1. irudia

Jolas Matematikoak Patxi Angulo

“BURUHAUSLEAK”

Haurrentzako 6, 8,… piezakoetatik pertsona pa-txadatsuentzako 3.000-5.000 piezakoetaraino auke-ra handia dago eta buruhausle-mota honetan, zailta-suna pieza-kopuruarekin batera handiagotzen da.Baina ez dira hauek hona ekarri nahi ditugunak, ez.Gure ustetan zailtasuna beti ez dago pieza ugariduten buruhausleetan. Hemen agertuko direnak,pieza gutxi edukitzeaz aparte zuk zeuk egin beharkodituzu.

Lehenengoa, hemen duzun lorontziak eta karra-tuak osatzen dute. Begiratu batera zeure buruari biirudi hauek zerikusirik duten ala ez galdetuko diozu,bata biribil-biribila eta bestea karratua izanik. Hordago gakoa hain zuzen ere; bi irudiak ondo zatitzenbadira bata bestea bilaka bait daiteke. Zatiketa hauera askotara egin badaiteke ere, kasu honetan zailta-suna ez datza pieza ugariko zatiketan; ahalik etapieza gutxieneko zatiketan baizik (1. irudia).

Honelako buruhausleak ekarri nahi dizkizuguhona. Horra hor beste bi: dodekagonoa eta karratua

eta sei erpineko izarra eta karratua (2. eta 3. irudiak).Gezurra badirudi ere, hain forma desberdineko iru-diak lotu daitezke deskonposaketa egoki baten bi-dez. Bila ezazu zuk hori. Zer esanik ez, aurrekokasuan bezala deskonposaketa ahalik eta piezarikgutxienetan egiten saiatu behar da. Horretarako iru-dien neurriak zehatzak direla esan beharra dugu, hauda, izarra esate baterako zatitzen bada, lortu beharden karratua bere ondokoa da. Beste era bateraesanda, azalera bereko poligonoak dira.

Baina, non dago buruhausle hauen jatorria? Galde-ra honi erantzuteko historiara jo behar dugu.

K.a. V. mendean, gaur egun “geometriako auziklasiko” izenaz ezagutzen ditugun auziek erakartzenzituzten matematikariak. Hiru auzi hauek angelua-ren trisekzioa, kuboaren bikoizpena eta zirkuluarenkoadratura ziren. Azken hau da guri interesatzenzaiguna.

Matematikariek zergatik planteatzen zuten auzihau? Zalantzarik gabe, erradioa edo diametroaemanik zirkuluaren azalera kalkulatu beharreanaurkitzen zirenean sortu zen auzia, eta abiapuntuhonetatik geometrikoki baliokidetasun-auzi bihurtuzen: zirkulu baten erradioa emanik karratu balioki-dearen aldea kalkulatu. Puntu honetara helduz, garai

2. irudia 3. irudia

hartan π (pi) zenbakiaren balio zehatza ez zutelaezagutzen esan behar dugu. Beraz, auzia ebaztea ezzen orduan orain bezain erraza.

Baina ikus dezagun zirkuluaren koadratura nolalortu zuten. Pitagorikoek K.a. VI. mendean jadanikpoligonoen koadratura ebatzia zuten (hauek diragure buruhausleak). Hala ere poligonoetatik zirkulu-ra pasatzerakoan beren formulak eta metodoak apli-kaezinak ziren. Hortaz, baliabide berezirik gabeegindako saiakuntzek porrot egin zuten.

Azpimarragarriak ziren, aldiz, Antifon eta Brisonsofisten saioak. Lehenengoak, Poligono inskribatubat emanik alde-kopuru bikoitza duen beste bat lor

daiteke propietatean oinarriturik eta alde-kopuruahandiagotu ahala poligonoa zirkulura hurbiltzen daerantsiz, poligono guztiak koadragarri zirenez zirku-luak ere koadragarri izan beharko zuela ondorioztatuzuen. Ondorio faltsua, Aristoteles-ek esan zuen be-zala: alde-kopurua oso handia bada ere, poligonoak

riak eman zuen, Hipias-en koadratzailearen bidezzirkunferentzia zuzenda zitekeela K.a. IV. mendeandemostratu zuenean. Azken urratsa, esan dugunez,Arkimedes-ek eman zuen K.a. III. mendean zirkun-ferentzia zuzendatutik zirkuluaren koadraturara(erregela eta konpasaren bidez) pasa zitekeela froga-tu zuenean. Hau lortzeko Arkimedes-ek π (pi) zen-bakiarentzat emandako balio hurbilduak 3 10/

71 =

4’1408… eta 3 1/7 = 3’1428… ziren.

Ikusi dugunez, poligonoen koadraturek zirkulua-rena bilatzen lagundu zuten. Hau zen, hain zuzen ere,guk hona ekarri nahi genuena. Izan ere, lehen aipatudugunez irudi-bikote hauekin zera lortu nahi da:nahiz lorontziak nahiz dodekagonoak nahiz izarrak,haien ondoan duten karratuaren azalera bera dute,hau da, azalera mantenduz irudi horiek karratu bi-hurtu behar dira.

Aurreko irudiekin deskonposaketa eskatzen bage-nizun, oraingoan guk emango dizugu karratu batendeskonposaketa eta zuk bilatu beharko duzu karratua(4. irudia). Joko honek bost pieza besterik ez ditu,baina bere zailtasunak pieza askotako puzzle batzue-na gainditzen du (neurriak ere zehatzak dira).

Badaude adarra jotzeko buruhausleak ere; niriinformatikako ikasle batek eman didanaren antze-koak adibidez. Loyd-en ponya du izena eta hemen-txe duzue (5. irudia). Zera planteatzen da:

“Bost pieza horiekin zaldi baten irudia osatu beharduzu; harrapaladan, erarik airosoenean”.

4. irudia 5. irudia

ez du inoiz zirkulua beteko.Brison-ek, bere aldetik, esan-dakoari poligono zirkunskri-batuei zegozkien arrazona-mendu analogoak erantsi ziz-kion, bi poligono-segidek zir-kulua barruan hartzen zutelaeta zirkuluaren azalera bi po-ligonoren (bata inskribatuabestea zirkunskribatua) azale-ren artean geratzen zela era-kusten zuelarik.

Hau izan zen, hain zuzenere, Arkimedes-ek auzi honibukaera emateko hartu zuenbidea. Hala ere, azken urratshura eman ahal izateko bestebi eman behar ziren artean.Lehenengoa Hipias-ek emanzuen, Hipias-en koadratzaileizeneko kurba J.a. V. men-dean definitu zuenean. Biga-rrena Dinostrato matematika-