ANALISIS PARAMETRICO ENPROGRAMACION LINEAL MULTIOBJETIVO

Dolores Soto TorresR. Fernndez Lechn

RESUMEN.En este trabajo, estudiamos un problema de programacin linealmultiobjetivo con un criterio paramtrico. Estos problemas son de gran inters yaque con frecuencia los coeficientes de la funcin objetivo son estimaciones de valo-res o bien, estn sometidos a variaciones. Desarrollamos tm mtodo que nos permi-te deternainar soluciones eficientes y dbilmente eficientes de este problema deacuerdo con el campo de variacin del parmetro.

1. Introduccin

Un programa lineal multiobjetivo (PLMO) consiste en determinar alternati-vas desde un poliedro convexo F considerando simultneamente criterios linealesconflictivos. Estos objetivos lineales pueden agruparse en un vector columna C.x,donde C es una matriz pxn, siendo p el nmero de objetivos.

El problema puede plantearse como

(P1) max C.x sujeto a: A.x = b, x > 0

donde A es una matriz mxn, b E Rm y denotamos por F el poliedro convexo de so-luciones posibles.

Por tanto, para cualquier solucin posible, el valor de la funcin objetivo, enella, ser un vector columna donde un criterio de comparacin no tiene por quresultar vlido (estamos ante un orden parcial), de ah, que en PLMO no se bus-que una solucin ptima, sino aquellas soluciones posibles tales que no existanotras mejores que ellas. Estas soluciones corresponden a los conceptos de solucio-

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nes eficientes y soluciones dbilmente eficientes. As, diremos que una solucinposible x es eficiente si no existe otra solucin posible x tal que Cx > Cx, por lomends con una desigualdad estricta, esto es, Cx Cx y una solucin posible xdiremos que es dbilmente eficiente si no existe otra solucin posible x tal queCx> Cx. Designemos por EF (C) el conjunto de soluciones eficientes y porEF (C) el conjunto de soluciones dbilmente eficientes.

El anlisis de distintos modelos, en diferentes campos, ha llevado al planea-miento de problemas lineales multiobjetivos particulares entre los que pueden ci-tarse los trabajos de Ashton y Atkins (1981), Spronk (1981) que analizanproblemas microeconmicos; Zionts y Deshpande (1981) estudian problemas so-cioeconmicos; Bitran y Lawrence (1980) en problemas de localizacin; Herner ySnapper (1978) en sistemas de informacin. De acuerdo con las caractersticas delos modelos a estudio, se han propuesto distintos algoritmos para generar los con-juntos de soluciones eficientes y dbilmente eficientes, podemos citar, entre otros,los algoritmos propuestos por Yu y Zeleny (1975), Ecker y Kouada (1978),Franldin (1980).

Ahora bien, planteado un problema de PLMO surge el problema de la exacti-tud de los datos en l contenidos, ya que si alguno de ellos es estimado a priori yposteriormente corregido, ser necesario la realizacin de nuevo de todos los cl-culos, para determinar el nuevo conjunto de soluciones eficientes y dbilmente efi-cientes; este es el mismo problema que surge en PL y se estudia en el Anlisis de laSensibilidad y en Programacin Paramtrica.

Nosotros, en este trabajo, vamos a centrarnos en determinar las modificacio-nes que puede sufrir la matriz de la funcin objetivo, (dentro de un criterio paia-mtrico), de tal forma que todas las soluciones eficientes o dbilmente eficientes losigan siendo del nuevo problema parametrizado.

Este problema puede plantearse bajo dos puntos de vista distintos. Uno con-sistira en determinar la posible variacin del parmetro con la nica restriccin deque la condicin anterior se verifique, este anlisis le denominaremos parametriza-cin irrestricta y el otro, sera suponer que se tiene algn tipo de informacin so-bre la nueva matriz de la funcin objetivo, de tal forma que el parmetro serestringe a un campo de valores determinado de antemano (parametrizacin res-tringida).

El planteamiento de estas dos cuestiones podemos reali7arlo de la forma si-guiente:

Dado el problema lineal multiobjetivo (P1) y supuesto conocido el conjuntoEF (C) y EF (C), consideramos un nuevo PLMO

(P2) max (C + D) x sujeto a: Ax = b, x > 0

donde C es una matriz p)m de coeficientes constantes y D es una matriz diagonaluniparamtrica con elementos diagonales no todos nulos. En la Primera cuestin,

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como en la segunda, tratamos de determinar las modificaciones que pueden sufrirlos elementos diagonales de D de tal forma que los conjuntos de puntos eficientes(dbilmente eficientes) del programa (P1) lo sean tambin de (P2).

El anlisis del problema con parmetro irrestricto ha sido considerado porGal (1981) suponiendo que todos los parmetros diagonales son idntic,os. Para laresolucin plantea una conjunto de programas lineales y determina la variacin delparmetro mediante condiciones primales y duales de tales programas, con el ob-jetivo de que el conjunto de soluciones eficientes no se modifique. El problema delparmetro restringido ha sido considerado por Bitran (1980) analizando las solu-ciones eficientes comunes a un conjunto de matrices cuyos elementos estn acota-dos y por Benson (1985) estudiando un problema de parametrizacin escalar,ampliando tambin el estudio a soluciones dbilmente eficientes.

El trabajo se ha dividido en cinco apartados. En el segundo analizamos las ca-ractersticas generales de los puntos eficientes y dbilmente eficientes de unPLMO. En el tercer apartado analizamos la parametrizacin irrestricta, en el cuar-to estudiamos la parametrizacin restringida, y finalizamos el trabajo con unasconclusiones.

2: Caracterizacin de los conjuntos de puntos eficientes y debilmenteeficientes

La determinacin de los puntos eficientes y dbilemente eficientes, se limita ala bsqueda de ptimos de programas lineales uniobjetivos, en base al siguienteteorema Una solucin posible x es eficiente (dbilmente eficiente) de (P1) si yslo si x es la solucin ptima del programa lineal uniobjetivo:

max wt .Cx sujeta a: Ax = b, x > 0 (1)

para algn w > 0 (w 0)".Como consecuencia de este teorema, tenemos los siguientes resultados:

a) Slo podrn ser soluciones eficientes (dbilmente eficientes) las caras y enparticular las aristas y puntos extremos del poliedro convexo.

b) Los conjuntos EF (C) y EF (C) no tienen por qu ser convexos, ya que lospuntos del poliedro convexo que no formen parte de sus caras no pueden sersoluciones eficientes ni dbilmente eficientes.

c) Los conjuntos EF (C) y EF (C) sern vacios si F lo es, si bien tenemos que ha-cer notar que si F fuese una regin convexa no acotada los puntos eficientes ydbilmente eficientes pueden no ser finitos.

d) A toda solucin eficiente (dbilmente eficiente) x podemos asociar un con-junto

= 1w > 0 (w _ 0) I x ptimo del PL uniobjetivo (1)}Este conjunto es cerrado y convexo (ver Franldin 1980)

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e) El conjunto de soluciones eficientes es un subconjunto del conjunto de solu-ciones dbilmente eficientes.

Adems, los conjuntos EF (C) y EF (C) verific,an determinadas propiedades;en particular, son conjuntos cerrados y conectados (ver Benson 1985), por tanto,de acuerdo con esta propiedad los conjuntos EF (C) y EF (C) no son unin de dosconjuntos abiertos o cerrados no vacios disjuntos.

Es precisamente esta propiedad, junto con el teorema fundamental, la que hapermitido el desarrollo de numerosos procedimientos que determinan el conjuntode puntos eficientes o dbilmente eficientes, ver Ecker y Kouada (1978), Gal(1981), Franldin (1980) entre otros, en general estos procedimientos parten de unprimer punto eficiente, lo que puede conseguirse dando un valor fijo a w para re-solver el PL (1) y luego pasar a puntos extremos adyacentes aplicando un test es-pecfico de eficiencia o dbilmente eficiencia.

3. Variacin paramtrica irrestricta

Como ya hemos expuesto en la introduccin, en este apartado tratamos dedeterminar la variacin del parmetro de la matriz D de tal forma que los conjun-tos de soluciones eficientes y dbilmente eficientes del programa (P1) lo sean tam-bin del (P2).

Comenzaremos primero suponiendo que los elementos diagonales de la ma-triz D son de la forma (d, 0, ..., 0), veremos posteriormente que estos resultadospueden generalizarse cuando la matriz diagonal se uniparametriza de cualquierotro modo.

Dado el programa (P1) y supuesto conocido el conjunto EF (C), considere-mos un punto .cualquiera de ellos x que sea un punto extremo no degenerado delconjunto de soluciones posibles F, entonces x ser una solucin posible bsica:

x = (xB 'Ndonde x 13

corresponde a las componentes bsicas, con lo que x 13 > 0 y xN co-

rresponde a las componentes no bsicas, luego son nulas. Adems existir w > 0tal que:

wt [C/3 13-1 AN CN0 (2)

siendo CB y CN las submatrices de la matriz C formadas respectivamente por lascolumnas de C correpondientes a las componentes bsicas y no bsicas, B es lamatriz bsica y AN es la submatriz de A formada por las columnas correspondien-tes a las componentes no bsicas.

En el caso que nos ocupa la matriz C + CD coincidir con la matriz C salvola primera columna, que ser:

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xo sea bsica o no.

a) Si la primera componente es no bsica, al sustituir C por C = C + C D en (2)tenemos que la matriz (CB 13-1 AN C'N) coincide con (CB 13-1 AN

Cr)salvo en la primera columna que ser:

[CB B-1 AiN C N 1 C N d] (3)consideremos w, si multiplicamos (3) por wt a la izquierda, podemos expresar laoperacin por la expresin:

w (a + b d)i = 1 i

si para todo indice i, (a ii + bil d) son negativos, entonces no podremos encontrarow. p sitivos tal que se verifique:

1w

t [CB B-1 A1N C1NCNd] 0este es precisamente el campo donde d no puede variar.

Por tanto, para el complementario de este campo ser siempre posible encon-trar w > 0 tal que (4) se verifique.b) Si la primera componente es bsica, todos los elementos de la matriz

(CB 13-1 AN CN) se ven modificados, pasando a valer:-1[CB B AN CN CN d]

El razonamiento ahora, coincide con el anterior, consideramos w y multiplica-mos (5) por wt a la izquierda, obtendremos:

Pw. (a.. + b.. d)i = ij

con j variando en las no bsicas. Si (a i. + bi. d) para todo i = 1, p es negativo,no existir w > 0 verificando la desigualdjad a conseguir, ste ser, por tanto, elcampo de no variacin de d.

Luego, el campo de variacin de d queda totalmente determinado si el con-junto de puntos eficientes de (P1) es un nico punto extremo no degenerado.

En general el programa (P1) puede adinitir varios puntos extremos eficienes ypor tanto tambin sern eficientes las aristas que delimitan estos puntos extremosen el poliedro convexo de soluciones posibles. Supongamos que tenemos dos pun-tos extremos eficientes no degenerados x y x l , el razonamiento es anlogo si exis-

c-21 + c2i d, cpi + d)tDistingamos ahora, dos casos dependiendo de que la primera componente de

(4)

(5)

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tieran ms de dos. Por el procedimiento anterior podremos encontrar la variacinde d para que x y x1

sigan siendo eficientes en (P2), luego, obviamente, la inter-seccin de ambos campos ser el campo de variacin de d para que ambos seaneficientes en (P2).

Ahora bien, como la arista que une ambas soluciones eficientes tambin lo es(en virtud de la propiedad de conexin) y son por tanto adyacentes, ha de existirun w > 0 tal que

wt [C 13-1 AiN CiN] = 0para algn ndice i no bsico tanto si consideramos la base asociada a x o bien axt

Entonces, para que permanezca eficiente en (P2) esta arista, deber verificar-se que exista w > 0, w' > 0 tal que

wt [CB 13-1 AiN CiN iN d] = 0

con j no bsico para la base asociada a x y[ci3 B-1 AiN ciN

iN d] _ o

con i no bsico para la base asociada a xl ; est.os vectores w y w no existirn si to-dos los elementos de estas matrices son negativos, luego del campo de variacinanterior deberemos eliminar, si fuera necesario, aquellos valores de d que permi-tan este hecho.

Si consideramos que la matriz D tuviese otro tipo de variacin uniparamtri-ca, los razonamientos a seguir seran idnticos, aunque los clculos 16gicamenteson ms laboriosos.

En el caso de que tengarnos dos o ms bases asociadas a una misma solucinextrema eficiente degenerada, las consideramos como soluciones eficientes dis-tintas como seala Ecker y Kouada (op. cit.) aunque obviamente desde el puntode vista geomtrico estos puntos son idnticos.

Para determinar el campo de variacin del parmetro en el caso de solucionesdbilmente eficientes puede seguirse el razonamiento siguiente: Si x e EF (C)entonces podemos determinar la variacin del parmetro d, por el procedirnientoanterior, para que x e EF (C + CD) y como este conjunto es un subconjunto deEF(C + CD) tendremos determinado el valor del parmetro para que todas lassoluciones dbilmente eficientes de (P1) lo sean tambin de (P2). Notemos que elcampo as encontrado ser un subconjunto del campo que se podra obtener ha-ciendo distintas hiptesis sobre la nulidad o no de las componentes del vector w.

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4. Variacin paramtrica restringida

En el apartado anterior, hemos obtenido un procedimiento general, apoyn-donos en la informacin que tenemos sobre EF (C) y EF (C), que determina elcampo de variacin del parmetro de tal forma que el conjunto de soluciones efi-cientes y dbilmente eficientes de (P1) lo siguen siendo en la parametrizacin.

Sin embargo, si el parmetro se restringe a que tome valores dentro de uncampo, del que desconocemos su relacin con el campo del apartado anterior, ten-dremos que, en general, existirn soluciones eficientes y dbilmente eficientes quelo son de unas matrices parametrizadas y de otras no.

Ahora podemos plantearnos la cuestin de quienes son las soluciones eficien-tes y dbilmente eficientes que son comunes a todas las matrices parametrizadas,esto es, determinar EF = n EF (C + UD), EF = n EF (C + CD), cuando el pa-rmetro de la matriz diagonal D se restringe a que tome valores dentro de un cam-po conocido. Nosotros vamos a analizar esta cuestin considerando que elparmetro toma valores en el intervalo [ -a, b], a 0, b a. 0 y finitos, con lo queincluimos la posibilidad de que el parmetro tome el valor nulo y de esta forma po-demos determinar las soluciones eficientes y dbilmente eficientes de (P1) quepermanecen en (P2).

Los nuevos conjuntos EF y EF, pierden determinadas caractersticas que pue-"den ser consideradas como generales en los PLMO y que hemos recogido en el se-gundo apartado. As, los conjuntos EF y EF no tienen por qu estar conectados(ver Benson, Bitran (op. cit.)), sin embargo, si un punto de EF o EF est en el inte-rior de una cara toda la cara est en EF o EF (Benson, Bitran).

En el trabajo de Bitran, se determina cundo un punto extremo de F est enEF si la intersecci6n se realiza sobre un conjunto de matrices cuyos elementos es-tn dentro de un inventario de acotacin, no el mismo para todas. En particular,este procedimiento podr aplicarse en nuestro caso.

Benson determina los conjuntos EF y EF cuando la parametrizacin se reali-za de la forma C + OC, con 0 E [O, 1]. Luego su estudio es un caso particular delnuestro.

Generalizando el trabajo de Benson, podemos establecer los siguientes teore-mas que permitirn determinar cundo una solucin eficiente (dbilirnente eficien-te) de (P1) est en EF o en EF.

TEOREMA. Sea e el vector unitario de dimensin apropiada y x una solu-cin eficiente del programa (P1), entonces x pertenece a EF si y slo si el valorde la funcin objetivo en el ptimo del programa:

max et z

s.a. (C + CD) (x - x) = zz > 0, x e F

es cero para todo d E [-a, b].

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DemostracinSi x pertenece a EF, entonces (x, z) = (x, 0) es una solucin posible del

programa planteado; el valor de la funcin objetivo en ella es cero y es una solu-cin ptima ya que en otro caso no podra pertenecer a EF.

Recprocamente, fijado un d* cualquiera del intervalo [-a,t2j, puesto Aue elvalor ptimo de la funcin objetivo es cero, tendremos que (C + CD*) (x -x") = 0lo que implica que x e EF (C + CD*) ya que en caso contrario existira un y E Ftal que (C + CD*) y (C + CD*) x luego tomando z = (C + CD*) (y - x), ten-dramos que el par (y, z) serfa una solucim posible del programa con un valor dela funcin objetivo mayor que cero, lo cual es absurdo. Puesto queXo EF (C + CD*) para cualquier valor d* E [-a, b] entonces x0 E EF.

El siguiente teorema establece una condicin necesaria y suficiente para lassoluciones dbilmente eficientes.

TEOREMA. Sea e el vector unitario de dimensin apropiada y sea x unasolucin dbilmente eficiente de (P1), entonces x pertenece a EF si y slo si elvalor de la funcin objetivo en el ptimo del programa

max et z

s.a. (C +U)) (x- x) - z 0x E F, z _ 0

es cero, para todo d E [-a, b].La demostracin de este teorema es anloga a la del anterior.Considerando los programas duales, de estos problemas pueden enunciarse

teoremas alternativos de eficiencia o dbilmente eficiencia.El problema,sera ahora resolver estos programas no lineales y en general no

convexos, aunque para cada valor de d fijo del intervalo, estaramos ante un pro-grama lineal. Una tcnica, muy extendida, que puede utilizarse para resolver estosprogramas no lineales es la tcnica de relajacin.

5. Conclusiones

En este trabajo, hemos considerado un programa lineal multiobjetivo (P1), apartir del cual y con un criterio especfico de parametrizacin, hemos formado unnuevo programa lineal multiobjetivo (P2). El trabajo se ha centrado en determinarel campo de variacin del parmetro de tal forma que toda solucin eficiente o d-bilmente eficiente de (P1) lo sea tambin de (P2), suponiendo que no hay restric-ciones sobre el campo de variacin del parmetro y en el caso de que este campoest restringido a un intervalo, hemos determinado, el conjunto de soluciones efi-cientes y dbilrnente eficientes (P1) que permanecen en todo programa (P2).

Otras investigaciones pueden realizarse dentro de este campo, en particularnotemos, que en la primera cuestin podra detertninarse el campo de variacin

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del parmetro para que los programas (P1) y (P2) tengan el mismo conjunto de so-lucines eficientes y dbilmente eficientes; en la segunda cuestin, podra investi-garse las condiciones que se han de verificar para que los conjuntos EF y EF seanvacos o no, y en cualquiera de ellos, podra considerarse el estudio para progra-mas enteros.

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