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ANLISIS Y MODELADO DE LOS ESFUERZOS EN UNA SECCIN DE CEMENTO DE UN POZO PETROLERO UTILIZANDO EL MTODO DE ELEMENTOS DE CONTORNO (MEC) RESUMEN En este trabajo se desarrollaron varios modelos fsico matemticos en dos dimensiones para determinar el estado de esfuerzos a los que se encuentra sometido el cemento de un pozo petrolero a una profundidad determinada, mediante el mtodo de elementos de contorno (MEC). Como modelo geomtrico se utiliz la cuarta parte de la seccin transversal de un cilindro hueco, mientras que las condiciones de carga usadas fueron dos: presin externa constante e igual al esfuerzo horizontal in situ mximo, y presin externa variable, donde la carga externa cambiaba angularmente desde el esfuerzo horizontal in situ mnimo hasta el esfuerzo horizontal in situ mximo. Ambos modelos de carga posean adems dos variantes: en la primera, no se tom en cuenta la presin de lodo dentro del casing y en la segunda, si se consider esta presin. Se realizaron dos estudios a nivel matemtico, uno a travs de un programa computacional basado en el MEC y otro mediante el mtodo de elementos finitos (MEF), siendo este ltimo hecho con fines comparativos tanto del mtodo numrico como de los resultados obtenidos. Para realizar los clculos por el MEC se separ el modelo fsico real (cemento-casing) en tres partes: anillo de cemento, casing y el conjunto completo como un solo material, utilizando las teoras de materiales compuestos. Para los clculos por el MEF se utiliz nicamente la configuracin completa tratada como dos materiales unidos de manera perfecta. Los resultados obtenidos fueron que el casing recibe casi la totalidad de la carga externa, mientras que el cemento se comporta ms como un elemento aislante y de apoyo para el casing, el modelo de material combinado es til solo para obtener los esfuerzos de Von Misses en la interfaz, mas no los desplazamientos, y el estado de esfuerzos y

ANLISIS Y MODELADO DE LOS ESFUERZOS EN UNA SECCIN DE CEMENTO DE UN POZO PETROLERO UTILIZANDO EL MTODO DE ELEMENTOS DE CONTORNO (MEC)

desplazamientos en el cemento pudo ser obtenido por medio de la separacin del conjunto.

Palabras clave: Elementos de contorno (MEC), geomecnica, cementacin, anlisis de esfuerzos

INTRODUCCIN Al explotar un pozo petrolero, a medida que se va penetrando la tierra mediante el uso de mquinas y herramientas diseadas para tal fin, se distorsiona o altera el estado de esfuerzo en equilibrio (estado de esfuerzo in-situ) que prevalecen en el subsuelo, por ello se hace necesaria la insercin y colocacin de tubos de acero entre la formacin y el taladro con varios propsitos: Tratar de contrarrestar el desbalance del estado de esfuerzos, creado por la perforacin del pozo. Evitar que el pozo colapse debido al derrumbe de las paredes del pozo. Evitar que el agua, el gas y el petrleo existente en las distintas formaciones entren en contacto, ya que esto originara prdidas de produccin. Para proteger a esta tubera de la corrosin, de fuerzas generadas externamente y otros agentes contaminantes, entre ella y la formacin geolgica se coloca un revestimiento de cemento, que adems ayuda al aislamiento del pozo. Este proceso se conoce como cementacin. La seleccin de un cemento adecuado para el revestimiento del pozo es una decisin crtica debido a que los sistemas de cementacin deben tolerar los efectos de las presiones, las temperaturas y de los fluidos de formacin a medida que se profundiza en el subsuelo. Una vez la lechada de cemento ha sido emplazada, los diferentes cambios en las condiciones del pozo pueden inducir esfuerzos que comprometan la integridad del cemento fraguado o inclusive reducirlo a escombros, tales como esfuerzos tectnicos, aumentos considerables de presin y/o temperatura, operaciones de caoneo (punzonamiento) o fracturas hidrulicas. Dada la importancia del proceso de cementacin dentro de la explotacin de un pozo petrolero y el tipo de cemento usado en el mismo, un estudio de los esfuerzos al que est

2Daniel Insausti, Alejandro Corales, Manuel Martnez, Universidad Central de Venezuela


sometido este material se hace indispensable para lograr un trabajo exitoso al explotar una zona petrolfera. Para modelar estos esfuerzos se han usado una gran variedad de mtodos numricos y computacionales, este trabajo se orienta a realizar un estudio por estas vas en pro de incrementar y tal vez mejorar los anlisis ya existentes.

Mtodo de elementos de contorno El mtodo de elementos de contorno, al igual que otros mtodos numricos, se emplea en la elastoesttica para determinar las tracciones y los desplazamientos en un cuerpo sometido a cargas, cuando la forma de estas o la geometra del slido tienen cierto grado de complejidad que hacen que obtener la solucin mediante mtodos analticos sea un poco engorroso. En este mtodo, las ecuaciones diferenciales que gobiernan el problema a resolver son transformadas en variables integrales, las cuales son aplicables sobre la frontera superficial de la regin. Luego se divide el contorno del dominio del problema en un nmero finito de subdominios, los cuales tienen una geometra simple. Cada elemento tiene un nmero de nodos en el espacio que son determinados por las coordenadas relativas a un sistema de ejes dado, la dimensin de los elementos est reducida en uno. Esto es, para problemas donde el dominio es plano se usan elementos unidimensionales (lneas), mientras que para dominios en tres dimensiones se usan elementos superficiales. Una vez hecho esto, se asume algn tipo de variacin de las incgnitas entre los nodos de un mismo elemento, siendo las ms comunes la constante, la lineal y la cuadrtica. Luego se resuelven las ecuaciones integrales de manera numrica para la superficie usando los valores de frontera conocidos y alguna solucin fundamental de la ecuacin integral, para la elastoesttica se utiliza la solucin analtica de Kelvin. Si se quieren hallar los valores de las variables en puntos internos se utiliza la identidad de Somigliana, que determina estos valores en funcin de los resultados obtenidos en la frontera. Consideraciones 1. Los materiales a estudiar son homogneos e isotrpicos. 2. Las superficies son concntricas y el espesor de las mismas es constante. 3. No existen discontinuidades dentro de los materiales



4. En los anlisis hechos por elementos finitos, se asume que la unin entre el cemento y el casing es perfecta. 5. No se consideran efectos trmicos. 6. Las deformaciones ocurren solamente en la regin elstica del material. 7. El estudio en 2D se realiza bajo la teora de deformacin plana debido a que la relacin entre la longitud del cilindro y el radio externo es grande, las cargas son perpendiculares al eje longitudinal y estn distribuidas uniformemente. Modelado Debido a que el problema estudiado presentaba simetra tanto de geometra como de cargas aplicadas con respecto al eje longitudinal del cilindro, se hizo el anlisis a la cuarta parte de este. Por limitaciones del programa computacional, solo era posible estudiar un material a la vez, por lo que se dividi el problema en 3 partes: 1. Anillo de cemento: Este modelo tiene un dimetro exterior de 8,5 in (21,59 cm) (dimetro del hoyo) y un dimetro interno de 7,625 in (19,3675 cm). El cemento utilizado es API clase H, el cual posee un mdulo de Young compresivo de 2X106 psi (13,8 GPa) y una relacin de Poisson es de 0,22.

Fig. 1 Cemento 2. Casing: Es un tubo de acero de grado API J-55, su mdulo de Young es de 30X106 psi (20,7 GPa) y su relacin de Poisson es de 0,3, el dimetro externo es de 7,625 in (19,3675 cm) y el dimetro interno es de 6,969 in (17,70126 cm).



Fig. 2 Casing 3. Material combinado (cemento acero): En este modelo se asume el conjunto como un nico material, con dimetro externo de 8,5 in (21,59 cm) y dimetro interno de 6,969 in (17,70126 cm). El mdulo de Young de este material es de 3,21X106 psi (22,1 GPa) y su relacin de Poisson es de 6,09X10-2. Para obtener estos valores se utiliz la teora de materiales compuestos, la cual se encuentra, explicada de manera resumida, en los anexos.

Fig. 3 Material combinado

La malla est compuesta por elementos unidimensionales, parablicos de 3 nodos, adems fueron colocados puntos internos distribuidos en lneas paralelas a los bordes circulares, a estas lneas se les conocer como fibras en lo que a este trabajo respecta. Condiciones de frontera Las condiciones de borde para cada uno de los modelos presentados son las siguientes Casing Se aplicaron 2 tipos de carga externa:



1. Presin constante: Presin externa uniforme e igual al esfuerzo horizontal mximo (H) 2. Presin variable: Presin externa variable, desde h en el eje X de referencia hasta H en el eje Y. Esta variacin es lineal con respecto al ngulo medido en sentido contrario a las agujas del reloj partiendo desde el lado positivo del eje X. A estos modelos de carga se le hicieron dos variantes: en la primera el borde interior no se encontraba sometido a presin alguna, mientras que en el segundo se carg internamente con la presin hidrosttica del lodo de produccin. Los valores de las presiones aplicadas correspondieron a los obtenidos en la data geomecnica para una profundidad de 6375 ft (1943.1 m). En cuanto las condiciones de desplazamiento los bordes del rea estudiada (lneas a 0 y 90) fueron restringidos de movimiento lateral o tangencial, pero son libres de desplazarse radialmente. Cemento Las condiciones de carga externa y de restriccin en los bordes fueron las mismas que se emplearon en el casing, mientras que en el lmite interior se colocaron como condiciones de desplazamiento los valores obtenidos a lo largo de la curva externa del casing. Material compuesto (acero cemento) Se mantuvieron las mismas condiciones de borde empleadas en el casing. Resultados Convergencia del mtodo Para determinar el nmero de elementos ptimo en MEC para el problema estudiado, se hicieron varias corridas con cada modelo de carga para de cilindro. Se seleccionaron 3 puntos sobre la superficie para la comparacin. El nmero de elementos obtenido solo dependi de la forma de variacin de las cargas, siendo 20 para presin externa constante y 40 para presin externa variable



Casing Sin presin de lodoVon MissesEsfuerzo de Von Misses (psi)66000.0 64000.0 62000.0 60000.0 58000.0 56000.0 54000.0 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 Radio de estudio (in) MEC

Fig. 4 Esfuerzo de Von Misses para el casing, presin externa constante. Sin presin interna Con presin de lodoVon MissesEsfuerzo de Von Misses (psi)29000.0 28000.0 27000.0 26000.0 25000.0 24000.0 23000.0 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 Radio de estudio (in) MEC

Fig. 5 Esfuerzo de Von Misses para el casing, presin externa constante. Con presin interna

Los resultados obtenidos por el MEC para los valores del esfuerzo de Von Misses se aproximan en gran medida a los obtenidos para el MEF, siendo la mayor diferencia relativa de 1,35 %. Esta diferencias mxima se obtuvo justo en la zona donde el casing y el cemento hacen contacto.



Estos resultados indican que el casing soporta los esfuerzos in situ de la formacin casi en su totalidad. Cemento Al igual que en el caso anterior, las aproximaciones entre ambos mtodos fue satisfactoria, sin embargo, en los modelos donde se aplic como condicin de borde en la fibra interior del cemento los valores de desplazamiento obtenidos en el estudio del casing sometido a una presin interna, las diferencias relativas sufrieron un leve aumento. Presin externa constante Sin presin de lodo

Von MissesEsfuerzo de Von Misses (psi)3320.0 3315.0 3310.0 3305.0 3300.0 3.7 3.8 3.9 4 4.1 4.2 4.3 Radio de estudio (in) MEC

Fig.6 Esfuerzo de Von Misses para el cemento, presin externa constante. Sin presin interna en casing



Desplazamiento totalDesplazamiento (in)0.008400 0.008200 0.008000 0.007800 0.007600 0.007400 0.007200 3.7 3.8 3.9 4 4.1 4.2 4.3 Radio de estudio (in) MEC

Fig. 7 Desplazamiento total para el cemento, presin externa constante. Sin presin interna en casing

Los esfuerzos de Von Misses presentan un comportamiento oscilatorio para el modelo de presin constante, esto se debe, en gran parte, al mtodo matemtico empleado. Los esfuerzos radiales obtenidos en la fibra externa, tienen la misma magnitud que la presin aplicada (esfuerzos in situ). Estos valores se incrementan a medida que se penetra en el cemento hasta llegar a su mximo en la zona de contacto, esto debido a que en esa regin el cemento se consigue con un cuerpo que posee mayor rigidez (casing). Por otra parte, la magnitud de los esfuerzos obtenidos supera, en gran medida, a la resistencia ltima a la compresin (UCS) del cemento (3.000 psi), pero esto no implica la falla del mismo debido a que la resistencia UCS que se conoce para el cemento tipo H es determinada, generalmente, en ensayos de compresin no confinados, y una caracterstica importante del cemento es precisamente que a medida que se aumenta la presin de confinamiento su resistencia se incrementa.



Esfuerzo radial-5990,00

Esfuerzo radial (psi)

-5995,00 -6000,00 -6005,00 -6010,00 -6015,00 -6020,00

3,7

3,8

3,9

4

4,1

4,2

4,3

MEC

Radio de estudio (in)

Fig. 8 Esfuerzo de radial para el cemento, presin externa constante. Sin presin interna en casing Con presin de lodo Cuando se agrega presin de lodo al sistema, los resultados indican que el cemento se encuentra sometido a niveles de esfuerzo mayores en lo que sera una zona cercana a la superficie de contacto, implicando esto que la presin de lodo no compense totalmente la presin externa aplicada, sino que evita que se produzcan grandes niveles de esfuerzos en una zona tan delicada como la interfaz.

Von MissesEsfuerzo de Von Misses (psi)3600.0 3500.0 3400.0 3300.0 3200.0 3100.0 3000.0 3.7 3.8 3.9 4 4.1 4.2 4.3 Radio de estudio (in)

MEC

Fig. 9 Esfuerzo de Von Misses para el cemento, presin externa constante. Con presin interna en casing



Desplazamiento totalDesplazamiento (in)0.005000 0.004000 0.003000 0.002000 0.001000 0.000000 3.7 3.8 3.9 4 4.1 4.2 4.3 Radio de estudio (in) MEC

Fig. 10 Desplazamiento total para el cemento, presin externa constante. Con presin interna en casing

Esfuerzo radial-5950.00 -6000.00 3.7 -6050.00 -6100.00 -6150.00 -6200.00 -6250.00 -6300.00 Radio de estudio (in)


3.8

3.9

4

4.1

4.2

4.3

MEC

Fig. 11 Esfuerzo radial para el cemento, presin externa constante. Con presin interna en casing Presin externa variable En el caso de los modelos a presin variable, los esfuerzos de Von Misses tienden a tomar un nico valor a medida que el radio se incrementa, mientras que los valores de desplazamientos reflejan la ovalizacin que se muestra en la fig. 13, ya que, para un arco de radio constante, se tienen magnitudes de desplazamiento total bastante diferentes en 3 puntos cualesquiera, lo que crea concentraciones de esfuerzos en la zona donde est aplicado el esfuerzo horizontal mnimo (h). La zona con mayores esfuerzos en el cemento es la que corresponde a la interfaz con el casing y las fibras cercanas a ella.



Sin presin de lodoVon Misses14000,0 12000,0 10000,0 8000,0 6000,0 4000,0 2000,0 0,0 3,7 3,8 3,9 4 4,1 4,2 4,3 Radio de estudio (in)

Esf. Von Misses (psi)

30 45 60

Fig. 12 Esfuerzo de Von Misses para el cemento, presin externa variable. Sin presin interna en casingDesplazamiento total0,020000

Despl. Total (in)

0,015000 0,010000 0,005000 0,000000 3,7 3,8 3,9 4 4,1 4,2 4,3 Radio de estudio (in)

30 45 60

Fig. 13 Desplazamiento total para el cemento, presin externa variable. Sin presin interna en casingEsfuerzo radial15000,00


10000,00 5000,00 0,00 -5000,00 -10000,00 Radio de estudio (in) 3,7 3,8 3,9 4 4,1 4,2 4,3 30 45 60

Fig. 14 Esfuerzo de radial para el cemento, presin externa variable. Sin presin interna en casing



Con presin de lodoVon MissesEsf. Von Misses (psi)12000,0 10000,0 8000,0 6000,0 4000,0 2000,0 0,0 3,7 3,8 3,9 4 4,1 4,2 4,3 Radio de estudio (in) 30 45 60

Fig. 15 Esfuerzo de Von Misses para el cemento, presin externa variable. Con presin interna en casingDesplazamiento total0,014000 0,012000 0,010000 0,008000 0,006000 0,004000 0,002000 0,000000 3,7 3,8 3,9 4 4,1 4,2 4,3 Radio de estudio (in)

Despl. Total (in)

30 45 60

Fig. 16 Desplazamiento total para el cemento, presin externa variable. Con presin interna en casingEsfuerzo radial15000,00


10000,00 5000,00 0,00 -5000,00 -10000,00 Radio de estudio (in) 3,7 3,8 3,9 4 4,1 4,2 4,3 30 45 60

Fig. 17 Esfuerzo radial para el cemento, presin externa variable. Con presin interna en casing



Material compuesto Para este modelo realizado bajo el MEC, se consider al conjunto de acero y cemento como si fuese un solo material, con mdulo de Young y relacin de Poisson especficamente calculado. Para la verificacin de este modelo se utilizaron los resultados obtenidos en Nastran para el conjunto completo. Pudindose observar que los valores del esfuerzo de Von Misses para la zona de contacto (interfaz) obtenidos en MEF se aproximaban en gran medida a los conseguidos para una zona geomtricamente equivalente - esto es, una fibra ubicada en la zona geomtricamente equivalente a la regin de contacto entre el cemento y el acero - a los valores obtenidos en el MEC. Sin presin de lodoVon Misses40000,0 30000,0 20000,0 10000,0 0,0 3,4 3,6 3,8 4 4,2 Radio de estudio (in) MEC

Fig. 18 Esfuerzo de Von Misses para el material compuesto, presin externa constante. Sin presin interna en casing Con presin de lodoVon MissesEsfuerzo de Von Misses (psi)17500,0 17000,0 16500,0 16000,0 15500,0 15000,0 14500,0 14000,0 3,4 3,6 3,8 4 4,2 Radio de estudio (in)

Esfuerzo de Von Misses (psi)

MEC

Fig. 20 Esfuerzo de Von Misses para el material compuesto, presin externa constante. Con presin interna en casing



Desplazamientos de los modelos Debido a que los grficos de deformaciones no son reales sino por el contrario se encuentran a escala, los efectos de la presin interna no son apreciables. En vista de ello se mostrarn solo dos grficos representativos de lo que sucede con los modelos de presin externa constante y variable para el cilindro completo. En ambas grficas las curvas negras representan la geometra original y las rojas la geometra deformada.

Fig. 21 Deformacin a causa de la presin constante

Fig. 22 Deformacin a causa de la presin variable



Conclusiones Se puede modelar, de manera satisfactoria, el estado general de esfuerzos al que est sometido el cemento de un pozo petrolero utilizando el mtodo de elementos de contorno, inclusive si el programa usado est limitado a un solo tipo de material. El modelo ms utilizado para determinar los esfuerzos en pozos petroleros es similar al planteado en este trabajo., con la diferencia que, por lo general, no se plantean la aplicacin de cargas externas variables El modelo de material combinado usado en el MEC es una buena aproximacin de lo que ocurre en la interfaz del modelo real a nivel del esfuerzo de Von Misses, mas no as para los desplazamientos. Los esfuerzos in situ se transmiten casi en su totalidad al acero, lo que implica que el cemento cumple la funcin de apoyo y aislante. Los puntos crticos en el cemento estn ubicados en las fibras ms cercanas a la interfaz o zona de contacto, incluyendo la misma, ah el cemento sufre los

mayores niveles de esfuerzos, lo que puede producir que este pierda adherencia con el casing o inclusive fracturarse. Es importante controlar la presin del lodo dentro del pozo, ya que una sobrepresin muy grande puede provocar la ruptura del cemento Los esfuerzos y desplazamientos en el cemento pueden ser obtenidos mediante el mtodo de separacin (cemento, casing y combinado), planteado en este trabajo. La tendencia del hoyo a tomar forma ovalada en el modelo de carga variable coincide con estudios realizados que indican que el cemento tiende a fallar en la direccin del esfuerzo horizontal mnimo, por lo que este modelo de carga sera el ms adecuado para la realizacin de estudios geomecnicos. Referencias Rodrguez, W. J., y otros. Simulation of Collapse Loads on Cemented Casing Using Finite Element Analysis. Society of Petroleum Engineers: SPE 84566 (2003): 1-9.

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Clculo

de

esfuerzos

mecnicos

en

el

sistema

tubera/cemento/formacin de pozos petroleros mediante simulacin numrica. Trabajo Especial de Grado. Universidad Nacional Experimental Politcnica Antonio Jos de Sucre. Facultad de Ingeniera.

Brebbia, C. A. y Domnguez, J. (1989). Boundary elements. An introductory course. Southampton: McGraw-Hill.

Beer, G y Watson, J. O. (1992). Introduction to finite and boundary element methods for engineers. West Sussex: John Wiley & Sons Ltd. Anexos Teora de materiales compuestos Los materiales compuestos son aquellos que incluyen una combinacin de 2 o ms materiales como metales, cermicas y polmeros. Existen tres tipos bsicos: Compuesto artificial reforzado con fibras, en este tipo de compuesto las fibras de refuerzo que se colocan dentro del material base o matriz pueden ser dispuestas de tres maneras: alineada en una sola direccin, cortada aleatoriamente o trenzada con la matriz. La configuracin es seleccionada por el fabricante del material. El ejemplo tpico de este tipo de compuesto es la fibra de vidrio. Compuesto reforzado con fibra natural, las fibras estn dentro de la matriz por la misma naturaleza del material, un ejemplo de esto es la madera. Compuesto aglomerado, la matriz est reforzada por partculas en lugar de fibras, el ejemplo ms representativo es el concreto. En este trabajo en particular, se estudiar el conjunto cemento-casing como un material reforzado con fibras de direccin paralela a la matriz.



Para el caso de materiales compuestos es lgico pensar que sus propiedades vienen dadas por una especie de promedio de sus componentes individuales, aunque este promedio depender en gran medida de factores como la geometra microestructural o la direccin de las cargas aplicadas. A continuacin se mostrarn 2 casos idealizados, en el primero la carga es paralela a las fibras del compuesto y en el segundo la carga ser perpendicular. Carga paralela a las fibras de esfuerzo En la figura 6.1 se muestra la forma de la carga. Si la matriz y la fibra de refuerzo estn muy bien enlazadas, entonces la deformacin de ambos compuestos debe ser la misma. Esta condicin de isodeformacin es cierta, aunque el mdulo elstico de cada material tendiera a ser muy diferente, en otras palabras:

A

A B B C C EA EB EC

Ec. A-1.1

Fig. A-1.1 Carga paralela a las fibras de esfuerzo

donde C representa al material compuesto por los elementos A y B. Adems, la carga que es llevada por el compuesto es la suma simple de las cargas que lleva cada componente:

PC PA PBsiguiente:

Ec. A-1.2

Recordando que el esfuerzo se define como carga dividido entre rea, se llega a lo

CAC A AA BABsiguiente:

Ec. A-1.3

Combinando las ecuaciones 6.1 y 6.3 (deformacin y esfuerzo), se obtiene lo

E C C A C E A A A A E B B A BSimplificando, y dividiendo ambos lados de la ecuacin por AC:

Ec. A-1.4



EC EA

AA A EB B AC AC

Ec. A-1.5

Para el caso de un cilindro, la fraccin de reas es igual a la fraccin de volumen, es decir:

E C E || E A v A E B v B

Ec. A-1.6

donde vA y vB son las fracciones volumtricas de los materiales A y B respectivamente. Con un estudio similar se puede llegar a la relacin de Poisson para este tipo de carga:

C || A v A B v BCarga perpendicular a las fibras de esfuerzo

Ec. A-1.7

En la figura 6.2 se muestra la forma de la carga. En este caso, la tensin soportada por la matriz y las fibras es la misma, e igual a la tensin aplicada . Sin embargo la deformacin del compuesto, C, ser la media ponderada de las deformaciones de las fibras y la matriz por lo que, aplicando lo anterior (teora de las mezclas), se obtiene:

C A vA BvB

Ec. A-1.8

Fig. A-1.2 Carga perpendicular a las fibras de esfuerzo

Dividiendo ambos lados de la ecuacin por la tensin y simplificando se obtiene:

v v 1 A B EC EA EBO lo que es lo mismo:

Ec A-1.9

EC E

EAEB EA vB EBvA

Ec. A-1.10

La relacin de Poisson para este tipo de carga viene dada por:



||

E E ||

Ec. A-1.11

Una vez aclarados esto puntos, se proceder al clculo del mdulo de Young y la relacin de Poisson para el material compuesto. Material A: Acero Material B: Cemento EA: 30X106 psi EB: 2X106 psi A: 0,3 B: 0,22 DeA: 7,625 in DiA: 6,969 in DeB: 8,5 in DiB: 7,625 in Recordando que:

( D Di ) A * e 42 2

Ec. A-1.12

Entonces: AA = 7,5191 AB = 11,0815 AT = 18,6006 Sustituyendo todos estos valores en las ecuaciones 6.6, 6.7, 6.10 y 6.11 se obtienen los siguientes resultados: E|| = 13,3X106 psi (91,7 GPa) E = 3,21X106 psi (22,1 GPa) || = 0,25 = 6,09X10-2 Los valores usados son los perpendiculares () debido al tipo de carga.


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