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CARACTERIZACIÓN DE LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA DE

ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN MEDIA CUANDO TRABAJAN

EN PROCESOS DE MATEMATIZACIÓN DE SITUACIONES

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRACISCO JOSE DE CALDAS

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ANEXOS

ESQUEMAS

Esquema N°1: Elementos del argumento (Toulmin, 1958)

Esquema N°2. Elementos que constituyen al argumento desde el esquema de Toulmin (1958)

Esquema N°3: Descripción del proceso de matematización





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Esquema N°4: Uso y alternancia de modelos para abordar la conjetura de los rectángulos

De todos los rectángulos de 100 cm de perímetro, el de mayor área es el

cuadrado

Uso de ejemplos especificos

Uso de fómulas matemáticas de área y perimetro

para dar cuenta de una posible

dependencia

Organización de datos mediante tablas para

dar cuenta de una relación

Construcción de rectángulos con las

condiciones pedidas





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TABLAS

CATEGORÍA ACCIONES DESCRIPTORAS

Niv

el s

itu

acio

nal

Traducción del

problema al

lenguaje de las

matemáticas

Matematización

Horizontal

Identificar los elementos matemáticos pertinentes al problema situado en la

realidad.

Esquematizar, formular y visualizar un problema de varias maneras. Representar

el problema de acuerdo con los conceptos matemáticos pertinentes y plantear

supuestos.

Comprender las relaciones existentes entre el lenguaje del problema y el lenguaje

formal y simbólico que se necesita para comprenderlo en términos matemáticos.

Encontrar regularidades, relaciones y patrones.

Reconocer los aspectos que son isomorfos respecto de otros problemas

conocidos.

Traducir el problema a términos matemáticos, es decir, a un modelo matemático

Niv

el R

efer

enci

al, G

ener

al y

Fo

rmal

Desarrollo del

modelo

matemático

para el

problema

Matematización

Vertical.

Utilizar diferentes tipos de representación e ir alternando entre ellos

Representar una relación mediante una fórmula.

Utilizar operaciones y un lenguaje simbólico, formal y técnico.

Refinar y ajustar los modelos matemáticos mediante un proceso de combinación

e integración de modelos

Generalizar

Reflexión sobre

el proceso y

validación de

resultados

Comprender el alcance y los límites de los conceptos matemáticos

Reflexionar sobre las argumentaciones matemáticas y la explicación y justificación

de los resultados obtenidos.

Comunicar el proceso y la solución.

Criticar el modelo y sus límites

Tabla N°1: Categorías para el análisis de procesos de matematización en la resolución de problema

Principio

¿Cómo se trabaja desde la situación?

De actividad

(matematización)

La situación problema propuesta “El terreno más óptimo” logra generar en los estudiantes

actividad por descubrir y experimentar con los materiales proporcionados; la situación

misma involucra principalmente actividades de construcción, generalización y

formalización. Donde formalizar implica modelizar, simbolizar, esquematizar y definir, y

generalizar conlleva a la reflexión.





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De realidad La situación “El terreno más óptimo” además de ser un contexto cercano a los

estudiantes, también es comprensible e imaginable, en el sentido de lo real para

Freudenthal; sin embargo, las tareas que subyacen de la situación, están diseñadas para

que progresivamente se desprenda del contexto, para adquirir un carácter formal, donde

la situación es vista desde el punto de vista matemático y resuelto con el uso de

herramientas dentro de la misma disciplina.

De reinvención

guiada

La situación problema “el terreno más óptimo” y sus tareas, ofrecen una variedad de

estrategias de solución; pues desde un principio les permite a los estudiantes elaborar

sus propias producciones y diseños, donde muestren sus estrategias e invenciones a

otros; discuten del grado de eficacia de las mismas desde la realidad y la matemática,

siempre dirigidas y guiadas por el docente.

De interconexión La situación problemática y sus tareas, incluyen contenidos matemáticos

interrelacionados; así se trabaja aritmética, modelos de generalización, geometría con el

trabajo de formas, áreas y perímetros, análisis de datos en el diseño de tablas y gráficas

para la interpretación de la información en la situación.

De interacción La negociación explícita, la intervención, la discusión, la cooperación y la evaluación, son

elementos esenciales de la que se dota la situación problema en un proceso de

aprendizaje constructivo; en el que los métodos inicialmente informales de los estudiantes

son usados como una plataforma para alcanzar los formales. En esta situación problema,

los estudiantes son estimulados a explicar, justificar, convenir y discrepar, cuestionar

alternativas y reflexionar, cosas determinantes en los procesos de argumentación en

torno a la situación problema.

De niveles La situación problema presentada a los estudiantes se convierte en la posibilidad de

trasferir sus intuiciones y su sentido común al mundo de las matemáticas, donde se busca

que el estudiante traduzca el problema real a un problema matemático, y logren así

establecer estrategias de reflexión, generalización, prueba, simbolización y

esquematización con el objeto de lograr mayores niveles de formalización matemática.

Así, la situación problema y sus tareas, busca que los estudiantes transiten por los cuatro

niveles de comprensión de la que se basa la EMR (situacional, referencial, general y





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formal), y que en el momento del análisis retrospectivo del diseño instruccional se entrará

a debatir con mayor detenimiento.

Tabla Nº2: Principios constitutivos de la EMR aplicadas a la situación problema realista “El terreno

más óptimo”

PREGUNTAS ORIENTADORAS INTENCIÓN DEL DOCENTE

¿Qué entiende por un terreno óptimo?

¿Qué aspectos considera

indispensables para pensar en un

terreno óptimo?

Reconocer las características que le atribuyen los

estudiantes a la situación problema y sus primeras

opciones de solución.

¿Qué sugerencias le haría usted al

agricultor para cercar el terreno y que

aproveche de manera óptima el

alambre disponible?

Evidenciar nociones básicas dentro de la geometría

que puedan ser aprovechadas o consolidadas en

tareas posteriores; como figura, magnitud, superficies,

polígonos, etc.

¿Cuál sería la forma que le sugeriría al

agricultor para encerrar su cultivo con

el alambre?

Identificar el nivel de constitución que tienen los

estudiantes del objeto mental “forma” y en caso tal de

que reconozcan ciertas propiedades geométrico-

espaciales en ellas, se pueda inferir su noción

alrededor del objeto mental figura geométrica y los

fenómenos que deberían trabajarse alrededor de él.

¿Cuántos postes le sugeriría usar al

agricultor?

¿Es necesario el uso de todo el alambre

para obtener un terreno cultivable

óptimo?

Reconocer los fenómenos que los estudiantes

organizan alrededor del objeto mental forma y/o figura

geométrica, para tenerlos en cuenta en el diseño

instruccional de tareas posteriores.

Tabla N°3. Preguntas orientadoras contenidas en la encuesta para la tarea Nº 1

ACCIONES

DESCRIPTORAS TAREA Nº 1

MA

TE

MA

TIZ

AC

I

ÓN

HO

RIZ

ON

TA

L Identificar los elementos

matemáticos pertinentes al

problema situado en la

realidad.

Cuando los estudiantes se refieren con palabras como lados, vértices,

figuras, espacio encerrado, colineales, etc.; Se refieren a las relaciones

del problema con algunos conceptos propios de las matemáticas,

encontrando que una de las opciones que tienen para abordar la

situación y encontrar una solución es precisamente esta disciplina.





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Esquematizar, formular y

visualizar un problema de

varias maneras.

Representar el problema de

acuerdo con los conceptos

matemáticos pertinentes y

plantear supuestos.

Al plantear las diversas formas que podrían encerrar los 100 metros de

alambre para formar un terreno de una amplia superficie, se manifiestan

diferentes opciones tenidas en cuenta por los estudiantes, como los

cuadrados, los rectángulos, los círculos, etc. Encontrando que dirigen

sus respuestas al mundo de los contornos y las formas, aunque sus

análisis sobre ellos no sean los más profundos, son conscientes de la

variedad de opciones que tienen para representar un terreno.

Tabla N°4: Matematización horizontal en el nivel situacional presentados durante la tarea N°1

ACCIONES DESCRIPTORAS TAREA Nº 2

MA

TE

MA

TIZ

AC

IÓN

HO

RIZ

ON

TA

L

Representar el problema de acuerdo

con los conceptos matemáticos

pertinentes y plantear supuestos.

Los estudiantes traducen el problema situado en el contexto

de la agricultura a un contexto matemático; pues en él

involucran conceptos geométricos como el de longitud,

amplitud, perímetro y área, reconociendo entre ellos una

posible relación de dependencia.

Comprender las relaciones existentes

entre el lenguaje del problema y el

lenguaje formal y simbólico que se

necesita para comprenderlo en

términos matemáticos.

La evidencia de que el problema está siendo visto desde un

contexto matemático superior al anterior, es el hecho de que

los estudiantes se preocupan por encontrar formas de

perímetro fijo donde el área sea la máxima, a partir de la

práctica de la medición sobre los lados y los ángulos de sus

figuras (Ver imagen N°6).

Traducir el problema a términos

matemáticos.

El problema pasa de un nivel situacional en el contexto de la

agricultura a un problema referencial en el mundo de las

matemáticas, así: ¿Qué forma y características debe tener

una figura de 100 metros de perímetro para que el área sea

máxima? (Ver tabla N°6)

Tabla N°5: Matematización horizontal en un nivel referencial en la tarea N°2

Tarea Nº 1 Tarea Nº 2

MA

TE

MA

TIZ

AC

IÓN

El problema visto en nivel situacional El problema visto en un nivel referencial

¿Qué forma debe tener el terreno para

que la producción de tomates de árbol

sea óptima?

¿Qué forma y características debe tener una

figura de 100 metros de perímetro para que el

área sea máxima?

Tabla N°6: La situación problema visto desde el nivel situacional y referencial





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MA

TE

MA

TIZ

AC

IÓN

VE

RT

ICA

L

ACCIONES DESCRIPTORAS

TAREA Nº 3

CASO I CASO II


En ambos casos se considera que el problema puede ser abordado desde todas las figuras geométricas propuestas por los estudiantes, donde cada una tiene sus propias características y el objetivo es buscar aquella en el que se hace máxima el área. Por esta razón, los estudiantes proponen desde figuras curvilíneas como el círculo, hasta figuras regulares como el octágono; donde en determinado momento se hace necesario realizar transformaciones a los atributos físicos de estas figuras para analizar en qué manera cambian las características respecto a las iniciales.


Uso de fórmulas que relacionan el perímetro y el área de figuras geométricas, como el cuadrado y el rectángulo para concluir ciertas proposiciones matemáticas.

Utilizar un lenguaje simbólico, formal y técnico.

La deducción de proposiciones matemáticas a partir del análisis de las formas, como “Un círculo es una figura geométrica de infinitos puntos”.

La deducción de proposiciones matemáticas a partir de la relación entre perímetro y área de una figura geométrica, como “Determinadas transformaciones de las figuras conservan el perímetro pero no el área”

Generalizar1 Se obtienen proposiciones como “Una figura rectilínea cerrada nunca tiene menos de tres puntos, los cuales a su vez deben estar colíneales”

Se obtienen proposiciones como “Figuras con el mismo perímetro, no tienen la misma área”

Comprender el alcance y los límites de los conceptos matemáticos en el problema situado en la realidad.

Cuando reconocen la imposibilidad del agricultor por considerar al círculo como una opción para su terreno, por tener una cantidad infinita de postes.

Cuando reconocen que deben pensarse de manera profunda en la forma que debe tener el terreno, dado que aunque todos tienen el mismo perímetro esto no garantiza que tengan la misma área.

Reflexionar sobre las argumentaciones matemáticas y la

Los resultados presentados en el caso I y II durante los proceso argumentativos entre los estudiantes, en el que se presentan también actos de refutación, son utilizados por todos para construir reflexiones concluyentes que acercan a los estudiantes a la solución del problema, como cuando deducen que: “Para

1 Generalizar implica para Freudenthal conectar varias situaciones reconociendo características similares que permiten que se

clasifiquen dentro de un determinado tipo. (Gravemeijer, 1994, p.104).





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explicación y justificación de los resultados obtenidos.

asegurar que el terreno encierre la mayor área posible, se deben usar la mayor cantidad de postes acercándose a la construcción de un terreno circular”

Criticar el modelo y sus límites

Todas las conclusiones y proposiciones matemáticas que construyen los estudiantes, se consiguen gracias a procesos de argumentación y refutación de un modelo a otro; donde las formulas, conceptos y/o proposiciones matemáticas se usan para criticar un modelo determinado, para cambiar un argumento, para transformar un modelo erróneo en otro de mayor coherencia, etc.

Tabla N°7. Matematización vertical en un nivel general de la tarea N°3

ACCIONES DESCRIPTORAS

TAREA Nº 4

CASO I (GRUPO DE LA FAMILIA DE TRIÁNGULOS)

CASO II (GRUPO DE LA FAMILIA DE RECTÁNGULOS)

MA

TE

MA

TIZ

AC

IÓN

VE

RT

ICA

L


En ambos casos, los estudiantes se remiten al uso de casos específicos a modo de ejemplificación, para lograr compilar la mayor cantidad de evidencias para determinar que de todos los polígonos de igual perímetro, los polígonos regulares (Triángulo equilátero y cuadrado) son los de mayor área. La necesidad de abordar todos los casos posibles, exige que los estudiantes exploren y usen varios modelos con la necesidad de poder validar y darle poder a sus afirmaciones. Así recurren al uso de ejemplos específicos, representaciones geométricas de algunos polígonos, el uso de fórmulas para evidenciar alguna relación entre el área y el perímetro de las figuras dibujadas y la construcción de tablas para organizar datos y comprobar alguna recurrencia; todo con el fin de que estos modelos se conviertan en una ayuda para demostrar sus conjeturas.


Durante la exploración de los casos particulares, los estudiantes requieren del uso de modelos matemáticos preconstituidos, como el teorema de Pitágoras, los modelos matemáticos de área y perímetro de figuras planas, desigualdad triangular, etc. Teniendo en cuenta que el uso de estos modelos y formulas, no se hacen de manera independientemente; sino que se usan de manera interdependiente y relacionada para verificar una propiedad. En este sentido, el teorema de Pitágoras es usado para hallar la atura del triángulo necesaria para determinar su área, o el uso del modelo de área de un triángulo imposible de construir para verificar el teorema de la desigualdad triangular. En este punto es necesario aclarar que los estudiantes no usan los modelos y fórmulas de manera aleatoria o por la simple solución de un ejercicio, sino que su uso se da por la necesidad de representar una relación o encontrar una regularidad, esto es la dependencia entre área y perímetro de una figura-





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Utilizar un lenguaje simbólico, formal y técnico.

Los estudiantes usan un lenguaje formal dentro de la disciplina matemática; cuando abordan conjeturas de tipo matemático dentro de las cuales nombran conceptos propios de esta disciplina, como los de polígonos regulares e irregulares, figuras curvilíneas y rectilíneas, utilizan simbología matemáticas al relacionar los modelos de área y perímetro, los anunciamientos de teoremas como el de Pitágoras o el de la desigualdad triangular; hace evidente que los estudiantes abordan el problema desde las matemáticas y el contexto del agricultor es totalmente olvidado.

Generalizar Lograr construir y abordar conjeturas matemáticas con un lenguaje propio de la disciplina y con un carácter generalizable, como cuando afirman que “De los triángulos isósceles del mismo perímetro el equilátero es el de mayor área”; con lo que se puede evidenciar que los estudiantes reconocen al triángulo equilátero como un tipo especial de triángulo isósceles; o el descubrimiento del teorema de la desigualdad triangular.

Lograr construir y abordar conjeturas matemáticas con un lenguaje propio de la disciplina y con un carácter generalizable, como cuando afirman que “De los rectángulos de perímetro 100 cm, el cuadrado es el de mayor área”; con lo que se evidencia que los estudiantes reconocen al cuadrado como un tipo especial de rectángulo.

Refinar y ajustar los modelos matemáticos mediante un proceso de combinación e integración de modelos

Los estudiantes logran relacionar los modelos de área del triángulo y el teorema de Pitágoras para evaluar la imposibilidad de construcción de triángulos. En el momento en el que comprueban que valores nulos para la altura y el área de un triángulo significan la imposibilidad de su construcción, es la manera en que constituyen el teorema de la desigualdad triangular. Es decir, la combinación, integración y reflexión del modelo del teorema de Pitágoras y la fórmula del área del triángulo, permiten acceder a la comprensión de un tercer modelo, el de la desigualdad triangular.

El uso de las tablas como método efectivo para organizar los datos que obtienen a la hora de considerar varios ejemplos, son los que permiten evaluar y analizar cualquier tipo de rectángulo, aún aquellos que aunque no se muestran en la tabla se pueden apreciar y estudiar de manera implícita; como es el caso de rectángulos con longitudes de lado continuas; que aunque no se presentan en la tabla de manera explícita, cualquier valor que se considere de este tipo, puede ser ubicado entre sus valores enteros más cercanos e inferir que efectivamente los infinitos rectángulos de perímetro 100 cm se presentan en la tabla.

Tabla N°8: Matematización vertical en un nivel general en la tarea N°4

Fenómenos relacionados con el objeto

Progreso en los procesos de matematización

Ejemplo desde la situación del agricultor y los esquemas de

argumentación





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mental

Forma Los fenómenos organizados inicialmente son formas y configuraciones que se encuentran en un contexto visual (contornos y líneas de visión), con explicaciones muy ligadas a la propia situación y a la experiencia de los estudiantes.

El terreno debe tener forma cuadrada o rectangular (dato) porque todos son diseñados así (pretensión). Mi abuelo tiene un cultivo en forma rectangular (garantía).

Objeto geométrico

La forma se convierte en objeto geométrico, cuando de ellas se logran extraer características y propiedades espaciales que permiten identificarla y diferenciarla de las demás; donde las propiedades que logran extraerle los estudiantes se desprenden de las meramente sensibles. Aquí aparecen el uso de atributos geométricos de las figuras, para justificar y validar sus afirmaciones; así hablan de ángulos, lados rectilíneos, superficie, etc.

El terreno debe ser en forma circular (Dato inicial) porque es ausente de lados rectilíneos y por tanto de ángulos (Garantía) y dado que no tiene ángulos, el aprovechamiento de espacio es mayor (respaldo), y por lo tanto será la figura de mayor área (pretensión), al contrario de lo que pasa con el triángulo de Paula o el cuadrado de Ángel, que… (Refutación).

Perímetros y Áreas

Los estudiantes encuentran las relaciones existentes entre el área y perímetro de figuras planas, deduciendo ciertas conjeturas matemáticas, como que figuras construidas a partir del mismo perímetro no tienen la misma área. Para hacer explicita esta relación, se valen del uso de fórmulas matemáticas constituidas.

Determinadas transformaciones de las figuras (dato) conservan el perímetro pero no el área (pretensión). <Para garantizar esto, los estudiantes comparan el área de figuras de igual perímetro, concluyendo que no hay equivalencia entre ellas>.

Conjeturas de tipo geométrico

Los estudiantes logran constituir ciertas conjeturas de tipo geométrico en forma de enunciados que se someten a discusión a partir del trabajo experimental de los estudiantes, como una necesidad de validar lo que aseveran; básicamente en tres procesos: formular, adecuar y evaluar las conjeturas que se discuten colectivamente.

De todos los rectángulos de 100 metros de perímetro (dato), el de mayor área es el cuadrado (pretensión). Para garantizar esto, usan una tabla de organización de datos donde relacionan los rectángulos construibles a partir de un perímetro de 100 metros de perímetro con su respectiva área, garantizando que allí se encuentran todos los rectángulos de estas características y por tanto es prueba fiable de su conjetura.

Tabla N°9 Progreso en los procesos de matematización del objeto mental “figura geométrica”

durante el abordaje de la situación





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FIGURAS

Figura Nº 1. Esquema argumentativo del grupo Nº1






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Figura N° 4. Esquema argumentativo del grupo 2

Figura Nº 5. Cambio del esquema argumentativo del grupo Nº 2 dada la refutación del grupo Nº 1 que a su

vez se convierte en una nueva pretensión





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Figura N° 6. Esquema argumentativo del grupo N° 3





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Figura N° 7. Cambio del esquema argumentativo de grupo Nº 3 dado el contraejemplo del grupo Nº 1 que a

su vez se convierte en su nueva pretensión.

Figura Nº 8. Esquemas argumentativos de los grupos Nº 1 y Nº 2 respectivamente.

Figura N°9. Esquema argumentativo del grupo 1





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Figura N°10. Esquema argumentativo del grupo 2, modificado por la intervención a modo de

refutación del grupo 1.





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IMAGENES

Imagen N°1. Ejemplo de cuestionario de la encuesta en la tarea N°1





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Imagen Nº 2. Cuestionario diligenciado por el grupo Nº 2





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Imagen 3: Cuestionario diligenciado por el grupo N° 2





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FIGURAS







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Figura N° 4. Esquema argumentativo del grupo 2

Figura Nº 5. Cambio del esquema argumentativo del grupo Nº 2 dada la refutación del grupo Nº 1 que a su

vez se convierte en una nueva pretensión





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Figura N° 6. Esquema argumentativo del grupo N° 3

Figura N° 7. Cambio del esquema argumentativo de grupo Nº 3 dado el contraejemplo del grupo Nº 1 que a

su vez se convierte en su nueva pretensión.





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Figura Nº 8. Esquemas argumentativos de los grupos Nº 1 y Nº 2 respectivamente.

Figura N°9. Esquema argumentativo del grupo 1





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Figura N°10. Esquema argumentativo del grupo 2, modificado por la intervención a modo de

refutación del grupo 1.

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