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UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA Sede Bogotá

ANÁLISIS POR CONFIABILIDAD DE ASENTAMIENTOS DE CIMIENTOS SUPERFICIALES

JORGE GIOVANY SUÁREZ PINILLA

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA FACULTAD DE INGENIERÍA

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA CIVIL Y AGRÍCOLA MAESTRÍA EN INGENIERÍA – GEOTECNIA

Bogotá D.C., 2017

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA Sede Bogotá

ANÁLISIS POR CONFIABILIDAD DE ASENTAMIENTOS DE CIMIENTOS SUPERFICIALES

Por: JORGE GIOVANY SUÁREZ PINILLA

Tesis presentada como requisito parcial para obtener el título de

Magister en Ingeniería – Geotecnia

Director: CARLOS EDUARDO RODRÍGUEZ PINEDA PhD.

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA FACULTAD DE INGENIERÍA

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA CIVIL Y AGRÍCOLA MAESTRÍA EN INGENIERÍA – GEOTECNIA

Bogotá D.C., 2017

________________________________________________________________________________

Para

Nataly

Mario Esteban y Victoria;

___________________

En esto no hay incertidumbre:

el inmenso amor que les tengo

_______________________________________________________________

AGRADECIMIENTOS

En medio de la rigurosidad científica que demanda un documento de tal naturaleza,

esta página de singular connotación brinda un valioso espacio para resaltar las

cualidades humanas y profesionales de aquellos que de diferente modo han

contribuido a la construcción de un conocimiento técnico y de un aprendizaje

personal, que también quedará impreso en tinta invisible en cada una de las hojas de

este trabajo.

En primer lugar y lejos de un discurso retórico, agradecezo al Dios de la Vida por la

oportunidad de encontrar tan excelentes compañeros y maestros en el desarrollo de

esta Maestría en Geotecnia, en una institución que siempre ha demandado de sus

estudiantes lo mejor de sí mismos.

A mis Padres y Hermanos, que en la distancia y en la cercanía siempre han tenido una

mano extendida y una voz de apoyo para los proyectos que he emprendido en cada

etapa de mi vida.

Al ingeniero Carlos Eduardo Rodríguez, quien en los cursos de pregrado y posgrado ha

mostrado siempre gran tenacidad y profundo compromiso en su vocación docente.

Igualmente a Gloria Beltrán y Guillermo Ávila, por sus valiosos aportes para la

consolidación de esta investigación.

Por último, saludo con sincera y enorme gratitud a todos mis compañeros y jefes de

trabajo por sus gestos de solidaridad, en los momentos en que más han sido

necesarios.

A todos, infinitas Gracias.

Análisis por confiabilidad de asentamientos de cimientos superficiales

i

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA Maestría en Ingeniería – Geotecnia

Tesis de Maestría Análisis por Confiabilidad de asentamientos de cimientos superficiales

Autor: Ing. Jorge Giovany Suárez Pinilla Director: PhD. Carlos Eduardo Rodríguez Pineda

RESUMEN

Con miras a realizar un análisis de confiabilidad de asentamientos de un cimiento

superficial, emplazado en un estrato de suelo de compresibilidad variable en la ciudad

de Bogotá, se determinó una función de comportamiento que finalmente depende de

dos variables consideradas como aleatorias. La información estadística requerida para

tal propósito, proviene de otras investigaciones sobre las propiedades de

compresibilidad del terreno en esta ciudad. Con cuatro diferentes modelos de

simulación se evalúa el promedio y el coeficiente de variación del asentamiento

esperado por consolidación, y se compara la respuesta de los modelos con la

variabilidad de los datos de entrada. Asimismo, es posible realizar conjeturas sobre la

distribución de probabilidad que mejor se ajusta a los resultados obtenidos. Por

último, en una hoja de cálculo de Excel, se crea una rutina para efectuar este tipo de

análisis con otras configuraciones de carga y geometría del cimiento. A partir de estas

consideraciones, se calcula la probabilidad de falla para los asentamientos esperados.

Palabras Clave: asentamientos, consolidación, confiabilidad, Taylor, Estimativos

Puntuales, Monte Carlo


ii

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA

Engineering Master Program – Geotechnics

Master Degree Thesis Análisis por Confiabilidad de asentamientos de cimientos superficiales

Author: Ing. Jorge Giovany Suárez Pinilla Director: PhD. Carlos Eduardo Rodríguez Pineda

ABSTRACT

In order to perform a reliability analysis in settlements of an isolated footing founded

on a soil layer with variable compressibility in Bogota City, a two-dependent variables

performance function was defined. Statistical data demanded for that purpose, come

from other research about soil deformability properties in this town. Mean and

coefficient of variation of expected consolidation settlement were assessed through

four several models and the results are compared to variability of input data. At the

same time, conjectures on the best fit for the probability density function can be done.

Finally, in an Excel spreadsheet, a routine for realizing this sort of analysis with

different load and geometry setup was designed. From these considerations, the

probability of failure for the expected settlement is calculated.

Keywords: settlements, consolidation, reliability, Taylor, Estimate Points, Monte

Carlo


iii


iv


v


vi


vii


viii

Análisis por confiabilidad de asentamientos

de cimientos superficiales

Introducción

Desde mediados del siglo XX, la inclusión de las teorías probabilísticas en

situaciones de análisis y diseño en la ingeniería geotécnica se ha tornado una

actividad más común y de mayor relevancia. Sin menospreciar los grandes avances

alcanzados a partir del enfoque determinístico, el uso de la probabilidad abre

definitivamente un amplio espectro de opciones que permiten al cuerpo de ingenieros

a cargo de un proyecto tener más alternativas a la hora de tomar decisiones, y permite

encontrar un equilibrio apropiado entre costos, viabilidad técnica y operativa, y

ciertamente la seguridad.

Es en ese sentido que la introducción de conceptos más desarrollados como la

determinación del margen de seguridad y la probabilidad de falla, a partir del análisis

estadístico de variables aleatorias, y no la sola definición de un factor de seguridad

por encima de uno (1.0), ha de ser un elemento ineludible y objeto de la mayor

atención a la hora de construir un modelo geológico – geotécnico para la solución de

un problema en esta rama de la ingeniería civil.

Así pues, el tipo de proyectos de investigación como el que aquí se desarrolla,

sigue la tendencia a abordar algunos problemas específicos de la geotecnia a partir de

un enfoque probabilístico, incorporando las herramientas de análisis que brinda la

estadística. En este caso en particular, se continuará con los valiosos trabajos

desarrollados anteriormente en la Universidad Nacional Sede Bogotá (García, 2008 y

Alarcón et Al, 2007) sobre la caracterización probabilística de sus depósitos de suelo,


ix

que en algunos casos ya alcanzan a esbozar un análisis por confiabilidad de los

asentamientos esperados una vez zonificado el campus universitario.

Avanzando un paso más en esta dirección, es necesario presentar rutinas

sistematizadas que permitan llevar a cabo de forma eficiente un análisis de

confiabilidad (en este caso en particular para deformaciones del terreno) que incluyan

diferentes métodos de simulación (Series de Taylor, Estimativos Puntuales y Método

de Monte Carlo) para condiciones de carga y geometría regulares en un cimiento

superficial. De esta manera se podrá aprovechar, de la mejor forma, la vasta

información ya recolectada y analizada en estudios anteriores y presentar a la

comunidad académica conclusiones para un escenario real y propio de la sabana,

evitando echar mano de valores propuestos en la literatura para condiciones

geológicas y geotécnicas posiblemente muy diferentes a las que encontramos en

nuestro entorno local.

Teniendo en cuenta estas vicisitudes, en este trabajo se plantearon los

siguientes objetivos:

- Como principal finalidad, generar una herramienta de cálculo que brinde los

elementos necesarios para estimar la probabilidad de ocurrencia de diferentes niveles

de asentamiento, para un cimiento superficial con una configuración de geometría y

carga determinados.

- Para cumplir cabalmente con el propósito mencionado, definir una adecuada

función de comportamiento para la evaluación de los asentamientos por

consolidación –S(c)- que en este caso resultará dependiente de dos variables

aleatorias: la relación de vacíos y el índice de recompresión del suelo. El perfil

propuesto del terreno estará dividido en dos estratos, lo cual conducirá a contemplar

un total de cuatro variables aleatorias en todo el estudio.

- Una vez construida la ecuación de comportamiento, asignar funciones de

probabilidad a los cuatro parámetros geotécnicos que se asumieron como variables

aleatorias, y que orientarán también la función de probabilidad de S(c).


x

- Habiendo definido claramente los elementos anteriores, crear un algoritmo para ser

implementado en una hoja de cálculo Excel, y que permitirá obtener la evaluación

numérica de un margen de seguridad y una probabilidad de falla para diversos niveles

de asentamientos, a través de la aplicación de cuatro modelos de simulación. A saber:

o Series de Taylor (Métodos de primer y segundo orden)

o Estimativos puntuales

o Monte Carlo (M.C.S.)

- Como producto de las actividades mencionadas previamente, determinar la función

de probabilidad que mejor se ajuste al comportamiento de la función definida como

S(c). Esta elección definirá en consecuencia el cálculo de la probabilidad de falla del

sistema, teniendo como rasero la normativa dispuesta en la NSR-10.

En particular para el modelo M.C.S., es fundamental la escogencia de las funciones de

probabilidad para la generación de los miles de números aleatorios que alimentarán el

procedimiento. Con la gran diversidad de resultados obtenidos de las cuatro técnicas

de simulación expuestas, se plantean las conclusiones pertinentes sobre el

comportamiento aleatorio que presenta el asentamiento por consolidación para la

profundidad y cargas definidas en el modelo de estudio. La herramienta

computacional, como se ha dicho, diseñada en Excel, brinda la oportunidad de

recorrer cada uno de los pasos desarrollados en el análisis por confiabilidad y por su

estructura, permite ingresar otros conjuntos de datos para hacer análisis semejantes

pero con valores de entrada diferentes a los presentados en este documento.


1

Capítulo Uno

Incertidumbre y confiabilidad en la ingeniería geotécnica.

La ingeniería geotécnica, entendida como aquella rama de la ingeniería civil

que aplica toda su tecnología y conocimiento al estudio y uso como material de

construcción del suelo, afronta el enorme reto de trabajar con materiales de

comportamiento anisotrópico, no lineal, no conservativo y con una enorme

variabilidad y heterogeneidad en sus depósitos naturales (Holtz et Al, 2011). Por tal

razón, desde mediados del siglo pasado, y fuertemente influenciados por los primeros

progresos realizados en el campo de la ingeniería estructural, empezaron a volverse

más comunes los análisis probabilísticos y de riesgo1 en la práctica geotécnica,

especialmente motivados por desastres ocurridos en algunas construcciones civiles de

gran dimensión (Baecher & Christian, 2003).

Sin embargo, al adentrarse en este nuevo enfoque dado al tratamiento de los

materiales térreos, salen a flote una serie de términos que posiblemente son usados a

diario indistintamente, tales como incertidumbre, aleatoriedad, variabilidad y

confiabilidad.

Con este marco de referencia, y para dar claridad a algunos de los conceptos

mencionados anteriormente, se da inicio a este capítulo que de forma sintética

mostrará los elementos conceptuales que fundamentan un análisis por confiabilidad

en ingeniería.

1.1 Variabilidad, aleatoriedad e incertidumbre

En la práctica geotécnica, especialmente en cuanto a caracterización del

subsuelo y diseño de las estructuras se refiere, se hace evidente la marcada influencia

1 Análisis de Riesgo: de acuerdo con la Ley 1523 de 2012, el análisis de riesgo implica la consideración de las causas y

fuentes de riesgo, sus consecuencias y la probabilidad de que dichas consecuencias puedan ocurrir, mediante la relación cualitativa, semicuantitativa o cuantitativa de la amenaza y la vulnerabilidad, con el fin de determinar los posibles efectos sociales, económicos y ambientales, y sus probabilidades. Tomado de Guía Metodológica para estudios de amenaza, vulnerabilidad y riesgo por movimientos en masa. Servicio Geológico Colombiano, mayo 2015.


2

que tiene la variabilidad –variability- de los materiales a toda escala, es decir, la

variación inherente de sus propiedades mecánicas respecto al tiempo y al espacio: por

consiguiente y dado el carácter de impredecible que se le da a este conjunto de

situaciones, se habla de fenómenos o comportamientos aleatorios –randomness-

(Christian and Baecher, 2003). Esta condición natural, que es que es la manifestación

observable de la heterogeneidad en los parámetros y procesos del suelo, se representa

cualitativa y cuantitativamente por medio de la incertidumbre –uncertainty-, que

refleja de alguna manera el modo en que los investigadores tratan de modelar la

variabilidad propia de los materiales térreos (Uzielli, 2007); se concluye entonces que

la incertidumbre no tiene el carácter de impredecible, sino más bien de

desconocimiento o falto de verificación. A manera de ejemplo, realizando un contraste

entre la fuerte heterogeneidad del subsuelo y su caracterización, se observa que hay

una fuerte variabilidad en toda escala de investigación, espacial y temporalmente, que

conduce insoslayablemente a una enorme variación en los parámetros medidos y en

los que son calculados a partir de ellos. Por eso cabe la pregunta, ¿es confiable la

caracterización geotécnica? (Uzielli, 2008)

1.2 Fuentes y tipos de incertidumbre

Luego de revisar una terminología básica, vale la pena discriminar las que son

consideradas fuentes de incertidumbre en un análisis geotécnico, y la estrecha

relación que guardan entre sí en cuanto al carácter aleatorio de las propiedades del

suelo y su medición en campo o laboratorio. Con este fin, la figura 1.1 categoriza tres

orígenes de incertidumbre claramente distinguibles, a saber: la variabilidad propia de

la naturaleza del suelo -debido a los procesos geológicos que lo originaron-, la

incertidumbre en la medición de los diversos parámetros en el terreno -incrementada

sustancialmente por el limitado número de ensayos- y por último, el modelo adoptado

en el diseño, que incluye aspectos tan importantes como el uso de ecuaciones

empíricas y la estimación de las propiedades del suelo.


3

Figura 1.1 Fuentes de incertidumbre en un análisis geotécnico (Adaptado de Kulhawy, 1992)

Adicionalmente, en la literatura especializada se habla de los tipos de

incertidumbre asociados con esta rama de la ingeniería. Generalmente se coloca en

primer lugar la incertidumbre aleatoria, atribuida a la variabilidad natural; por otro

lado, la incertidumbre epistémica, generada por un conocimiento científico imperfecto

y finalmente la incertidumbre debida al error humano. La figura 1.2 es muy explícita

en cuanto a esta clasificación, dada para un análisis de riesgo

Figura 1.2 Tipos de incertidumbre involucrados en un análisis de riesgo (Adaptado de Christian y Baecher, 2003)


4

Como elemento adicional a la terminología introducida previamente, aparece

en esta clasificación un tipo de incertidumbre debida al modelo de decisión. Según lo

refieren Christian y Baecher (2008), este elemento tiene que ver con la verosimilitud

del modelo o diseño propuesto en comparación con las características físicas y reales

de la situación que se pretende simular. De hecho, incluye situaciones tan especiales

como la acogida o rechazo de una población a los proyectados implementados y la

relación beneficio-costo-tiempo de impacto de las obras ejecutadas. Como es de

esperar, este tipo de consideraciones no son fáciles de evaluar y merecen aún una

profunda investigación.

Para finalizar este apartado, se presenta en la figura 1.3 una clasificación

alternativa de los tipos de incertidumbre, ejemplificando el diseño de una excavación

en un macizo rocoso.

Tipo Descripción Ejemplo: estabilidad de macizos rocosos

1 Riesgo de encontrarse con una condición geológica desconocida.

Estructuras desconocidas o zonas débiles. Presencia inesperada de agua.

2 Riesgo de utilizar criterios geotécnicos equivocados.

No se identifica correctamente el mecanismo de falla. Se aplica el modelo numérico inapropiado.

3

La variación en el parámetro de diseño es mayor de lo estimado.

Se subestiman las propiedades de variabilidad de los materiales. Limitada comprensión de separación y longitud de diaclasas.

4 Error humano. Limitada calidad de los datos recogidos.

5 Cambios en el diseño. Limitada planificación que origina un rediseño. Cambios de diseño realizados en el campo sin consulta.

6 Diseño ultra conservador. Asumir toda una excavación con cuñas. Aplicar factores de seguridad muy altos en todas las etapas del diseño.

Tabla 1.1 Tipos de incertidumbre en el diseño geotécnico (McMahon, 1985)

1.3 La confiabilidad como estrategia para tratar la incertidumbre

Al ser conscientes de la variabilidad latente en toda actividad ingenieril, es

necesario recurrir a una disciplina que enseñe cómo razonar de manera lógica y a

tomar decisiones informadas en presencia de la variabilidad y la incertidumbre,

puesto que sin estas dos últimas, se conocería toda la información que se desea con

una sola observación (Devore, 2005). Así pues, es menester acudir a la estadística


5

inferencial para analizar, interpretar y presentar de forma apropiada los datos

recolectados en campo, laboratorio u otras fuentes de información secundaria. Este

análisis inferencial, conformado en parte por la construcción de histogramas y la

determinación de momentos estadísticos, ayudarán a la selección de unas

distribuciones de probabilidad que tratarán de modelar el comportamiento aleatorio

de los materiales y sus propiedades, con el fin último de garantizar la seguridad de las

estructuras; esta serie de premisas confluyen en lo que se conoce como confiablidad –

reliability- en ingeniería (Kaggwa et al, 2002).

Lógicamente, debido a la cantidad de conceptos probabilísticos inmersos en

este contexto, estas nociones se desarrollarán profusamente a lo largo de los Capítulos

dos y tres. Por ahora, resulta oportuno indicar los componentes fundamentales de un

estudio basado en confiablidad, tal y como lo presenta la figura 1.4.

Figura 1.3 Procesos y elementos que conforman un análisis por confiabilidad (Adaptado de Uzielli, 2008)

En suma, esta estrategia para el manejo de la incertidumbre en los problemas

relacionados con el suelo, induce a una mejor evaluación del comportamiento y la

sensibilidad de los parámetros geotécnicos planteados en el diseño de una estructura;


6

precisamente, en este documento de investigación, dicha estrategia estará enfocada al

análisis de asentamientos en un estrato compresible, a partir de la definición de

variables aleatorias, importantísimo término con cuya definición iniciará el segundo

capítulo. Por eso, para terminar esta sección, se trae a colación un procedimiento

propuesto por Uzielli (2008) sobre los retos que afronta el ingeniero geotécnico, en

presencia de la enorme variabilidad de los parámetros con que debe trabajar a diario

en su quehacer profesional.

Figura 1.4 Estrategias para el manejo de la variabilidad en geotecnia (Adaptado de UZIELLI, 2008)


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Capítulo Dos

Conceptos de probabilidad empleados en un Análisis por Confiabilidad

En el estudio probabilístico de un problema geotécnico, los parámetros del

suelo involucrados deben tratarse como variables aleatorias. Este concepto de

variable aleatoria es fundamental en el desarrollo de un análisis por confiabilidad; por

tal razón, este capítulo iniciará con su definición y características, las cuales se

describirán sucintamente junto con unas funciones especiales que permiten su

manejo e interpretación: la función de densidad de probabilidad y la función de

distribución acumulada. Para lograr echar mano de estas herramientas estadísticas

tan poderosas, es necesario hacer una breve revisión de ciertos conceptos básicos de

estadística y probabilidad, los cuales se presentarán acompañados de algunos

ejemplos alusivos a situaciones comunes en la ingeniería geotécnica. Estos elementos

serán el principal insumo para afrontar el problema objetivo de esta investigación:

evaluar mediante algunas técnicas sofisticadas la incertidumbre en el cálculo de los

asentamientos por consolidación. Por tal razón, resulta conveniente iniciar este

capítulo con un concepto que tendrá que confrontar el ingeniero geotecnista en su

práctica diaria: el manejo que debe darle a la incertidumbre (Einstein and Baecher,

1982).

2.1 Variables aleatorias

Si se piensa en un experimento como un proceso que puede concretarse al

menos en dos resultados posibles (éxito o fracaso), en donde se desconoce cuál de

ellos tendrá lugar, una variable aleatoria puede entenderse como una función

numérica, cuyo valor está relacionado con el resultado que se presente en dicho

experimento.

Por lo tanto, ese valor de la función es desconocido y al estar asociado a la

ocurrencia de un evento aleatorio (o sea, el resultado del experimento) debe

describirse por medio de una probabilidad. Así pues, esta función matemática estará


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definida a partir de un espacio muestral, es decir, el conjunto de todos los eventos que

puedan presentarse al realizar el experimento en mención (Devore, 2005).

En la nomenclatura más frecuentemente usada, se utiliza la letra mayúscula

para denotar la variable aleatoria y las minúsculas para designar el valor que ésta

puede tomar. Considérense los siguientes ejemplos:

Variable aleatoria V: número de días en el mes más lluvioso, en que caen lluvias

mayores a 10 cm.

v = 5; evento en el que cinco días a la semana se presentan lluvias mayores a 10 cm.

Variable aleatoria W: número de cilindros de concreto, de una muestra de 10, con

resistencia a la compresión mayor a 210 kg/cm2

w = 2; evento en el que dos cilindros de concreto, de una muestra de 10, registraron

una resistencia a la compresión mayor a 210 kg/cm2

Variable aleatoria X: peso unitario total, en ton/m3, de 8 muestras de material

tomadas en una zona en particular de una exploración

1.8 ≤ x ≤ 2.0; evento en el que se hallan pesos unitarios comprendidos entre 1.8

ton/m3 y 2.0 ton/m3 para las 8 muestras

Variable aleatoria Y: valor del ángulo de fricción para muestras de suelo arcilloso,

extraídas de un talud no fallado

y ≥ 40°; evento en el que se obtienen ángulos de fricción mayores o iguales a 40° para

el caso mencionado

Se ve en estos cuatro casos, que existen dos categorías para los valores que

pueden tomar las variables aleatorias. En el caso de V y W, se habla de variables

discretas, puesto que el dominio de la función está compuesto exclusivamente por

números enteros positivos (0,1,2,…n), mientras para X e Y el dominio será el conjunto


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de los números reales; por consiguiente, la función podrá asumir una cantidad infinita

de valores. Generalmente estas últimas son las de mayor uso en la ingeniería

geotécnica y este trabajo se centrará exclusivamente en ellas, a menos que se indique

lo contrario.

2.2 Función de densidad de probabilidad (PDF) y función de distribución acumulada

(CDF)

Luego de definir su naturaleza, el interés será establecer funciones que

permitan calcular la probabilidad de ocurrencia de un evento para casos particulares

de una variable aleatoria. Tales funciones se definirán rigurosamente.

Sea una variable aleatoria continua. Entonces, una función de densidad de

probabilidad (PDF, probability density function) de , es una función tal que para

dos números cualesquiera y , con ,

∫

(1)

Es decir, la probabilidad que tome un valor en el intervalo [ , ] es el área

bajo la gráfica de la función de densidad. La gráfica de se llama entonces curva

de densidad, tal como es expuesta en la Figura 2.1.

Figura 2.1 Ejemplo de curva de densidad de probabilidad PDF para una v.a. X. (Elaboración propia)

Para que sea una PDF válida, se debe satisfacer las dos condiciones siguientes:


10

∫

.0

En este caso, la probabilidad asignada a un valor en particular c es cero, y la

probabilidad de un intervalo no depende de si está o no incluido cualquiera de sus

puntos terminales.

∫

La función de distribución acumulada (CDF, cumulative distribution function)

para una variable aleatoria continua , está definida para todo número

mediante

∫

Para cada , es el área bajo la curva de densidad a la izquierda de . Para

una variable aleatoria continua, en particular las curvas PDF y CDF, podrían tomar la

forma de la figura 2.2.

Figura 2.2 Curvas CDF y PDF para una variable aleatoria X (Adaptado de Russelli, 2008)

Se observa que la gráfica de CDF debe ser una función continua creciente con

valores en el intervalo [0,1]. De forma similar, PDF es una función no negativa para

todos los valores de y el área total bajo su gráfica será siempre la unidad.


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2.3 Parámetros descriptores de una variable aleatoria

Cuando se ha definido cuál es la función de densidad de probabilidad para una

variable aleatoria, interesa determinar algunos parámetros característicos, que

además de describir el comportamiento de la PDF, son herramientas muy útiles para

realizar cualquier tipo de inferencia. En su orden, se presentará la definición de valor

esperado, varianza y desviación estándar, coeficiente de variación y asimetría.

Finalmente, se abordarán los conceptos de covarianza y coeficiente de correlación.

2.3.1 Valor esperado (esperanza matemática)

El valor esperado , llamado también esperanza matemática - [ ]- es un

promedio aritmético ponderado de los posibles valores de la variable aleatoria ,

cuya PDF sea . El factor de ponderación es la probabilidad de ocurrencia para

cada . Su expresión tiene la forma

[ ] ∫

En términos prácticos, el promedio de los valores observados en un

experimento debería estar próximo a y se acercaría aún más entre mayor sea el

número de observaciones realizadas.

Para muestras que contengan datos no agrupados y a los que se les desee calcular su

valor promedio , o media muestral, se utiliza la tradicional fórmula

∑

(2)

2.3.2 Varianza y desviación estándar

Otro descriptor de gran importancia para una variable aleatoria, es la medida

de dispersión de los valores que toma alrededor de su valor esperado [ ]. En la

formulación, se eleva al cuadrado el término , ya que la sumatoria de tales

diferencias es cero; la varianza se halla mediante la ecuación

[ ] ∫


12

Por otro lado, ya que el área total es la unidad, la raíz cuadrada positiva de

es equivalente al radio de giro del área geométrica de PDF. Traducido al lenguaje

estadístico, este parámetro que resulta ser de gran importancia, se denomina

desviación estándar,

√ [ ]

Indudablemente se trata de una medida de dispersión, ya que se deriva de ,

pero tiene la cualidad de estar expresada en las mismas unidades de , el valor

promedio.

De nuevo, para una muestra de datos no agrupados con una media muestral

se calcula su varianza muestral mediante

∑

De manera análoga, la desviación estándar muestral se obtiene de la raíz

cuadrada de ,

√ (3)

2.3.3 Coeficiente de variación

Determinar un grado relativo de dispersión de una variable aleatoria,

únicamente a partir de su desviación estándar, puede no ser tan prudente. Por tal

razón, conviene normalizar este parámetro dividiéndolo entre su respectivo

promedio. Se tiene entonces un término adimensional que incluso permitiría

comparar dos poblaciones de diferente naturaleza. A dicha razón se le conoce como el

coeficiente de variación:

[ ] (4)

Ya que será un parámetro de enorme relevancia en este trabajo, más

adelante se estudiará con más detalle bajo qué perspectivas debe analizarse y

emplearse su valor, pues es evidente a partir de la experiencia en campo y de

reconocidos estudios que se han realizado, que para diversas propiedades del suelo, el

coeficiente de variación será representativo para muestras cuyo origen geológico sea


13

similar e incluso, extraídas de zonas relativamente cercanas (Fenton & Griffiths,

2003).

Para muestras de tamaño , con datos no agrupados, no es difícil intuir que el

coeficiente de variación muestral se calcula como / .

2.3.4 Asimetría (skewness)

Este descriptor, como su nombre lo indica, proporciona una medida del grado

de asimetría o sesgo de la PDF de una variable aleatoria. Está definida

matemáticamente como:

[ ] ∫

Sin embargo, es común en la literatura encontrar referencias a este descriptor

como el coeficiente de asimetría o coeficiente de sesgo, que es adimensional y cuya

fórmula es:

∫

Para valores positivos de , la curva PDF se muestra empinada a la izquierda

(valores bajos de ) mientras que si , la PDF estará empinada hacia la derecha,

es decir, para valores altos de . Cuando , se tiene una función simétrica. La

Figura 2.3 ilustra tales situaciones.


14

Figura 2.3 Valores representativos del coeficiente de asimetría para algunas PDF (Adaptado de Russelli, 2008)

2.3.5 Covarianza y coeficiente de correlación

Para una función cualquiera de dos variables aleatorias, es de interés

determinar si hay dependencia o no de las variables en juego. Una forma de

cuantificar esta relación, es a través de la covarianza, que da origen a un parámetro

estadístico aún más empleado, el coeficiente de correlación, que solventa el problema

de las unidades de medida de las variables en estudio. Para variables aleatorias

continuas,

[ ] [ ] ∬

Una representación simplificada de esta expresión es:

[ ] [ ]

Inicialmente, a través de la covarianza podría intuirse una relación positiva (si

una variable crece, la otra también) o negativa (una crece y la otra decrece). La

limitación estriba en que el valor calculado de [ ] depende fuertemente de las

unidades de medida empleadas. Por ejemplo, para unos desplazamientos medidos en

milímetros, ¡una [ ] sería 10-6 veces la covarianza de los mismos

desplazamientos medidos en metros! Para tal efecto, normalizando [ ], se llega

a esta conocida ecuación para el coeficiente de correlación


15

Para dos variables aleatorias . De acuerdo con este

enunciado, en el caso de , se muestra la relación positiva más fuerte y se

espera un alto grado de correspondencia lineal entre las variables (pendiente

positiva); de modo análogo cuando (pendiente negativa). Pero para el caso

de , no puede deducirse que sean independientes; sólo que hay una

ausencia total de relación lineal, y se dice en este caso que no están

correlacionadas.

La figura 2.4 ayuda a visualizar claramente las anteriores definiciones.

Figura 2.4 Variación de para dos variables (Adaptado de Russelli, 2008)


16

2.4 Funciones de distribución de probabilidad continuas

En las secciones anteriores se establecieron dos condiciones ineludibles para

que una función de densidad de probabilidad, PDF, sea válida para calcular la

probabilidad de ocurrencia de un evento en particular. Dichas condiciones eran que

, y que el área total bajo esa gráfica sea exactamente la unidad.

Visto así, cualquier función matemática que cumpla estos dos requerimientos sería

útil para estudiar variables aleatorias continuas. Sin embargo, determinar con

precisión cuál es la forma de la PDF y encontrar uno a uno sus parámetros

descriptores no es tan sencillo, de tal forma que se hace obligatorio hacer uso de

algunas distribuciones especiales que a lo largo del tiempo han probado su enorme

conveniencia para la descripción de muchos sucesos aleatorios.

El propósito esencial de esta sección es analizar con cierto detalle tales

distribuciones que se emplearán en especial en el capítulo cuarto cuando se adopte un

modelo geológico-geotécnico para el análisis de la variabilidad en la función de

comportamiento que se estudiará posteriormente.

2.4.1 Distribución normal y distribución normal estándar.

Se cita con frecuencia en los textos de probabilidad y estadística que la

distribución normal es la más importante en esta rama del conocimiento, pues

muchas poblaciones numéricas (alturas, pesos, errores de medición, puntuaciones en

pruebas y hasta medidas económicas) se pueden ajustar con gran precisión mediante

una curva normal apropiada. Además, aunque cada una de las variables en juego no

tenga una distribución normal, sus sumas y promedios, en condiciones adecuadas, sí

tenderán a distribuirse normalmente. Esto es esencialmente lo que explica el conocido

teorema del límite central. Por otro lado, es común caracterizar numerosas variables

aleatorias como normalmente distribuidas cuando su coeficiente de variación no

supera el 30% (Russelli, 2008).

Se dice que una v.a. tiene una distribución normal con parámetros media

y desviación estándar , donde y , si su PDF es


17

√

[

]

Esta extensa notación suele abreviarse como . En la Figura 2.5 se

observa la simetría respecto a , la forma acampanada y la notable influencia que

tiene en la forma empinada o aplanada de dicha curva.

Figura 2.5 Curvas PDF normales con diversos valores de y (Elaboración propia)

De hecho, es la distancia desde hasta el punto de inflexión de la curva, lo

que causa que valores pequeños de se presenten cuando la mayoría de valores de

están concentrados alrededor de su media.

Está claro que si se quisiera hallar, por ejemplo, el valor de en

una PDF normal, debería resolverse la integral ∫

√

[

]

. Pero esta

integral no se puede evaluar por métodos algebraicos comunes; por tal razón, con

y , dicha expresión se ha tabulado para algunos valores de y .

Naturalmente, estas tablas se pueden usar para el cálculo de probabilidades con

medias diferentes de cero y desviaciones estándar distintas de uno, a través de la

distribución normal estándar, cuya PDF está descrita por

√

-56 -40 -24 -8 8 24 40 56


18

y cuyos parámetros son y . Entonces, una distribución normal

arbitraria se convierte en normal estándar, realizando esta simple transformación:

A pesar de todas sus bondades, es imperativo mencionar que para estas

distribuciones el dominio de y/o está comprendido entre , dando la

posibilidad de tener variables negativas, lo cual contradice abiertamente la naturaleza

de los materiales estudiados en la geotecnia. Sin embargo, dichas funciones pueden

emplearse para hacer una primera estimación sobre su comportamiento aleatorio;

por otro lado, cuando el coeficiente de variación es menor que 0.3,

, lo que sería, en realidad, incurrir en un error muy pequeño.

2.4.2 Distribución logarítmica normal (lognormal)

Una variable aleatoria no negativa, tiene una distribución lognormal si el

logaritmo natural de , es decir , tiene una distribución normal. La v.a.

quedará definida mediante los parámetros y y su PDF está definida por

( )

√

[

]

Evidentemente, los parámetros y corresponden a , y se

pueden calcular mediante las fórmulas

*

+ [

]

Ya se vio que una distribución normal es simétrica respecto a su media, pero

una lognormal tiene un sesgo positivo, como se ve en la Figura 2.6, con diferentes

valores y .


19

Figura 2.6 PDF lognormal con diferentes valores de y (Elaboración propia)

Debido a que tiene una distribución normal, la PDF de se puede

expresar en términos de la PDF de una v.a. normal estándar; por eso, si ,

(

) (

)

La distribución lognormal, en general, es muy aceptada para modelar varias

propiedades del suelo, como la cohesión, el módulo de elasticidad y la tangente del

ángulo de fricción, debido a la restricción que impone de trabajar solo con valores

positivos; igualmente, debido a la propiedad multiplicativa de los logaritmos, es apta

para modelar el comportamiento de funciones que contienen variables

independientes que se multiplican y dividen entre sí (Fenton & Griffiths, 2008).

En los resultados finales, será interesante estimar a qué tipo de distribución se

acerca más la forma adoptada por la PDF empírica de la función de comportamiento,

que se hallará a través de alguna de las técnicas de modelación expuestas en el

siguiente capítulo.


20

Capítulo Tres

El análisis por confiabilidad y algunas técnicas de Evaluación de la

incertidumbre en Geotecnia

Como se ha expuesto a lo largo de las páginas precedentes, la variabilidad

implícita en los cálculos ingenieriles conmina al uso de distribuciones de probabilidad

que puedan describir idóneamente el comportamiento aleatorio de los materiales y

sus propiedades. En resumen, tales funciones de probabilidad quedan definidas por su

valor medio, su desviación estándar e incluso por la simetría o asimetría de la PDF,

definida por su coeficiente de sesgo (skewness). En este capítulo se exponen cuatro

técnicas de amplio uso que buscan la evaluación apropiada de los dos primeros

parámetros mencionados y que van desde una complejidad mínima hasta la

reconocida técnica de simulación Método de Monte Carlo, que es el método más

comúnmente usado pero que demanda a la vez un algoritmo computacional más

robusto (Honjo, 2011). Tales técnicas, propenden por una evaluación racional de una

probabilidad de falla o si se quiere, de un margen de seguridad en el cálculo de un

asentamiento por consolidación, que en otras palabras podría traducirse como qué

tan probable es superar un asentamiento admisible o tolerable para un cimiento, de

acuerdo con una limitación establecida por algún código o criterio ingenieril (Duncan,

2000). Con esta perspectiva se da inicio a este segundo capítulo, introduciendo en

primer lugar el enfoque probabilístico de margen de seguridad y probabilidad de falla

(en contraposición al tradicional factor de seguridad) y algunas técnicas que

garanticen su apropiada evaluación.

En general, los conceptos teóricos aquí expuestos se encuentran pródigamente

tratados en varios de los textos mencionados en la bibliografía de consulta. Por tal

razón, solo se mencionan en este capítulo la terminología básica y las expresiones

matemáticas fundamentales, las cuales han sido tomadas en parte de un elaborado


21

documento de investigación sobre la probabilidad de falla en problemas de capacidad

portante de la doctora Consolata Ruselli, en su disertación Probabilistic Methods

applied to the Bearing Capacity Problem (Stuttgart, 2008) y naturalmente de un texto

de referencia obligada para estos temas, Reliability and Statistics in Geotechnical

Engineering (Baecher and Christian, 2003).

A continuación se presentan entonces los conceptos que fundamentan el

análisis por confiabilidad en la ingeniería geotécnica, además de los cuatro métodos

de evaluación de la incertidumbre para el cálculo de asentamientos usados en este

trabajo, iniciando con uno de los más empleados en estudios de este tipo: el Método

de Monte Carlo. Al final se verá cómo toda esta serie de elementos teóricos propician

un enfoque alternativo al tradicional Factor de Seguridad, enriqueciendo el criterio de

decisión del ingeniero en problemas que tengan que ver con la deformación del

terreno.

3.1 El margen de seguridad y la probabilidad de falla

El factor de seguridad, expresado básicamente como la relación entre las

fuerzas resistentes y las actuantes, se puede sustituir por la definición de margen de

seguridad Z, también definido como función de comportamiento. Esta función podría

indicar el colapso de una estructura o, aunque sea en un grado muy pequeño, su

pérdida de funcionalidad.

La función Z está definida generalmente como la diferencia entre la resistencia

R y la carga L de un sistema. Si representa un conjunto de variables aleatorias de

entrada, entonces el margen de seguridad está dado por

En la figura 3.1(a) se dibuja el margen de seguridad y la zona de falla se traza

en un plano Carga-Resistencia. Cuando Z 0 ocurre la falla, mientras que cuando Z 0

el sistema es seguro. El límite definido por Z =0, separando el estado seguro e

inseguro, es la llamada función de estado límite.


22

Figura 3.1 (a) Margen de seguridad; (b) y (c) Comparaciones entre margen de seguridad y factor de seguridad

(Ruselli, 2008).

El objetivo del análisis de confiabilidad es la garantizar una condición de

seguridad y esto sólo es posible en términos de probabilidad, por ejemplo

( )

Donde es la probabilidad de tener una condición segura y ( )

es la probabilidad de que la resistencia sea mayor que la carga.

Por otro lado, la probabilidad de que se dé una condición de inseguridad o dicho de

otro modo, la probabilidad de falla , está dada por

( )

Teniendo en cuenta la resistencia y la carga como variables aleatorias con su

función de densidad de probabilidad correspondiente, entonces la probabilidad de

falla se puede dimensionar por el tamaño de la zona de intersección o región de

falla, para los que la carga L es mayor que la resistencia R, es decir L>R, como se

muestra en la figura 3.1 (b) y 3.1(c). Las figuras 3.1 (b) y 3.1(c) también son útiles

para mostrar cómo la probabilidad de falla representa un indicador más racional de

condiciones inseguras que el factor de seguridad.

De hecho, para los dos casos de carga y resistencia en esa figura, el factor de

seguridad FS es el mismo, pero la probabilidad de falla es muy diferente. Entonces, el


23

mismo factor de seguridad se puede asociar con una amplia gama de niveles de

confiabilidad, mostrando así ser una medida inconsistente de seguridad.

Para apreciar los beneficios de considerar la probabilidad de falla para el

análisis de confiabilidad, se muestra otro ejemplo en la figura 3.2. Se presentan dos

casos: el primero tiene un factor de seguridad de 1.4 y menor incertidumbre, debido a

una desviación estándar más pequeña; el segundo caso tiene un factor de seguridad de

1.8 pero mayor incertidumbre, ya que tiene una desviación estándar más grande.

Desde un punto de vista determinista, parecería que el caso de FS = 1,8 es más

seguro. Sin embargo, cuando se comparan los valores de probabilidad de falla, el caso

aparentemente más seguro tiene una mayor probabilidad de falla, demostrando que el

análisis determinista no siempre es el enfoque más recomendable para tomar una

decisión definitiva.

Figura 3.2 Factor de seguridad y probabilidad de falla para diferentes valores de FS (Ruselli, 2008).

En el caso ejemplificado en la figura 3.2, se puede concluir que si bien se tiene

claridad sobre la relación entre las fuerzas resistentes y actuantes para ambos casos,

con una probabilidad de falla de se puede hacer un orden de comparación más

racional con la probabilidad de falla de .


24

3.2 Método de Simulación de Monte Carlo

La palabra simulación hace referencia a un método destinado a imitar un

sistema de la vida real, especialmente cuando otros análisis son matemáticamente

complejos o demasiado difíciles de reproducir. Un tipo de simulación es el método de

Monte Carlo (Monte Carlo Simulation, MCS) el cual puede ser usado en cualquier

campo del conocimiento. En el MCS los supuestos sólo se hacen sobre las variables

aleatorias de entrada, cuyos valores se generan de manera compatible con la función

de densidad de probabilidad correspondiente. Así como gran ventaja de este método,

el margen de seguridad, para el que no se requiere ninguna suposición sobre la

función de densidad de probabilidad, se calcula para cada iteración. El proceso se

repite numerosas veces y se evalúa el valor promedio, la desviación estándar y

opcionalmente el coeficiente de sesgo. De este modo, el procedimiento de Monte Carlo

consiste en resolver un determinado problema muchas veces para construir una

distribución probabilística de los resultados de salida.

Este método se aproxima a la verdadera respuesta y, por lo tanto, se utiliza

como referencia para compararlo con los resultados de otros métodos, como se

expondrá en los siguientes capítulos para el análisis probabilístico del cálculo de

asentamientos en un estrato arcilloso.

A pesar de sus bondades, hay que mencionar como dificultades que, para

algunos problemas geotécnicos tales como los análisis de estabilidad de taludes,

serían necesarios programas adicionales especiales para el MCS. Es más, para obtener

una confiabilidad real, el modelo necesitaría un gran número de simulaciones. En la

práctica es demasiado lento para los cálculos informáticos cotidianos, especialmente

para los códigos de elementos finitos. En este trabajo se busca, por consiguiente,

presentar enfoques alternativos al MCS que requieran sólo una cantidad limitada de

cálculos.

Para el tratamiento de los datos en esta investigación, el algoritmo de simulación

de la función de comportamiento Z se desarrolló de la siguiente manera:


25

1. Para cada variable aleatoria de la función de comportamiento Z adoptada, se

crea una columna de números aleatorios conforme a una distribución normal o

lognormal.

2. Cada conjunto de datos se reemplaza en Z y se obtiene un asentamiento. Esta

operación se repite un número de veces que se va incrementando desde 5

hasta 10,000.

3. Para finalizar, con el resultado de n asentamientos, se calcula un valor

promedio, una desviación estándar y un C.O.V de la función de comportamiento

Z.

3.3 Método de Primer Orden y Segundo Momento (FOSM)

La segunda alternativa para la evaluación de la incertidumbre es el Método de

Primer Orden y Segundo Momento (First Order Second Moment), el cual produce una

linealización alrededor del valor medio de las variables aleatorias de entrada de un

problema probabilístico. Este método usa la serie de desarrollo de Taylor y se evalúa

la función de comportamiento para determinar los valores de sus dos primeros

momentos centrales en función de las variables de entrada. Esta expansión se trunca

después del término lineal y por esta razón, el método se llama “Primer Orden”. Para n

variables aleatorias:

La función Z se evalúa en los valores medios de las variables aleatorias Xi,

consideradas como puntos de linealización. El valor medio y la variancia de Z con n

variables aleatorias no correlacionadas entre sí, están dados aproximadamente por:

Es prudente aclarar que en ciertas ocasiones es complicado evaluar derivadas

de funciones no lineales. Por esta razón, las derivadas requeridas se pueden estimar


26

numéricamente usando el enfoque de diferencias finitas u otras técnicas numéricas.

Para las funciones de densidad de probabilidad no normales el índice de confiabilidad

evaluado por el método FOSM es sólo una aproximación que es exacto para funciones

lineales y los términos de suma de las ecuaciones anteriores proporcionan un

indicador explícito de la contribución relativa de la incertidumbre de cada variable

aleatoria.

Naturalmente entre sus limitaciones está que debido al truncamiento de la

serie de desarrollo de Taylor después de los términos de primer orden, la exactitud

del método se deteriora si las derivadas de orden superior de la función de

comportamiento son significativas. Por eso, la exactitud del método FOSM disminuye a

medida que la no linealidad de una función aumenta y que conforme el nivel de

incertidumbre en las variables de entrada aumenta y sus funciones de densidad de

probabilidad se vuelven más sesgadas, la exactitud del método FOSM disminuye.

3.4 Método de Segundo Orden Segundo Momento (SOSM)

El método de Segundo Orden Segundo Momento (Second Order Second

Moment) representa una leve extensión del método FOSM. En realidad, con el método

SOSM es posible incluir términos de segundo orden de la expansión de la serie de

Taylor en la evaluación del valor promedio de la función de comportamiento.

Considerando las varianzas o las desviaciones estándar de dos variables

aleatorias, por ejemplo X e Y, el valor medio de Z estará dado por:

donde todas las derivadas se evalúan en el valor medio de las variables de entrada. El

término que incluye la covarianza se vuelve nulo si las variables no están

correlacionadas.

Cuando se compara con el método FOSM, la ventaja obvia del método SOSM es

que el valor medio calculado es más preciso porque se consideran los términos de

segundo orden en el análisis.


27

En la disertación doctoral de Kriegesmann (2012) se pueden encontrar las

expresiones para el cálculo de la media y varianza de la función de comportamiento

para un número n de variables aleatorias:

con la notación usual de gi para la i-ésima derivada de la función de comportamiento y

de μk para el k-ésimo momento estadístico de la función g. El sumando SOTM alude al

término de la aproximación para Second Order Third Moment.

3.5 Método de los Estimativos Puntuales (PEM)

Otro método alternativo para evaluar los momentos estadísticos de una

función de comportamiento es el Método de los Estimativos Puntuales (Point Estimate

Method). El método de Estimativos Puntuales fue desarrollado originalmente por

Rosenblueth (1975) y después fue modificado por otros autores como Christian y

Bäecher (1999) y Hong (1998).

El Método de los Estimativos Puntuales es una técnica computacional sencilla

para el análisis de la incertidumbre, capaz de estimar los momentos estadísticos para

funciones de diversas variables: es fundamentalmente un método de promedio

ponderado similar a las fórmulas de integración numérica que implican los puntos de

muestreo y parámetros de ponderación.

La idea básica de este método es reemplazar las distribuciones de probabilidad

de las variables aleatorias continuas por distribuciones discretas equivalentes que

tienen los mismos tres primeros momentos centrales, para calcular a continuación el

valor medio, la desviación estándar y la asimetría de una función de comportamiento.


28

Para hacer esto, se consideran dos estimativos puntuales en una desviación

estándar a cada lado del valor medio de la distribución que representa las variables

aleatorias. Entonces, la función de comportamiento se calcula para cada combinación

posible de las estimaciones puntuales, produciendo 2n soluciones, donde n es el

número de las variables aleatorias involucradas. Así, el valor medio, la desviación

estándar y la asimetría de la función de comportamiento se pueden encontrar a partir

de estas 2n soluciones. Una representación gráfica como la de la figura 3.3 ilustra

claramente la esencia de esta aproximación.

Figura 3.3 Discretización de una función de probabilidad en el método PEM (Ruselli, 2008).

Entre las virtudes más importantes del método PEM en comparación con los

métodos FOSM y SOSM, se tiene que no requiere de la forma de la función de densidad

de probabilidad de las variables aleatorias de entrada y proporciona el valor medio, la

desviación estándar y también el coeficiente de asimetría de una función de

comportamiento, dando resultados más exactos que los métodos FOSM y SOSM con

poco o ningún aumento de trabajo computacional. Al mismo tiempo el método PEM

puede describir mejor el comportamiento de funciones no lineales.

No obstante, deben tenerse en cuenta como limitaciones de este procedimiento

que no se obtiene ninguna información adicional sobre la forma de la PDF de la

función de salida y que la asimetría calculada mediante este algoritmo presenta una

diferencia significativa en el valor de la asimetría derivada de otros métodos más

complejos.


29

Finalmente, como lo sugieren Christian y Bäecher (1999), no debería ser

aplicado para evaluar momentos más altos que el segundo (varianza) para funciones

no lineales. Además, estos autores observan que cuanto mayor sea el coeficiente de

variación de las variables de entrada, mayor es el error en las estimaciones.


30

Capítulo Cuatro

Modelo de Estudio para el cálculo de asentamientos

Luego de haber expuesto los términos y técnicas estadísticas que constituyen el

fundamento teórico de este trabajo, se enfocarán tales conceptos en la construcción de

un modelo para el cálculo de asentamientos que involucre la evaluación de la

incertidumbre y posteriormente, un margen de seguridad basado en confiabilidad.

Este modelo pretende mostrar las diferentes fases necesarias para aplicar las cuatro

técnicas expuestas a priori en el desarrollo de un ejercicio con una connotación real.

Para ello, se tomará como fuente básica de información algunos estudios sobre la

compresibilidad del terreno en el Campus de la Universidad Nacional en la ciudad de

Bogotá. Dada la magnitud de la carga externa aplicada al cimiento superficial aislado

que se analizará en el caso de aplicación, sus dimensiones y las propiedades del

subsuelo, se harán las simplificaciones pertinentes y se elaborará una hoja de cálculo

en Excel que permita ingresar los datos de entrada del modelo (básicamente

promedios y desviaciones estándar de las propiedades de los materiales) para llegar

finalmente a un valor medio del asentamiento y su coeficiente de variación estimado

con cuatro alternativas diferentes. Todos los detalles relativos a los documentos que

sirven de referencia en cuanto a la descripción de un modelo geotécnico, se tratarán

en el siguiente capítulo, pero se citarán en este apartado los puntos cruciales que

contribuirán a la correcta definición de la función de comportamiento, elemento

esencial y punto de partida para el análisis por confiabilidad que se está haciendo.

4.1 Fórmulas para el cálculo del asentamiento por consolidación.

Cuando un material es sometido a esfuerzos o cargas, éste se deforma. Dicha

deformación se manifestará en un cambio de la forma (distorsión) o en un cambio de

volumen. Mientras en algunos materiales esta deformación se presenta de inmediato,

en otros la respuesta ocurrirá en un tiempo relativamente largo. En especial para

suelos arcillosos, se tendrá este tipo de comportamiento y siendo más concretos,

cuando se habla de la deformación total vertical en la superficie de un depósito


31

arcilloso generada por una carga, se hablará propiamente de asentamientos (Budhu,

2011).

Por lo general, el asentamiento total en las arcillas se desglosa en tres

componentes:

a. asentamientos inmediatos

b. asentamientos por consolidación

c. asentamientos por compresión secundaria

Sobre cada uno de estos componentes sobreabunda la literatura técnica, pero con

fines específicos se aludirá en este capítulo particularmente a dos aspectos

concernientes al literal b,

- Esfuerzo de preconsolidación (historia de esfuerzos) y

- Encontrar una ecuación para calcularlos

Sobre el primer punto, el mismo Casagrande afirma que los cambios que

experimenta el suelo durante su depósito se preservan en la estructura del suelo

(Peck et al, 1995).

En efecto, cuando una muestra de laboratorio o un depósito de arcilla se han

sometido a un esfuerzo mayor que el que han soportado con anterioridad (esfuerzo de

preconsolidación ), su respuesta puede resultar en cambios drásticos de la

pendiente de los dos tramos de la curva de consolidación.


32

Figura 4.1. Formulación de la ecuación de asentamientos en suelo sobreconsolidado (Holtz, Kovacs, Sheahan, 2011)

Un diagrama de este tipo se muestra esquemáticamente en la Figura 4.1, donde

se distingue al tramo más plano como una sección de recompresión y el más empinado

como una sección de compresión virgen.

Se tiene entonces a partir de los conceptos mencionados hasta aquí, la

clasificación de un suelo arcilloso como normalmente consolidado ( cuando

el esfuerzo vertical equivale al esfuerzo de preconsolidación, y en un caso alterno, un

suelo arcilloso sobreconsolidado ( si tal esfuerzo de preconsolidación es

mayor a los esfuerzos verticales existentes hoy día ( . Se define así una relación de

sobreconsolidación como

.

Sobre el segundo punto que se mencionaba renglones atrás, la misma Figura

4.1 da luces sobre la forma de una ecuación para el cálculo de los asentamientos, ya

que el problema puede reducirse a cuantificar el cambio en la relación de vacíos del

material; por tal razón y como lo explican claramente los diagramas en mención, las

siguientes fórmulas son empleadas para hallar el asentamiento en un suelo

sobreconsolidado:


33

Como se expondrá detalladamente en el quinto capítulo, las condiciones

geotécnicas del subsuelo del Campus de la Universidad Nacional tienen una marcada

tendencia en los primeros metros de profundidad: desde la superficie hasta incluso

más allá los diez metros, el suelo es altamente sobreconsolidado (Alarcón, Parra Et Al,

2007). Es por esto, que se hace especial énfasis en las ecuaciones mostradas arriba, ya

que dada la geometría del cimiento elegido en esta investigación, la profundidad de

influencia de la carga exterior no irá más allá de los ocho metros bajo la superficie: el

monograma de bulbos de presión para cimientos rectangulares y continuos da

soporte a esta consideración (Figura 4.2). De tal modo que en este escenario, sólo se

hará uso de la ecuación de cuando .

Figura 4.2. Monograma de isobaras de esfuerzo (o bulbos de esfuerzo) (Bowles, 1996)


34

4.2 Determinación de la función de comportamiento

Se llega a una instancia muy relevante del análisis por confiabilidad: establecer

la función de comportamiento. Para dar una connotación completamente real y

práctica a los cálculos, la Figura 4.3 representa un cimiento rectangular aislado para

una construcción de cuatro niveles inaugurada en el Campus Universitario en 2016

(Nuevo Edificio de Enfermería).

Sus dimensiones son , y está emplazada sobre

un depósito de arcilla que soportará cargas estimadas por columna del orden de 50 a

100 Ton (Tapia, 2015, pp 9), teniendo así un valor máximo de esfuerzo de 81.66 KPa ≈

82 KPa a partir de las cargas de diseño. Aunque este edificio consta de otro módulo

que transmitirá cargas mayores (50 a 200 Ton), el sistema constructivo contempla

otro tipo de soluciones para esa cimentación.

Adicionalmente, tal y como lo reporta Meyerhof (1995), la afectación por carga

externa en la variabilidad del asentamiento calculado es del orden de 5%< c.o.v.

<15%, en concordancia con valores de desviación estándar reportados por Duncan

(2000), en su emblemático artículo Factors of safety and reliability in geotechnical

Engineering, donde señala para cargas por estructuras de concreto una varianza del

10% (σ²=0.010, σ=0.10). Por esta razón, no se considera a la carga ( ) como una

variable aleatoria en este ejercicio.


35

Figura 4.3 Configuración de carga, estratos y propiedades geotécnicas del suelo (Elaboración propia)

Ahora, el incremento de esfuerzos en la masa de suelo debido a la carga

externa, se halla con la fórmula propuesta por Newmark en 1935 y que fue

ligeramente modificada por Holl hacia 1940:

=

[

√

(

)

√ ] (7b)

Esta fórmula proporciona el esfuerzo vertical en la profundidad bajo la

esquina de una superficie rectangular (x*y) uniformemente cargada, donde m=x/z y

n=y/z para un esfuerzo de contacto q0.

Por otro lado, con base en el modelo de terreno que se explicará

exhaustivamente en el capítulo siguiente y asumiendo una profundidad de influencia

para el incremento de carga igual a (Figura 4.2), se establece un

perfil del terreno que a su vez ha sido dividido en cuatro subcapas, cada una de ellas

con unos valores promedio de parámetros del suelo pero con un espesor constante de


36

. El nivel freático se establecerá en , en consonancia con los reportes

de García (2008) y Alarcón Et Al (2007). Como se mencionaba en la sección

precedente, al tener un material muy sobreconsolidado, se tiene que en todas las

subcapas , obligando así al uso exclusivo de la ecuación (7a).

Esta configuración, mostrada también en la figura 4.3, permite definir la

siguiente ecuación para el cálculo de los asentamientos por consolidación:

*

+

Donde,

: asentamiento por consolidación

: espesor de la capa , para todos los casos

: coeficiente de recompresión para la capa

: relación de vacíos para la capa

: esfuerzo vertical efectivo para la capa .

: incremento en el esfuerzo vertical para la capa .

Sin embargo, la expresión (8) se debe simplificar aún más puesto que en el

ejercicio que se realizará como caso de aplicación, las tres primeras capas comparten

las mismas propiedades, ya que se encuentran en el mismo volumen de suelo

homogéneo en que se dividirá el terreno subyacente al cimiento (entre 0m y 6m). Un

segundo tipo de suelo homogéneo se define entre 6m y 20m (Figura 4.3). En resumen,

la ecuación para se puede escribir como

*

(

)

(

)+


37

4.3 Definición de las variables aleatorias

Una vez definida la función de comportamiento para el análisis (9), continúa el

proceso de selección de cuáles de las doce variables involucradas en dicha expresión

serán tenidas en cuenta como aleatorias. Al respecto, debe recordarse que los factores

y llevan implícitos los valores de peso unitario total (

), nivel freático ( )

y dimensiones del cimiento ( ). Sin embargo, los estudios geotécnicos que se

tomarán en cuenta, como se verá, indican por un lado que en los primeros metros de

profundidad la variación del peso unitario es relativamente pequeña comparada con

aquella de y y que el nivel freático se fijó en una cota única. De la misma

manera, se dispone en la literatura de algunos datos de coeficientes de variación para

la magnitud de las cargas y suena bastante razonable despreciar la variabilidad en las

medidas del cimiento, como se explicó en el numeral anterior.

A partir de estas conjeturas, se establece para la función de comportamiento

las siguientes categorías para las variables implícitas en ella:

Variable Tipo

aleatoria

determinística

Tabla 4.1. Variables aleatorias y determinísticas en la función de comportamiento

Discriminar las variables en la forma mostrada en la Tabla 4.1, posibilita una

sintaxis más favorable para la sistematización del proceso, en razón a que los

sumandos

(con i=1, 2, 3, 4) terminarán asumiendo el mismo valor en las

diferentes técnicas expuestas para la evaluación de un margen de seguridad.

Considerando esta salvedad, se llega finalmente a la expresión:

*

+


38

Donde y quedan definidos por

;

;

(11)

La formulación dada en (10) y (11) para el cálculo de , se empleará en las

hojas de cálculo de Excel para hallar los asentamientos con los valores promedio de

las variables en juego y para otras operaciones adicionales como las derivadas de

primer y segundo orden de respecto a y .

4.4 Sistematización del proceso

Cada una de las hipótesis anteriores ha permitido llegar finalmente a la

construcción de una función de comportamiento con cuatro variables aleatorias, en su

orden, para el suelo homogéneo tipo 1 (tres primeras capas del modelo) y

para el suelo homogéneo tipo 2 (última capa del modelo) de acuerdo con lo

expuesto en la Figura 4.3. Se procederá entonces a enumerar la secuencia de

actividades a seguir en aras de implementar la evaluación de μ y c.o.v. para los

asentamientos por consolidación esperados:

1. Cálculo de valores promedio y desviación estándar de cada una de las

variables que intervienen en (11). Para las variables que no son aleatorias, en el

modelo sólo interesará su promedio.

2. Definir una carga de diseño y un modelo para la transferencia de esa carga a

los estratos de suelo. En este caso se empleará (7b).

3. A continuación, la ecuación de comportamiento evaluada en los valores

promedio, precisará cuál es el asentamiento por consolidación (determinístico), que

servirá para realizar algún tipo de comparación con los resultados posteriormente

hallados.


39

4. Para los métodos de FOSM y SOSM y con la ayuda de las derivadas parciales

que se enumeran en seguida, la hoja de cálculo encontrará el valor promedio y la

desviación estándar de los asentamientos esperados.

5. Derivadas parciales para los métodos FOSM y SOSM

6. La siguiente técnica –marcada en la hoja de cálculo como S(c) ESTIMAT

PUNT- está diseñada para calcular 16 diferentes combinaciones de las variables que

fueron escogidas como aleatorias (cuatro en total) y ejecutar el algoritmo propio de

Estimativos Puntuales. Como se expuso en el capítulo precedente, esta técnica asigna

un peso a cada uno de los resultados de las 16 iteraciones ( ) que claramente se

discriminan con la notación y entrega también un valor estimado para el valor

promedio y la desviación estándar de los asentamientos esperados.

7. Finalmente, se aplica el método de Monte Carlo con diferente número de

iteraciones, que van desde 5 hasta 100,000. Para cada una de las variables aleatorias,

Se defi e ∝𝑗= og 𝜎𝑜

𝑖 𝜎𝑖

𝜎𝑜𝑖 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑗 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑦 𝑐𝑜𝑛 𝑖


40

se hace la generación de números aleatorios distribuidos normalmente y con los

cuales se obtienen miles de valores de asentamiento. El resultado de estas

operaciones se convierte en un valor promedio y una desviación estándar. Se graficará

la tendencia de estos últimos conforme al número de asentamientos aleatorios

generados y como resultado de ello, se generan las dos últimas hojas en los libros de

Excel anexos.

8. Esta serie de pasos se repetirá para cuatro conjuntos diferentes de datos

pertenecientes a zonas contiguas del Campus Universitario, y que darán lugar a un

balance de cuán importante es la variabilidad de las propiedades del terreno aún en

zonas adyacentes entre sí.


41

Capítulo Cinco

Caso de Aplicación.

A partir de investigaciones recientes sobre la variación de los parámetros de

compresibilidad del subsuelo en la Ciudad Universitaria de Bogotá (Alarcón Et Al,

2007; García, 2008), tanto en área como en profundidad, se tuvo acceso a una base de

datos muy robusta, con diversos valores de las variables que se consideran aleatorias

en el presente trabajo. Estas fuentes de información secundaria son las que alimentan

esencialmente el programa elaborado en la hoja de cálculo que complementa esta

disertación, puesto que no se hicieron sondeos ni ensayos de laboratorio dada la

vastedad del terreno en estudio. Tales publicaciones, usaron como insumo principal

los resultados de exploraciones realizadas por años para el diseño de diferentes

construcciones en la Universidad y la segunda de ellas (García, 2008), echó mano de

una poderosa herramienta de interpolación geoestadística (Kriging), que condujo

finalmente a mapas de variación de algunas propiedades geotécnicas inherentes a la

compresibilidad del suelo. Estos mapas muestran zonas de variación para la relación

de vacíos, el índice de recompresión y el peso unitario del suelo, entre otros. Es a

partir de esta combinación (información gráfica y datos de exploración), que se

seleccionaron aquí cuatro áreas de características similares –y un grupo adicional con

los promedios para todo el Campus- para estimar el asentamiento por consolidación

a través de la función de comportamiento definida en el capítulo tres y las cuatro

técnicas expuestas páginas atrás.

5.1. Fuentes de información

Con el ánimo de aplicar con datos de campo reales las cuatro técnicas de

evaluación de incertidumbre ya presentadas, se empleó como fuente de información

principal el documento de M. García Feria, Análisis geoestadístico y probabilístico de la

compresibilidad de un depósito lacustre (2008, Universidad Nacional de Colombia) que

tiene como resultado final la construcción de modelos gráficos de variación espacial;

en efecto, a través de mapas en escala cromática, se puede apreciar con claridad los


42

intervalos de variación de las propiedades de compresibilidad en dos tipos de suelo

definidos en profundidad. Este autor, hace una identificación de cuatro volúmenes

homogéneos de suelo diferenciados claramente por sus características en

profundidad. La Tabla 5.1 ilustra el resultado de sus conclusiones para los dos

primeros volúmenes –porque son ellos los de interés práctico para el presente escrito-

con fundamento en la variabilidad de los parámetros de compresibilidad, la

interpretación de las variables cualitativas y la consulta de varias publicaciones

geológicas y geotécnicas de naturaleza similar a la de su trabajo.

Tabla 5.1. Clasificación geotécnica-estadística de volúmenes homogéneos de suelo

Salta a la vista la diferencia significativa entre el número de datos (o muestras,

si se prefiere) disponible para los dos primeros “estratos”. Desde los 20m o más de

profundidad, la información es escasa para realizar un ajuste apropiado a alguna

distribución teórica para todas las variables que se estudiaron. Dos elementos de

suma relevancia quedan por definir ahora: el nivel freático y el modelo de historia de


43

esfuerzos que se asumirá. Acerca del primer elemento, en razón a la escasez de datos

para el nivel freático, se adoptó una cota de en el modelo del terreno. Por otro

lado, salta a la luz que los primeros seis metros de subsuelo están fuertemente

sobreconsolidados y que en promedio, el suelo tipo 2 presenta a la vez una RSC de 1.18

(Tabla 5.1). Se verá en cálculos posteriores y en los libros de Excel anexos –en la hoja

estadísticos- que incluso a una profundidad de 8 metros se encontrarán RSC mayores a

ese guarismo. Para terminar esta breve reseña, se muestra en las Figuras 5.2 y 5.3

algunos de los modelos de variación espacial de propiedades geotécnicas en los

volúmenes tipo 1 y 2, con los parámetros que se graficaron para ambos tipos de suelo,

es decir, índice de compresión virgen y relación de vacíos .

5.2. Selección de zonas con comportamiento homogéneo

Con una inspección visual, a la par de una revisión de los límites de las

propiedades geotécnicas ( ) graficadas en las Figuras 5.1 y 5.2, se proponen en el

actual capítulo cuatro (4) zonas en planta con comportamientos claramente diferentes

entre sí. Naturalmente en la parte central del Campus donde se encuentran los

edificios de la facultad de Ciencias e Ingeniería, se genera una gran cantidad de

información; por tal razón, los mapas muestran una gama más amplia de variación en

las propiedades y es allí donde se seleccionan dos puntos de estudio para este trabajo:

sectores aledaños al edificio de Medicina ( ) y al edificio de Ciencia y Tecnología

( ). Una tercera área se selecciona al oriente de las dos anteriores, donde

reposan algunas de las construcciones más emblemáticas de la Universidad: la

Biblioteca Central, la Torre de Enfermería y el Auditorio León de Greiff ( ). Otro

conjunto de datos se agrupó en la , que reúne tres edificios pertenecientes a la

Facultad de Ingeniería y que también es un foco importante de muestras. Por último,

se tomarán en cuenta los promedios sugeridos para todo el Campus en la Tabla 5.1., lo

cual permitirá hacer comparaciones valiosas con las otras zonas estipuladas.


44


45


46

La selección de estas zonas o conjuntos de datos, obedece a criterios como:

1. La importante variabilidad de los parámetros de compresibilidad en puntos

relativamente cercanos (en planta), ya que se está hablando de menos de 200m de

separación entre cada una de las construcciones referidas. Por ejemplo, para la

relación de vacíos en la Facultad de medicina, se llega a una cota inferior de 0.64

(Figura 5.2). Un edificio adyacente, el Departamento de Química, registra en color

blanco una relación de vacíos hasta de 1.69.

2. Un número de estudios de campo suficiente para el cómputo de promedios y

coeficientes de variación de las propiedades en cuestión. La información

suministrada por la Tabla 5.1 es bastante diciente de por sí. Ya que en esta

investigación se analizan los asentamientos por consolidación para un cimiento

superficial aislado, el incremento de esfuerzos se tendrá en cuenta hasta una

profundidad de influencia adecuada, tal como quedó sustentado en el capítulo

precedente, y que en este caso coincidirá con los primeros metros del llamado

suelo tipo 2, cota hasta la cual se dispone aún de numerosos datos de campo.

3. Por último y como se había mencionado previamente, entra en consideración un

conjunto adicional de datos que incorporan al modelo una caracterización

promedio de acuerdo a la Tabla 5.1, en aras de confrontar los parámetros globales

obtenidos para toda la Ciudad Universitaria con los resultados sectorizados para

los sitios propuestos.

A modo de ilustración, la Figura 5.3 deja ver la enorme la variabilidad en un

espacio relativamente reducido del índice de compresión (la zona demarcada en

escala de grises indica distancias no superiores a los 200 metros), que en particular

está oscilando desde 0.16 hasta 1.77. Este comportamiento, altamente variable, se

presenta también para las otras dos propiedades mostradas en los mapas de la

Figuras 5.1 y 5.2.


47

Figura 5.3. Detalle de zonas seleccionadas para evaluación de S(c) en instrumentos de Excel. Google Maps 2016.

Como se puede ver, la Figura 5.3 también señala explícitamente las cuatro

regiones seleccionadas para evaluar la función de comportamiento , a saber:

Facultad de Medicina

Edificios Ciencia&Tecnología y Química

Plazoleta Central UN

Edificios de Ingeniería

Es decir, tomando como referencia las edificaciones anteriores y en un radio de

100 metros a su alrededor, se selecciona la información proveniente de la exploración

de campo en ese radio de aferencia, se calculan los momentos estadísticos de los datos

recopilados y se evalúa en la ecuación de comportamiento la variabilidad de los

asentamientos por consolidación esperados en cada lugar.


48

5.3. Valores de entrada para el modelo de consolidación.

Una vez definida la función de comportamiento para el cálculo de

asentamientos –capítulo cuatro, ecuaciones (10), (11)- y habiendo seleccionado las

zonas de estudio a tener en cuenta, se extrae de la base de datos de exploraciones en

el Campus la información que compete a las zonas de aferencia de las edificaciones

indicadas arriba. En realidad, toda esta información quedará sintetizada en los

estadísticos media y desviación estándar. Por lo demás, solo para el método SOSM, se

requerirá computar el coeficiente de asimetría o coeficiente de sesgo.

La Tabla 5.2, a manera de ejemplo para la denominada , recopila la

forma de presentación y los resultados de estos cálculos tal y como lo expone el

instrumento planteado en Excel, en la hoja correspondiente a “estadísticos”, señalando

las coordenadas en planta y la profundidad de la muestra, junto con las demás

propiedades geotécnicas de interés, que posteriormente se convierten en los

parámetros y

Tabla 5.2 Cálculo de parámetros estadísticos a partir de información en base de datos


49

Tabla 5.2 Cálculo de parámetros estadísticos a partir de información en base de datos (Continuación)

En la misma Tabla 5.2 y para enfatizar la consistencia con la fuente de

información de donde se extrajeron estas cantidades, se aprecia también la

clasificación USCS, profundidad de la muestra y estudio de origen, conforme a la

reseña de Alarcón Et Al (2007) y García (2008).

5.4 Secuencia de cálculos y presentación en el instrumento de Excel.

En la construcción de las hojas de cálculo que conforman los libros de Excel que

acompañan este documento, se proyectó la secuencia de actividades señalada en la

Figura 5.4, y que finalmente servirá para la determinación del promedio y el

coeficiente de variación de la función de comportamiento. Como se explicó

profusamente en el Modelo de Estudio –capítulo 4-, se escogieron como variables

aleatorias la relación de vacíos y el índice de recompresión para cada volumen

de suelo, y cada uno de estos parámetros geotécnicos se hace variar de acuerdo a las

distribuciones de probabilidad que se indican en la misma Figura 5.4.

A continuación y con el fin de dar claridad al procedimiento ilustrado en el

diagrama anterior, se expone como ejemplo la secuencia de cálculos para la zona 4

(Área de Ingeniería), puntualmente para el caso en que se distribuye como variable

Lognormal y se distribuye normalmente.


50

Figura 5.4 Secuencia de actividades y algoritmo de cálculo en instrumento de aplicación. (Elaboración propia)


51

Figura 5.5 Secuencia de cálculo de asentamientos para la zona cuatro (Elaboración propia)

En el instrumento de cálculo diseñado en esta investigación, se accede a la

rutina computacional por medio de un entorno gráfico muy amigable con el usuario,


52

por medio de vínculos que lo llevan a los diversos libros que conforman el programa

(Figura 5.5). Cada una de las hojas –pestañas inferiores de color gris- desarrolla las

tareas que se discriminan del siguiente modo:

a. Estadísticos: se ingresan los valores tomados de la BD en su respectivo nivel

de profundidad para cada parámetro geotécnico. Como resultado se obtienen los

valores medios, desviaciones estándar y c.o.v. [%] para cada uno de ellos, los cuales

alimentarán las subsecuentes ecuaciones.

b. Δ increm: incremento en el esfuerzo vertical debido a una carga externa que

en el presente modelo NO es una variable aleatoria.

c. S(c) DETERM: arroja el valor del asentamiento (cálculo determinístico) en

milímetros y cuyos datos de entrada han sido los valores promedio de las variables

aleatorias y no aleatorias.

d. S(c) F.O.S.M.: devuelve el valor del asentamiento esperado y su desviación

estándar con el método F.O.S.M. Aparecen discriminados los sumandos de la serie.

e. S(c) S.O.S.M.: muestra el valor del asentamiento esperado y su desviación

estándar en milímetros con el método S.O.S.M. Aparecen discriminados los sumandos

de la serie y la diferencia porcentual con el valor medio calculado con F.O.S.M.

f. S(c) ESTIMAT PUNT: evalúa el valor del asentamiento esperado y su

desviación estándar en milímetros con el método de los estimativos puntuales.

Adicionalmente, aparece el resultado del asentamiento estimado para cada una de las

16 combinaciones de conforme a lo expuesto en el numeral 6 del apartado 4.4

(p. 39).


53

g. S(c) Monte Carlo: calcula el valor del asentamiento esperado y su desviación

estándar en milímetros con el método de simulación de Montecarlo, indicando valores

máximos y mínimos de las variables aleatorias y desarrollo desde 5 iteraciones hasta

las 10,000 iteraciones.

h. Graf Media y Graf Desv Est: en estas dos últimas pestañas se grafica la

tendencia de los estadísticos media y desviación estándar hacia un valor estable, a

medida que se incrementa el número de iteraciones en la simulación de Monte Carlo.


54

Capítulo Seis

Análisis de Resultados

Luego de definir un perfil del subsuelo y realizar una selección de zonas

adyacentes en el Campus de la Universidad Nacional –Sede Bogotá-, se implementó

una herramienta computacional para el cálculo de asentamientos de un cimiento con

una geometría y cargas definidas. Adicionalmente, a partir de un análisis

probabilístico basado en cuatro técnicas de evaluación de la incertidumbre, se

observó una variabilidad notoria en las propiedades geotécnicas del terreno, incluso

en zonas pertenecientes a un perímetro muy estrecho. Con el objetivo primordial de

evaluar la probabilidad de ocurrencia de un nivel de asentamientos, se conformó una

función de comportamiento que está definida por cuatro variables aleatorias, las

cuales se ajustaron a la distribución normal y lognormal y combinaciones entre ellas.

Los hallazgos más relevantes del procedimiento se exponen en este sexto

capítulo, que se centra en analizar el comportamiento de los asentamientos por

consolidación en los diferentes escenarios propuestos para esta investigación. Como

es de esperar, en atención a la gran cantidad de datos involucrados en este proceso, se

muestran aquí solamente los resultados más relevantes y dicientes sobre las

tendencias encontradas; sin embargo, en los archivos que acompañan este

documento, se puede apreciar a través de un menú de fácil acceso el grueso de

información generada en el modelo de estudio. Para terminar, y acudiendo a algunas

simplificaciones necesarias, se plantea un ejercicio para el cálculo del margen de

seguridad con base en la norma de diseño colombiana NSR-10.

6.1 Compendio de resultados para las zonas de estudio.

Se expone en las Figuras 6.1 a 6.9, el resultado de los procesos que se han

llevado a cabo en las cinco zonas de estudio y que tienen a las variables aleatorias, con

sus valores promedio y desviaciones estándar, como insumo fundamental para la

función de comportamiento S(c) -valor del asentamiento por consolidación-.


55

Figura 6.1 Resultados de S(c) para variables aleatorias con distribución lognormal y normal

Distrib

ució

n d

e Va

riab

les Alea

toria

s V

ariable

s de

Entrad

a

ZonaSu

elo

Tipo

Estadístico

De

term

inístico

Estad

ísticoF.O

.S.M.

S.O.S.M

.P

.E.M.

Mo

nte

Carlo

# iteracio

ne

s

1. M

ed

icina

12,244

0,143→

69,8869,88

69,8972,20

10.00083,45

71%

57%75%

82%97%

85%50.000

83,5671%

22,434

0,126100.000

83,5270%

24%43%

# iteracio

ne

s

2. C

ien

cia y1

0,9340,075

→59,95

59,9559,95

59,5510.000

62,2548%

Tecn

olo

gía29%

53%51%

39%51%

50.00062,12

48%

22,436

0,231100.000

62,0348%

29%77%

# iteracio

ne

s

3. P

laza1

0,9790,077

→58,15

58,1558,15

56,6310.000

61,2845%

Ce

ntral

42%44%

47%47%

47%50.000

61,0745%

21,770

0,147100.000

61,1045%

57%91%

# iteracio

ne

s

4. Facu

ltad1

1,0310,100

→72,49

72,4972,49

69,9910.000

72,9625%

Inge

nie

ría17%

24%24%

24%25%

50.00073,20

24%

22,375

0,175100.000

73,1624%

35%28%

# iteracio

ne

s

5. V

alor P

rom

.1

1,1100,080

→56,38

56,3856,39

54,3910.000

58,0648%

Cam

pu

s35%

50%51%

49%51%

50.00058,53

49%

22,330

0,160100.000

58,5649%

30%44%


56

Figura 6.2 Resultados de S(c) para variables aleatorias con distribución normal y normal

Distrib

ució

n d

e Va

riab

les Alea

toria

s V

ariable

s de

Entrad

a

ZonaSu

elo

Tipo

Estadístico

De

term

inístico

Estad

ísticoF.O

.S.M.

S.O.S.M

.P

.E.M.

Mo

nte

Carlo

# iteracio

ne

s

1. M

ed

icina

12,244

0,143→

69,8869,88

69,8982,55

10.00085,57

79%

57%75%

82%97%

87%50.000

86,2980%

22,434

0,126100.000

86,1980%

24%43%

# iteracio

ne

s

2. C

ien

cia y1

0,9340,075

→59,95

59,9559,95

61,2610.000

62,1949%

Tecn

olo

gía29%

53%51%

51%52%

50.00062,30

49%

22,436

0,231100.000

62,3049%

29%77%

# iteracio

ne

s

3. P

laza1

0,9790,077

→58,15

58,1558,15

61,0610.000

62,0246%

Ce

ntral

42%44%

47%47%

47%50.000

61,5747%

21,770

0,147100.000

61,4947%

57%91%

# iteracio

ne

s

4. Facu

ltad1

1,0310,100

→72,49

72,4972,49

73,2210.000

73,2925%

Inge

nie

ría17%

24%24%

24%24%

50.00073,33

24%

22,375

0,175100.000

73,2724%

35%28%

# iteracio

ne

s

5. V

alor P

rom

.1

1,1100,080

→56,38

56,3856,39

58,4110.000

58,9750%

Cam

pu

s35%

50%51%

49%51%

50.00058,83

50%

22,330

0,160100.000

59,0450%

30%44%


57

Figura 6.3 Resultados de S(c) para variables aleatorias con distribución lognormal y lognormal

Distrib

ució

n d

e Va

riab

les Alea

toria

s V

ariable

s de

Entrad

a

ZonaSu

elo

Tipo

Estadístico

De

term

inístico

Estad

ísticoF.O

.S.M.

S.O.S.M

.P

.E.M.

Mo

nte

Carlo

# iteracio

ne

s

1. M

ed

icina

12,244

0,143→

69,8869,88

69,8992,49

10.00078,48

81%

57%75%

82%97%

74%50.000

78,7083%

22,434

0,126100.000

78,6783%

24%43%

# iteracio

ne

s

2. C

ien

cia y1

0,9340,075

→59,95

59,9559,95

62,9210.000

61,1451%

Tecn

olo

gía29%

53%51%

39%49%

50.00061,11

52%

22,436

0,231100.000

61,3651%

29%77%

# iteracio

ne

s

3. P

laza1

0,9790,077

→58,15

58,1558,15

51,7410.000

60,8746%

Ce

ntral

42%44%

47%47%

52%50.000

60,5546%

21,770

0,147100.000

60,6146%

57%91%

# iteracio

ne

s

4. Facu

ltad1

1,0310,100

→72,49

72,4972,49

72,4910.000

73,3724%

Inge

nie

ría17%

24%24%

24%24%

50.00073,27

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73,2724%

35%28%

# iteracio

ne

s

5. V

alor P

rom

.1

1,1100,080

→56,38

56,3856,39

56,8910.000

58,2450%

Cam

pu

s35%

50%51%

49%49%

50.00058,27

50%

22,330

0,160100.000

58,1851%

30%44%


58

Figura 6.4 Comparación de resultados de S(c) y c.o.v. con las diferentes técnicas de simulación – Zona 1


59



60



61

Figura 6.7 Comparación de resultados de S(c) y c.o.v. con las diferentes técnicas de simulación Zona 4


62



63

Figura 6.9 Resultados de S(c) y c.o.v. con las diferentes técnicas de simulación – Correlación de Variables

Co

rrelació

n d

e Va

riab

les Alea

toria

s V

ariable

s de

Entrad

a

ZonaSu

elo

Tipo

Estadístico

Mo

nte

Carlo

1. M

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ne

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Zon

a 1

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Zon

a 2

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Zon

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1. M

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ístico69,88

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s

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0,9790,077

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57%91%

# iteracio

ne

s

4. Facu

ltad1

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→

Inge

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22,375

0,175

35%28%

96

,53

60

,81

83

,19

90

,84

69

,88

59

,95

58

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72

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44

%2

9%

28

%1

5%

Zon

a 1

Me

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Zon

a 2

Cie

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Zon

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Zon

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Fac. In

gen

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Asentamiento estimado [mm]

Asen

tamien

tos estim

ado

s: Variables Co

rrelacion

adas

S(c)

Determ

.

c.o.v.


64

6.2 Sensibilidad de y para la función S(c)

Una vez graficada y tabulada la vasta información generada en las hojas de

cálculo inherentes al trabajo desarrollado hasta este punto, se puede apreciar una

serie de tendencias que se plantean a continuación:

A pesar de tratarse de cuatro zonas adyacentes, circunscritas en un radio que

no supera los 400 metros (Figura 5.3), queda manifiesta la importante

variabilidad en las propiedades del terreno. Como salta a la vista en los

valores de c.o.v. para la variable de entrada , en el suelo tipo 1 oscila entre

17% y 57% y en el suelo tipo 2 entre 24% y 75%. El rango de variación de

es ligeramente menor, pero en general el valor de c.o.v. para supera al de la

relación de vacíos, aportando mayor incertidumbre al valor calculado de S(c).

La zona 4, aledaña a la Facultad de Ingeniería, es la que registra los mayores

asentamientos esperados. Sin embargo, es la que registra la menor variación

en este guarismo, tendencia que mantiene en las cuatro técnicas de

evaluación de incertidumbre, y en los diferentes enfoques para la distribución

de las variables de entrada. Es de notar que hay una estrecha diferencia entre

tales resultados (entre el 24% y 28%) siendo la cota más alta la originada por

el método de Monte Carlo, cuando se asume una correlación entre las

variables de entrada.

El caso opuesto a la consideración anterior, es la llamada zona 1, que en todos

los contextos supera un c.o.v. de 82%. Esta situación no causa extrañeza, ya

que la suma de los c.o.v. es la mayor de todo el conjunto de datos. La única

técnica que entrega valores menores de variación (44%), fue el método de

Monte Carlo –realizada con 100,000 iteraciones- para la suposición de

variables correlacionadas (Figura 6.9). Este fue el común denominador para

todas las zonas de estudio.

Respecto al valor esperado de los asentamientos, en las técnicas F.O.S.M.

y S.O.S.M. se obtiene prácticamente la misma magnitud que el evaluado con

los valores promedio de y . De la misma manera, en todos los casos la

técnica P.E.M. suministra valores esperados de asentamiento ligeramente


65

mayores que las dos anteriores. La bondad de este enfoque estriba en otorgar

resultados más pequeños para el c.o.v. de la función de comportamiento.

6.3 Tendencias de la función de comportamiento en el método de Monte Carlo

La precisión del Método de Monte Carlo se afecta sensiblemente por el número

de pasos o iteraciones con que se ejecute (Russelli, 2008). Por tal razón, para tener

una impresión más certera de esta hipótesis, se graficó la tendencia de y

para todos los casos en que se aplicó esta simulación. Algunos de los resultados,

bastante dicientes per se, se revelan en las Figuras 6.10 a la 6.13, indicando la

convergencia de estos estadísticos hacia un valor fijo, que estará en función de la

variabilidad de los datos de entrada y del número n de iteraciones. Es indudable que

para convergir, para se requiere ejecutar un número mayor de pasos que para

y que para la zona 1 –la de mayor variabilidad- este punto de convergencia no se

visualiza tan claramente como en los demás casos.

En este orden de ideas, se exponen gráficamente estos comportamientos

enunciados, con la consideración adicional del estrecho rango en que varían los

parámetros estadísticos en la zona 3 y 4, mientras que en las dos primeras se observa

un estilo mucho más disperso, en este caso concreto cuando y se distribuyen

normalmente.

Figura 6.10 Variación de desviación estándar y valor medio con n en el M.C.S. –Zona 1-


66





67

6.4 Evaluación del error en la estimación de S(c)

Con el fin realizar una estimación del error en que se incurre al asumir

determinado tipo de distribución para la función de comportamiento –en este caso

S(c)- se puede acudir a técnicas estadísticas que hacen un cotejo entre los resultados

observados y los teóricos. En general, se conocen como pruebas de bondad de ajuste

aquellos procedimientos que comparan las curvas CDF entre estos dos conjuntos de

datos y que señalan un límite máximo para la diferencia entre sus correspondientes

curvas. Una de las más comúnmente usadas es la prueba Kolmogorov-Smirnov,

llamada no paramétrica, ya que requiere solamente la frecuencia de los datos

empíricos (Kottegoda y Rosso, 1998). En la carpeta E- Histogramas y Ajuste del

instrumento en Excel (ver Figura 5.4 y 5.5), se realizaron cálculos como los mostrados

a modo de ejemplo en la Tabla 6.1, para nueve (9) condiciones diferentes, en las

iteraciones realizadas en el método de Monte Carlo con 10 mil datos.

Tabla 6.1 Diferencia entre distribución empírica y teórica para S(c)

HISTOGRAMA DE FRECUENCIASCaso: var no correlacionadas. LOGNORM - NORM

ZONA DE ESTUDIO # 2: Ciencia y TecnologíaDistribuciones: e0 lognorm - Cr norm

n Var Aleatoria

100.000 S (c) D IST LOGN OR M e0 [1] D IST LOGN OR M e0 [2]

media 80,78 z² 0,207 z² 0,078

desv. Est 38,77 z 0,455 z 0,280

mín 0,15 l 4,288 l 0,850

máx 345,02

rango 344,87

# intervalos 100

D intervalo 3,45

f.r.a. teórica f.r.a. teórica Δ (Teórica-Empírica) Chequeo

dato # S (c) lím superior frec frec relat frec rel acum NORMAL LOGNORMAL vs Test K.S. (%)

1 90,99 3,60 175 0,002 0,002 0,023 0,000 0,022 ok

2 26,01 7,05 538 0,005 0,007 0,029 0,000 0,023 ok

3 64,38 10,50 834 0,008 0,015 0,035 0,000 0,027 ok

4 28,08 13,95 1125 0,011 0,027 0,042 0,000 0,031 ok

5 100,33 17,40 1232 0,012 0,039 0,051 0,001 0,039 ok

6 5,13 20,85 1398 0,014 0,053 0,061 0,003 0,047 ok

7 120,00 24,30 1536 0,015 0,068 0,073 0,008 0,057 ok

8 31,62 27,74 1587 0,016 0,084 0,086 0,017 0,070 ok

9 55,79 31,19 1813 0,018 0,102 0,100 0,031 0,082 ok

10 7,93 34,64 1982 0,020 0,122 0,117 0,051 0,097 ok

11 37,26 38,09 2118 0,021 0,143 0,135 0,077 0,114 ok

12 37,62 41,54 2246 0,022 0,166 0,156 0,109 0,133 ok

13 64,28 44,99 2428 0,024 0,190 0,178 0,145 0,154 ok

14 26,79 48,44 2664 0,027 0,217 0,202 0,185 0,175 ok


68

El comportamiento de la curvas PDF y CDF para S(c), lleva intuitivamente a

pensar que asumir una distribución lognormal para la función de comportamiento es

una hipótesis acertada, confirmando los resultados arrojados por el proceso mostrado

en la Tabla 6.1. A manera de ejemplo, en las Figuras 6.14 a 6.16 se puede apreciar

claramente que la CDF de la distribución teórica Lognormal, en tono verde, se

yuxtapone casi perfectamente a la CDF de la distribución empírica, en tono rojo.

Paralelamente, en el recuadro pequeño en las mismas figuras, se ilustra el

aspecto de la PDF de S(c), evidenciando que se trata de una gráfica no simétrica y con

sesgo positivo, reuniendo así características propias de la función Lognormal. Por otro

lado, en la Figura 6.17, se muestra una configuración tipo para las variables de entrada

que conforman la función de comportamiento; es el escenario puntual en que y

se distribuyeron normalmente y se simularon como variables correlacionadas para el

estudio de la Zona 2. Esto sirve también para comprobar que el algoritmo que se

programó para las iteraciones en el método de Monte Carlo arroja valores coherentes

y la no periodicidad o repetición de los números generados aleatoriamente

(Kottegoda y Rosso, 1998).

6.5 Cálculo del margen de seguridad y probabilidad de falla.

Con el ánimo de llevar a cabo un ejemplo de la evaluación de la probabilidad de

ocurrencia de un asentamiento, que se busca sea menor al señalado por la norma de

diseño colombiana (Capítulo H.4, numeral H.4.9.2), establecido en 30 cm para

construcciones aisladas, se tendrán en cuenta las siguientes simplificaciones:

Los asentamientos por consolidación se distribuyen de acuerdo a la función

de densidad de probabilidad lognormal.

Dado que no se tienen en cuenta en este trabajo los asentamientos elásticos

o inmediatos, para este ejemplo se tomará la magnitud de éstos últimos

igual a los generados por consolidación, y se ignorará el efecto de la

consolidación secundaria.

Los asentamientos totales obedecen a una distribución lognormal.


69

Figura 6.14 Curva CDF empírica y teórica - Zona 1, lognormal y normal

Figura 6.15 Curva CDF empírica y teórica - Zona 2, lognormal y lognormal


70

Figura 6.16 Curva CDF empírica y teórica - Zona 4, normal y normal [Var. Correlacionadas]

Figura 6.17 Curvas PDF para variables de entrada - Zona 4, normal y normal [Var. Correlacionadas]


71

Tal y como se había definido en el tercer capítulo, se tiene esta expresión para

la probabilidad de falla:

( )

La cual está dada en función de fuerzas resistentes y fuerzas actuantes. Sin

embargo, para el estudio de asentamientos, la forma de la ecuación anterior se podría

expresar de una manera más conveniente teniendo en cuenta las restricciones dadas

en la norma NSR10. Se llega entonces a:

(12)

donde es el asentamiento total, que se calcula en parte con la función de

comportamiento S(c), que solo contempla la parte debida a la consolidación.

De este modo, se llega a un objetivo del análisis de confiabilidad, que es

garantizar una condición de seguridad y que sólo es posible en términos de

probabilidad; es decir:

siendo la probabilidad de tener una condición segura y es la

probabilidad de que el asentamiento esté por debajo de los 30 centímetros.

Por antonomasia, la probabilidad de que se dé una condición de inseguridad, o

dicho de otro modo, la probabilidad de falla , está dada por

Con este marco de referencia y con la ayuda de las Figuras 6.14 a 6.17, se

calculan las probabilidades de falla indicadas en la tabla 6.2. Como se mencionó en la

página anterior, para tener un orden de magnitud en estas operaciones, se asumirá un

asentamiento elástico de la misma proporción que S(c). Es decir, que

y la ecuación (13) se convertirá en


72

Tabla 6.2 Probabilidad de falla para algunas condiciones y zonas de estudio

Por último y avanzando un paso más adelante en el análisis por confiabilidad, a partir

de las probabilidades de falla que se hallan en este tipo de problemas queda por

estudiar el nivel de comportamiento de las estructuras. Un ejemplo de este enfoque lo

da Garzón (2016) para obras de infraestructura vial y Cruz (2012) en el campo de la

estabilidad de taludes.

Tabla 6.3 Niveles esperados de comportamiento en términos de Pf. Tomado de Cruz (2012)

Figura # Zona Correlación

6.14 1 lognormal normal no 0,25

6.15 2 lognormal lognormal no 0,08

6.16 3 lognormal normal sí 0,05

Distribución variables

de entrada


73

Capítulo Siete

Conclusiones y Recomendaciones

Desde los primeros resultados obtenidos con la aplicación de la metodología y

el algoritmo computacional propuesto en esta investigación, se puede apreciar la

importante variabilidad de los parámetros geotécnicos considerados como variables

de entrada para la función de comportamiento S(c), establecida en el modelo de

estudio para el análisis por confiabilidad de asentamientos. En consecuencia, como

bien se pudo apreciar en el capítulo anterior, se obtuvo un rango de variación muy

amplio –expresado en términos de c.o.v.- para S(c). Este hecho se dio para zonas muy

cercanas entre sí, resaltando la importancia del enfoque probabilístico en los

problemas relacionados con la ingeniería geotécnica. Así pues, en el contexto en que

se ha desarrollado el presente documento, se proponen como conclusiones y

recomendaciones más relevantes las siguientes reflexiones:

Conclusiones

Si bien es cierto que para realizar el análisis por confiablidad de asentamientos,

se hicieron simplificaciones importantes en cuanto al modelo de estudio y la ecuación

para el cálculo de la deformación del suelo, también debe tenerse en cuenta que hay

otras variables que no aportan significativamente a la incertidumbre, como la carga

aplicada y las dimensiones del cimiento. Así mismo, aunque existen otras

distribuciones de probabilidad como Gamma y Beta, que en teoría reúnen unas

condiciones más óptimas para describir problemas de deformación del terreno, dichas

distribuciones requieren de un mayor número de parámetros y datos, justamente

escasos en la prospección geotécnica. Por todo esto, se enfatiza en la importancia de

hacer un balance entre la sofisticación de los procesos y las condiciones y la

información disponible en la realidad.

El número de iteraciones involucradas en el método de los estimativos

puntuales -P.E.M.- está en función del número de variables aleatorias del proceso .

En el presente estudio, se generaron 16 diferentes casos, las cuales aumentarían a 32

al adicionar una sola variable más. Considerando a la vez las combinaciones que se


74

deben realizar entre las variables de entrada y sus desviaciones estándar, se requiere

para funciones más complejas realizar un algoritmo que permita encontrar tales

combinaciones, ya que hacer este proceso manualmente se convertiría en algo

engorroso. Aun así, el método PEM se muestra como una alternativa valiosa para

análisis por confiabilidad, dada la sencillez de su procedimiento para n variables no

más allá de 3. El valor de y hallado con P.E.M. está en el mismo orden de magnitud

que el obtenido con las otras técnicas.

El método de Monte Carlo aparece como una forma sofisticada de evaluar

incertidumbres, para su posterior uso en el cálculo de probabilidades de falla. Si bien

es cierto, como se pudo apreciar, que un número óptimo de pasos para el problema de

asentamientos fue de 100 mil iteraciones, este algoritmo permite su uso

prácticamente en cualquier situación cotidiana. Al comparar los resultados de M.C.S.

con las alternativas propuestas, arroja en todos los casos valores mayores para el

promedio de la función de comportamiento, pero con coeficientes de variación

menores a los demás. Asimismo, cuando se tratan las variables de entrada como

correlacionadas, entrega valores de c.o.v. significativamente menores a todos los

demás procesos; el método PEM permite también manejar esta hipótesis -correlación

de variables-, pero es mucho más sencillo implementarlo en M.C.S.

Un indicador muy elocuente acerca del número de iteraciones que se debe

realizar al aplicar el método de Monte Carlo, fue la forma suavizada que se obtuvo

para las curvas PDF y CDF de la función de comportamiento trabajada. Paralelamente,

cuando se buscaba la convergencia hacia un valor concreto de y de S(c), se pudo

apreciar que a medida que aumenta la variabilidad de los datos de entrada, es

necesario hacer más iteraciones para que se llegue a un valor estable para estos

estadísticos. En conclusión, M.C.S. resulta siendo una alternativa óptima para

determinar la forma de la función de probabilidad de S(c), ya que permite construir

rápidamente las curvas PDF y CDF, las cuales se ajustaron muy bien a la distribución

Lognormal.

A pesar de que en el mercado y en la web se dispone de numerosos paquetes

ofimáticos de libre distribución, creados para el análisis estadístico e inferencial, las

herramientas de cálculo disponibles en Excel resultaron adecuadas y suficientes para

los objetivos de este proyecto. Adicionalmente y como valor agregado del mismo, el

instrumento diseñado en este programa permite el ingreso de otros conjuntos de

datos, para la evaluación inmediata de la incertidumbre con las cuatro técnicas

expuestas hasta aquí.


75

Recomendaciones

Siguiendo la tendencia de otros proyectos de investigación realizados en la

línea de investigación Análisis de Confiabilidad y Riesgos de la Maestría en Geotecnia

en la Universidad Nacional, queda latente la importancia de implementar los

conceptos estadísticos en el diseño geotécnico, enriqueciendo el tradicional enfoque

determinístico con los argumentos propios de análisis de riesgo, puesto que estos

indicadores probabilísticos ayudan a decidir cuándo un factor de seguridad puede ser

aceptablemente bajo o cuando debe ser necesariamente alto.

Se espera seguir alimentando las bases de datos sobre compresibilidad y otras

propiedades geotécnicas de los materiales de la Sabana, teniendo en cuenta –como

quedó demostrado en el tratamiento de áreas colindantes en una superficie realmente

pequeña- que hay una aleatoriedad altísima en las mediciones de las propiedades del

suelo, incluso garantizando su cercanía. No obstante, en todo caso debe aplicarse con

el mayor criterio ingenieril la interpretación de cualquier generalización, como por

ejemplo los mapas de zonificación que se realicen a pequeña y a gran escala, puesto

que todo coeficiente de variación o valor promedio que se proponga, debe provenir de

zonas geológica y geotécnicamente similares.

Finalmente, un insumo que potenciaría la credibilidad y el uso frecuento de

este tipo de metodologías, sería una base de datos robusta sobre mediciones reales de

la deformación del terreno; corroborar los pronósticos de las ecuaciones planteadas

para los asentamientos por consolidación y su comparación con las predicciones

otorgadas por los métodos probabilísticos, puede incluso hacer reflexionar sobre el

orden de magnitud convenido en la NSR-10 para los asentamientos máximos

permitidos en las construcciones colombianas.


76

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ASCE.


80

ANEXO 1

(Medio Magnético)

Instrumento en Microsoft Excel

Evaluación de incertidumbre con cuatro

métodos

Compendio de resultados

Histogramas y ajuste de curvas


81

ANEXO 2

VALORES DE PARA PRUEBA NO PARAMÉTRICA DE BONDAD DE AJUSTE TIPO KOLMOGOROV-SMIRNOV

Tomado de García (2008)

análisis por confiabilidad de asentamientos de cimientos ... · in order to perform a reliability...

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