análisis matemático ing. antonio crivillero - integral definida -
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Análisis Matemático
Ing. Antonio Crivillero
- Integral Definida -
Arquímedes de Siracusa (c. 287 a. C. – c. 212 a. C.) matemático griego, físico, ingeniero, inventor y astrónomo.
Sir Isaac Newton, (4 de enero, 1643 NS – 31 de marzo, 1727 NS) científico, físico, filósofo, inventor, alquimista y matemático inglés.
Gottfried Wilhelm von Leibniz (1 de julio de 1646 - Hannover, 14 de noviembre de 1716) filósofo, matemático, jurista, bibliotecario y político alemán.
Georg Friedrich Bernhard Riemann (17 de septiembre de 1826 - 20 de junio de 1866) matemático alemán que realizó
contribuciones muy importantes en análisis y geometría diferencial.
Problema de Cinemática
• Un objeto se mueve con movimiento rectilíneo de modo tal que su velocidad en el instante t es v(t) = t2 - 2t metros por segundo. Halle:
a) El desplazamiento del objeto durante los tres primeros segundos.
b) La distancia recorrida durante ese tiempo.
v(t) = t2 - 2tModelo
Matemático
Recinto de Ordenadas
)(xfy
)}(0 xfy ,,{ bxayxR
)()( RaRa A )()( BRaRa
)()()( BA RaRaRa
)(xfy
1A 4A3A2A
3x1x0xa 2x 4xb
)(xfy
1B 4B3B2B
3x1x0xa 2x 4xb
Propiedades del área
.0)(: RaR
Si R es un punto o una curva, entonces a(R) = 0
Si R1 y R2 son recintos planos congruentes, entonces a(R1) = a(R2).
Si R1 y R2 son recintos planos cuya intersección tiene área nula, entonces
)()()( 2121 RaRaRRa
2R1R
2R1R
Si , entonces
Si R1 y R2 son recintos planos cualesquiera entonces:
)()()()( 212121 RRaRaRaRRa
21 RR ).()( 21 RaRa
1R2R
1R2R
)(xfy Vamos a considerar una función f(x)
ACOTADA NO NEGATIVA en [a,b].
Llamaremos a R a la región dada por:
)()()( abMRaabm
b
adxxfRa )()(
La función área, que cumple las condiciones pedidas, se obtiene mediante la integral definida de funciones integrables en intervalos cerrados.
)(xfy
0xa 1ixnxb
im
iM
ix
)(xfy
0xa 1ixnxb
im
iM
ix
Donde es la longitud del intervalo i-ésimo. (Nº Real
Positivo)
El intervalo [a,b] queda dividido en n subintervalos ,
Con i=1,2,3,…,n.
1 iii xxx
bxxxxxxxa nnii 11210 .............
],[ 1 ii xx
Sumas Inferiores y Sumas Superiores
iii xxxxfpfm 1inf),( iii xxxxfpfM 1sup),(
),(),( pfMpfm ii
ni ,...,2,1
0xa 1ixnxb ix
)(xfy
imiM
)(xfy
nxb
imiM
0xa 1ix ix
ii xpfm ).,(ii xpfM ).,(
Llamaremos SUMA SUPERIOR correspondiente a la partición P.
Llamaremos SUMA INFERIOR correspondiente a la partición P.
n
iii xpfMpfU
1
).,(),(
)(),(),()( abMpfUpfLabm
n
iii xpfmpfL
1
).,(),(
Propiedades de las sumas Superiores e Inferiores.
Lema 1: ),(),( pfUpfL
Lema 2: Sean P y Q particiones del intervalo [a,b] y si QP ),(),( QfLPfL ),(),( PfUQfU
)(xfy
p ix1ix
im
iM)(xfy
p ix1ix
im
iM
)(xfy
im
iM
1q 2qpix1ix
)(xfy
1q 2q
im
iM
ix1ix p
Lema 3: Sean P y Q dos subdivisiones cualquiera: ),(),( QfUPfL
)(xfy
p ix1ix
im
iM )(xfy
im
iM
1q 2q ix1ix
PppfLA ),(
Si denotamos por P al conjunto de particiones de [a,b]:
,...,, 321 LLLA
Propiedades de las sumas Superiores e Inferiores.
Lema 1: ),(),( pfUpfL
Lema 2: Sean P y Q particiones del intervalo [a,b] y si QP ),(),( QfLPfL ),(),( PfUQfU
)(xfy
p ix1ix
im
iM
)(xfy
1q 2q
im
iM
p
)(xfy
im
iM
1q 2qp
)(xfy
p ix1ix
im
iM
ix1ixix1ix
1L
2L
Lema 3: Sean P y Q dos subdivisiones cualquiera: ),(),( QfUPfL
)(xfy
im
iM
1q 2q
)(xfy
p ix1ix
im
iM
ix1ix
PppfLA ),(
Si denotamos por P al conjunto de particiones de [a,b]:
,...,, 321 LLLA
PppfUB ),(
,...,, 321 UUUB
Propiedades de las sumas Superiores e Inferiores.
Lema 1: ),(),( pfUpfL
Lema 2: Sean P y Q particiones del intervalo [a,b] y si QP ),(),( QfLPfL ),(),( PfUQfU
)(xfy
p ix1ix
im
iM
)(xfy
1q 2q
im
iM
p
)(xfy
im
iM
1q 2qp
)(xfy
p ix1ix
im
iM
ix1ixix1ix
1U
2U
1L
2L
Lema 3: Sean P y Q dos subdivisiones cualquiera: ),(),( QfUPfL
)(xfy
im
iM
1q 2q
)(xfy
p ix1ix
im
iM
ix1ix
PppfLA ),(
Si denotamos por P al conjunto de particiones de [a,b]:
,...,, 321 LLLA
PppfUB ),(
,...,, 321 UUUB
PppfLSupA ),(sup
PppfUInfB ),(inf Integral Superior de f en [a,b]
Integral Inferior de f en [a,b])( fI ba
)( fS ba
)( abm )( abM )( fI ba )( fS b
a
Si: =)( fI ba )( fS b
a
Entonces: El área de la región a(R)= =)( fI b
a )( fS ba
Definición:
Sea f:[a,b]→R ACOTADA, diremos que f es INTEGRABLE sobre [a,b] si y sólo si
)()( fSfI ba
ba
En este caso se denota:
b
a
ba
ba dxxffSfI )()()(
Se dice que este NUMERO es la INTEGRAL DEFINIDA de f sobre [a,b] según Riemann.
Si la función f esta ACOTADA y DEFINIDA sobre [a,b], → f es
INTEGRABLE sobre ese intervalo si y sólo y si P de [a,b] tal que:
b
adxxf )(
Teorema: Condición Necesaria y Suficiente para
la existencia de:
),(),( pfLpfU
0
Si f :[a,b]→ R es continua, entonces f es INTEGRABLE sobre [a,b]
b
adxxf )( Teorema: Condición Suficiente para la existencia de:
Propiedades Básicas de la Integral Definida
)( abccdxb
a
Si y f es integrable en [a,b] entonces f es integrable en [a,c] y en [c,b] y],[ bac
b
c
c
a
b
adxxfdxxfdxxf )()()(
Si f es integrable en [a,b] y c es una constante, entonces cf es integrable en [a,b] y
b
a
b
adxxfcdxxcf )()(
Si f y g son integrables en [a,b] entonces f+g es integrable en [a,b] y
b
a
b
a
b
adxxgdxxfdxxgxf )()()]()([
Si f y g son integrables en [a,b] y para todo , entonces)()( xgxf
b
a
b
adxxgdxxf )()(
Si f es integrable en [a,b], entonces | f | es integrable en [a,b] y
],[ bax
b
a
b
adxxfdxxf )()(
Si es CONTINUA en [a,b]
Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral
)(xf
))(()( abcfdxxfb
a
c
b
adxxf
abcfba )(
)(1
)(),(
(Para funciones continuas)
donde: f(c)= Valor Medio de f(x) en (a,b).
)(xfy
MKm en [a,b]
Como f (x) es CONTINUA es INTEGRABLE (propiedad)
b
adxxf )(
Como (b-a) > 0
Por el segundo teorema de Weiestrass:Si f (x) es una función CONTINUA en un intervalo [a,b] →alcanza en dicho intervalo un Máximo (M) y un mínimo (m) absolutos.
b
adxxf
abK )(
)(
1
Kcfbac )(),(
Demostración
Mdxxfab
mb
a
)(
)(
1
b
adxxf
abcf )(
)(
1)(
Si:
→ Por el Teorema del Valor Intermedio.
Interpretación geométrica:
)()()( xfabdxxfb
a
a(R) Area
)(xfy
)( abm )( abM
Función Integral
)(xfy
b
adxxfA )(
x
adxxfx )(],[: baF
a
adxxfaF 0)()(
x
adxxfxF )()(
Propiedades:
b
adxxfbF )()(
Función Integral
x
adxxfxF )()( 1
)(1
b
adxxfA
Si continua en [a,b],
Teorema Fundamental del Cálculo Integral
)(xf
)()(':],[ 000 xfxFbax
La función integral es DERIVABLE.x
adxxfxF )()(
)(xfy
Demostración:
0
0 )()(
xx
xFxF
x
x
x
a
x
a
x
x
x
a
x
affffff
0
0
0
0
)1(
Reemplazando en (1)
00
0 0
)()()(
xx
dxxf
xx
xFxFx
x
Por el Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral:
)()()(
0
0 cfxx
xFxF
)(xfy
0
)(x
adxxf
0xx
x
adxxf )(
)()()(
00 0
0 cfLimxx
xFxFLim
xxxx
)(xfy
)()(' 00 xfxF
)()()(
00 0
0 xfLimxx
xFxFLim
xxxx
La función F(x) es PRIMITIVA de f(x)
Si G(x) es otra primitiva de f(x) → F(x) = G(x) + c
En Particular:
F(a) = 0 = G(a)+c ; c = -G(a)
F(x) = G(x) – G(a)
Sea f(x) CONTINUA en [a,b],
Regla de Barrow
b
aaGbGdxxf )()()(
G(x) una PRIMITIVA de f(x)
Demostración:
)()()( aGxGxF
)()()( aGbGdxxfb
a
)()( bFdxxfb
a
)()()( aGbGbF b
a
b
axGdxxf )( )(
Problema de Cinemática
• Un objeto se mueve con movimiento rectilíneo de modo tal que su velocidad en el instante t es v(t) = t2 - 2t metros por segundo. Halle:
a) El desplazamiento del objeto durante los tres primeros segundos.
b) La distancia recorrida durante ese tiempo.
v(t) = t2 - 2tModelo
Matemático
a) El desplazamiento del objeto durante los tres primeros segundos.
Esto significa que el objeto se encuentra en la misma posición en el instante t = 3 que en el instante t = 0.
= = = 0
b) La distancia recorrida durante ese tiempo.
La velocidad puede escribirse como v(t) = t ( t - 2) de modo que si y la velocidad es
negativa si .2 t 0 0)( tv
3 t 2
Podemos asegurar que la distancia recorrida es de 8/3 metros.
Distancia recorrida= = 8/3
=
= =
La distancia recorrida es:
Bibliografía:
•RABUFFETTI, H. – Introducción al Análisis Matemático (Cálculo 1) – 10º Edición – Editorial “El Ateneo” – Buenos Aires – Argentina – 1987.
•STEWART, J. – Cálculo – Trascendentes Tempranas – 4º Edición – Editorial “Thomson” – Mexico – 2002.
•PURCELL, E., VARBERG, D. – Cálculo con Geometría Analítica – 6º Edición – Editorial “Prentice Hall Hispanoamericana, S.A.” – Mexico – 1992.
•VERA DE PAYER, E. y Otros – Matemática I para Ciencias Naturales – 3º Edición – Editorial “Universitas” – Córdoba – Argentina – 2005.
Teorema del Valor Intermedio
Sea f(x) continua en [a,b] con Si K es un número estrictamente comprendido entre f(a) y f(b)
)()( bfaf
f(a) < K < f(b) c Kcfba )();(
)(xfy
)(af
)(bf
)(cf
Teorema de Weierstrass (2do Teorema)
Si f(x) es una función CONTINUA en [a,b]
alcanza en dicho intervalo su valor MÁXIMO (M) MÍNIMO (m) absolutos
)(xfy )( 1xf
)( 2xf
x1 x2