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ANÁLISIS

MATEMÁTICO

Profesor Titular: Ing. Eusebio Martín

Profesora Adjunta: Mg. Marta Paz

Docentes Auxiliares: Sonia Acinas- Fabiana E. Veralli-Fabio R. Prieto - María F. Altolaguirre

Mei Yi Lee-CeciliaSubelet-Mabel Gómez-Pamela Loustaunau-

Año 2018

Guía de Trabajos Prácticos 2018 Análisis Matemático

Facultad de Cs. Económicas Y Jurídicas.-UNLPam

2

TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS

Ejercicio Nº 1: Expresar si son ciertas las siguientes igualdades trigonométricas. Demostrar.

(1.a)xsen

1

xsen

xcos1

22

2

(1.b) xcos1xtg2

(1.c) x2cos21xcos4

(1.d) xcosxsenxcossenx 22

(1.e) senxecxcosxcosgxcot

(1.f)

tgx.xcossenxxcos

Solución

Ejercicio 1.a)

xsen

1

xsen

xcosxsen22

22

xsen

1

xsen

122

Por lo tanto, se verifica que las mencionadas expresiones constituyen una igualdad.

FUNCIONES

Ejercicio Nº 2:

Representar gráficamente las siguientes funciones simples.

(2.a) 1x2

1y

(2.b) 1x4x2y 2

(2.c)x2y

(2.d) x2logy

(2.e)2x

6xy

Solución Ejercicio 2.a)



3

Se trata de una recta, cuya pendiente es ½.

La ordenada al origen es 1.

La función intercepta al eje de abscisas en 2x .

Representación gráfica:

Representar gráficamente las siguientes funciones combinadas.

(2.f) 4x

1xlog5y

2

(2.g) 2xy 3

(2.h)tgx

xy

(2.i) 2

1

xey

Ejercicio Nº 3: Encontrar los puntos de intersección de las siguientes funciones.

(3.a) 3x4y e x12y

(3b) x tgy

e xcos3y 360x0para

(3.c)2

3xy e5xey

(3.d)2216 yx e 1x2y

Solución

Ejercicio 3.a)

xx 1234



4

3124 xx

5153 xx e 17y

Ejercicio Nº 4: Grafique una función que pase por los puntos indicados en los ejes de

coordenadas cartesianas y exprésela analíticamente.

(4.a)

(4.b)


Gráfica de la función



5

La función pasa por los siguientes puntos: P1 (1; 0) y P2 (-2; 2)

Utilizando la ecuación de la recta que pasa por dos puntos:

1

12

121 xx

xx

yyyy

1x12

020y

Obtenemos la expresión analítica: 2x2y

Ejercicio Nº 5: Tomando las funciones de los Ejercicios Nº 2 y Nº 4:

Definir Dominio y Recorrido.

Expresar si es Par, Impar, o si no cumple ninguna de las dos condiciones.

Justificar.

Identifique tres funciones que tengan inversa y grafíquelas.

Solución

Ejercicio 5-( Ejercicio 2.a)

12

1 xy

Dominio: y Recorrido:

No es par ni impar

)2(f)2(f no es par y )2(f)2(f no es impar

Tiene inversa. 221 xy y su gráfico es:



6

SUCESIONES

Ejercicio Nº 6: Escriba los 6 primeros términos de la siguientes sucesiones. Grafique en un

sistema de ejes de coordenadas cartesianas las sucesiones de los apartados a) y b).

(6.a) 2n

1nSn

2

(6.b) 21n2Sn

(6.c) !1n

12n5Sn

(6.d) 4n2

n5)1(Sn n

6.e) !2

2)1(

2

1

nnSn

n

(6.f) 2

1n

n3

!n)1(Sn


(6.a) 2n

1nSn

2

Sn 0 ; 3/4; 8/5; 15/6; 24/7; 35/8

A continuación, presentamos la gráfica que sería:



7

Ejercicio Nº 7: Escriba el término general de las siguientes sucesiones.

(7.a) ;...14

1 ;

7

1 ;

2

1 ;1Sn

(7.b) ;...4

25;

3

16;

2

9;4Sn

(7.c) ;...24

5;

3

2;

2

3;2Sn

(7.d) ;...17

16;

5

4;

5

4;1 Sn

(7.e) ;...19

3;

12

3;

7

3;

4

3Sn


2

12

n

Sn

Ejercicio Nº 8: De las sucesiones de los Ejercicios: Nº 6 apartados 6.a) y 6.b) y Nº 7 apartados

7.a) y 7.b) expresar:

Si las mismas son crecientes o decrecientes.

El Intervalo.

Cotas y Extremos. Represente gráficamente.

Solución

Ejercicio 8 (Ejercicios: Nº 6.a)

La sucesión es estrictamente creciente;

El intervalo ;0

Cota superior: no tiene

Cota inferior 0k

Extremo inferior = 0



8

LÍMITE DE SUCESIONES

Ejercicio Nº 9: De las siguientes sucesiones:

Halle sus límites.

Compruebe mediante la definición teórica del límite de una sucesión.

Realice la verificación correspondiente para ε=0.01.

(9.a) 1n4

3Sn

2

(9.b) )n.82/(n.3Sn

(9.c) )5n/()8n(Sn

(9.d) )4n4n/()4n(Sn 22

(9.e) )4n/()3n(Sn 22

(9.f) )5n4n/()n5(Sn 22

Solución

Ejercicio 9.a)

Su límite es:

0

n

1

n

n4

n

3

lím

22

2

2

n

Comprobación mediante la definición teórica del límite de una sucesión.

01,001n4

32

01,014

301,0

2

n

Resolviendo llegamos a N(ε) ≥ 8,67 en este caso particular se puede tomar un n=9

Verificación

01,001)9(4

32

0,0093<0,01 se verifica



9

LÍMITE DE FUNCIONES

Ejercicio Nº 10: Encuentre la expresión analítica de las funciones, cuyos gráficos son los

siguientes:

(10.a)

(10.b)



10


Los puntos por donde pasa la recta son: P1 (0;1), P2 (-2;0)

Aplicando la ecuación de la recta que pasa por dos puntos:

1

12

121 xx

xx

yyyy

0x02

101y

Obtenemos

1x2

1y

Por: P1 (0; 0) ; P2 (1;1) y P3(2; 0) pasa una parábola , reemplazando estos puntos en la función

cuadrática: y=ax2 +bx + c; se obtiene un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas (a, b y c).

c2.b2.a0

c1.b1.a1

0cc0.b0.a0

2

2

2

Resolviendo este sistema de ecuaciones obtenemos: a=-1; b=2 y c=0, reemplazando estos

coeficientes en la función cuadrática obtenemos y=-1x2+2x+0

Por lo tanto, la función será:

0 x todopara 21

0 x todopara 12

1

)(2 xx

xxf

Ejercicio Nº 11. Comprobar por definición el límite de una función

11.a) 31x lím 2

2 n

para =0,1

(11.b) 31 xlím 2

2 x

para =0,1

(11.c) 64xx lím 2

2 x

para =0,04

(11.d) 44x lím2

6 x

para =0,09

(11.e) 81x lím3

3 x

para =0,11



11


Dado un número positivo y arbitrariamente pequeño (ε>0), existe un número positivo )(εδδ tal

que:

Lf(x) lím )( a-x síax

entoncesLxfes

para =0,1

Comprobamos de acuerdo a la definición:

1,031x 2

1,04x1,0 2

41,0x41,0 2

41,0x41,0

1,4x9,3

02,2x97,1

202,22x297,1

02,02x03,0 Como el entorno del punto 2 no es simétrico, se toma el de menor valor absoluto de los dos, tomamos δ=0,02

02,02x

Ejercicio Nº 12. Determinar para que valores de x, son infinitésimos las siguientes funciones.

(12.a) xxy 73

(12.b) 1x2

x3xy

2

(12.c) 1x3 sen 2y

00 180x0

(12.d) xcostgx 2y

00 27090 << x


Si se verifica, 0)x(flímax

decimos que )(xf es infinitésimo cuando x=a

xxy 73

X=0

; 072 xx

7x07x2

31x lim 2

2n

07x 0)( 3 xxf



12

0x7xlím0x 3

0x

0x7xlím7x 3

7x

0x7xlím7x 3

7x

En 0 y x 7x la función tiene un infinitésimo

Ejercicio Nº 13: Resolver los siguientes límites.

(13.a)

x8x5x4x

x7xx2lím

234

25

0x

(13.b)

9x3x8x

7xx2x6lím

23

24

x

(13.c)

10x3x2

6xx3xlím

3

24

2x

(13.d)

324

23

3x xx63x

15x5xxlím

(13.e)

9x

3xlím

23x

(13.f)

2x6x4x3x

9x7xx8x5lím

2345

345

x

(13.g)

3x4x

x45xlím

32

2

2x

(13.h)

1x2x

x32xlím

4

3

x

(13.i)

2x3xx3x4

4x4xxlím

234

23

2x

Solución

Ejercicio 13.a)



13

0

0

x8x5x4x

x7xx2lím

234

25

0x

8

7

xx8

xx5

xx4

xx

xx7

xx

xx2

lím234

25

0x

Ejercicio Nº 14: Calcule los siguientes límites.

(14.a)

627x

3xlím

23x

(14.b)

5x5x

9x4lím

2

5x

(14.c)

42x2

x63lím

23x

(14.d)

x25

x25lím

25x

(14.e)

1xx42

38xlím

2

2

1x

Solución

Ejercicio 14.a)

0627x

3xlím

23x

627x627x

627x3xlím

22

2

3x



14

3627x

627x3xlím

2

2

3x

9x

627x3xlím

2

2

3x

23x3x

627x3xlím

2

3x

Ejercicio Nº 15: Resuelva los siguientes limites en general.

(15.a)

xcosxsen

xcosxcossenxlím

22

2

4x

(15.b)

ex7sen

ex5sen3lím

0x

(15.c)

xcos1

tgxsenxlím

20x

(15.d) senx

1gxcotlím2

x

(15.e)

xsen3

xtgsenxlím

3

2

0x

(15.f)

tgxsenxxcos

xcosxsenlím

22

4x

Solución

Ejercicio 15.a

xcosxsen

xcosxcossenxlím

22

2

4x



15

3535,0414,1

5,0

xcossenxxcossenx

xcosxcossenxlím

2

4x

Ejercicio Nº 16: Resuelva los siguientes limites especiales

(16.a)

x

x x31lím

(16.b)

x/6

0xx21lím

(16.c )

5x7

x x311lím

(16.d)

1x2

x 8x

31lím

(16.e)

x

1x5

0xx41lím

(16.f)

5x2

x x24

3x2lím

(16.g)

2x5

x x31

x31lím

Solución Ejercicio 16.a

ex1lím ; ex

11lím

x

1

0x

x

x

x

x x31lim

3

33

x

xe

3x

11lim



16

CONTINUIDAD DE FUNCIONES.

Ejercicio Nº 17: Dadas las siguientes funciones:

Exprese si son continuas o discontinuas y los intervalos para los cuales se

cumplen dichas cualidades. En caso de tenerlos, determine el salto.

Clasifique el grado de discontinuidad.

Represente gráficamente.

(17.a) x3

2xy

(17.c) x3

9xy

2

(17.b) 4xx

1xy

2

(17.d)

2

1 para x -2

1 para -2<x 2

x+2 para x>2

x

y x


Una función es contínua en x=a , si y sólo si se satisfacen las siguientes condiciones:

I) )(af

II) L)x(flímax

III) I)= II)la función es continua en x=a y

x

;00;2

x

xy

3

2

Analizo la continuidad de la función para x=0

I) )0(f no está definida

II)

)x(flím0x

y

)x(flím0x

III) )0(f )x(flím0x



17

En x =0, la función es discontinua no evitable o esencial de primera especie infinita y en lugar de un salto tiene un vacio.

Para x = -2

I) 0)2(f

II)

)x(flim2x

;

0)x(flim2x

III) I) II)

Para x <-2 la función no está definida. DERIVADAS

Ejercicio Nº 18: Derive por incremento las siguientes funciones.

(18.a) 3x5y

(18.b) x25

4y

(18.c) x

5y

(18.d) senxy

Solución

Ejercicio 18.a

)(' xf

x

)x(fxxflím

x

ylím

0x0x

3x5y

x

3x53xx5lím

0x

5x

3x53x5x5lím

0x

Ejercicio Nº 19: Derive aplicando tablas las siguientes funciones por descomposición.



18

(19.a) 39 e7tgx2xy

(19.b) 9senxx3

1xln2y 1

(19.c) 3

3 3

x3xcos.arc41x5y

(19.d) 227

3x24

tgxxlogx5y

Solución

Ejercicio 19.a

39 e7tgx2xy

00x18x2

1'y 10

Ejercicio Nº 20: Derive los siguientes productos y cocientes.

(20.a)senx.5

xln.7y

(20.b)9x.8

)e.8(tg

xcosy

(20.c))x.8log(e

6xarccos.3y

x

(20.d)xln.x

arcsenx.4

x

tgx.2y

(20.e) x.xln

e

x

xarctan.senx.4y

x

3

(20.f)3x

3

x.4e

xcos.xsenx.x2y


senx.5

xln.7y



19

xsen.5

xcos.5.xln.7senx.5.x

7

y22

xsen.25

xcos.xln.35senx.x

35

'y2

Ejercicio Nº 21: Derive las siguientes funciones de funciones.

(21.a) 35 3 x.2lnx.27

3y

(21.b) 24

x.3

2ln.34

xcosy

(21.c)

65

x4

xln

3senx.7arctan.4y

(21.d) 3

3

xlog.2

x2arctancos.3y

(21.e) x.senxlogln.4x

3arccos.2y 52

Solución

Ejercicio 21.a

35 3 x.2lnx.27

3y

2

3

254

3 x.6.x.2

1x.6.

51.x.2

73y

Ejercicio Nº 22: Encuentre el valor de la derivada en x0.

(22.a) senx.3y

x0=85º (22.b)

x

xy

5

16

x0=3



20

(22.c) 15.3 xy

x0=3/2 (22.d) 2xln.5y

x0=2

(22.e) 3 41 xy

x0=1

Solución

Ejercicio 22.a

senxy .3

x0=85º

xy cos.3→

2615,0087,0.3º85cos.3º85y

Ejercicio Nº 23: Derive las siguientes funciones exponenciales.

(23.a) x.

52sen

xy

(23.b) x.5

42x.33 xtan.ey

(23.c) xex

senx.xy

(23.d)

x.22

xln3

ecosxarctan

xlog.3y


x.5

2senxy

x.5

2senxlnyln

xln.x.5

2Senyln

x

1.x.5

2senxln.5

2.x.5

2cosy.y

1

x.5

2senx.

x1.x.

52senxln.

52.x.

52cosy

Ejercicio Nº 24: Resuelva las siguientes aplicaciones de las derivadas.

(24.a) Encuentre, de existir, las rectas tangentes a las siguientes funciones:

* 6 xy

en x0=1

* x.3ln.2y

en x0=1



21

(24.b) Encuentre las rectas normales a la función 2xey en los puntos donde se intercepta con

la funciónxy 2

(24.c) Encuentre:

* La recta normal a la función 1.32 xxy en el punto en que corta al eje de las y.

* La recta tangente a la función 1.32 xxy en el punto en que corta al eje de las x (en caso

de ser más de un punto seleccione uno).

(24.d) Encuentre las rectas normales a la función 2

.3 xey en los puntos donde se intercepta

con la función xy .2

(24.e) En los incisos anteriores realice las correspondientes gráficas y verifique.

Solución

Ejercicio 24.a

Para encontrar las rectas tangentes a las funciones, utilizamos la ecuación: y-y0=m (x-x0). Por lo

tanto debemos encontrar y0, x0 y m (pendiente) para reemplazar en la ecuación general.

* ;6xy ;1x0 6457,261y0 )6457,2;1(P0

La pendiente es el valor de la derivada de la función en el punto de estudio:

6x2

1y 1889,0

612

1)1x(y

Reemplazamos en la ecuación:

1x1889,07y 457,2x.1889,0yT

* ;x.3ln.2y ;1x0 1972,21.3ln.2y0 )1972,2;1(P0

La pendiente es el valor de la derivada de la función en el punto de estudio:

3.x.3

2y 2

1

2)1( xy



22

Reemplazamos en la ecuación:

1x.21972,2y 197,0.2 xyT

Ejercicio Nº 25: Encuentre el ángulo formado entre:

(25.a)2xey e

xy 3

(25.b) xy tan e xy cos3 para 0º<x <180º

(25.c)

2

xseny e

2

xcosy 2

para -90º<x <90º

(25.d) 5x.3

1lny en la intersección con los ejes de coordenadas.

Nota: En todos los casos buscar un punto de intersección.


Para encontrar el ángulo formado entre dos funciones utilizamos la siguiente fórmula:

21

21

m.m1

mmtan

por lo tanto debemos encontrar las pendientes (mi) que es el valor de la

derivada primera de la función en el punto de estudio (punto de intersección).

xx 3e2

resolvemos para encontrar los puntos de intersección:

xx 3e2

3ln.ln.2 xex 0.3ln2 xx 03ln. xx

* 00x 1;0P0



23

* 0986,11x 34,3;0986,1P1

Luego se calcula el valor de la derivada en el punto P0:

2xey x2.ey

2x 00y

x3y 3ln.3y x 0986,10y

Aplicamos la fórmula para obtener el valor de los ángulos:

21

21

m.m1

mmtan

0986,1.01

0986,10tan 0986,1tg 0986,1arctan

11,251447 β tomamos el valor positivo y buscamos el ángulo suplementario

βα º180

11,251447 β y 98,3481132 α

De igual manera se procede para el punto 34,3;0986,1P1

Ejercicio Nº 26: Resuelva las siguientes aplicaciones de las derivadas.

(26.a) Encuentre todas las rectas tangentes que cortan a la función xy 3cos con una

inclinación de 60º en el intervalo 90;90

(26.b)Encuentre la recta tangente y el ángulo que se forma en la intersección de las siguientes

funciones: 134 23

1 xxxy e 1.32 xy

(26.c) Encuentre el ángulo que forma la función 3tgx.2y en un punto de intersección con el

eje de las Y, y la recta tangente en un punto de intersección con el eje de las X.

Solución

Ejercicio 26.a

Dada la función xy 3cos obtenemos los datos para reemplazar en la ecuación y-y0=m (x-x0).

Conocemos la pendiente porque se plantea una inclinación de 60º y debemos buscar los puntos en que la función posee ésta pendiente, luego encontramos las rectas tangentes:

3.x.3seny 73,160tan3.x.3seny

3

73,1x.3sen

3

73,1arcsenx.3

577,0arcsenx.3 577,0arcsenx.3

37,4241108x2,844324

72,175471x8,5151215

37,424148x2,844144

72,175411x08,515135

x.3

4

3

2

1



24

El valor de x4 está fuera del intervalo de estudio, por lo que trabajamos con los siguientes puntos:

8165,0;20,0P1 la recta tangente es 171,1x73,1Y2052,0x.73,18165,0y T 8165,0;84,0P2 la recta tangente es 64,073,1842,073,18165,0 xYxy T

8165,0;25,1P3 la recta tangente es 983,2x73,1Y252,1x.73,18165,0y T

Ejercicio Nº 27: Encuentre las siguientes derivadas sucesivas:

(27.a) 3x7 e.2x.4ln.3x.5y hasta la 3ra

(27.b) 252 x3xsen.2y hasta la 2da

(27.c) xlnx.2xarcsen.xy 3 hasta la 2da


3x7 e.2x.4ln.3x.5y hasta la 3ra

2x6 x.3.e.24.x4

3x.35y3

x.e.12x.e.18x.3x.210x.6e.2x.3.e.2x1.3x.210y3333 x4x25x22x25

3333 x2x3x42x34 e.12x.x.3.e.12x.4.e.18x.x.3.e.18x.6x.1050y

333 x3x6x34 e.12x.e.108x.e.54x.6x.1050y

Ejercicio Nº 28: Resuelva aplicando la regla de Leibnitz.

(28.a) senxln.2.x.3y 3 encontrar y´´

(28.b)2

.cos.3 xexy encontrar y´´´

(28.c)52 .2.arccos xxy x encontrar y´´

Solución

Ejercicio 28.a



25

Ecuación general:

μτβα

μτβαt...w.v.u

!!...!!

!nt...wvuy

nn siendo n... μτβα

Obtenemos las derivadas parciales de cada factor y reemplazamos:

senxln.2.x.3y 3

3x.6u 2x.18u

x.36u

senxlnv

xcos.xsenv 1

senx.xsenxcos.xsen1v 122

1xcos.xsenv 22

1xcos.xsenx.6!2!0

!2xcos.xsen.x.18

!1!1

!2senxln.x.36

!0!2

!2v;uy 22312

Ejercicio Nº 29: Calcule las diferenciales de primer orden de las siguientes funciones.

(29.a) senxx.3xxln.4y 23e.2

(29.b) xx2 3cos.4exlog.senxtany

(29.c) x

2 ex3 7x.5x.2xsenhy

Solución

Ejercicio 29.a

dx.xcosx6x.3.senxx.3x2

1x

1.xln.e.2.4dy 221

231e.2

COMPORTAMIENTO DE FUNCIONES

Ejercicio Nº 30: Efectúe los desarrollos en series de Taylor o Mac Laurin según corresponda.

Nota: En los dos primeros ejercicios complemente con la gráfica.

(30.a)IVo

0 ylahasta15xen)x2(sen.2y

(30.b) IIIylahasta )1xln(4y

(30.c)III

0x4 ylahasta1xeney

2

(30.d) IIo0 ylahasta45xen

x

senxy

(30.e) anulesederivadalaquehasta2xen7x2x5

4xy 0

35

Solución



26

Ejercicio 30.a Cuando se desarrolla para x≠0, se aplica TAYLOR.

Tn)ax()!1n(

)a(f.....)ax(

!2

)a´´(f)ax(

!1

)a´(f)a(f)x(f 1n

1n2

)x2(sen.2y

1152sen2)15(f oo

)x2cos(42)x2cos(2)x´(f

46,3)15.2cos(4)15´(f oo

)x2(sen82)x2(sen4)x´´(f

4)30(sen8)15´´(f oo

)x2cos(162)x2cos(8)x´´´(f

85,13)30cos(16)15´´´(f oo

)x2(sen322).x2(sen16)x(f IV

16)30(sen32)15(f ooIV

4oIV

3o

2oo

o )12

x(!4

)15(f)

12x(

!3

)15´´´(f)

12x(

!2

)15´´(f)

12x(

!1

)15´(f)15(f)x(f

ππππ

432 )12

x(!4

16)

12x(

!3

)85,13()

12x(

!2

)4()

12x.(46,31)x(f

ππππ



27

En el gráfico se ve cómo a medida que aumentamos el orden de n, mejora la aproximación a la

función y=2sen(2x).

Ejercicio Nº 31: Determine el comportamiento de las siguientes funciones expresando si son crecientes, decrecientes o estacionarias en los puntos considerados.

(31.a)

0x

3x

4x

)3x(y

o

o

o2 0,1hparaen

(31.b)

oo

oo

oo

105x

90x

15x

senxy o1hpara en

(31.c)

1x

0x

1x

ey

o

o

ox2

0,1hparaen

Solución

Ejercicio 31.a

A la función y =(x+3)2, la analizo para xo, un valor anterior (xo-h) y un valor posterior (xo+h) y

obtengo en cada caso el valor de la función en esos puntos.

h) ooo x(f)x(f)hx(f La función en x0 es creciente.

h) ooo x(f)x(f)hx(f La función en x0 es decreciente.

h) ( )( )( ooo xfxfhxf La función en x0 es estacionaria.

h) ( )( )( ooo xfxfhxf La función en x0 es estacionaria.

Analizo en xo=-4 y h=0,1

21,13)(-4,1f(-4,1)0,1)-f(-4 )hx(f 2o

13)(-4f(-4) )x(f 2o

81,0)9,0(3)(-3,9f(-3,9)1),0f(-4 )hx(f 22o

1,21>1>0,81 en xo=-4 la función es decreciente.

Analizo en xo=-3

01,03)(-3,1f(-3,1)0,1)-f(-3 )hx(f 2o

03)(-3f(-3) )x(f 2o

01,03)(-2,9f(-2,9)1),0f(-3 )hx(f 2o



28

0,01>0 y 0<0,01 en xo=-3 la función es estacionaria.

Analizo en xo=0

41,83)(-0,1f(-0,1)0,1)-f(0 )hx(f 2o

93)(0f(0) )x(f 2o

61,93)(0,1f(0,1)1),0f(0 )hx(f 2o

8,41<9<9,61 en xo=0 la función es creciente.

Ejercicio Nº 32: Determine por el método de la derivada primera:

Intervalos donde la función es creciente o decreciente

Máximos

Mínimos

Puntos de inflexión que pueda obtener por este método

(32.a) 0,1h siendo x2

3x)x(f 23

(32.b) 0,1h siendo 3x)x(f 3

(32.c) 0,1h siendo )10.(2)x(f2x

(32.d) 0,1h siendo x

)x2ln()x(f

2

(32.e) 0oo 360;0en x para 1h siendo xcossenx)x(f

Solución

Ejercicio 32.a

Criterio de la derivada primera.

f´(x0-h)<0; f´(x0)=0; f´(xo+h)>0, la función en xo tendrá un mínimo



29

f´(x0-h)>0; f´(x0)=0; f´(xo+h)<0, la función en xo tendrá un máximo

f´(x0-h)<0; f´(x0)=0; f´(xo+h)<0, la función en xo tendrá un punto de inflexión

f´(x0-h)>0; f´(x0)=0; f´(xo+h)>0, la función en xo tendrá un punto de inflexión

Igualamos a cero la derivada “primera” con la finalidad de hallar los puntos críticos (xo).

f´(x)= 3x2-3x=0

3x.(x-1)=0, resuelvo y obtengo:xo1=0 y xo2=1

Puntos críticos: (0; 0) y (1; -1/2)

Analizo en P(0;0)

f´(0-0,1)=3(-0,1)2-3.(-0,1)=0,33>0

f´(0)=3(0)2-3.(0,)=0

f´(0+0,1)=3(0,1)2-3.(0,1)=-0,27<0

En P(0;0) la función tiene un máximo

Analizo en P(1;-1/2)

f´(1-0,1)=3(0,9)2-3.(0,9)=-0,27<0

f´(1)= 0

f´(1+0,1)=3(1,1)2-3.(1,1)=0,33>0

En P(1;-1/2)la función tiene un mínimo

Este método no me permitió conocer los puntos de inflexión, pero no quiere decir que la función no tenga

puntos de inflexión.

f(x) es creciente en (-∞;0) y (1;∞)

f(x) es decreciente en (0;1)



30

Ejercicio Nº 33: Determine por el método de la derivada segunda: Máximos

Mínimos

Puntos de inflexión

Indique los intervalos en donde la función es creciente o decreciente, como también los intervalos

donde la función es cóncava hacia arriba o hacia abajo.

(33.a) e.2)x(f2x

(33.b) x1

1)x(f

2

(33.c) xx4x

2)x(f 3

(33.d) 360 0;en x para xcosxsen)x(f o2

Solución

Ejercicio 33.a

Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero.

0 x0 (-2x) e.2)x´(f2x

Sustituimos el valor crítico en la función original, para obtener el punto crítico.

2 20e.2)0(f Punto crítico (0;2).

Hallamos la derivada segunda

)2x(-1 e4(-2x) e.4x -e.4)x´´(f 2xxx 222

Sustituimos el valor crítico en la derivada segunda

(0;2) en04- )2.0(-1 2 20e4)0´´(f La función tiene un máximo

Buscamos los posibles puntos de inflexión, que surgen de igualar a cero la derivada segunda.

2

1x0 )2x(-1 e4)x´´(f 2x2

Sustituimos estos valores en la función original para obtener los puntos de inflexión

1,21) ;2

1(en inflexión de puntoun tiene función la21,1 e.2)

2

1(f

2

1 xsi

2)2

1(

1,21) ;2

1(-en inflexión de puntoun tiene función la21,1 e.2)

2

1(f

2

1 xsi

2)2

1(

La función es creciente en (-∞; 0)



31

La función es decreciente en (0,∞)

La función es cóncava hacia arriba en )2

1;(

La función es cóncava hacia abajo en )2

1;

2

1(

La función es cóncava hacia arriba en );2

1(

Ejercicio Nº 34: Dadas las siguientes funciones encuentre los puntos de inflexión en caso de

tenerlos.

(34.a) 1- 2x x)x(f 45

(34.b) 3 x8)x(f 4

(34.c) )5,0.(2)x(f2x

(34.d) )3xln()x(f

(34.e) 2

;2

en x para )6

x(tg)x(f

πππ


Calculamos la segunda derivada y la igualamos a cero, para obtener los posibles puntos de inflexión.

8x x5)x´(f 34

5

6- y x 0x024)(20x x 0 24x x20)x´´(f 21

223



32

Sustituimos estos valores en la función original para obtener los posibles puntos de inflexión.

Si x=0 f(0)=-1, (0;-1) es un posible punto de inflexión.

Si x=-6/5 f(-6/5)=0,65 (-6/5;0,65) es un posible punto inflexión.

Calculamos la derivada tercera.

f´´´(x)= 60x2+48x

Sustituimos en la derivada tercera los posibles puntos de inflexión.

f´´´(0)= 60(0)2+48(0)=0 es igual a cero, no se puede decir nada.

f´´´(-6/5)= 60(-6/5)2+48(-6/5)=144/5 es distinto de cero, en (-6/5;0,65) la función tiene un punto

de inflexión.

Calculamos la derivada cuarta.

fIV(x)=120x+48 sustituimos por (0;-1)

fIV(0)=120(0)+48=48 distinto de cero, en ( 0;-1) la función no tiene un punto de inflexión, tiene un

mínimo.

Ejercicio Nº 35: Resuelva los siguientes límites aplicando la regla de L’Hôpital.

(35.a)

5x2x3

1x2x lim

2

2

1x

(35.b)

senxx2

x6ee lim

x2x2

0x



33

(35.c) x7sen8

x3sen4 lim

0x

(35.d) 234

x

x x4x8x

e2 lim

(35.e)

410x3

1x23 lim

2

2x

Solución

Ejercicio 35.a La regla de L’Hôpital se puede aplicar para salvar las indeterminaciones del tipo:0/0;∞/∞;∞-

∞;1∞;∞0;o.∞;00.

0

0

51.21.3

11.21

5x2x3

1x2x lim

2

2

2

2

1x

, se puede aplicar la regla de L’Hôpital

)a´(g

)a´(flim

ax

g(x)

f(x)

08

0

21.6

21.2

2x6

1x2lim

5x2x3

1x2x lim

1x2

2

1x

Ejercicio Nº 36: Resuelva.

(36.a)

tgx).2

-(x lim

2x

π

π

(36.b) lnx

1-

1-x

1 lim

1x

(36.c)

2

21

x 1lim -

x-1 ln xx

=

(36.d)

gxcot.cosx)-(1 lim0x

Solución

Ejercicio 36.a

.0tgx).2

-(x lim

2x

se puede aplicar la regla de L’Hôpital



34

)x(g

1

)x(flímf(x).g(x) lím

axax y ahora dá del tipo 0/0, por lo tanto derivo numerador y denominador

hasta que se salve la indeterminación.

1xsen -lim

xcos

1.xtg-

1 lim

tgx

1

)2

-(x

limtgx).2

-(x lim 2

2x

2

2-2

x2

x2

x

Ejercicio Nº 37: Resuelva los siguientes límites exponenciales por L’Hôpital.

(37.a) 0

senx

0x x

1 lim

(37.b)

x

0x xlim

(37.c)

1-x

x 5x

21 lim

(37.d)

4

x

x 4-3x

3x-1 lim

(37.e)

X

x

3

5

04x)-(1 lim

(37.f)

xln1

1

x(lnx) lim

(37.g)

tg(2x)

4x

(tgx) limπ

(37.h)

3

x4

x2

x

1x

4

x

31

lim

(37.i)

x2

x x

31lim

Solución

Ejercicio 37.a

0senx

0x x

1 lim

se puede aplicar la regla de L’Hôpital

Aplicamos logaritmos



35

x

1ln.senxyln

xsen

cosx-:

x

1- lim

xcos.xsen

x

1

limxsen

lnx-ln1 lim

senx

1x

1ln

limx

1senx.ln limL

20x20x1-0x0x0x

0cosx

senx

x

senx lim

x.cosx

xsen limL

0x

2

0x

1e0ylnL 0

1x

1 lim

senx

0x

INTEGRALES

Ejercicio Nº 38: Resuelva las siguientes integrales inmediatas.

(38.a) dx7x

(38.b) dxxcos

62

(38.c)

dxx1

32

(38.d)

dxe

3

2

x

15 x

(38.e)

dx

x

3xcos5

2

Solución

Ejercicio 38.a

(38.f) dxx.x5 25

caln

adxa tablade dx7

xxx

c7ln

7 dx7

xx

Ejercicio Nº 39: Resuelva las siguientes integrales por el método de sustitución.

(39.a) dxe.x44x3

(39.b) dx6 x3



36

(39.c)

dx)x9(

3

(39.d)

dxx

x229

3

(39.e) dxx9x2 2

(39.f) dx.senx.xcos2

(39.g) dxx

xlog3 4


(39.h) dx

20x4x

22

dxx4du miembros ambos mosdiferencia,xu mos tomadxe.x4 34x3 4

ce cedue dxe.x444 xuux3

Ejercicio 40: Resuelva las siguientes integrales por partes.

(40.a) dxex x3

(40.b) dxxarctg

(40.c) dxxarccos

(40.d) dxxln

(40.e) dxx.3senx 2

(40.f) 2 2 1 xx x e dx

(40.g) dxxsenex

Solución

Ejercicio 40 – a)

dxe

3

1e.x

3

1dxex x3x3x3

dxe

3

1e.x

3

1 x3x3

ce.3

1.

3

1e.x

3

1 x3x3

ce.9

1e.x

3

1 x3x3

x3

x3

x3

e3

1v

dxev

dxedv

dxdu

xu



37

Ejercicio 41: Resuelva las siguientes integrales trigonométricas.

(41.a) dxsenxxcos3

(41.b) dxxcos.xsen 25

(41.c) dxxcos5

(41.d) dxx2senx3cos

(41.e) dxx3senx5Sen

(41.f) dxxsen4

Solución

Ejercicio 41 – a)

senx.xcos.xcosdxsenxxcos 23 xcosu

433 u4

1duu

senx

du.senx.u dxsenxdu

cxcos4

1 4

Ejercicio 42: Resuelva las siguientes integrales racionales por descomposición en fracciones simples.

(42.a) dx

1x2x

x2

(42.b) dx

)2x()1x(x

12

(42.d)

dx

x2x

4x223

(42.e) dx

3x2x

x2

3

Solución

Ejercicio 42 – a)

dx1x

xdx

1x2x

x22

2222

1x

BAAx

1x

B1xA

1x

B

1x

A

1x

x

1B0BA1A

dx1x

xdx

1x2x

x22

dx

1x

1dx

1x

12

duu1xln 2 dxdu1xu



38

1

u1xln

1

cx

x

1

11ln

Ejercicio 43: Resuelva las siguientes integrales de funciones irracionales.

(43.a) dx

x1

x

(43.b) dxx94 2

(43.c)

dxx1x

1

(43.d)

dx

x1

x1

(43.e)

dxx

4x 2

Solución

Ejercicio 43 – a)

dx

x1

xdx

x1

x 21

dxdtt2

xt 2

dt

t1

t2dtt2.

t1

t2

2

2

1t

11

t1

t22

2

cxarctgx2tarctgt2dt1t

1dt1.2

2

Ejercicio 44: Resuelva las siguientes integrales en general.

(44.a) dx)xxx2

3xsecx( 524 3

(44.b) dxxSenxCos 23

(44.c) dxxsecxtg 23

(44.d)

dx3x

x4

3

(44.e)

dx1xx

3x5x32

2

(44.f) dxxcos



39

Solución

Ejercicio 44 – a)

dxxxxxdxxxxxx

235243524 3

2

3

2

3sec)sec(

cxx

tgxx

2562

3

47

25647

cxxxtgxxx 264 3

5

2

4

1

7

4

Ejercicio 45: Encontrar el valor de las integrales definidas aplicando la regla de Barrow.

(45.a) dxx

2

0

52

(45.b) e

dxx1

ln

(45.c)

1

2

3

1dx

x

(45.d)

4

3

2

dxxsen

(45.e)

1

03

dxxx

Nota: en el inciso a), b) y c) realice la gráfica correspondiente.

Solución

Ejercicio 45 – a)

140.502.52x5xx52

x2dx5x2 22

2

0

2

2

0

22

0

Ejercicio 46: Encuentre analítica y gráficamente el área entre la función y ambos ejes de

coordenadas.

x



40

(46.a) entre y

(46.b) entre y

(46.c) entre y

(46.d) entre y

(46.e) entre y

Solución

Ejercicio 46 – a)

entre y

Respecto al eje x

3

3

3

3

32 36927927x3

1x9dxx9

Respecto al eje y

9y;0y;y9xy9x 10

2

9

0

9

0

3

9

0

2321

9

0

18180y93

2

23

uduudyy9 , como son dos partes iguales, el

área es 2.18=36

Ejercicio 47: Encuentre el área entre las siguientes funciones.

(47.a)y = -x2 + 6, y = x2 + 4x

(47.b)y = x3 , y = 8, x = -1

(47.c)y = x2 – 2x – 3, y = 2x + 2 en [-1,6]

(47.d)y = sen x, y = cos x, [0 , 180°]

(47.e)y =ln x, y = ln 3x, x = 1 y x = 5

Solución

Ejercicio 47 – a)

y = -x2 + 6, y = x2 + 4x

31064246 21

222 xxxxxxx ;

3

6418

3

1062

3

264246

1

3

23

1

3

2

1

3

22

xxxdxxxdxxxx

Ejercicio 48: Mediante el método gráfico de los trapecios encuentre el área entre la función y el eje

x.

(48.a) entre y para h = 0,5

(48.b) entre y para h = 0,25

(48.c) entre y para h = 0,3



41

(48.d) entre y para h =10°

Solución

Ejercicio 48 – a)

entre y para h = 0,5

0 0 1/16

1 0.5 0.0615

2 1 0.0588

3 1.5 0.0548

4 2 0.05

5 2.5 0.045

6 3 0.04

1607,004.0045.005.00548.00588.00615.0.216

1

2

5.0

16

3

0

2

x

dx

Ejercicio 49: Encuentre el área aproximada por intermedio de la fórmula de Simpson.

(49.a) para n = 6 entre y

(49.b) para n = 12 entre y

(49.c) para n = 6 entre y

(49.d) para n elegido por usted entre y

Solución

Ejercicio 49 – a)

para n = 6 entre y

0 0° 0

1 10° 0.03015

2 20° 0.11698

3 30° 0.25

4 40° 0.4132

5 50° 0.5868

6 60° 0.75



42

SERIES

Ejercicio Nº 50: Escriba los cinco primeros términos de las siguientes series.

(50.a)

1 )1(

2

n nn (50.b)

1

12

)!12(n

n

n

x

(50.c)

1

12

n

n

n (50.d)

1

2

!4

3

n n

n

(50.e)

13

2

n

n

n (50.f)

1

1

!

2

n

n

n

x

Solución

Ejercicio 50 – a)

...15

1

10

1

6

1

3

11...

6.5

2

5.4

2

4.3

2

3.2

2

2.1

2

)1(

2

1

n nn

Ejercicio Nº 51: Escriba el término general de cada una de las siguientes series y luego exprese en

todos los casos si son convergentes o divergentes.

(51.a) ...100000

3

10000

3

1000

3

100

3

10

3

(51.b) ...25

321

9

81

1

2

(51.c) ...4

)1(.......

256

1

64

1

16

1

4

11

1

1

k

k

(51.d) ...720

25

120

16

24

9

3

2

2

1

(51.e) ...47

25

5

16

3

94

(51.f) ...3125256274

5432

CosCosCosCos

Cos para 9090

Solución

Ejercicio 51 – a)

1 10

3...

100000

3

10000

3

1000

3

100

3

10

3

nn



43

Es una serie geométrica de razón r=1/10 < 1 por consiguiente Converge

Ejercicio Nº 52: Determine si las siguientes series son convergentes o divergentes, absoluta o

condicionalmente, distinguiendo aquellas que sean geométricas.

(52.a)

12

1

n

n

n

(52.b)

12 )(

1

n

n

nLog

(52.c) ...9313

1

9

1 (52.d)

22

2

1

212

n

n

n

nn

(52.e)

11 3

1

2

1

k

k

k

(52.f)

13

n n

nsen

Solución

Ejercicio 52 – a)

12

1

n

n

n

Consideramos la serie en valor absoluto, y entonces Por el criterio de las series-p siendo p = 2 > 1, la serie de los valores absolutos converge. Luego, la serie dada CONVERGE ABSOLUTAMENTE

Ejercicio Nº 53: Halle el radio de convergencia de las siguientes series.

(53.a)

0k

kx

(53.b)

0 )1(3

1

kk

kk

k

x

(53.c) ...50321882

5432

xxxxx

(53.d)

0 !k

k

k

x

Solución:

Ejercicio 53 – a)

0k

kx

La serie es una serie geométrica de razón r = x por lo tanto converge absolutamente cuando –1

< x < 1 y diverge cuando / x / 1. Por lo tanto, el intervalo de convergencia es (-1,1) y el

radio es R=1.

FUNCIONES DE MAS DE 2 VARIABLES

Ejercicio Nº 54: Represente por curvas de nivel las funciones que se indican a continuación.

(54.a) 222 yxz (54.b)

2216 yxz



44

(54.c)2 2 22 2 2 16 0z y x

Solución

Ejercicio 54.a) 222 yxz

Se muestran las gráficas de las curvas de nivel para z=1,2,3,4,5

Si z=0 se obtiene 222 yx cuya gráfica son dos rectas que pasan por el origen, para valores de z

negativos se obtienen Hipérbolas cuyo vértice están sobre el eje y.

Ejercicio Nº 55: Representar las funciones del ejercicio Nº 54 por un sistema informático.

Solución

Ejercicio 55 - a)

x

y

z



45

Ejercicio Nº 56: Encuentre las derivadas parciales de primer orden de las siguientes funciones.

(56.a) 2

3cos4

325

2 223 yy xex

yxyxz

(56.b) yx

exyz

xxy

35

426log

(56.c) xyz

exyzsenxyzCosxw

x

2.

(56.d) x

yzzexysenzx xy

ln

5454 .2

Solución

(56.a) 2

3cos4

325

2 223 yy xex

yxyxz

Ejercicio Nº 57: Encuentre las segundas derivadas parciales de las siguientes funciones.

(57.a) xeysenxz x 2ln34252

(57.b)7

475 222 xyz

zyyxw

(57.c) yex

Tgyyxz x ln

24

2

2

Solución

Ejercicio (57.a) xeysenxz x 2ln34252



46

Ejercicio Nº 58: Dadas las siguientes funciones encuentre las Diferenciales Totales.

(58.a) 32222

2

34 yxyxxyz y el valor en 1;2P

(58.b) 0;12

2 Pen4.4 yxey

tgxxysenz

(58.c)

;1,02

1

3 Pen.. zxCosyzexysenxw y

Solución

Ejercicio (58.a) 32222

2

34 yxyxxyz

;

302,1y

z

2

982

y

z 22

yxyxy

Ejercicio Nº 59: Encuentre las diferenciales totales de las siguientes funciones compuestas.

(59.a)Hallar sabiendo que para

(59.b)Hallar sabiendo que para

(59.c) Hallar sabiendo que para

Solución

Ejercicio (59.a) Hallar sabiendo que para =



47

t2dt

dx )

yx

3ylnxy2y2(

x

z 2

xx

3dt

dy

xy

3xxy2

y

z 2

1x

Luego

).(-3) xy

3y(2x.2t )

yx

3lny2xy(2y

dt

dz2

1-x2

2

xx

Cuando t0= -1 se obtiene que x = 2 e y = 4 reemplazando estos valores en la última expresión

se obtiene:

1,336).(-3) 32

3(32.2(-1) )

16

372,87(32

dt

dz

1- t

Ejercicio Nº 60: Desarrolle en series de Taylor o Mac Laurin según corresponda.

(60.a) en el entorno del punto

(60.b) Hasta las derivadas de tercer orden

(60.c) Hasta las derivadas de tercer orden y sus valores en

Solución

Ejercicio (60.a) en el entorno del punto

Como la función es un polinomio de tercer grado, desarrollamos hasta las derivadas de tercer orden



48

6x

z3

3

Reemplazando estos valores en la fórmula del desarrollo de Taylor se obtiene:

22)3y.(24)3y).(1x).(28.(21x.6

!2

1)3y.(53)1x.(5020)y,x(p

3223)3y.(6)3y).(1x).(6.(3)3y.()1x.(4.31x.6

!3

1

Desarrollando, simplificando y reagrupando se debe verificar que el polinomio obtenido coincide con

el polinomio es decir:



49

APLICACIONES ECONÓMICAS

FUNCIONES ECONOMICAS

DEMANDA Y OFERTA

1. Las tablas que damos a continuación corresponden a cuatro consumidores y a su demanda

individual de un producto” x “.

Por unidad q1 q2 q3 q4

Demanda Global

p Q Q ‘

20 0 1 2 3

18 1 3 3 5

16 2 5 4 7

14 3 7 5 9

12 4 9 6 11

10 5 11 7 13

8 6 13 8 15

6 7 15 9 17

4 8 17 10 19

a) Complete la tabla de demanda global Q.

b) Represente las tablas anteriores en un mismo gráfico que muestre las cuatro curvas individuales y

la demanda global.

c) El consumidor Nº 4 (q4) siente un repentino rechazo por el producto” x “, y deja de comprarlo (se

modifica el parámetro “gustos o preferencias“). Muestre el desplazamiento resultante en la tabla y

en la curva de demanda global Q‘.

2. La siguiente tabla corresponde a la oferta del producto ” x “, por parte de cinco empresas

individuales:

Por unidad s1 s2 s3 s4 s5

Oferta Global

p S S ‘

20 8 9 19 30 10

18 7 8 17 27 9

16 6 7 15 24 8

14 5 6 13 21 7

12 4 5 11 18 6

10 3 4 9 15 5

8 2 3 7 12 4

6 1 2 5 9 3

4 0 1 3 6 2



50

a) Complete la tabla de oferta global

b) Represente las cinco tablas individuales en un mismo gráfico y la oferta global

c) El producto 3 (s3), desarrolla una nueva técnica de producción que reduce sus costos, y que le

permite ofrecer cuatro unidades de producción más en los distintos niveles de precios. Muestre

gráficamente cómo podrían llegar a resultar afectada la tabla y la curva de oferta global (S ‘).

3. Cada una de las ecuaciones que siguen representa la demanda de un producto” x “, por parte de

grupos de 1.000 consumidores, siendo el mercado de 4.000 consumidores.

pq2

1101

pq 213

pq2

1122

pq 234

Por el lado de oferta actúan 5000 vendedores representados en grupos de 1000 por las ecuaciones

siguientes:

pq2

121

pq2

34

pq 12

pq2

15

pq2

113

a) Exprese algebraicamente la demanda y la oferta globales y de acuerdo con ello determine el

precio y la cantidad de equilibrio en este mercado.

b) Construya las tablas de la demanda y de la oferta globales y compruebe los resultados obtenidos,

considerando los siguientes precios:

p Cantidad Demandada

Q

Cantidad Ofrecida

S S ‘

20

18

16

14

12 30 30

10 36 36

8

6

c) Determine gráficamente el precio y la cantidad de equilibrio.



51

d) Como consecuencia de un cambio que sobrevino en los costos de producción la oferta global

disminuye hasta hacerse: S‘= -18 + 4 p.

Determine algebraicamente el nuevo precio y la nueva cantidad de equilibrio. Hágalo después

completando las tablas y trazando los gráficos correspondientes.

4. Verifique cuál de las siguientes funciones lineales, representan funciones económicas y en caso

afirmativo decir si son de oferta o de demanda:

a) x - 2p = 0 d) 2x + 5p + 4 = 0

b) 3x + 4p - 12 = 0 e) 5x - p - 10 = 0

c) 2x - 3p +1 = 0 f) 2p + 3x + 2 =0

5. La curva de demanda para cierto producto dado es: px4

110 .

Encontrar:

a) La cantidad demandada cuando el precio es: 4; 16; 26 $.

b) El precio si la cantidad demandada es: 9; 7; 2 unidades.

c) Cuál es el precio más alto que se puede pagar por el producto.

6. La curva de oferta de un producto responde a la función: x = 1, 1p –0,1.

Encontrar:

a) El precio si la cantidad ofrecida es: 1; 0,8 y 0,5 unidades.

b) La cantidad ofrecida si el precio es: 8; 6; 4,1 $.

c) Cuál es el menor precio al que este producto se podría ser ofrecido.

7. Determínese el precio y la cantidad de equilibrio del mercado si las funciones de demanda y oferta

son respectivamente: 3

4

9

1339 2 pqyqp

8. En una encuesta se verifica que 10 relojes son vendidos cuando el precio es de: 80 $ la unidad, y

20 relojes son vendidos cuando el precio es de 60 $ la unidad. Suponiendo que la demanda es de

carácter lineal, decir cuál sería la función de demanda de este producto. Trace su gráfica.

9. Para una función benéfica de cine de una determinada localidad, se sabe que el número de

asistentes se relaciona con el precio uniforme de la entrada según la función de

demanda: bp

ax , donde a y b son constantes. Se sabe que el cine con una capacidad de

3000 butacas, está lleno hasta la mitad cuando el precio señalado es 12 $, estando vacías

solamente la sexta parte de las butacas si la entrada cuesta 9 $.

Se Pide:

a) Hállese según esto, el valor de las constantes a y b.



52

b) Averiguar a qué precio se llenaría completamente el cine.

INGRESO

1. Supóngase que una unidad del bien “x”, se vende en el mercado a un precio fijo y constante de

20 $. En base a una ecuación, determine la función de ingreso total.

2. Dada la función de demanda: x = 120 – 2p, obténgase la función de ingreso total:

a) En función del precio.

b) En función de la cantidad vendida.

c) Grafíquese el segundo caso.

3. Dada la función de demanda: 65

90

px , obtenga la función de ingreso total (en función de la

cantidad de unidades vendidas).

4. Dadas las siguientes funciones de ingreso total, obtener las funciones de demanda

correspondientes:

a) 23120 xxIT

b) 24200 ppIT

c) b

papIT

2

5. Dada la siguiente tabla:

a) Completar las columnas correspondiente al IMe y al IMg

b) Determinar la función de Img sabiendo que la misma es de tipo lineal

c) Hallar el nivel de producción que hace máximo el IT

Producción

(x) IT

ITIMe =

X

ITIMg=

x

0 0

1 10

3 27

6 45

7 49

9 54

10 55

6. Si la función IT es igual a : 2105 xxIT , obtener la función IMe.

COSTOS

1. Un constructor de pequeñas casas de campo, tiene gastos fijos evaluados en $500.000 anuales,

siendo los demás gastos de $ 30.000 por cada casa de campo.



53

Se pide:

a) Obtener lo que al constructor le cuesta cada casa de campo, si construye x casas de campo

anualmente.

b) Si se construyen 10 casas anualmente. ¿Cuánto le cuesta al constructor cada una?

2. Una fábrica construye piletas de natación, siendo el costo total: )525

13(100 2 xxCT

cuando se producen “ x ” piletas por mes. Indique cuál es el costo fijo y cuál es el costo variable.

3. Dada la siguiente tabla completar las columnas correspondientes al CMe y CMg.

Producción CT CMe CMg

1 30

2 40

4 48

7 105

9 270

10 450

4. Supóngase que el costo de producir una unidad del bien “ x “ es de $ 2 y el costo fijo total de

producción es de $ 80. Formule la función de costo total.

5. Si una empresa que fabrica ladrillos cerámicos tiene una función de costo total igual a :

5004300 2 xxCT y el costo marginal es xCMg 8300

Se pide:

a) Determinar el costo medio mínimo y decir a que nivel de producción corresponde.

b) ¿Cuál es el costo total con el que se produce dicha cantidad de unidades?

6. Una empresa que fabrica radios tiene un xxxCT 50010010 23 y un

50020030 2 xxCMg ¿Cuál será el menor costo al que esta empresa puede fabricar cada

radio?

7. Una empresa productora de artículos para el hogar tiene un función de costo total igual a:

)525

13(100 2 xxCT

Determinar el monto del costo medio si la empresa fabrica 100 unidades.

8. Siendo la función de costo medio de una empresa igual a:



54

xxxCMe

105005020 2

Determinar la función de costo total.

BENEFICIO

1. Determinar el máximo beneficio que puede obtener una empresa cuyos costos e ingresos

responden a las siguientes funciones:

xCMgxIMgxxCTxxIT 270;100;1070;2

1100 22

Decir además a que niveles de producción el empresario no obtiene ni pérdidas, ni ganancias.

2. Una empresa comercial que se dedica a la venta de artículos de limpieza enfrenta una función de

demanda para su producto igual a: p = 30 – x. Si su 1025

x

CMe

¿Cuál es su función beneficio?

3. Una empresa que fabrica artículos eléctricos tiene una función de xCT 2050 siendo su

2150

4IT x x . Si su IMg = x

2

150 y su costo marginal es constante e igual a 20,

Determinar:

a) Qué cantidad debe producir la empresa para que su beneficio sea máximo.

b) Cuál será el monto de dicho beneficio.

PRODUCCIÓN

1. Si en una mina de carbón, trabaja un equipo de x hombres, la producción obtenida será entonces

)12

3(25

2 xxPT toneladas de carbón. El

2

100

1

25

6xxPMg .

a) Dibujar el gráfico representativo del modo según el cual la producción varía con el número de

hombres.

b) Determinar la magnitud del equipo requerido para que la producción sea la máxima posible y

señalar a cuánto asciende esta producción.

c) Expresar en función de x el producto por hombre.

d) Cuál es la mayor cantidad de producto por hombre trabajando que puede alcanzar y cuántos

hombres debe haber trabajado para ello.

VALOR MARGINAL DE UNA FUNCIÓN

1. Obtener el IMg en cada uno de los casos:



55

a) 105

1 xp

b) 62 xIMe

2. Los costos totales de producción de una empresa son: 2CT= 8 + 2x + 3x Hallar:

a) Las funciones de CMg y de CMe

b) El valor del CMg y del CMe cuando se producen 1000 unidades.

3. La función de utilidad de un consumidor, para una mercancía x es :2310 xxUT , donde x es

la cantidad de la mercancía consumida. Hállese la función de UMg.

4. Una empresa tiene las siguientes funciones de costo y de demanda:

30 1CMe=x - 6 + ; x= - p + 5

x 4

Obtener:

a) La función de BMg.

b) La función CMg.

c) La función IMg.

5. La función de Producto Medio de una empresa es: 2360 xxPMe . Hallar la función de

PMg.

6. Hallar la función de DMg en cada uno de los siguientes casos:

a) 0280 2 qp

b) 2)42( xp

c) 32 xxIT

ELASTICIDAD DE UNA FUNCIÓN

Función

Elasticidad de Arco

Elasticidad de Punto

y= f (x)

xx

yy

E

y

xyE



56

Demanda-precio y Oferta:

Q= f (p) p

p

QQ

E

Q

pQE

Demanda-ingreso:

Q= f (I) I

I

QQ

E

Q

IQE

Ingreso Total:

IT= f (Q) Q

Q

ITIT

E

IT

QITE

Costo Total:

CT = f (Q) Q

Q

CTCT

E

CT

QCTE

Costo Medio:

Cme = f (Q) Q

Q

CmeCme

E

Cme

QCmeE

Producto Total:

PT = f (FV) FV

FV

QQ

FVFV

PTPT

E

PT

FVQ

PT

FVPTE

Utilidad Total:

UT = f (Q) Q

Q

UTUT

E

UT

QUTE

1. Obtener la elasticidad – precio de la demanda en los puntos x = 1; x = 2,5 ; x = 1,5

si xp 310

2. Obtener la elasticidad- precio de la demanda en cada uno de los siguientes casos:

a) bxpa

b) 1002 xp

3. Hallar la elasticidad de la función de oferta, en cada uno de los siguientes casos:

a) pex 5

b) 2bxap

4. Considerar la función de demanda: 2348 px , cerca del punto p = 3. Si el precio decrece el

4% determinar el incremento relativo de la demanda y dar una aproximación de la elasticidad.



57

Comparar este resultado con la elasticidad de la demanda obtenida aplicando la fórmula de la

elasticidad en un punto.

5. Considerar la función de demanda: 10 px , en el punto x = 4. Si la cantidad demandada se

incrementa en un 5%, determinar el porcentaje de crecimiento del precio, y dar una

aproximación de la elasticidad de la demanda. Comparar luego este resultado con el exacto valor

obtenido en el punto x = 4, aplicando la fórmula de elasticidad de punto.

6. En un estudio de Gaba y Reca denominado “Poder Adquisitivo, Veda y sustitutos: un re-examen

de la demanda de carne vacuna en la Argentina” se determina que la elasticidad-precio de la

demanda de carne vacuna en nuestro país es: -0,37. Con el propósito de incrementar los saldos

exportables se desea reducir la cantidad demandada internamente en un 30% y puede operarse

sobre el precio de la carne vacuna y/o sobre el precio de los sustitutos. Si se decidiese a operar

sólo sobre el precio de la carne vacuna, ¿qué variación porcentual y en qué sentido debería

realizarse para lograr el fin propuesto?

7. Si el 21

52 50

xCT x . Calcular su elasticidad.

8. Si el 23 1

4 16CT x x . Calcular la elasticidad del Cme.

9. Una empresa dedicada a la fabricación de portones metálicos, está atravesando por una gran

crisis financiera, lo cual la obliga a reducir los costos en un 20%.

La empresa produce en forma eficiente y no desea reducir la calidad del producto. Se conocen las

siguientes elasticidades de sus funciones económicas: de la demanda: -0,15: del costo total: 0,40; del

ingreso total: 0,30 y del producto total 0,06 (no deberá usar todas).

Se desea saber cuál será la variación relativa del ingreso de la empresa ante su decisión de

reducir los costos en un 20%.

10. Comprobación de la definición de la elasticidad

Datos: 1 1

10 1110 3 1,5 5,5 1,222%

3 9

pp x x x p

Comprobación:

%1

%2222,101222,0

5,1

018334,0018334,0481666,15,1

481666,13

445,4

3

555,5102555,5055,05,52055,001,0*5,5

p

px

x

x

xx

xpp



58

11. Demuestre cómo se obtiene gráficamente el valor de la elasticidad en el punto A de la siguiente

curva de demanda, fundamentando el procedimiento empleado.

OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES-(Funciones de una variable)

1. El costo total de producción de una empresa es 25354

1 2 xxCT y el precio de venta de

cada unidad es: x4

150 .

Se pide:

a) Hallar el número de unidades que se debe vender para que el beneficio sea máximo y decir a

cuánto asciende éste.

b) Obtener el costo mínimo por unidad producida.

2. La función de costo total para producir un bien es: 221260 xxCT

Se pide:

a) Hallar la función de costo medio y el nivel de producción para el cual esta función se minimiza.

Decir cuál es el menor costo medio.

b) Verifique que en el punto mínimo de la función de costo medio, el costo medio es igual al costo

marginal.

3. Una empresa que fabrica radios produce x aparatos semanales con un costo total de:

100325

1 2 xx , siendo la demanda de mercado de: 75 – 3p. Comprobar que el ingreso neto



59

máximo (beneficio) se alcanza cuando se producen alrededor de 30 aparatos semanales. ¿Cuál será

el precio de venta en este caso?

4. Determinar cuánto debe producir una empresa que desea maximizar su ingreso total si su función

de demanda es: 65

90

px

5. Un fabricante produce una determinada mercadería a un costo de : 20640 2 xxCT ,

enfrentando una demanda igual a : x= 97,5 – 0,5p.

Se pide:

a) ¿Cuántas unidades de mercadería debería producir para obtener el máximo beneficio?

b) ¿Cuál será el precio que corresponda a ese beneficio máximo?

c) ¿Cuál será el beneficio máximo?

6. Si la demanda de un cierto bien responde a la función q = 120 – 2p determinar para que nivel de

producción el ingreso total será máximo y a cuánto ascenderá dicho ingreso total.

7. Si los costos variables de una empresa responden a la función: )25

13(100 2qqCV y los

costos fijos son iguales a $ 10.000. ¿Cuál es el costo mínimo por unidad? ¿Cuál es el mínimo costo

marginal?

8. Una empresa de energía eléctrica ha obtenido una concesión para abastecer un mercado con la

siguiente función de demanda: 2

10

px . El gobierno desea promocionar el producto de esta

empresa y garantizar la permanencia de la misma en el mercado, por lo tanto ésta recibe por parte

del Gobierno Provincial un subsidio a la producción de $ 8 y de la Municipalidad, un subsidio fijo

igual a $ 16 (ambos no reintegrables). Los costos totales de producción de la empresa responden

a la función: 23 42 xxCT .

Se pide:

Determinar el monto de los beneficios, el precio fijado y la cantidad producida de energía bajo cada

una de las siguientes hipótesis:

a) Maximización de beneficios.

b) Maximización de ventas.

Compare ambos resultados

IMPUESTOS

9. Sea la función de demanda: xp4

150 y la de costo total: xCT 2050



60

Determine cuánto debe producir el monopolista, a que precio debe vender su producto, y a cuánto

ascenderá su beneficio en cada uno de los siguientes casos:

a) Si desea maximizar su beneficio.

b) Si desea maximizar su beneficio sabiendo que se le cobra un impuesto específico a la cantidad

producida igual a $ 8.

c) Si desea maximizar su beneficio y soporta un impuesto sobre los mismos del 2%

d) Maximiza beneficios y soportan un impuesto fijo de $ 200.

10. Una empresa cuyas funciones de demanda y costo son

respectivamente: pq4

125 qCT 5050 soportaba un impuesto a las ventas de un 1% el

que se eleva a un 4%. ¿Cuál es el efecto cuantitativo de ese aumento sobre la cantidad producida

y el precio?

11. MAXIMA RECAUDACION IMPOSITIVA. Se sabe que una empresa monopólica tiene las

siguientes funciones de ingreso y costo totales: qqIT 302 2 ; 1043 2 qqCT . El

gobierno desea aplicar un impuesto al producto de esta empresa y desea hacer máxima la

recaudación impositiva “T” proveniente de esta fuente. ¿Qué tasa impositiva “t” (pesos por unidad

de producto), debe elegir el gobierno y que cantidad la empresa producirá en momentos en que

se esté cobrando dicho impuesto?

Verifique mediante las condiciones de segundo orden si la recaudación impositiva es máxima.

SUBSIDIOS

Se trabaja exactamente igual que en el caso de los impuestos, sólo que en lugar de restarlo de los

beneficios, van sumando.

IMPUESTOS Y SUBSIDIOS SIMULTÁNEOS

BT = IT – CT – Impuestos + Subsidios

EJERCICIOS COMBINADOS

12. Una empresa monopólica posee una función de producción igual a: )12

3(25

2 xxPT .

Demuestre numéricamente que en el punto máximo de la curva de PMe el producto medio es

igual al producto marginal.



61

13. Una empresa que produce heladeras enfrenta una función de demanda igual a: px 2100 y

un 5

15

xCMe . En el año “1”, tiene esta empresa como objetivo maximizar las ventas, pero

como el beneficio obtenido de esta manera era escaso, los socios deciden que en el año “2”,

producirán de tal manera de hacer máximo los beneficios. Decir cuál es el precio a que esta

empresa vende cada heladera durante los años “1” y “2”.

14. Una empresa maximizadora de beneficios fabrica calefactores y heladeras. La función de demanda

de calefactores es: q = 200 – 2p y un 1010

q

CMe . Para las heladeras la demanda es: x =

100 – p y el xCMe2

14 . En el mercado de los calefactores debe soportar un impuesto a los

beneficios del 3% y en el de las heladeras, recibe un subsidio a las ventas del 1%. ¿Cuál es el

mercado más ventajoso para esta empresa: el de las heladeras o el de los calefactores?

15. Decir a cuánto asciende el CMg mínimo de una empresa cuyo x

xxCMe30

100001202 2

16. Una empresa que produce escritorios posee las siguientes funciones de demanda y costo medio:

px3

115 , 10

10

xCMe

Si la empresa desea obtener un beneficio máximo y el gobierno le va a imponer un gravamen de t =

5. ¿Qué le convendrá a la empresa, que éste sea sobre la producción o sobre las ventas?

INTEGRALES

1. Calcular el IT de una empresa cuyo IMg es igual a: 60 – x.

2. Calcular el CT de una empresa cuyo CMg es igual a: 230 x - 200 x 500 y su CF es igual a

$ 50.

3. Observe el gráfico y responda:



62

Si se producen 2 unidades:

a) Decir que representa el área OPTS.

b) Decir que representa el área OAES.

c) Demostrar cómo son entre sí: IMg = 100 – 6 x; IMe = 100 – 3 x.

d) Comprobar si es correcto lo obtenido en c) verificando en la función total

correspondiente.

4. Observar el gráfico de la siguiente hoja y responder:

Si se producen 3 unidades:

a) Decir que representa el área OPTR.

b) Decir que representa el área OAER.

c) Dados: CMg = x2 + 2 x + 3 ; x

6 3 x x

3

1 CMe 2 , determinar el CT cuando se

producen 3 unidades, mediante tres formas distintas que Ud. conozca. Indique

gráficamente a cuál corresponde cada una. El Costo Fijo asciende a $ 6.



63

5. Dibujar en un mismo gráfico las funciones de IMe, IMg, CMe y CMg, y señalar dos áreas distintas

que representen el Beneficio Total para un nivel de ventas inferior al óptimo (indicando cómo

obtiene cada una).

6. Una empresa tiene las siguientes funciones de ingreso y costo: 2CMg 3 x - 8 x 8 ;

4 CF ; x4 -12 IMg . Decir cuál es el máximo beneficio de esta empresa y cuántas

unidades deben producirse para ello.

EXCEDENTE DEL CONSUMIDOR

7. Si la función de demanda de una empresa es: px2

110 , hallar el excedente del consumidor

cuando p = 4.



64

FUNCIONES DE DOS O MÁS VARIABLES

PRODUCCIÓN

1. Construir las funciones de PMe y PMg para x1 correspondientes a la función de producción: Q = x1

x2 – 0,2 x12 – 0,8 x2

2.

y0

x0

X

Y

Z

y0

x0

f1 (x;y0)

f2 (x0;y) X

Z

Y



65

2. La función de producción de sillas es: x = 10 L – L2 + 2 L K + 80 K – 2 K2, en la cual L y K son

respectivamente insumos de trabajo y de capital. Encuéntrese las productividades Me y Mg de L y

K para L = 3 y K = 10.

3. Encuentre las funciones de producto Marginal para la función de producción:

X = 50 L + 2 L2 – 3 L3 + 2 L K2 – 3 L2 K + 5 K2 – K3 y determine a continuación las

productividades marginales de L y K para L = 2 y K = 5.

4. FUNCIONES HOMOGÉNEAS: Decir cuáles de las siguientes funciones de producción son

homogéneas y que tipo de rendimientos a escala poseen:

a) Q = x . y

b) Q = x + y

c) Q = L3 + 3 T2 L

L . T

d) Q = x y2 – x2 y2 1/z

e) Q = A xa yb

f) Q = x2 + 2 x2 y + 5 x y2 + y2

x . y

g) Q = x y + 10 x

h) 1

21

212

.Q x

xx

xx

OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES DE DOSVARIABLES



66

1. PROPAGANDA. Determinar el nivel óptimo de publicidad (A*) para una empresa maximizadora de

beneficios cuyas funciones de ingreso y costo son:

100 A Q 2 A 40 -A 20 Q4

1-Q 5 IT 2 2 ; A 25 Q 3 CT

2. DISCRIMINACIÓN DE PRECIOS. Una empresa puede separar a los consumidores de un bien “Q”

en dos mercados (1 y 2) cuyas demandas están representadas por las funciones:

p1 = 151 – Q1; p2 = 120 – Q2. La función de costo total de la empresa es:

CT = 100 + 8 Q + Q2.

Determinar el precio y la cantidad de equilibrio en cada mercado y el beneficio total de la

empresa.

3. MONOPOLISTA QUE PRODUCE DOS MERCANCÍAS QUE ESTÁN RELACIONADAS EN EL MERCADO.

Un monopolista produce dos mercancías: 1 y 2, cuyo consumo es interdependiente ya que la

demanda de mercado de la mercancía 1 depende de su precio y del precio de la mercancía 2, y lo

mismo para esta última. Si la demanda de dichas mercancías es: x1 = 5 – p1 + 2 p2; x2 = 4 + p1

– 3 p2 y la función de costos de la empresa son: CT = 4 x1 + 2 x2 (donde 4 y 2 son los costos

unitarios de ambas mercancías), se desea determinar a qué precio deberá vender cada mercancía

si desea obtener un beneficio máximo.

4. La empresa Beta produce dos bienes: 1 y 2 que se venden en el mercado (competencia perfecta)

a los siguientes precios: p1 = $ 12 y p2 = $ 18. El directorio ha solicitado al asesor económico que

indique que cantidades deben producirse para que las ganancias sean máximas y a cuánto

ascenderán éstas. La función de costo total es:

CT = 2 Q12 + Q1 Q2 + 2 Q2

2.



67

5. PRODUCCIÓN. Una empresa utiliza para producir su único producto, dos factores: capital

(maquinarias) = x1 y trabajo = x2.

Lo que produce cada trabajador está representado por la función:

2

1211

2

1

2

3

1

2

2

1

x

x140 - x x- x17 x

3x

x2-

x20 PMe

x

a) Se desea saber si existe algún nivel de utilización del trabajo para el cual la productividad

marginal del capital sea máxima.

b) Cuánto puede producir como máximo cada máquina.

6. PRESENTACIÓN DE UN PRODUCTO. Un empresario cuyo objetivo es maximizar su ganancia está

estudiando la posibilidad de producir un nuevo producto. Existen dos formas de presentación del

mismo: en envases de cartón con lo cual el costo medio del producto es de $ 90, o en envases de

material plástico con un costo medio de $ 130. De elegir la primera alternativa la demanda

estimada es: Q1 = 1900 – 20 p1, si elige la segunda:

Q2 = 2240 – 16 p2

SE PIDE:

a) Si no existe la posibilidad técnica de utilizar las dos maneras de forma simultáneas: ¿qué

alternativa elegiría el empresario? ¿A qué precio se venderá el producto y a cuánto

ascenderán los beneficios?

b) Si puede combinar simultáneamente ambas formas de presentación: ¿cuánto producirá de

cada una y cuáles serán los precios y el beneficio?

7. EJERCICIOS DE REPASO CON SOLUCIONES.

a. Las demandas de dos bienes X1 y X2 están dadas por D1 = 16 -p12 y D2 = 9 - p2

2 y la función

de costo es C (p1;p2)= p12 + 3 p2

2. Determinar las cantidades y los precios que maximizan el

beneficio.- Respuesta: p1=2; p2=1; D1=12; D2=8

b. Si las demandas de dos bienes X1 y X2 son D1 = 24 -2p1 y D2 = 20 – 4 p2 y la función de costo

C (p1;p2)= p12 + p1p2 + 2 p2

2 hallar los precios p1 yp2 y cantidades D1 y D2 que maximizan el

beneficio. Respuesta:p1=268/71; p2=96/71 ; D1=1168/71; D2=1036/71.

c. Si las demandas de dos bienes son X1 = 4 - p1 + p2 y X2 = 3+p1-2p2hallar los precios p1 yp2

y cantidades X1 y X2 que maximizan el beneficio si el costo de producción unitario es de 4 para X1

y de 2 para X2. Respuesta:p1=15/2; p2=9/2 ; D1=1; D2=3/2.

d. Un monopolista produce dos artículos X1 y X2 cuyas demandasson: X1 = 8 - p1 + p2 y X2 = 9

+ p1 - 5 p2.Encontrar las cantidades y precios que maximizan el beneficio si los costos de

producir una unidad de X1 es igual a 4 y de X2 es igual a 2. Respuesta:p1=65/8 ; p2=25/8 ;

D1=3 ; D2=3/2.

e. Un producto se vende en dos mercados diferentes, (1 y 2) cuyas demandas están

representadas por las funciones: p1 = 40 – 5 q1; p2 = 30 – 3 q2. La función de costo es C



68

(p1;p2)= q12+2 q1q2 3 q2

2. Calcular el precio y la cantidad que deben venderse en cada mercado

para obtener el máximo beneficio. Respuesta:p1=25 ; p2=24 ; q1=3 ; q2=2.

OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES SUJETAS A UNA

RESTRICCIÓN

1. Maximización de la producción bajo una restricción presupuestaria. Una refinería utiliza para la

producción de nafta dos tipos de petróleo: x1 = petróleo tipo A y x2 = petróleo tipo B. La

producción responde a la función: PT = x1 x22 + x1

2 x2.

El costo de cada factor productivo asciende a $ 5 por unidad para ambos tipos de petróleo.



69

Encontrar la máxima producción posible de nafta sabiendo que la empresa tiene una restricción

financiera por la cual no puede gastar más de $ 500 en dicha producción.

Explicar el significado de x1, x2 y lambda.

2. COSTOS. La producción de un bien “Q” cuando se utilizan las cantidades x1 y x2 de dos factores

productivos, viene dada por la función de producción: Q = x1 x2. Siendo los precios de los factores

constantes e iguales a $ 8 y $ 2 respectivamente y el nivel de producción deseado de: Q = 100.

a) Determinar el costo total mínimo para Q = 100.

b) Interpretar el significado económico de la variable lambda.

c) Determinar el CMg para ese nivel de producción.

3. Plantear las condiciones de primer orden de los siguientes problemas (NO RESOLVER, SOLO

DEJAR PLANTEADO LO SOLICITADO):

a) Una empresa vende dos bienes en el mercado cuyas demandas son:

x1 = 100 – 2 p1 + 3 p2; x2 = 60 + 4 p1 – 5 p2. La empresa compite con otras dos empresas en el

mismo ramo. Todas intentan ganarse el mercado desplazando a las otras, tratando de obtener el

mayor nivel de ventas posible. Nuestra empresa tiene un costo medio de $ 2 para el producto 1 y

de $ 4 para el producto 2.

El gobierno desea promocionar la venta del producto 1 y le otorga un subsidio a la producción de

$ 70.

La empresa desea obtener un beneficio de $ 150. La misma debe soportar un impuesto a las

ventas del producto 2 del 5%.

Se desea saber cuánto debe vender la empresa de cada producto.

b) Una empresa dispone para producir de los siguientes factores: maquinarias (x1) y trabajo (x2) y

dinero en efectivo el cual asciende a $ 1.200. Lo que produce cada trabajador está representado

por la función: 25 x1 x2 + 50 x12 x2 – 40 x2

2 x1 + 2 x1 + 4 x2 + 50.000

La empresa debe pagar un salario de $ 4 por trabajador. Cada máquina le cuesta $ 10.

La empresa está estudiando la conveniencia o no de cambiar el equipo de máquinas y para ello

necesita saber cuánto se puede producir actualmente como máximo por cada máquina.

c) Suponga que la empresa del punto b) posee ahora una cantidad ilimitada de dinero para

producir y desea saber si habrá algún nivel de utilización del trabajo para el cual la productividad

marginal del mismo sea máxima.

d) Un monopolista produce escritorios de dos tipos: de tapa de fórmica y de tapa de acrílico,

siendo la demanda de cada uno igual a:



70

x1 = 50 – 2 p1 + 3 p2 (fórmica); x2 = 70 + 3 p1 – 5 p2 (acrílico).

Los costos unitarios de la empresa son: $ 5 para los de fórmica y $ 10 para los de acrílico.

Debido a una gran escasez de madera que hay en el mercado, esta empresa no puede producir

más de 250 escritorios.

La empresa desea saber cuánto debe producir de cada tipo de escritorios para poder maximizar

su beneficio.

4. EJERCICIOS DE REPASO CON SOLUCIONES

a) Dada la función de utilidad de un consumidor U=x1 . x2 , los precios de los bienes son p1=1 y

p2=3, y el ingreso es I=15, encontrar las cantidades x1 y x2 que hacen máxima la utilidad y a

cuánto asciende ésta. Dar la interpretación económica de λ. Respuesta: x1 = 7,5; x2= 2,5;

U=18,75; λ indica la utilidad marginal del ingreso.

b) Una fábrica produce artículos x1 y x2 . La función de costo es: C (x1;

x2) = x12 + 2 x2

2 - x1 el cual se quiere minimizar. Determinar el costo mínimo y las cantidades

a producir si el total de artículos debe ser 8. Respuesta: x1 = 5,5; x2= 2,5; C = 37,25.

c) La función de utilidad es U = 10x1 + 20x2 + 4x1x2. Si la restricción presupuestaria es 2x1 + 3x2

= 18, hallar las cantidades que maximizan la utilidad y a cuánto asciende ésta. Dar la

interpretación económica de λ. Respuesta: x1 = 31/8; x2= 41/12; U = 3.841/24; λ indica la

utilidad marginal del ingreso.

d) El número de fallas N como función de las variables x e y de cambios de dos partes de una

máquina está dado por N(x;y)= 3x3 + y2 + 2xy - 22x + 60. Para minimizar las fallas, ¿qué

número de cambios deben realizarse de cada parte si 2x = y ?. Respuesta: x = 1 e y = 2,

N=49.

e) La producción P en función de las cantidades x e y de los insumos X e Y está dado por P(x;y)

= x2 + 5xy - 4y2 . Hallar las cantidades que maximizan la producción si 2x+3y= 74 y el

máximo valor de ésta. Dar la interpretación económica del multiplicador de Lagrange (λ).

Respuesta: x = 31; y= 4; P = 1.517; λ indica la productividad del capital.

f) Un ganadero tiene la función de producción P(x;y) = 110x-3 x2 - 2xy + 5y2, donde x es la

cantidad de medias reses e y son lacantidad de cueros. Sabiendo que hay 2 costados de res

por cada cuero, ¿qué cantidad de vacas maximizará su producción? ¿a cuánto asciende ésta?

Respuesta: 10 vacas; P = 1100.

g) Un fabricante de piezas para industrias de triciclos vende 3 ruedas por cada armazón. Si la

demanda de ruedas es Dr= 63 – 1/4 pr, la demanda de armazones es Da=60-1/3pa y el

costo conjunto es C(Da;Dr)=Dr2+DrDa+Da

2+190. Hallar a qué precios y con qué producción se

obtiene el máximo beneficio y a cuánto asciende éste. Respuesta: Dr= 27; Da=9; pr =144

;pa=153 ;B=4.022.



71

h) Dada la función de producción P=3x1x2, obtener el costo mínimo y las cantidades de cada

insumo necesarias para producir 15 unidades si el costo fijo es 150 y los precios unitarios de

cada insumo son p1=5 y p2=9. Respuesta: x1=3; x2= 5/3; Cmin= 180.

i) Dada la función de producción de un artículo P(x1;x2)=3x1x2, si x1 y x2 son las cantidades de

2 insumos X1 y X2 y p1=4,p2=5 son los precios de los insumos, 300 es el costo fijo, hallar: a)el

costo mínimo para p=6000, b) el producto máximo para C=500. En ambos casos determinar

las cantidades x1 y x2 correspondientes. Dar la interpretación económica de λ en el caso b).

Respuesta: a) x1=50; x2= 40; C= 700. b) x1=25; x2= 10; P= 1500. λ indica la productividad

del capital.

j) La relación entre las ventas V y las sumas x e y gastadas en dos medios de publicidad está

dada por 200 100

5 10

x yV

x y

. La ganancia es 1/5 de las ventas menos el costo de la

promoción. El presupuesto para publicidad es 25. Determinar cuánto debe asignarse a cada

medio de publicidad para maximizar la ganancia y a cuánto asciende ésta. Sólo plantear.

Respuesta: x= 15 , y= 10, B= 15.

k) Dada la función de utilidad U(x1; x2)= x1.x2, si x1 y x2 son las cantidades de 2 artículos X1 y X2

y p1=2 y p2=5 son los precios de los mismos, hallar la utilidad máxima y las cantidades x1 y x2

que la maximizan si el ingreso es 100. Dar la interpretación económica de λ. Respuesta:

x1=25; x2= 10; U= 250. λ indica la utilidad marginal del ingreso.

l) Hallar las cantidades de insumo que hacen máximo el nivel de producción si el costo total del

trabajo (a 48 dólares por unidad) más el costo del capital (a 36 dólares por unidad) se limita a

115.200 dólares sabiendo que P (t; c)= 100 t 0,25 c0,75. Respuesta: t=600, c=2400,

P=169.704.



72

Anexo I: APLICACIONES ECONÓMICAS - SOLUCIONES

Demanda y Oferta

1. a) Q= 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54

b)

c) Q’ = 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35

2. a) S= 76, 68, 60, 52, 44, 36, 28, 20, 12

b)



73

c)S’= 80, 72, 64, 56, 48, 40, 32, 24, 16

3. a) Qd= 66 – 36 p ; Qs= -4 + 4 p ; pe= 10 ; Qe= 36

b)

p 20 18 16 14 12 10 8 6

Q 6 12 18 24 30 36 42 48

S 76 68 60 52 44 36 28 20

c)

d) pe=12 ; Qe= 30

S’ 62 54 46 38 30 22 14 6

4. a) Oferta; b) Demanda; c) Oferta; d) No es función económica; e) Oferta; f) No es función

económica.

5. a) xd= 9; 6; 3,5

b) p = 4; 12;3,2

c) p = 40

6. a) p = 1 ; 0,81 ; 0,54

b) xs = 8,7 ; 6,5 ; 4.41

c) p = 0,09

7. qe = 1,8 ; pe = 28,2

8. q = -1/2 p +50 o p = -2q+100

9. a) a= 36.000 ; b = 1.500

b) p = 8



74

Ingreso

1. IT = 20x

2. a) IT (p) =120 p – 2 p2

b) IT (x) = -1/2 x2+ 60 x

c)

3.

4. a) p = 12-3x

b) x = 200-4p

c) b

pa x

5.

x 0 1 3 6 7 9 10

Ime - 10 9 7.5 7 6 5,5

Img 10 8,5 6 4 2,5 1

b) Img = - x + 10,5

c) x = 10,5

6. p = 5 – 10 x

xx

x5

6

90IT(x)



75

Costos

1. a) Cme = 50.000/x + 30.000

b) Cme = 80.000

2. CF = 500 ; CV = 300 x + 4 x2

3.

x 1 2 4 7 9 10

Cme 30 20 12 15 30 45

Cmg 10 4 19 82,5 180

4. CT = 80 + 2 x

5. a) x = 11,2 ; Cme = 388,8

b) CT = 4.361,76

6. Cme = 250

7. Cme = 705

8. CT = 20 x3 – 50 x2 + 500 x + 10

Beneficio

1. Máx BT = 140 ; x=0,33 y 20

2. BT = 20 x – x2 – 25

3. a) x = 60 ; b) BT = 850

Producción

1. a)

b) x = 24 hombres ; PT = 23 Tn

c) Pme = 3/25 x – x2 /300

d) x = 18 ; Pme = 1,08 Tn



76

Valor marginal de una función

1. a) Img = -2/5 x + 10

b) Img = - 4 x + 6

2. a) Cmg = 2 + 6 x ; Cme = 8/x + 2 + 3 x

b) Cmg = 6.002 ; Cme = 3.002,008

3. Umg = 10 – 6 x

4. a) Bmg = -10 x + 26

b) Cmg = 2x – 6

c) Img = 20 – 8 x

5. Pmg = 60 – 6 x + 3 x2

6. a)

b)

c)

Elasticidad

1. E= -7/3 ; E= -1/3 ; E= -11/9

2. a) E = -a

b) E = -2

3. a) E = 5p

b)

4. E arco = -2,54 ; E punto = -2,57 ; VRx = 10,1 %

5. E arco = -1,5 ; E punto = -1,5 ; VRx = 3,33 %

6. Δp/p = 0,81 = 81 %

7.

8.

9. ΔIT/IT = 0,15 = 15 % (disminución)

2

804

1Dmg

p

p8

1Dmg

p

22

1Dmg

)(2E

ap

p

2

2

25250

225Ect

xx

xx

x

x

12Ecme



77

Optimización de funciones de una variable

1. a) x = 15 ; BT = 87,5

b) x= 10 ; Cme = 40

2. a) Cme = 60/x – 12 + 2x ; x = 5,477 ; Cme = 9,91

b) Cme = Cmg = 9,91

3. x = 30 ; p = 15 ; BT = 224,10

4. x = 4,3 ; p = 3,7 ; IT = 16

5. x = 2,25 ; p = 190,5 ; BT = 195

6. q = 60 ; IT = 1.800

7. Cme = 700 ; Cmg = no tiene mínimo

8. a) x = 2,09 ; p = 5,82 ; BT = 44,1

b) x = 2,5 ; p = 5 ; BT = 42,25

Impuestos

9. a) x = 60 ; p = 35 ; BT = 850

b) x = 44 ; p = 39 ; BT = 434

c) x = 60 ; p = 35 ; BT = 833

d) x = 60 ; p = 35 ; BT = 650

10. 1% : q= 6,1 ; p = 75,3 ; BT = 101,5

4% : q= 5,98 ; p = 76,08 ; BT = 87,77

11. t=13 ; q = 1,3 ; T = 16,90

Ejercicios combinados

12. x = 18 ; Pme = Pmg = 1,08

13. Año 1 : x = 50 ; p = 25

Año 2 : x = 50,2 ; p = 24,9

14. Calefactores : x = 90 ; BT = 3.918,80 (conviene)

Heladeras : x = 32,11 ; BT = 1.557,70

15. x= 20 ; Cmg = 7.600

16. Producción (t=5) : x = 5 ; BT = 65

Ventas (t = 5%) : x = 5,745 ; BT = 84,085 (conviene)

Integrales

1. IT = 60 x – 1/2 x2

2. CT = 10 x3– 100 x2 + 500 x + 50

3. a) IT (x=2) ; b) IT (x=2) ; c) 188 ; d) 188

4. a) CT (x=3) ; b) CT (x=3) ; c) 33 ; d) 33

5. a) Ime . Q – Cme . Q = Área EFGH



78

b)

6. x = 2 ; BT = 4

Excedente del consumidor

7. Exco = 64

Funciones de dos o más variables

1. Pme x1 = x2 – 0,2 x1 – 0,8 x22 / x1 ; Pmg x1 = x2 – 0,4 x1

2. Pmg L = 24 ; Pmg K = 46 ; Pme L = 227 ; Pme K = 68,1

ABCDÁreaCmgImgBT0 0

Qa Qa



79

3. Pmg L = 12 ; Pmg K = 3

4. Funciones homogéneas:

a) Rendimientos crecientes a escala

b) Rendimientos constantes a escala

c) Rendimientos constantes a escala

d) Rendimientos crecientes a escala

e) Si a+b >1 Rendimientos crecientes a escala; si a+b = 1 Rendimientos constantes a escala; si

a+b < 1 Rendimientos decrecientes a escala

f) No es función homogénea

g) No es función homogénea

h) No es función homogénea

Optimización de funciones de dos variables

1. A = 0,375 ; Q = 5,5 ; H = 36

2. Q1 = 29 ; p1 = 122 ; Q2 = 13,5 ; p2 = 106,5 ; BT = 2.729,5 ; H = 12

3. p1 = 16 ; p2 = 25/3 ; x1 = 5,66 ; x2 = -5 (no se produce) ; H = 3

4. Q1 = 2 ; Q2 = 4 ; BT = 48 ; H = 15

5. a) x1 = 28,5 ; x2 = 37 ; Pmg x1 = 744 ; H = 4

b) x1 = 34,2 ; x2 = 25,6 ; Pme x1 = 419,6 ; H = 5/3

6. a) Q1 = 50 ; p1 = 92,5 ; B1 = 125 ; Q2 = 80 ; p2 = 135 ; B2 = 400 (elegido)

b) Q1 = 50 ; p1 = 92,5 ; Q2 = 80 ; p2 = 135

Optimización de funciones de dos variables o más variables sujetas a una

restricción

1. x1 = 50 ; x2 = 50 ; λ = -1.500 ; PT = 250.000 ; H = 5.000

2. x1 = 5 ; x2 = 20 ; λ = -2/5 ; CT = 80 ; H = -80

3. a) Máx IT sujeto a BT = 150

b) Máx PMe x1 sujeto a CT = 1.200

c) Máx PMg x2

d) Máx BT sujeto a x1 + x2 = 250

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