anisotropia

7/17/2019 Anisotropia

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ANISOTROPIA

1. Ejemplos2. Detección

3. Tratamiento



Predicción

1. Ejemplos de otros métodosdeterminísticos

2. Kriging3. Calidad de las predicciones



Ejemplo 1. Conductividad EléctricaLa conductividad eléctrica es la capacidad de unmedio o espacio físico de permitir el paso de la

corriente eléctrica a su través. Se mide tantoen suelos como en acuíferos, como indicador desalinidad (las plantas empiezan a ser afectadasnegativamente si el contenido de sales excede

el 1%). Pueden causar anisotropía, factorescomo

Temperatura,

Viento

Agua,

Presencia de vegetación densa.



Ejemplo 2. La maderaLa madera está formada por diferentes tejidosque realizan diferentes funciones y que originanque su estructura no sea homogénea. Estaheterogeneidad da lugar a lo que se conocecomo anisotropía, que es el comportamientodiferente de sus propiedades físicas y mecánicas

según la dirección que se considere. La afectanpor ejemplo, lahumedad relativatemperatura del aire

La resistencia y la elasticidad son mucho maselevadas en la dirección paralela al eje del árbolque en la dirección perpendicular.



Ejemplo 3. GeofísicaEn la búsqueda de recursos energéticos

del subsuelo, son de interés geofísicociertas irregularidades y estructuras bajola superficie terrestre llamados cuerposfuente. Estos, son causantes deanisotropía horizontal y vertical pues sediferencian en su

Densidad

Magnetismo

Flujo de calor .



Proceso Z(.) anisotrópico

El proceso Z(.) es anisotrópico, si la

dependencia entre Z(s) y Z(s+h) es unafunción tanto de la magnitud como de la

dirección del vector h.

La dependencia espacial se puede medir con

la correlación, la covarianza o masgeneralmente con la semivarianza.



Detección de la anisotropíaEvaluar si la continuidad geográfica y la

forma y parámetros del semivariogramadependen de la dirección, a través de:

Cálculo de correlogramas, covariogramas ysemivariogramas en diferentes direcciones

Diagrama de Rosa

Análisis de factores dinámicos que influyen Asesoría del experto (geólogo, agrónomo,

Ingeniero ambiental)



Fenómeno espacial con

semivariograma anisotrópico

semivariograma experimental hor izontal

h

s e m i v a r i a n z a

semivariograma experimental vertical

h


Semivariograma experimental 45

h


Semivariograma exper imental 30

h




Anisotropía Geométrica

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0 100 200 300 400 500 600

Gaussiano(210) Gaussiano (400)

Difieren solamente en el rango



Diagrama de Rosa



Anisotropía Geométrica Una anisotropía se dice geométrica

cuando:

1. Los semivariogramas tienen la misma

forma y silla pero diferentes valores derango, y

2. El diagrama de rosa de los rangos, es

una elipse



Diagrama de Rosa



…Anisotropía Geométrica: es medido en grados desde el eje Y en el sentido

de las manecillas del reloj

2: es el ángulo de menor dirección de anisotropía

a

a

1 : razón de anisotropía



… Anisotropía Geométrica

(semivariograma lineal)

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0 5 10 15 20 25

h

( )⎩⎨⎧

≠+

==

0

0 0;

0 hhbc

hh θ γ

1b



Corrección de la anisotropía

geométrica

En el caso de 2;

La corrección de la anisotropía consiste en

transformar las coordenadas originales h h x,h y′

en las nuevas coordenadas h ′ h′ ,h

′ ′

, en

las cuales el semivariograma será isotròpico.



…Corrección de la anisotropía

geométricaDe esta forma, un modelo de semivariograma anisotrópico,

se identifica con un modelo isotrópico en el nuevo sistema

de coordenadas, esto es,

h →

′|h ′

|

con |h ′ | h′

2 h

′ 2

donde ′|h ′ | es un modeloisotrópico con un rango igual al

rango menor a de anisotropía



Notas1. Los dos parámetros clave de la transformación

de coordenadas son el ángulo de máximacontinuidad y la razón de anisotropía.

2. La isotropía es un caso particular de laanisotropía geométrica cuando

3. La dirección de mayor anisotropía es la máximacontinuidad o máxima variabilidad y en estadirección el muestreo debe ser mas denso.

4. El experto muchas veces conoce la dirección demayor anisotropía y esto ayuda para el diseñode muestreo.

1



Algoritmo1. Rotación de los ejes coordenados

2. La elipse es re-escalada a un círculo deradio igual al menor rango de anisotropía

h′

h′

h′

1 0

0 .

h

h

h h

h

cos −sen

sen cos.

h x

h y



Ejemplo:

Corrección anisotropía geométricaSea h un modelo de semivariograma esférico que

presenta anisotropía, entonces el valor del modeloanisotrópico en varias direcciones es igual al valor

delmodelo isotrópico de rango a :

( )

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

>+

≤<

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛ −+

=

=

ahcc

aha

h

a

hcc

h

h

s

s

0 2

1

2

3

0 0

;

0

3

0

θ γ



Modelo Corregido

( )

3

h' h'3 1 h2 2h

h

s

s

c aa a

c a

φ φ γ

⎧ ⎡ ⎤⎛ ⎞

⎪ ⎢ ⎥− ≤⎜ ⎟⎪ ⎜ ⎟⎢ ⎥= ⎨ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎪

>⎪⎩

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2' 'h' h h h h

1a

a

φ θ φ θ

φ

θ

λ

λ

= + = +

= <



Anisotropía Zonal

Una anisotropía es zonal, cuandolos valores de las sillas varían conla dirección.

Ejemplo: En una direcciónespecífica, tiene mayor rango y

también mayor silla



Anisotropía Zonal

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0 100 200 300 400 500 600

Gaussiano(a=210,Cp=30) Gaussiano (a=210;Cp=20)

D i f i e r e n s o l am e n t e e n l a s i l l a



Anisotropía Híbrida

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0 100 200 300 400 500 600

Gaussiano(a=210,Cp=30) Gaussiano (a=400;Cp=20)



Corrección Anisotropía Zonal

1|h| 2h

1|h|



Algoritmo

1. Rotar los ejes coordenados en la dirección de

máxima continuidad (perpendicular a la de mayor

silla o varianza). Esto es equivalente al primer paso en la anisotropía geométrica.

h

h

cos − sinsin cos

h x

h y



…Algoritmo

1. Los nuevos ejes son re-escalados al modelo zonal

de tal forma que no contribuyan a la direccion de

máxima continuidad

h

′

h′

1 00 0

h

h



Ejemplo



Ejemploeasting (x) northing (y)

head (altura pezométrica)

por debajo del nivel del mar

42,78275 127,62282 1464

-27,39691 90,78732 2553

-1,16289 84,896 2158

-18,61823 76,45199 2455

96,46549 64,58058 1756

108,56243 82,92325 1702

88,36356 56,45348 1805

90,04213 39,2582 1797

93,17269 33,05852 1714

97,61099 56,27887 1466



Diagrama Ilustrativo Acuífero



Mapa de Contornos

-100 -50 0 50 100

50

100

150

1000

1200

1400

1600

1800

2000

2200

2400

2600

2800

3000

3200

3400



Mapa de Gradientes

-100 -50 0 50 100

50

100

150

1100120013001400150016001700

1800190020002100220023002400

25002600270028002900300031003200330034003500



Mapa por clases

1024 to 1464

1464 to 1729

1729 to 2158 2158 to 2575

2575 to 3572

-100 -50 0 50 100

50

100

150



Mapa de ubicación

3490

3571

3510

3136

2691

2650

2533

2946

2811

27982553

2594

2728

1735

1865

2553

2200

1476

2766

1771

2729

1579

2736

1777

1364

2455

23522528

2432

2540

2468

1402

2575

2003

2560238625442400

21582300

2648

1527

2646

2238

1408

1024

2118

1464

1828

1999

1386

10891161

1739

1415

1757

1231

1437

1868

1306

1384

1674

10301092

1680

1722

16821806

1376

1038

1805

179717291638

1714

1756

14661736

161115481591

1332

1702

1725

-100 -50 0 50 100

50

100

150



Mapa en 3D

1200

1400

1600

1800

2000

2200

2400

2600

2800

3000

3200



Gráfico de Tendencia en 3D



Semivariograma Experimental

Omnidireccional

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100Lag Distance

0

50000

100000

150000

200000

250000

V a r i o g r a m

Direction: 0.0 Tolerance: 90.0Column C: head




Direccional

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Lag Distance

0

50000

100000

150000

200000

250000

300000

350000

400000

V a r i o g r a m

Direction: 45.0 Tolerance: 10.0Column C: head

S




Direccional

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Lag Distance

0

50000

100000

150000

200000

250000

300000

V a r i o g r a m

Direction: 30.0 Tolerance: 10.0

Column C: head

S i i E i t l




Direccional

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Lag Distance

0

50000

100000

150000

200000

250000

300000

V a r i o g a

m


Column C: head

S i i E i t l




Direccional

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Lag Distance

0

50000

100000

150000

200000

250000

V a r i o g a

m


Column C: head

S i i E i t l




Direccional

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Lag Distance

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000

90000

100000

110000

V a r i o g a

m


Column C: head



Modelo definitivo

h′

6520

10.6 h

′ 1.97

0.5

41.6o

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Lag Distance

0

50000

100000

150000

200000

250000

V

a r i o g r a m


Column C: head



Vecino mas cercano



Método del Vecino mas cercano"Dados N puntos en el plano, encontrar el vecino mas cercano a cada punto."

Diremos que el vecino más cercano de un punto A dentro de un conjunto depuntos S será B si y solo si la distancia considerada entre dichos puntos es lamínima distancia existente entre el punto A y cualquier otro punto dentro delconjunto S:

dist (A,B) = min dist(A,C). C ∈ S – A

Este conjunto de puntos lo podremos representar en el plano como un grafodirigido donde si B es el nodo del grafo mas cercano a un nodo A tambienperteneciente al grafo entonces uniremos ambos nodos con un arco que irá desdeel nodo A a B. En la siguiente figura tenemos varios ejemplos:



Método del vecino mas cercano



Mapas de Voronoi

Método de la Distancia Inversa



Método de la Distancia Inversa

elevada a una potenciaLa predicción de Z ̂ s j con el método de la distancia inversa

a una potencia es

Z ̂ s j

∑i1

n Z si

hij

∑i1

n1

hij

donde

h ij |s i − s j |

parámetro potencia

potencia óptima (minimiza el error de predicción)



Distancia Inversa



Validación Cruzada (IDW)



Validación CruzadaEl mé todo mas us ado para verificar la calidad de los resultados

así como la validez de los supuestos hechos para la predicción

es el de validación cruzada. Consiste en extraer de la muestralos n datos pero uno a la vez, para con los 1n − restantes

predecir e l valor de la var iable en la ubicac ión e xtraída; as í, s e

elimina la fila correspondiente a ( )i Z s , se encuentra ( )ˆi Z s con

los 1n − datos restantes, se calcula el error de predicción para

cada una de las ubicaciones: ( ) ( )ˆi i Z s Z s− . También se puede

llevar a cabo un diagrama de dispersión de los datos

observados contra cada una de sus respectivas predicciones;

esto es, graficar todas las parejas ( ) ( )( )ˆ ,i i

Z s Z s ; si las

predicciones son ac eptable s e s ta nube de puntos debe r ía

tender a una línea rec ta de pe ndiente 45º .



Kriging (Universal)



Validación cruzada

anisotropia

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