Funciones Trigonométricas de ángulos compuestos,

ángulo doble y ángulo mitad.

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Funciones Trigonométricas de Ángulos Compuestos

Un ángulo compuesto es aquel formado por la suma o

diferencia de dos o mas ángulos simples ( , , ..)

Determinaremos las F.T. de ángulos de la forma:+ y-

En términos de las F.T. de y .

Para ello usaremos el círculo trigonométrico y laresolución de triángulos rectángulos vistaanteriormente.

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O

A

B

C

1

DE

F

En el círculo trigonométrico mostrado, BC = sen( + )

sen( + ) = BE + EC … (1)

En el OBD:

OD = cos BD = sen

En el BED:

BE = BD cos BE = sen cos … (2)

En el OFD:

DF = OD sen = ECEC = sen cos …(3)

(2) y (3) en (1):

sen( + ) = sen cos + cos sen

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Ejercicio Resuelto 1: Calcular Cos 75º

4

26º75

4

2

4

6º75

2

2.

2

1

2

2.

2

3º75

º45º.30º45º.30º75

)º45º30(º75

Cos

Cos

Cos

SenSenCosCosCos

CosCos

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Tarea:Determine el valor exacto de las expresiones:a) sen 75ºb) sen (7π/12)

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Análogamente se obtiene:

cos( + ) = cos cos - sen sen

Para la diferencia se tiene:

sen( - ) = sen cos - cos sen

cos( - ) = cos cos + sen sen

Se puede demostrar:

βtantanα1

βtanαtanβ)tan(α

y:

βtantanα1

βtanαtanβ)tan(α

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Cosx

xSenxSenL

)º60()º60(

Ejercicio Resuelto 2:Simplificar:

3

2

32

)º.60(2

º60.º.60º60.º.60

)º60()º60(

L

L

Cosx

CosxSenL

Cosx

CosSenxCosxSenCosSenxCosxSenL

Cosx

xSenxSenL

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Tarea:Calcule el valor exacto de:

sen 20º cos 40º + cos 20º sen 40º

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Tarea:Del gráfico mostrado calcular Tan(x)

Rpta: 9/23

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Funciones Trigonométricas del Ángulo Doble

Si en las diapositivas anteriores reemplazamos porse obtendrá:

(3)..............αtan1

αtan22αtan

(2c)............1αcos2

(2b)............αsen21

(2a)......αsenαcos2αcos

(1)........αcosαsen22αsen

2

2

2

22

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Ejercicio Resuelto 3:Si , calculemos

5

4Sen 2,2,2 TgCosSen

7

24

25

725

24

2

25

7

25

16

25

92

2

25

24

5

3.

5

4.22

.22

22

Tg

Cos

SenCosCos

Sen

CosSenSen

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Tarea:Si cos x = -2/3 y x está en el cuadrante II, determinesen 2x y cos 2x.

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Funciones Trigonométricas del Ángulo Mitad

)2x(sen21xcos 2

Si en las expresiones (2b) y (2c) del ángulo doble,reemplazamos 2α por x, entonces α = , por lo queobtendremos:

2x

Despejando queda:2

xcos1)

2xsen(

También:2

xcos1)

2xcos(

dividiendo:xcos1

xcos1)

2xtan(

racionalizando:xcos1

xsen

xsen

xcos1)

2xtan(

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Ejercicio Resuelto 3:Si:

2,

2,

2,

2

,3

5;º270º180

CtgTgSecCoscalcular

Sen

65

1)

2(

65

3

5

3

2

Sec

)2

cos(

1

2)

2cos(

2

1)

2cos(

2cos1

)2

cos(

5

a

a

a

a

2

4

59

53

2

2

222

5

1)

2(

5

3

1

3

2

Ctg

)2

tan(

3

5-

)2

tan(

1

3

5-

)2

tan(

cos1sen

)2

tan(

cos1sen

sencos1

)2

tan(

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Tarea:Determine tan(u/2) si sen u = 2/5 y u está en elcuadrante II.

2215)

2utan(:RPTA

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