Analiza cinematica a mecanismelor cu roi
1. Generalitati. Definiii 2. Mecanisme cu elemente dintaate. Angrenaje cilindrice si conice 3. Trenuri de roti dintate ordinare 4. Trenuri de roi dinate cicloidale 5. Analiza cinematic a mecanismelor cu elemente de frecare
1. Generaliti Mecanismele cu roi (de friciune sau dinate) servesc transmiterii i/sau transformrii micrii
de rotaie. Acest tip de mecanisme este foarte rspândit din cauza faptului c majoritatea motoarelor (surselor de energie mecanic) sunt rotative, iar micarea produs de acestea, de multe ori, trebuie adaptat (dup caz, crescut turaia sau puterea).
Fig.1 Transmisie cu roi dinate
De exemplu, un motor produce o micare rotativ cu viteza unghiular s
rad i 100 , dar
elementul de execuie (elementul condus/de ieire) trebuie s aib o vitez unghiular de
s
rad e 200 . În acest caz se poate folosi o transmisie cu roi dinate, multiplicatoare, dezavantajul
care apare odat cu folosirea unei transmisii fiind scderea cuplului transmis, direct proporional cu factorul de cretere al vitezei unghiulare/turaiei (în cazul de fa, la elementul de ieire, turaia se dubleaz dar cuplul se injumtete). Acest fenomen funcioneaz i în sens invers, dac elementul condus are vitez unghiular/turaie mai mic decât elementul motor, cuplul transmis de la elementul motor la elementul condus va fi amplificat. Prin transmisie se înelege un mecanism cu cel putin dou roi în angrenare. Astfel apare un parametru cinematic adimensional numit raport de transmitere, definit ca raportul dintre viteza unghiular a elementului “i” de intrare (conductor sau motor) i viteza unghiular a elementului „e” de ieire (condus). Raportul de transmitere se noteaz cu i (a nu se confunda cu notarea i pentru elementul de intrare) si se exprima prin relatia (1).
e
(1)
Într-un lan cinematic dat, având atribuite numere de ordine pentru fiecare element, indexarea se face în concordan cu numerotarea respectiv.
Din relaia (1) se observ c dac
1iei - transmisia este reductoare ie
1iei - transmisia este amplificatoare/multiplicatoare ie
Raportul de transmitere poate fi constant (Fig.1), dac se menine în timp factorul de amplificare între viteza elementului de intrare i ieire, sau variabil, dac acest factor se modific în timp.
Raportul de transmitere poate fi variabil
ciclic, pe perioada unui ciclu de funcionare – în cazul transmisiilor cu roi dinate necirculare – Fig.2a
comandat, dac se intervine din exterior – în cazul variatoarelor Fig.2b i a cutiilor de vitez Fig.2c
La cutiile de vitez raportul de transmitere se modific în trepte, iar la variatoare raportul de transmitere poate lua orice valoare într-un interval dat.
a) Roti dintate necirculare – raport de transmirere variabil
ciclic
comandat prin pozitionarea benzii
transmitere variabil comandat prin pozitionarea grupului balador
Fig. 2 Transmisii cu raport de transmitere variabil
Se numete treapt de transmisie sau angrenaj o pereche de dou roi care intr în angrenare. Se recomand ca raportul de transmitere pentru o treapt s fie cuprins între limitele 6.3 – 1/6.3, maxim 10 – 1/10. Pentru a se obine valori mai mici sau mai mari pentru raportul de transmitere se pot cupla (înseria) mai multe trepte de transmitere, obinând astfel un tren de roi dinate sau de friciune.
Fig 3 Tren de roi dinate
Pentru exemplificare, în Fig 3 este reprezentat un tren de roi dinate care face legtura între elementul 1 motor i elementul 6 condus. Se pot observa 3 trepte în aceast transmisie, prima treapt format din perechea de roi 2-3, a doua 3’-4 i a treia 4’-5.
Poziiile relative ale axelor de rotaie ale unei perechi de roi coincid cu posibilitile de aezare a dou drepte, adic: paralele, concurente sau oarecare.
Transmiterea micrii de rotaie între axe paralele se face prin intermediul transmisiilor cilindrice, între axe concurente prin transmisii conice, iar între axe oarecare prin transmisii hiperboloidale (încruciate).
La nivelul unei perechi de roi, transmiterea micrii de rotaie se poate face prin contact direct sau prin intermediul unui element flexibil intermediar. Transferul energetic (prin intermediul forelor) între cele dou roi ale unei trepte se poate face prin form/angrenare (transmisii cu roi dinate, cu lanuri i curele dinate), respectiv prin fo (transmisii prin frecare). O discutie cu privire la modul de obtinere a formei rotilor dintate este prezentata in Anexa 1 - Axoizii micrii relative. Aici se demonstreaza ca forma geometrica a doua elemente aflate in contact si ce trebuie sa transmita miscarea de rotatie este functie de pozitia axelor de rotatie:
- axe oarecare - hiperboloid cu o pânz - axe concurente – con - axe paralele – cilindru
Astfel pozitiile relative a axelor de rotatie produc angrenaje cilindrice sau conice
2. Mecanisme cu elemente dinate. Angrenaje cilindrice si conice
Aa cum s-a spus mai sus, micarea de rotaie poate fi transmis prin for (roi de friciune) sau prin form/angrenare (roi dinate, roi de lan sau curele cu dini). În continuare se va discuta despre cazul transmisiilor cu roi dinate. Pentru acestea, transmiterea micrii se realizeaz prin intermediul formei suprafeei pe care o au roile care intr în contact. Suprafaa în contact poate fi exterioara sau interioar (Fig.9) i prezint o succesiune de proeminente (dini) i caviti (goluri) (Fig.8a) prin intermediul crora se asigur transmiterea micrii (prin form) de la o roat la alta (Fig. 8b), astfel realizându-se o cupl cinematic de clasa a IV-a superioar. Modul standardizat de reprezentare in schema cinematica a unei roti dintate este prezentat in Fig. 9, utilizând linie punctat pentru simbolizarea coroanei dinate in vedere frontal. În Fig. 9a se prezint o vedere frontal i una lateral asupra schemei cinematice pentru un angrenaj cilindric exterior.
a. b.
Fig.8 Roi dinate a. imagine a unei roi dinate, b. dou roi dinate în angrenare
a. b. Fig.9 Schema cinematic a unui angrenaj a. cilindric exterior b. cilindric interior
Din Fig.9 se observ c viteza periferic a celor dou roi în punctul de contact trebuie s fie egal (dac nu ari fi egale cele dou viteze roile ar aluneca una fa de cealalt, lucru imposibil din cauza dintilor), ca urmare se poate scrie relaia:
202101 RRv (2)
semnul minus fiind justificat in situatia rotilor cilindrice exterioare, cand cand se schimba sensul vitezei unghiulare
Relaia (2) poate fi rescris astfel:
1
2
20
10
R
10 i
de unde se poate scrie relatia de definitie a raportului de transmitere:
1
2
20
(4)
În micare, danturile celor dou roi dinate în angrenare asigur parcurgerea unor arce egale, astfel, distana msurat pe arc între cele dou profile consecutive de acelai fel (omoloage) poart denumirea de pas. Rezult astfel condiia necesar pentru realizarea transmiterii prin form a micrii de rotaie, anume, ca danturile celor dou roi în angrenare s aib acelai pas (pe cercurile de rostogolire). Pasul ar reprezenta, în acesteste condiii, parametrul dup care s-ar standardiza roile dinate. Datorit faptului c acesta rezult un numr iraional, din condiia:
zpR 2 (5)

p m care poart denumirea de modul.
Deci condiia necesar a angrenrii devine egalitatea modulelor celor dou roi dinate.
Dac se pornete de la relaiile (4) i (5), în cazul unui angrenaj cilindric exterior, se pot scrie urmtoarele relaii:
1
2
1
2
1
2
1
2
20
1
2
1
2
20
(7)
Semnul minus apare în relaia (18) în cazul roilor cilindrice cu contact exterior datorit faptului c sensul de rotaie al roii conduse este opus sensului de rotaie al roii conductoare (vezi Fig.9a) Relaia (6) i (7) face legtura între raportul de transmitere i numrul de dini pentru cele dou roi dinate. Aceasta este valabil i în cazul angrenajelor cu roi hiperboloidale sau conice Fig.10, forma general a raportului de transmitere fiind urmtoarea:
1
Clasificarea angrenajelor
1.dupa pozitia relativa a arborilor: - cu arbori paraleli (a,b,c,d) - cu arbori concurenti (e,f) - cu arbori neconcurenti (g,h)
2.dupa forma roilor: - Cilindrice (a,b,c) - Conice (e) - Hiperboloidale (d,f) - Melcate (h) - Cremalier (g) - necirculare (Fig.2a)
3. Dup orientarea dinilor - Drepi (a,c,e,g) - Înclinai (b) - Curbi (f,h) - În V (d)
3.dupa tipul angrenarii: -exterioara (a,b,d,e,f,g,h) -interioara (c) 4.dupa specificul miscarii: -fara transformarea miscarii de rotatie -cu transformarea miscarii de rotatie in miscare de translatie si invers (g)
3. Trenuri/transmisii cu roi dinate ordinare Se dorete determinarea strii de micare (de obicei vitez) a roii conduse în funcie de starea de micare a roii conductoare. Trenurile/transmisiile cu roi dinate se impart în dou categorii:
ordinare – dac toate axele roilor au poziii fixe în spaiu: Fig.9, Fig.10, Fig.11
cicloidale – dac cel puin o roat nu are axa fixa (are o axa mobil) 3.1 Trenuri de roi dinate cilindrice ordinare
Fig.11 Tren de roi dinate ordinare








'1'3'21
se noteaz cu k numrul angrenajelor exterioare din tren/transmisie
În funcie de valoarea pe care o are raportul de transmitere ni1 , trenurile de roi dinate pot fi:
reducttoare de turaie (sau simplu “reductoare”), dac 11 ni
amplificatoare de turaie, dac 11 ni
3.2 Trenuri ordinare de roi dinate conice
1 A
2´(z )
Fig. 12 Tren ordinar de roti dintate conice
Pentru cazul rotilor dintate conice exist o categorie suplimentar de marimi ce pot determina raportul de transmitere, anume unghiurile pe care le formeaz axele celor dou roti dintate conice in angrenare. Astfel se pot scrie relatiile urmatoare:
1
2
2
i
'
Trenurile de roti dintate pot fi alctuite inclusive prin combinarea angrenajelor cilindrice sau conice.
3.3 Transmisii cu roi dinate melcate
Fig.22 Angrenaj melc-roatmelcat
Pentru mecanismul din Fig.22, unghiul dintre axe este de 900, iar una dintre roi, cea conductoare în general, are un numr foarte mic de dini (1..4), degenerând într-un urub (numit melc). i în acest caz, raportul de transmitere este:
1
z i
În general, la acest tip de mecanism micarea se transmite de la melc la roata melcat, transmiterea în sens invers fiind nefavorabil din cauza unghiului de presiune mare care apare între roat i melc. Dac se consider roata avnd 30 de dini, i melcul un dinte (urubul - un început), raportul de transmitere rezultat este 30. 3.4 Transmisie roat dinat - cremalier
Fig.23 Pinion-Cremalier
Mecanismul din Fig.23, servete la transformarea micrii de rotaie într-o micare de translaie i viceversa. Raportul de transmitere depinde de pasul danturii.
4. Trenuri de roi dinate cicloidale 1. Analiza structurala 2. Analiza cinematica
4.1a Analiza structurala a transmisiilor planetare cu roi dinate Transmisiile planetare cu roti dintate sunt folosite la obinerea unor rapoarte de transmitere foarte mari sau foarte mici utilizând un numr relativ mic de roi dinate, mecanismele fiind relativ compacte (ocup un volum mic) Fig.14
Fig.14 Transmisie planetar cu roi dinate
Un mecanism planetar este compus din urmtoarele elemente: 1. bra port-satelit 2. roat satelit 0. coroana mecanismului cicloidal - fixat 3. roata central (solara) Pentru mecanismul din Fig.14 se calculeaz gradul de mobilitate:
numarul de elemente 4n
numarul de cuple de clasa a 5-a 35 c
numrul de cuple de clasa a 4-a 24 c
gradul de mobilitate
54 2)1(3 ccnM
1M În mod uzual se fixeaz roata central, dar se pot fixa oricare din elementele care compun
mecanismul planetar. In general, o transmisie cicloidal este alctuit din una sau mai multe roi centrale sau solare având axele fixe în spaiu, una sau mai multe roi cu ax mobile, numite satelit (sau roi planetare) i un bra port-satelit care asigur poziia reciproc a precedentelor i micarea de revoluie a axei (axelor) mobile. Pentru mecanismele prezentate în Fig.12 i Fig.14, în realitate se folosesc mai multe roi satelit pentru o transmitere mai eficient a forelor i scderea uzurilor. O asemenea construcie este prezentat in Fig.15, în stânga - poziia iniial, în dreapta – roata central rotit aprox 1800 produce o rotire a braelor port-satelit cu aprox. 300
Fig.15 Mecanism planetar [wikipedia]. Mecanism planetar (a nu se confunda cu mecanismul planetar
cu roi dinate)
A nu se confunda mecanismul cu roi dinate planetar (Fig.15 stanga) cu mecanismul planetar (Fig.15 dreapta) folosit la transmiterea micrii de la transmisie la roat sub orice unghi pentru puntea motoare a unui autoturism. 4.1b Analiza structurala a transmisiilor difereniale Mecanismele diferentiale se utilizeaz la compunerea, prin sum sau prin diferen, a dou sau mai multe micri de rotaie (de unde i denumirea de diferenial). Ele pot fi utilizate la descompunerea unei micri de rotaie (de exemplu micarea produs de un motor) în dou sau mai multe componente, cum ar fi cazul diferenialului de la automobil Fig.13. Video: Funcionarea unui mecanism diferenial http://www.youtube.com/watch?v=F40ZBDAG8-o Un mecanism diferenial este compus din urmtoarele elemente: 1. bra port-satelit 2. roat satelit 3. coroana mecanismului cicloidal 4. roata central (solara)
Fig.12 Mecanism diferenial
numarul de elemente 5n
gradul de mobilitate
54 2)1(3 ccnM
2M
Având în vedere c 2M este nevoie de dou elemente motoare pentru a obine o micare univoc, ceeace demonstreaz ideea de compunere a dou micri prin sum sau diferen.
Fig. 13 Mecanism diferenial cu roi dinate conice folosit la automobil
Mecanismul diferenial prezentat în Fig.13 este antrenat de elementul motor. Acesta transmite
mai de parte micarea la elementul 1 care este solidar cu elementul 1’ – port satelit, roile 2 i 2’ fiind sateliii. Sateliii sunt în angrenare cu elementele 3 solidar cu elementul condus stânga i 4 solidar cu elementull condus dreapta, producând micarea acestora. Se subliniaz faptul c elementul 1’ se mic independent de elementul 4.
4.2 Analiza cinematic a trenurilor de roi dinate cicloidale se poate face prin dou metode care au ca scop determinarea raportului de transmitere i a vitezei unghiulare pentru elementele care compun mecanismul: 1. Metoda analitic – Willis, Robert (publicata în 1957) 2. Metoda grafo-analitica – Kutzbach, Karl (publicata în 1913) (prezentata in Anexa 2) 4.2a. Metoda analitic – Willis. Mecanism planetar Calculul raportului de transmitere, respectiv a vitezei unghiulare pentru elementele ce alctuiesc mecanismul cicloidal (planetar sau diferenial) se poate realiza prin transformarea mecanismului într-
unul ordinar. Aceasta se realizeaz prin rotirea întregului mecanism cu o vitez unghiular satelitport ,
obinându-se astfel staionarea aparent a braului port-satelit.
Fig.17 Transmisie planetar cu roi dinate
Pentru mecanismul planetar din Fig.17 se dorete determinarea raportului de transmitere 13i .
Se fixeaz braul port-satelit 1, prin aplicarea unei viteze unghiulare 1 întregului mecanism, ca
rezultat, elementul 0 nu va mai fi fixat, ci va avea o vitez unghiular egal cu 1 . Analog, la viteza
unghiular a elementului 3 va fi adugat 1 . În condiiile acestea se determin raportul de
transmitere de la elementul 0 la elementul 3 când elementul 1 este fixat:
1 1 13
(24)
Relaia (23) reprezint legtura dintre raportul de transmitere real, i cel obinut prin fixarea
braului port-satelit numit raport de transmitere aparent, relaia (24) reprezint raportul de transmitere al transmisiei ordinare obinut prin fixarea braului port-satelit al transmisiei planetare.
Egalând relaiile (23) i (24) se poate determina raportul de transmitere 13i :
0
3
13
13
(26)
Dac raportul de transmitere este pozitiv, viteza unghiular de la ieire are acelai sens cu viteza unghiular la intrare. 4.2b. Metoda analitic – Willis. Mecanism diferential În Fig.18 se prezint un mecanism diferenial. Se dorete determinarea raportului de transmitere pentru acest mecanism i a vitezei unghiulare a elementului de ieire 4. Se fixeaz braul
port-satelit prin rotirea mecanismului 2 . Având în vedere c mecanismul diferenial are gradul de
mobilitate 2, se presupun cunoscute vitezele unghiulare 1 i 2 .
Fig.18 Transmisie diferenial cu roi dinate
Se determin raportul de transmitere aparent (raport de transmitere intrinsec):
24
21)2(
14
din relaiile (27) i (28) se poate determina 4 .
Se va ine cont de sensul vitezelor unghiulare ale elementelor motoare. Semnul lui 4 va indica
daca sensul de rotire este acelai cu cel al lui 1 i 2 .
4.2c. Analiza cinematic a trenurilor de roi dinate cicloidale conice
Fig.22 Tren de roi dinate conice – tip diferenial; Poligonul vitezelor
Metoda analitic
Se imprim întregului ansamblu o micare de rotaie cu 1 , braul port-satelit devenind aparent
staionar, ar mecanismul aparent ordinar.
3
4
2
3
14
12)1(
(39)
semnul minus din relaia (39) semnificând un sens de rotaie invers lui 1 , acesta fiind determinat din
aproape,în aproape urmrind angrenajele mecanismului.
Din relaia (39) se poate determina 4 de ieire, inând cont c 1 i 2 sunt presupuse
cunoscute. Metoda grafo-analitic
La fel ca în cazul metodei analitice, se dorete determinarea vitezei unghiulare de ieire 404 .
Pentru aceasta, se pornete de la 101 i 202 (viteza unghiular a lui 1 i 2 în raport cu
elementul fix 0), se calculeaz 30 , si apoi 40 .
Pentru determinarea lui 30 se rezolv urmtorul sistem de ecuaii vectoriale prin metoda grafic:
322030
311030
Iar pentru determinarea lui 40 :
433040 (41)
cu Ox||40
5. Analiza cinematic a mecanismelor cu elemente de frecare 5.1. Transmiterea micrii prin contact direct intre elemente 5.2. Transmiterea micrii cu element intermediar flexibil
5.1 Transmiterea micrii prin contact direct intre elemente Transmiterea micrii de rotaie de la un element la altul se poate face i prin intermediul forelor de frecare rezultând mecanismele cu roi de friciune. Se consider mecanismul cu roi de friciune cilindrice din Fig.24. El va putea funciona doar în cazul în care fora exterioar Q va apsa roile de friciune una peste cealalt. Ca urmare a acestei aciuni apare fora de frecare periferic:
QF f (42)
Fig. 24 Transmiterea micrii prin roi de frecare
Puterea care va putea fi transmis folosind acest tip de angrenaj este limitat, relaia este determinat dup cum urmeaz:
2
fF - fora de frecare periferic
2D - diametrul roii 2
2 202 (45)
Se menioneaz c zona de contact dintre cele 2 elemente este de tip Hertzian. Din relaia (45) se poate concluziona c puterea transmis printr-un angrenaj cu roi de frecare poate fi mrit prin dou metode:
1. creterea coeficientului de frecare dintre cele dou elemente (de exemplu prin schimbarea perechii de materiale folosite pentru cele dou roi) 2. creterea limii de contact dintre cele dou elemente notat cu l.
Metoda 2 este prezentat în Fig. 25 unde în roile de friciune sunt prelucrate nite canale.
Fig. 25 Roi de friciune canelate
Pentru cazul acesta, fora de frecare devine:


Q Ff (46)
La depirea valorii maxime a puterii transmisibile, apare fenomenul de patinare a roilor de friciune, caracterizat de alunecarea relativ a zonelor de contact. Din cauza acestui fenomen se recomand utilizarea doar în anumite condiii a roilor de friciune pentru mecanisme de precizie.
Transmiterea micrii prin forele de frecare periferice se realizeaz cu deformarea elasitc a zonei de contact – Fig.24. Aceasta se numete alunecare elastic i determin ca vitezele periferice ale celor 2 roi în zona de contact s nu fie egale, iar roata condus va rmâne în urm. Raportul de transmitere se va determina dup cum urmeaz:
BA vvv (47)
unde Av
v - coeficient de alunecare elstic, i se poate determina din graficul prezentat în Fig.26
iar 1 2
Se poate calcula raportul de transmitere:



Fig.27 Transmisie prin curea – configuraie direct



D i
Se noteaz cu 1 i 2 elementele de tip roat i cu 3 elementul de tip flexibil care asigur transmiterea micrii între cele dou elemente de tip roat. Elementul 3 – curea este supus la traciune în partea de sus a mecanismului dar în partea de jos (între punctele A i B) este nesolicitat, rezultând astfel detensionarea elementului flexibil. Acest fenomen conduce la efecte nedorite cum ar fi o patinare accentuat sau vibraii introduse în sistemul mecanic. Problema se poate soluiona întinzând aceast
zon, fie prin creterea distanei dintre elementele 1 i 2, punctul O putând s execute o micare de translaie, fie prin introducerea unor role întinztoare intermediare.
Fig.28 Transmisie prin curea – configuraie în cruce



Fig.29 Tipuri de curele
În Fig. 29 sunt prezentate câteva tipuri uzuale de curele folosite pentru transmiterea micrii: a. – curea lat b. – curea rotund (funie, cablu) c. – curea trapezoidal d. – curea lat dinat (curea sincron) – micarea se transmite datorit dinilor curelei
Fig. 30 Transmisie cu fir flexibil
În Fig. 30 se prezint un mecanism cu element elastic pentru transmiterea micrii de rotaie în
care raportul de transmitere este variabil în funcie de profilul unei roi.
Anexa 1. Transmiterea micrii de rotaie. Axoizii micrii relative Aa cum s-a artat mai sus, transmiterea micrii de rotaie se realizeaz cu ajutorul unor elemente de tipul roilor. Pentru a determina forma geometric a acestor roi în contact direct se vor determina axoizii micrii relative pentru cele 3 cazuri de poziionare relativ a celor dou axe între care se realizeaz transmiterea micrii de rotaie. Cazul general este cel al axelor oarecare (încruciate) – Fig.4 din care, prin particularizri se pot obine cazurile axelor paralele, respectiv concurente. Pentru cazul general, se dorete demonstrarea faptului c forma obinut este un hiperboloid cu o pânz.
Fig. 4 Angrenaj hiperboloidal – poziia relativ a axelor este necoplanar [xxx]
Fig.5 Axele necoplanare (încruciate) ale unu angrenaj hiperboloidal
Se consider elementul 1, rotindu-se în jurul axei "' 11 OO cu viteza unghiular 10 i elementul
2 care se rotete în jurul axei "' 22 OO cu viteza unghiular 20 . Poziia celor dou axe este încruciat în
spaiu sub unghiul cunoscut, dreapta 21OO fiind perpendiculara comun a lor – Fig.5.
Pentru a analiza micarea celor dou elemente, se d întregului ansamblu o micare de rotaie
cu viteza unghiular 10 în jurul axei "' 11 OO .
În felul acesta, elementul 1 va sta pe loc (aparent) iar elementul 2 va avea o micare complex
compus din rotaia în jurul axei proprii "' 22 OO i din rotaia în jurul axei "' 11 OO (axa elementului 1
fixat acum). Suma celor dou micri este o micare elicoidal, având axa instantanee de rotaie notat
cu "' II , care intersecteaz în punctul I perpendiculara comun 21OO a axelor i formeaz cu acestea
unghiurile 1 i 2 .
i raportul de transmitere 12i este cunoscut.
Micarea elicoidal dup axa instantanee "' II rezultat în urma compunerii celor dou micri are viteza unghiular:
201012 (2)
122012100 (3)
1
2
20
i (5)
Folosind relaiile (1) i (5) se pot determina unghiurile 1 i 2 , axa "' II fiind i ea
perpendicular pe normala comun 21OO
Pentru a determina punctul I de intersecie a axei instantanee de înurubare "' II cu normala comun se consider acest punct ca aparinând atât elementului 1 cât i elementului 2, adic punctul lor
de contact. Vitezele punctelor în contact 1I i 2I au valorile:
1101 RvI (6)
2202 RvI (7)
iar viteza relativ a punctului 1I aparinând elementului 1 i 2I aparinând de elementul 2 va fi:
2201102112 RRvvv III (8)
i este paralel cu direcia "' II deci i cu 12
Înmulind vectorial la stânga relaia (8) cu 12 i dezvoltând dublele produse vectoriale rezult:
)( 2201101212 12 RRvI (9)
dar 0 1212 Iv
)()(0 2201211012 RR (10)
0)()()()( 20122212201012111210 RRRR (11)
dar 0112 R i 0212 R (vectori perpendiculari), astfel relaia (11) devine
0coscos 220122110121 RR (12)
Din (12), cu 1R i 2R colineari, 012 i 1
2
20
(13)
din care se determin 1R i 2R , adic poziia lui I
Din relaiile (1), (5) i (13) rezult c axa "' II ocup o poziie invariabil în raport cu axele
"' 11 OO i "' 22 OO .
În aceste condiii, la aplicarea micrii ipotetice suplimentare de rotaie cu viteza unghiular
10 în jurul axei "' 11 OO , axa "' II va genera o suprafa de rulet care reprezint un hiperboloid cu o
pânz pentru elementul 1. În mod asemntor, relativ la axa "' 22 OO , se obine configuraia
elementului 2 tot sub forma unui hiperboloid de rotaie cu o singur pânz. Deci, axoizii micrii relative în cazul axelor de rotaie încruciate sunt hiperboloizi de rotaie cu
o singur pânz, tangeni dup axa "' II - Fig.4. (Generarea unui hiperboloid prin rotirea unei linii în jurul unei axe, linia generatoare necoplanar fa de ax, http://www.youtube.com/watch?v=Gsi0j9VUbow)
Cazuri particulare Cazul 1. Dac axele de rotaie a elementelor 1 i 2 sunt paralele,atunci
021 (14)
Fig.6 Axoizii micrii relative – cilindrii (cazul axelor paralele)
Cazul 2. Dac axele de rotaie a elementelor 1 i 2 sunt concurente,atunci lungimea normalei comune devine nul, adic
210 RRl (16)
1
2
1
2
20
Fig.7 Axoizii micrii relative – conuri (cazul axelor concurente)
Se observ c axoizii micrii relative sunt în acest caz conuri circulare drepte – Fig.7. Generatoarea
comun este identic cu axa "' II care devine ax instantanee de rotaie deoarece conform relaiei (8),
0 2112 III vvv . Punctul P este un punct oarecare pe generatoarea comun "' II
Anexa 2. Metoda grafo-analitic – Kutzbach
Metoda se bazeaz pe distribuia vitezelor dispuse pe raza unui disc rotitor. Viteza punctului A va crete liniar odat cu deprtarea acestuia de centrul discului.
Fig. 19 Distribuia vitezelor pe un disc
Pornind de la viteza punctului A, se dorete determinarea vitezei unghiulare a discului:
rv (29) sau
rv (30) i
mzd (31) unde d – diametrul discului (roii dinate) m – modulul roii dinate
2
(33)
unde vk este scara la care se face reprezentarea vectorilor vitez
sk
r Oa (34)
unde sk este scara la care se face reprezentarea vectorilor de poziie pentru punctul A
v
s
k
k
r
r
Oa
tg k
v (36)
Starea de micare a unui element este determinat de vitezele a dou puncte distincte aparinând elementului.
φ
Pentru a face analiza unui mecanism prin aceast metod, se face schema cinematic a mecanismului la scar i se proiecteaz punctele pe o dreapt de vitez nul, dup care se compun vectorii, si rezult viteza unghiular cutat la scar.
În Fig.20 se prezint un mecanism planetar. Se dorete analizarea acestuia folosind metoda grafo-analitic Kutzbach.
Fig.20 Metoda Kutzbach pentru un mecanism planetar
Pentru aceasta se deseneaz schema cinematic a mecanismului la scar. Se traseaz sistemul
de coordonate vOr, astfel încât Ov s treac prin axa de rotaie a braului port-satelit. Pentru a reprezenta viteza punctului B, se traseaz o paralel la axa Ov prin punctul B al mecanismului, aceasta intersectând axa Or în punctul b. Se reine acest punct pentru c viteza punctului B este 0, punctul B aparinând de elementul fix. Se reprezint viteza punctului C, trasând o paralel la axa Ov prin punctul C al mecanismului.
Aceasta intersecteaz axa Or în punctul c. Pe aceast direcie se traseaz la scar vectorul 'cc la scara
sk .
32 32
mzmz rrlOc
Se unesc punctele c’ i O prin dreapta (1), rezultând astfel unghiul 1 .
Construim dreapta (2) prin unirea punctelor b i c’. Se reprezint viteza punctului A, trasând o paralel la Ov prin punctul A al mecanismului.
Aceasta se intersecteaz cu axa Or în punctul a, i cu dreapta (2) în punctul a’, vectorul 'aa
reprezentând viteza punctului A la scara sk .
s
' , unde 'aa se msoar pe figur
Se unesc punctele a’ i O prin dreapta (3), rezultând astfel unghiul 3 .
Se calculeaz raportul de transmitere: 3
1
3
1
3
k
i
s
v
s
v
(37)
Pentru o determinare mai rapid i mai simpl, se poate face urmtoarea construcie: se consider punctul p arbitrar pe axa Or. Prin acesta se traseaz o paralel la axa Ov. Paralela intersecteaz dreapta (1) în m i dreapta (3) în n.
Se poate scrie relaia: pn
pm
Op
pn
Op
pm
tg
(38)
lungimile segmentelor pm i pn fiind msurate pe grafic. În Fig.21 se prezint un mecanism diferenial pentru care se dorete efectuarea analizei cinematice prin metoda Kutzbach.
Fig.21 Metoda Kutzbach aplicat la un mecanism diferenial
Pentru c se cunosc vitezele 1 i 2 , se scriu relaiile pentru vitezele punctelor A i B,
OaA lv 1 s
31 31
mzmz rrlOb
Se construiete dreapta (3) prin unirea punctelor a’ i b’. Pentru a obine punctul c’, se unete dreapta (3) cu paralela la Ov prin punctul c. Lungimea lui cc’ se va determina prin msurare, lungimea lui Oc este
egal cu r4, deci se poate determina 4
Oc
k
k
s
v