METODO DE FLEXIBILIDAD Eningeniera estructural, elMtodo de flexibilidades elclsicomtodo consistente en deformacin para calcular fuerzas en miembros y desplazamientos en sistemas estructurales. Su versin moderna formulada en trminos de la matriz de flexibilidad de los miembros tambin tiene el nombre deMtodo de Matriz de Fuerzadebido al uso de las fuerzas en los miembros como las primariamente conocidas.FLEXIBILIDAD DE MIEMBROSLa flexibilidad es el inverso de la rigidez. Por ejemplo, considera un resorte que tieneQyqcomo, respectivamente, su fuerza y deformacin: La relacin de rigidez del resorte esQ = k qdondekes la rigidez del resorte. Su relacin de flexibilidad esq = f Q, dondefes la flexibilidad del resorte. Por lo tanto,f= 1/k.la relacin de flexibilidad de un miembro tpico tiene la siguiente forma general:

Dondem= nmero de miembrosm.= vector de las caractersticas de deformacin del miembro.= matriz de flexibilidad del miembro la cual caracteriza la susceptibilidad del miembro a deformarse bajo fuerzas.= vector de fuerzas caractersticas independientes del miembro, las cuales son fuerzas internas desconocidas. Estas fuerzas independientes dan subida a todas las fuerzas en los extremos de los miembros mediante equilibrio de miembro.= vector de deformaciones caractersticas de los miembros causados por efectos externos (tales como fuerzas conocidas y cambios de temperaturas)aplicadas a los miembros aislados, desconectados (i.e. con Para un sistema compuesto de muchos miembros interconectados en puntos llamados nodos, las relaciones de flexibilidad de los miembros puede ser puesta junto dentro de una sola ecuacin de matriz, soltando el superndice m:

dondeMes el nmero total de caractersticas de deformacin de miembros o fuerzas en el sistema.A diferencia de elMtodo matricial de la rigidez, donde las relaciones de rigidez de los miembros pueden ser fcilmente integradas mediante el equilibrio nodal y condiciones de compatibilidad, la presente forma de flexibilidad de la ecuacin (2) posee serias dificultades. Con fuerzas de miembroscomo las primeras desconocidas, el nmero de ecuaciones de equilibrio nodal es insuficiente para la solucin, en general--a menos que el sistema esestticamente indeterminado.ECUACIONES DE EQUILIBRIO NODALPara resolver esta dificultad, primero hacemos uso de las ecuaciones de equilibrio nodal en disposicin de reducir el nmero de fuerzas desconocidas en miembros independientes. Las ecuaciones de equilibrio nodal para el sistema tienen la forma:

donde: Vector de fuerzas nodales a todos los NGrados de Libertadde el sistema.: La matriz resultante de equilibrio nodal: El vector de fuerzas derivado desde cargas en los miembros.En el caso de los sistemas determinados, la matrizbes cuadrada y la solucin paraQpuede ser encontrada inmediatamente (3) siempre que el sistema sea estable.SISTEMA PRIMARIOPara sistemasEstticamente Indeterminados,M > N, y por lo tanto, podemos aumentar (3) conI = M-Necuaciones de la forma:

El vectorXes el tambin llamado vector deRedundanciafuerzas yIes el grado de indeterminancia esttica de el sistema. usualmente elegimosj,k, ... ,, andsuch thates una reaccin en el soporte o una fuerza interna en un extremo del miembro. con ajustables elecciones de fuerzas redundantes, el sistema de ecuaciones (3) aumenta por (4) puede ser ahora resuelto para obtener:

Sustituyendo en (2) da:

Las ecuaciones (5) y (6) son la solucin para elsistema primarioel cual es el sistema original que ha sido hecho estticamente determinado por cortes que exponen las fuerzas redundantes. La ecuacin (5) efectivamente reduce el conjunto de fuerzas desconocidas a.ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD Y SOLUCIONDespus, necesitamos crearecuaciones de compatibilidad en disposicin de encontrar. Las ecuaciones de compatibilidad devuelven la continuidad requerida a los cortes de seccin fijando los desplazamientos relativosa los redundantesXa cero. que es, usando elMtodo de Unidad de Fuerza Falsa:

odonde

Ecuacin (7b) puede ser resuelta paraX, y las fuerzas en miembros son despus encontradas desde (5) mientras los desplazamientos nodales pueden ser encontrados por

dondees lamatriz de flexibilidad del sistema.

El movimiento de los soportes tomando lugar a las redundantes puede ser incluido en el lado derecho de la ecuacin (7), mientras el movimiento de soportes a otros lugares debe ser incluido enytambin.VENTAJAS Y DESVENTAJASMientras la eleccin de redundantes en (4) aparenta ser arbitraria y dificultosa para clculos automticos, esta objecin se puede superar procediendo desde (3) directamente a (5) usando un proceso modificado deEliminacin de Gauss-Jordan. Este es un robusto procedimiento que automticamente selecciona un buen conjunto de fuerzas redundantes para asegurar la estabilidad numrica.Es aparente de el proceso arriba que el mtodo de la matriz de rigidez es fcil de comprender y para implementar para clculos automticos. Es tambin fcil de extender para aplicaciones avanzadas tales como anlisis no lineal, estabilidad, vibraciones, etc. Por estas razones, el mtodo de la matriz de rigidez es el mtodo de eleccin para uso en paquetes de software de anlisis estructural de propsito general. Por otro lado, para sistemas lineales con bajo grado de indeterminacin esttica, el mtodo de flexibilidad tiene la ventaja de ser computacionalmente menos intensivo. Esta ventaja, sin embargo, es un punto discutible como las computadoras personales son ampliamente disponibles y ms poderosas. El principal factor redentor en aprender este mtodo hoy en da es su valor educacional en impartir los conceptos de equilibrio y compatibilidad en adicin a su valor histrico. En contraste, el procedo del mtodo de rigidez directa es tan mecnico que se arriesga a ser usado sin mucho entendimiento de el comportamiento estructural.Los argumentos arriba fueron vlidos hasta los inicios de 1990. Sin embargo, avances recientes en clculos numricos han mostrado una vuelta atrs de el mtodo de fuerza, especialmente en el caso de sistemas no lineales. Nuevos armazones han sido desarrollados que permiten formulaciones "exactas" respectivamente del tipo o naturaleza de la nolinealidad del sistema. Las principales ventajas del mtodo de flexibilidad es que el error resultante es independiente de la discretizacin del modelo y que este es en realidad un mtodo muy rpido. Por el momento, la solucin elstica-plstica de una viga continua usando el mtodo de fuerza requiere solo 4 elementos de viga mientras que un comercial "basado en rigidez"FEMrequiere 500 elementos en disposicin de dar resultados con la misma precisin. Para concluir, uno puede decir que en el caso donde la solucin del problema requiere evaluaciones recursivas de el campo de fuerza como en le caso de optimizacin estructural o identificacin de sistemas, la eficiencia del mtodo de flexibilidad es indiscutible.

METODO DE LA RIGIDEZElmtodo matricial de la rigidezes un mtodo de clculo aplicable aestructuras hiperestticasde barras que se comportan de formaelsticaylineal. En ingls se le denominadirect stiffness method(DSM,mtodo directo de la rigidez), aunque tambin se le denomina el mtodo de los desplazamientos. Este mtodo est diseado para realizar anlisis computarizado de cualquier estructura incluyendo a estructuras estticamente indeterminadas. El mtodo matricial se basa en estimar los componentes de las relaciones de rigidez para resolver las fuerzas o los desplazamientos mediante un ordenador. El mtodo de rigidez directa es la implementacin ms comn delmtodo de los elementos finitos. Las propiedades de rigidez del material son compilados en una nica ecuacin matricial que gobierna el comportamiento interno de la estructura idealizada. Los datos que se desconocen de la estructura son las fuerzas y los desplazamientos que pueden ser determinados resolviendo esta ecuacin. El mtodo directo de la rigidez es el ms comn en los programas de clculo de estructuras (tanto comerciales como de fuente libre).El mtodo directo de la rigidez se origin en el campo de laaeronutica. Los investigadores consiguieron aproximar el comportamiento estructura de las partes de un avin mediante ecuaciones simples pero que requeran grandes tiempos de clculo. Con la llegada de los ordenadores estas ecuaciones se empezaron a resolver de forma rpida y sencilla.El mtodo consiste en asignar a la estructura de barras un objeto matemtico, llamadomatriz de rigidez, que relaciona los desplazamientos de un conjunto de puntos de la estructura, llamados nodos, con las fuerzas exteriores que es necesario aplicar para lograr esos desplazamientos (las componentes de esta matriz son fuerzas generalizadas asociadas a desplazamientos generalizados). La matriz de rigidez relaciona las fuerzas nodales equivalentes y desplazamientos sobre los nodos de la estructura, mediante la siguiente ecuacin:(1)Donde:son las fuerzas nodales equivalentes asociadas a las fuerzas exteriores aplicadas sobre la estructura;son las reacciones hiperestticas inicialmente desconocidas sobre la estructura;los desplazamientos nodales incgnita de la estructura yel nmero degrados de libertadde la estructura.Laenerga de deformacinelstica tambin puede expresarse en trminos de la matriz de rigidez mediante la relacin:

Delteorema de Maxwell-Bettise deduce que la matriz de rigidez debe ser simtrica y por tanto:

En general, unslido deformablereal, como cualquiermedio continuoes un sistema fsico con un nmero infinito degrados de libertad. As sucede que en general para describir la deformacin de un slido necesitndose explicitar uncampo vectorialde desplazamientos sobre cada uno de sus puntos. Este campo de desplazamientos en general no es reductible a un nmero finito de parmetros, y por tanto un slido deformable de forma totalmente general no tiene un nmero finito de grados de libertad.Sin embargo, para barras largas elsticas oprismas mecnicosde longitud grande comparada con el rea de su seccin transversal, el campo de desplazamientos viene dado por la llamadacurva elsticacuya deformacin siempre es reductible a un conjunto finito de parmetros. En concreto, fijados los desplazamientos y giros de las secciones extremas de una barra elstica, queda completamente determinada su forma. As, para una estructura formada por barras largas elsticas, fijados los desplazamientos de los nudos, queda completamente determinada la forma deformada de dicha estructura. Esto hace que las estructuras de barras largas puedan ser tratadas muy aproximadamente mediante un nmero finito de grados de libertad y que puedan ser calculadas resolviendo un nmero finito de ecuaciones algebricas. El mtodo matricial proporciona esas ecuaciones en forma de sistema matricial que relaciona los desplazamientos de los extremos de la barras con variables dependientes de las fuerzas exteriores.Esto contrasta con la situacin general de los slidos elsticos, donde el clculo de sus tensiones internas y deformaciones involucra la resolucin de complejos sistemas deecuaciones diferencialesenderivadas parciales.Matrices de rigidez elementalesPara construir la matriz de rigidez de la estructura es necesario asignar previamente a cada barra individual (elemento) una matriz de rigidez elemental. Esta matriz depende exclusivamente de:1. Las condiciones de enlace en sus dos extremos (barra bi-empotrada, barra empotrada-articulada, barra biarticulada).2. Las caractersticas de la seccin transversal de la barra:rea,momentos de rea(momentos de inercia de la seccin) y las caractersticas geomtricas generales como la longitud de la barra, curvatura, etc.3. El nmero de grados de libertad por nodo, que depende de si se trata de problemas bidimensionales (planos) o tridimensionales.La matriz elemental relaciona las fuerzas nodales equivalentes a las fuerzas aplicadas sobre la barra con los desplazamientos y giros sufridos por los extremos de la barra (lo cual a su vez determina la deformada de la barra).Barra recta bidimensional de nudos rgidosUn nudo donde se unen dos barras se llama rgido o empotrado si el ngulo formado por las dos barras despus de la deformacin no cambia respecto al ngulo que formaban antes de la deformacin. An estando imposibilitado para cambiar el ngulo entre barras las dos barras en conjunto, pueden girar respecto al nodo, pero manteniendo el ngulo que forman en su extremo. En la realidad las uniones rgidas soldadas o atornilladas rgidamente se pueden tratar como nudos rgidos. Para barra unida rgidamente en sus dos extremos la matriz de rigidez elemental que representa adecuadamente su comportamiento viene dada por:

Donde:son las magnitudes geomtricas (longitud, rea y momento de inercia).la constante de elasticidad longitudinal (mdulo de Young).Alternativamente la matriz de rigidez de una barra biempotrada recta puede escribirse ms abreviadamente, introduciendo la esbeltez mecnica caracterstica:

Donde:es laesbeltez mecnicacaracterstica.Barra recta bidimensional con un nudo articulado y otro rgidoEn este caso cuando se imponen giros en el nudo articulado no se transmiten esfuerzos hacia el nudo no articulado. En ese caso la matriz de rigidez, usando la misma notacin que en la seccin anterior, viene dada por:

Donde se ha supuesto que el nudo articulado es el segundo. Si fuera el primero, habra que permutar los elmentos de la matriz anterior para obtener:

Barra recta bidimensional con dos nudos articuladosPuesto que una barra recta de nudos articulados slo puede transmitir esfuerzos a lo largo de su eje, la correpondiente matriz de rigidez de esa barra slo tiene componentes diferentes para los grados de libertad longitudinales. En ese caso la matriz de rigidez, usando la misma notacin que en la seccin anterior, viene dada por:

Arco circular bidimensional de nudos rgidosBarra recta tridimensional de nudos rgidosUna barra recta tridimensional tiene 6 grados de libertad por nudo (3 de traslacin y 3 deorientacin), como la barra tiene dos nudos la matriz de rigidez es una matriz de 12 x 12. Adems una barra tridimensional puede transmitir torsiones, y tambin flexin y esfuerzo cortante en dos direcciones diferentes, esa mayor complejida de comportamiento estructural es lo que hace que una barra tridimensional requiera ms grados de libertad y un matriz de rigidez ms compleja para describir su comportamiento, esta matriz est compuesta de 3 submatrices:

Donde las submatrices son:

Y las magntiudes geomtricas y mecnicas asociadas a la barra son:son las magnitudes geomtricas: longitud de la barra y su rea transversal, momentos de rea en las direccionesyyzymdulo de torsin, respectivamente.la elmdulo de elasticidad longitudinaly elmdulo de elasticidad transversal.son signos relativos.