HERRAMIENTAS MATEMATICAS

ANALISIS VECTORIAL

ANALISIS VECTORIAL

Contenidos.1. Magnitudes vectoriales,2. Vector: concepto, elementos, tipos.3. Operaciones con vectores.3.1. Métodos gráficos3.2. Métodos analíticos.

4. Ejercicios sobre vectores.

VECTOR

Es aquel elemento matemático, indicado por un segmento de recta orientado, que nos permite representar gráficamente a una magnitud física vectorial.

•Dirección: Es la recta que contiene el vector. Se define por el ángulo medido positivamente en sentido anti horario.•Sentido: Es la característica del vector que nos indica hacía donde se dirige. Se le representa por una saeta, o, sagita.Módulo: Llamado también intensidad, viene a ser el valor o medida de la magnitud vectorial

ELEMENTOS DE UN VECTOR

Recta de

Referencia

Línea de Acción

Saeta

A

Extremo

Origen O

•Tipos de Vectores

A B C

CyB,ALínea de Acción

COLINEALES

AB

C

Punto de

Concurrencia

CONCURRENTES

A

BC

PARALELOS

A A–

OPUESTOS

A

B

BA

deSentidodeSentido

BA

||||

VECTORES IGUALES

Nota importante:Todo vector puede trasladarse sobre un plano en forma paralela, sin alterar ninguno de sus elementos.

A

A A

REPRESENTACION CARTESIANA DE UN VECTOR

V

En el plano cartesiano, un vector A está representado matemáticamente por un par ordenado (ax , ay). Los elementos del par ordenado son llamados componentes rectangulares del vector.A ax se le denomina componente en el eje x, pues su valor absoluto l ax l nos indica cuando mide la proyección del vector A sobre dicho eje. Además el signo de ax nos indica si el vector se orienta en la dirección positiva o negativa del eje x. Con ay, la componente en el eje y sucederá lo mismo

Por ejemplo, si se presenta un vector V = (4; -3), este medirá 4 unidades en el eje x y 3 unidades en el eje y, y se orientara hacia la dirección positiva del eje x y hacia la negativa del eje y.Figura 1: las componentes de un vector nos indican cuanto mide su proyección sobre cada eje y en que sentido se orienta.Como puedes ver en la gráfica, la longitud del vector coincide con la hipotenusa de un triangulo cuyos catetos miden el valor absoluto de cada componente rectangular. Luego a partir del Teorema de Pitágoras se deduce la siguiente relación:

lAl = √ ax2 +

ay2

lAl : módulo del vectorAx : abscisa del punto AAy : ordenada del punto APara el ejemplo mostrado anteriormente, se tendrá entonces que el

módulo es:√42 + (-3)2 = √ 25 = 5 OPERACIONES CON VECTORES

1.- METODOS GRAFICOS:Mediante ellos es posible hallar el vector que resulta de una suma o resta de vectores o de una combinación de estas operaciones, así como también el que resulta de multiplicar a un vector por un escalar.En estos métodos se debe dibujar los vectores con una longitud proporcional a su módulo y respetando la dirección y sentido que indican. Si el vector estuviese multiplicado por un escalar C, se debe dibujar el vector con una longitud proporcional a C veces su módulo. Y si el escalar es negativo se debe invertir el sentido del vector.

2 A -2 A

A

Fig. 2 Multiplicación del vector A por los escalares 2 y -2

SUMA DE VECTORES O VECTOR

RESULTANTE.Se pueden utilizar los siguientes métodos: para vectores colineales y /o paralelos. En este caso se consideran como si fueran simples números reales. Ejemplo:

< >

A

B

1|A|

3|B|

C 5|C|

D

E

1|D|

2|E| |R|

R

uA 2|| uB 5|| || R

Para vectores coplanares y concurrentes que forman un ángulo entre si:Métodos :

1.Método del paralelogramo

2.Método del triangulo y3.Método del polígono

Analicemos cada uno de estos

métodos

A.- MÉTODO DEL PARALELOGRAMOEn este método se dibujan los dos vectores que se van a sumar unidos por sus puntos de origen. Luego, se traza una paralela a cada vector desde el extremo del otro, de modo que se complete un paralelogramo.El vector resultante R es aquel que parte del origen y cuyo extremo se encuentra con la intersección de las líneas trazadas.

A

A R

B B

cosAB2BAR 22

A B

A

B

A

B

Trazamos paralelas a cada uno de los vectores y obtenemos una figura llamada _________________

Ejemplo 1

y

A

A S

S

C

B

B C R

C

xPara hallar el vector R=A + B + C primero

hallamos S= A + B y luego R= S + C

Ejemplo 2

B. METODO DEL POLIGONOPara hallar la resultante de una suma de vectores mediante este método sigue estos pasos: Dibuja uno de los vectores. Dibuja el siguiente vector empezando por el extremo del

vector anterior. Repite el paso anterior tantas veces como vectores para sumar

tengas. El vector resultante R es el que resulta de unir el origen de

coordenadas con el extremo del último vector.

A B

B

A C

C

R

EJEMPLO 1

1.- Encontrar la expresión vectorial para el vector .

Solución: Es un polígono cerrado cuya resultante es igual cero.

 

x

0 xdcba Se obtiene el vector

xdcba

RECUERDA:La diferencia de los vectores A menos B es equivalente a la suma de A y – B. Luego, para aplicar los métodos gráficos a la diferencia de dos vectores debes multiplicar el vector que restarás por el escalar -1

OBSERVA : que para emplear este método los vectores deben tener diferente dirección, y que solo puedes hallar la resultante de dos vectores a la vez. Si deseas hallar la resultante de más de dos vectores debes hallar primero la resultante de dos de ellos, para luego sumarle a esta resultante otro de los vectores, y así sucesivamente con el resto de los vectores.

EJEMPLO 2Halla mediante los métodos gráficos del polígono y del paralelogramo la resultante R de 3 A – 2 B + ½ C, sabiendo que A, B y C son los vectores.

C

B

A 3 A

-2 B

½ C

Como puedes observar en el POLIGONO primero se identifica los datos y luego es necesario dibujar cada vector que se va a sumar en forma proporcional a su longitud, luego de efectuar las multiplicaciones escalares respectivas. Reemplaza y resuelve: Se halla la resultante R = (3A) + (-2 B) + (½ C ) por el método del polígono dibujando un vector a continuación del otro.Y

X

3 A

-2 B

½ C

R

Por el método del paralelogramo se deben efectuar dos sumas: primero, S = 3 A + (-2B):

Y

S

x

½ C3 A

-2 B

Luego, R = S + ½ C :

Y

S

S

R

x

½ C

La resultante R es, evidentemente , la misma que la obtenida por el método del polígono

EJERCICIOS RESUELTOS1. - Se tiene dos vectores de módulo V que forman

un ángulo de 60 ° entre sí. Calcular el módulo de la resultante.

• Utilizamos el método del Paralelogramo 60cosV.V2VVR 22

2VR

600

A

B

A

B

R

l R l = √ 2V2 + 2 V2 (½)

2. Determinar el módulo de la resultante de .

22 BA R

22 43 R

5 R

Y

DIFERENCIA DE VECTORES : (METODO DEL TRIANGULO)

Se unen los vectores por su origen, manteniendo su módulo, dirección y sentido. Luego, trazamos el vector diferencia, completando el triangulo como indicamos en la figura:

A

B

D = A - B

Como se puede observar en la figura la orientación del vector diferencia apunta al minuendo (A) para determinar el vector diferencia podemos medirlo directamente con una regla o calcularlo con la ley de coseno para la sustracción de vectores. l D l = √ A2 + B2 – 2 A B

COS θ

Ejemplo 1Encontrar el módulo del vector diferencia A – B, si estos vectores se muestran en la figura , de modo que .l A l = 50 , l B l = 14

500560

A

B

SOLUCION: Trasladamos los vectores de modo paralelo a sus posiciones originales hasta que sus orígenes coincidan. Observamos que el ángulo formado por ellos se obtiene de: 560 + θ + 500 = 1800

θ = 740

500560

θ

AB

D = A

- B

Luego utilizamos la fórmula:lDl= √ 502 + 142 – (2)(50)(14) cos 740

lDl= 48 (cos 740 = 7/25)

Ejemplo 2Dos vectores tienen una resultante máxima que mide 14 y una resultante mínima que mide 2 ¿cuál es el módulo de la resultante de dichos vectores cuando formen un ángulo de 900?SOLUCION: De acuerdo con el enunciado del problema, tenemos:R máx = A + B = 14 ……. (1)

R mín = A - B = 2 .……(2)

A

B

Rmáx

Rmín

BA

Luego resolviendo las ecuaciones (1) y (2) obtendremos que A= 8 y B = 6

C.- MÉTODO DEL TRIÁNGULO

• Este es un método gráfico sustentado en el método anterior, y que consiste en trasladar paralelamente a uno de dos vectores, para colocarlo a continuación del otro, de modo que exista entre ellos una continuidad; así, la resultante de ellos es el vector que cierra el triángulo.

B

A

1.- Dibujar el vector resultante de

2.- Dibujar el vector resultante de

AB

BA

R

R

EJERCICIOS DE APLICACIÓN:

A B

•LEY DE SENOS Nos da la relación entre el modulo de la resultante y de los vectores con los ángulos que forman entre sí,

SenB

SenA

SenR

2.- METODO ANALITICOPara aplicar este método se hace uso de la representación matemática del vector mediante componentes.El principio de este método es que la suma de un vector es igual a la suma de cada una de sus componentes por separado, es decir, para los vectores A = (ax; ay) y B = (bx; by) la suma será:

A+B = (ax+bx ; ay + by)

Ejemplo 1 : Si se consideran los vectores A=(-1; 6) y B=(3; -7)Se puede deducir que A+B = (-1+3; 6+(-7)) = (2;-1) por otro lado, el resultado de multiplicar un vector por un escalar es igual a multiplicar cada componente del vector por ese escalar.Dicho en forma algebraica, para un vector A = (ax ; ay) eA = (eax ; eay )

Ejemplo 2 Halla por el método analítico la resultante R de A-½B+3C, sabiendo que A, B y C son los vectores. A = (7;-5), B = ( 4; -8) y C = (- ⅔ ; 3)Soluci

ónIdentifica los datos: las componentes de cada vector serán

ax = 7 ; ay = -5bx = 4 ; by = -8cx = -⅔ ; cy = 3

Reemplaza y resuelve:Por medio del método analítico, las operaciones de multiplicación por un escalar y de suma de vectores se pueden reunir en un solo paso:R = A- ½B+3C = (ax; ay) - ½ (bx;by) + 3 (cx;cy) R = (ax - ½ bx + 3cx ; ay - ½by +

3cy) R = (7 - ½ (4) + 3(-⅔) ; -5 - ½(-8) + 3(3)) R = (7 – 2 - 2; - 5 + 4 + 9 )

R = (3 , 8 )

DESCOMPOSICION RECTAGULAR DE UN VECTOR

Un vector oblicuo puede expresarse como la composición de dos vectores perpendiculares; estos vectores son llamados componentes rectangulares los cuales se trazan sobre los ejes de coordenadas X e Y desde el origen de coordenadas.A = Ax + Ay Componentes

rectangulares

lAxl = lAl cos α Módulo del C. horizontal

lAyl = lAl sen α Módulo del C. vertical

lAl = √ A2x + A2y Módulo de A

tg = Ay / Ax Dirección y sentido de A

A

Ay

Ax

Nota . Si hubiera mas de un vector se suman las componentes que se ubican en un mismo eje y por separado: Rx = ∑Vx y Ry = ∑ Vy

Ejemplo 3Encontrar el módulo y dirección de la resultante del conjunto de vectores mostrados en figura. Si lAl = 5 , l B l = 14 , l C l = 2√2 , l D l = 7√ 3SOLUCION:

Y

X

A

C

B

D

370

450

300

B A

C

By

Bx

Ay

Ax

CxCy

A {

Ax =Acos 370 = 5 . 4/5 = 4Ay = Asen 370 = 5 . 3/5 = 3

B {

Bx = Bcos 300 = 14 . √3/2 = 7√3By = Bsen 300 = 14 . 1/2 = 7

C {

Cx = Ccos 450 = 2√2 . 1/√2 = 2Cy = Csen 450 = 2√2 . 1/√2 = 2

D

Luego tenemos que: Rx = +Ax + Cx + D – Bx = +4+2+7√3- 7√3 = +6 Ry = +Ay + By – Cy = +3 + 7 –

2 = +8Para encontrar el módulo de la resultante usamos la siguiente fórmula

R = √ 62+ 82

R = √ 36 + 64 R = 10

Finalmente para encontrar la dirección del vector resultante aplicamos

Tg θ = Ry/RxTg θ = 8 / 6Tg θ = 4/3 θ = 530

EJERCICIOS RESUELTOS1. En el triángulo, hallar el vector X en función

de los vectores A y B, si se cumple que PQ=QR/2

A BX

QP R

A B

x

d 2d

Solución:Del dato tenemos

Los vectores d y 2d se construyen aprovechando el dato: entonces por el método del polígono, tenemos:d + x = A (1) luego despejando nos queda: d = A – X(*)2d + B = X (2) reemplazando (*) en (2) 2 (A - X) + B = X

2 A - 2X + B = X 2 A + B = X + 2X 2 A + B = 3 X 2 A + B

3

X =

2. Halle el modulo de la suma de los vectores A,B,C mostrados en la figura, donde: l A l = 8 m, l B l = 3 m y l C l = 5 m

SOLUCION:De la figura se tiene

XX XX

B

CAA

BC

Empleando el método del polígono se tiene:X + B = A (2)X + C = B (3) despejando X = B – C (*) Reemplazando (*) en (2 ), tenemos : B – C + B = A resolviendo 2B = A + CSUSTITUYENDO EN (1)R = A + B + C R = 3B R = 3 (3) R = 9 m 2B

R = A + B + C ….. (1)

4. Determinar el modulo del vector resultante de a y b 2√7c

m

300

600

a

b

5. Sabiendo que A se descompone en sus vectores componentes Ax y Ay; hallar la dirección del vector A , si Ax = 35 y Ay = 28

Ay

Ax

α

y

x

6. Hallar la resultante del sistema de vectores, sabiendo que l a l = 2 y l h l = 3

ab

c

d

e

f

gh

Prof. Humberto Espinoza ChávezEspec: Química y Biología