Análisis de disponibilidad de agua en el acuífero del Alto Atoyac

M. en C. Héctor Gabriel Méndez Lara docente Universidad Autónoma de Tlaxcala (UATx) y del Instituto Tecnológico Superior de San Martin Texmelucan (ITSSMT) Maricela Briones de Gante, Daniel Nophal Mancilla, Fernando Oaxaca Velázquez, Antony Pluma Briones (estudiantes de la licenciatura en Matemáticas Aplicadas. Facultad de Ciencias Básicas, Ingeniería y Tecnología de la Universidad Autónoma de Tlaxcala

Temática

Regresión simple y correlación

Modalidad

Exposición oral y trabajo para ser incluido en las memorias del evento

Resumen

Uno de los problemas en la enseñanza de las matemáticas es mostrar al estudiante la utilidad en la solución de

problemas que aquejan a la sociedad. Uno de estos problemas es la disponibilidad de agua para satisfacer sus

distintas necesidades de una sociedad. En este trabajo se expone una estimación del año en el cual el Estado de

Tlaxcala presentará problemas de disponibilidad del vital líquido. Cabe mencionar que este proyecto se encuentra

enmarcado en la actividad denominada “Proyecto integrador”, el cual pretende que el alumno resuelva problemas a

través de la integración de diversas ramas de las matemáticas, en este caso se apoyaron en una parte de la estadística

y, por supuesto, desarrollo sustentable, materias que se imparten en la licenciatura de Matemáticas Aplicadas de la

UATx.

Abstract

One of the problems in the teaching of mathematics is to show the student the application in solving problems that affect society. One of these problems is the availability of water to solve their different needs of a society. This work develops a way to estimate the year for which the State of Tlaxcala will present problems of availability of the vital liquid. It is worth mentioning that this project is contained in the activity called "Integrative Project", which aims for the student to solve problems through the integration of various disciplines of mathematics, in this case they relied on a part of the statistics and, of course, sustainable development, subjects taught in the Bachelor of Applied Mathematics of the UATx.

Palabras clave

Proyecto Integrador, Disponibilidad del Agua, Estadística, Ecuaciones Diferenciales, Modelación Matemática

Introducción

En la Universidad Autónoma de Tlaxcala se ha implementado el modelo educativo denominado “Modelo Humanista Integrador Basado en Competencias”, el cual pretende formar universitarios que comprenda los aspectos económicos, políticos y culturales de su sociedad y las diversas maneras que tiene para insertarse como trabajador, profesionista y ciudadano, tanto en una sociedad local como global. Para lograr lo anterior cada programa educativo desarrolla distintas estrategias., en particular, la licenciatura de Matemáticas Aplicadas de forma semestral desarrolla distintos proyectos integradores. Estos proyectos son dirigidos por diversos docentes expertos en matemáticas, así como en didáctica que proponen a los alumnos desarrollar temas que les permitan integrar diversas materias que se contemplan en el plan de estudios de la licenciatura. Para el proyecto que desarrollaron los alumnos: Maricela Briones de Gante, Daniel Nophal Mancilla, Fernando Oaxaca Velázquez y Antony Pluma Briones se les propuso que analizaran la problemática del agua en el Estado de Tlaxcala y que ellos decidieran las herramientas más adecuadas para este fin. Las herramientas que propusieron aplicar fueron: Álgebra Lineal, Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, Probabilidad y Estadística y Análisis Numérico. Con las herramientas anteriores lograron estimar el tiempo que se tiene para que el Estado de Tlaxcala presente problemas de abastecimiento de agua, para ello se comparó el uso del agua en los últimos veinte años, así como su crecimiento poblacional.

Desarrollo

De acuerdo con (Gómez Mármol, 2007), una población es un grupo de organismos de la misma especie que habitan un lugar determinado, en el cual utilizan y comparten recursos. En el caso de la población de seres humanos en el mundo, se ha observado un crecimiento notable debido al desarrollo de la tecnología y de la medicina en los últimos años, esta situación provoca que las demandas en servicios y recursos también crezcan. En la Tierra, la mayor parte del agua se encuentra en forma de hielo, como agua salada o como agua subterránea de difícil acceso, el agua que los humanos tienen disponible se obtiene de las llamadas cuencas, en las cuales mediante un ciclo natural se almacena, mantiene y renueva periódicamente. De acuerdo con (EcuRed, 2018), el ciclo del agua se puede resumir de la siguiente manera: el agua de los mares y océanos se evapora y sube a la atmosfera, al entrar en contacto con el aire frio el vapor se condensa en gotas, las cuales son impulsadas por el viento para luego unirse y formar nubes, en seguida vierten su contenido a la tierra en forma de lluvia, nieve o granizo, de los cuales una parte cae nuevamente sobre los mares y ríos y la otra cae sobre cuencas donde luego se infiltra en el suelo formando acuíferos subterráneos. En la Figura 1 se muestra un esquema general del ciclo del agua.

Dicho lo anterior se puede decir que el agua es un recurso limitado; el ciclo del agua se modifica debido a las actividades del hombre (tales como deforestación, crecimiento de la población, expansión de actividades como agricultura y ganadería, contaminación, calentamiento del planeta, etcétera) ya que no permiten la infiltración a través del suelo y por lo tanto los acuíferos no se recargan a su máxima capacidad.

Los seres humanos requieren del agua para producir alimentos, energía, viviendas, empleos, tecnología, medios de transporte e inclusive para vivir. Hay que destacar que tanto humanos como animales, plantas y ecosistemas dependen de este elemento; sin embargo, los humanos hacen uso excesivo de este sin considerar a las otras especies ni su propio futuro.

Cada país y estado regula el consumo del agua que tienen disponible. De acuerdo con la información obtenida en (Comisión Nacional del Agua, 2015), en el territorio del estado de Tlaxcala se encuentran disponibles cuatro acuíferos de los cuales se extrae el agua que se usa en las distintas actividades del ser humano, el acuífero más grande e importante es llamado Alto Atoyac y abarca 45 de los 60 municipios del estado: Tlaxco, Atlangatepec, Tetla de La Solidaridad, Terrenate, Tocatlán, Xaloztoc, Muñoz de Domingo Arenas, San Lucas Tecopilco, Xaltocan, Hueyotlipan, Españita, Huamantla, Ixtacuixtla de Mariano Matamoros, Santa Ana Nopalucan, Santa Apolonia, Nativitas, Tetlatlahuca, San Jerónimo Zacualpan, San Damián Texoloc, Santa Catarina Ayometla, Santa Cruz Quilehtla, San Lorenzo Axocomanitla, Tepeyanco, San Juan Huactzingo, Santa Isabel Xiloxoxtla, Xicohtzinco, San Pablo del Monte, Tenancingo, Mazatecochco de José María M., Acuamanala de Miguel Hidalgo, Teolocholco, San Francisco Tetlanohcan, La Magdalena Tlaltelulco, Tlaxcala, Panotla, Papalotla de Xicohténcatl, Totolac, Amaxac de Guerrero, Sta. Cruz Tlaxcala, Yauhquemecan, Apizaco, Coaxomulco, Tzompantepec, San José Teacalco, y Zacatelco. En la Figura 2 se muestra un mapa que ilustra la extensión del acuífero. El acuífero del Alto Atoyac ha sido explotado desde hace varios años, pero desafortunadamente cuenta con una

capacidad limitada para brindar agua, a pesar de ello se observa un gran desperdicio del elemento debido a distintos

aspectos: deficiente infraestructura que llevan el agua de un lugar a otro, pobreza en la región, corrupción, mal uso

del líquido en las casas o negocios, empleo excesivo e irracional en industrias productoras, contaminación de ríos y

lagos, entre otros.

Figura 2. Localización del acuífero Alto Atoyac en el estado de Tlaxcala2.

1 Imagen tomada de: http://concepto.de/ciclo-del-agua/ 2 Imagen tomada de: Actualización de la disponibilidad media anual de agua en el acuífero Alto Atoyac (2901), Estado de Tlaxcala realizado por la CONAGUA.

Figura 1. Resumen del ciclo del agua en la Tierra1.

En la Tabla 1 se muestra un resumen de los datos de la cantidad de habitantes registrados por el Instituto Nacional

de Estadística y Geografía (INEGI) para los 45 municipios que explotan el acuífero del Alto Atoyac desde 1990 hasta

2015:

La Comisión Nacional del Agua (CONAGUA) se encarga de estudiar, entre otras cosas, la situación actual e histórica

de las fuentes de agua que se explotan en cada zona del territorio nacional. De acuerdo con el estudio (Comisión

Nacional del Agua, 2015) realizado por la dependencia, para lograr sus objetivos deben medir y cuantificar los

siguientes aspectos:

Recarga media anual (R): Corresponde a la suma de todos los volúmenes de agua que ingresan al acuífero,

tanto en forma de recarga natural como inducida.

Descarga natural comprometida (DNCOM): Este valor se determina sumando los volúmenes de agua

concesionados de los manantiales y del caudal base de los ríos que están comprometidos como agua

superficial, alimentados por el acuífero, más las descargas que se deben conservar para no afectar a los

acuíferos adyacentes, sostener el gasto ecológico y prevenir la migración de agua de mala calidad hacia el

acuífero.

Volumen concesionado de agua subterránea (VCAS): Es la cantidad de agua que el gobierno asigna a

empresas y negocios para llevar a cabo sus procesos.

Disponibilidad media anual de agua subterránea (DAS): Constituye el volumen medio anual de agua

subterránea disponible en un acuífero, al que tendrán derecho de explotar, usar o aprovechar los usuarios,

adicional a la extracción ya concesionada y a la descarga natural comprometida, sin poner en peligro a los

ecosistemas. Este valor se obtiene de la siguiente forma:

𝐷𝐴𝑆 = 𝑅 − 𝐷𝑁𝐶𝑂𝑀 − 𝑉𝐶𝐴𝑆

La DAS es la cantidad que se debe monitorear cada determinado tiempo, puesto que de ella dependen las acciones

que implementará el gobierno para satisfacer la demanda y a su vez mantener un nivel adecuado de agua en el

acuífero.

De acuerdo con una nota digital de (Avendaño, 2009), la disponibilidad de agua en metros cúbicos por habitante por

año se resume en la Tabla 2:

En la Tabla 3 siguiente se muestran los datos relacionados a la disponibilidad del agua en el Alto Atoyac

proporcionados por la CONAGUA y en la Figura 3 se muestra una parte del documento expedido por la dependencia

gubernamental:

3 Información obtenida de: http://www.beta.inegi.org.mx/proyectos/ccpv/2010/ 4 Información obtenida de: http://www.lajornadadeoriente.com.mx/2009/03/20/tlaxcala/contra12.php

Año 1990 1995 2000 2005 2010 2015

Población total 562324 666406 730709 813051 895105 972679

Tabla 1. Población total de los municipios que dependen del Alto Atoyac según el INEGI3.

Año 1950 1960 1970 1980 1990 2000

Disponibilidad

m3/hab/año 2640 2085 1711 1410 1002 758

Tabla 2. Población total de los municipios que dependen del Alto Atoyac según el INEGI4.

Año R DNCOM VCAS DAS

Cifras en millones de metros cúbicos anuales

2003 199.9 22.9 138.383609 38.616391

2009 199.9 22.9 121.786743 55.213257

2012 212.4 41 124.694276 46.705724

2015 212.4 41 124.517419 46.882581

2018 212.4 41 139.367106 32.032894

Tabla 3. Información proporcionada por la CONAGUA.

Modelos matemáticos

Existen distintos modelos matemáticos que describen el crecimiento de la población humanas, entre ellos se

encuentran el modelo exponencial y el modelo logístico, los cuales se consideran los modelos más sencillos en su

clase. De acuerdo con (Gómez Mármol, 2007), en estos modelos se consideran los siguientes elementos.

Densidad: Es la representación de la cantidad de población y se expresa como el número de individuos en

función del espacio o volumen que ocupan.

Figura 3. Extracto del oficio entregado por la CONAGUA.

Tasa de natalidad: Representa el número de nacimientos en una población durante un año por cada mil

habitantes de ese lugar.

Tasa de mortalidad: Indica el número de defunciones en un año por cada mil habitantes en una población.

Distribución espacial: La distribución de la población en la superficie terrestre es desigual en distintos puntos,

ya sea debido al clima o a la disponibilidad de recursos.

Tasa de crecimiento: Es el aumento de la población en una región en un periodo determinado, generalmente

se considera un año.

Cuando una especie no tiene limitaciones en cuanto a alimentos, depredadores o enfermedades, dicha especie

muestra un crecimiento exponencial de acuerdo con (Pearson, 2018). El modelo exponencial según (Castillo Chávez

& Brauer, 2001) y (Gómez Mármol, 2007) es el siguiente:

𝑁′(𝑡) = (𝑏 − 𝑑) 𝑁(𝑡)

Sujeto a la condición inicial:

𝑁(0) = 𝑁0

La solución del modelo matemático anterior es:

𝑁(𝑡) = 𝑁0𝑒(𝑏−𝑑) 𝑡

donde 𝑏 es la tasa de natalidad, 𝑑 es la tasa de mortalidad, 𝑁(𝑡) es la población existente en determinado tiempo 𝑡,

𝑁′(𝑡) es el cambio en la población con respecto al tiempo 𝑡 y 𝑁(0) es la cantidad de individuos que hay en el instante

en que inicia el estudio.

Cuando una especie tiene depredadores, enfermedades o alimentos limitados evita el crecimiento exponencial, pero

en su lugar presenta un crecimiento logístico; a medida que crece la población, su entorno eventualmente alcanza

una capacidad de carga en la cual los distintos factores matarán el exceso de población según lo descrito por (Pearson,

2018). El modelo logístico reportado por (Castillo Chávez & Brauer, 2001) y (Gómez Mármol, 2007) se representa

como sigue:

𝑁′(𝑡) = (𝑏 − 𝑑)𝑁(𝑡)(1 −𝑁(𝑡)

𝑘)

Con la condición inicial

𝑁(0) = 𝑁0

Y con solución

𝑁(𝑡) = 𝑘 𝑁0

𝑁0 + (𝑘 − 𝑁0) 𝑒−(𝑏−𝑑) 𝑡

Donde 𝑏 es la tasa de natalidad, 𝑑 es la tasa de mortalidad, 𝑘 es la capacidad del medio, 𝑁(𝑡) es la población existente

en determinado tiempo 𝑡, 𝑁′(𝑡) es el cambio en la población con respecto al tiempo 𝑡 y 𝑁(0) es la cantidad de

individuos que hay en el instante en que inicia el estudio.

Se utiliza el modelo descrito en (Ordorica, 2008), para determinar la población en un cierto instante de tiempo. El

modelo parte de la tasa de crecimiento de la población dada por:

1

𝑃(𝑡)

𝑑 𝑃(𝑡)

𝑑𝑡= 𝑟(𝑡)

De igual modo, el modelo supone que se puede representar un descenso en la población por medio de la función logística, es decir:

1

𝑃(𝑡)

𝑑 𝑃(𝑡)

𝑑𝑡= 𝑘1 +

𝑘21 + 𝑒𝑎+𝑏𝑡

La solución de la ecuación diferencial anterior es:

𝑃(𝑡) = 𝑃0(1 + 𝑒𝑎)𝑘2𝑏 𝑒(𝑘1+𝑘2)𝑡(1 + 𝑒𝑎+𝑏𝑡)−

𝑘2𝑏

Donde 𝑎 𝑦 𝑏 son parámetros, 𝑘1 es la asíntota inferior, 𝑘1 + 𝑘2 es la asíntota superior, 𝑃(𝑡) es la población existente en determinado tiempo 𝑡, 𝑃′(𝑡) es el cambio en la población con respecto al tiempo 𝑡 y 𝑃0 es la cantidad de individuos que hay en el instante en que inicia el estudio.

Usando 𝑘1 = 0 𝑦 𝑘2 = 0.035 de acuerdo con (Ordorica, 2008) y los datos de la tasa de crecimiento demográfico de México reportados en el artículo se aplicó el método de mínimos cuadrados a la ecuación anterior para hallar los

valores de los parámetros. Los valores de los parámetros para el modelo son: 𝑎 = −0.93205 𝑦 𝑏 = 0.07649.

Los datos de la población recabados brindaron información desde 1990 hasta 2015 considerando periodos de 5 años (debido a que en dichos lapsos se lleva a cabo el Censo Nacional de Población por el INEGI), por otro lado, los datos obtenidos de la CONAGUA abarcan desde el 2003 hasta 2018 con periodos de 3 años (excepto el 2006, ya que esta información no estuvo disponible). Dicho desfase entre años condujo a buscar un método para aproximar la población en los años 2003, 2009, 2013, 2015 y 2018. Como primer paso, se calcularon las tasas aproximadas de crecimiento demográfico en México para los años faltantes usando el método de suavizado exponencial simple. En (Chapman, 2006) se detalla que el método de suavizado exponencial es un método para suavizar las fluctuaciones aleatorias en un patrón de demanda, es decir, pronostica el valor de ciertos datos considerando datos de demanda para periodos anteriores. El modelo está dado por la expresión:

𝐹𝑡 = 𝐹𝑡−1 + 𝛼(𝐴𝑡−1 − 𝐹𝑡−1)

donde 𝐹𝑡 es el pronóstico que se busca, 𝐹𝑡−1 es el pronóstico del periodo previo, 𝐴𝑡−1 es la demanda real en el periodo

previo y 𝛼 es una constante de suavización entre 0 y 1 (el valor de esta constante depende de la necesidad de darle más peso a datos anteriores o datos recientes, cercana a 0 y cercana a 1 respectivamente. Este método se eligió debido a que es uno de los más conocidos debido a su sencillez, además se requieren pocos datos históricos y se puede considerar la importancia del tiempo mediante la constante de suavización. Para este

proyecto se decidió darles mayor importancia a los datos recientes ya que son los que se conocen, por ello 𝛼 = 1, además se tomaron los datos de tasa de crecimiento pronosticadas desde 1990 hasta 2018 reportadas por (Countymeters, 2018) y usando un pronostico inicial de 0.030 según información del INEGI, con los cuales se calcularon los pronósticos de la tasa de crecimiento de cada año, estos datos se muestran en la Tabla 4. Como segundo paso, se aplicó el modelo descrito anteriormente y se obtuvieron las poblaciones estimadas que se requerían para el análisis (esta información se resume en la Tabla 4). Una vez conocida la población estimada para los años de interés, se comparan con los años respectivos y con la disponibilidad de agua subterránea mediante el uso de gráficas, las cuales son (Gráfica 2. Población estimada para cada año del análisis sin considerar el 2006.) y (Gráfica

3. Disponibilidad del agua subterránea en función de la cantidad de población por año.).

Para facilitar el manejo de la información se deciden ajustar las curvas anteriores mediante el método de interpolación de Lagrange para obtener los polinomios correspondientes.

El problema de interpolación de Lagrange de acuerdo con (Parra) consiste en, dados un entero 𝑛 no negativo, 𝑛 + 1 puntos 𝑥0, … , 𝑥𝑛 ∈ 𝑅 distintos dos a dos y los correspondientes valores 𝑓(𝑥0), … , 𝑓(𝑥𝑛) de una función se debe hallar

un polinomio 𝑃(𝑥) de grado igual o menor que 𝑛 tal que 𝑃(𝑥0) = 𝑓(𝑥0), … , 𝑃(𝑥𝑛) = 𝑓(𝑥𝑛)

5 Imagen tomada de: Evolución de la población de México, 1980-2005, conforme a la hipótesis de una tasa de crecimiento demográfico logístico presentado por Manuel Ordorica.

Gráfica 1. Curvas de las tasas de natalidad, mortalidad y crecimiento, en una población logística

considerando mortalidad constante5.

Año r(t) Población estimada

2003 0.0147 785901.364

2009 0.0114 894366.515

2013 0.0110 962255.9104

2015 0.0121 994118.414

2018 0.0120 1038756.76

Tabla 4. Tasas de crecimiento y poblaciones estimadas.

Gráfica 3. Disponibilidad del agua subterránea en función de la cantidad de población por año.

La solución del problema es única y se denomina polinomio interpolador de Lagrange de grado menor o igual que 𝑛 de la función 𝑓 en los puntos 𝑥0, … , 𝑥𝑛. La expresión explicita del polinomio interpolador es la siguiente:

𝑃(𝑥) = ∑ 𝑓(𝑥𝑗)𝑛

𝑗=0∏

𝑥− 𝑥𝑖𝑥𝑗 − 𝑥𝑖

𝑛

𝑖=0,𝑖≠𝑗

Una vez aplicado este método se obtiene lo siguiente:

𝐷(𝑥) es la disponibilidad del agua, en función de la población:

𝐷(𝑥) = −2.1192094x10−19𝑥4+ 7.846291x10−13𝑥3− 1.0865698x10−6𝑥2 + 0.667045758 𝑥 − 153069.6504384

Donde 𝑥 se mide en personas, cabe mencionar que 𝐷(𝑥) es una función decreciente, pues a medida que crezca la población la cantidad de agua disponible disminuirá.

En seguida se determina el valor de 𝑥 que hace que 𝐷(𝑥) = 0, es decir, se calcula el valor para el cual la población hace que se consuma el total de agua disponible y se obtiene que 𝑥 = 1099740. Para hallar las raíces de un polinomio se suele usar el método de Newton-Rhapson, el cual parte de una aproximación

inicial 𝑥0 para llegar a otra raíz. Si se desea calcular la solución de 𝑓(𝑥) = 0 dada una aproximación 𝑥0. Partiendo del desarrollo de Taylor de 𝑃 hasta orden 2 en 𝑥 = 0, es decir, 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0) + 𝑓′(𝑥0)(𝑥 − 𝑥0) si ahora sustituimos 𝑓(𝑥) =0 y 𝑥 = 𝑥0 y luego despejamos 𝑥 se tiene:

0 = 𝑓(𝑥0) + 𝑓′(𝑥0)(𝑥1 − 𝑥0)

Luego

𝑥1 = 𝑥0 −𝑓(𝑥0)

𝑓′(𝑥0)

Dado que podemos aproximar tantas raíces como sea posible, se puede expresar la ecuación anterior como una ecuación recursiva:

𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 −𝑓(𝑥𝑛)

𝑓′(𝑥𝑛)

0

10

20

30

40

50

60

700000 750000 800000 850000 900000 950000 1000000 1050000 1100000

Dis

po

nib

ilid

ad d

e ag

ua

Población estimada

Gráfica 2. Población estimada para cada año del análisis sin considerar el 2006.

0

200000

400000

600000

800000

1000000

1200000

2002 2004 2006 2008 2010 2012 2014 2016 2018 2020

Po

bla

ció

n e

stim

ada

Año

Para mayores detalles puede consultarse (Ruiz Álvarez & Marvá Ruiz). Sin embargo, existe una gran cantidad de softwares, ya sean de paga o gratuitos, que permiten calcular con una gran precisión y rapidez las raíces de distintos tipos de ecuaciones, por ejemplo, el software GEOGEBRA.

𝑃(𝑡) es la población estimada en el Estado de Tlaxcala:

𝑃(𝑡) = 0.0758407𝑡4 − 614.2𝑡3 + 1.8674x106 𝑡2 − 2.52323x109 𝑡 + 1.27826x1012

Donde 𝑡 son los años, por ejemplo, en el año 2018 la población estimada será de 1,038,756 habitantes.

Al igualar 𝑃(𝑡) = 1099740 da como resultado 2022.68, el cual al ajustar a la escala pertinente se obtiene el año 2022 o bien para 2023. En la Gráfica 4. Curva del polinomio de Lagrange para año contra población. y en la Gráfica 5. Curva del polinomio de Lagrange para población contra , se observa una comparación entre las curvas originales y las curvas ajustadas. Se encontró en (Quintanilla) que aunque algunos datos pueden exhibir un patrón específico, en ocasiones son pobremente representados por una línea recta, por ello una curva es más adecuada para ajustarse a los datos; para el caso de ajustar polinomios a determinados datos se suele usar la regresión polinomial. Los polinomios son muy

usados en cálculos numéricos debido a sus propiedades. La ecuación de un polinomio de grado 𝑛 es 𝑦 = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 +𝑎2𝑥

2 +⋯+ 𝑎𝑛𝑥𝑛, si ahora se aplica el método de mínimos cuadrados proponiendo la curva 𝑦𝑝 = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥

2 +

⋯+ 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑒 donde 𝑒 es el error. Una estrategia es minimizar la suma de los cuadrados de los residuos (𝑆), entre la

𝑦 medida y la 𝑦 calculada con un modelo lineal y está dada por:

𝑆𝑟 =∑ 𝑒𝑖2 =∑ (𝑦𝑖,𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 − 𝑦𝑖,𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜)

2 =𝑚

𝑖=1∑ (𝑦𝑖 − 𝑎0 − 𝑎1𝑥𝑖 − 𝑎2𝑥𝑖

2 −⋯− 𝑎𝑛𝑥𝑖𝑛)2

𝑚

𝑖=1

𝑚

𝑖=1

Cuyas derivadas parciales son:

𝜕𝑆𝑟𝜕𝑎0

=𝜕

𝜕𝑎0∑ (𝑦𝑖 − 𝑎0 − 𝑎1𝑥𝑖 − 𝑎2𝑥𝑖

2 −⋯− 𝑎𝑛𝑥𝑖𝑛)2

𝑚

𝑖=1= −2∑ (𝑦𝑖 − 𝑎0 − 𝑎1𝑥𝑖 − 𝑎2𝑥𝑖

2 −⋯− 𝑎𝑛𝑥𝑖𝑛)

𝑚

𝑖=1

Gráfica 4. Curva del polinomio de Lagrange para año contra población.

Gráfica 5. Curva del polinomio de Lagrange para población contra disponibilidad.

0

200000

400000

600000

800000

1000000

1200000

2002 2004 2006 2008 2010 2012 2014 2016 2018 2020

Po

bla

ció

n e

stim

ada

Año

0

10

20

30

40

50

60

70

80

700000 750000 800000 850000 900000 950000 1000000 1050000 1100000

Dis

po

nib

ilid

ad d

e ag

ua

Población estimada

𝜕𝑆𝑟𝜕𝑎1

=𝜕

𝜕𝑎1∑ (𝑦𝑖 − 𝑎0 − 𝑎1𝑥𝑖 − 𝑎2𝑥𝑖

2 −⋯− 𝑎𝑛𝑥𝑖𝑛)2

𝑚

𝑖=1= −2∑ (𝑦𝑖 − 𝑎0 − 𝑎1𝑥𝑖 − 𝑎2𝑥𝑖

2 −⋯− 𝑎𝑛𝑥𝑖𝑛)

𝑚

𝑖=1

⋮ 𝜕𝑆𝑟𝜕𝑎𝑛

=𝜕

𝜕𝑎𝑛∑ (𝑦𝑖 − 𝑎0 − 𝑎1𝑥𝑖 − 𝑎2𝑥𝑖

2 −⋯− 𝑎𝑛𝑥𝑖𝑛)2

𝑚

𝑖=1= −2∑ (𝑦𝑖 − 𝑎0 − 𝑎1𝑥𝑖 − 𝑎2𝑥𝑖

2 −⋯− 𝑎𝑛𝑥𝑖𝑛)

𝑚

𝑖=1

Si luego se hace, 𝜕𝑆𝑟

𝜕𝑎0= 0,

𝜕𝑆𝑟

𝜕𝑎1= 0,… ,

𝜕𝑆𝑟

𝜕𝑎𝑛= 0 obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

𝑎0(𝑚) + 𝑎1∑ 𝑥𝑖𝑚

𝑖=1+ 𝑎2∑ 𝑥𝑖

2𝑚

𝑖=1+⋯+ 𝑎𝑛∑ 𝑥𝑖

𝑛𝑚

𝑖=1=∑ 𝑦𝑖

𝑚

𝑖=1

𝑎0∑ 𝑥𝑖𝑚

𝑖=1+ 𝑎1∑ 𝑥𝑖

2𝑚

𝑖=1+ 𝑎2∑ 𝑥𝑖

3𝑚

𝑖=1…+ 𝑎𝑛∑ 𝑥𝑖

𝑛+1𝑚

𝑖=1=∑ 𝑦𝑖

𝑚

𝑖=1𝑥𝑖

⋮

𝑎0∑ 𝑥𝑖𝑛

𝑚

𝑖=1+ 𝑎1∑ 𝑥𝑖

𝑛+1𝑚

𝑖=1+ 𝑎2∑ 𝑥𝑖

𝑛+2𝑚

𝑖=1…+ 𝑎𝑛∑ 𝑥𝑖

2𝑛𝑚

𝑖=1=∑ 𝑦𝑖

𝑚

𝑖=1𝑥𝑖𝑛

Los coeficientes de las incógnitas se pueden evaluar de manera directa a partir de los datos conocidos. El sistema es lineal y puede resolverse por algún método conocido. El error estándar del estimado se formula como:

𝑆𝑦/𝑥 = √𝑆𝑟

𝑚 − (𝑛 + 1)

Esta cantidad es dividida entre 𝑚 − (𝑛 + 1)ya que (𝑛 + 1) coeficientes obtenidos de los datos (𝑎0, 𝑎1, … , 𝑎𝑚) se usaron para calcular 𝑆𝑟; de esta manera se han perdido (𝑛 + 1) grados de libertad. Podemos escribir el sistema de ecuaciones normales obtenido en la forma: 𝑆𝑥𝑎 = 𝑆𝑥𝑦 donde:

𝑆𝑥 =

(

𝑚 ∑𝑥 ∑𝑥2 … ∑𝑥𝑛

∑𝑥 ∑𝑥2 ∑𝑥3 … ∑𝑥𝑛+1

∑𝑥2 ∑𝑥3 ∑𝑥4 … ∑𝑥𝑛+2

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

∑𝑥𝑛 ∑𝑥𝑛+1 ∑𝑥𝑛+2 … ∑𝑥2𝑛 )

, 𝑎 =

(

𝑎0𝑎1𝑎2⋮𝑎𝑛)

𝑦 𝑆𝑥𝑦 =

(

∑𝑦

∑𝑦𝑥

∑𝑦𝑥2

⋮

∑𝑦𝑥𝑛)

El ajustar un polinomio a una serie de datos se conoce como regresión polinomial.

Conclusiones

Los resultados indican que, con las tasas de crecimiento consideradas al llegar a una población de 1,099,740 habitantes en los municipios que depende del acuífero del Alto Atoyac se tendría una disponibilidad agua de 0 m3. De esta manera, si el consumo de agua se mantiene como en el periodo 2015 - 2018 podría haber una escasez a partir del año 2022, lo que tendría graves repercusiones en diversos ámbitos. Es bien sabido que la Ciudad de México y el Estado de México concentran una gran cantidad de habitantes (8,918,653 y 16,187,608 habitantes en el 2015 según el INEGI) y que debido a ello sufren de problemas de abastecimiento de agua ya que no hay una disponibilidad suficiente para cubrir la demanda de la población. Para comprender la situación de estas dos entidades federativas, se contactó con una persona que reside en la Delegación Iztapalapa de la Ciudad de México para que relatara su experiencia. Debido a todos los factores, el agua se suministra tres o cuatro veces por semana con baja presión por ello en ocasiones no es posible llenar tinacos, cubetas, lavar e inclusive bañarse. Ante esta situación los vecinos han pedido al gobierno de la delegación un plan de acciones que ayuden a tratar de satisfacer la necesidad de agua, y entre otras actividades se tiene la propuesta de crear más áreas verdes y jardines que sirvan como receptores de agua de lluvia y de esta manera se recarguen los acuíferos de la zona que han sido sobreexplotados a través de los años. A pesar de las dificultades que representa la constante falta de agua, la población se ha adaptado y se ha notado una disminución en el desperdicio del líquido. Sin duda se trata de una situación delicada en gran medida se cree que se debe a que la mancha urbana crece descontroladamente y en todas direcciones, lo que luego provoca que los gobiernos no sean capaces de construir una red de distribución adecuada entre acuífero-población debido a la distancia y costo que representa, pero también se debe a que la demanda es tal que no es posible lograr una recarga óptima de los acuíferos, es decir, se consume más agua de la que se capta. Sin embargo, no todo es alarmante, es importante planear estrategias que deban ser implementadas en los diversos sectores de la sociedad Tlaxcalteca para evitar llegar a una situación como la que se vive en Iztapalapa. Algunas acciones que podrían realizarse en un corto y mediano plazo son:

Revisar el estado de las tuberías en los sistemas de transporte de agua para reparar fugas y dar mantenimiento

Llevar a cabo un análisis de cada región para determinar su nivel socioeconómico, con el fin de ajustar el precio que se paga por el agua, es decir, en zonas rurales manejar un costo bajo y en las zonas urbanas incrementarlo proporcionalmente.

Implementa el uso de medidores, ya que este dispositivo no se usa en varios de los municipios del estado de Tlaxcala y el pago de agua se hace de manera mensual y no se considera el volumen de agua consumido.

Regular de manera adecuada el uso que las grandes empresas, es decir, que paguen por el servicio de manera proporcional a la cantidad que emplean en sus procesos, pero también comprometiéndolos a que ellos mismos implementen acciones que permitan la recarga natural del acuífero.

Proponer formas de pago accesibles para los usuarios que tienen una deuda importante con la comisión de agua correspondiente, aplicando descuentos atractivos en multas y mejorando la comunicación entre las partes interesadas.

Llevar platicas a escuelas, hogares y negocios sobre la importancia del agua y de los cuidados que se pueden hacer en cada sector de la sociedad.

Desarrollar sistemas de captación de agua pluvial en diversos puntos de las localidades, para luego darle el uso pertinente. Un caso en especial se puede dar en las escuelas, ya que el agua captada de la lluvia puede tratarse para luego ser usada en el desagüe de los baños y en la limpieza de algunas áreas. Pero también puede implementarse en negocios y hogares, además de consolidar su aprovechamiento en los terrenos de siembra y de pastoreo que aun existen en la región.

Multar y/o castigar a los usuarios que hagan mal uso del agua, ya sea por diversión o debido a algún descuido. En este trabajo, se puede ver la inter-relación que un matemático debe de hacer para resolver problemáticas, por ejemplo, el equipo de alumnos tuvo que aprender a solicitar información a dependencias gubernamentales como lo son el INEGI y a la CONAGUA. Una vez con esos datos analizar la relación que hay entre ellos y resumir la información valiosa. Posteriormente, analizar un modelo de ecuaciones diferenciales que relacione la información dada por el INEGI que permita establecer una función continua que describa la población en función del tiempo. De igual forma, se determinó una función que permita relacionar la disponibilidad del agua con la población que consume el agua del Acuífero del Alto Atoyac. Luego, se determinó el valor de la población que hace que dicha disponibilidad sea cero. Finalmente, este valor de la población se iguala en el modelo que predice el número de habitantes y con ello se determina el año para el cual se alcanzará la población obtenida. Usualmente los alumnos son muy renuentes a participar en actividades que no se evalúan directamente, pero al resolver problemas prácticos, se van convenciendo de que es una forma más de aprender la utilidad de las matemáticas. El reto queda en lo docentes en encontrar temas que sean fáciles de resolver y que despierten el interés del alumno, sin olvidar el exquisito rigor de las matemáticas.

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