Serie Educativa: Educacin Gratuita y de Calidad,Derecho Humano Fundamental de los y las Nicaragenses MATEMTICA(10 y 11 Grados)Departamento de CurrculoAo20112COORDINACIN GENERALProfesora Mara Elsa Guilln LezamaAUTORA (Recopilacin)Profesor Humberto Jarqun LpezDIAGRAMADO Y LEVANTADO DE TEXTOJavier Antonio Gonzlez ManzanarezIMPRESINProyecto PASENMINISTERIO DE EDUCACINAUTORIDADES Ministra de Educacin Miriam Soledad Raudez RodrguezViceministro de Educacin Marlon Si BermdezViceministro de Educacin Francisco Bonilla Olivas Viceministro de Educacin Jos Treminio Zeledn6ndice Pg.INTRODUCCIN PROBABILIDADES..POLIEDROTRIGONOMETRASISTEMA DE ECUACIONES.SUSECIONES.LOGARITMOS .DESIGUALDADES GEOMETRA ANLITICA ..BIBLIOGRAFA 12943627181921071358IntroduccinEl Ministerio de Educacin, a travs del Departamento de Currculo, ha elaborado el presente documento, con la finalidad de brindar a las y losdocentes un apoyo en el desarrollo de las competencias del rea de MatemticaConel propsitodemejorarel aprendizajeenseanzadelaMatemtica, en EducacinSecundaria, seelaborlapresenteAntologa comopartedelas acciones por efectuarse en el enfoque de Competencias Educativas y as contribuir a elevar la calidad de enseanza de las y los docentes y el aprendizaje de las y los estudiantes.La Matemtica contribuye a desarrollar en las y los estudiantes, un pensamiento hipottico y deductivo. Es una de las reas ms eficientes y eficaces para aprender a pensar. Cada aprendizaje matemtico es una cognicin, y si reflexionamos sobre cmo se debera aprender matemtica, se estara llegando a aprendizajes mucho ms complejos como las metacogniciones. Entonces, la matemtica sirve tambin para aprender a aprender y a desaprender, porque se aprende equivocndose,por ejemplo,ms de lo que se aprendeacertando. Se aprende lo que da resultado y se desaprende lo que nos lleva al error.El propsito fundamental de esta Antologa es proporcionar informacin relacionada con el tratamiento de contenidos cientficos y algunos ejemplos con tratamientometodolgico, los queservirndereferenciaparael procesode adecuacin curricular que realizar el docente.PROBABILIDADESLosjuegosdeazar sonjuegosenloscuales lasposibilidades deganar operder no dependen de la habilidad del jugador sino exclusivamente del azar. De ah que la mayora de ellos sean tambin juegos de apuestas cuyos premios estn determinados por la probabilidadestadstica de acertar lacombinacinelegida. Mientras menores sean las probabilidades de obtener la combinacin correcta, mayor es el premio.La pregunta por el origen de estos juegos, en cualquier aspecto, es parte de la duda humana que alimenta la existencia. Por eso, sin dudas, muchos se deben haber preguntado por elorigendealgunos juegos deazar queexistendesdehacemiles deaos y quehoy predominan en Internet.Primero se puede hablar del domino, un juego cuyo origen se remonta al ao 2450 antes de Cristo. Enel MuseodeBagdad(Irak) seconservanpiezas dehuesoque, segnlos arquelogos, datan de esa fecha, aunque otros estudios hablan de un origen vinculado a los juegos de azar en la China antigua. Lo cierto es que llego a Europa durante el siglo XVIII,momento en que se tallaban las piezas con una cara de bano y otra de marfil. El nombre deljuego se debe a la similitud de las fichas con los domins, unas tnicas blancas con capucha negra que se utilizaban como disfraz.Sin lugar a dudas, entre los juegos de azar ms populares se ubican las cartas, cuyo origen se remontan a la Francia de Carlos VI, en 1392, segn elinvestigador jesuita Menestrier.Aunquehayotrosestudiosquehablandejuegosdecartasconsmbolosmgicosyde batallas en la misma antigedad, tanto en la India como o si se usaron primero en la China y Egipto.En el origen de los juegos de azar, tal vez uno de los mas milenarios y con absoluta vigencia hoy en da es el Go, que segn se estima se origino en China 1000 aos antes de Cristo y fue creado por el emperador Yao para educar a sus hijos y acostumbrarlos al habito de la reflexin.Por ultimopodemoshablardelaLotera, quizsel demsrecienteorigendetodoslos juegos de azar ms populares que existen hoy. Se habla de un origen genoves durante elsigloXVI, atribuyndosesuinvencinaBenedettoGentile, quientransformoenjuegola forma legal de renovacin de los miembros del Concejo Municipal de Gnova.AZAR Y DESCONOCIMIENTOPero ms all de los juegos, el azar est relacionado con eldesconocimiento. Un ejemplo nos puede ayudar; piense en un proceso industrial que produce grandes cantidades de un artculo determinado. No todos los artculos producidos son idnticos, cada artculo puede calificarse como "bueno''o "defectuoso''. Si de toda la produccin se escoge un artculo "a 10ciegas'', ese artculo puede resultar bueno o defectuoso. Esta es una situacin azarosa (o aleatoria) y la parte esencial de este azar es que no sabemos si el artculo seleccionado es defectuoso. Claro que con experiencia en el proceso es posible cuantificar de una manera numrica qu tan probable es que el artculo sea defectuoso o no.AZAR E INCERTIDUMBREHayotroconceptoasociadoal azaryesel deincertidumbre. Ejemplo. Respectoauna inversin, podemos estar contemplando invertir una cantidad de dinero. El retorno sobre la inversin puede ser fijo, como en el caso de una cuenta en un banco con inters fijo; pero pensemos en una empresa. El negocio puede resultar desde un gran xito hasta un fracaso,es decir, la ganancia no es fija, sino que depende del xito a obtener. Si no podemos evaluar qu tan factible es cada monto posible de la ganancia, tenemos una situacin de incertidumbre. Porel contrario, si podemostenerunaideadequtanprobablessonlos diferentes resultados y entonces tendremos una situacin de riesgo. Esta ltima es la que llamamos aleatoria o azarosa.ESPACIO MUESTRAL Y PROBABILIDADEn las situaciones o experimentos aleatorios tenemos dos elementos esenciales:Una lista de posibilidades a futuro: Espacio muestral.Una cuantificacin de la incertidumbre sobre esa lista de posibilidades: asignacin de probabilidades. Cualquierproblemaosituacinenlaprobabilidad,parte deesosdos elementos:Espacio Muestral y Probabilidades.ESPACIO MUESTRALEl espaciomuestral esel conjuntodetodoslosposiblesresultadosdeunexperimentoo situacin aleatoria.Si en una caja hay 10 mandarinasy 2 estn echadas a perder (al menos en este momento),al extraer tres mandarinas y ver cuantas son buenas podemos obtener 1, 2 o 3 buenas (0 buenas es imposible). De modo que en este ejemplo el espacio muestral es: {1; 2; 3}.Siun juego consiste en tirar con una pistola de balines todas las botellas que hagan falta hasta obtener tres botellas seguidas o hasta que sean 15 botellas. Sinos fijamos para elnmero de botellas tiradas requeridas, el espacio muestral es S = {3; 4; 5,. . .; 15}. Pero si nos fijramos en el nmero de disparos que resultan, entonces el espacio muestral es S = {0; 1; 2;...; 15}.Es claro que para determinar el espacio muestral en un experimento aleatorio es necesario entender perfectamente:- Qu se va a hacer. 11- Qu se va a observar o contar.Otros ejemplos 1) Si el experimento se basa en la eleccin de un dgito, entonces el espacio muestral es:U ={ 0 ;1 ;2 ;3 , 4 ;5 ;6 ;7 ;8 ; 9 }2) Lanzamiento de monedas:a) Si el experimento se basa en el lanzamiento de una moneda, el espacio muestral tiene dos elementos, cara (c) y sol (s):U = {c; s}b) Dos monedas, el espacio muestral tiene 4 elementos:U ={ ( c ;c ) , ( c; s ) , ( s ; c ) , ( s; s ) }c) Tres monedas, tiene 8 elementos:U = {( c ; c ; c ), ( c ; c ;s ) ,( c ;s ; c ), ( c ;s ;s ) ,( s ; c ; c ) ,( s ;c ;s ) , (s ; s ;c ) , (s ;s ; s ) }d) n monedas, tiene 2n elementos.Otro ejemplo:1. Una bolsa contiene bolas blancas y negras. Se extraen sucesivamente tres bolas.E = {(b;b;b); (b;b;n); (b;n;b); (n;b;b); (b;n;n); (n;b;n); (n;n;b); (n;n;n)}2. El suceso A = {extraer tres bolas del mismo color}.B = {(b; b; b); (n; n; n)}3. El suceso A = {Extraer al menos una bola blanca}.B= {(b;b;b); (b;b;n); (b;n;b); (n;b;b); (b;n;n); (n;b;n); (n;n;b)}4. El suceso A = {Extraer una sola bola negra}.A = {(b;b;n); (b;n;b); (n;b;b)}EVENTOS O SUCESOS12Cuando se tiene un espacio muestral llamamos, evento o suceso a cualquier subconjunto delespacio muestral. Decimos que un suceso se realiza, cuando elresultado del experimento aleatorio es uno de los sucesos posibles.Por ejemplo al tirar un dado un suceso sera que saliera par, otro, obtener mltiplo de 3, y otro, sacar 5.Las dos definiciones anteriores son muy abstractas. Veamos un par de ejemplos.1. Sean U el espacio muestral formado por los 10 dgitos, A y B eventos tales que:A ocurre si y slo si el dgito es par.B ocurre si y slo si el dgito es mltiplo de 3.Entonces:A = {0; 2; 4; 6; 8}B = {0; 3; 6; 9} Basndonos en elconcepto de evento, podemos concluir que tanto el conjuntoUcomo el conjunto vaco son tambin sucesos, U es el suceso o evento cierto o seguro y es el suceso imposible. Otro ejemplo ms: Comprar llantas para un carroPuede ser que estas tengan un defecto de fabricacin dentro del perodo de garanta total y quelacasaquelasdistribuyedebareponerlas. Tambinpuedepasarqueel defectose manifieste en el perodo de garanta parcial y que la casabonifique slo un porcentaje o que el defectosemanifieste despus de vencido el perodo de garanta encuyo caso eldistribuidor nopaganada. Tambinpuedepasar quelasllantasnotengandefectode fabricacin aparente y que no haya garanta que reclamar. Como se puede considerar que las llantas vendidas se escogieron al azar de entre toda la produccin, tenemos un experimento aleatorio.El espacio muestral en este experimento es: S = {T, P1, P2, P3, N, OK}. Con la siguiente notacinT: Pago total, P1: Pago del 50%, P2: Pago del 30%, P3: Pago del 10%, N: Nada de pago, S: Llantas sin defecto.El suceso S slo se realiza cuando las llantas no tienen defecto.En este ltimo ejemplo se tiene un suceso simple porque consta de un solo punto del espacio muestral. Sercompuestocuandotengavarios puntos del espaciomuestral. Sellama suceso imposible al que no puede ocurrir; ste evento corresponde al conjunto vaco. Otro 13sucesoextremoesel espaciomuestral mismoque, puestoquesiempreocurre, sellama suceso o evento seguro.Experimento:Selanzaunamonedacuatrovecesysecuentael nmerototal decaras obtenidas.El espacio muestral es U= {0; 1; 2; 3; 4}Ejemplos de sucesos o eventos:A: sali la cantidad de caras un nmero par de veces en el experimento A: = {2; 4}B: salieron a lo sumo dos caras en el experimento B= {0; 1; 2}C: salieron por lo menos dos caras en el experimento C= {2; 3; 4}Probabilidades1. Escribe en el espacio en blanco, es muy probable que., es poco probable que, es igualmente probable que., segn corresponda.A. Se formen huracanes en el mes de marzo.B. Se formen huracanes en el mes de octubre.C. Se formen huracanes en los meses de septiembre y octubre.D. Es seguro que hoy llover?E. Es seguro que hoy no llover?La probabilidad mide la frecuencial con la que aparece un resultado determinado cuando se realiza un experimento.Ejemplo: Tiramos un dado al aire y queremos saber cual es la probabilidad de que salga un 2, o que salga un nmero par, o que salga un nmero menor que 4.El experimento tiene que ser aleatorio, es decir, que pueden presentarse diversos resultados, dentro de un conjunto posible de soluciones, y esto an realizando elexperimentoenlasmismascondiciones. Por lotanto, apriori noseconocecual delos resultados se va a presentar:14Ejemplo: Lanzamos una moneda al aire: el resultado puede ser cara o soll, pero no sabemos de antemano cual de ellos va a salir.En la Lotera de Navidad, el "Gordo" puede ser cualquier nmero entre el 1 y el 59 999, pero no sabemos exactamente cual ser el premiado. Hay experimentos que no son aleatorios y por lo tanto no se les puede aplicar las reglas de la probabilidad.Ejemplo: En lugar de tirar la moneda al aire, directamente seleccionamos la cara. Aqu no podemoshablar deprobabilidades, sinoquehasidounresultadodeterminadopor uno mismo.Antes de calcular las probabilidades de un experimento aleatorio hay que definir una serie de conceptos:Suceso elemental:Hace referencia a cada una de las posibles soluciones que se pueden presentar.Ejemplo:Al lanzaruna monedaal aire, lossucesos elementalessonlacara yla sol. Allanzar un dado, los sucesos elementales son el 1, el 2,.., hasta el 6.Suceso compuesto: Es un subconjunto de sucesos elementales.Ejemplo: lanzamos un dado y queremos que salga un nmero par. El suceso "nmero par"es un suceso compuesto, integrado por 3 sucesos elementales: el 2, el 4 y el 6.Sijugamos a la ruleta y queremos que salga "menor o igualque 18". Este es un suceso compuesto formado por 18 sucesos elementales (todos los nmeros que van del 1 al 18).Medicin Matemtica o Clsica. Sien un experimento aleatorio todos los resultados son equiprobables (iguales probabilidades), es decir, la ocurren longitud de la circunferencia de uno es igualmente posible que la ocurren longitud de la circunferencia de cualquiera de los dems, entonces, la probabilidad de un evento A es la razn: P(A) = Nmero de casos favorables para A/nmero total de casos posibles.A partir de esta definicin las probabilidades de los posibles resultados del experimento se pueden determinar a priori, es decir, sin realizar el experimento.Se deduce de la definicin lo siguiente:0 P(A) 1 La medicin probabilstica es un nmero real entre 0 y 1, inclusive, 0% P(A) 100% en porcentaje. P ( ) = 0 y P (E) = 1 Su Medicin Experimental o Estadstica.15La frecuencia longitud de la circunferencia relativa del resultado A de un experimento es la razn.FR = nmero de veces que ocurre A/nmero de veces que se realiza el experimento.Si el experimento se repite un nmero grande de veces, el valor de FR se aproximar a la medicinprobabilsticaPdel eventoA. Porejemplo, si lanzo100vecesunamoneda, elnmero de veces que obtengo cara es cercano a 50, o sea FR es cercano a 50%.Los fenmenos o experimentos son de dos tipos.DETERMINISTA: Un experimento es deterministasi al repetirlo en las mismas condiciones se obtiene siempre el mismo resultado. ALEATORIOS: Un experimento es aleatorio si al repetirlo bajo las mismas condiciones, no se puede predecir el resultado.En un fenmeno o experimento determinstico sabes exactamente de antemano cual es elresultado, an sin haber efectuado el hecho.En un fenmeno o experimento aleatorio no se puede predecir con certeza el resultado. En dicho caso diremos que interviene el azar.Escribe en el espacio en blanco una D si el experimento es determinstico o una A si es experimento aleatorio.1. Jugar la raspadita para ver si gano.2. Introducir papel al fuego para ver si se quema. 3. Pronosticar quien ganar las elecciones para alcalde en tu municipio. 4. Lanzar una moneda al aire para ver si cae cara. 5. Combinar los colores rojo y amarillo.6. Golpear un vidrio con un martillo para ver si se rompe.7. Predecir un temblor.En la kermesse del colegio, a cambio de una moneda se puede meter la mano en una tinaja sin mirar elinterior yobtener un premio. El premio corresponde alque logre extraer una bola roja.A. En cul de las tinajas ilustradas te gustara meter la mano? Por qu?B. En qu tinaja tendras una mejor probabilidad de ganar.16En el juego La ruleta siempre se obtiene un premio. Al presionar el pedal, se inicia el mecanismo que hace girar la rueda, y al parar esta,te llevas el premio indicado por la flecha.A qu color se le habr asignado el premio mayor? Por qu razn?EL JUEGO INJUSTODe los siguientes juegos entre dos personas hay uno que no es justo. Podras descubrirlo? Por qu no es justo?

LANZANDO UN DADOSea el experimento lanzarun dado y leer el nmero de puntos en la cara superiorActividades:1. Se puede expresar con certeza cul ser el resultado de lanzar un dado?2. Qu tipo de experimento es?3. Qu cantidad de puntos puede salir cada vezque se lance un dado?4. Se pueden determinar todos los resultados posibles de este experimento?Dadoslossiguientesexperimentosaleatoriosescribealapar decadaunodeelloslos posibles resultados.Juego 1Lanzo una moneda al aire:Sale cara GANOSale sol PIERDO Juego 2Lanzo un dado:Sale par GANOSale impar PIERDO Juego 3Lanzo un dado:Sale mayor que 3 GANOSale tres EMPATAMOSSale menor que tres PIERDO Juego 4Lanzo dos monedas al aire:Salen dos caras GANOSalen dos soles PIERDOSale una cara y solEMPATAMOS17A. Lanzar una monedaB. Lanzar dos monedasC. Lanzar tres monedas D. Lanzar dos dados y sumar los puntos de la cara superior E. Adivinar la ltima cifra del premio mayor de la lotera nacional __________Escribe el espacio muestral de cada uno de los experimentos descritos en el punto anterior.Espaciomuestral:Sedenominaal conjuntodetodoslosposiblessucesoselementales. Cadaexperimento aleatoriotienedefinido suespaciomuestral (esdecir, unconjuntocon todas las soluciones posibles).Ejemplo: Si tiramos una moneda al are una sola vez, el espacio muestral ser cara o sol.Si el experimentoconsiste enlanzarunamonedaal aire dosveces,entoncesel espacio muestral estara formado por (cara-cara), (cara-sol), (sol-cara) y (sol-sol).Entre los sucesos compuestos se pueden establecer distintas relaciones:a. Un suceso puede estar contenido en otro: Las posibles soluciones del primer suceso tambin lo son delsegundo, pero este segundo suceso tiene adems otras soluciones suyas propias.Ejemplo: Lanzamos un dado y analizamos dos sucesos: a) que salga el nmero 6, y b) que salga un nmero par. Vemos que el suceso a) est contenido en el suceso b)Siempre que se da el suceso a) se da el suceso b), pero no al contrario. Por ejemplo, si elresultado fuera el 2, se cumplira el suceso b), pero no el el a).b. Dos sucesos pueden ser iguales:Esto ocurre cuando siempre que se cumple uno de ellos se cumple obligatoriamente el otro y viceversa.Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga nmero par, y b) que salga mltiplo de 2. Vemos que las soluciones coinciden en ambos casos.c. Unindedosomssucesos:Launinserotrosucesoformadopor todoslos elementos de los sucesos que se unen.Ejemplo: Lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga nmero par y 18b) que el resultado sea mayor que 3. El suceso unin estara formado por los siguientes resultados: el 2, el 4, el 5 y el 6d. Interseccin de sucesos:Es aquel suceso compuesto por los elementos comunes de dos o ms sucesos que se intersecan.Ejemplo: Lanzamos un dado al aire, y analizamos dos sucesos: a) Que salga nmero parb) Que sea mayor que 4. Lainterseccindeestosdossucesostieneunsloelemento, el nmero6(esel nico resultado comn a ambos sucesos: es mayor que 4 y es nmero par).e. Sucesos incompatibles: Son aquellos que no se pueden dar al mismo tiempo ya que no tienen elementos comunes (su interseccin es el conjunto vaco).Ejemplo: Lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga un nmero menor que 3, y b) que salga el nmero 6. Es evidente que ambos no se pueden dar al mismo tiempo.f. Sucesos complementarios: Son aquellos que si no se da uno, obligatoriamente se tiene que dar el otro.Ejemplo: Lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga un nmero par, y b) que salga un nmero impar. Vemos que si no se da el primero se tiene que dar el segundo (y viceversa). Probabilidad de SucesosAl definir los sucesos hablamos de las diferentes relaciones que pueden guardar dos sucesos entre s, as como de las posibles relaciones que se pueden establecer entre los mismos. Vamos a ver ahora cmo se refleja esto en el clculo de probabilidades.a. Un suceso puede estar contenido en otro: Entonces, la probabilidad del primer suceso ser menor que la del suceso que lo contiene.Ejemplo: Lanzamos un dado y analizamos dos sucesos: a) que salga el nmero 6, y b) que salga un nmero par. Dijimos que el suceso a) est contenido en el suceso b).P(A) = 1/6 = 0,166P(B) = 3 / 6 = 0,5019Por lo tanto, podemos ver que la probabilidad del suceso contenido, suceso a), es menor que la probabilidad del suceso que lo contiene, suceso b).b. Dos sucesos pueden ser iguales: En este caso, las probabilidades de ambos sucesos son las mismas.Ejemplo: Lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga nmero par, y b) que salga mltiplo de 2. Las soluciones coinciden en ambos casos.P(A) = 3 / 6 = 0,50P(B) = 3 / 6 = 0,50c. Interseccin de sucesos: Es aquelsuceso compuesto por los elementos comunes de los dos o ms sucesos que se intersecan. La probabilidad ser igual a la probabilidad de los elementos comunes.Ejemplo: Lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga nmero par, y b) que sea mayor que 3. La interseccin de estos dos sucesos tiene dos elementos: el 4 y el6.Su probabilidad ser por tanto:P(A B) = 2 / 6 = 0,33d. Unin de dos o ms sucesos: La probabilidad de la unin de dos sucesos es igual a la sumadelasprobabilidadesindividualesdelosdossucesosqueseunen, menosla probabilidad del suceso interseccinEjemplo: Lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga nmero par, y b)queel resultadoseamayor que3. El sucesouninestaraformado porlossiguientes resultados: el 2, el 4, el 5 y el 6.P(A) = 3 / 6 = 0,50P(B) = 3 / 6 = 0,50P (A U B) = 2 / 6 = 0,33Por lo tanto,P (A U B) = (0,50 + 0,50) - 0,33 = 0,666e. Sucesos incompatibles: la probabilidad de la unin de dos sucesos incompatibles ser igual a la suma de las probabilidades de cada uno de los sucesos (ya que su interseccin es el conjunto vaco y por lo tanto no hay que restarle nada).Ejemplo: Lanzamosundadoal aireyanalizamosdossucesos: a)quesalgaunnmero menor que 3, y b) que salga el nmero 6.La probabilidad del suceso unin de estos dos sucesos ser igual a:P(A) = 2 / 6 = 0,33320P (B) = 1 / 6 = 0,166Por lo tanto,P(A u B) = 0,33 + 0,166 = 0,50f. Sucesos Complementarios: la probabilidad de un suceso complementario a un suceso (A) es igual a 1 - P(A)Ejemplo: Lanzamos un dado al aire. Elsuceso (A) es que salga un nmero par, luego su complementario, suceso (B), es que salga un nmero impar.La probabilidad del suceso (A) es igual a:P(A) = 3 / 6 = 0,50Luego, la probabilidad del suceso (B) es igual a:P (B) = 1 - P(A) = 1 - 0,50 = 0,50Se puede comprobar aplicando la regla de "casos favorables / casos posibles":P (B) = 3 / 6 = 0,50g. Unindesucesoscomplementarios:Laprobabilidaddelaunindedossucesos complementarios es igual a 1.Ejemplo: Seguimos con el ejemplo anterior: a) que salga un nmero par, y b) que salga un nmero impar. La probabilidad del suceso unin de estos dos sucesos ser igual a:P(A) = 3 / 6 = 0,50P(B) = 3 / 6 = 0,50Por lo tanto,P(A U B) = 0,50 + 0,50 = 1PROBABILIDAD CONDICIONALConsideremos la siguiente situacin. Se tienen tres urnas similares; por fuera son idnticas. Se sabe que: En la urna 1 hay 3 bolas blancas y 19 azules, En la urna 2 hay 20 bolas blancas y 2 azules, En la urna 3 hay 11 bolas blancas y 11 azules. Sevaasacar unaboladeunadelasurnas. Puedeser azul oblanca. Cul esla probabilidad de que sea blanca? Hay cuatro posibles soluciones: 1. La probabilidad de una blanca es 3 / 22. Esto es porque si se escoge la urna 1, hay 3 de 22 bolas que son blancas. Esta respuesta nos deja pensando en que es muy arbitrario decir que la urna escogida es la 1. Si la urna escogida fuese la 1 esta sera la respuesta correcta. 212. De manera similar, podemos pensar que la urna escogida es la 2 y entonces la probabilidad de una bola blanca es 20 / 22. 3. Claro que, tambin, la urna escogida puede ser la 3 y entonces la probabilidad de blanca es 11 / 22. 4. Como no se sabe cual es la urna escogida y las tres urnas tienen el mismo nmero de bolas, la probabilidad se calcula como si fuese una gran urna con 66 bolas de las cuales 3 + 20 + 11 son blancas y, as, la probabilidad es 34 / 66 Cul es la respuesta correcta? o habr otra que sea la respuesta correcta? Una cosa es clara, si podemos suponer que la urna escogida es la 1, la respuesta correcta es la primera. Lo mismo se puede decir de la segunda y la tercera. La cuarta ms atrevida y quiz sea correcta. Por lo pronto vamos a darle un nombre a las tres primeras: les llamamos probabilidad condicional. A la primera la llamamos "probabilidad condicional de blanca dado que la urna es la 1". A la segunda, la llamamos de manera similar condicional de blanca dado que la urna es la 2. A la tercera se le da un nombre anlogo Cul nombre?Ms adelante veremos lo que se llama frmula de la probabilidad total y entonces, veremos que la cuarta respuesta dara la ``probabilidad no condicional''. Por el momentoampliemos las ideassobre probabilidad condicional con un poco de matemticas. Formalmente, definimos en clase la probabilidad condicional de la siguiente manera:

P(A | B) = P(A y B) / P(B)Elsmbolo P(A | B) lo leemos como probabilidad de A dado B. Lo interpretamos como la probabilidad de que, sabiendo que ya sucedi B, adems suceda A. En elejemplo de las urnas A sera el evento "la bola es blanca''; B sera la urna correspondiente. Comoloqueestabajoenlafraccineslaprobabilidaddelodado, lafrmulanoes simtrica en A y B. Si los intercambiamos, da otro nmero. Esto se ve en el ejemplo ya que no es lo mismo que nos informen cual es el nmero de la urna escogida a que nos digan que la bola fue blanca y nos pregunten cul es la urna. Esta frmula no tiene sentido matemtico si P(B) = 0. En tal caso decimos que la probabilidad condicional no est definida. Claro que eso est bien porque no puede haber sucedido algo que es imposible. 22Estafrmulaseusarcuandohayaunamanerafcil decalcular lasprobabilidadesno condicionales y la condicionalsea difcil. Eso no fue elcaso con elcolor de la bola y las urnas. Paraejemplificar el tipode situacinenquenossirvelafrmuladescrita, considereeste problema. Se tiran dos dados y se sabe que el primero no tiene el nmero 5. Cul es la probabilidad de que la suma de los dados sea 8? Para resolver, llamemos B al evento: "el primer dado no es 5''. Aal evento: "la suma de los dados es 8''.Con los datos se ve que: P(B) = 30 / 36. Porque de las 36 parejas posibles, 6 tienen 5 en el primer dado. P(A y B) = 4 / 36. Porque slo se obtiene 8, con las parejas (2; 6), (3; 5), (4; 4) y (6; 2) [La pareja (5; 3) s suma ocho pero tiene un 5 en el primer dado] y, usando la frmula, P(A|B) = 4 / 30.Tambin hubiramos podido calcular sin la frmula, pero esa cuenta requiere ms ingenio. En este ejemplo es fcil calcular las probabilidades no condicionales. Hay muchos problemas, como en elde las urnas, en que lo contrario es lo cierto: es fcilcalcular la condicional y la podemos usar para calcular la conjunta. Si despejamosP(AyB), tendremosunafrmulaparacalcular laprobabilidadconjunta cuando sea fcil calcular la condicional. En clase hacemos un ejemplo simple de clculo de probabilidad condicional con una tabla de dos clasificaciones cruzadas. En ese ejemplo se ven tres cosas: 1. Laprobabilidadcondicional nospermitemedir lainformacin. Enlosejemplosvimos como cambia la probabilidad de A, antes de conocer nada: P(A) y despus de conocer la ocurrencia de la circunferencia de el evento B: P(A | B). 2. En un extremo est el cambio enorme que corresponde a que A y B sean excluyentes (ajenos). En este caso la probabilidad podra llegar incluso a ser cero. 3. En el otro extremo estn los eventos en los que sucede que P(A | B) = P(A). Esto quiere decir que la informacin de que B ocurri no cambia la probabilidad de A y decimos que A y B son independientes. Esta ltima caracterstica, la independen longitud de la circunferencia, juega un papel muy importante en la probabilidad y merece una atencin ms detallada. Por el momento debemos establecer una definicin: 23A y B son eventos independientes si y slo si P(A y B) = P(A) P(B)En forma equivalente decimos: A y B son eventos independientes si y slo si P(A | B) = P(A)La equivalencia de la circunferencia se sigue de una sustitucin algebraica muy sencilla. La consecuencia de la circunferencia de que esta sea una definicin es que: para comprobar la independencia de la circunferencia de dos eventos es preciso hacer ver que P(A y B) = P(A)P(B).Es importante remarcar la diferencia de la circunferencia de concepto entre eventos independientes y eventos excluyentes o ajenos. En nuestro ejemplo se ve claramente que ambos conceptos son antitticos. El hecho de que dos eventos se excluyan casi implica que no son independientes. La excepcin se da en el caso degenerado de que alguno de ellos (o los dos), sea imposible. En el habla cotidiana, a veces, se confunden estos conceptos. Note que si A es imposible; P(A) = 0. Adems "A y B'' tambin es imposible y se tiene P(A y B) = P(A)P(B) ya que ambos lados de la igualdad valen cero . Pero ste es el nico caso en que dos eventos son ajenos e independientes a la vez; en trminos geomtricos la idea de independencia de la circunferencia se asemeja a la perpendicularidad y la de ``ajenos''alparalelismo. Dos sucesos son independientesentre s, si la ocurrencia de la circunferencia de uno de ellos no afecta para nada el que pueda producirse el otro: Ejemplo:el sucesoestaturadelosalumnosdeunaclaseyel color del peloson independientes: el que un alumno sea ms o menos alto no va a influir en el color de su cabello, ni viceversa.Paraquedos sucesos seanindependientes tienenqueverificar al menos unadelas siguientes condiciones: P (B/A) = P (B) es decir, que la probabilidad de que se de el suceso B, condicionada a que previamente se haya dado el suceso A, es exactamente igual a la probabilidad de B. Ejemplo:la probabilidad de que al tirar una moneda salga cara (suceso B), condicionada a que haga buen tiempo (suceso A), es igual a la propia probabilidad del suceso B.P (A/B) = P (A) es decir, que la probabilidad de que se de el suceso A, condicionada a que previamente se haya dado el suceso B, es exactamente igual a la probabilidad de A. 24Ejemplo: la probabilidad de que haga buen tiempo (suceso A), condicionada a que al tirar una moneda salga cara (suceso B), es igual a la propia probabilidad del suceso A.P (A ^ B) = P (A) P (B) es decir, que la probabilidad de que se de el suceso conjunto AyBesexactamenteigual alaprobabilidaddel sucesoAmultiplicadapor la probabilidad del suceso B. Ejemplo:La probabilidad de que haga buen tiempo (suceso A) y salga cara altirar una moneda (suceso B), es igual a la probabilidad delsuceso A multiplicada por la probabilidad del suceso BSi elsuceso A es independiente del suceso B, entonces el suceso B tambin es independiente del suceso A. Ejemplo 1: Analicemos dos sucesos:Suceso A: La probabilidad de que haga buen tiempo es del 0,4 Suceso B: La probabilidad de tener un accidente es del 0,1 Suceso interseccin: La probabilidad de que haga buen tiempo y tener un accidente es del 0,08Veamos si se cumple alguna de las condiciones sealadas: P (B/A) = P (A ^ B) / P (A) = 0,08 / 0,4 = 0,2 (que no es igual a P (B)) P (A/B) = P (A ^ B) / P (B) = 0,08 / 0,6 = 0,133 (que no es igual a P (A)) P (A ^ B) = 0,08 (que no es igual a P (A) multiplicado por P (B))Por lo tanto, no se cumple ninguna de las tres condiciones sealadas por lo que estos dos sucesos no son independientes, sino que existe algn grado de dependencia de la circunferencia entre ellos. Ejemplo 2: Analicemos dos sucesos:Suceso A: La probabilidad de que haga buen tiempo es del 0,4 Suceso B: La probabilidad de salir cara al lanzar una moneda es del 0,5 Suceso interseccin: La probabilidad de que haga buen tiempo y que salga cara es 0,2Veamos si se cumple alguna de las condiciones sealadas: P (B/A) = P (A ^ B) / P (A) = 0,2 / 0,4 = 0,5 (igual que P (B)) P (A/B) = P (A ^ B) / P (B) = 0,2 / 0,6 = 0,4 (igual que P (A)) P (A ^ B) = 0,2 (igual a P (A) multiplicado por P (B))Por lo tanto, estos dos sucesos s son independientes.25Ejercicio: Se lanzan dos dados, uno verde y uno rojo, y observa los nmeros orientados hacia arriba. Decida cuales de las siguientes pares de sucesos son independientes.A: La suma es 5B: Ambos dados muestran el mismo nmeroA: La suma es parB: El dado rojo es parA: La suma es 4B: Ambos dados muestran el mismo nmeroCombinaciones y PermutacionesQu diferencia hay?Normalmente usamos la palabra "combinacin" descuidadamente, sin pensar en si el orden de las cosas es importante. En otras palabras:"Mi ensalada de frutas es una combinacin de pia, papaya y banano": no importa en qu orden pusimos las frutas, podra ser "banano, papaya y pia" o "papaya, pia y banano",es la misma ensalada.La combinacin de la cerradura es 472": ahora s importa el orden. "724" no funcionara, ni "247". Tiene que ser exactamente 4-7-2.As que en matemticas usamos un lenguaje ms preciso: Si el orden no importa, es una combinacin. Si el orden s importa es una permutacin.Con otras palabras: Una permutacin es una combinacin ordenada.Para ayudarte a recordar, piensa en "Permutacin... Posicin"Asquelodearribasepodrallamar "cerradura de permutacin"!26PermutacionesHay dos tipos de permutaciones: Se permite repetir: como la cerradura de arriba, podra ser "333". Sin repeticin: por ejemplo los tres primeros en una carrera. No puedes quedar primero y segundo a la vez. 1. Permutaciones con repeticin.Sonlasmsfcilesdecalcular. Si tienesncosasparaelegir yeligesrdeellas, las permutaciones posibles son:n . n ..... (r veces) = nr(Porque hay nposibilidades para la primera eleccin, Despues hay nposibilidades para la segunda eleccin, y as.)Por ejemplo en la cerradura de arriba, hay 10 nmeros para elegir (0,1,...,9) y eliges 3 de ellos:10 . 10 .... (3 veces) = 103 = 1 000 permutacionesAs que la frmula es simplemente:nrdonde n es el nmero de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas (Se puede repetir, el orden importa) 2. Permutaciones sin repeticinEn este caso, se reduce el nmero de opciones en cada paso.As que tu primera eleccin tiene 16 posibilidades, y tu siguiente eleccin tiene 15 posibilidades, despus 14, 13, etc. Y el total de permutaciones sera:16 . 15 . 14 . 13 ... = 20 922 789 888 000Pero a lo mejor no quieres elegirlas todas, slo 3 de ellas, as que sera solamente:16 . 15 . 14 = 3 360Es decir, hay 3,360 maneras diferentes de elegir 3 bolas de billar de entre 16.Pero cmo lo escribimos matemticamente? Respuesta: usamos la " funcin factorial"Por ejemplo, cmo podras ordenar 16 bolas de billar?Despus de elegir por ejemplo la "14" no puedes elegirla otra vez.Lafuncinfactorial(smbolo:!)significaquesemultiplican nmeros descendentes. Ejemplos:4! = 4 .3 .2 .1 = 24 7! = 7 .6 . 5 .4 .3 .2. 1 = 5040 1! = 127Nota:En generalse est de acuerdo en que 0! = 1. Puede que parezca curioso que no multiplicar ningn nmero d 1, pero ayuda a simplificar muchas ecuaciones.As que si quieres elegir todas las bolas de billar las permutaciones seran:16! = 20 922 789 888 000Perosi sloquiereselegir 3, tienesquedejar demultiplicar despusde14. Cmolo escribimos? Hay un buen truco... dividimos entre 13!..16. 15 .14. 13. 12 ...= 16. 15. 14 = 3 36013. 12 ...O sea16! / 13! = 16. 15. 14La frmula se escribe: donde n es el nmero de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas (No se puede repetir, el orden importa).Ejemplos:Nuestro "ejemplo de elegir en orden 3 bolas de 16" sera:16!=16!=20 922 789 888 000= 3360(16-3)! 13! 6 227 020 800De cuntas maneras se pueden dar primer y segundo premio entre 10 personas?10!=10! =3 628 800= 90(10-2)! 8! 40 320(Que es lo mismo que: 10. 9 = 90)NotacinEn lugar de escribir toda la frmula, la gente usa otras notaciones como:28CombinacionesTambin hay dos tipos de combinaciones (recuerda que ahora el orden no importa): Se puede repetir: como monedas en tu bolsillo (5, 5, 5, 10,10). Sin repeticin: como nmeros de lotera (2, 14, 15, 27, 30,33).1. Combinaciones con repeticin.En realidad son las ms difciles de explicar, as que las dejamos para luego.2. Combinaciones sin repeticin.As funciona la lotera. Los nmeros se eligen de uno en uno, y si tienes los nmeros de la suerte (da igual el orden) entonces has ganado!La manera ms fcil de explicarlo es: Imaginemos que el orden s importa (permutaciones), Despus lo cambiamos para que el orden no importe. Volviendo a las bolas de billar, digamos que queremos saber qu 3 bolas se eligieron, no elorden.Ya sabemos que 3 de 16 dan 3 360 permutaciones.Pero muchas de ellas son iguales para nosotros, porque no nos importa el orden.Por ejemplo, digamos que se tomaron las bolas 1, 2 y 3. Las posibilidades son:El orden importa El orden no importa1122332313123231211 2 3As que las permutaciones son 6 veces ms posibilidades.De hecho hay una manera fcil de saber de cuntas maneras "1 2 3" se pueden ordenar, y ya la sabemos. La respuesta es:3! = 3. 2. 1 = 629! 1 !.( )! ! !( )!n nn r r rn r (Otro ejemplo: 4 cosas se pueden ordenar de 4! = 4. 3. 2. 1 = 24 maneras distintas, prueba t mismo!)As que slo tenemos que ajustar nuestra frmula de permutaciones para reducirpor las maneras de ordenar los objetos elegidos (porque no nos interesa ordenarlos):Esta frmula es tan importante que normalmente se la escribe con grandes parntesis, as: donde n es el nmero de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas(No se puede repetir, el orden no importa) Y se la llama "coeficiente binomial".NotacinAdems de los "grandes parntesis", la gente tambin usa estas notaciones:Ejemplo:Entonces, nuestro ejemplo de bolas de billar (ahora sin orden) es:16!=16!=20 922 789 888 000= 560 3!(16-3)!3!.13! 6(6 227 020 800)O lo puedes hacer as:16.15.14=3 360= 5603.2.1 6Es interesante darse cuenta de que la frmula es bonita y simtrica:Con otras palabras, elegir 3 bolas de 16 da las mismas combinaciones que elegir 13 bolas de 16.16! = 16! = 16! = 560303!(16-3)!13!(16-13)! 3!.13!Tringulo de PascalPuedes usar eltringulo de Pascalpara calcular valores. Baja a la fila "n" (la de arriba es n=0), y ve a la derecha "r" posiciones, ese valor es la respuesta. Aqu tienes un trozo de la fila 16:1 14 61 3641 15 105 455 13651 16 120 560 18204368 Ahora retomemos las combinaciones con repeticin.Combinaciones con repeticin.Y para dejarlo claro: hay n=5 cosas para elegir, y eliges r=3 de ellas.El orden no importa, y s puedes repetir!Veamos una tcnica especial Ahora puedes escribirlo como(la flecha es saltar, el crculo es tomar)Entonces los tres ejemplos anteriores se pueden escribir as:{c; c; c} (3 de chocolate):{b; l; v} (uno de banana, uno de limn y uno de vainilla):Tenemoscincosaboresdehelado:banana,chocolate,limn,fresay vainilla.Puedestomar3paladas.Cuntasvariacioneshay?Vamosa usar letras para los sabores: {b, c, l, f, v}. Algunos ejemplos son{c; c ; c} (3 de chocolate) {b; l; v} (uno de banana, uno de limn y uno de vainilla) {b; v ;v} (uno de banana, dos de vainilla)Imagina que el helado est en contenedores, podras decir "salta el primero, despus 3 paladas, despus salta los 3 contenedores siguientes" y acabars con 3 paladas de chocolate!Entonces es como si ordenaras a un robot que te trajera helado, pero no cambia nada, tendrs lo que quieres.31{b ; v; v} (uno de banana, dos de vainilla):Entoncesyanonostenemosquepreocupar por diferentessabores, ahoratenemosun problemams simplepara resolver: "de cuntas maneras puedes ordenar flechas y crculos".Fjateenquesiemprehay3crculos(3paladasdehelado) y4flechas(tenemosque movernos 4 veces para ir del contenedor 1 al 5). As que (en general) hay r + (n-1) posiciones, y queremos que r de ellas tengan crculos. Esto es como decir "tenemos r + (n-1) bolas de billar y queremos elegir r de ellas". Es decir, es como el problema de elegir bolas de billar, pero con nmeros un poco distintos. Lo podras escribir as:Donde n es el nmero de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas. (Se puede repetir, el orden no importa)Esinteresantepensar quepodramoshabernosfijadoenflechasenvezdecrculos, y entonceshabramosdicho"tenemosr +(n-1)posicionesyqueremosque(n-1)tengan flechas", y la respuesta sera la misma...Qu pasa con nuestro ejemplo, cul es la respuesta?(5+3-1)!=7!=5040= 353!(5-1)! 3!.4! 6(24)Ahora veamos otra manera de estudiar permutaciones y combinaciones.PERMUTACINEs todo arreglo de elementos en donde nos interesa el lugar o posicin que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo. Para ver de unamanera objetiva ladiferencia entre una combinacin y una permutacin,plantearemos cierta situacin. Suponga que un saln de clase est constituido por 35 estudiantes. a) El docente desea que tresdelosestudiantesloayudenenactividadestalescomomantener el aulalimpiao entregar material a los estudiantescuando as sea necesario. 32Elmaestro desea que se nombre a los representantes delsaln (Presidente, Secretario y Tesorero). Solucin: 1. Suponga que por unanimidad se ha elegido a Roberto, Arturo y a Rafael para limpiar elaula o entregar material, (aunque pudieron haberse seleccionado a Rafael, Roberto y a Enrique, opudohaberseformadocualquier grupodetrespersonaspararealizar las actividades mencionadas anteriormente). Es importante elorden como se seleccionaa loselementosque forma elgrupode tres personas? Reflexionandoal respectonos damos cuentadequeel ordenenestecasonotiene importancia, ya que lo nico que nos interesara es el contenido de cada grupo, dicho de otra forma, quines estn en el grupo? Por tanto, este ejemplo es una combinacin, quiere decir esto que las combinaciones nos permiten formar grupos o muestras de elementos en donde lo nico que nos interesa es el contenido de los mismos. 2. Suponga que se han nombrado como representantes del saln a Roberto como Presidente, a Arturo como secretario y a Rafael como tesorero, pero resulta que a alguien se le ocurre hacer algunos cambios, los que se muestran a continuacin: CAMBIOS PRESIDENTE: RobertoArturoRafaelRobertoSECRETARIO: ArturoRobertoRobertoRafaelTESORERO: RafaelRafaelArturoArturoAhora tenemos cuatro arreglos, se trata de la misma representacin? Larespuestaserano, yaqueel cambiodefuncinquesehacealosintegrantesdela representacin original hace que definitivamente cada una de las representaciones trabaje de manera diferente, importa el orden de los elementos en los arreglos? La respuesta 33definitivamente sera s, luego entonces las representaciones antes definidas son diferentes ya que el orden o la forma en que se asignan las funciones s importa, por lo tanto es este caso estamos tratando con permutaciones. A continuacin obtendremos las frmulas de permutaciones y de combinaciones, pero antes hayquedefinir loquees n! (n factorial), ya que estinvolucrado enlas frmulas que se obtendrn y usarn para la resolucin de problemas. n!= al producto desde la unidad hasta el valor que ostenta n. n!= 1 .2 . 3 . 4 .. n Ejemplo: 10!=1 . 2. 3. 410= 3 628 800 8!= 1. 2. 3 .4...8= 40 320 6!=1. 2. 3. 4 6= 720,etc., etc.Obtencin de frmula de permutaciones. Para hacer esto, partiremos de un ejemplo. Cuntas maneras posibles se pueden distribuirlos cuatro primeros lugares de un concurso de creatividad que se verifica en las instalaciones de nuestro instituto, si hay 14 participantes? Solucin: Haciendo uso del principio multiplicativo, 14.13.12.11 = 24 024 maneras de asignar los primeros tres lugares del concurso Esta solucin se debe, a que al momento de asignar el primer lugar tenemos a 14 posibles candidatos, una vez asignado ese lugar nos quedan 13 posibles candidatos para el segundo lugar, luego tendramos 12 candidatos posibles para el tercer lugar y por ltimo tendramos 11 candidatos posibles para el cuarto lugar. Luego si n es el total de participantes en el concurso y r es el nmero de participantes que van a ser premiados, y partiendo de la expresin anterior, entonces. 14.13.12.11= n .(n - 1) . (n - 2) . . . (n r + 1) si la expresin anterior es multiplicada por (n r)! / (n r)!, entonces:= n . (n 1 ) . (n 2) . . (n r + 1) (n r)! / (n r)! = n!/ (n r)! Por tanto, la frmula de permutaciones de r objetos tomados de entre n objetos es: n!/ (n r)!34Esta frmula nos permitir obtener todos aquellos arreglos en donde el orden es importante y solo se usen parte de los n objetos con que se cuenta, adems hay que hacer notar que no se pueden repetir objetos dentro del arreglo, esto es, los n objetos son todos diferentes. Entonces, qu frmula hay que usar para arreglos en donde se utilicen los n objetos con que se cuenta? Si en la frmula anterior se sustituye n en lugar de r, entonces. nPn=n!/ (n n)! = n! / 0! = n! / 1 = n!Como 0! = 1 de acuerdo a demostracin matemtica, entonces nPn= n!COMBINACIONESComoyasemencionanteriormente, unacombinacin, esunarreglodeelementosen donde no nos interesa el lugar o posicin que ocupan los mismos dentro del arreglo. En una combinacin nos interesa formar grupos y el contenido de los mismos. La frmula para determinar el nmero de combinaciones es: nCr = Combinaciones de r objetos tomados de entre n objetos Donde se observa que, La expresin anterior nos explica como las combinaciones de r objetos tomados de entre n objetos pueden ser obtenidas a partir de las permutaciones de r objetos tomados de entre n objetos, esto se debe a que como en las combinaciones no importa el orden de los objetos,entonces si tenemos las permutaciones deesos objetosaldividirlasentre r!,les estamos quitando el orden y por tanto transformndolas en combinaciones, de otra forma, tambin sideseamos calcular permutaciones y tenemos las combinaciones, simplemente con multiplicar estas por el r! obtendremos las permutaciones requeridas. nPr = nCr r!Y si deseamos r = n entonces; nCn = n! / (n n)!n! = n! / 0!n! = 1Qu nos indica lo anterior? Que cuando se desea formar grupos con la misma cantidad de elementos con que se cuenta solo es posible formar un grupo. Ejemplos:351. Si se cuenta con 14 estudiantes que desean colaborar en una campaa pro limpieza delcentrodeenseanzacuantosgruposdelimpiezapodrnformarsesi sedeseaque constende5alumnoscadaunodeellos. Si entrelos14estudianteshay8mujeres,cuantosde los grupos delimpiezatendrna 3mujeres? Cuntos delos gruposde limpieza contarn con 4 hombres por lo menos? Solucin: n = 14, r = 5 14C5 = 14! / (14 5 )!5! = 14! / 9!5!= 14.13 .12. 11.10 .9!/ 9!5!= 2 002 gruposEntrelos2002gruposdelimpiezahaygruposquecontienensolohombres, gruposque contienen solo mujeres y grupos mixtos, con hombres y mujeres. n = 14 (8 mujeres y 6 hombres), r = 5 En este caso nos interesan aquellos grupos que contengan 3 mujeres y 2 hombres. (8C3)(6C2)= (8! / (8 3)!3!)(6! / (6 2)!2!) = (8! / 5!3!)(6! / 4!2!) = 8.7.6 .5 /2! = 840 grupos con 3 mujeres y 2 hombres, puesto que cada grupo debe constar de 5 personasEn este caso nos interesan grupos en donde haya 4 hombres o ms.Los grupos de inters son = grupos con 4 hombres + grupos con 5 hombres. = (6C4)(8C1)+ (6C5)((8C0)=15 .8 + 6 . 1 = 120 + 6 = 1262. Paracontestarunexamenunalumnodebecontestar9de12preguntas, a.Cuntas maneras tiene el alumno de seleccionar las 9 preguntas?, b.Cuntas maneras tiene siforzosamentedebecontestarlas2primeraspreguntas?, c.Cuntasmanerastienesidebecontestarunadelas3primeraspreguntas?, d.Cuntasmanerastienesi debe contestar como mximo una de las 3 primeras preguntas? Solucin: n = 12, r = 9 12C9 = 12! / (12 9)!9! = 12! / 3!9! = 12. 11 . 10 / 3! = 220 maneras de seleccionar las nueve preguntas o dicho de otra manera, el alumno puede seleccionar cualquiera de 220 grupos de 9 preguntas para contestar el examen.(2C2)(10C7)= 1.120 = 120 maneras de seleccionar las 9 preguntas entre las que estn las dos primeras preguntas.(3C1) (9C8)= 3 . 9 = 27 maneras de seleccionar la 9 preguntas entre las que est una de las tres primeras preguntas.36En este caso debe seleccionar 0 o 1 de las tres primeras preguntas.(3C0)(9C9)+(3C1)(9C8)=(1.1)+(3. 9) =1+27=28manerasdeseleccionar las preguntas a contestar.3. Una seora desea invitar a cenar a 5 de 11 amigos que tiene, a. Cuntas maneras tiene de invitarlos?, b. cuntas maneras tiene si entre ellos est una pareja de recin casados y no asisten el uno sin el otro, c. Cuntas maneras tiene de invitarlos si Rafael y Arturo no se llevan bien y no van juntos? Solucin:n = 11, r = 5 11C5 = 11! / (11 5 )!5! = 11! / 6!5! = 11 10 9 8 7 6! / 6!5! = 462 maneras de invitarlosEs decir que se pueden formar 462 grupos de cinco personas para ser invitadas a cenar. Esta seora tiene dos alternativas para hacer la invitacin, la primera es no invitar a la pareja y la segunda es invitar a la pareja. (2C0)(9C5)+ (2C2)(9C3)= (1 .126) + (1.84) = 210 maneras de invitarlos.Enestecasoseparamosalaparejadelosdemsinvitadosparaqueefectivamentese cumpla el que no asistan o que asistan a la cena.La seora tiene dos alternativas para hacer la invitacin, una de ellas es que no invitar a Rafael y a Arturo o que asista solo uno de ellos.(2C0) (9C5)+(2C1)(9C4) = (1 . 126)+(2 .126) = 126 + 252 = 378 maneras de hacerla invitacin4. En un plano hay 10 puntos denominados A, B, C, .,etc. etc., en una misma lnea no hay ms de dos puntos.a. Cuntas lneas pueden ser trazadas a partir de los puntos? b. Cuntas de las lneas no pasan por los puntos A o B?c. Cuntos tringulos pueden ser trazados a partir de los puntos? d. Cuntos de los tringulos contienen el punto A?e. Cuntos de los tringulos tienen el lado AB?Solucin: En la redaccin del problema se aclara que en una misma lnea no hay ms de dos puntos debido a que si lo anterior ocurriera no se podra dar contestacin a las preguntas que se hacen. Una lnea puede ser trazada a partir de cmo mnimo dos puntos por lo tanto, 3710C2 = 10! / (10 2)!2! = 10! / 8!2! = 45lneas que se pueden trazarEnestecasoexcluiremoslospuntosAyByapartir delosochopuntosrestantesse obtendrn las lneas. (2C0)(8C2)= 1 . 28 = 28 lneas que no pasan por los puntos A o BUn tringulo puede ser trazado a partir de tres puntos, luego; 10C3 = 10! / (10 3)!3! = 10! / 7!3! = 120 tringulos posibles de trazar.En este caso se separa el punto A de los dems, se selecciona y posteriormente tambin se seleccionan dos puntos ms. (1C1)(9C2) = 1.36 = 36 tringulos que contienen el punto A Los puntos A y B forman parte de los tringulos a trazar por lo que; (2C2)(8C1) = 1.8 = 8 tringulos que contienen el lado AB POLIEDROSlido limitado por superficies planas (polgono). Sus partes se denominan: Caras: polgonos que limitan al poliedro, Aristas: lados de las caras del poliedro, Vrtices: puntos donde concurren varias aristas. Clasificacin de los Poliedros.Los poliedros se clasifican bsicamente en: Poliedros regulares. Poliedros irregulares. Poliedro RegularPoliedrocuyascarassonpolgonosregularesigualesytodassusaristassondeiguallongitud; en consecuencia, todos sus vrtices estn contenidos en una esfera. Los poliedros regulares son cinco y se denominan: Tetraedro regular: Poliedro regular definido por 4 tringulos equilteros iguales, Hexaedro regular (cubo): Poliedro regular definido por 6 cuadrados iguales, Octaedro regular: Poliedro regular definido por 8 tringulos equilteros iguales, Dodecaedro regular: Poliedro regular definido por 12 pentgonos regulares iguales. Icosaedro regular: Poliedro regular definido por 20 tringulos equilteros iguales. 38TETRAEDROREGULARHEXAEDRO REGULAROCTAEDRO REGULARDODECAEDRO REGULARISOCAEDRO REGULARTETRAEDRO HEPTAEDRO HEXAEDRO PENTAEDRO OCTAEDROPoliedros RegularesPOLIEDRO IRREGULARPoliedro definido por polgonos que no son todos iguales. Clasificacin de los Poliedros Irregulares.Los poliedros irregulares se clasifican bsicamente en: Tetraedro, pentaedro, hexaedro, heptaedro, octaedro, Pirmide Prisma Denominacin de los poliedros irregulares, segn el nmero de sus carasPIRMIDEPoliedro definido por un polgono base y cuyas caras laterales son tringulos que poseen un vrtice comn (V), denominado vrtice de la pirmide, que no est contenido en el plano 39PIRAMIDE RECTA PIRAMIDEOBLICUAPIRAMIDES REGULARESPIRAMIDE REGULARRECTAPIRAMIDE REGULAR OBLICUAbase. La recta que pasa por el vrtice de la pirmide y el centro geomtrico de la base se denomina eje de la pirmide (e). Las pirmides se clasifican en: Pirmide recta: El eje es perpendicular al polgono base, Pirmide oblicua: El eje no es perpendicular al polgono base, Pirmide regular: La base es un polgono regular.a. Pirmideregularrecta: Labaseesunpolgonoregularyel ejeesperpendicular alpolgono base. b. Pirmide regular oblicua: La base es un polgono regular y el eje no es perpendicular alpolgono base. PIRMIDESElementos de la pirmideSon famosas las pirmides de Egipto. La cara que se apoya en el suelo es la base. Suscaraslateralessontringulosquetienenunvrticecomn que es el vrtice de la pirmide.La altura de la pirmide es el segmento perpendicular a la base trazado desde el vrtice.Se llama apotema de una pirmide regular a la altura de uno cualquiera de los tringulos laterales. 40Observando esta figura contesta a estas cuestiones: rea lateral y total de la Pirmide. Esta pirmide cuadrada tiene de base un cuadrado de 18 m de lado. La apotema mide 30 metros y queremos saber el rea lateral y el rea total.Tiene 3 tringulos de 18 m de base por 30 de altura. El rea de un tringulo es (base)(altura)/ 2.Es decir, 18(30) = 270 m2; como hay 4 tringulos, 2El rea lateral ser (270 m2)( 4) = 1080 m2.El rea lateral tambin se puede calcular asi:1. El segmento VD es...2. El segmento VO es...3. El segmento VH es...4. El segmento CD es...41(Permetro de la base)(Apotema)/ 2. rea lateral = (permetro de la base) (apotema) = (72 m)(30) = 1 080 m2. 22El rea de la base es un cuadrado (18m)2 = 324 m2. El rea total es la suma del rea lateral ms el rea de la base:1080 + 324 = 1404 m2. Realiza estos problemasy escribe a la solucin correcta.1. Cules elrea lateralde una pirmide triangular regular si ellado del tringulo mide 14 m y el apotema de la pirmide 17 m ?2. Halla elrea lateralen m2de una pirmide pentagonalregular, siendo 2,61 melladode la basey el apotema de lapirmide 8,25 dm3. Calcula el rea total en dm2de la pirmide cuadrangular regular de 7,3 dm de lado de la base y 9,15 dm de apotema.4. Cul es el rea lateral de una pirmide triangular regular en m2 si el lado del tringulo mide 20 m y la apotema 17,5 metros?Volumen de la pirmideEn el dibujo vemos una pirmide P que tiene la misma base que el prismaP' ylamismaaltura, lapirmideabiertaporlabaseyelprisma abierto por la base superior. Es necesario verter 3 veces la pirmide llena de arena para llenar el prisma. Luego el volumen de la pirmide es 3 vecesmenor que la del prisma.El volumen del prisma es rea de la base por altura.El volumen de la pirmide ser: V=(rea de la base) (altura)3El volumen de una pirmide cualquiera es igual a un tercio del rea de la base por su altura. Realiza estos problemas sobre el papel y contesta a la solucin correcta.1. Halla el volumen en m3 de la gran pirmide de Keops en Egipto, cuya base es un cuadrado de 230 m de lado, siendo su altura los 7/10 de dicho lado.2. Halla el volumen en m3 de una pirmide regular, que tiene por baseuncuadradode16,7mdelado, siendolaaltura15 metros.423. Cul es la altura de m de una pirmide cuyo volumen es 6,75 m3 y el rea de la base es 15 m2?4. Cul es el rea de la base en cm2de una pirmide de 10,92 cm3 y 7,2 cm altura?EL CONOElementos del conoEnel dibujovemosvariosejemplosdeconos: el gorrodeun payaso, eltecho de una chimenea, un helado, un juguete y la punta de un lpiz. El cono tiene una base circular. La altura que es tambin el eje de simetra. Es el segmento perpendicular desde el vrtice a la base VO. El segmento VA es la generatriz y se llama as porque al girar engendra la superficie lateral del cono. Tambin se llama lado. Observando esta figura contesta a estas cuestiones.rea lateral y total del conoEl rea lateral del cono es el producto de la longitud de la circunferencia de la base por ellado o generatriz.rea lateral del cono = 2rg El rea total es la suma del rea lateral ms el rea del crculo de la base. rea total del cono = rea lateral + rea de la base. Resuelve estos problemas 1. Halla el rea lateral encm2de unconocuyoladoo generatriz mide 4,75 cm y el radio de la base 5 cm.2. Halla el rea total del cono anterior.1. El segmento OA es...2. El segmento VA es...3. El segmento VO es...433. Unconotienede generatriz dedoble longitudque el dimetro de la base, cuyo radio mide 25 cm. Cul es el rea lateral en cm2?4. Halla el rea total del cono anterior.Volumen del conoTe acuerdas de cul es el volumen de una pirmide? Dijimos que elvolumen de la pirmide es igual a un tercio del rea de la base por su altura.Enel casodel cono, suvolumenesigual al productodel readelcrculo de su basepor la altura dividido por 3.Volumen del cono = (rea de la base)(altura)3Realice estos problemasy contesta a la solucin correcta: 1. El radio de la base de un cono es 12 cm y su altura es 15 cm. Halla el volumen en cm3.2. La circunferencia de la base de un cono es 37,68 cm y la altura 5,25 cm. Halla el volumen en cm3.3. La altura de un cono mide 14 m y el radio de la base 7 m. Halla el volumen en m3.4. El radio de la base de un cono es 2 m y su altura 2,6 m cul es su volumen en m3?PRISMAPoliedro definido por dos polgonos iguales y paralelos (bases) y cuyas caras laterales, en consecuencia, son paralelogramos. La recta que une los centros geomtricos de las bases se denomina eje del prisma (e). Los prismas se clasifican en: Prisma recto: el eje es perpendicular a los polgonos base, Prisma oblicuo: el eje no es perpendicular a los polgonos base, Prisma regular: las bases son polgonos regulares, Prisma regular recto: las bases son polgonos regulares y el eje es perpendicular a los polgonos base. 44 Prisma regular oblicuo: las bases son polgonos regulares y el eje no es perpendicular a los polgonos base. Paraleleppedo: prisma cuyas bases son paralelogramos. Pueden ser a su vez rectos u oblicuos.PRISMASrea y volumen del Prismarea del prismaEnesteprismahexagonal vemosquetiene6 caraslateralesquesonrectngulosy2bases que son hexgonos.El rea lateral de unprismaeslasuma delas reas de sus caras laterales (los 6 rectngulos).Las 6 caras laterales forman unrectngulo cuya base es el permetro del hexgono de la base. Por tanto, el rea lateral del prisma es igual al producto del permetro de la base por la altura.rea lateral = (Permetro de la base) (altura).El rea totales la suma del rea lateral ms el rea de las 2 bases. Resuelva los siguientes problemas:1. Las dimensiones de un prisma paraleleppedo rectngulo son 4 m y 3 m de base y 7 m de altura. Halla el rea lateral en m22. Halla el rea total del paraleleppedo anterior en m2453. Halla el rea lateral en m2 de un prisma triangular que tiene de base un tringulo rectngulo cuyos catetos miden 3 m y 4 m y la hipotenusa 5 m. Su altura es 6 m.4. Halla el rea total del prisma triangular anterior en m2Volumen del prismaEl prisma rectangular del dibujo tiene 5 cm de largo, 4 cm de ancho y 3 cm de alto. En la primera capa de abajo hay 5(4) cm2. Como tiene 3 capas, el nmero de cm3 ser 20 x 3 = 60 cm3. El volumen del prisma rectangular es igual al producto de sus tres dimensiones. En general, el volumen decualquier prismaesigual al productodel readela base por la altura. Resuelve los siguientes problemas1. Halla el volumen de un prisma cuya altura mide 5 m y la base es un rombo cuyas diagonales miden 6 m y 8 m.2. Calcula el volumen de un prisma pentagonal de 27 m2 de base y 72 m de altura.3. Halla el volumen en m3de un prisma triangular que tiene de base un tringulo rectngulo cuyos catetos miden 3 y 4 metros y la altura es de 6 m.4. Halla el rea lateral en m2de un prisma triangular de 2,24 m de alto y cuya base tiene 3,75 m de permetro.Ejercicios:1. Calcular el reayel volumendeunortoedrodedimensiones3cm, 4cmy12cm respectivamente.2. Calcular cuntos litros de agua caben en un depsito de forma ortodrica de dimensiones20m, 10m y 5m.3. Halla el rea lateral total y el volumen de un prisma hexagonal regular cuya arista lateralmide 4 cm y la arista de la base 2cm.4. Hallael reatotal yel volumendeunapirmidecuadrangular regular cuyasaristasmiden: 10dm las de la base y 13dm las laterales.5. Una fbrica de cristal produce vasos cilndricos de 6cm de dimetro y 9cm de altura. a. Qu cantidad de cristal necesita para elaborar cada vaso.46b. Cuntos cl de agua caben en cada uno.6. Luis ha comprado un cono cuyas dimensiones son: 5cm de dimetro y 15cm de altura. a. Qu cantidad de galleta se comer? b. Si est lleno el helado de fresa sin sobresalir nada del borde, qu cantidad de fresacomer?7. Un depsito en forma ortodrica tiene una capacidad de 6 000l. Si mide 5m de largo y 4m de ancho, calcula su altura.8. Cul es el precio de un cajn de embalaje de 60cm de largo, 40cm de ancho y 50cm dealto si la madera cuesta C$360 el m2?9. Un prisma cuadrangular regular tiene 4m de arista de la base y 6m de altura. Calculaarea lateral total y volumen. 10. Un prisma hexagonal regular tiene 36m de permetro de la base y 3m de altura. Calculasu rea total. 11. Calcular el volumen de un ortoedro de 3cm, 4cm y 6cm de arista. 12. Deseamos empapelar las paredes de una habitacin de forma ortodrica de 6m de largo,4m de anchoy 3m de alto. Calcular su costo sabiendo que cada m2 cuesta C$ 121.13. Un prisma triangular regular es tal que su altura es igual a la arista de la base. Sabiendoque su rea lateral 48m2, calcular el rea total. 14. Un cubo tiene 64m3 de volumen. Calcular su diagonal. 15. Un prisma cuadrangular regular tiene 80m2 de rea lateral, siendo su volumen el mismo valor. Calcular su rea total.16. Las aristas de un ortoedro son proporcionales a 1,2 y 3. Calcular su diagonal sabiendoque su volumen es 384m317. Determinar el rea lateral de un prisma hexagonal regular cuya altura, que es igual a la apotema de la base, mide 4cm. 18. Dos aristas de un ortoedro miden 4 y 6m. Calcular su rea total sabiendo que el valor desu diagonal es 10m.19. El rea total de un ortoedro es 36m2.Calcular su volumen sabiendo que sus aristas son proporcionales a 1,2 y 4. 20. La diagonal de un cubo es 33m. Calcular su rea. 21. Una pirmide cuadrangular regular tiene 6m de la arista de la base y 5m de arista lateral.Calcula su rea total. 22. Calcular el volumen de una pirmide triangular regular de 8m de lado de la base y 3m deapotema lateral. 23. Calcular la apotema lateral de una pirmide hexagonal regular de 36m de permetro de labase y 180m2 de rea lateral.24. Calcular el volumen de una pirmide cuadrangular regular de 40m2 de rea lateral y 56m2 de rea total.25. El rea total de una pirmide hexagonal regular es 180m2 y el permetro de su base 24m.Calcular su apotema lateral y su altura. 26. Determinar elrea lateraly totalde una pirmide hexagonalregular de 46dm de realateral y 3m de apotema de la base.27. Un tringulo rectngulo de 3cm de base y 2cm de altura gira alrededor de esta. Calcularla superficie total del cono engendrado. 28. Calcula la superficie total y el volumen de una esfera de 5dm de radio. 29. Calcular la superficie total y volumen de una esfera que tiene un dimetro de 20dm.CILINDRO47Se llaman cuerpos de revolucin a los que se obtienen al girar una figura plana, alrededor de un eje. Cilindro recto, es el cuerpo que se obtiene al giraruna vuelta completa (360) un rectngulo sobre uno de sus lados.Desarrollo del cilindroElementos del cilindroEje : Es el lado fijo alrededor del cual gira el rectngulo.Bases : Son los crculos que engendran los lados perpendiculares al eje.Altura : Es la distancia entre las dos bases. Generatriz : Es el lado opuesto al eje, y es el lado que engendra el cilindro.La generatriz del cilindro es igual a la altura.h = gPara calcular su rea lateral se emplea la siguiente frmula: rea lateral = ( Permetro de la base) (altura) Para calcular su rea total se emplea la siguiente frmula: rea total = rea lateral + 2 (rea de la base) ( Permetro de la base) (Altura)Volumen = (rea de la base) (Altura)Ejercicios del cilindro1. Calcula la cantidad de hojalata que se necesitar para hacer 10 potes deforma cilndrica de 10 cm de dimetro y 20 cm de altura.2. Un cilindro tiene por altura la misma longitud que la circunferencia de labase. Y la altura mide 125,66 cm. Calcular el rea total y volumen:3. En una probeta de 6 cm de radio se echan cuatro cubitos de hielo de 4 cm de arista. A qu altura llegar el agua cuando se derritan?4. Un recipiente cilndrico de 5 cm de radio y y 10 cm de altura se llena deagua. Si la masa del recipiente lleno es de 2 kg cul es la masa del recipiente vaco?485. El rea de base de un cilindro es de 12,56 m . Hallar la superficie lateral, la superficietotal y el volumen; sabiendo que la altura es el triple del radio de la base.6. Cul es la altura de un cilindro recto, si el rea de base es 84 m y la altura mide lamitad del dimetro de base?.7. Calcular el radio de base, la superficie total y el volumen de un cilindro; sabiendo que elrea de base es de 78,5 m y la altura mide 12 m.8. Hallar la superficie lateral de un cilindro de 12 m de altura, cuya base es un crculo de 3,5m de radio.9. Cules la superficie lateralde un cilindro de 15,5 m de altura y 8 m de dimetro debase?10. Calcular la superficie lateral de un cilindro de 2,5 m de altura cuya base es un crculo de50,24 m de superficie.11. La superficie lateral de un cilindro es de 150,72 m . Cul es la altura, si el radio de labase es de 3 m?12. La superficie lateral de un cilindro de 25 m de altura, es de 314 m . Cul es el rea decada base?13. Un cilindro de 18 m de altura, tiene 565,2 m de superficie lateral. Cul es la superficietotal?14. La superficie total de un cilindro es 150,33 m y la superficie lateral es 102,45 m . Cules el rea de cada base?15. La superficie total de un cilindro es 244,92 m , si el radio de la base es de 3 m. Cul esla altura?16. Unalatadejugotienelaformacilndricacon8cmdedimetroy15cmdealtura.Cuntos litros de jugo contiene esa lata?17. El dimetrodeunpozocilndricoesde1,8myel aguatiene2,1mdeprofundidad.Cuntos litros de agua hay entonces en el pozo?18. Cul es el volumen de un cilindro cuya Longitud de la circunferencia de base mide 8,792m y la altura mide 1,5 m?19. Calcular la altura de un cilindro de 4 448,2068 m de volumen y 664,424 m de rea debase.20. Un pozo de forma cilndrica tiene un orificio de longitud 4 m y una profundidad de 8 m.Cuntos das dur su perforacin si se sabe que por da se extraen 10 m de tierra?.21. Calcular la superficie lateral, la superficie total y el volumen de un cilindro cuya longitudde Longitud de la circunferencia mide 21,98 m y 6,5 m de altura.22. Calcular la superficie lateral, la superficie total, el volumen y la capacidad de un cilindrocuya base es una Longitud de la circunferencia de 31,4 m y de altura 10 m.23. Un tanque cilndrico de 4,5 m de largo, con radio de 2,4 m est lleno de agua. Cul es elvolumen del agua contenida?24. Se han mandado pintar 500 tubos de agua corriente de 4 m de largo y 0,2 m de radiocada uno; a razn de 700 crdobasel m . Cunto cost pintar?25. Cul es el radio de la longitud de la circunferencia de la base de un cilindro de 10 m dealtura, si su volumen es de 785 m ?26. Calcular la cantidad de gasolina, contenida en un tanque de 80 cm de dimetro y 150 cm de profundidad.27. En un cono recto el radio de base mide 6 m y la altura mide 8 m. Calcular la medida de lageneratriz.28. Sea un cono de radio 18 m y 24 m de altura. Calcular la superficie lateral y la superficietotal.4929. La generatriz de un cono circular recto es 7,05 m; si la altura del cono es 7 m. Calcular elradio de la base.30. En un cono cuya generatriz es el doble del dimetro de la longitud de la circunferencia debase igual a 47,1 m. Cul es la superficie lateral?.31. Calcular la superficie lateral de un cono de 2,5 m de radio y 10 m de generatriz.32. El rea de base de un cono circular recto es de 113,04 m ; sabiendo que la generatrizdel cono mide 10 m. Calcular el volumen del cono.33. Calcular la superficie lateral de un cono de 9,5 m de altura cuya base tiene 15,7 m deLongitud de la circunferencia.34. Hallar la superficie lateralde un cono de 15 m de altura; sabiendo que su base es uncrculo de 28,26 m de superficie.35. La superficie lateral de un cono es 37,68 m ; sabiendo que la generatriz es el triple delradio. Cul es la altura?36. Lasuperficielateral deunconorectoes47,1mylasuperficietotal es75,36m.Calcular la medida del radio del cono.37. Calcular la superficie total de un cono de 8 m de altura y 10 m de generatriz.38. 38. La superficie total de un cono es 828,96 m ; sabiendo que el radio de base es 8 m.Calcular la generatriz del cono.39. Cul es la superficie total de un cono, si el rea de base es 78,5 m y su altura es 2/3del dimetro?40. La superficie total de un cono es de 671,175 m ; sabiendo que el rea de base es de176,625 m . Cul es la altura?.41. Calcular el volumen de un cono recto de 10 m de generatriz; siendo la altura igual al tripledel radio de la base.42. Un tanque cnico tiene 20 m de profundidad y su tapa circular tiene 12 m de dimetro.Calcular el volumen y la capacidad del mismo.43. El volumen de un cono recto es 56,52 cm y la altura del cono es igual al dimetro de labase. Cunto mide la altura del cono?.44. La generatriz de un cono recto es de 6,72 cm; sabiendo que la altura del cono es igual aldoble del radio de base. Calcular el volumen del cono.45. La generatriz de un cono recto mide 10 cm y radio de base 4 cm. Calcular el volumen y lacapacidad.46. Cules la superficie lateralde un cono recto cuyo radio de base tiene 1,4 m y cuyaaltura es 21/4 de la Longitud de la circunferencia de base?.47. Si la superficie lateralde un cono es 1,020 m y el radio de base es 5 m. Calcular lasuperficie total y el volumen del cono.48. Lageneratrizdeunconocircular rectoes20cmylaalturaes12cm. Calcular lasuperficie lateral, la superficie total, el volumen y la capacidad.LA ESFERALa esfera es elslidoengendrado al girar una semicircunferencia alrededor de su dimetro.Podemoshallar elrea yelvolumendeestecuerpo geomtrico, utilizando las siguientes formulas: REA = 4. .r250 cMcm22Circunferencia MximaL 2 RCircunferencia minimaL 2 rCirculomximoA RCirculo MinimoA rVOLUMEN V = 4/3 r3Crculos y circunferencia mximo y mnimo en una esferaResuelva los problemas de esfera:1. El radio de una esfera es de 3 m. Calcular su volumen.2. El radio de una esfera es de 2,11 m. Calcular el volumen3. Calcular el volumen de una esfera de 4,5 m de radio.4. Expresar en dm el rea de una esfera de 0,5 m de dimetro.5. Cul es el rea de una esfera en la cual la circunferencia de un crculo mximo es de28,26 m?6. Cul es el rea de una esfera en la cual el rea del crculo mximo es de 45,34 m ?.7. Calcular el rea de una superficie esfrica; sabiendo que el rea del crculo mximo de la esfera es de 45,84 m .8. Cuntos m de plomo se necesitan para revestir una cpula esfrica, cuya base abarcaun rea de 78,5 m ?9. El rea de una superficie esfrica es de 113,04 m . Calcular el radio de la esfera.10. El rea de una esfera es de 57,4 m . Cul es el rea de un crculo mximo?11. El readeunaesferaesde706,5m. Cul eslalongituddeunacircunferenciamxima?12. El readeunasuperficieesfricaesde706,5m. Hallarel radiodelaesferaysuvolumen.13. Determine el crculo mximo correspondiente a una esfera de 57,4 m de rea. Ademsel volumen y la capacidad de la esfera.14. El volumen de una esfera es de 523,33 m . Calcular el radio y su rea.15. Cuntos litros contiene una semiesfera de 0,8 m de dimetro?.16. La cpula semiesfrica de una iglesia tiene 12 m de dimetro. Cunto costar pintarlasabiendo que el m se cobra a razn de C$4.800?17. Una esfera est seccionada por un plano distante 12 m del centro de la esfera. El radiode la seccin obtenida es de 9 m. Calcular el volumen de la esfera.18. Calcular el rea de una esfera y su volumen; sabiendo que el rea de un crculo menorcuyo plano dista 5 m del centro es de 452,16 m .19. El readeunaesferaesde113,04m. Hallar el readel crculodeterminadoalseccionar la esfera con un plano que dista 2 m del centro de la misma.5120.El rea de una esfera es de 706,5 m . Cul es el rea del Circulo menor que se obtieneal cortar la esfera con un plano que dista 4,5 m del centro?.21. Eldimetro de un depsito esfrico mide 12m. Cuntos bidones cilndricos de 1m dealtura y 60cm de dimetro podrn llenarse con el lquido almacenado en el depsito?TRIGONOMETRALaTrigonometraeslaramadelasmatemticasqueestudialasrelaciones entre los lados y los ngulos de los tringulos. La palabra trigonometra procede del griego trigonos, tringulo y metra, medida.Los babilonios y los egipcios (hace ms de 3 000 aos) fueron los primeros en utilizar los ngulos de un tringulo y las razones trigonomtricas para efectuar medidas en agricultura y para la construccin de pirmides. Tambin se desarroll a partir de los primeros esfuerzos hechos para avanzar en elestudio de la astronoma mediante la prediccin de las rutas y posicionesdeloscuerposcelestesyparamejorarlaexactitudenlanavegacinyenelclculo del tiempo y los calendarios.El estudio de la trigonometra pas despus a Grecia, donde debemos destacar al matemtico y astrnomo Griego Hiparco de Nicea (190 a.c.-120a.c.), porhabersidounodelosprincipalesdesarrolladoresdela Trigonometra. Las tablas de cuerdas que construy fueron las precursoras de las tablas de las funciones trigonomtricas de la actualidad. DesdeGrecia, latrigonometrapasalaIndiayArabiadondeera utilizada en la Astronoma. Y desde Arabia se difundi por Europa, donde finalmenteseseparadelaAstronomaparaconvertirseenunarama independiente que la hace hoy parte de las matemticas.522 2 2a b c = + Cmo midi Eratstenes el radio de la Tierra?Enel sigloIII a.c. el sabiogriegoEratstenes calculpor primeravez, el radiodelaTierra. Partiendo de la idea de que la Tierra tiene forma esfrica y que el sol est tan alejado de ella que se puede considerar que los rayos solares llegan a la Tierra paralelos, Eratstenes, el da del solsticio de verano(21 de junio), a las doce de la maana, midienAlejandra, conayudadeun palo colocado sobre el suelo el ngulo de inclinacin del sol, que result ser 7,2; o lo que es lo mismo360 / 50, es decir, 1 / 50 de 360 .Eratstenes saba que en la ciudad de Siena (actual Asun, a orillas del Nilo), los rayos delsolllegaban de forma perpendicular alsuelo pues se poda observar elfondo de un pozo profundo. EntreAlejandraySienahabaunadistanciade5000estadios( 1estadio= 160m)y ambas ciudades estaban en el mismo paralelo.Eratstenes pens queentonces la distancia entre las ciudades deba ser1 / 50de toda la circunferencia de la Tierra y por tanto la circunferencia completa deba medir:50 (5 000) = 250 000 estadios, o lo que es lo mismo 40 000 km.Despejando de la frmula de la longitud de la circunferencia: L = 2r, sac que el radio de la Tierra era 6366,19 km.Las actuales mediciones dan el valor de 6 378 Km, con lo que se trata de una extraordinaria exactitud teniendo en cuenta los escasos medios de que dispona Eratstenes.Razones trigonomtricas en el triangulo rectnguloEn el tringulo rectngulo de la figura, de acuerdo al teorema de Pitgoras se cumple que:

Siendo a la longitud de la hipotenusa, b y c son las longitudes delos catetos.Con respecto alngulo ubicado en elvrtice B, elcateto b es opuesto y elcateto c es adyacente.Si el ngulo ubicado estuviera ubicado en el vrtice A, el cateto b sera el adyacente, elcateto c es el opuesto.Nombre de la funcinNotacin RaznSeno de Senabhipotenusaopuesto catetoachipotenusaadyacente cateto53Coseno de Tangente de EJERCICIO 1: Calcula las razones trigonomtricas del ngulo :Comoves, lostresladosdel tringulosonconocidos, as queparacalcularlasrazones trigonomtricas slo tenemos que aplicar las frmulas y sustituir. Para el ngulo el cateo opuesto es 9, el contiguo 12 y la hipotenusa 15.

EJERCICIO 2: Calcula las razones trigonomtricas del ngulo C del siguiente tringulo.Ahoraenesteejercicioyanotenemoslostreslados, faltaunodeloscatetosypara calcularlo vamos a utilizar el Teorema de Pitgoras.Lo primero ponerle nombre a los lados. Vamos a llamarle con letras minsculas a los lados que estn enfrente del ngulo con la correspondiente letra mayscula; es decir a = 14 m, b = 8 m y c es el lado que queremos calcular.Aplicando el Teorema de Pitgoras tenemos: a2 = b2 + c 2142= 82 + c2

196 = 64 + c2 196 - 64 = c2

132 = c2

Luego c = 11, 49 m. CosCosSenTan cbadyacente catetoopuesto cateto54EJERCICIO 3: Determina los ngulos del ejercicio anterior.Obviamente ya sabemos que el ngulo A es el ngulo recto y por tanto A = 90. Para calcularlosotros dosvamos ahacerloconlasrazonestrigonomtricasyconlaayudadela calculadora.Si queremos calcular el ngulo C con los datos que parto, lo primero es identificar los lados que conozco respecto al ngulo C, que en este caso son cateto contiguo o adyacente e hipotenusa y pienso en qu razn trigonomtrica intervienen esos lados. La respuesta es elcoseno, as que calculo cos CCos C = 8 / 14 = 0,57. Ahora con la calculadora sacamos cules elngulo, utilizando la funcin inversa de la tecla "cos", y el resultado es C = 55,25.Para calcular B puedo hacer lo mismo, pensar qu razn puedo calcular, o como ya tengo dos ngulos, sacarlo de que la suma de los ngulos de cualquier tringulo es 180 ( A + B + C = 180). Por cualquier camino el resultado es B = 34,75. EJERCICIO 4: De un tringulo rectngulo se sabe que uno de sus ngulos agudos es 40 y que el cateto opuesto a ste mide 10m. Calcula el ngulo y los lados que faltan. Lo primero es hacer un dibujo que nos aclare la situacin y ponerle nombre a los lados y ngulos.Esta sera nuestra situacin. Paraempezar losmsfcil essacar el nguloquefalta, y aplicando que la suma de los tres es 180, el ngulo B vale 50.Vamos a calcular ahora por ejemplo el lado "b". Si me fijo en elngulo C, el lado que s es el cateto opuesto y el que pretendo calcular es el contiguo. Como la razn trigonomtrica en la que intervienen estos es la tangente, voy a calcularla con la calculadora y despejar a partir de ah:

Por tantoyatenemos ellado "b".Paracalcularellado"a" podramos aplicar Pitgoraso sacarlo por alguna razn. Vamos a seguir este camino que ser ms corto.Por ejemplo voy a fijarme en el lado "c" y el ngulo "C", aunque ya podra utilizar cualquiera de los datos que tengo. Para el ngulo "C" s cateto opuesto y quiero hipotenusa; as que habr que utilizar el seno:EJERCICIO 5: Calcula la altura de la torre si nuestro personaje est a 7 m de la base de la torre, el ngulo con el que est observando la cspide es de 60 y sostiene el artilugio a una altura de 1,5 m.55tan60712,11b bcb Para comenzar, vamos a hacer un dibujo que aclare un poco la situacin poniendo los datos que conocemos.Si nos fijamos en el tringulo, el lado c mide 7 m y una vez que tengamos calculado el lado b,para calcular la altura de la torre slo tendremos que sumarle los 1,5 m. As pues, vamos a calcular el lado b.Para el ngulo 60, el lado que conozco es el cateto contiguo y el que quiero calcular es elcateto opuesto, as pues plante la tangente de 60.Por tanto la altura de la torre es 12,11 m + 1,5 m = 13, 61 mEJERCICIO6:El senodeciertongulodel segundocuadrantevale0,45. Calculael coseno y la tangente.Pararesolver esteejerciciotenemosquerecurrir alasrelacionestrigonomtricas. Dela primera sacaremos el valor del coseno y una vez que lo tengamos sacaremos la tangente:Sacamos el valor del coseno despejndolo de la frmula: sen2+ cos2= 1.Comonuestronguloestenel segundocuadranteyenesecuadranteel cosenoes negativo, tenemos que quedarnos con el signo -, por tanto cos = - 0,893. Para calcular el valor de la tangente, aplicamos la segunda frmula: EJERCICIO 7: Sabiendo que cos 42 = 0,74. Calcula: sen 222,tg 138,cos 48,sen 318 y sen 132. sen 222El ngulo 222 pertenece al tercer cuadrante. Vamos a ver con que ngulo del primero se relaciona: = 222 - 180 = 42.56Por tanto y teniendo en cuenta que el seno en el tercer cuadrante es negativo,sen222=-sen 42 = - 0,669 (Para calcular el sen 42 seguimos el mismo procedimiento que en el ejercicio 6).tg 138138 est en el segundo cuadrante y se relaciona del primero con = 180 - 138 = 42, que vuelve a ser el ngulo que conocemos.Como la tangente es negativa en el segundo cuadrante, tan 138= - tan 42= -0,9 (tan 42 lo calculamos igual que en el ejercicio 6).cos 4848 es del primer cuadrante, pero cumple que es el complementario del ngulo que conozco 42.Entonces cos 48 = sen 42 = 0,669.sen 318318 est en el cuarto cuadrante y se relaciona con 360 - 318 = 42.Entonces sen 318 = - sen 42 = - 0,669sen132132 es del segundo y se relaciona con 180 - 132 = 48 que es el complementario de 42.Entonces y como el seno es positivo en el segundo cuadrante, sen 132 = sen 48 = cos 42= 0,74.Proponer a las y los estudiantes responder las siguientes situaciones.1. El seno de un ngulo es la razn entre:a) El cateto adyacente y la hipotenusa. b) El cateto adyacente y el cateto opuesto.c) El cateto opuesto y la hipotenusa.d) El cateto opuesto y el cateto adyacente.e) Sin Respuesta2. La tangente de un ngulo del primer cuadrante es:a) Positiva y creciente.b) Positiva y decreciente.c) Negativa y creciente. d) Negativa y decreciente. e) Sin Respuesta 573. De un tringulo rectngulo sabemos que uno de los ngulos agudos es 30 y su cateto opuesto mide 10 metros.a) La hipotenusa mide 18 metros.b) El otro ngulo es 70.c) El otro cateto mide 20 metros.d) Ninguna de las anteriores.e) Sin Respuesta.4. Si el seno de un ngulo del segundo cuadrante es 0,43, el coseno de dicho ngulo vale: a) 0,57b) 0,903c) 0,903d) - 0,57e) Sin respuesta 5. Aciertahoradel dalosrayossolaresformanunngulode60conel suelo. Qu sombra dar un rbol de 7 m de altura?a.8,08 mb. 4,04 m. c. 12,12 m.d. 14 me. Sin Respuesta6. El ngulo 214 se relaciona en el primer cuadrante con el ngulo:a) 34b) 34c) 56d) Ninguno de los anteriores.e) Sin Respuesta 7. La tangente de un ngulo es:a) La razn entre el cateto contiguo y el cateto opuesto.b) Siempre menor que 1.c) La inversa del seno.d) La razn entre el seno y el coseno de dicho ngulo.e) Sin Respuesta 8. De un tringulo rectngulo sabemos que sus catetos miden 6 m y 10 m respectivamente. Entonces:a) Los ngulos son 20 y 70.b) La hipotenusa mide 8 m.c) La hipotenusa mide 11,66 m.581 cos ) 12 2 + sencos) 2sentg sengcoscot ) 3 cos1sec ) 4 sen1csc ) 5 tgg1cot ) 6 d) Ambos ngulos agudos son 45.e) Sin Respuesta9. En el tercer cuadrante:a) Seno y tangente son negativos.b) Seno y coseno son negativos.c) Coseno y tangente son negativos.d) Todas las razones trigonomtricas son negativas.e) Sin Respuesta 10. Si nos alejamos 10 metros del pie de una palmera, vemos sus ramas ms altas con un ngulo de 52. Entonces la altura de la palmera es:a) 12,8 m.b) 7,81 mc) 10 m.d) 9,27 m.e) Sin RespuestaIdentidades TrigonomtricasLossiguientesejercicioscorrespondenalaverificacindeidentidades, losmismosestn propuestos tratando de respetar el grado de dificultad. El mtodo de resolucin se basa en todos los casos en la aplicacin de las seis identidades fundamentales, a saber:Laoperatoriaparael desarrollodelaverificacintienetresvariantes, engeneral cada docente recomienda una o ms de los tres formas que paso a detallar:a) Partiendodel primer miembrosellegaal segundopor aplicacindeoperatoriay reemplazo de identidades.b) Partiendodel segundomiembrosellegaal primeropor aplicacindeoperatoriay reemplazo de identidades.c) Seoperaconlosdosmiembrospor aplicacindelaoperatoriayel reemplazode identidades hasta llegar a una igualdad evidente.59En esta clase de ejerciciosnunca se realiza pasaje de trminos de un miembro a otro de la igualdad, enconsecuencia, lostrminossiemprepermanecenenel miembroenquese originaron Adems tenemos en algunos casos que aplicar otras identidades como las siguientes:Identidades de la suma y la resta.sen (xy)= sen x cos y cos x sen ycos(xy) = cos x cosysen x sen ytan(xy = (tan x tan y)(1tan x tan y)Sea Hagamos, con lo que obtendremos que:o sea De forma anloga podemos determinar que: Para determinar las funciones trigonomtricas del ngulo mitad, hagamos Sabemos que: ReemplazandoobtenemosDespejando tendremos que:Consideremos ahora que:EntoncesDespejando tendremosPor ltimo, trabajaremos con la identidad60Reemplazandoobtenemoso seaEjemplos:1. Si , calculemos 2. Si ,calculemos

Por tantoComprobar las identidades trigonomtricas: 1.2.612 21.costan = sen2.sen sec = tan 3.sen cot = cos4.sen tg + cos = sec5.csc - sen = cot cos1-cos6.= csc - cot1+cos7. (sen + cos)+ (sen - cos)= 282 24 4 2. (sen + csc)2 = sen + cot + 3sen 1+cos9. + =2csc1+cos sencos10.coscot tg11.cos- sen+1= 2 cosecg +4 2 4 2222 24 2 4 22 22 2 2 212.sec- sec= tg- tg tg13. = sen1 tg14.(sec+ cos ) (sec- cos ) = tan a + sen a15. cot+ cot= csc+ csc16. (1+ tan ) cos= 117. sen+ sentan= tan18. s +2 2 2 22 24 4 23 3ec+ csc= seccsc19. tan+ cot= seccsc20. (1 + cot ) sen= 121. cos- sen- 2 cos = -122. sencos+ cos a sen= sencossen 1 cos23. 2c1 cos sensen24.cot1 csc ++ +++2 2 4 2csos125.(1 sen )(1 sen )= seccos sen26.sen cos1 tg 1 tg27. sen cos+ cos= coscc ++ + 3.4.Ejercicios: Comprobar que las expresiones dadas sean identidades trigonomtricas 62Ecuacin TrigonomtricaUna ecuacin trigonomtrica es aquella ecuacin en la que aparecen una o ms funciones trigonomtricas. En las ecuaciones trigonomtricas la incgnita es elngulo comn de las funciones trigonomtricas. No puede especificarse un mtodo general que permita resolver cualquier ecuacin trigonomtrica; sin embargo, un procedimiento efectivo para solucionar un gran nmero de stas consiste en transformar, usando principalmente las identidades trigonomtricas, todas las funciones que aparecen all en una sola funcin (es recomendable pasarlas todas a senos o cosenos). Una vez expresada la ecuacin en trminos de una sola funcin trigonomtrica, se aplican lospasosusuales en lasolucin de ecuaciones algebraicas para despejar la funcin;por ltimo, seresuelvelapartetrigonomtrica, esdecir, conociendoel valor delafuncin trigonomtrica de un ngulo hay que pasar a determinar cul es ese ngulo. Nota: en las soluciones pueden aparecer valores extraos (debido a la manipulacin de las ecuacionesal tratardereducirlas), por ejemplo: nospuederesultaruncosx=2, el que debemos descartar, obviamente,pues el codominio del coseno se limita a [-1, 1]. Tambin, debemos verificar todas las respuestas obtenidas y aceptar slo aquellas que satisfacen la ecuacin original.63Como las funciones trigonomtricas repiten su valor y signo en dos de los cuadrantes, hay que tener presente que siempre habr por lo menos dos ngulos distintos en la solucin de una ecuacintrigonomtricadelaformatrix= a(donde tri: esunadelasseisfunciones trigonomtricas y a: nmero cualquiera en el codominio de la funcin). Adems, debido a que cuandoel ladoterminal deunngulorealizaungirocompletosegeneraotrongulo equivalente,esnecesarioaadiralassoluciones obtenidasunmltiplode360,estoes, k360, y k es un entero.Ejemplo ilustrativo1:.Ejemplo ilustrativo2:64Ejemplo ilustrativo3:Ejercicios propuestosEncuentre todas las soluciones (races) de las siguientes ecuaciones:Ley de los SenosLa ley de los Senos es una relacin de tres igualdades que siempre se cumplen entre los ladosyngulosdeuntringulocualquiera, yqueestil pararesolver ciertostiposde problemas de tringulos. La ley de senos nos dice que la razn entre la longitud de cada lado y el seno del ngulo opuesto a el en todo tringulo es constante. Si observamos la figura 1, la ley de senos se escribir como sigue:659,3; b=5,4m y=132 a m 2 2 22 2 22 cos(9,3) (5,4) 2(9,3)(5,4) cos13213,5 c a b abcc m + + Laleydecosenossepuedeconsiderar comounaextensindelteoremadePitgoras aplicable a todos los tringulos. Ella enuncia as: el cuadrado de un lado de un tringulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de estos dos lados multiplicado por el coseno del ngulo que forman. Siaplicamos este teorema altringulo de la figura 1 obtenemos tres ecuaciones:Resolver un tringulo significa obtener el valor de la longitud de sus tres lados y la medida de sus tres ngulos internos. Para resolver tringulos que nos son rectngulos se utiliza la ley de cosenos y/o laley de senos. Todo depender de los valores conocidos.Ejemplo:Supongamos que en el tringulo de la figura 1.Encontrar la longitud del tercer lado.Solucin: Para calcular el valor del tercer lado, podemos emplear la ley de cosenos:EJERCICIOS1. ngulos de un tringulo. En un tringulo se conocen dos de sus ngulos. Determina elvalor del tercero:a. A = 36 0' 12'' ; B = 48 36' 54''.b. A = 43 29' 39'' ; B = 49 30' 21''.c. A = 108 45' 37'' ; B = 94 37' 12''.d. A = /3 rad; B = 3/8 rad.2. ngulos de un tringulo rectngulo. En un tringulo rectngulo se conoce uno de sus ngulos agudos. Determina el valor del otro ngulo agudo:66a. B = 37 45' 45''.b. B = 49 12' 37''.c. B = 5/3 de ngulo recto.d. B = /3 rad.3. Teoremas del cateto y de Pitgoras. a. Calcula la hipotenusa de un tringulo rectngulo, sabiendo que sus catetos miden 156 cm y 65 cm.b. Hallalaslongitudesdelasproyeccionessobrelahipotenusadeloscatetosdeltringulo del ejercicio anterior.c. Halla la altura relativa a la hipotenusa del tringulo del ejercicio anterior.d. En un tringulo rectngulo, las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden 64 m y 225 m respectivamente. Halla la longitud de los tres lados del tringulo.e. Halla la altura de un trapecio issceles, sabiendo que sus bases miden 6 m y 16 m y los lados oblicuos 13 m cada uno de ellos.f. En un tringulo rectngulo se conoce un cateto, ( ), y la proyeccin del otro cateto sobre la hipotenusa, ( ). Halla la hipotenusa y el otro cateto.g. Determinar el radio del crculo inscrito en un tringulo issceles de base 32 cm y altura 30 cm.4. Razones trigonomtricas en un tringulo rectngulo. En los siguientes ejercicios los lados de un tringulo rectngulo se representan con las letras a, b y c, siendo siempre ala hipotenusa. Los lados del tringulo se representan con las letras A, B y C, siendo siempre A, el ngulo recto, B el ngulo opuesto de b y C elngulo opuesto a c. Usando exclusivamente la definicin de las razones trigonomtricas involucradas en cada caso, calcula el lado que se pide:a. a = 40 m; B = 30. Hallar b.b. a = 40 cm; B = 30. Hallar c.c. a = 12 dm; C = 60. Hallar b.d. a = 12 cm; C = 60. Hallar c.e. b = 20 m; B = 30. Hallar a.f. b = 20 mm; B = 45. Hallar c.g. c = 20 m; B = 30. Hallar a.h. b = 20 Km; C = 45. Hallar c.5. Halla la altura de una antena de radio si su sombra mide 100 m cuando los rayos del solforman un ngulo de 30 con la horizontal6. Averigua la distancia a la que se encuentra un rbol que est situado en la orilla opuesta de un ro, sabiendo que la parte ms alta del mismo se ve desde nuestra orilla bajo un ngulo de 40 y alejndonos 100 m del ro el ngulo es de 25.7. Dibuja un ngulo cuyo coseno sea doble que su seno.8. Calcula el rea de un decgono regular de 5 cm de lado.2 72 2679. En una circunferencia de 7 cm de radio trazamos una cuerda de 9 cm. Cunto mide elngulo central que abarca dicha cuerda?10. Halla los ngulos de un tringulo issceles cuya base mide 50 cm y los lados iguales 40 cm cada uno.11. Si vemosunachimeneabajounngulode