ( x−µ

σ )2

dx +

∫ ∞

0x

1√2πσ

e−12 ( x−µ

σ )2

dx

Realizamos un cambio de variable:

u = −12

( xσ

); du = − x

σ2 dx

Tenemos entonces:

E(|x |) =

∫ 0

−∞

σ√2π

eudu +

∫ ∞

0− σ√

2πeudu

E(|x |) =2σ√

2π

10. Supongamos que la vida en horas de 2 dispositivos electronicos similares D1 y D2

tienen distribuciones N(40;36) y N(45;9) respectivamente. Si se requiere uno de los

2 dispositivos para una operacion que tarda 45 horas, ¿cual de los 2 dispositivos es

preferible? Si se requiere para una operacion de 48 horas, ¿cual es preferible?

Solucion:

Para saber cual de los dos dispositivos es mas confiable en una operacion que tarda 45

horas calculamos la probabilidad de que cada uno de ellos dure mas de ese perıodo.

Para el dispositivo D1:

P(X > 45) = P(Z > 0,83)


P(X > 45) = P(Z < −0,83) = 0,2033


P(X > 45) = P(Z > 0) = 0,5

Es preferible el dispositivo D2 porque tiene mayor probabilidad de durar mas de 45

horas.

Ahora bien, cual de los dos sera mejor para una de 48 horas, la logica nos dice que

seguira siendo el dispositivo D2, veamos:


P(X > 48) = P(Z > 1,33)

P(X > 45) = P(Z < −1,33) = 0,0918


P(X > 48) = P(Z > 1)

P(X > 48) = P(Z < −1) = 0,1587

Observamos que el dispositivo D1 tan solo tiene una probabilidad del 9 % de fun-

cionar por ese tiempo, y el dispositivo D2 tiene una probabilidad del 15,87 %, por lo

tanto es mejor D2.

11. Si X es Normal (µ;σ2) y Y = ex, encuentre la distribucion de Y .

Solucion:

Recordemos del Capıtulo 3, que para calcular la distribucion de probabilidad de una

variablea aleatoria a partir de la distribucion de probabilidad de otra variable aleatoria

continua utilizabamos el teorema:

g(y) = f [w(y)] ∗ |w′(y)|

Ahora bien tenemos:


f (x) =1√2π

e −12

( x−µσ

)2

Y = ex

w(y) = ln(y)

w′(y) = 1/ y


g(y) =

(1√2πσ

e−12

( ln(y)−µσ

)2)∗ 1

ypara Y > 0

12. La temperatura de cierto objeto medida en grados Farenheit, es una variable

N(98,6;2). Demuestre que la temperatura de dicho objeto, medida en grados centıgra-

dos, tambien esta distribuida normalmente. Encuentre µ y σ.

Solucion:

Definimos las variables aleatorias:

X = grados farenheit ∼ N(98,6;2)

Y = grados centıgrados

La distribucion de probabilidad de X es:

f (x) =1√

2π√

2e−

14 (x−98,6)2

Buscamos la distribucion de Y:

Y = 59 (X − 32)

w(y) = 95y + 32

w′(y) = 95

Tenemos entoces:

g(y) =1√

2π√

2e−

14 ( 9

5 y+32−98,6)2 ∗ 95

g(y) =9√

2π√

50e−

12 ( 81

50 (y−37)2)


Calculamos E(y):

E(y) = E(59

x − 1609

)=

59

E(x) − 1609

= 37

Calculamos V(y):

V(y) = V(59

x − 1609

)=

(59

)2

V(x) =5081

13. Suponga que X ∼ N(0; 25). Calcule P(1 < x2 < 4).

Solucion:

P(1 < x2 < 4) = P(1 < |x| < 2) =⇒|x | > 1 =⇒ (−∞;−1) ∪ (1;∞)

|x | < 2 =⇒ (−2; 2)

En la Figura 4.16 podemos observar el area de la probabilidad deseada, es decir, el

area que conforman las dos intersecciones.

−2 −1 0 1 2



P(1 < x2 < 4) = P(−2 < x < −1) + P(1 < x < 2)


Por simetrıa tenemos que:

P(−2 < x < −1) = P(1 < x < 2)

Por lo tanto:

P(1 < x2 < 4) = 2P(1 < x < 2)

Estandarizando tenemos:

P(1 < x2 < 4) = 2(P(0,2 < Z < 0,4)) = 2(0,6554 − 0,5793) = 0,1522


1. En un proceso de manufacturacion que produce gran cantidad de artıculos, se sabe

que en promedio 2 % de ellos son defectuosos. Los artıculos se empacan en cajas

de 10, y se requiere saber, ¿cual es la probabilidad de que no haya ningun artıculo

defectuoso en cada caja?

2. Verifique si los siguientes datos se ajustan bien a una distribucion normal:

2,51 2,29 2,31 2,19 2,09 2,48 2,65 2,5 2,48 2,27 2,26 2,863,73 2,98 1,08 2,25 2,1 3,3 3,15 2,27 2,23 2,61 2,11 5,72,31 2 2,35 1,76 2,91 1,84 2,09 2,78 2,32 2,59 1,87 2,592,07 3,1 2,32 2,59 2,42 2,04 2,13 1,98 2,02 2,18 2,26 2,12,69 2,6

3. Un lote de tamano N = 30 contiene 4 unidades defectuosas. ¿Cual es la probabili-

dad de que una muestra de 5 unidades seleccionadas al azar contenga exactamente

una unidad defectuosa? ¿Cual es la probabilidad de que contega 3 o mas unidades

defectuosas?


4. Se estima que el 58 % de una poblacion prefiere la marca A de mayonesa. ¿Cual es

la probabilidad, al entrevistar a un grupo de consumidores, de que se tenga que en-

trevistar a exactamente 4 personas, para encontrar el primer consumidor que prefiera

la marca A? ¿Al menos 5 pesonas?

5. Un joven estudiante compro 3 celulares a un costo total de 750 Bs. F y piensa vender-

los en 450 Bs. F cada uno (suponga que todos tienen un mismo costo); para poder

venderlos ofrece una oferta de que si la primera carga de la baterıa dura menos de

1 hora le devolvera el dinero. Si la duracion de las baterıas se distribuyen como una

exponencial con las siguientes propiedades:

Nokia 7088. Promedio duracion de la baterıa: 2,5 horas

Kyocera E1000. Promedio duracion de la baterıa: 3,67 horas

Motorola L7. Promedio duracion de la baterıa: 196 minutos

¿Cual celular le dejara mayor ganancia?

¿Cuanto es la ganancia esperada del estudiante?

6. Una maquina realiza cortes de manera automatica de ciertas tiras metalicas con media

µ = 40,2 cm y una desviacion estandar de σ = 0,05 cm. La medida optima de tales

tiras debe ser de 40 cm con una tolerancia de ±0,5 cm. Suponiendo que se trata

de una distribucion normal, estime el porcentaje de las tiras que cumplen con las

especificaciones.

7. Un libro tiene 500 paginas en las que podrıan ocurrir errores tipograficos. Suponga

que hay exactamente 10 de estos errores localizados aleatoriamente en esas paginas.

¿Cual es la probabilidad de que una seleccion aleatoria del 10 % de las paginas del

libro no contenga errores? ¿Cual es la probabilidad de que 60 paginas seleccionadas

al azar, contenga al menos dos errores?

8. Si X esta distribuida uniformemente en el intervalo (0, b). Determine de que manera

se cumple las siguientes condiciones:


a) P(X > 1,5) = 14 .

b) P(|X| > 1,5) = P(|X| < 1,5).

9. Las precipitaciones anuales en la ciudad de Merida es una variable aleatoria distribui-

da N(1700; 400) medida en milımetros. ¿Cuantos milımetros de lluvia son excedidos

anualmente alrededor del 5 % de las veces?

10. Un estudio demostro que la duracion promedio de cierta marca de lamparas es de 450

dıas con una varianza de 10000 dıas2 y que esta duracion se distribuye normalmente.

El vendedor de las lamparas vende en cierta ciudad 1000 lamparas al mes y garantiza

al comprador que si su lampara falla antes de k dıas, le sera cambiada por una nueva.

El vendedor no quisiera tener que cambiar mas de 15 lamparas por mes. ¿Cual de-

bera ser el valor de k?

11. Un distribuidor de software desea obtener retroalimentacion de los clientes acerca

de su mas reciente paquete. Han adquirido el producto 3000 clientes, suponga que

600 de ellos estan insatisfechos. Se realiza un muestreo aleatorio e interrogatorio de

20 clientes acerca del paquete. Sea X el numero de clientes muestreados que estan

insatisfechos

a) Calcule la distribucion de probabilidad de X.

b) Entre µ y σ2.

c) Calcule P(X ≤ 3).

12. Un estudiante viaja todos los dıas de su casa a la facultad. El tiempo promedio para

un viaje solo de ida es de 24 minutos, con una desviacion estandar de 3,8 minutos.

Suponga que la distribucion de los tiempos de viaje esta distribuida normalmente.

a) ¿Cual es la probabilidad de que un viaje tome al menos media hora?

b) Si tiene clases a las 9:00 a.m. y el sale diario de su casa a las 8:45 a.m. ¿que por-

centaje de las veces llegara tarde a clases?


c) Encuentre la probabilidad de que 2 de los siguientes 3 viajes, tome al menos

media hora.

13. Suponga que X tiene una distribucion uniforme en el intervalo (0;1).

a) Encuentre F(x).

b) Demuestre qe P(a ≤ X ≤ a+b), para a ≤ 0, b ≤ 0, a+b ≤ 1, depende solamente

del valor de b.

14. Un sistema de alarma para detectar rapidamente aviones consta de 4 unidades de

radar identicas que trabajan independientemente. Suponga que cada una tiene una

probabilidad de 0,95 de detectar un avion. Sea X el numero unidades del sistema que

no detecta un avion. ¿Puede decirse que X se distribuye como una binomial?

15. Se supone que el 45 % de los aspirantes para cierto trabajo tienen un entrenamien-

to avanzado en programacion. Los aspirantes on entrevistados, uno tra otro, y son

seleccionados al azar del total de aspirantes. Determine la probabilidad de que se

encuentre el primer aspirante con un entrenamiento avanzado en programacion en la

quinta entrevista.

16. Se forma una empresa de exploracion petrolera con suficiente capital para financiar

10 exploraciones. La probabilidad de que una exploracion en particular sea exitosa

es de 0,12. Supongase que las exploraciones son independientes. Encuentre la media

y la varianza del numero de exploraciones exitosas.

Capıtulo 5

El Teorema del Lımite Central

5.1. La Desigualdad de Chebyshev

Sea X una variable aleatoria con media µ y desviacion estandar σ y distribuida de

cualquier manera. Entonces, para cualquier numero positivo k mayor que 1, la probabilidad

de que un valor de X pertenezca al intervalo: [µ − kσ; µ + kσ], es al menos: 1 − 1/ k2,

es decir, la proporcion mınima de los valores que se encuentran dentro de k desviaciones

estandares es:

P(µ − kσ ≤ X ≤ µ + kσ) ≥ 1 − 1k2

EJERCICIOS:

1. Supongamos que X es una variable aleatoria de media µ = 75 y desviacion estandar

σ = 5.

a) ¿Que conclusiones podemos obtener sobre X de la desigualdad de Chebyshev

para k = 2 y k = 3?

b) Estimar la probabilidad de que X este entre 75-20=55 u 75+20=95.

208

CAPITULO 5. EL TEOREMA DEL LIMITE CENTRAL 209

c) Determinar un intervalo [a; b] sobre la media para que la probabilidad de que X

pertenezca al mismo sea al menos del 9 %

Solucion:

a) Para k = 2:

P(75 − 2 ∗ 5 ≤ X ≤ 75 + 2 ∗ 5) ≥ 1 − 122

P(65 ≤ X ≤ 85) ≥ 0,75

La probabilidad de que los valores de X este entre 65 y 85 es como mınimo del

75 %.

Para k = 3:

P(75 − 3 ∗ 5 ≤ X ≤ 75 + 3 ∗ 5) ≥ 1 − 132

P(60 ≤ X ≤ 90) ≥ 89

La probabilidad de que los valores de X este entre 60 y 90 es de al menos del

88,8 %.

Si observamos la probabilidad de que este entre 60 y 90 es mayor que la que

este entre 65 y 85, esto tiene sentido, ya que a medida que aumente el intervalo,

aumenta la seguridad y por ende la probabilidad.

b) Probabilidad de que X este entre 75-20=55 u 75+20=95:

Tenemos que µ − kσ = 75 - 20 = 75 - 4*5

Si sabemos que σ = 5, entonces para este caso k = 4.

P(55 ≤ X ≤ 95) ≥ 1 − 142

P(55 ≤ X ≤ 95) ≥ 1516

La probabilidad de que los valores de X este entre 55 y 95 es como mınimo del

93,75 %.


c) P(a ≤ X ≤ b) ≥ 0,09:

Tenemos que:

1 − 1k2 = 0,09 =⇒ k = 1,05

a = 75 − 1,05 ∗ 5 = 69,75b = 75 + 1,05 ∗ 5 = 80, 75

Por lo tanto:

P(69,75 ≤ X ≤ 80,75) ≥ 0,09

2. Supongamos que una variable aleatoria X tiene como media µ = 25 y desviacion

estandar σ = 2. Usar la desigualdad de Chebyshev para calcular:

a) P(X ≤ 35)

b) P(X ≥ 20)

Solucion:

a) P(X ≤ 35)

µ + kσ = 35 =⇒ 25 + k2 = 35 =⇒ k = 5

P(X ≤ 35) = P(25 − 5 ∗ 2 ≤ X ≤ 25 + 5 ∗ 2) ≥ 1 − 152

P(X ≤ 35) = P(15 ≤ X ≤ 35) ≥ 2425

La probabilidad de que tome valores menores que 35 es de al menos 96 %.

b) P(X ≥ 20)

µ − kσ = 20 =⇒ 25 − k2 = 20 =⇒ k = 2,5

P(X ≥ 20) = P(25 − 2,5 ∗ 2 ≤ X ≤ 25 + 2,5 ∗ 2) ≥ 1 − 12,52

P(X ≥ 20) = P(12,5 ≤ X ≤ 37,5) ≥ 0,84

La probabilidad de que tome valores mayores que 20 es de al menos el 84 %.


3. Sea X una variable aleatoria con media µ = 40 y desviacion estandar σ = 5. Usar la

desigualdad de Chebyshev para hallar un valor b para que P(40 − b ≤ X ≤ 40 + b) ≥0,95

Solucion:

1 − 1k2 = 0,95 =⇒ k = 4,47

b = σ ∗ k =⇒ b = 5 ∗ 4,47 = 22,36

4. Sea X una variable aleatoria con media µ = 80 y desviacion estandar desconocida.

Usar la desigualdad de Chebyshev para hallar un valor σ para que la P(75 ≤ X ≤85) ≥ 0,9

Solucion:

1 − 1k2 = 0,9 =⇒ k = 3,16

75 = µ − kσ =⇒ 75 = 80 − 3,06σ =⇒ σ = 1,58

85 = µ + kσ =⇒ 85 = 80 + 3,06σ =⇒ σ = 1,58

5. Para la distribucion f (x) = 0,2e−0,2x para X > 0. Calcular la probabilidad de que la

variable se aleje mas de 2 veces la desviacion estandar.

Solucion:

f (x) = 0,2e−0,2x es una exponencial con parametro α = 0,2, por lo que su media y

desviacion estandar es igual a 1/ α, es decir, µ = σ = 5.

µ − 2σ = 5 − 2 ∗ 5 = −5µ + 2σ = 5 + 2 ∗ 5 = 15


P(X < −5 o X > 15) = 1 − P(−5 ≤ X ≤ 15)


P(X < −5 o X > 15) = 1 −(1 − 1

22

)=

14

La probabilidad de que la variable se aleje mas de 2σ es como maximo del 25 %.

6. La casa de la moneda de Venezuela produce monedas de 20 centimos con un diametro

promedio de 0,5 pulgadas y una desviacion estandar de 0,01 pulgadas. Encuentre un

lımite inferior para el numero de monedas de un lote de 400 con un diamtero entre

0,48 y 0,52 pulgadas, utilizando el Teorema de Chebyshev.

Solucion:

Debemos calcular la probabilidad de que una moneda este entre el rando de 0,48 y

0,52 pulgadas, es decir, calculamos la P(0,48 ≤ X ≤ 0,52)

µ − kσ = 0,48 =⇒ k = 2

P(0,48 ≤ X ≤ 0,52) ≥ 1 − 122

P(0,48 ≤ X ≤ 0,52) ≥ 0,75

La probabilidad de que una moneda este entre esas especificaciones es del al menos

del 75 %, ahora bien, si multiplicamos por el total de monedas tenemos:

400 ∗ 0,75 = 300

Por lo tanto tenemo que se deben encontrar como mınimo, 300 monedas con diamet-

ros entre 0,48 y 0,52 pulgadas.


5.2. Teorema del Lımite Central

El Teorema del Lımite Central (TLC) muestra como la suma de variables aleatorias in-

dependientes, tomados de una misma poblacion, no importa cual, tiende a estar distribuida

normalmente si el numero de sumandos es lo suficientemente grande y tendra media nµ y

varianza nσ2.

Definicion:

Sean X1, X2, . . . , Xn, variables aleatorias independientes pertenecientes a la misma dis-

tribucion, con media µ y varianza σ2

Si n tiende a∞, la variable Z = X1 + X2 + ... + Xn tiende a una N(nµ; nσ2)

Es importante acotar que mientras mas grande sea el valor de n, mejor sera la aproxi-

macion, por esto adoptaremos que el teorema se puede usar cuando n ≥ 30.

Un ejemplo clasico donde podemos observar como una distribucion discreta puede

aproximarse a una distribucion normal cuando n crece, es a traves del lanzamiento de da-

dos, para este caso veremos como la distribucion de probabilidad del lanzamiento de n

dados tiende a formar una campana.

Veamos el ejemplo con n = 1, 2, 3, 4 y 5 dados.


Se lanza un dado (n = 1) y su distribucion de probabilidad la podemos observar en la

Tabla 5.1:

X 1 2 3 4 5 6p(x) 1

616

16

16

16

16

Tabla 5.1: Lanzamiento de un dado

Observamos que todos los valores de X tienen la misma probabilidad, la distribucion

de probabilidad p(x) la podemos ver en la Figura 5.1.

1 2 3 4 5 60

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

X

p(x)

Figura 5.1: Lanzamiento de un dado


Se lanzan 2 dados (n = 2) y se suman los numeros, la distribucion de probabilidad se

ve en la Tabla 5.2 y en la Figura 5.2:

X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12p(x) 1

36236

336

436

536

636

536

436

336

236

136

Tabla 5.2: Lanzamiento de dos dados

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

X

p(x)

Figura 5.2: Lanzamiento de dos dados


Ahora se lanzan tres dados (n = 3), su distribucion de probabilidad se ve en la Tabla 5.3

y en la Figura 5.3:

X 3 4 5 6 7 8 9 10p(x) 1

2163

2166

21610

21615

21621216

25216

27216

X 11 12 13 14 15 16 17 18p(x) 27

21625

21621216

15216

10216

6216

3216

1216

Tabla 5.3: Lanzamiento de tres dados

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 180

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

p(x)

Figura 5.3: Lanzamiento de tres dado

Observamos que la grafica de la distribucion de probabilidad cambio, ahora tiende a ser

una campana.


Lanzamos cuatro dados (n = 4). Tabla 5.4 y Figura 5.4:

X 4 5 6 7 8 9 10p(x) 1

12964

129610

21620

129635

129656

129680

1296X 11 12 13 14 15 16 17p(x) 104

1296125

12961401296

1461296

1401296

1251296

104216

X 18 19 20 21 22 23 24p(x) 80

21656

21635

21620

129610

12964

12961

1296

Tabla 5.4: Lanzamiento de cuatro dados

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

p(x)

Figura 5.4: Lanzamiento de cuatro dado


Lanzamos cinco dados (n = 5). Observe la Tabla 5.5 y la Figura 5.5:

X 5 6 7 8 9 10 11 12 13p(x) 1

77765

777615

777635

777670

77761267776

2057776

3057776

4207776

X 14 15 16 17 18 19 20 21 22p(x) 540

77766517776

7357776

7807776

7807776

7357776

6517776

5407776

4207776

X 23 24 25 26 27 28 29 30p(x) 305

77762057776

1267776

707776

357776

157776

57776

17776

Tabla 5.5: Lanzamiento de cinco dados

5 6 7 8 9 1011121314151617181920212223242526272829300

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

X

p(x)

Figura 5.5: Lanzamiento de cuatro dado

En conclusion podemos ver que, a medida que se aumento el numero de dados (n) la

grafica de la distribucion de probabilidad fue tomando la forma de la campana de la dis-

tribucion normal, esto confirma que la sumatoria de las variables aleatorias independientes

tienden a comportarse como una normal a medida que n tienda a infinito.


EJERCICIOS

1. Los resultados de las pruebas finales de todos los alumnos del ultimo ano de

bachillerato de cierto estado, tienen una media de 60 puntos y una varianza de 64

puntos2. Una generacion especıfica de cierto Liceo con n = 100 alumnos tuvo una

media de 58 puntos. ¿Puede afirmarse que este liceo es inferior?

Solucion:


n = 100

µ = 60 puntos

σ2 = 64 puntos2

Si definimos la variable aleatoria Z como la suma de las 100 notas tenemos:

Z = X1 + X2 + ... + X100 = nX = 100 ∗ 58 = 5800

P(Z <

5800 − 6000√100 ∗ 64

)= P(Z < −2,5) = 0,0062

Es poco probable que los alumnos saquen menos de 58 puntos (del 0,6 %), por lo que

se puede dudar de la calidad del liceo.

2. Los tiempos de espera para los clientes que pasan por una caja registradora a la salida

de una tienda son variables aleatorias independientes con una media de 1,5 minutos

y una varianza de 1 minuto2. Aproxime la probabilidad de que se pueda atender a

100 clientes en menos de 2 horas.

Solucion:


n = 100

µ = 1,5 minutos

σ2 = 1 minuto2


Si definimos la variable aleatoria Z como la suma de los tiempos de atencion de los

100 clientes, tenemos:

Z = X1 + X2 + ... + X100 = 2horas = 120minutos

P(Z <

120 − 150√100

)= P(Z < −3) = 0,0013

La probabilidad de atender a 100 clientes en menos de 2 horas es relativamente

pequena (del 0,13 %), por lo que es muy poco probable que pueda ocurrir.

3. Una gran industria ofrece un salario promedio de 4 Bs. F por hora con una desviacion

estandar de 0,5 Bs. F. La industria ocupa 64 trabajadores de cierto grupo etnico. Estos

trabajadores tienen un salario promedio de 3,9 Bs. F por hora. ¿Es razonable suponer

que el grupo etnico es una muestra aleatoria de los trabajadores de la industria?

Solucion:

n = 64µ = 4 Bs. Fσ = 0,5 Bs. F

Definimos la variable aleatoria Z como la suma de los 64 sueldos, y tenemos:

Z = X1 + X2 + ... + X64 = 249,6

P(Z <

249, 6 − 256√640,5

)= P(Z < −1,6) = 0,0548

Dado que la probabilidad de que un grupo gane menos de 3,9 Bs. F es del 5,48 %, no

se puede decir si ese grupo etnico es o no una muestra representativa de la poblacion

de trabajadores.

4. Se conectan 25 focos de luz infrarroja en un invernadero, de tal manera que si falla

un foco, otro se enciende inmediatamente (se enciende solo un foco a la vez). Los

focos funcionan independientemente y cada uno tiene una vida media de 50 horas y

una desviacion estandar de 4 horas. Si no se inspecciona el invernadero durante 1300


horas despues de encender el sistema de focos, ¿cual es la probabilidad de que un

foco este encendido al final del perıodo de 1300 horas?

Solucion:

n = 25µ = 50 horasσ = 4 horas

Definimos la variable aleatoria Z como la suma de las horas de cada foco:

Z = X1 + X2 + ... + X25 = 1300

P(Z ≥ 1300 − 25 ∗ 50√

254

)= P(Z ≥ 2,5) = P(Z ≤ −2,5) = 0,0062

La probabilidad de que un foco de luz infrarroja este encendidido despues de 1300

horas es de 0,62 %.

5.3. Teorema de Moivre-Laplace

Este Teorema es la aplicacion del TLC a la Distribucion Binomial. La distribucion de

probabilidad (p(x)) cuando X toma algun valor entre a y b esta dada por:b∑

x=a

(ab

)pxqn−x

El teorema dice que si n −→ ∞, entonces:b∑

x=a

(ab

)pxqn−x ≈ Φ

b − np + 1

2√npq

− Φ

a − np − 1

2√npq

La suma y resta de 0,5 dentro de la ecuacion no es mas que la suma y la resta de un

factor de correcion por continuidad, esto es debido a que estamos aproximando una variable

aleatoria discreta a una distribucion continua.

EJERCICIOS


1. Al arrojar un dado 6000 veces, ¿cual es la probabilidad de que el numero 5 caiga

entre 980 y 1030 veces, inclusive?

Solucion:

Podemos observar que la variable aleatoria se distribuye de forma binomial, donde

el suceso exito es que salga el numero 5, debido a la gran cantidad de experimentos

que deberıan realizarse, es mas practico utilizar el Teorema de Moivre-Laplace, por

lo tanto tenemos:

µ = np = 6000 ∗ 16 = 1000

σ =√

npq =

√6000 ∗ 1

6 ∗ 56 = 28,8675

P(980 ≤ X ≤ 1030) = Φ

1030 − 1000 + 1

2

28,8675

− Φ

980 − 1000 − 1

2

28,8675

P(980 ≤ X ≤ 1030) = Φ(1,06) − Φ(−0,71) = 0,6165

2. Un restaurant atiende solamente bajo reservacion previa. Se ha determinado que el

10 % de las personas que reservan mesa, no aparecen. Si el restaurant tiene 50 mesas

y acepta 53 reservaciones, ¿cual es la probabilidad de que se pueda acomodar a todas

las personas que aparezcan? Resuelva exactamente y por el Teorema de Moivre-

Laplace.

Solucion:

Observamos que se trata de una distribucion binomial, donde el exito es que la per-

sona aparezca en el restaurant con previa cita.

X ∼ B(53; 0,9)

P(X ≤ 50) = 1 − P51 − P52 − P53

P(X ≤ 50) = 1 −(5351

)(0,9)51(0,1)2 −

(5352

)(0,9)52(0,1) −

(5353

)(0,9)53(0,1)0

P(X ≤ 50) = 0,9102


3. Se tira un dado 180 veces. Determinar la probabilidad de que salga el 6:

a) Entre 29 y 32 veces, ambas inclusive.

b) Entre 31 y 35 veces, ambas inclusive.

c) Menos de 22 veces.

Solucion:

µ = np = 180 ∗ 16 = 30

σ =√

npq =

√180 ∗ 1

6 ∗ 56 = 5

a) Entre 29 y 32 veces, ambas inclusive:

P(29 ≤ X ≤ 32) = Φ

32 − 30 + 1

2

5

− Φ

29 − 30 − 1

2

5

P(29 ≤ X ≤ 32) = Φ(0,5) − Φ(−0,3) = 0,3094

b) Entre 31 y 35 veces, ambas inclusive:

P(31 ≤ X ≤ 35) = Φ

(35,5 − 30

5

)− Φ

(30,5 − 30

5

)

P(31 ≤ X ≤ 35) = Φ(1,1) − Φ(0,1) = 0,3245

c) Menos de 22 veces:

P(X ≤ 22) = Φ

(21,5 − 30

5

)= Φ(−1,7) = 0,0446

4. Asumimos que el 4 % de la poblacion mayor de 65 anos tiene la enfermedad de

Alzheimer. Supongamos que se toma una muestra aeatoria de 9600 personas mayores

de 65 anos. Hallar la probabilidad de que menos de 400 de ellas tengan a enfermedad.

Solucion:

µ = np = 9600 ∗ 0,04 = 384

σ =√

npq =√

9600 ∗ 0,04 ∗ 0,96 = 19,2


P(X < 400) = P(X ≤ 399) = Φ

(399,5 − 384

19,2

)= Φ(0,81)

P(X < 400) = 0,7910

Existe un 79,10 % de probabilidad de que menos de 400 personas del grupo de 9600,

tengan la enfermedad.

5. Una agencia de encuestas quiere tomar una muestra lo suficientemente grande para

que sea solo 0,01 la probabilidad de que el candidato resulte perdedor, cuando en

realidad posee el 52 % de favoritismo entre el electorado. ¿Que tan grande debera ser

la muestra?

Solucion:

µ = np = n ∗ 0,52

σ =√

npq =√

n ∗ 0,52 ∗ 0,48 =√

0,2496n

P(X < n/ 2) = 0,01

Φ

(n/ 2 − 0,52n√

0,2496n

)= 0,01

P(X < n/ 2) = Φ

( −0,02n√0,2496n

)= 0,01

Buscamos en la tabla el valor de Z que haga que la probabilidad sea igual que 0.01.

Debido a que no esta directamente en la tabla interpolamos.

X0 = 0,0102 Y0 = −2,32X = 0,01 Y

X1 = 0,0099 Y1 = −2,33


f (0,01) = −2,32 +

( −2,33 + 2,320,0099 − 0,0102

)(0,01 − 0,0102) = −2,3267


Por lo tanto tenemos:−0,02n√0,2496n

= −2,33

n = 3388

La muestra debe ser de 3388 electores para que la probabilidad de que el candidato

resulte perdedor sea de 0,01.


1. Una empresa de mensajerıa que opera en la ciudad tarda una media de 35 minutos

en llevar un paquete, con una desviacion estandar de 8 minutos. Supongamos que

durante el dıa de hoy han repartido doscientos paquetes.

a) ¿Cual es la probabilidad de que la media de los tiempos de entrega de hoy

este entre 30 y 35 minutos?

b) ¿Cual es la probabilidad de que, en total, para los 200 paquetes hayan estado

mas de 115 horas?

2. Una variable aleatoria X tiene media µ = 8, con varianza σ2 = 9, y distribucion de

probabilidad desconocida. Encuentre:

a) P(−4 < X < 20).

b) P(|X − 8| > 6).

3. El alquiler medio de los estudiantes de ingenierıa se distribuye uniformemente entre

400 Bs. F y 800 Bs. F. Calcule la probabilidad de que al seleccionar al azar a 100

estudiantes la suma de sus rentas supere los 55000 Bs. F.

4. En la materia Estocastica 1, la probabilidad de que te pasen al pizarron en cada clase

es del 10 %. Si durante el semestre tienes 54 clases de esa materia, ¿cual es la proba-

bilidad de tener que salir a la pizarra mas de 6 veces?


5. Un dıa visitamos el Casino y decidimos jugar en la ruleta. Nuestra apuesta va a ser

siempre al negro y cada apuesta es de 500 Bs. F. Si se llevan 10000 Bs. F. Calcule la

probabilidad de que despues de jugar 80 veces, se consiga doblar el dinero.

Nota:

Salir negro, se le da el valor de 1 y tiene una probabilidad del 0,485.

No salir negro, se le da el valor de 0 y tiene una probabilidad del 0,515.

6. El resultado de las notas finales de la Escuela de Sistemas en el semestre A-2007

tiene una media de 12 puntos y una varianza de 13 puntos2. Las secciones 1 y 2

de Estocastica 1 (100 alumnos) tuvieron un promedio de 9 puntos. Usando TLC

¿Que puede decir de estos resultados?

7. El 5 % de los artıculos que fabrica una maquina salen defectuosos. Si tomamos al

azar 25 artıculos fabricados por esa maquina, ¿cual es la probabilidad de que se

encuentren mas de 3 defectuoso?

a) Resuelva exactamente.

b) Resuelva por TLC.

c) De existir alguna diferencia entre ambos resultados, ¿a que se debe?

8. Un doctor atiende solo con previa cita. Segun los calculos de su secretaria el 15 %

de los pacientes que hacen cita no van. Si el doctor le advierte a la secretaria que

solo atendera a 15 pacientes en ese dıa y esta anota 17 citas en la agenda ¿Cual es

la probabilidad de que le llamen la atencion a la secretaria? Resuelva exactamente y

por TLC.

Capıtulo 6

Vector Aleatorio

En el Capıtulo 3 se estudio las variables aleatorias unidimensionales, para este capıtulo

estudiaremos el vector aleatoria para variables aleatorias bi-dimensionales.

6.1. Variable Aleatoria Bi-dimensional

CASO DISCRETO

Sea (X,Y) una variable aleatoria bi-dimensional discreta. A cada posible resultado

(xi, y j), asociamos un numero real p(xi, y j) que representa la probabilidad P(X = xi,Y = y j).

Debe satisfacer las siguientes condiciones:

1.∑∞

j=1∑∞

i=1 p(xi, y j) = 1

2. p(xi, y j) ≥ 0 para todo X

La distribucion de probabilidad conjunta para X y Y se puede representar en la Tabla

6.1 de probabilidad conjunta.

227

CAPITULO 6. VECTOR ALEATORIO 228

HHHHHHXY

Y1 Y2 . . . Yn∑

X1 f (x1, y1) f (x1, y2) . . . f (x1, yn) p(x1)X2 f (x2, y1) f (x2, y2) . . . f (x2, yn) p(x2)...

......

......

Xm f (xm, y1) f (xm, y2) . . . f (xm, yn) p(xm)∑q(y1) q(y2) . . . q(yn) 1

Tabla 6.1: Distribucion de probabiliad conjunta

CASO CONTINUO

Sea (X,Y) una variable bi-dimensional continua que puede asumir todos los valores en

una region R del plano.

La funcion de densidad conjunta f (x, y) es una funcion que cumple las condiciones:

1. f (x, y) ≥ 0 para todo X perteneciente a R

2.∫ ∫

Rf (x, y)dy dx = 1

EJERCICIOS

1. Dos lıneas de produccion fabrican cierto tipo de artıculo. Supongase que la capaci-

dad (en cualquier dıa dado) es de 3 artıculos para la lınea I y de 5 artıculo para la

lınea II, pero el numero que realmente se produce con cada lınea de produccion es

una variable aleatoria. Llamemos (X,Y) la variable aleatoria bi-dimensional discreta

que indica el numero de artıculos fabricados por la lınea I y por la lınea II, respecti-

vamente.

a) Calcular la probabilidad de que se fabriquen igual cantidad de artıculos en am-

bas lıneas.


HHHHHHXY

0 1 2 3 4 5

0 0 0,01 0,03 0,05 0,07 0,091 0,01 0,02 0,04 0,05 0,06 0,082 0,01 0,03 0,05 0,05 0,05 0,063 0,01 0,02 0,04 0,06 0,06 0,06


b) Calcular la probabilidad de que se fabriquen mas artıculos en la lınea I que la

II.

c) Calcular la probabilidad de que se fabriquen mas artıculos en la lınea II que la

I.

Solucion:

a) Igual cantidad de artıculos en ambas lıneas:

P = P(0, 0) + P(1, 1) + P(2, 2) + P(3, 3)

P = 0 + 0,02 + 0,05 + 0,06 = 0,13

b) Mas artıculos en la lınea I que la II:

P = P(1, 0) + P(2, 0) + P(2, 1) + P(3, 0) + P(3, 1) + P(3, 2)

P = 0,01 + 0,01 + 0,03 + 0,01 + 0,02 + 0,04 = 0,12

c) Mas artıculos en la lınea II que la I:

P = P(0, 1) + P(0, 2) + P(0, 3) + P(0, 4) + P(0, 5) + P(1, 2) + P(1, 3) + P(1, 4)+

+P(1, 5) + P(2, 3) + P(2, 4) + P(2, 5) + P(3, 4) + P(3, 5)

P = 0,01 + 0,03 + 0,05 + 0,07 + 0,09 + 0,04 + 0,05 + 0,06 + 0,08 + 0,05 + 0,05+

+0,06 + 0,06 + 0,06 = 0,76


2. La funcion de probabilidad conjunta de la variable aleatoria bi-dimensional X y Y

esta dada por:

p(x, y) =

c(2X + Y) 0 ≤ X ≤ 2 ; 0 ≤ Y ≤ 3

0 de otra manera

a) Encuentre el valor de la constante c.

b) Encuentre P(2, 1).

c) Encuentre P(X ≥ 1,Y ≤ 2).

Solucion:

Sustituyendo los valores de X y Y en p(x, y), tenemos:

HHHHHHYX

0 1 2 3∑

0 0 c 2c 3c 6c1 2c 3c 4c 5c 14c2 4c 5c 6c 7c 12c∑

6c 9c 12c 15c 42c


a) Constante c:

La sumatoria total de las probabilidad de X o Y debe ser igual a 1, por lo que

tenemos que:

42c = 1 =⇒ c =142

b) P(2, 1):

P(2, 1) = 5c =5

42

c) P(X ≥ 1,Y ≤ 2):

P(X ≥ 1,Y ≤ 2) = P(1, 0) + P(1, 1) + P(1, 2) + P(2, 0) + P(2, 1) + P(2, 2)

P(X ≥ 1,Y ≤ 2) =2 + 3 + 4 + 4 + 5 + 6

42=

47


3. Dado que p(x, y) = cxy en los puntos (1,1), (2,1), (2,2) y (3,1).

a) Dibuje la distribucion de probabilidad conjunta p(x, y) = cxy.

b) Calcule la constante c.

c) Hallar p(x).

Solucion:

a) Grafica de p(x, y) = cxy:

La grafica de la distribucion de probabilidad para este problema la podemos ver

a continuacion en la Figura 6.1:

1

2

1

2

3

X

Y 3

12

2

Z

1

4c

c

2c

3c

Figura 6.1: Distribucion de Probabilidad Conjunta

b) Constante c:

Para calcular la constante c elaboramos la tabla de distribucion de probabilidad

conjunta (Tabla 6.4):


HHHHHHXY

1 2 3∑

1 c 2c 3c 6c2 0 4c 0 4c∑

c 6c 3c 10c


Ahora bien, si la sumatoria de las probabilidades debe ser igual a 1, entonces:

10c = 1 =⇒ c =1

10

c) p(x):

Sustituyendo el valor de c en 6.4, tenemos la nueva tabla:

HHHHHHXY

1 2 3∑

1 110

210

310

610

2 0 410 0 4

10∑ 110

610

310 1


Por lo que p(x) la podemos ver en la ultima fila de la Tabla 6.5, y de manera

individual tenemos:

X 1 2 3p(x) 1

10610

310

Tabla 6.6: Distribucion de Probabilidad de X

4. Supongase que una partıcula radioactiva se localiza aleatoriamente en un cuadrado

con lados de longitud unitaria. Es decir, si se consideran dos regiones de la misma

area, la partıcula tendra igual probabilidad de estar en cualquiera de ellas. Sean X y

Y las coordenadas en el plano que localizan la partıcula y su distribucion uniforme


es:

f (x, y) =

1 0 ≤ X ≤ 1 ; 0 ≤ Y ≤ 1

0 de otra manera

a) Elabore un diagrama de la superficie de densidad de probabilidad.

b) Obtenga F(0,2; 0,4).

c) Hallar la P(0,1 ≤ X ≤ 0,3 ; 0 ≤ Y ≤ 0,5).

Solucion:

a) La superficie de la funcion de densidad para este problema la podemos ver en

la Figura 6.2:

f(x,y)

X

Y1

1

1

0

Figura 6.2: Superficie de la distribucion de probabilidad

b) F(0,2; 0,4) es la acumulada hasta 0,2 y 0,4 de X y Y , respectivamente, para

calcular esta probabilidad integramos la distribucion de probabilidad para esos

valores, por lo tanto tenemos:

F(0,2; 0,4) = P(X ≤ 0,2 ; Y ≤ 0,4)


P(X ≤ 0,2 ; Y ≤ 0,4) =

∫ 0,2

0

∫ 0,4

0dy dx = 0,08

c) La P(0,1 ≤ X ≤ 0,3 ; 0 ≤ Y ≤ 0,5) se calcula de igual manera que la parte b.

P(0,1 ≤ X ≤ 0,3 ; 0 ≤ Y ≤ 0,5) =

∫ 0,3

0,1

∫ 0,5

0dy dx = 0,1

5. Supongamos que la variable aleatoria bi-dimensional continua tiene la densidad con-

junta:

f (x, y) = x2 +xy3

para 0 ≤ X ≤ 1 ; 0 ≤ Y ≤ 2

Calcular P(X + Y > 1).

Solucion:

Primero dibujamos la superficie de la funcion de densidad del problema (Figura 6.3):

0

0.5

1

1.5

X1

2Y

f(x,y)

Figura 6.3: Superficie de la distribucion de probabilidad

Si proyectamos la figura solamente en el plano XY obtenemos la Figura 6.4. Ahora

bien, si delimitamos esta y dejamos el area definida por X + Y > 1, tenemos la Figura

6.5:


0 10

1

2

Y

X

Figura 6.4: Proyeccion en el plano XY

0 10

1

2

Y

X

X + Y = 1

X + Y > 1

Figura 6.5: Proyeccion en el plano XY y delimitacion del area


Por lo tanto, el area sombreada en la Figura 6.5 es el area que debemos calcular, y

ası conseguir la P(X + Y > 1).

Para desarrollar este calculo, debemos calcular la integral doble de la funcion de

densidad, primero observamos de donde a donde se mueven X y Y; X se mueve desde

“0” hasta “2”, y Y desde la recta “Y = 1 − X ” hasta “2”; por lo tanto desarrollando

la doble integral tenemos:

P(X + Y > 1) =

∫ 1

0

∫ 2

1−x

(x2 xy

3

)dydx

P(X + Y > 1) =

∫ 1

0

(56

x3 +43

x2 12

x)

dx

P(X + Y > 1) =6572

6. Un fabricante de lamparas esta interesado en los pedidos que ha tenido en los meses

de Enero y Febrero, por lo que llamaremos X y Y los pedidos realizados en esos dos

meses, respectivamente. Supongamos que la densidad conjunta de esas variables es:

f (x, y) = c para 5000 ≤ X ≤ 10000 ; 4000 ≤ Y ≤ 9000

¿Cual es la probabilidad de que se hayan presentado mas pedidos en enero que en

febrero?

Solucion:

Primero debemos buscar el valor de c, para ello utilizamos la condicion numero 2

de la distribucion de probabilidad, donde dice que el area total de superficie de la

distribucion debe ser igual a 1, por lo tanto tenemos:∫ 10000

5000

∫ 9000

4000cdy dx = 1

c =1

(5000)2

Por lo tanto tenemos que la distribucion de probabilidad conjunta es:

f (x, y) =1

(5000)2 para 5000 ≤ X ≤ 10000 ; 4000 ≤ Y ≤ 9000


Ahora bien, si dibujamos en el plano XY el area buscada obtenemos la Figura 6.6

0 5000 100000

4000

9000

X

Y

Y=X

X>Y

X<Y

Figura 6.6: Proyeccion en el plano XY y delimitacion del area

Para calcular la probabilidad pedida tenemos:

P(X > Y) = 1 − P(X < Y)

P(X > Y) = 1 −∫ 10000

5000

∫ 9000

4000

1(5000)2 dy dx

P(X > Y) = 1 −∫ 10000

5000

(9000

(5000)2 −x

(5000)2

)dx

P(X > Y) = 0,68

Por lo tanto tenemos que la probabilidad de que se venda mas en el mes de enero que

de febrero es del 68 %

7. Si f (x, y) = e−(x+y) para valores positivos de X y Y . Obtenga las siguientes probabili-

dades:


a) P(X > 1)

b) P(X < Y/X < 2Y)

c) P(X + Y < 4)

d) Encuentre el valor de k para que se cumpla P(X + Y < k) = 12

e) P(n < X + Y < m) si 0 < n < m

f ) Si se toman 3 valores de esa distribucion, ¿cual es la probabilidad de que al

menos 1 de estos valores caiga en el cuadrado unitario?

Solucion:

Si graficamos la superficie de la distribucion de probabilidad f (x, y) obtenemos la

Figura 6.7

0

2

4

2

4

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

XY

f(x,y)

Figura 6.7: Superficie de la Distribucion de Probabilidad

Si proyectamos en el plano XY tenemos la Figura 6.8


0 2 4

2

4

Y

X

Figura 6.8: Proyeccion en XY de la Distribucion de Probabilidad

a) P(X > 1):

Para calcular esta probabilidad delimitamos el area de la Figura 6.8 al area con

X > 1 y tenemos:

0 1 3 5

2

4

Y

X

X > 1

Figura 6.9: Proyeccion del area R


P(X > 1) =

∫ ∞

1

∫ ∞

0e−(X+Y)dydx

P(X > 1) = 0,3679

b) P(X < Y/X < 2Y):

P(X < Y/X < 2Y) =P[(X < Y) ∩ (X < 2Y)]

P(X < 2Y)

Delimitamos el area marcada por ambas rectas y tenemos la Figura 6.10:

0 1 2 3 4 50

1

2

3

4

5

Y

x < 2y

X

x < y


El area delimitada por la interseccion entre las rectas es igual al area marcada

por X < Y como se observa en la Figura 6.10, por lo tanto tenemos:

P(X < Y/X < 2Y) =P(X < Y)P(X < 2Y)

P(X < Y/X < 2Y) =

∫ ∞0

∫ ∞x

e−(X+Y)dydx∫ ∞0

∫ ∞x/2

e−(X+Y)dydx

P(X < Y/X < 2Y) =

1223

=34


c) P(X + Y < 4):

El area R la podemos ver en la Figura 6.11:

0 1 2 3 4 50

1

2

3

4

5

Y

X

y < 4−x


P(X + Y < 4) =

∫ 4

0

∫ 4−x

0e−(X+Y)dydx

P(X + Y < 4) = 0,9084

d) Valor de k:

P(X + Y < k) =12∫ k

0

∫ 4−k

0e−(X+Y)dydx =

12

−e−k − ke−k + 1 =12

De lo anterior despejamos a k y obtenemos 2 posibles resultados de k:

k1 = −0,76803 ; k2 = 1,67834

Como resultado para este problema tomamos el valor de k = 1,67834, ya que

la distribucion solo esta definida para los valores positivos de X y Y .


e) P(n < X + Y < m) si 0 < n < m:

El area delimitada para el calculo de esta probabilidad la podemos ver repre-

sentada en la Figura 6.12:

Y

Xn

n

m

m

n < X + Y < m


Para calcular esta probabilidad primero calculamos la probabilidad de que X +

Y < m (triangulo mayor) y le restamos la probabilidad de que X + Y < n

triangulo menor:

P(n < X + Y < m) = P(X + Y < m) − P(X + Y < n)

P(n < X + Y < m) =

∫ m

0

∫ m−x

0e−(X+Y)dydx −

∫ n

0

∫ n−x

0e−(X+Y)dydx

P(n < X + Y < m) = e−n(1 + n) − e−m(1 + m)

f ) La probabilidad de que al menos 1 de estos valores caiga en el cuadrado unitario

es:

P(cuadrado unitario) =

∫ 1

0

∫ 1

0e−(X+Y)dydx

P(cuadrado unitario) = 0,3996


Si definimos A como el numero de valores que cayo en el cuadrado unitario,

tenemos que la probabilidad de que al menos uno caiga es:

P(A ≥ 1) = P(A = 1) + P(A = 2) + P(A = 3)

P(A ≥ 1) = P(cuadrado unitario)+(P(cuadrado unitario))2+(P(cuadrado unitario))3

P(A ≥ 1) = 0,3996 + (0,3996)2 + (0,3996)3 = 0,6231

6.2. Distribuciones Marginales

Las Distribuciones Marginales son las distribuciones individuales de X y de Y , se usan

cuando se desea estudiar solamente una de las variables.

CASO DISCRETO:

Sea (X,Y) una variable aleatoria bi-dimensional discreta distribuida p(x, y). Las dis-

tribuciones marginales de X y de Y se definen ası:

p(x) =∑

Y

p(x, y) ; q(y) =∑

X

p(x, y)

CASO CONTINUO:

Sea (X,Y) una variable aleatoria bi-dimensional continua distribuida f (x, y). Las dis-

tribuciones marginales de X y de Y se definen ası:

g(x) =

∫ ∞

−∞f (x, y)dy ; h(y) =

∫ ∞

−∞f (x, y)dx


EJERCICIOS

1. Se lanzan tres monedas y se define a X como el numero caras que salieron y Y el

numero de sucesiones. Encuentre las distribuciones marginales p(x) y q(y).

Solucion:

Los posibles valores que toman X y Y van de acuerdo al espacio muestral S :

S CCC CCS CSC SCC CSS SCS SSC SSSX 3 2 2 2 1 1 1 0Y 1 2 3 2 2 3 2 1

La Tabla 6.7 es la probabilidad conjunta del problema:

HHHHHHYX

0 1 2 3∑

1 18 0 0 1

828

2 0 28

28 0 4

83 0 1

818 0 2

8∑ 18

38

38

18 1

Tabla 6.7: Distribucion de Probabiliad Conjunta

Si tomamos las sumatorias obtenemos lar marginales, por lo tanto, la distribucion

marginal de X la podemos ver en la Tabla 6.8 y la distribucion marginal de Y en la

Tabla 6.9

X 0 1 2 3p(x) 1

838

38

18

Tabla 6.8: Distribucion Marginal de X


Y 1 2 3q(y) 2

848

28

Tabla 6.9: Distribucion Marginal de Y

2. Sea:

f (x, y) =

2X 0 ≤ X ≤ 1 ; 0 ≤ Y ≤ 1

0 de otra manera

Elabore la superficie de f (x, y) y encuentre las funciones de densidad marginal para

X y Y .

Solucion:

La grafica de la superficie de f (x, y) la podemos ver en la Figura 6.13:

0

11

0

1

2

f(x,y)

Figura 6.13: Superficie de f (x, y)

La distribucion marginal de X es:

g(x) =

∫ 1

02xdy = 2x para 0 ≤ X ≤ 1


La distribucion marginal de Y es:

h(y) =

∫ 1

02xdx = 1 para 0 ≤ Y ≤ 1

3. La variable aleatoria (X,Y) esta distribuida uniformemente en el triangulo de la Figu-

ra 6.14. Encuentre las distribuciones marginales de X y Y .

Y

X0 2−2

−3


Solucion:

Si X y Y estan distribuidas uniformemente en la figura entonces, f (x, y) es:

f (x, y) =1

Area del triangulo=

16

para − 2 ≤ X ≤ 2 ; −3 ≤ Y ≤ 0

Ahora bien, para calcular las distribuciones marginales primero debemos definir los

lımites de integracion, para ello observamos la Figura 6.14 y delimitamos dentro de

que lımites se mueven X y Y . Para calcular la marginal de Y necesitamos el dx por

lo que en la Figura 6.15, se observa que X se mueve desde la recta Y = 1,5X hasta la

recta Y = −1,5X.


Y

X0 2−2

−3

Y = −1.5XY = 1.5X


Por lo tanto tenemos que la marginal de Y es:

h(y) =

∫ −2/3y

2/3y

16

dx = −29

y para − 3 ≤ Y ≤ 0

Se oberva en la ecuacion que los lımites de integracion estan en funcion de Y , esto

se hizo despejando de las rectas los valores X con el fin de que la marginal de Y

solo quede en funcion de esta. Por otra parte, antes de continuar debemos aclarar

algo, desde el comienzo de esta unidad se ha dicho que las distribuciones deben

ser positivas, entonces ¿que ocurre para este caso en que h(y) = − 2y9 ?, la respuesta

es sencilla, si observamos Y siempre va a tomar valores negativos, por lo tanto al

sustituirlos en la distribucion marginal nos dara como resultados valores positivos.

Ahora bien, para calcular la marginal de X necesitamos el dy, tenemos en la Figura

6.16 de donde a donde se mueve Y . Podemos ver que existen dos lımites para Y uno

que se mueve desde -3 hasta la recta Y = 1,5X y otra que se mueve desde -3 hasta

Y = −1,5X, por lo que debemos dividir la distribucion marginal de X en dos partes.


Y

X0 2−2

−3

Y = −1.5XY = 1.5X


Para −2 ≤ X ≤ 0:

g(x) =

∫ 1,5x

−3

16

dy =x4

+12

Para 0 < X ≤ 2:

g(x) =

∫ −1,5x

−3

16

dy = − x4

+12

En resumen tenemos:

g(x) =

x4 + 1

2 −2 ≤ X ≤ 0

− x4 + 1

2 0 < X ≤ 2

4. La variable aleatoria bidimensional (X,Y) esta distribuida f (x, y) = kx(x − y) para

0 < X < 2 ; −x < Y < x.

a) Encuentre la constante k.

b) Encuentre las densidades marginales.

Solucion:

La grafica de la proyeccion de este ejercicio la podemos ver en la Figura 6.17:


−2

−1

0

1

2

Y

X2


a) La constante k la podemos hallar de la siguiente manera:∫ 2

0

∫ x

−x(kx2 − ky)dydx = 1

k =18

Por lo tanto la distribucion conjunta es:

f (x, y) =x8

(x − y) para 0 < X < 2 ; −x < Y < x

b) Los lımites de variacion de X y Y los podemos obervar en la Figura 6.18

La densidad marginal de X es:

g(x) =

∫ x

−x

(x2

8− xy

8

)dy =

x3

4

La densidad marginal de Y es:

Para −2 ≤ Y ≤ 0:

h(y) =

∫ 2

−y

(x2

8− xy

8

)dy =

5y3

48− y

4+

13


−2

−1

0

1

2

X2

Y

Y=X

Y= −X


Para 0 < Y ≤ 2:

h(y) =

∫ 2

y

(x2

8− xy

8

)dy =

y3

48− y

4+

13


h(y) =

5y3

48 − y4 + 1

3 −2 ≤ Y ≤ 0y3

48 − y4 + 1

3 0 < Y ≤ 2

6.3. Distribuciones Condicionales

CASO DISCRETO:

Sean (X,Y) variables aleatorias discretas con funcion de probabilidad p(x, y) y fun-

ciones de probabilidad marginales p(x) y q(y) respectivamente, entonces las funciones de

probabilidad condicional discreta son:

p(xi/y j) =p(xi, y j)

q(y j)si q(y j) > 0

q(y j/xi) =p(xi, y j)

p(xi)si p(xi) > 0


CASO CONTINUO:

Sean (X,Y) variables aleatorias continuas con funcion de probabilidad f (x, y) y fun-

ciones de probabilidad marginales g(x) y h(y) respectivamente, entonces las funciones de

probabilidad condicional continua son:

g(x/y) =f (x, y)h(y)

si h(y) > 0

h(y/x) =f (x, y)g(x)

si g(x) > 0

EJERCICIOS

1. De un grupo de profesores, 2 alumnos y 1 profesora, debe seleccionarse al azar un

comite de 2 personas. Sea X el numero de profesores y Y el numero de alumnos en

el comite. Encuentre:

a) La distribucion conjunta de X y Y .

b) La distribucion marginal de X y Y .

c) La distribucion condicional de X dado Y = 1.

Solucion:

a) Como se trata de un caso discreto la distribucion conjunta de X y Y la obtenemos

a traves de la tabla de probabilidad conjunta. Definamos las variables y sus

valores:

X = numero de profesores en el comite = 0, 1, 2Y = numero de alumnos en el comite = 0, 1, 2Para calcular cada una de las p(xi, y j) utilizamos Teorıa Combinatoria, por

ejemplo, para calcular la probabilidad de que el comite este conformado por

1 profesor y ningun alumno (p(X = 1,Y = 0)) tenemos:

p(1, 0) =

(31

)(20

)(

62

) =3

15


Probabilidad de que el comite este formado por un profesor y un alumno es:

p(1, 1) =

(31

)(21

)(

62

) =1

15

Asi sucesivamente vamos calculamos todas las posibles soluciones y obtenemos

la Tabla 6.10:

HHHHHHYX 0 1 2

∑

0 0 315

315

615

1 215

615 0 8

152 1

15 0 0 115∑ 3

15915

315 1


b) Las distribuciones marginales de X y Y las podemos ver en las Tabla 6.11 y

6.12, respectivamente:

X 0 1 2p(x) 3

159

15315

Tabla 6.11: Distribucion marginal de X

Y 0 1 2q(y) 6

158

15115

Tabla 6.12: Distribucion marginal de Y

c) Observamos que se desea encontrar la distribucion condicional de X dado Y =

1, sin embargo no se pide un valor especıfico de X, por lo que se debe realizan

para todos los valores de X:

p(X = 0/Y = 1) =p(0, 1)q(1)

=14


p(X = 1/Y = 1) =p(1, 1)q(1)

=34

p(X = 2/Y = 1) =p(2, 1)q(1)

= 0

2. Sea f (x, y) = 2 para 0 < X < Y < 1. Encuentre las distribuciones marginales y

condicionales correspondientes.

solucion:

Calculamos las distribuciones marginales:

g(x) =

∫ 1

x2dy = 2 − 2x para 0 < X < 1

h(y) =

∫ y

02dx = 2y para 0 < Y < 1

Calculamos las distribuciones condicionales:

g(x/y) =22y

=1y

para 0 < X < 1 ; 0 < Y < 1

h(y/x) =2

2 − 2x=

11 − x

para 0 < X < 1 ; 0 < Y < 1

3. El dueno de un comedor le interesa estudiar los tiempos de espera de las personas en

su negocio. El define X como el tiempo total entre la llegada de un cliente al comedor

y su salida de la caja, y Y el tiempo que tarda el cliente en la cola antes de llegar a la

caja.

Su distribucion de probabilidad conjunta es: f (x, y) = e−x para 0 ≤ Y ≤ X < ∞.

Si han transcurrido 4 minutos entre la llegada de un cliente al comedor y su salida de

la caja, calcule la probabilidad de que haya esperado en la cola menos de 1 minuto.

Solucion:

Definimos nuevamente las variables:

X = tiempo total entre llegada y salida

Y = tiempo en la cola de la caja


Se pide entonces P(Y < 1/X = 4)

Calculamos la distribucion marginal de X:

g(x) =

∫ x

0e−xdy = xe−x

Calculamos la funcion condicional h(y/x):


=e−x

xe−x =1x

Tenemos:

P(y < 1/x = 4) =

∫ 1

0h(y/x = 4)dy =

∫ 1

0

14

dy =14

Por lo tanto, la probabilidad de que un cliente dure menos de un minuto en la cola,

sabiendo que duro 4 minutos desde que entro al local hasta salir de la caja, es del

25 %.

4. Una maquina vendedora de refresco se llena al principio de un dıa con una cantidad

aleatoria Y y despacha durante el dıa una cantidad aleatora X (medida en galones).

No se vuelve a surtir durante el dıa y entonces X ≤ Y . La densidad conjunta de X y

Y es:

f (x, y) =

12 0 ≤ X ≤ Y ; 0 ≤ Y ≤ 2

0 de otra manera

Encuentre:

a) La densidad condicional de X dado Y = y.

b) La probabilidad de que se venda menos de medio galon, dado que la maquina

contiene 1 galon al inicio del dıa.

Solucion:

a) Calculamos la distribucion de Y:

h(y) =

∫ y

0

12

dx =y2


Calculamos la densidad condicional:

g(X/Y = y) =f (x, y)h(y)

=

12y2

=1y

b) La probabilidad condicional es:

P(X < 0,5/ Y = 1) =

∫ 0,5

0g(x/y = 1)dx =

∫ 0,5

0dx =

12

Por lo tanto la probabilidad de que se venda menos de medio galon, dado que

la maquina contiene 1 galon al inicio del dıa es del 50 %.

5. Sea:

f (x, y) =

4xy 0 ≤ X ≤ 1 ; 0 ≤ Y ≤ 1

0 de otra manera

Encuentre:

a) Las distribuciones marginales.

b) Las distribuciones condicionales.

c) P(X ≤ 0,5/Y ≥ 0,75).

d) P(X ≤ 0,75/Y = 0,5).

Solucion:

a) La distribucion marginal de X es:

g(x) =

∫ 1

04xydy = 2x para 0 ≤ X ≤ 1

La distribucion marginale de Y es:

h(y) =

∫ 1

04xydx = 2y para 0 ≤ Y ≤ 1

b) La distribucion condicional X dado Y es:


=4xy2y

= 2x


La distribucion condicional Y dado X es:


=4xy2x

= 2y

c) P (X ≤ 0,5/Y ≥ 0,75):

P(X ≤ 0,5/Y ≥ 0,75) =

∫ 12

0

∫ 134

f (x, y)dydx∫ 1

34

h(y)dy=

14

d) P(X ≤ 0,75/Y = 0,5):

P(X ≤ 0,75/Y = 0,5) =

∫ 34

0g(x/y = 0,5)dx =

916

6. Dada la funcion de densidad conjunta:

f (x, y) =2(x + 6y)

7para 0 ≤ X ≤ 1 ; 0 ≤ Y ≤ 1

Calcular:

a) P(X ≤ 0,3/y).

b) P(X ≤ 0,3/y = 0,8)

Solucion:

a) Para calcular la P(X ≤ 0,3/y) debemos calcular primero la distribucion

marginal de Y , luego la distribucion condicional de X dado Y:

h(y) =

∫ 1

0

27

(x = 6y)dx =17

+12y7


=2(x = 6y)1 + 12y


P(X ≤ 0,3/y) =

∫ 0,5

0g(x/y)dx =

0,09 + 3,6y1 + 12y


b) Para calcular esta probabilidad sustituimos el valor de Y = 0,8) en la distribu-

cion condicional g(x/y = 0,8) para obtener la P(X ≤ 0,3/y = 0,8):

P(X ≤ 0,3/y = 0,8) =

∫ 0,3

0g(x/y = 0,8) =

∫ 0,3

0

1053

(x + 4,8)dx

P(X ≤ 0,3/y = 0,8) = 0,2801

6.4. Variables Aleatorias Independientes

Nuevamente en este capıtulo retomamos el tema de independencia, recordemos que

las variables aleatorias X y Y son independientes si los valores que toma una de ellas de

ninguna manera afecta los valores que toma la otra.

Para verificar si son o no independientes tenemos lo siguiente:

CASO DISCRETO:

Sea (X,Y) una variable aleatoria bidimensional discreta. Las variables X y Y son inde-

pendientes ssi:

p(xi, y j) = p(xi) ∗ q(y j) ∀ y i ∀ j

CASO CONTINUO:

Sea (X,Y) una variable aleatoria bidimensional continua. Las variables X y Y son inde-

pendientes ssi:

f (x, y) = g(x) ∗ h(y)

EJERCICIOS


1. Se asignan aleatoriamente los contratos para 2 construcciones a una o mas de 3 em-

presas A, B y C. Sea X el numero de contratos asignados a la empresa A, y Y el

numero de contratos asignados a B.

a) Encuentre la funcion de probabilidad conjunta X y Y .

b) Encuentre las distribuciones marginales X y Y .

c) ¿Son X y Y independientes?

Solucion:

a) La funcion de probabilidad conjunta la podemos ver en la Tabla 6.13

HHHHHHYX 0 1 2

0 19

29

19

1 29

29 0

2 19 0 0

Tabla 6.13: Distribucion de Probabilidad Conjunta

b) Las distribuciones marginales X y Y la podemos ver en las Tablas 6.14 y 6.15:

X 0 1 2p(x) 4

949

19

Tabla 6.14: Distribucion Marginal de X

Y 0 1 2q(y) 4

949

19

Tabla 6.15: Distribucion Marginal de Y

c) Para verificar que X y Y son independientes, se debe cumplir lo siguiente:

p(xi, y j) = p(xi) ∗ q(y j)


Por lo tanto:

p(x = 1, y1) = p(x = 1) ∗ q(y = 1)

29

=49∗ 4

929,

1681

Como son diferentes, entonces X y Y no son independientes.

2. Sea

f (x, y) =

4xy 0 ≤ X ≤ 1 ; 0 ≤ Y ≤ 1

0 de otra manera

Demuestre que X y Y son independientes.

Solucion:

Buscamos las marginales:

g(x) =

∫ 1

04xydy = 2x

h(y) =

∫ 1

04xydx = 2y

Tenemos:

f (x, y) = g(x) ∗ h(y)

4xy = 2x ∗ 2y

La multiplicacion de las marginales es exactamente igual a la distribucion conjunta,

por lo tanto las variables X y Y si son independientes.

6.5. Momentos de Variables Aleatorias Bidimensionales

Se define como el momento de orden n1 + n2 a la esperanza matematica de la variable

aleatoria bidimensional (X,Y):


CASO DISCRETO:

E[Xn1Yn2] =∑∑

xn1yn2 p(x, y)

CASO CONTINUO:

E[Xn1Yn2] =

∫ ∫xn1yn2 f (x, y)dydx

EJERCICIOS

1. X y Y tienen la densidad conjunta:

f (x, y) =

2x 0 ≤ X ≤ 1 ; 0 ≤ Y ≤ 1

0 de otra manera

Obtenga E(XY) y V(X).

Solucion:

Para calcular E(XY) observamos que n1 = 1 y n2 = 2, es decir, calculamos el mo-

mento de orden 2, o tambien llamado la esperanza producto:

E(XY) =

∫ 1

0

∫ 1

0x ∗ y ∗ f (x, y)dydx

E(XY) =

∫ 1

0

∫ 1

0x ∗ y ∗ 2xdydx =

13

Calculamos la varianza de X, para ello recordamos del capıtulo 3, que la varianza de

una variable aleatoria se calcula restandole al segundo momento, el primer momento

elevado al cuadrado, por lo tanto tenemos:

V(X) = E(X2) − [E(X)]2

V(X) =

∫ 1

0

∫ 1

0x2 ∗ 2xdydx −

[∫ 1

0

∫ 1

0x ∗ 2xdydx

]2

V(X) =12−

(23

)2

=1

18


2. Dada la distribucion conjunta:

f (x, y) =

6(1 − y) 0 ≤ X ≤ Y ≤ 1

0 de otra manera

Encuentre:

a) E(X) y E(Y).

b) V(X) y V(Y).

c) E(X − 3Y).

Solucion:

a) Calculamos E(X):

E(X) =

∫ 1

0

∫ 1

xx ∗ 6(1 − y)dydx =

14

Calculamos E(Y):

E(Y) =

∫ 1

0

∫ 1

xy ∗ 6(1 − y)dydx =

12

b) Calculamos la V(X):

V(X) = E(X2) − [E(X)]2

V(X) =

∫ 1

0

∫ 1

xx2 ∗ 6(1 − y)dydx −

[∫ 1

0

∫ 1

xx ∗ 6(1 − y)dydx

]

V(X) =1

10−

(14

)2

=3

80

Calculamos V(Y):

V(Y) = E(Y2) − [E(Y)]2

V(Y) =

∫ 1

0

∫ 1

xy2 ∗ 6(1 − y)dydx −

[∫ 1

0

∫ 1

xy ∗ 6(1 − y)dydx

]

V(Y) =3

10−

(12

)2

=1

20


c) Para calcular la E(X − 3Y) utilizamos las propiedades de la esperanza:

E(X − 3Y) = E(X) − 3E(Y)

E(X − 3Y) =14− 3 ∗ 1

2= −5

4

3. En una distribucion de frecuencias para la variable aleatoria bidimensional (X,Y) se

ha obtenido la siguiente tabla:

HHHHHHYX 3 4 7 8 Totales

5 4 2 3 0 97 2 1 2 2 79 2 2 4 3 11

Totales 8 5 9 5 27

Tabla 6.16: Distribucion de frecuencia

Encuentre E(XY), E(X) y E(Y2).

Solucion:

Buscamos la tabla de probabilidad conjunta del ejercicios:

HHHHHHYX 3 4 7 8

∑

5 427

227

327 0 9

277 2

27127

227

227

727

9 227

227

427

327

1127∑ 8

27527

927

527 1

Tabla 6.17: Distribucion de probabilidad conjunta

E(XY) = 5∗3∗ 427

+5∗4∗ 227

+5∗7∗ 327

+7∗3∗ 227

+7∗4 127

+7∗7∗ 227

+7∗8∗ 227

+9∗3∗ 227

+

+9 ∗ 4 ∗ 227

+ 9 ∗ 7 ∗ 427

+ 9 ∗ 8 ∗ 327

=1079

27


E(X) = 3 ∗ 827

+ 4 ∗ 527

+ 7 ∗ 927

+ 8 ∗ 527

=499

E(Y2) = (5)2 ∗ 927

+ (7)2 ∗ 727

+ (9)2 ∗ 1127

=1459

27

6.6. La Covarianza

La Covarianza de X y Y mide el grado de relacion o de dependencia entre las variables

X y Y . Se mide en las unidades de X multiplicadas por las unidades de Y .

σx,y = COV(X,Y) = E(XY) − E(X) ∗ E(Y)

Si la Covarianza de dos variables aleatorias es igual a cero, entonces las variables son

independientes.

A diferencia de la varianza que es extrictamente positiva, la Covarianza puede tomar

valores negativos y positivos.

La Covarianza sera positiva cuando los valores de X aumentan con los valores de Y , es

decir se mueven en la misma direccion; y sera negativa cuando los valores de X disminuyen

al aumentar los valores de Y .

EJERCICIOS

1. Se lanza una moneda y un dado correctos. Sean X el numero de caras obtenidas y Y

el numero que sale en el dado. Calcule la covarianza.

Solucion:


X = Numero de caras

Y = Numero del dado

De antemano sabemos que el resultado de la moneda es independiente del lanza-

miento del dado (las variables X y Y son independientes), por lo que la covarianza

debe ser igual a cero, sin embargo vamos a comprobarlo.

La tabla de probabilidad conjunta del problema la podemos ver en la Tabla 6.18:

HHHHHHXY 1 2 3 4 5 6

∑

0 112

112

112

112

112

112

612

1 112

112

112

112

112

112

612∑ 2

12212

212

212

212

212 1


E(XY) =1 + 1 ∗ 2 + 1 ∗ 3 + 1 ∗ 4 + 1 ∗ 5 + 1 ∗ 6

12=

2112

E(X) = 0 ∗ 612

+ 1 ∗ 612

=612

E(Y) =2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12

12=

4212

Por lo tanto:

σx,y =2112− 6

12∗ 42

12= 0

Como se dijo desde un principio la covarianza es igual a cero, lo que ratifica que el

numero de cara que salga es el lanzamiento de una moneda es totalmente independi-

ente del numero que salga en el dado.


2. Dada la distribucion de probabilidad conjunta:

f (x, y) =

3x 0 ≤ Y ≤ X ≤ 1

0 de otra manera

Encuentre la covarianza.

Solucion:

E(XY) =

∫ 1

0

∫ x

0x ∗ y ∗ 3xdydx =

310

E(X) =

∫ 1

0

∫ x

0x ∗ 3xdydx =

34

E(Y) =

∫ 1

0

∫ x

0y ∗ 3xdydx =

38

Por lo tanto:

σx,y =3

10− 3

4∗ 3

8= 0,0188

Lo que significa que las variables aleatorias X y Y son dependientes.

3. Se les realizo un tratamiento a 5 pacientes de cierta enfermedad con un farmaco, en

el estudio se variaron las cantidades diarias suministradas del mismo, y se midio el

numero de dıas en que cada enfermo tardo en sanar. Se obtuvieron los siguientes

resultados:

Miligramos del farmaco 10 20 30 40 50Dıas en sanar 200 180 150 120 100

Calcular la covarianza entre estas dos variables.

Solucion:


Definimos las variables:

X = Miligramos del farmaco

Y = Dıas en sanar

Elaboramos la tabla de distribucion de probabilidad:

HHHHHHYX

10 20 30 40 50∑

200 15 0 0 0 0 1

5180 0 1

5 0 0 0 15

150 0 0 15 0 0 1

5120 0 0 0 1

5 0 15

100 0 0 0 0 15

15∑ 1

515

15

15

15 1

Tabla 6.19: Distribucion de Probabilidad Conjunta

E(XY) =200 ∗ 10 + 180 ∗ 20 + 30 ∗ 150 + 40 ∗ 120 + 50 ∗ 100

5= 3980

E(X) =10 + 20 + 30 + 40 + 50

5= 30

E(Y) =200 + 180 + 150 + 120 + 100

5= 150


σx,y = 3980 − 30 ∗ 150 = −520

La covarianza toma un valor negativo, por lo que podemos afirmar que a medida que

se aumenta los miligramos del farmaco, disminuye la cantidad de dıas necesarios

para la sanacion de los pacientes, por lo que las variables son dependientes.


6.7. Coeficiente de Correlacion

La correlacion es una tecnica estadıstica que usa para para determinar la relacion entre

dos variables, para este caso estudiaremos el Coeficiente de Correlacion.

El coeficiente de correlacion (ρ) mide el grado de dependencia lineal entre dos variables

aleatorias cuantitativas, por lo que es adimensional (no posee unidades de medida).

ρ =σx,y

σxσy; −1 ≤ ρ ≤ 1

Si ρ = -1, existe una correlacion lineal negativa perfecta, es decir hay una relacion

inversa, cuando una de ellas aumenta la otra disminuye en identica proporcion.

Si ρ esta entre (-1,0), existe una correlacion lineal negativa entre las variables.

Si ρ = 0, significa que no existe una correlacion lineal entre las variables, es decir, son

independientes.

Si ρ esta entre (0,1), significa que existe una correlacion lineal positiva.

Por ultimo, si ρ = 1, significa que existe una correlacion lineal positiva perfecta, por lo

que hay una dependencia total entre las dos variables, cuando una de ellas aumenta la otra

tambien aumenta en identica proporcion.

EJERCICIOS

1. Una variable aleatoria bidimensional discreta tiene como distribucion de probabili-

dad cojunta la mostrada en la Tabla 6.20.

Calcule el coeficiente de correlacion.


HHHHHHYX 1 -1 2 -2

∑

1 14

14 0 0 2

424 0 0 1

414

24∑ 1

414

14

14 1


Solucion:

E(XY) =1+(−1)+8+(−8)

4 = 0

Para la variable X tenemos: Para la variable Y tenemos:

E(X) =1+(−1)

4 = 0 E(Y) =2+8

4 =104

E(X2) =1+1+4+4

4 =104 E(Y2) =

2+324 =

344

V(X) =104 V(Y) =

344 −

(104

)2=

94

Tenemos:

ρ =σx,y

σxσy=

E(XY) − E(X) ∗ E(Y)√E(X2) − [E(X)]2 ∗

√E(Y2) − [E(Y)]2

ρ =0 − 0 ∗ 10

4√104

√94

= 0

Por lo tanto entre las variables (X,Y) no existe una dependencia lineal.

2. La variable aleatoria (X,Y) esta distribuida uniformemente sobre el triangulo de la

Figura 6.19. Encuentre ρ.


−2 −1 0 1 2

Y

1

X


Solucion:

Como la variable aleatoria bidimensional esta distribuida uniformemente, tenemos

que la distribucion conjunta es:

f (x, y) =1

Area=

12

para − 2 ≤ X ≤ 2 ; 0 ≤ Y ≤ 1

Calculamos la ecuacion de la recta que va desde el punto (-2 ; 0) al punto (2 ; 1), y

tenemos:

Y =X4

+12

Tenemos entonces:

E(XY) =

∫ 2

−2

∫ X4 + 1

2

0

xy2

dydx =13

E(X) =

∫ 2

−2

∫ X4 + 1

2

0

x2

dydx =23

E(Y) =

∫ 2

−2

∫ X4 + 1

2

0

y2

dydx =13


E(X2) =

∫ 2

−2

∫ X4 + 1

2

0

x2

2dydx =

43

E(Y2) =

∫ 2

−2

∫ X4 + 1

2

0

y2

2dydx =

43

ρ =

13 − 2

3 ∗ 13√

43 −

(23

)2√

16 −

(13

)2=

12

Existe una dependencia lineal positiva entre X y Y .

6.8. Distribucion de la funcion de dos variables aleatorias

Para esta seccion estudiaremos el calculo de la funcion de densidad de una variable

aleatoria Z a partir de funcion de densidad de la variable aleatoria bidimensional (X,Y).

EJERCICIOS

1. Las variables aleatorias X y Y obedecen la distribucion de probabilidad f (x, y) =

e−(x+y) en el cuadrante positivo. Encuentre la distribucion de probabilidad de Z =

X + Y .

Solucion:

Para este caso, la distribucion de probabilidad de la variable continua Z es la suma de

dos variables aleatorias (X y Y), esto lo realizamos segun la siguiente metodologıa:

g(z) =

∫ ∞

−∞f (x, z − x)dx


Debemos crear la funcion f (x, z − x) que solo dependa de X y Z; sabemos que Z =

X + Y , despejamos a Y y tenemos Y = Z − X, es decir, siempre que aparezca Y

sustituiremos por Z − X, tenemos entonces:

f (x, y) = e−(x+y)

f (x, z − x) = e−(x+z−x) = e−z

Ahora bien, debemos establecer los lımites para los cuales Z esta definida, para ello

realizamos el mismo procedimiento, sustituimos Y por Z − X:

X > 0

Y > 0

X > 0

Z − X > 0

X > 0

Z > X

Por lo tanto tenemos el area bajo estudio se muestra en la Figura 6.20:

0

Z

Z > X

X

Z = X

Figura 6.20: Proyeccion en el plano XZ

Ahora calculamos la funcion de distribucion y tenemos:

g(z) =

∫ Z

0e−Zdx = Ze−Z para Z > 0


2. La variable aleatoria (X,Y) esta distribuida uniformemente en el cuadrado unitario.

Encuentre la densidad de Z = X + Y .

Solucion:

Observamos que la variable Z se trata de nuevo de la suma de X y Y como el caso

anterior, utilizamos la misma metodologıa:

f (x, y) = 1 para 0 ≤ X ≤ 1 ; 0 ≤ Y ≤ 1

f (x, z − x) = 1

Los lımites para los cuales Z esta definida son:

0 < X < 1

0 < Y < 1

0 < X < 1

0 < Z − X < 1

0 < X < 1

X < Z < 1 + X

Por lo tanto tenemos la Figura 6.21:

0 0.5 10

0.5

1

1.5

2

Z

X

Z = 1+X

Z = X


Para este caso observamos en la grafica que X se mueve desde dos puntos diferentes,

uno va desde 0 hasta la recta Z = X (zona roja) y otra toma valores desde la recta


Z = X + 1 hasta el valor de 1 (zona azul), por lo tanto debemos dividir la funcion de

densidad de Z en dos partes:

Para 0 < Z ≤ 1:

g(z) =

∫ Z

0dx = Z

Para 1 < Z ≤ 2:

g(z) =

∫ 1

Z−1dx = 2 − Z

En resumen tenemos:

g(z) =

Z 0 < Z ≤ 1

2 − Z 1 ≤ Z ≤ 2

3. Sea la funcion de densidad conjunta de (X,Y):

f (x, y) =

3x 0 ≤ Y ≤ X ≤ 1

0 en otra parte

Hallar la funcion de densidad de probabilidad para Z = X − Y y graficarla.

Solucion:

En este ejercicio se trata de la resta de dos variables aleatorias, sin embargo se puede

tratar como los casos anteriores donde se trataba de una suma de variables.

f (x, y) = 3x para 0 ≤ Y ≤ X ≤ 1

f (x, x − z) = 3x

Los lımites para los cuales Z esta definida son:

0 < X < 1

0 < Y < X

0 < X < 1

0 < X − Z < X

0 < X < 1

0 < Z < X


0 0.5 10

0.5

1

X

Z

Z=X

Z<X


Estos lımites definen el area mostrada en la Figura 6.22.

g(z) =

∫ 1

Z3xdx =

32

(1 − Z2) para 0 ≤ Z ≤ 1

La grafica de la funcion de densidad de Z la observamos en la Figura 6.23.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.5

1

1.5

Z

g(z)

Figura 6.23: Distribucion de probabilidad de Z


4. Las variables X y Y son independientes, y sus distribuciones son las siguientes:

g(x) =8x3 para X > 2

h(y) = 2y para 0 < Y < 1

Encontrar la distribucion de Z = XY .

Solucion:

Para este caso observamos que se trata de la multiplicacion de dos variables aleato-

rias, para este caso seguimos la siguiente metodologıa1 :

Si Z = XY:

g(z) =

∫ ∞

−∞

1x

f(x,

zx

)dx para Z > 0

g(z) =

∫ ∞

−∞

1|x| f

(x,

zx

)dx para −∞ < Z < ∞

Tenemos que si X y Y son independientes, entonces f (x, y) = g(x) ∗ h(y):

f (x, y) =16yx3 para X > 2 ; 0 < Y < 1

Si Y =ZX , entonces:

f(x,

zx

)=

2ZX

Los lımites en que esta definida Z sera entonces:

X > 2

0 < Y < 1

X > 2

0 < ZX < 1

X > 2

0 < Z < X

Graficamos y tenemos:1 Estas metodologıas son las recomendadas por el Profesor Oswaldo Ramırez en su publicacion Estocasti-

ca 1


0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

X

Z

Z=X

Z<2

Z>2

Figura 6.24: Proyeccion en XZ

Dividimos la funcion de densidad de Z en dos partes, como se ve en la Figura 6.24:

Para 0 ≤ Z < 2:

g(z) =

∫ ∞

2

1X∗(

8X3

)∗(2Zx

)dx =

Z4

Para Z ≥ 2:

g(z) =

∫ ∞

Z

1X∗(

8X3

)∗(2Zx

)dx =

4Z3


g(z) =

Z4 0 ≤ Z < 24

Z3 Z ≥ 2

5. Si las variables X y Y tienen funcion de densidad conjunta:

f (x, y) =xy96

para 0 < X < 4 ; 1 < Y < 4

Encuentre la funcion de densidad de Z = X2Y .

Solucion:

Nuevamente se trata de la multiplicacion de 2 variables, por lo tanto tenemos:


Si Y =ZX2 , entonces:

f(x,

zx

)=

Z96X

Los lımites en que esta definida Z sera entonces:

0 < X < 4

1 < Y < 5

0 < X < 4

1 < ZX2 < 5

0 < X < 4

X2 < Z < 5X2

0 1 2 3 4

10

20

30

40

50

60

70

80

X

Z

Z=5X2

Z=X2

Figura 6.25: Proyeccion en XZ

Nuevamente se divide la funcion de densidad de Z en dos partes, Ver Figura 6.25.

Para 0 ≤ Z ≤ 16:

g(z) =

∫ √Z

√Z5

1X∗( Z96X

)dx =

√Z

1 − √596

Para 16 < Z ≤ 80:

g(z) =

∫ 4

√Z5

1X∗( Z96X

)dx =

Z96

(4√

5 −√

Z)


g(z) =

√Z

(1−√5

96

)0 ≤ Z ≤ 16

Z96

(4√

5 − √Z)

16 < Z ≤ 80


6. Las variables X y Y son independientes y sus distribuciones marginales se indican en

las Figuras 6.26 y 6.27.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

h(y)

Y

Figura 6.26: Distribucion Marginal de Y

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

X

g(x)

Figura 6.27: Distribucion Marginal de X

Encuentre la distribucion marginal de Z =YX .

Solucion:


Para este caso se trata de la division de dos variables aleatorias, para poder hallar la

distribucion de probabilidad de Z realizamos lo siguiente:

Si Z =YX :

g(z) =

∫ ∞

0x f (x, zx)dx para Z > 0

g(z) =

∫ ∞

−∞|x| f (x, zx)dx para −∞ < Z < ∞

Como X y Y estan distribuidas segun las figuras dadas, buscamos las ecuaciones de

las rectas, que seran las distibuciones marginales:

h(y) =29

y ; g(x) = −18

(x − 5)

La funcion de densidad f (x, y) sera:

f (x, y) = − y36

(5 − x) para 0 ≤ Y ≤ 3 ; 1 ≤ X ≤ 5

Si Y = ZX, entonces:

f (x, zx) =zx36

(5 − x)

Los lımites en que esta definida Z seran entonces:

1 < X > 5

0 < Y < 3

1 < X > 5

0 < ZX < 3

1 < X > 5

0 < Z < 3X

Graficamos y tenemos la Figura 6.28.

Dividimos la distribucion de probabilidad de Z en dos partes:

Para 0 ≤ Z ≤ 0,6:

g(z) =

∫ 5

1x ∗ zx

36(5 − x)dx =

38Z27


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

X

Z

Z=3/X

Figura 6.28: Proyeccion de XZ

Para 0,6 < Z ≤ 3:

g(z) =

∫ 3Z

1x ∗ zx

36(5 − x)dx =

54Z2 −

94Z3 −

17Z432


g(z) =

38Z27 0 ≤ Z ≤ 0,65

4Z2 − 94Z3 − 17Z

432 0,6 < Z ≤ 3


1. La variable aleatoria (X,Y) esta distribuida uniformemente sobre el circulo de radio

R con centro en el origen de coordenadas. Encuentre las densidades marginales de X

y Y y diga si son variables independientes.

2. Si X esta distribuida uniformemente en el intervalo (1,4) y Y esta distribuida uni-

formemente en el intervalo (0,1), ¿como estara distribuida Z = X + Y y Z = XY?


3. La variable aleatoria (X,Y) esta distribuida uniformemente sobre el triangulo de la

Figura 6.29.

−1 0 3

X

5

Y

Figura 6.29: Proyeccion de XY

a) Encuentre las densidades marginales.

b) Encuentre ρ.

4. La variable aleatoria bidimensional (X,Y) esta distribuida uniformemente para X

perteneciente a (-2 ; 2) y Y perteneciente a (0 ; 1). Encuentre la distribucion de prob-

abilidad de Z = Y − X y Z = X + Y .

5. La densidad conjunta para las variables aleatorias (X,Y), donde X es el cambio de

temperatura unitario, y Y es la proporcion de desplazamiento espectral que produce

cierta partıcula atomica, es:

f (x, y) =

10xy2 0 < X < Y < 1

0 en otro caso


a) Encuentre la densidad marginal de X.

b) Encuentre la probabilidad de que el espectro se desplace mas de la mitad de las

observaciones totales, dado que la temperatura aumenta a 0,5 unidades.

Bibliografıa

[1] Armas, J. Estadıstica Descriptiva Sencilla. Universidad de Los Andes. Venezuela,

2002.

[2] Armas, J. Estadıstica Sencilla - Probabilidades. Universidad de Los Andes.

Venezuela, 2004.

[3] Gutierrez, H. Control Estadıstico de Calidad y Seis Sigma. Editorial McGraw Hill.

Mexico, 2004.

[4] Lipschutz, S. Probabilidad. Serie Shaum. Editorial McGraw Hill. USA, 2001.

[5] Mendenhall, W. Estadıstica Matematica con Aplicaciones. Grupo Editorial

Iberoamericana. USA, 1994.

[6] Milton, J. Probabilidades y Estadıstica. Editorial McGraw Hill. USA, 2004.

[7] Montgomery, D. Control Estadıstico de la Calidad. Editorial Limusa Wiley. USA,

2005.

[8] Ramirez, O. Probabilidades. Universidad de Los Andes. Venezuela, 1999.

[9] Ramirez, O. Estocastica 1. Universidad de Los Andes. Venezuela, 2005.

[10] Nunez, R. Estadıstica para la Ciencia Social. Editorial Trillas. Mexico, 2007.

283

BIBLIOGRAFIA 284

[11] Spiegel, M. Probabilidad y Estadıstica. Serie Shaum. Editorial McGraw Hill. USA,

2003.

[12] Torres, E. Probabilidades. Universidad de Los Andes. Venezuela, 2004.

[13] Walpole, R. Probabilidad y Estadıstica para ingenierıa y Ciencias. Editorial Pearson.

USA, 2007.

“manual de ejercicios: estocastica...

Documents