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análisis de columnas de concreto reforzado mediante computcrdoras*

M. D. Davister**

RESUMEN

En este articulo se expone un procedimiento numérico adecuado pam emplenrse en computadoras. mediante el cual se obtiene un análisis exacto de columnas de concreto reforzado con secciones transversales de forma arbitraria, sometidas simultáneamente a una combinación de fierza axial y momentos de flexion biaxial. Pam llevar a cabo este análisis se aplica Ip teoria de resistencia.

S U M A R Y

A numerical procedure suited for computer usage is developed in this paper to perform an exact analysis of reinforced concrete columns with cross sections of

combinatwn of axial force and biaxiai bending moments using strength thaory.

. arbitrary shape and subjectai simultanwusly to a

Publicado originalmente en la revista Concreta lntunationol: D-n & Conmudion, vol. 8, núm. 7, julio de 1986.

* * Doctor en Ingeniería, Uniwrsidd de Colorado, Boulder, E:U. A.

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La aplicación de los principios básicos de compatibilidad del equilibrio y de es- fuerzodeformación ofrece el enfoque más directo para analizar y diseñar ele- mentos de concreto reforzado someti- dos a una combinaci6n de fuerza axial P y momentos de flexión biaxial M,, M,, como se muestra en la figura 1, m e diante la teoría de resistencia.

Este enfoque, a l que se hace referen- cia como un análisis exacto, no ha sido empleado generalmente porque su dlcu- lo no es práctico si no se cuenta con la ventaja de una computadora, aun cuan- do se aplique a elementos de sección transversal rectangular simple. ~

Estas dificultades numéricas pueden ser atribuidas al bien conocido compor- tamiento del concreto que tiene una re- sistencia supuesta insignificante en ten- sión y una relación esfuerzodeformación no lineal en compresión.

Esto significa que no puede emplear- se la teoría elástica convencional para determinar la distribución de esfuerzos debida a una serie de cargas aplicadas, P, M,, M,. En cambio, es necesario em- plear técnicas de tanteo que resultan de- masiado prolongadas para e l Cálculo ma- nual, pero que pueden resolverse de ma- nera eficaz mediante la utilización de computadoras.

En un intento por superar las dificul- tades numéricas, se han desarrollado M-

rios métodos de análisis con suposiciones simplificadoras pero, generalmente, o están limitados a elementos de sección transversal rectangular o no se pueden adaptar con facilidad para obtener solu- ciones computarizadas.

Estos métodos simplificadores suelen basarse en aproximaciones de una super- f icie de falla (figura 2), donde cada pun- to de la superficie indica una combina- ción de cargas que produce la deforma- ción de compresión máxima utilizable en e l concreto (tomada por lo general como 0.003).

Los procedimientos son aproximados porque toda la superficie de falla se in- terpola de las resistencias uniaxiales de los elementos, es decir, ya sea flexión sólo alrededor del eje x o del eje y.

Ejemplos típicos de estos procedi- mientos para secciones rectangulares y cuadradas son los presentados por Bres- Ier;' Pannell) Parme, Nieves, y Gou- wens? Un análisis más detallado de estos métodos se encuentra en el texto de Wang y Saimon.4

Más recientemente, Marín' presentó ayudas de diseño para secciones en L, basadas en un análisis exacto. Sin embar- go, aunque la mayoría de las columnas de concreto reforzado empleadas hoy en día son cuadradas, rectangulares o circu- lares, existe en ocasiones cierta necesi- dad de analizar secciones de otras for- mas, tales como en L, que justifican los trabajos de Marín.

No obstante, dichas necesidades se afrontan mejor cuando se pueden apli- car los mismos procedimientos por igual a todas las secciones independientemen- te de su geometría y su patrón de refuer- zo. Asimismo, por respeto a la exactitud numérica y a la claridad teórica, e l pro- cedimiento debe fundamentarse sólo en principios básicos y no implicar otras su- posiciones simplificadoras.

Se ha desarrollado un procedimiento numérico para llevar a cabo un análisis exacto de los elementos cortos de con- creto reforzado de formas arbitrarias y sometidos a fuerza axial y flexión biaxial.

L

Este procedimiento, que emplea la teo- ria de resistencia, fue incorporado a un programa de computación con capaci- dades gráficas.

E l procedimiento numérico se basa en una distribución de esfuerzos trape- zoidal en el concreto a la falla; sin em- bargo, es susceptible de ampliarse para tomar en cuenta cualquier variación es- fuerzodeformación no lineal, como el conocido diagrama esfuerzodeforma- ción de Hognestad.6

El procedimiento también puede em- plearse para generar UM superficie de fa- lla para otros materiales con una relación esfuerzodeformación conocida a la falla y, por lo tanto, tiene bastantes aplica- ciones generales.

El diagrama de interacción momento- fuerza fue seleccionado como punto es- tándar de salida, puesto que la mayoría de los proyectistas de concreto reforza- do ya están familiarizados con dichos

Aunque el análisis también puede ser conducido mediante e l cálculo de nive- les máximos de deformación o de esfuer- zo debidos a un conjunto de cargas apli- cadas, este medio no se considera sufi- ciente a causa de la relación no lineal entre las deformaciones máximas y la capacidad de carga.

diagramas para flexi6n uniaxial. 0

P.ey P.ex

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g. 1. Elemento de concreto reforzado sujeto a fuerza axial y flexián biaxial.

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Diagrama de interacción / ( M,/M, =constante)

P

ig. 2. Superficie de falla para secciones de concreto reforzado.

Relaciones esfuerzodeformación Sin embargo, en pro de la integridad se han incluido en el programa disposi- ciones de computación para calcular d e formaciones máximas con base en una serie dada de cargas que se fundan en un método presentado con anterioridad.'

Para fines de demostración, el progra- ma también tiene capacidad para calcu- lar y trazar toda la superficie de falla.

Fundamental en la obtención de un diagrama de interacción es e l método para calcular la posición del eje neutro con UM orientación conocida que pro- ducirá un valor especificado de fuerza axial. Se demuestra cómo se logra esto al relacionar la fuerza axial P con una sola constante de deformación (que se denominará C2).

También fundamental para la obten- ción de un diagrama de interacción es el método para calcular la orientación del eje neutro que producirá un valor espe- cificado de fuerza axial.

Esto se puede lograr aprovechando la única relación valorada en UM fuerza axial constante entre el ángulo que defi- ne la orientación del eje neutro y el ám gulo asociado con la relación de M, y M,. Estos dos métodos pueden integrar- se con el propósito de producir el diagra- ma de interacción requerido.

Las siguientes suposiciones fueron utili- zadas para definir la relación esfuerzo- deformación del concreto reforzado a la falla:

A. La deformación en el acero de re- fuerzo y en el concreto es directa- mente proporcional a la distancia dede el eje neutro.

B. La relación parabólica esfuerzode- formación del concreto en compre- sión se aproxima mediante un tra- pecio. E l esfuerzo de compresión del concreto inferior a 0.85 f ' , es igual al módulo de elasticidad del concreto, E,, multiplicado por la deformación del concreto. En el caso de deformaciones mayores que 0.85 f ',/E,, se supone que el esfuerzo permanece constante e igual a 0.85 f r c .

C. No se toma en cuenta la resisten- cia a la tensión del concreto.

D. El esfuerzo en el refuerzo menor que el esfuerzo de fluencia, f , es igual al módulo de elasticidac!del acero, E,, multiplicado por la de- formación. Para deformaciones mayores que f,/E,, el esfuerzo del refuerzo es igual a f,,,

E. La deformación máxima permisi- ble en el concreto es igual a 0.003 cm/cm.

Estas suposiciones particulares con- cuerdan con el Reglamento de Construc- ciones ACI de 1983.'

Evaluación de un punto de contorno Como se muestra en la figura 2, un con- torno es UM serie de puntos sobre la su-

Y

Región de -/- Eie neutro .~r( f compresión /

. . , \ 'X

Fig. 3. Distribución de la deformación debida a flutión biaxial.

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a

Fig. 4. Variacibn de &con a,.

perficie de falla asociada con un valor constante de fuerza axial. Cada uno de dichos puntos representa la capacidad de la sección, es decir, la deformación máxima de compresión en el concreto es igual a E, y corresponde tanto a una orientación como a una ubicación espe- cíficas del eje neutro.

La orientación del eje neutro está es- pecificada por el ángulo a, que se mues- tra en la figura 3. Para un ángulo a espe- cificado, la ubicación del eje neutro debe ser tal que la fuerza axial de contorno, P,, sea compatible con la distribución de la deformación y con la relación es- fuerzodeformación supuesta. Puede ge- nerarse un contorno completo variando a desde O hasta 2n, en incrementos selecc io nados.

El que se describe a continuación es un método para evaluar la ubicación del eje neutro para un valor dado de P,, y la Orientación del eje neutro a.

Con base en la suposición de que las secciones planas permanecen planas, la ecuación del plano de deformación en la figura 3 puede expresarse como:

E = c,x+c,y+c, (1)

donde C,, C, y C3 son las constantes de

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deformación. En el eje neutro, e =O y la ecuación del eje neutro expresada en for- ma de pendiente interceptada a partir de la ecuación 1 * es:

A partir de la ecuación 2 se observa que si C,/C, es constante, la pendiente del eje neutro permanece igual, esto es, a en la figura 3 es constante. Por consi- deraciones geométricas es posible rela- cionar a con C, y C, como:

C, =C, tan a (3)

Para un valor dado de a, el punto de deformación máxima por compresión del concreto x,, yu puede ser evaluado numéricamente. En x,, y,,, E es igual a la deformación máxima permisible del concreto, E"; y de las ecuaciones 1 y 3 se obtiene:

C, =eU-C, (x,tana+y,) (4)

S i se sustituyen las ecuaciones 3 y 4 en la ecuación 1 resulta:

* Cuando C, es igual a cero; es decir, cuan- do el eje neutro es paralelo al eje y , debe considerarse como un caso especial, pero el procedimiento es similar al que se está presentando.

E = € , + C, [(x -x,) tan a + (y -y,)]

(5) donde e seexpresa en términosde la Úni- ca constante de deformación, C,.

La fuerza axial resultante, Pr, para UM distribución trapezoidal supuesta de esfuerzos en el concreto y una distribu- ción elasto-plástica de los esfuerzos del acero puede ser considerada como la su- ma de cuatro componentes de fuerza, Estas son las contribuciones de fuerza axial de:

1. Concreto plástico denominado como

PPC

2. Concreto elástico denominado como Pec

3. Acero plástico denominado como PP S

Pes

Entonces,

4. Acero elástico denominado como

Si e l área del concreto plástico se de- nomina como A,,, se puede expresar:

Ppc = 0.85 f ', A,, (64

Si se denota el centroide del concreto elástico como xc, yc, y el área del con- creto elástico como A,,, empleando la ecuación 5, Pec puede expresarse como:

La contribución de fuerza del acero plástico puede expresarse como:

donde APb, es e l área acumuiativa del refuerzo plastico, obtenida asignando un área negativa a una varilla del refuerzo plástico en compresión y un área positi- va a una varilla del acero de refuerzo plástico en tensión.

Si las coordenadas de una varilla del refuerzo elástico se denotan como xb,

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1

Noiacibn:

Pt =Fuerza máxima de tewi6n .

P, =Fuerza máxima de compresi6n

N 4- 1 =Número de puntos en el diagrama de interacción

K = K + ~

d<=cuK-1+& (Cfr. ecuación 14)

Resumen de la sección de datos de entrada, patrón de refuerzo, pardmetros de diseño y cargas de d b e h (P, M,, M")

4

Calcular P que es

1 x = x t 1 I A \

c'f =CP-' 4- Ac, p f 1 p"

(Cfr. ecuación 1 O)

ci =c, P calcular M ~ ~ ,

!

Punto del diagrama de interacción = (P", MKx, MKy)

b

Fig. 5. Flujo de cilculos para evaluar un diagrama de interacci6n.

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Parámetros de diseño

f IC = 280 kg/cm2

fy = 4,200 kg/cm2 I E, = 253,467 kg/cm2 1

5.1 cm 1 E, = 2’038,990 kg/cm2

15.2 cm \

Cargas factorizadas O ’ . . O . . O . . . P = - 406 ton M, = 31.6 ton-m E[ My = - 55.2 ton-m &

48.3 cm 122.9 cm 1

Fig. 6.. Problema de ejemplo: columna de esquina con forma especial.

ción es AC2&, para lograr este cambio en la fuerza axial se puede aproximar:

donde el supraíndice k se emplea para designar aquellas cantidades que cambian para cada iteración. El valor de C, que debe emplearse para la iteración siguien- te se calcula como:

C 2 k + 1 =Czk + AC2k (11)

Puesto que los puntos del contorno se calculan en series, es ventajoso, para el cálculo por computadora, seleccionar el valor inicial de C, igual al último valor de C, empleado para calcular el punto anterior. Para calcular el primer punto del contorno se toma el valor inicial de C2 como el que corresponde al eje neu- tro que pasa a través del centroide del concreto de la sección.

yb, y su área como A,, PeS se puede expresar como:

Po, = C, L [ (xb -x,,) tan u + (vb -y,,)] €,A,L,

Prk, y el valor de P en el cual se desea un contorno, como P,, e l incremento de la Evaluación del diagrama de inteacción fuerza Aprk que debe a Como se muestra en la figura 2, un dia- Prk para lograr Un Punto en el COntorno, grama de interazión es UM swie de pun- para un valor especificado de u es: tos sobre la superficie de falla asociada Es Aob ~.

donde Es es el módulo de elasticidad APrk = P, - P,k con un valor constante de MJM,. Cuan- do a, se define como: (9)

para el acero.

(1 2) A partir de la ecuación 8, el cambio

c o r r e d i e n t e a c2 en la k&ma itera- u,,, = tan-’ (MJM,) Sustituyendo las ecuaciones 6a. 6b. ~. 6c y 6d en. la ecuación 6 tenemos:

P,=0.85f’,Apc+ ([C2(xC-x,)tana

+ (vC -YU)l + ‘U 1 ‘C (7)

+ fv CAP, + C2 2 [(xb -xu) tan u

+ (vb -Yu)lA8b +‘U ‘S

Para cambios pequeños en C,, es de- cir, para traslados pequeños del eje neu- tro, la variación de P, con C2 puede aproximarse calculando 3Pf/aC2 de la ecuación 7.

El resultado de esto es:

-- ::a - [CW, - x u ) tan a + (v, - y , , ) ~ €,A,,

(8)

+ Li í(xb -4 tan 4 + b b -Y,)] €,AM

Si se designa el valor de la fuerza acial

* Deformación máxima del concreto + Deformación máxima del acero

+ Punto balanceado Resistencia requerida M (x) =-0.573 M (y)

resultante e; la k-éSima ¡tWaC¡h como

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Fil. 6b. Problema de ejemplo: diagrama de interacción para Mx/My = -0.5725.

‘41

Superficie de falla A (Valores nominales) 1 -pu Ejemplo No. 2

f O *.: 1

L X

Fig. 7. Superficie de falla para el problema de ejemplo.

se puede demostrar que la variación de a,,, con a,.puede representarse en gene- ral como se muestra en la figura 4; es decir, conforme cu varía de O a 2rr, el rango de a, también es 2n.

El valor de a, al que se desea un per- fil se denota como a', y se calcula a partir de la ecuación 12 basada en mo- mentos de diseño. En tanto que el valor de a se especifica cuando se evalúa un punto de contorno, el valor de 01 corres- pondiente a a', debe definirse cuando se evalúa un punto del perfil. Este valor se denota como a' en la figura 4.

Debido a la variación de a,,, con a, una solución inicial de prueba para a es a a',. En cada k-ésima iteración, e l siguiente valor de prueba para a, desig- nado como a k * ' , que depende de ( A ~ / A Ú , ) ~ , donde:

Entonces ak + puede calcularse como:

(1 4)

42

Los resultados han indicado que esta selección de ak + produce una conver- gencia rápida. Puesto que la pendiente inicial Aa/Aa , no está definida para la primera iteración; o sea, k = 1, debe su- ponerse un valor inicial para esta pen- diente. Asimismo, debido a la variación de a,,, con a, UM buena selección es Aa/Aam = 1 .O. El proceso iterativo ter- minacuandoak" = aom.

El flujo de los cálculos para evaluar un diagrama de interacción exacto se presenta en la figura 5. En este diagrama de flujo se emplea el índice L para desig- nar la Lésima iteración para evaluar un punto en el contorno, en tanto que k se emplea para denotar la k-ésima iteración en el proceso de evaluación de un punto de interacción. El índice n se emplea para designar e l n-ésimo punto del dia- grama de interacción.

Como se muestra en la figura 5, es necesario calcular P, M, Y M, para una serie de prueba de constantes de defor- mación C,, C2 y C3 en cada iteración. El cálculo de Pfue considerado anterior- mente y la contribución del refuerzo a M, y M, no plantea problemas especiales.

Asimismo, la contribución a k, y M, de esa porción del concreto que es plás-

tica puede calcularse previo conocimien- to del centroide de la región plástica. Sin embargo, para poder calcular la contri- bución a M, y M, de la porción del con- creto que es elástica, se requiere que el centro de presión x,, y, sea conocido. Es posible demostrar que x, y y, pue- den expresarse como:

donde Z, e Z, son los momentos de iner- cia alrededor de los ejes x y y, respecti- vamente, del área de concreto elástico, e IXy.,es el producto de inercia de esta regron. Si se conoce el centro de presión, puede calcularse la contribución a M, y M,, como P,, y, y P,, x,, respectiva- mente.

Ejemplo numérico En este ejemplo, que se muestra en la figura 6a, UM columna de esquina con forma especial debe soportar una carga axial de - 406.0 ton y momentos de M, = 31.6 ton-m y M, = -55.2 tonm, donde estos valores incluyen los facto- res de sobrecarga.

Mediante un programa de computa- ción basado en el diagrama de flujo, se generaron dos diagramas de interacción orientados de manera tal que Mx/Mv = - 0.5725 (- 31.6/55.2). Dichos diagra- mas se muestran en la figura 6b.

El diagrama exterior representa la ca- pacidad nominal de la sección, en tanto que el diagrama interior se obtuvo mul- tiplicando los puntos de resistencia no- minal por un factor # de subcapacidad que varía de 0.90 a 0.70 según sea la magnitud de la fuerza axial requerida en la edición 1983 del Reglamento ACI.

Cualquier serie de cargas externas que descanse en la región admisible re- presenta por lo general un diseño satis- factorio. Con base en esto, la columna de esquina que se muestra en la figura 5 está adecuadamente diseñada para carga axial y flexión biaxial.

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t

La forma de toda la superficie de fa- dicho diagrama, ya que esta superficie Ila es de interés general, principalmente debe aparecer uniforme. Para estos pro- para secciones de geometría especial. pósitos se creó un programa de computa- Asimismo, la precisión de un método o ción que trazaformastridimensionalesde de un programa de computación puede estas Superficies, como Se muestra en la verificarse hasta cierto punto mediante figura 7.* Esta figura también muestra

la geometría de la sección aso- ciada con la superficie de falla.

* El programa de computac,ón esti disponi- ble en Suprbush Software 4708 Carter- wood Dr., Fairfax, Virginia 22032.

Notación

Aec = área de la sección transversal de compresión en el concreto que es elástico

APC = área de la sección transversal de compresión en el concreto que es plástico

= área de la sección transversal de UM varilla del refuerzo elástico

Apb = área de la sección transversal de una varilla del refuerzo plástico

C,, C,, C, = constantes de deformación

Ec = módulo de elasticidad para el concreto

ES

f c

= módulo de elasticidad para el acero

= resistencia a la compresión del concreto

1 fY = resistencia a la fluencia del acero de refuerzo

= supraíndice empleado para indicar un paso de k iteración

P

Pn

a

am

E

€U

= fuerzaaxial

= magnitud de la fuerza axial a la que se desea un contorno

= momentos alrededor de los ejes x yy, respec- tivamente

= coordenadas de UM varilla de refuerzo

= coordenadas del punto de deformación máxi- ma de compresión en el concreto para un valor especificado de a

= ángulo empleado para indicar la orientación del eje neutro

= tan-' (M,/M,)

= deformación (e = C,x + C,y + C,) = deformación máxima permisible de compre-

sión en el concreto

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