Análisis y Control de

Sistemas Lineales

Modelado en variables de fase

DuCxy

BuAxx

+=

+=

Contenido

Modelado en variables de fase

◼ Caso 1: Sin derivadas de la función de entrada

◼ Caso 2: Caso general

◼ Ejemplos y ejercicios

DuCxy

BuAxx

+=

+=Modelo en variables de fase

para el caso 1, q = 0◼ Es un modelo en variables de estado, en el cual se

cumplen ciertas condiciones:

◼ Como primera variable se escoge siempre la

salida del sistema.

◼ La variable i se escoge como la primera derivada

de la variable (i-1) desde i = 2 hasta i = n.

◼ Esto tiene como resultado que las variables de

estado son la salida y sus derivadas y que se pierda

a veces su significado físico.

◼ ¿Cuál es el significado físico de la segunda

derivada de la aceleración?

DuCxy

BuAxx

+=

+=

Variables de fase: Caso q = 0 (1)

Partimos de una ecuación diferencial de orden n que no

tiene derivadas de la función de excitación; q = 0.

Que tiene la función de transferencia Y(s)/U(s)

)(0012

2

11

1

1 tubyadt

dya

dt

yda

dt

yda

dt

ydn

n

nn

n

nn

n

=+++++−

−

−−

−

−

][)(

)(

01

2

2

1

1

0

asasasas

b

sU

sYn

n

n

n

n +++++=

−

−

−

−

DuCxy

BuAxx

+=

+=

Asignamos las variables de fase

1

2 1

3 2

4 3

1

1 1

n

n n n

n

n n

x y

x x y

x x y

x x y

d yx x

dt

d yx

dt

−

− −

=

= =

= =

= =

= =

=

Variables de fase: Caso q = 0 (2)

DuCxy

BuAxx

+=

+=

Despejamos dny/dtn y sustituimos las variables de fase

Escribimos en forma extendida y ordenamos

Variables de fase: Caso q = 0 (3)

)(01021121 tubxaxaxaxaxdt

ydnnnnnn

n

+−−−−−== −−−

)(0012

2

21

1

1 tubyadt

dya

dt

yda

dt

yda

dt

ydn

n

nn

n

nn

n

+−−−−−=−

−

−−

−

−

)(01122110 tubxaxaxaxax nnnnn +−−−−−= −−−nnn

nn

nn

xxxxx

xxxxxx

xxxxx

++++=

+++++=

++++=

−−

−

−

1211

13212

1211

000

0000

000

DuCxy

BuAxx

+=

+=

Escribimos las ecuaciones en forma matricial, la cual es

conocida como la forma canónica controlable FCC

Variables de fase: Caso q = 0 (4)

x

xx

=

+

−−−−

=

−−

0001

0

0

0

1000

0100

0010

01210

y

u

baaaa nn

DuCxy

BuAxx

+=

+=

Escriba la forma canónica controlable o FCC para el

sistema descrito por la ecuación diferencial

Ejemplo 1: Caso q = 0

x

xx

=

+

−−−

=

001

4

0

0

234

100

010

y

u

ഺ𝑦 + 2 ሷ𝑦 + 3 ሶ𝑦 + 4𝑦 = 4𝑢

ഺ𝑦 = −4𝑦 − 3 ሶ𝑦 − 2 ሷ𝑦 + 4𝑢

ሶ𝑥3 = −4𝑥1 − 3𝑥2 − 2𝑥3 + 4𝑢

ሶ𝑥1 = 0𝑥1 + 𝑥2 + 0𝑥3 + 0𝑢

ሶ𝑥2 = 0𝑥1 + 0𝑥2 + 𝑥3 + 0𝑢

ሶ𝑥3 = −4𝑥1 − 3𝑥2 − 2𝑥3 + 4𝑢

𝑦 = 𝑥1

DuCxy

BuAxx

+=

+=Modelo en variables de fase para el

caso con derivadas, q < n

◼ Es un modelo en variables de estado, en el cual se

cumplen ciertas condiciones:

◼ Existen derivadas de la función de entrada; pero,

la función de transferencia es estrictamente propia

◼ La salida del sistema es en general una función

lineal de las variables de estado y no está

asociada a la primera variable de estado

únicamente.

◼ Esto tiene como resultado que las variables de

estado no tengan un significado físico.

DuCxy

BuAxx

+=

+=

Variables de fase: Caso q < n (1)

Partimos de una ecuación diferencial de orden n que

tiene derivadas de la función de excitación con q < n.

Encontramos la función de transferencia Y(s)/U(s)

=+++++−

−

−−

−

− yadt

dya

dt

yda

dt

yda

dt

ydn

n

nn

n

nn

n

012

2

21

1

1

ubdt

dub

dt

udb

dt

udb

n

n

nn

n

n 012

2

21

1

1 ++++−

−

−−

−

−

][

][

)(

)(

01

2

2

1

1

01

2

2

1

1

asasasas

bsbsbsb

sU

sYn

n

n

n

n

n

n

n

n

+++++

++++=

−

−

−

−

−

−

−

−

DuCxy

BuAxx

+=

+=

Multiplicamos la función de transferencia por X(s)/X(s)

Separamos en dos ecuaciones el numerador y el

denominador

)(

)(

][

][

)(

)(

01

2

2

1

1

01

2

2

1

1

sX

sX

asasasas

bsbsbsb

sU

sYn

n

n

n

n

n

n

n

n +++++

++++=

−

−

−

−

−

−

−

−

)()( 01

2

2

1

1 sXbsbsbsbsY n

n

n

n ++++= −

−

−

−

)()( 01

2

2

1

1 sXasasasassU n

n

n

n

n +++++= −

−

−

−

Variables de fase: Caso q < n (2)

DuCxy

BuAxx

+=

+=

Asignamos las variables de fase

n

n

n

n

n

nn

dt

xdx

dt

xdxx

xxx

xxx

xxx

xx

=

==

==

==

==

=

−

−

−

1

1

1

43

32

21

1

Variables de fase: Caso q < n (3)

DuCxy

BuAxx

+=

+=

Regresamos al dominio del tiempo

Despejamos dnx/dtn y sustituimos las variables de fase

xbdt

dxb

dt

xdb

dt

xdbty

n

n

nn

n

n 012

2

21

1

1)( ++++=−

−

−−

−

−

xadt

dxa

dt

xda

dt

xda

dt

xdtu

n

n

nn

n

nn

n

012

2

21

1

1)( +++++=−

−

−−

−

−

Variables de fase: Caso q < n (4)

1021121)( xbxbxbxbty nnnn ++++= −−−

)(1021121 tuxaxaxaxadt

xdnnnnn

n

+−−−−−= −−−

DuCxy

BuAxx

+=

+=

Ordenamos y escribimos las ecuaciones en forma

extendida

Variables de fase: Caso q < n (5)

nnnn xbxbxbxbty 1122110)( −−− ++++=

)(1122110 tuxaxaxaxax nnnnn +−−−−−= −−−

nnn

nn

nn

nn

xxxxxxx

xxxxxxx

xxxxxxx

xxxxxxx

++++++=

++++++=

++++++=

++++++=

−−

−

−

−

143211

143213

143212

143211

00000

00000

00000

00000

DuCxy

BuAxx

+=

+=

Escribimos las ecuaciones en forma matricial

Variables de fase: Caso q < n (6)

x

xx

=

+

−−−−−−

=

−−

−−

123210

123210 1

0

0

0

0

10000

010000

001000

00100

00010

nn

nn

bbbbbby

u

aaaaaa

DuCxy

BuAxx

+=

+=

Escriba la forma canónica controlable o FCC para el

sistema descrito por la ecuación diferencial

Ejemplo 2: Caso q < n

x

xx

=

+

−−−

=

012

1

0

0

342

100

010

y

u

uuyyyy 2243 +=+++

DuCxy

BuAxx

+=

+=

Ejemplo 3: Caso q < n

Escriba el modelo en variables de estado para

la siguiente ecuación diferencial

Dividimos entre 2, el coeficiente de zn, y

escribimos el modelo

uuuzzzz 41026432 −+−=+++

x

xx

−−=

+

−−−

=

152

1

0

0

5.123

100

010

y

u

uuuzzzz 25325.1 −+−=+++

DuCxy

BuAxx

+=

+=Modelo en variables de fase para el

caso general con derivadas, q = n

◼ El sistema es bipropio y se descompone a través de fracciones

parciales en un sistema estrictamente propio + una constante K.

◼ Se procesa de manera normal la parte estrictamente propia como

en el caso en el que q < n y la constante K será el escalar d.

Kasasasas

bsbsbsb

sU

sYn

n

n

n

n

n

n

n

n ++++++

++++=

−

−

−

−

−

−

−

−

][

][

)(

)(

01

2

2

1

1

01

2

2

1

1

=+++++−

−

−−

−

− yadt

dya

dt

yda

dt

yda

dt

ydn

n

nn

n

nn

n

012

2

21

1

1

ucdt

duc

dt

udc

dt

udc

dt

udc

n

n

nn

n

nn

n

n 012

2

21

1

11+++++

−

−

−−

−

−−

DuCxy

BuAxx

+=

+=

Escribimos las ecuaciones en forma matricial

Variables de fase: Caso q = n (6)

uKbbbbbby

u

aaaaaa

nn

nn

+=

+

−−−−−−

=

−−

−−

x

xx

123210

123210 1

0

0

0

0

10000

010000

001000

00100

00010

DuCxy

BuAxx

+=

+=

Ejemplo 4: Caso q = n

Escriba el modelo en variables de estado para la

siguiente ecuación diferencial

Descomponemos en fracción estrictamente propia +

una constante K

uuuuzzzz 61161207415 +++=+++

uy

u

+−−−=

+

−−−

=

x

xx

963114

1

0

0

1574120

100

010

1]1207415[

]114639[

)(

)(23

2

++++

−−−=

sss

ss

sU

sY

DuCxy

BuAxx

+=

+=

ie=cte

Ejercicio 1: Encuentre el modelo

en variables de fase

Motor controlado por armadura (salida = ).

)(tiK eee =

= 1KuiaM iKM = 2

0=−++ aia

aaa uudt

diLiR

−= BMdt

dJ M

J

ua

ωMM

DuCxy

BuAxx

+=

+=

Solución al ejercicio 1

◼ Sustituyendo MM y despejando obtenemos la

corriente.

◼ Derivamos una vez respecto al tiempo.

◼ En la ecuación del circuito de armadura

vamos a eliminar la variable corriente y su

derivada.a

aaaa uK

dt

diLiR =++ 1

+=22 K

B

dt

d

K

Jia

dt

d

K

B

dt

d

K

J

dt

dia +=

2

2

2

2

DuCxy

BuAxx

+=

+=

Solución al ejercicio 1 (2)

◼ Obtenemos una ecuación con solamente la

velocidad como variable y la entrada ua.

a

aa

a

a

aa uLJ

K

LJ

RBKK

dt

d

LJ

LBRJ

dt

d

=

++

++ 221

2

2

x

xx

=

+

+−

+−=

01

010

221

y

u

LJ

K

LJ

LBRJ

LJ

RBKK

aa

aa

a

a

DuCxy

BuAxx

+=

+=

Referencias

◼ Kuo, Benjamin C.. „Sistemas de Control

Automático“, Ed. 7, Prentice Hall, 1996,

México.