analisis modal elastico edificio 5 niveles- ing gilberto lacayo

PREPARADO Y PUBLICADO POR: ING. GILBERTO LACAYO BERMUDEZ

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3.9 ANÁLISIS MODAL ELÁSTICO PARA UN EDIFICIO DE CINCO NIVELES. Ilustraremos la aplicación del método de iteraciones matriciales en el análisis del edificio de cinco niveles mostrado en la Fig (3.32) proyectado para construirse en el sector de San Antonio en Managua, en un sitio localizado entre las fallas Estadio y Los Bancos, estructuras cuyo control tectónico se conoce desde el estudio de Durham H.W. (1939).

GEOLOGÍA LOCAL La ciudad de Managua se localiza en una planicie de abanicos aluviales cuyo espesor alcanza hasta unos 12m, constituidos por estratos entremezclados de materiales piroclásticos y suelos, ya que el lugar registra un historial volcánico cuyas deposiciones junto con los materiales aluviales forman parte de la topografía de las planicies de Managua. Durante el Pleistoceno y el Holoceno la sedimentación del área de Managua fue de piroclastos transportados por el agua y el viento, esta deposición fue extensiva en las planicies, formando grandes abanicos aluviales siguiendo la ruta de los drenajes y de pequeñas escarpas de fallas, lo cual hace que la estratigrafía del área sea variable, caracterizada por estratos horizontales indicativos de largos periodos de inactividad volcánica.


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Existen en el área aluviales espesos, con abundantes escombros y secuencias de materiales volcánicos depositados en capas tobáceas, así como materiales gruesos cementados, arenas y gravas en la vecindad lacustre. TECTÓNICA DEL LUGAR La ciudad de Managua se localiza dentro de la depresión tectónica o Graben de Nicaragua la cual se encuentra rellenada por materiales piroclásticos pertenecientes al vulcanismo Holocenico, cuya actividad principal se produjo en las estructuras volcánicas alineadas desde Apoyeque hasta la región del Nejapa y en la estructura del área del Tiscapa. Esta unidad tectónica presenta las características de las estructuras producidas por los esfuerzos de tensión debidos a la depresión nicaragüense y las estructuras individuales que integran la unidad. Existen evidencias de las tensiones en la región del Graben, observándose además esfuerzos compresivos en los materiales líticos tobáceos y en los materiales cementados, donde el fracturamiento presenta desplazamientos del orden de algunos centímetros. La información instrumental confirma que los esfuerzos confinados en la región del Pacifico de Nicaragua transfieren movimientos a lo largo de zonas de debilidad estructural, para nuestro propósito establecemos las relaciones de las fallas activas Estadio y Los Bancos con la posibilidad de que la energía acumulada produzca movimientos en algunas fallas del sistema escalonado de Managua. ESTRUCTURAS EXISTENTES EN EL SECTOR Del Informe Técnico de INETER titulado: “Actualización del Mapa de Fallas Geológicas de Managua” (ASDI, The World Bank Group, Managua 2002), transcribimos textualmente: (2) “La ciudad de Managua se ubica dentro de la cordillera volcánica entre los volcanes Apoyeque al noroeste y Masaya al sureste. En ella y en sus alrededores se reconocen numerosos pequeños edificios volcánicos y remanentes de volcanes: Santa Ana, Asososca, Tiscapa, Ticomo, Motastepe, entre otros. El subsuelo de Managua se caracteriza por la presencia de una secuencia volcano-sedimentaria donde se reconocen productos provenientes de los volcanes Masaya, Apoyeque, Apoyo, de los volcanes del lineamiento Miraflores-Nejapa, Motastepe y de otros edificios fuera de este lineamiento, como Chico Pelón y Tiscapa que quedan ahora como remanentes de antigua actividad volcánica en el centro del área de estudio. La presencia de numerosos suelos fósiles demuestra la existencia de ciertos períodos de calma entre eventos volcánicos o tectónicos, que han permitidos el desarrollo de suelos de varios tipos (Hradecky et al., 1997). El subsuelo de Managua se compone, a partir de la base, por productos del Grupo Las Sierras, en los cuales se reconocen ignimbritas, ondas piroclásticas y piroclástos de caída, relacionados a explosiones regionales de calderas que se han formado entre final del Terciario e inicio del Cuaternario. Sobre este grupo se depositaron secuencias piroclásticas del Grupo Las Nubes y del Grupo Managua, las cuales están suficientemente descritas en Hradecky et al (1997) y en Hradecky (2001). (2) Este es el estudio mas actualizado acerca del riesgo sísmico debido al sistema de fallas geológicas de la ciudad de Managua.


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ESTRATIGRAFÍA DE MANAGUA La geología y estratigrafía de Managua ha sido objeto de estudio en varios proyectos, sin embargo, pocos de ellos, por ejemplo (Bice, 1983) y (Hradecky et al., 1997), emplearon conceptos genéticos en la clasificación litológica; muchos propusieron una clasificación litológica con carácter ingeniero-geológica, especialmente los estudios elaborados después del terremoto de 1972 (Woodward-Clyde Consultants, 1975). El reciente estudio geológico del área de Managua de Hradecky et al. (1997) mejoró los conocimientos sobre la evolución geológica y estructural del área de la capital, considerando indispensables utilizar los aspectos genéticos, en particular vulcanológicos y geomorfológicos en la definición de la amenaza de esta área, así como en las investigaciones científica FALLAS GEOLÓGICAS Y LINEAMIENTOS Woodward-Clyde Consultants (1975) presentan una descripción de las fallas principales con sus respectivas denominaciones, parámetros y características. Moore (1990) y, más recientemente, el Grupo de Autores (1997, Reporte N°3 de la Microzonificación Sísmica de Managua) recopilaron información bibliográfica de cada falla principal. El área de Managua se ubica dentro de la Depresión de Managua, una estructura orientada N-S, considerada secundaria, con las mismas características y origen de la estructura principal (Depresión de Nicaragua). Sus relaciones con la estructura principal no se conocen. Se trata de una estructura reciente de tipo extensional y activa, que disloca la cordillera volcánica en sentido derecho por unos 13 Km. (discutido por Frischbutter, 1998). La Depresión o Graben de Managua está limitada por la Falla Cofradía al este y el lineamiento Miraflores-Nejapa al oeste. Hacia el norte el graben se pierde dentro del lago y hacia el sector suroeste el graben es limitado por la Falla Mateare y la Falla Las Nubes, mientras hacia el sur el límite se encuentra dentro de las calderas de Las Sierras. Dentro del graben se encuentran fallas orientadas según dos conjuntos conjugados: N-S y NE-SW (Woodward-Clyde Consultants, 1975). Las fallas con orientación N-S generalmente tienen forma de arco, con dirección paralela a estructuras mayores relacionadas a colapsos volcánicos y presentan desplazamientos de tipo normal. Estas observaciones sugieren que dichas fallas pueden estar relacionadas en el tiempo y espacio con el evento de subsidencia del graben. Las fallas con dirección NE-SW, en particular N35°E y N45°E presentan desplazamientos laterales izquierdos (Woodward-Clyde Consultants 1975). En el sector sureste del área de estudio se pudieron reconocer además lineamientos E-W y ENE-WSW, ESE-WNW. Pocas fallas presentan una orientación NW-SE, las cuales se pueden encontrar en el sector este y central del área de estudio. LaFemina, Dixon y Strauch (2002) explican la orientación preferencial NNE-SSO con desplazamiento lateral izquierdo de las fallas en la cadena volcánica como acomodación de los bloques tectónicos en la cadena volcánica. Según este trabajo, los bloques orientados paralelamente a la fosa oceánica, responden a la oblicua presión del proceso de subducción en Nicaragua en forma de un tipo de fallamiento denominado bookshelf ("estantes de libros"). Mientras las fallas geológicas en el centro de Managua fueron detonantes de destructivos terremotos en el siglo XX, no se sabe mucho sobre la actividad de las fallas al este y sur de la ciudad. Cowan et al. (1998) probaron con un


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estudio de Paleosismología que la Falla Aeropuerto es activa, y, hace aproximadamente 180 años, fue fuente de un terremoto con magnitud comparable con la del terremoto de Managua 1972. Frischbutter (1998) habla de la posibilidad de migración de la actividad hacia el este y que futuros terremotos fuertes podrían ocurrir en las fallas de esta zona. Strauch (1998) hizo simulaciones numéricas de los posibles efectos de terremotos causados por la Falla Aeropuerto y la Falla Cofradía. FALLAS GEOLÓGICAS Y AMENAZA SÍSMICA En la actualidad, en Managua viven alrededor de un millón de habitantes en una zona sísmica y volcánicamente activa. La ciudad cuenta con una elevada densidad de fallas geológicas activas (Brown et al. 1973) y sufrió en 1931 y 1972 dos terremotos destructivos que causaron grandes perdidas de vidas humanas y enormes daños materiales. Según Segura et al. (2000), las fallas sísmicas locales, en términos estadísticos, generan el 59 % de la amenaza sísmica total en Managua. El 41% restante resulta de la zona de subducción, de otras zonas en la cadena volcánica y de la zona montañosa de Nicaragua. Esto subraya la importancia del conocimiento del fallamiento local en Managua. Se cree que las fallas principales que atraviesan la parte central de Managua tienen pocos kilómetros de longitud y con esta característica pueden generar terremotos relativamente moderados de magnitudes hasta 6.5 Richter. No obstante resultan extremadamente destructivos porque el hipocentro es poco profundo, inclusive la ruptura corta la superficie, y la zona epicentral se ubica directamente en una ciudad densamente poblada. Por otro lado, las fallas que forman los límites Este y Oeste del graben de Managua (Falla Cofradía, Falla Mateare), por ser más largas y poder acumular más energía, podrían causar terremotos más grandes (Strauch et al. 2000. Estudio de la Microzonificación Sísmica de Managua) pero la densidad de población es más baja en esta zona. La importancia de consideraciones geológicas para la reconstrucción de Managua fue obvia después del terremoto de 1972 (Schmoll, 1975). Como acción inmediata, las Autoridades competentes de ese entonces encargaron un mapa de fallas y de la amenaza sísmica, que fue presentado, junto con la matriz de planeación, por Woodward-Clyde en 1975 al Vice Ministerio de Planificación Urbana. Un plan regulador para la reconstrucción y el desarrollo de Managua fue realizado por la Secretaría de Obras Publicas de México en 1973. A raíz de las recomendaciones derivadas de estos estudios se empezaron a requerir investigaciones geológicas para la detección de fallas geológicas en Managua, las cuales se convirtieron desde entonces, en un requerimiento técnico necesario para todo propietario de terreno que deseara levantar una obra o construcción civil de importancia.” (Final del texto transcrito del Informe Técnico de INETER) Las estructuras más importantes próximas a la zona considerada son: Falla Estadio: Localizada en el viejo centro de Managua fue reconocida por vez primera por Lientenant Dan I Sultan en 1931, siendo la causante del terremoto de Marzo de 1931. Su relato histórico puede encontrarse en el estudio de Woodward – Clyde – Consultants Nov de 1975 “Investigation of Active Faulting in Managua and Vinicity Brown en 1973 indica que durante el evento del 23 de Diciembre de 1972 esta falla no se movió.


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Falla de los Bancos: Es paralela a la falla Estadio, corta diagonalmente al viejo banco central que continua por el parque Luis Alfonso Velásquez. Fue mapeada en detalle por Brown, Ward, Plafter (1973), el U.S.G..S.- Brown et al le describieron de largo 2.7 k.m, con desplazamiento lateral de 5.9cm, J .Kuant y Carlos Valle la mapearon para el Catastro, fue descrita después del evento de 1972 para controlar cuanto se desplazó, es una falla menor con estructura ramificada. La secuencia estratigráfica del lugar del proyecto en orden de lo más reciente a lo más antiguo es la siguiente: (1)

RELLENO SUPERFICIAL (R) Estos materiales se presentan en forma de escombros recientes,arenas limos, gravas. SUELO HOLOCENICO ( Hs ) compuesto de materiales finos de limos-arcillas y arenas finas ALUVIAL HOLOCENICO (Hal ) consiste en materiales sueltos o poco consolidados de arenas limosas, limos, y gravas SUELO FOSIL ( Hfs ) consiste en materiales finos con trazos de gravas o fragmentos de rocas, arenas limosas irregulares PÓMEZ DE APOYEQUE (Haq ) este material es formado por fragmentos o pequeñas capas de ± 4cm color blanco amarillento FORMACIÓN SAN JUDAS ( Hsj ) son tefras de tipo basaltico escoriacio, lapilli, y cenizas ALUVIALES MAS ANTIGUOS ( HPAL, Pa y Pal ) depósitos aluviales profundos con abundancia de fragmentos de PómezMATERIAL CONGLOMERATICO ARENOSO COMPACTO (Hmf ) materiales con comportamiento de roca ligeramente cement SUELO FOSIL (Hfs ) provienen de la formación de Tobas, retiro o materiales aluviales de las unidades anteriores TOBA RETIRO ( Hrt ) material muy fracturado e intemperizado oxidado dándole el aspecto amarillento, algunas veces verdoso

EVALUACIÓN DEL RIESGO SÍSMICO PARA EL LUGAR Por los estudios referidos y por el historial sísmico sabemos que la ciudad de Managua es de alto riesgo con un sistema escalonado de fallas capaz de generar eventos con profundidades focales superficiales menores de 30km Arce (1973) refiere el siguiente historial sísmico para el sector estudiado FECHA MAGNITUD ( Richter ) PROFUNDIDAD ( km ) 31 Marzo 1931 5.3-5.9 Superficial 4 Enero 1968 4.6 ± 5.0 2 Enero 1972 4.3 ± 5.0-10 (Hansen ) 23 Diciembre 1972 6.5 SuperficialHasta 1978 ±3.0 Superficial El sitio puede estar expuesto a vibraciones sísmicas donde la influencia y efecto que ocurrirían a las edificaciones seria proporcional a la distancia focal y magnitud del evento, pudiendo originarse una M máxima probada de 6.5 Richter y una magnitud máxima creíble M = 7.0 Richter. La información disponible sobre el riesgo sísmico y la estratigrafía del lugar será utilizada en la construcción de los espectros de respuestas para el sitio del edificio proyectado, empleando el programa Shake 92. Los espectros se construyeron descombolucionando las componentes N-S del acelerograma del evento del 23 de Diciembre de1972, y clasificando los suelos de los estratos, de acuerdo con el sistema unificado de clasificación de suelos (SUCS). Inicialmente consideramos un porcentaje de amortiguamiento β = 0.05 para el suelo y β = 0.02 para el basamento rocoso. Posteriormente realizamos el análisis modal elástico aplicando el método de iteraciones matriciales de Stodolla-Vianello, mostrándose cada una de las etapas del análisis modal, hasta obtener las figuras características y los periodos fundamentales para los tres primeros modos de vibración, valores que nos permitirán cuantificar los


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desplazamientos , las fuerzas sísmicas laterales y el momento de volcamiento inducidos en el edificio con las aceleraciones espectrales obtenidas para el lugar. La aceleración pico del espectro Shake 92 obtenida para el sitio a partir de la estratigrafía conocida, será comparada con la aceleración del espectro del (RNC1983) correspondiente a la zona sísmica de Managua. El sistema estructural consiste básicamente de un conjunto de marcos de tres crujías y cinco niveles en ambas direcciones ortogonales, los cuales se colaboran con diafragmas rígidos horizontales en las elevaciones de pisos y techo. El objetivo del ejemplo consiste en mostrar cada uno de los pasos que deberán seguirse cuando se emplea este método de análisis modal-espectral elástico hasta obtenerse las fuerzas cortantes directas en cada uno de los marcos constitutivos de la primera línea de defensa sismorresistente del sistema estructural analizado.

Fig. (3.32): Edificio simétrico estructurado en base a marcos rígidos de concreto


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En vista de la simetría del sistema estructural, no fueron cuantificadas las cortantes debidas a la torsión elástica originada por las excentricidades entre el centro de masas y el centro de flexión del edificio, ni las debidas a excentricidades accidentales lo cual se hará en los ejemplos 3.10 y 3.11, los cuales presentan mejores características para ilustrar el procedimiento a seguir en el análisis torsionante de edificios. El proceso de iteraciones matriciales para determinar las frecuencias correspondientes a los tres primeros modos de vibración se realizo empleando el operador Mathcad 6.0 El sistema estructural consiste básicamente de un conjunto de marcos de tres crujías y cinco niveles en ambas direcciones ortogonales, los cuales se colaboran con diafragmas rígidos horizontales en las elevaciones de pisos y techo. La cimentación consiste en una losa rígidizada con nervios de concreto en cada eje de los marcos cimentada en un estrato elástico. MATRIZ DE MASA DEL EDIFICIO. La masa gravitatoria en cada nivel del edificio será calculada para la combinación de la CM+CVR desglosada del siguiente modo:

Masa de cada piso y del techo m1=m2=m3=m4=m5= 0.54(Tseg²/cm) Matriz de masas:

No DESCRIPCION UM CANTIDAD CM(kg/m²) CVR(kg/m²) WCM(T) WCVR(T) ΣW(T) ΣM(Tseg²/cm) 01 Losa de pisos m² 288 550 200 158.4 57.6 216T 0.22 02 Vigas de

entrepisos y azotea

m 144 702(kg/m) 101.0 101T 0.10

03 Columnas de concreto

m 72 600(kg/m) 43.2 43.2 0.05

04 Escaleras y descanso

m² 25 900 300 22.5 7.5 30 0.03

05 Forros y particiones livianas

m² 1000 120 120 120 0.12

06 Losa de techo m² 288 550 100 158.4 28.8 187.2 0.19 07 Equipos de

azotea m² 288 118 34 34 0.03

08 Ductos y tuberías

m² 288 25 7.2 7.2 0.01

09 Cargas misceláneas

m² 288 25 7.2 7.2 0.01


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=( )M ..

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0.54 Tseg2

cm

MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL DEL EDIFICIO

Se empleara concreto con Ec = 282 (T/cm²) =Ι =504

125.208 105 cm4

Emplear la Ec (3.27): =K..12 E I

h3

=Σ Kx =Σ Kz =....12 16 282 5.208 105

450 3309.445

Tcm

Matriz de rigidez lateral considerando que las vigas horizontales son mucho más rigidas que las columnas, cuya seccion transversal se considera igual en todos los niveles del edificio.

=K ..

2

1

0

0

0

1

2

1

0

0

0

1

2

1

0

0

0

1

2

1

0

0

0

1

1

309.445Tcm

MATRIZ DE FLEXIBILIDAD

=F =K 1 =

2

1

0

0

0

1

2

1

0

0

0

1

2

1

0

0

0

1

2

1

0

0

0

1

1

11

1

1

1

1

1

2

2

2

2

1

2

3

3

3

1

2

3

4

4

1

2

3

4

5

.3.232 10 3 cmT

MATRIZ DINAMICA PARA EL PRIMER MODO DE VIBRACION.

=( )D1 ...( )F ( )M 1.745 10 3


9

CONFIGURACION CARACTERÍSTICA PARA EL PRIMER MODO DE VIBRACION

Vector de prueba inicial: =u1

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

Ecuación característica para el primer modo de

vibración. =.( )D1 u1 .1

ω 12u1

Primera iteracion matricial:

=.

1

1

1

1

1

1

2

2

2

2

1

2

3

3

3

1

2

3

4

4

1

2

3

4

5

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

.6

1

1.833

2.483

2.933

3.167

Segunda iteración matricial:

=.

1

1

1

1

1

1

2

2

2

2

1

2

3

3

3

1

2

3

4

4

1

2

3

4

5

1

1.833

2.483

2.933

3.167

.11.416

1

1.912

2.664

3.199

3.476

Tercera iteración matricial:

=.

1

1

1

1

1

1

2

2

2

2

1

2

3

3

3

1

2

3

4

4

1

2

3

4

5

1

1.912

2.664

3.199

3.476

.12.251

1

1.918

2.681

3.226

3.509


10

Cuarta iteración matricial

=.

1

1

1

1

1

1

2

2

2

2

1

2

3

3

3

1

2

3

4

4

1

2

3

4

5

1

1.918

2.681

3.226

3.509

.12.334

1

1.919

2.682

3.228

3.513

Quinta iteración matricial

=.

1

1

1

1

1

1

2

2

2

2

1

2

3

3

3

1

2

3

4

4

1

2

3

4

5

1

1.919

2.682

3.228

3.513

.12.342

1

1.919

2.682

3.229

3.513

Para el grado de convergencia logrado, los valores de la frecuencia natural y del periodo correspondiente al primer modo de vibración son los siguientes:

=1

ω 2=..1.745 12.342 10 3 0.022 seg 2

=ω 1 .6.864radseg

=T1 0.915seg

Fig. (3.33): Configuración característica para el primer modo de vibración SEGUNDO MODO DE VIBRACION Para el cálculo del segundo modo de vibración partimos de la aplicación del principio de ortogonalidad de los modos de vibración, o sea:

=..TU1 M U2 0


11

=..( )1 1.919 2.682 3.229 3.513

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

u1

u2

u3

u4

u5

0

=u1 1.919u2 2.682u3 3.229u4 3.513u5

Ahora construiremos la matriz de eliminación (S1) del primer modo de vibración haciendo u1=0 y reemplazando los valores por los correspondientes a la fila i=1 en la matriz de masa (M) MATRIZ DE ELIMINACIÓN DEL PRIMER MODO DE VIBRACION

=( )S1

0

0

0

0

0

1.919

1

0

0

0

2.682

0

1

0

0

3.229

0

0

1

0

3.513

0

0

0

1

MATRIZ DINAMICA PARA EL SEGUNDO MODO DE VIBRACION La matriz dinámica (D1) correspondiente al segundo modo de vibración se obtiene de la premultiplicación de la matriz dinámica (D) por la matriz de eliminación del primer modo (S1) o sea: =( )D1 .( )D ( )S1

CONFIGURACION CARACTERISTICA PARA EL SEGUNDO MODO DE VIBRACION


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Ecuación característica:

=.( )D1 u2 ...1

ω 22u2 1.745 10 3seg 2

Vector de prueba inicial: =u1

1

1

0

1

1

Primera iteración matricial:

=.

0

0

0

0

0

0.919

0.081

0.081

0.081

0.081

1.682

0.682

0.318

0.318

0.318

2.229

1.229

0.229

0.771

0.771

2.513

1.513

0.513

0.487

1.487

1

1

0

1

1

.1.203

1

0.169

0.169

0.169

0.663

Segunda iteración matricial

=.

0

0

0

0

0

0.919

0.081

0.081

0.081

0.081

1.682

0.682

0.318

0.318

0.318

2.229

1.229

0.229

0.771

0.771

2.513

1.513

0.513

0.487

1.487

1

0.169

0.169

0.169

0.663

.0.85

1

0.816

0.434

0.147

0.927

Tercera iteración matricial:

=.

0

0

0

0

0

0.919

0.081

0.081

0.081

0.081

1.682

0.682

0.318

0.318

0.318

2.229

1.229

0.229

0.771

0.771

2.513

1.513

0.513

0.487

1.487

1

0.816

0.434

0.147

0.927

.1.177

1

1.15

0.606

0.307

1.094


13

Cuarta iteración matricial:

=.

0

0

0

0

0

0.919

0.081

0.081

0.081

0.081

1.682

0.682

0.318

0.318

0.318

2.229

1.229

0.229

0.771

0.771

2.513

1.513

0.513

0.487

1.487

1

1.15

0.606

0.307

1.094

.1.357

1

1.262

0.676

0.357

1.163

.

.

.

. Novena iteración matricial:

=.

0

0

0

0

0

0.919

0.081

0.081

0.081

0.081

1.682

0.682

0.318

0.318

0.318

2.229

1.229

0.229

0.771

0.771

2.513

1.513

0.513

0.487

1.487

1

1.308

0.714

0.372

1.201

.1.444

1

1.311

0.716

0.373

1.205

Para este grado de convergencia la frecuencia y el periodo natural correspondientes al segundo modo de vibración son los siguientes:

=1

ω 2=..1.444 1.745 10 3 2.52 10 3 seg2 =ω 2 .19.92

radseg

=ω 2 .396.86 seg 2 =T2 =

.2 π19.92

0.315 seg

Fig. (3.34): Configuración característica para el segundo modo de vibración.


14

TERCER MODO DE VIBRACION Partiremos de la doble aplicación del principio de ortogonalidad de los modos de la siguiente manera:

=..TU1 ( )M U3 0

=..TU2 ( )M U3 0 Estas dos condiciones generan el siguiente sistema de ecuaciones las cuales nos permiten fijar los valores de u1 y u2, dejando libre los valores de u3, u4 y u5

=u1 1.919u2 2.682u3 3.229u4 3.513u5 0

=u1 1.311u2 0.716u3 0.373u4 1.205u5 0

=u1 3.523u3 8.138u4 11.376u5

=u2 3.233u3 5.924u4 7.718u5 Ahora construimos la matriz de eliminación del segundo modo de vibración eliminando en la matriz de masa las dos columnas correspondientes a los modos calculados. MATRIZ DE ELIMINACION DE LOS DOS PRIMEROS MODOS:

=S2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

3.523

3.233

1

0

0

8.138

5.924

0

1

0

11.376

7.718

0

0

1

MATRIZ DINAMICA DEL TERCER MODO:

=D3 .D S2


15

CONFIGURACIÓN CARACTERÍSTICA PARA EL TERCER MODO DE VIBRACIÓN: Ecuación característica:

=.( )D3 u3 ...1

ω 32u3 1.745 10 3seg2

Vector de prueba inicial:

=u3

1

1

0

1

1

Primera iteración matricial

=.

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1.29

0.943

0.057

0.057

0.057

3.214

1.71

0.71

0.29

0.29

4.617

2.142

1.142

0.142

0.858

1

1

0

1

1

.1.403

1

0.308

0.308

0.308

0.405

Segunda iteración matricial

=.

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1.29

0.943

0.057

0.057

0.057

3.214

1.71

0.71

0.29

0.29

4.617

2.142

1.142

0.142

0.858

1

0.308

0.308

0.308

0.405

.0.483

1

0.104

0.54

0.34

0.499

Tercera iteración matricial

=.

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1.29

0.943

0.057

0.057

0.057

3.214

1.71

0.71

0.29

0.29

4.617

2.142

1.142

0.142

0.858

1

0.104

0.54

0.34

0.499

.0.515

1

0.043

0.697

0.388

0.581


16

Cuarta iteración matricial

=.

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1.29

0.943

0.057

0.057

0.057

3.214

1.71

0.71

0.29

0.29

4.617

2.142

1.142

0.142

0.858

1

0.043

0.697

0.388

0.581

.0.536

1

0.142

0.799

0.438

0.646

.

.

.

.

.

.

. Duodécima iteración matricial

=.

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1.29

0.943

0.057

0.057

0.057

3.214

1.71

0.71

0.29

0.29

4.617

2.142

1.142

0.142

0.858

1

0.306

0.936

0.564

0.78

.0.581

1

0.303

0.936

0.565

0.778

Para este grado de convergencia los valores de la frecuencia y el periodo natural correspondientes al tercer modo de vibración son entonces los siguientes:

=1

ω 32=..1.745 0.581 10 3 1.014 10 3 seg2

=ω 3 .31.406radseg

=ω 32 .986.344 seg 2 =T3 =

.2 π31.406

0.2 seg

Fig. (3.35): Configuración característica correspondiente al tercer modo. Matriz modal para el sistema estructural en base a marcos rígidos en ambas direcciones


17

=( )A

3.51

3.23

2.68

1.92

1

1.21

0.37

0.72

1.31

1

0.78

0.57

0.94

0.30

1

ACELERACIONES ESPECTRALES El edificio se construirá en un sitio cuya estratigrafía corresponde a las condiciones locales previamente descritas, para el cual se construyeron los espectros de respuestas descombolucionando el registro de acelerograma del terremoto del 23 de Diciembre de 1972. El periodo predominante de vibración del suelo Ts1 = 0.65 seg se obtuvo empleando matrices de transferencia, permitiéndonos clasificar el suelo como Tipo III, al cual corresponde el espectro para suelos medios del RNC1983. Los factores de amplificación dinámica para los periodos predominantes de vibración del sistema estructural según el Art. 32 del RNC1983 son los siguientes: T1=0.915seg>0.5seg

=.D ( )T1 =.20.5

T1

0.51.48

T2<0.5seg, T3<0.5seg 0.10 <T2<0.5 D(T2) = D(T3) =2.0

ESPECTRO DE ACELERACIONES PARA EL SITIO DEL EDIFICIO DE CINCO NIVELES

00.20.40.60.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4PERIODO (Sec)

AC

ELER

AC

ION

(%g)

El cálculo de las aceleraciones espectrales A(c, T) requiere de la clasificación del sistema sismorresistente conforme al Capítulo del RNC1983: Grupo 2: Edificios destinados al uso de oficinas.


18

Tipo 5: Sistema estructural constituido en sus direcciones principales de análisis por marcos arriostrados de concreto reforzado para resistir la totalidad de las fuerzas laterales y verticales. El sistema de piso y techo constituyen diafragmas rígidos.

ESPECTRO DE AMPLIFICACION DINAMICA SITIO DEL EDIFICIO DE CINCO NIVELES

0

5

10

15

0 5 10 15 20 25FRECUENCIA ( Hz )

AM

PLIT

UD

Grado B: Sistema estructural con simetría aceptable, confiabilidad del sistema constructivo control de los materiales, supervisión permanente. Zona sísmica 6: Incluye la ciudad de Managua y su entorno geográfico según el mapa de isoaceleraciones del RNC 1983. Coeficiente sísmico ultimo: De Tabla 14 del RNC 1983. Grupo 2 Tipo 5 Grado B Cu= 0.452 Zona 6


19

Espectro de aceleraciones del RNC 1983

T1>0.5seg ü (T1) = =0.5

T1

0.5

0.739

0.10<T2<0.5seg ü (T2) = 1.00 0.10<T3<0.5seg ü (T3) = 1.00 MODO T(seg) ü (T) cü A=cüg(cm/seg²) 1 0.915 0.739 0.334 327.347 2 0.315 1.000 0.452 442.960 3 0.200 1.000 0.452 442.960

ESPECTROS DE FOURIER PARA EL SITIO DEL EDIFICIO DE CINCO NIVELES

00.0020.0040.0060.008

0.010.012

0 2 4 6 8FRECUENCIA (Hz)

AM

PLIT

UD


20

COEFICIENTES DE PARTICIPACIÓN MODAL MODO PISO ui Mi Miui Miui²

=Ci

= 1

5

i

.Mi ui

= 1

5

i

.Mi ui2

1 1.000 1.000 1.000 1.000 2 1.919 1.000 1.919 3.682

1 3 2.683 1.000 2.683 7.198 C1=0.356 4 3.229 1.000 3.229 10.426 5 3.513 1.000 3.513 12.341 Σ 12.344 34.647 1 1.000 1.000 1.000 1.000 2 1.311 1.000 1.311 1.718 2 3 0.716 1.000 0.716 0.512 C2=0.300 4 -0.373 1.000 -0.373 0.139 5 -1.205 1.000 -1.205 1.452 Σ 1.449 4.821 1 -1 1.000 -1.000 1.000 2 -0.303 1.000 -0.303 0.0918 3 3 0.936 1.000 0.936 0.876 C3=-0.200 4 0.565 1.000 0.565 0.319 5 -0.778 1.000 -0.778 0.605 Σ -0.58 2.892 DESPLAZAMIENTOS ESPECTRALES

=Δ i ..Ai Ci

ω i2Ui

Primer modo:

=Δ 1 =..327.347 0.35647.125

1

1.919

2.682

3.228

3.513

2.473

4.745

6.632

7.983

8.687

cm


21

Segundo modo:

=Δ 2 =..442.96 0.30396.86

1

1.311

0.716

0.373

1.205

0.335

0.439

0.24

0.125

0.403

cm

Tercer modo:

=Δ 3 =..442.96 0.20986.344

1

0.303

0.936

0.565

0.778

0.09

0.027

0.084

0.051

0.07

cm

FUERZAS SISMICAS ESPECTRALES

=Fi =.Ki Δ ij .Ki ( )Δ i Δ j

Modo 1:

=F1 =.2.473 309.445 765.257 T =F2 =.2.272 309.445 703.059 T =F3 =.1.887 309.445 583.923 T =F4 =.1.351 309.445 418.06 T =F5 =.0.704 309.445 217.849 T

Modo 2:

=F1 =.0.335 309.445 103.664 T =F2 =.0.104 309.445 32.182 T =F3 =.0.199 309.445 61.58 T =F4 =.0.365 309.445 112.947 T =F5 =.0.278 309.445 86.026 T

Modo 3:

=F1 =.0.09 309.445 27.85 T =F2 =.0.063 309.445 19.495 T =F3 =.0.111 309.445 34.348 T =F4 =.0.033 309.445 10.212 T =F5 =.0.121 309.445 37.443 T


22

FUERZAS SISMICAS ESTANDARIZADAS

=F1 =765.257 2 103.664 2 27.85 2 772.748 T

=F2 =703.059 2 32.182 2 ( )19.495 2 704.065 T

=F3 =583.923 2 ( )61.58 2 ( )34.348 2 588.165 T

=F4 =418.06 2 ( )112.947 2 10.212 2 433.169 T

=F5 =217.849 2 ( )86.026 2 37.443 2 237.193 T DISTRIBUCION VERTICAL DE LAS FUERZAS SISMICAS El objetivo de este ejemplo es mostrar el procedimiento que debe seguirse para obtener las fuerzas sísmicas espectrales directas inducidas en edificaciones que puedan idealizarse como estructuras simples de cortante con parámetros discretos simplemente acoplados como el mostrado en la Fig (3.31) En el cálculo de las fuerzas se considero la influencia de las condiciones locales del suelo en las respuestas sísmicas incorporando las propiedades dinamicas de éste para la selección del espectro de respuestas, lo cual constituye el propósito de este trabajo. El ejemplo también permite establecer las diferencias cualitativas existentes para el tratamiento de edificios de varios niveles y el de puentes tradicionales de varios vanos como el previamente analizado.


23

Fig. (3.36): Distribución vertical de las fuerzas sísmicas y diagramas de momentos para estructuración en base a marcos rígidos.


24

Ahora cambiaremos el sistema estructural, para la misma geometría del edificio, incorporando muros de cortante en sustitución de los miembros verticales de los marcos y conservando las vigas y losas de pisos a como se aprecia en la Fig (3.37). Con la incorporación de muros de corte de concreto reforzado aumentamos la rigidez lateral del edificio y por ende disminuimos el valor del periodo fundamental de vibración, modificándose los valores de las fuerzas cortantes espectrales respecto a las obtenidas para la estructuración con marcos rígidos en ambas direcciones ortogonales. Ahora la rigidez individual de cada pieza de muro se obtiene con la Ec (3.26):

Ec = 282 T/cm²

=K.E t

.4hL

3.3

hL

Fig. (3.37): Estructuración del edificio en base a piezas de muros de cortante.

PISO H (m) L (m) t (cm) K (T/cm) Σ k (T/cm) 1y 2 4..50 2..50 30 162 685 3,4y 5 4..50 2.50 25 135 539


25

La matriz de rigidez lateral es ahora la siguiente:

=( )K ..

2.54

1.27

0

0

0

1.27

2.27

1

0

0

0

1

2

1

0

0

0

1

2

1

0

0

0

1

1

539 Tcm

La matriz de flexibilidad es :

=( )F =

2.54

1.27

0

0

0

1.27

2.27

1

0

0

0

1

2

1

0

0

0

1

2

1

0

0

0

1

1

1 0.787

0.787

0.787

0.787

0.787

0.787

1.575

1.575

1.575

1.575

0.787

1.575

2.575

2.575

2.575

0.787

1.575

2.575

3.575

3.575

0.787

1.575

2.575

3.575

4.575

..1.85 10 3 cmT

Matriz dinámica para el primer modo de vibración:

=.

0.787

0.787

0.787

0.787

0.787

0.787

1.575

1.575

1.575

1.575

0.787

1.575

2.575

2.575

2.575

0.787

1.575

2.575

3.575

3.575

0.787

1.575

2.575

3.575

4.575

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

1

1

2.001

2.001

2.001

2.001

1

2.001

3.272

3.272

3.272

1

2.001

3.272

4.543

4.543

1

2.001

3.272

4.543

5.813

Ecuación característica:

=.( )D1 u1 ....1

ω 12u1 0.787 10 3 seg 2

Empleamos el mismo vector de prueba empleado en el análisis del sistema en base a marcos rígidos de concreto. Proceso iterativo:

=.

1

1

1

1

1

1

2.001

2.001

2.001

2.001

1

2.001

3.272

3.272

3.272

1

2.001

3.272

4.543

4.543

1

2.001

3.272

4.543

5.813

1

1.1

1.2

1.3

1.4

.6.000

1

1.834

2.66

3.232

3.529

=.

1

1

1

1

1

1

2.001

2.001

2.001

2.001

1

2.001

3.272

3.272

3.272

1

2.001

3.272

4.543

4.543

1

2.001

3.272

4.543

5.813

1

1.834

2.66

3.232

3.529

.12.255

1

1.919

2.896

3.598

3.963


26

=.

1

1

1

1

1

1

2.001

2.001

2.001

2.001

1

2.001

3.272

3.272

3.272

1

2.001

3.272

4.543

4.543

1

2.001

3.272

4.543

5.813

1

1.919

2.896

3.598

3.963

.13.376

1

1.926

2.92

3.638

4.015

=.

1

1

1

1

1

1

2.001

2.001

2.001

2.001

1

2.001

3.272

3.272

3.272

1

2.001

3.272

4.543

4.543

1

2.001

3.272

4.543

5.813

1

1.926

2.92

3.638

4.015

.13.499

1

1.927

2.922

3.643

4.021

=.

1

1

1

1

1

1

2.001

2.001

2.001

2.001

1

2.001

3.272

3.272

3.272

1

2.001

3.272

4.543

4.543

1

2.001

3.272

4.543

5.813

1

1.927

2.922

3.643

4.021

.13.513

1

1.927

2.923

3.643

4.021

Para este grado de convergencia los valores de la frecuencia angular natural y del periodo predominante de vibración son los siguientes:

=1

ω 12=..0.787 13.513 10 3 0.011 seg 2

=ω 1 .9.535 radseg

=T1 =.2 π

9.5350.659 seg

Aplicando el principio de ortogonalidad construimos la matriz de eliminación del primer modo:

=( )S1

0

0

0

0

0

1.927

1

0

0

0

2.923

0

1

0

0

3.643

0

0

1

0

4.021

0

0

0

1


27

La matriz dinámica para el segundo modo de vibración es la siguiente:

=.

1

1

1

1

1

1

2.001

2.001

2.001

2.001

1

2.001

3.272

3.272

3.272

1

2.001

3.272

4.543

4.543

1

2.001

3.272

4.543

5.813

0

0

0

0

0

1.927

1

0

0

0

2.923

0

1

0

0

3.643

0

0

1

0

4.021

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0.927

0.074

0.074

0.074

0.074

1.923

0.922

0.349

0.349

0.349

2.643

1.642

0.371

0.9

0.9

3.021

2.02

0.749

0.522

1.792

Proceso iterativo para el segundo modo:

=.

0

0

0

0

0

0.927

0.074

0.074

0.074

0.074

1.923

0.922

0.349

0.349

0.349

2.643

1.642

0.371

0.9

0.9

3.021

2.02

0.749

0.522

1.792

1

1.5

0.75

0.40

1.2

.1.85

1

1.351

0.768

0.332

1.156

=.

0

0

0

0

0

0.927

0.074

0.074

0.074

0.074

1.923

0.922

0.349

0.349

0.349

2.643

1.642

0.371

0.9

0.9

3.021

2.02

0.749

0.522

1.792

1

1.351

0.768

0.332

1.156

.1.641

1

1.385

0.827

0.325

1.22

=.

0

0

0

0

0

0.927

0.074

0.074

0.074

0.074

1.923

0.922

0.349

0.349

0.349

2.643

1.642

0.371

0.9

0.9

3.021

2.02

0.749

0.522

1.792

1

1.385

0.827

0.325

1.22

.1.67

1

1.4

0.853

0.322

1.25

=.

0

0

0

0

0

0.927

0.074

0.074

0.074

0.074

1.923

0.922

0.349

0.349

0.349

2.643

1.642

0.371

0.9

0.9

3.021

2.02

0.749

0.522

1.792

1

1.4

0.853

0.322

1.25

.1.689

1

1.404

0.863

0.32

1.261

Los valores de la frecuencia natural y del periodo correspondiente al segundo modo son:

=1

ω 22=..0.787 1.689 10 3 1.329 10 3 seg 2

=ω 2 .27.43 radseg

=T2 .0.23 seg


28

Empleando doblemente el principio de ortogonalidad de los modos podemos construir la matriz de eliminación de los modos previamente calculados:

=u1 1.93u2 2.92u3 3.64u4 4.02u5 0

=u1 1.40u2 0.86u3 0.32u4 1.26u5 0

=u1 4.58u3 10.77u4 15.21u5

=u2 3.89u3 7.47u4 9.97u5

=( )S2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

4.58

3.89

1

0

0

10.77

7.47

0

1

0

15.21

9.97

0

0

1

La matriz dinámica para el tercer modo es la siguiente

Proceso iterativo para obtener la figura característica del tercer modo a partir de un vector de prueba arbitrario:

=.

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1.69

1.203

0.068

0.068

0.068

4.3

2.176

0.905

0.366

0.366

6.24

2.739

1.468

0.197

1.073

1

0.40

1

0.75

0.9

.0.701

1

0.528

1.013

0.742

0.889


29

=.

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1.69

1.203

0.068

0.068

0.068

4.3

2.176

0.905

0.366

0.366

6.24

2.739

1.468

0.197

1.073

1

0.528

1.013

0.742

0.889

.0.645

1

0.617

1.088

0.8

0.95

=.

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1.69

1.203

0.068

0.068

0.068

4.3

2.176

0.905

0.366

0.366

6.24

2.739

1.468

0.197

1.073

1

0.617

1.088

0.8

0.95

.0.649

1

0.69

1.148

0.854

1.006

=.

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1.69

1.203

0.068

0.068

0.068

4.3

2.176

0.905

0.366

0.366

6.24

2.739

1.468

0.197

1.073

1

0.69

1.148

0.854

1.006

.0.665

1

0.728

1.176

0.886

1.036

.

.

.

=.

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1.69

1.203

0.068

0.068

0.068

4.3

2.176

0.905

0.366

0.366

6.24

2.739

1.468

0.197

1.073

1

0.757

1.198

0.912

1.06

.0.668

1

0.781

1.216

0.934

1.081

Los valores de la frecuencia natural y del periodo correspondiente al tercer modo son:

=1

ω 32=..0.787 0.67 10 3 5.273 10 4 seg 2

=ω 3 .43.543 radseg

=T3 =.2 π

43.5430.144 seg


30

La aceleración espectral del RNC1983 para los tres modos es: A = 0.452g = 443 cm/seg² Matriz modal para el sistema estructural en base a muros de cortante.

=( )A

4.02

3.64

2.92

1.93

1

1.26

0.32

0.86

1.4

1

1.08

0.93

1.22

0.78

1

Puede apreciarse la aproximación de un 5% entre el valor de la aceleración A = 0.452g obtenida con el espectro del RNC1983 y el valor de A = 0.478g correspondiente al espectro de aceleraciones construido con los datos geotécnicos para el sitio de la obra.


31

Los coeficientes de participación modal son: MODO PISO ui Mi Miui Miui²

=Ci

= 1

5

i

.Mi ui

= 1

5

i

.Mi ui2

1 1.00 1.000 1.00 1.00 2 1.93 1.000 1.93 3.72

1 3 2.92 1.000 2.92 8.53 C1 = 0.32 4 3.64 1.000 3.64 13.25 5 4.02 1.000 4.02 16.16 Σ 13.51 42.66 1 1.00 1.000 1.00 1.00 2 1.40 1.000 1.96 1.96 2 3 0.86 1.000 0.86 0.74 C2 = 0.41 4 -0.32 1.000 -0.32 0.10 5 -1.26 1.000 -1.26 1.59 Σ 2.24 5.39 1 -1.00 1.000 -1.00 1.00 2 -0.78 1.000 -0.78 0.60 3 3 1.22 1.000 1.22 1.49 C3 = -0.14 4 0.93 1.000 0.93 0.86 5 -1.08 1.000 -1.08 1.17 Σ -0.71 5.12 Los desplazamientos espectrales para cada modo son los siguientes:

=Δ i ..Ai Ci

ω i2Ui

=Δ 1 =..443 0.3290.916

1

1.93

2.92

3.64

4.02

1.559

3.009

4.553

5.676

6.268

cm

=Δ 2 =..443 0.41752.405

1

1.40

0.86

0.32

1.26

0.241

0.338

0.208

0.077

0.304

cm


32

=Δ 3 =..443 0.141896

1

0.78

1.22

0.93

1.08

0.033

0.026

0.04

0.03

0.035

cm

Las fuerzas sísmicas horizontales son las siguientes: Modo 1:

=F1 =.685 1.56 1.069 103 T =F2 =.685 ( )3.01 1.56 993.25 T =F3 =.539 ( )4.55 3.01 830.06 T =F4 =.539 ( )5.67 4.55 603.68 T =F5 =.539 ( )6.27 5.67 323.4 T

Modo 2:

=F1 =.685 0.24 164.4 T =F2 =.685 ( )0.34 0.24 68.5 T =F3 =.539 ( )0.21 0.34 70.07 T =F4 =.539 ( )0.08 0.21 156.31 T =F5 =.539 ( )0.30 0.08 118.58 T

Modo 3:

=F1 =.685 ( )0.033 22.605 T =F2 =.685 ( )0.026 0.033 40.415 T =F3 =.539 ( )0.04 0.026 35.574 T =F4 =.539 ( )0.03 0.04 5.39 T =F5 =.539 ( )0.035 0.03 35.035 T

Fuerzas sísmicas estandarizadas:

=F1 =.1.069 103 2( )164.4 2 ( )22.605 2 1.082 103 T

=F2 =( )993.25 2 ( )68.5 2 ( )40.415 2 996.429 T

=F3 =( )830.06 2 ( )70.07 2 ( )35.574 2 833.772 T

=F4 =( )603.68 2 ( )156.31 2 ( )5.39 2 623.612 T

=F5 =( )323.40 2 ( )118.58 2 ( )35.035 2 346.231 T


33

Fig. (3.38): Distribución vertical de las cortantes sísmicas en las piezas de muros. Comparación de las cortantes sísmicas obtenidas para ambos sistemas estructurales. SISTEMA ESTRUCTURAL

F1 F2 F3 F4 F5 Marcos 773 704 588 433 237 Muros 1082 996 834 624 346 DIMENSIONAMIENTO DE LA PIEZA DE MURO TIPICA DE LA PLANTA BAJA. Para dimensionar el refuerzo de los muros de cortante empleamos el ACI Art 11-10

a) Refuerzo por cortante: =Vc ...2 fc h d =Av

.( )Vu .φ Vc s2..φ fy d

d = 0.8L= 200cm =vu =Vu

..φ h d=

.270.5 103

..0.85 450 2003.536

kg

cm2

<Vu .φ Vc

Emplear cuantía mínima: ρ = 0.0025 Av = 2.25 cm² dos lechos de No 4@ 30cm A/D

b) Refuerzo por flexión: =Mu

..φ b d2.43.4

kg

cm2

=ρ 0.011 14No8 en tension

f’c = 283 kg/cm², fy = 4218 kg/cm²


34

DIMENSIONAMIENTO DEL SISTEMA DE CIMENTACIÓN La fundación del edificio consiste en una losa rígida de 19x19x0.50m cartelada en los ejes resistentes en ambas direcciones ortogonales. Para determinar los valores de las presiones transmitidas al estrato de cimentación se empleo la red de elemento finito mostrada en la Fig. (3.39a), este método se basa en asumir que el modulo de subgrado es sustituido por un lecho muelles enrollados cuya rigidez de resorte constante k representa el valor del coeficiente de reacción de subgrado del suelo de cimentación.


35

a) Red de elemento finito empleado en el análisis del sistema de cimentación.

Fig. (3.39): Geometría y cargas del sistema de cimentación. La ecuación diferencial parcial de cuarto orden de Lagrange para calcular las deflexiones de una losa de cimentación apoyada sobre suelo elástico es:


36

=.∇ 4 δ

q .k δ

D Siendo:

=.∇ 4 δ

.∂ 4 δ.∂ Χ 4

.∂ 4 δ...∂ Χ 2 ∂ Ζ 2

.∂ 4 δ.∂ Ζ 4

q = reacción de subgrado por unidad de área de la losa. k = coeficiente de reacción de subgrado. E = modulo de elasticidad. δ = deflexión de la losa μ = relación de Poisson.

D = rigidez de la losa = .E t3

.12 ( )1 μ 2

t = espesor de la losa


37

Fig. (3.40): Presiones de contacto entre el suelo y la losa de cimentación. En el método de las diferencias finitas se sustituye la ecuación diferencial parcial de cuarto orden por un sistema de ecuaciones algebraicas lineales simultaneas para obtener las deflexiones de un numero finito de puntos donde se interceptan las retículas (hxh) en que fue dividida la losa .Determinadas las deflexiones se calculan los momentos y esfuerzos cortantes mediante la relación apropiada entre las deflexiones de los grupos de puntos.


38

Fig. (3.41): Reacciones en las esquinas de la losa y diagramas de momentos. Cada elemento pequeño en que fue dividida la placa posee propiedades de deformación por flexión las que pueden cuantificarse con buena aproximación. El método consiste en aplicar las cargas en las esquinas de los elementos separados, restableciendo luego las condiciones de continuidad para la pendiente deformación de cada nodo, de manera que se cumplan las condiciones de equilibrio y de frontera. Mx = M’x + μM’δ Donde Mx = momento flexionante en una franja unitaria de losa en dirección x M’x = momento flexionante en dirección x sin considerar la influencia del momento flexionante en la dirección z M’δ = momento flexionante en dirección z sin considerar la influencia del momento flexionante en la dirección x.

Usando los operadores de diferencias finitas, el momento total en una franja de losa en la dirección m-n se expresa para un punto interior común a cuatro retículas del siguiente modo:


39

El caso fue resuelto empleando una red de elemento finito de 9x9 retículas empleando le programa Risa 3D, para lo cual se utilizo un valor k = 60 T/cm para el coeficiente de sub grado del suelo en el estrato de desplante. Algunas veces es necesario aumentar el numero de retículas en la proximidad de los ábacos de las columnas y en las franjas de muros con lo cual logramos aumentar la precisión de los resultados. Para las cargas y la geometría de la losa, el valor de la máxima presión transmitida al suelo resultó ser qs = 1.55kg/cm². Los momentos flexionantes máximos en ambas direcciones son Mumax = 1243 Tcm

=Mu

..φ b d2

.24.38kg

cm2

Para f’c = 284 kg/cm², Fy = 4218 kg/cm², ρ = 0.006 As = 7.90 cm² No 8 @ 20cm A/D lecho inferior. No 8 @ 30cm A/D lecho superior.

analisis modal elastico edificio 5 niveles- ing gilberto lacayo

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