Instituto Universitario Politécnico“Santiago Mariño”

Extensión PorlamarAnálisis numéricos

Angel Mata

Sección: 3C

 Porlamar, junio 2016

INTRODUCCIÓN

Muchas de las decisiones tomadas en ingeniería se basan en resultados de medidas experimentales, por lo tanto es muy importante expresar dichos resultados con claridad y precisión. De acuerdo a nuestra investigación errores se define como la diferencia entre el valor real y una aproximación a este valor, también hay diferentes tipos de errores. Es en el mundo de las matemáticas computacionales donde entenderemos la importancia que estas tienen para las ingenierías en general; además de comprender la necesidad de optimizar los cálculos, reducir los márgenes de errores y lo más importante reducir el costo computacional.

Hoy en día, las computadoras y los métodos numéricos proporcionan una alternativa para cálculos complicados. Al usar la computadora para obtener soluciones directamente, se pueden aproximar los cálculos sin tener que recurrir a suposiciones de simplificación o a técnicas lentas. Un especialista en análisis numéricos se interesa en la creación y comprensión de buenos métodos que resuelvan problemas numéricamente. Una característica importante del estudio de los métodos es su valoración (es decir, decidir cuál método es superior para una tarea dada).

Aunque hay muchos métodos numéricos, comparten una característica común: No es raro que con el desarrollo de computadoras digitales eficientes y rápidas, el papel de los métodos numéricos en la solución de problemas de ingeniería haya aumentado en forma considerable en los últimos años. Al usar la computadora para obtener soluciones directamente, se pueden aproximar los cálculos sin tener que recurrir a suposiciones de simplificación o a técnicas lentas.

Los errores asociados con los cálculos y medidas se pueden caracterizar observando su exactitud y precisión. La precisión se refiere a qué tan cercano está un valor individual medido o calculado con respecto a los otros. Los métodos numéricos deben ser lo suficientemente exactos o sin sesgos para que cumplan los requisitos de un problema en particular. Los errores numéricos se generan con el uso de aproximaciones para representar las operaciones y cantidades matemáticas.

Análisis Numérico

Consiste en procedimientos que resuelven problemas y realizan cálculos puramente aritméticos, tomando en cuenta las características especiales de los instrumentos de cálculo (como calculadoras, computadoras) que nos ayudan en la ejecución de las instrucciones del algoritmo con el fin de calcular o aproximar alguna cantidad o función, para el estudio de errores en los cálculos"

Los métodos Numéricos han jugado un papel fundamental en el desarrollo tecnológico actual. Su aplicación va desde la economía a la industria aeroespacial. En esta materia vamos a introducirlos al estudio y aplicación de las técnicas de esta interesante disciplina. Hoy en día, las computadoras y los métodos numéricos proporcionan una alternativa para cálculos complicados.

También es una rama de las matemáticas cuyos límites no son del todo

precisos. De una forma rigurosa, se puede definir como la disciplina ocupada

de describir, analizar y crear algoritmos numéricos que nos permitan resolver

problemas matemáticos, en los que estén involucradas cantidades numéricas,

con una precisión determinada.

Importancia de utilizar métodos numéricos.

Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas. El análisis numérico trata de diseñar métodos para “aproximar” de una manera eficiente las soluciones de problemas expresados matemáticamente. El objetivo principal del análisis numérico es encontrar soluciones “aproximadas” a problemas complejos utilizando sólo las operaciones más simples de la aritmética. Se requiere de una secuencia de operaciones algebraicas y lógicas que producen la aproximación al problema matemático. Los métodos numéricos pueden ser aplicados para resolver procedimientos matemáticos en: Cálculo de derivadas, Integrales, Ecuaciones, diferenciales, Operaciones con matrices, Interpolaciones, Ajuste de curvas, Polinomios. Los métodos numéricos se aplican en áreas como: Ingeniería Industrial, Ingeniería Química, Ingeniería Civil, Ingeniería Mecánica, Ingeniería eléctrica, entre otros.

Números de decimales y de máquina.

Número Máquina: Es un sistema numérico que consta de dos dígitos: Ceros (0) y unos (1) de base 2". El término "representación máquina" o "representación binaria" significa que es de base 2, la más pequeña posible; este tipo de representación requiere de menos dígitos, pero en lugar de un número decimal exige de más lugares. Esto se relaciona con el hecho de que la unidad lógica primaria de las computadoras digitales usa componentes de apagado/prendido, o para una conexión eléctrica abierta/cerrada.

Número Máquina Decimal: Son aquellos números cuya representación viene dada de la siguiente forma:

± 0,d1 d2 d3 ... dk x 10 n, 1£ d1 £ 9, 1£ dk £ 9

Para cada i=2, 3, 4, ..., k";

De lo antes descrito, se indica que las maxicomputadoras IBM (mainframes) tienen aproximadamente k= 6 y –78 £ n £ 76.

Encontrar números decimales a partir de números de máquinas decimales en bits.

Existen varios métodos de conversión de números decimales a binarios, aquí solo se analizara uno. Naturalmente es mucho más fácil una conversión con una calculadora científica pero no siempre se cuenta con ella, así que es conveniente conocer por lo menos una forma manual para hacerlo.

El método que explicara utiliza la división sucesiva entre dos, guardando el residuo como digito binario y el resultado como la siguiente cantidad a dividir.

Tomemos como ejemplo el número 43 decimales:

43/2= 21 y su residuo es 1

21/2= 10 y su residuo es 1

10/2= 5 y su residuo es 0

5/2= 2 y su residuo es 1

2/2= 1 y su residuo es 0

1/2= 0 y su residuo es 1.

Error absoluto y error relativo.

Error absoluto: Es la diferencia entre el valor de la medida y el valor tomado como exacta. Puede ser positivo o negativo, según si la medida es superior al valor real o inferior (la resta sale positiva o negativa). Tiene unidades, las mismas que las de la medida.

El error absoluto de una medida no nos informa por sí solo de la bondad de la misma. Es evidente, que no es igual de grave tener un error absoluto de 1 cm al medir la longitud de una carretera que al medir la longitud de un folio.

Error relativo: Es el cociente (la división) entre el error absoluto y el valor exacto. Si se multiplica por 100 se obtiene el tanto por ciento (%) de error. Al igual que el error absoluto puede ser positivo o negativo (según lo sea el error absoluto) porque puede ser por exceso o por defecto. No tiene unidades.

Medidas Errores absolutos Errores relativos

3,01 s 3,01 - 3,12 = - 0,11 s -0,11 / 3,12 = - 0,036    (- 3,6%)

3,11 s 3,11 -3,12 = - 0,01 s -0,01 / 3,12 = - 0,003    (- 0,3%)

3,20 s 3,20 -3,12 = + 0,08 s +0,08 / 3,12 = + 0,026    (+ 2,6%)

3,15 s 3,15 - 3,12 = + 0,03 s +0,03 / 3,12 = + 0,010    (+ 1,0%)

Cálculos de errores absolutos y errores relativos. Ejemplo 1. Medidas de tiempo de un recorrido efectuadas por diferentes alumnos: 3,01 s; 3,11 s; 3,20 s; 3,15 sValor que se considera exacto:Errores absoluto y relativo de cada medida:

Ejemplo 2. Obtenemos el error absoluto y relativo al considerar:

a) 3,5 m como longitud de un terreno que mide realmente 3,59 m.

b) 60 m como la distancia entre dos postes que están situados a 59,91 m.

a) Ea = |3,59 - 3,5| = 0,09 m

E r = | 3 , 59 - 3 , 5 | 3 , 59 = 0 , 025 = 2 , 5 %

b) Ea = |59,91 - 60| = 0,09 m

E r = | 59 , 91 - 60 | 59 , 91 = 0 , 0015 = 0 , 15 %

Observamos que el error absoluto es el mismo en ambos casos, pero el error relativo es considerablemente mayor en el primer caso y, por tanto, la aproximación es menos precisa.

Por ejemplo, si redondeamos el número 2,387 a las centésimas:

Error absoluto: Ea = |2,387 - 2,39| = 0,003.

Error relativo: Er = 0,003 / 2,387 = 0,0013. Es decir, el 0,13%.

Cota de errores absolutos y relativos

Normalmente no se conoce p y, por tanto, tampoco se conocerá el error absoluto (ni el relativo) de tomar p* como una aproximación de p. Se pretende encontrar cotas superiores de esos errores. Cuanta más pequeña sean esas cotas superiores, mejor. Sea f una función derivable en I,[a, b] Í I, P la solución exacta de la ecuación f(x)=0 y Pn una aproximación a P. Supongamos |f '(x)| ³ m > 0, " x Î [a, b], donde Pn, P Î [a, b]. Entonces:

Esto nos da una cota del error al tomar una aproximación de la solución exacta, conociendo una cota inferior del valor absoluto de la derivada. Algunas veces, en la práctica, la exactitud de una raíz aproximada Pn se estima en función de cómo satisfaga f(Pn) = 0; es decir si el número |f(Pn)| es pequeño, se considera entonces Pn una buena aproximación de P; pero si |f(Pn)| es grande, entonces Pn no se considera como una buena aproximación de la solución exacta P.

Cotas de error:

1.-Cota de error absoluto <½ unidad del orden de la última cifra significativa

2. Una cota para el error relativo es:

Cota de error relativo=cota del error absoluto /valor real

Ejemplo nº 1.-

Da una cota para el error absoluto y otra para el error relativo cometidos al hacer las siguientes aproximaciones:

a) Precio de una casa: 275 miles de €.

b) 45 miles de asistentes a una manifestación.

c) 4 cientos de coches vendidos.

Solución:

a) |Error absoluto| < 500 €

error relativo<500/275000=0,0018

b) |Error absoluto| < 500 personas

error relativo=500/45000=0,011

c) |Error absoluto| < 50 coches

error relativo<50/400=0,125

Fuentes básicas de Errores

Existen dos causas principales de errores en los cálculos numéricos: Error de truncamiento y error de redondeo. El Error de Redondeo se asocia con el número limitado de dígitos con que se representan los números en una PC (para comprender la naturaleza de estos errores es necesario conocer las formas en que se almacenan los números y como se llevan a cabo las sumas y restas dentro de una PC). El Error de Truncamiento, se debe a las aproximaciones utilizadas en la fórmula matemática del modelo (la serie de Taylor es el medio más importante que se emplea para obtener modelos numéricos y analizar los errores de truncamiento). Otro caso donde aparecen errores de truncamiento es al aproximar un proceso infinito por uno finito (por ejemplo, truncando los términos de una serie).

Redondeo y truncamiento

Los errores numéricos se generan al realizar aproximaciones de los resultados de los cálculos matemáticos y se pueden dividir en dos clases fundamentalmente: errores de truncamiento, que resultan de representar aproximadamente un procedimiento matemático exacto, y los errores de redondeo, que resultan de representar aproximadamente números exactos. En cualquier caso, la relación entre el resultado exacto y el aproximado está dada por: Valor verdadero = valor aproximado + error, de donde se observa que el error numérico está dado por: Ev = valor verdadero - valor aproximado. Donde Ev significa el valor exacto del error. La deficiencia del truncamiento o cortado, es atribuida al hecho de que los altos términos en la representación decimal completa no tienen relevancia en la versión de cortar o truncar; por lo tanto el redondeo produce un error bajo en comparación con el truncamiento o cortado. Para que obtengas información, esta es la conexión: Aritmética de Punto Flotante

Error De Redondeo

El error de redondeo se debe a la naturaleza discreta del sistema numérico de máquina de punto flotante, el cual a su vez se debe a su longitud de palabra finita. Cada número (real) se reemplaza por el número de máquina más cercano. Esto significa que todos los números en un intervalo local están representados por un solo número en el sistema numérico de punto flotante.

"Cualquier número real positivo y puede ser normalizado a:

y= 0,d1 d2 d3 ..., dk, dk+1, dk+2, . . . x 10 n.

 El procedimiento se basa en agregar 5 x 10 n - (k+1) a yy después truncar para que resulte un número de la formafl = 0,d1 d2 d3 ..., dk, x 10 n

El último método comúnmente se designa por redondeo. En este método, si dk+1 ³ 5, se agrega uno (1) a d k para obtener a flyes; esto es, redondeamos hacia arriba. Si dk+1 < 5, simplemente truncamos después de los primeros k dígitos; se redondea así hacia abajoPara que obtengas información, esta es la conexión:

Error De Truncamiento"Cualquier número real positivo y puede ser normalizado a:y= 0,d1 d2 d3 ..., dk, dk+1, dk+2, . . . x 10 n

Si y está dentro del rango numérico de la máquina, la forma de punto flotante de y, que se representará por fl yes, se obtiene terminando la mantisa de y en kcifras decimales. Existen dos formas de llevar a cabo la terminación. Un método es simplemente truncar los dígitos dk+1, dk+2, . . . para obtenerfl  = 0,d1 d2 d3 ..., dk, x 10 n

Este método es bastante preciso y se llama truncar el número.

Este tipo de error ocurre cuando un proceso que requiere un número infinito de pasos se detiene en un número finito de pasos. Generalmente se refiere al error involucrado al usar sumas finitas o truncadas para aproximar la suma de una serie infinita. El error de truncamiento, a diferencia del error de redondeo no depende directamente del sistema numérico que se emplee.