analitica rm resueltos
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.Problemas Propuestos1. Dada la recta L :2x+4 y=4, halle su pendiente y su gráfica.
A) m=−72
B) m=−12
C) m=12
D) m=−12
E) m=34
SOLUCIÓN:
2 x+4 y=0
4 y=−2 x+4
y=−12
x+1”.
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2. Si L :3x+2 y=2, halle la ecuación de la recta L1 perpendicular a L y que pase por el punto (4 ;2)
A) 4 x−3 y+10=0B) 4 x+3 y−10=0C) 4 x+3 y+10=0D) 4 x−3 y−10=0E) 5 x−3 y+10=0
SOLUCIÓN:
3 x+2 y=2
4 y=−3 x+2
y=−34
x+ 12
y− y0=m(x−x0)
y−2=43(x−4)
Respuesta: 4 x−3 y−10=0
3. Dadas las rectas L1: −2 x+ y=−2 y L2:: x+ y=7, indique si son paralelas y halle su punto de intersección, si es que son secantes.
A) Son paralelasB) No son paralelas; L1⋂L2¿(5; 4)C) No son paralelas; L1⋂ L2¿(4 ;5)D) No son paralelas; L1⋂ L2 ¿(4 ;3)E) No son paralelas; L1⋂ L2 ¿(3; 4)
SOLUCIÓN:
−2 x+ y=−2 x+ y=7 −3 x=−9 x=3 ; y=4. Clave E.
4. Halle el perímetro de un triángulo cuyos vértices son (4 ;6 ) , (6 ;1 ) , (2; 9).A) √13+√5+√29B) √13+√29+4 √5C) √13+√29+√7D) √29+4 √13+√5
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E) √5+√13+4 √29
SOLUCIÓN:
d1=√(6−4)2+(1−6)2
d1=√29
d2=√(2−4)2+(9−6)2
d2=√13
d3=√(2−6)2+(9−1)2
d3=4√5
√13+√29+4 √5
Clave B.
5. El ángulo de inclinación de una recta mide 135°. Si pasa por los puntos (−3 ; y ) y (−5 ;4). Calcule “y”
A) 2B) 3C) 4D) 5E) 6
SOLUCIÓN:
tg∝=y2− y1x2−x1
tg135=4− y
−3−(−5)
1=4− y2
2=4− y→ y=2. Clave A.
6. Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto (2/3 ;11 /3) y por la intersección de las rectas 3 x−5 y−11=0 y 4 x+ y−7=0
A) −7 x+2 y−12=0
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B) 7 x−2 y−12=0C) 7 x+2 y−12=0D) 7 x+2 y+12=0E) 7 x−2 y+12=0
SOLUCIÓN:
3 x−11=5 y
3x−115
=7−4 x
x=2
Luego:
y=7−4 y
y=3 (2 )− y5
y=−1.
y=−72
x+ 52
7 x+2 y−5=0
7. Calcule el área de un polígono cuyos vértices son (2 ;6 ) , (4 ;5 ) , (0 ;0 ) ,(3 ;1)
A) 12,5u2
B) 15u2
C) 25u2
D) 10,5u2
E) 21u2
SOLUCIÓN:
2465
032
016
S=|28−26|2
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S=22=1
8. Dos rectas paralelas L1 y L2 pasan por A (0 ;3 ) y B(3 ;0), respectivamente y determinan regiones de área iguales con los ejes coordenados. Halle la ecuación de la recta L2.
A) x− y+3=0B) x+ y−3=0C) x+ y+3=0D) x− y−3=0E) x−2 y+6=0
SOLUCIÓN:
Graficando:
m=1 y−0=1(x−3) y=x−3
9. Dada la recta L1: x− y+5=0y los puntos A (−1 ;0 ) y B(2 ;3). Halle el punto C
que pertenece a la recta dada de modo que AB=BC.
A) (3 /2 ;7 /2)B) ¿ ; −3/2)C) ¿ ; −7 /2)D) ¿ 7 /2)E) (5 ;3)
SOLUCIÓN:
y=x+5 m=1
d BC=√(2+ 32 )2
+(3−72 )2
=√ 14 + 494
=5√22
d AC=√(−1+32 )2
+(0−72 )2
=√ 14 + 494
=5√22
Como vemos, las distancias son iguales, así que las coordenadas son ¿)
10.Dados los puntos A (−1 ;4 ) . B (3;1 ) ,C (−2 ;−2 ) y D (7 ;4 ) .Halle la ecuación de la recta que pasa por G y por el punto medio de BD si G es baricentro del triángulo ABC.
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A) 7 x+3 y+6=0B) 3 x+11 y+3=0C) 3 x−10 y+10=0D) 2 x+7 y+13=0E) 7 x+6 y+8=0
SOLUCIÓN:
G(x= x1+ x2+x33
; y=y1+ y2+ y3
3 ) G(x=−1+3−2
3;4+1−23 )
G (0 ;1 ).
x0=7+32
=5 ; y0=4+12
=52
(5 ; 52 ).
m=
52−1
5−0=310
y−1= 310
(x−0)
3 x−10 y+10=0Clave C.
11.Halle la pendiente de la recta que pasa por el punto medio del segmento que une los puntos M (−3;2 ) y N (7 ;6 ) y el punto P(x ; y), tal que
AP :PB=1 :2; siendo A (0 ;−2 ) y B(5 ;0)
A) 10B) 12C) 14D) 16E) 18
SOLUCIÓN:
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x=0+ 12(5)
1+12
; y=−2+ 1
2(0)
1+12
x=73; y=−4
3Ahora hallemos las coordenadas de “Q” que es punto medio.
a=−3+72
; b=2+62
a=2 ;b=4
m=
−43
−4
73−2
m=16
12.La pendiente de una recta que pasa por el punto A (3 ;2 ) es igual a 3/ 4. Calcule las coordenadas de dos puntos P y Q sobre esta recta que distan 5 unidades de A.
A) (7 ;5 ) y (−1 ;−1)B) (5 ;3 ) y (3 ;5)C) (7 ;5 ) y (1 ;1)D) (3 ;4 ) y (−1;1)E) (4 ;3 ) y (2;1)
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SOLUCIÓN:
y−2x−3
=34
4 y−8=3 x−9 3 x−4 y−1=0
13.Sea P=(a;b) un punto tal que la recta OP que lo une con el origen tenga
pendiente −3 y que la recta MP trazada por los puntos P yM=(3 ;1) tiene pendiente 2. Calcule el valor de a+b.
A) 53
B) −3
C) −53
D) −2
E) −72
SOLUCIÓN:
b−0a−0
=−3
ba=−3
1−b3−a
=2
a−b=6−2a 1− (−3 a )=6−2a a=1 ;b=−3
a+b=−2
14.Una recta que pasa por el origen corta a las rectas x− y=3 , y=2x+4 en los puntos A y B respectivamente. Si el origen es punto medio del segmento AB. Halle las coordenadas del punto A.
A) (1 ;3)B) (1 ;−2)C) (−1 ;2)D) (2 ;4)E) (2 ;1)
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SOLUCIÓN:
y+b2
=0
x+a2
=0
b2+a2= y2+x2
2a−b=4 y=2x+4 −b=−2a+4
a−2a+4=3 a=1 ;x=−1 y=2;b=−2
15.Halle el perímetro el triángulo formado por los ejes X ,Y y la recta L1 la
cual pasa por el punto (10 ;−12) y es perpendicular a la recta y= 512
x+10.
A) 15uB) 20uC) 35uD) 10uE) 30u
SOLUCIÓN:
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y+12x+10
=−125
5 y+60=120−12 x 5 y=60−12x 2 p=30
16.Los puntos medios de los lados de un triángulo vienen dados por la intersección 2 a 2 de las siguientes rectas:
L1: 4 x+3 y−5=0 L2: x−3 y+10=0 L3: x−2=0
Halle el área de dicho triángulo.
A) 35u2
B) 40u2
C) 20u2
D) 30u2
E) 45u2
SOLUCIÓN:
S= B∗H2
=5∗32
=152
.
Por lo tanto, la respuesta es 15/2.17.Halle las ecuaciones de las rectas que pasan por el vértice B y trisecan
al lado opuesto AC del triángulo cuyos vértices son A (−3 ;3 ) ,B (4 ;7 ) ,C (6 ;−3).
A) 8 x− y−25=0 y 3 x−2 y+2=0B) 7 x− y−25=0 y 3 x−2 y+2=0C) 8 x− y−25=0 y 4 x−3 y+2=0D) 7 x+ y+25=0 y3 x+2 y+2=0E) 5 x+ y+25=0 y 2 y+3x−5=0
SOLUCIÓN:
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L= y−1=( 7−14−0 )(x−0) 4 y−4=6 x 6 x−4 y+4=0Luego: L=3 x−2 y+2=0
L2= y−7=( 7−(−1 )4−3 )x−4
L2=8 x− y−25=0
18.Halle la ecuación de la mediatriz del segmento que los ejes coordenados determinan en la recta L1:5 x+3 y−15=0.
A) 5 x−10 y+7=0B) 6 x−10 y−16=0C) 6 x−10 y+16=0D) 6 x+10 y−16=0E) 6 x+10 y+16=0
SOLUCIÓN:
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L1=5 x+3 y−15=0
mL1=−53
M (m;n )=M ( 0+32 ;5+02 )
M (m;n )=M (32 ; 52 )
L2= y−52=35 (x−32 )
L2=6 x−10 y+16=0
19.El punto medio de un segmento está en el punto P(−7 ;2), la abscisa de uno de los extremos es 5 y la ordenada del otro extremo −9. Halle las coordenadas de los extremos.
A) (5 ;13 ) y (10 ;9)B) (5 ;13 ) y (−19 ;−9)C) (5 ;−13 ) y(−19 ;−9)D) (13 ;5 ) y (9 ;−19)E) (13 ;−5 ) y(−9 ;19)
SOLUCIÓN:
x0=x1+x22
; y0=y1+ y22
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Ahora reemplazamos x0=−7 y y0=2
−7=5+ x22
x2=−19Ahora para “y0”
2=y1−92
y1=13
(5 ;13 ) y (−19 ;−9).
20. Halle la ecuación de una recta “L” que pasa por el punto Q= (4 ;−3 ) y es
paralela a la recta L1 cuya ecuación es y=3 x+5.
A) y=5 x−13B) y=−3x+15C) y=3 x+15D) y=−3x−15E) y=3 x−15
SOLUCIÓN:
L1: y=3 x+5 M L1
=3
y− y0=m(x−x0) y− (−3 )=3(x−4) y=3 x−15
21.El punto P está en el segmento de recta entre los puntos P1 (1 ;3 ) y P2 (0 ;1 ) y está 3 veces más lejos de P1 que de P2. . Halle las coordenadas de dicho punto.
A) (1 ;7)B) (1/5 ;7)C) (1 ;7/5)D) (1/5 ;7/5)E) (−1/5 ;−7/5)
SOLUCIÓN:
x=15
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y=75
Respuesta: ( 15 ; 75 )22.Halle la ecuación de la recta L de pendiente −3/ 4 que gorma con los ejes
coordenados un triángulo de área igual a 24u2.
A) 3 x+4 y−24=0B) 3 x−4 y−24=0C) 3 x−4 y+24=0D) 2 x+4 y+24=0E) 3 x−7 y+15=0
SOLUCIÓN:
tgy=−tgx
mL=tgy=−34
=−tgy
tgx=34
S=3k (4 k)2
=24
k=2
L= y−6=−34
(x−0)
3 x+4 y−24=0
23.El punto C equidista de A (2 ;2 ) y de B (10 ;2 ) . El área de la región triangular ABC es 25u2. Halle las coordenadas de C.
A) (6 ;7)B) (5 ;33/ 4)C) (5 ;9)D) (−6 ;33 /4)E) (6 ;33 /4)
SOLUCIÓN:
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A=8 ( y−2)2
=25
y=33 /4
C (6 ;33/4 )
24.Dado el triángulo cuyos vértices son A (3 ;3 ) ,B (7 ;6 ) y C(−3;11), halle el punto de intersección de la bisectriz del ángulo A con el lado opuesto BC.
A) ¿B) (11;23)C) (12 ;20)D) (4 ;6)E) (5 ;7)
SOLUCIÓN:
d AB=√(7−3 )2+(6−3 )2=5
d AC=√(3−(−3))2+(3−11)2=10
25.Halle las coordenadas de un punto equidistante de los vértices del triángulo ABC, donde A (2 ;−1 ) ,B (3 ;5 ) y C(−5 ;0).
A) (1 ;3)B) (−1 ;−3)C) (−1 ;3)D) (1 ;−3)E) (2 ;4)
SOLUCIÓN:
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d AC=√(3−2)2+(6+1)2=5√2 d AB=√(2+5)2+(−1−0)2=5√2
x=−5+32
; y=0+62
(−1 ;3)