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ANÁLISIS MARGINAL

1. Cuando Power & Money, cobra $600 por un seminario sobre técnicas de administración, asisten 1000

personas. Por cada disminución de $20 en el cargo, 100 personas adicionales van al seminario. a) Determine la función ingreso en función del precio de venta b) Determine el ingreso marginal e interprete. Solución a) Ingreso = (precio)(cantidad)

I(x) (600 20x)(1000 100x) ; x es el número de disminuciones.

Precio:

600 p

p 600 20x p 20x 600 20x 600 p x20

Ahora reemplacemos el valor de x en la función ingreso:

600 pI(p) p 1000 100 p 1000 5 600 p p 1000 3000 5p

20

2I(p) 4000p 5p

b) Ingreso Marginal

I'(p) 4000 10p

Interpretaciones: Precio = 300, entonces I'(300) 4000 10(300) 1000

Si se incrementa un dólar en el precio (301) el ingreso aumenta 1000 dólares Precio = 400, entonces I'(300) 4000 10(400) 0

El ingreso es máximo cuando el precio es de 400 dólares Precio = 500, entonces I'(300) 4000 10(500) 1000

Si se incrementa un dólar en el precio (501) el ingreso disminuye en 1000 dólares

2. Cuando una peluquera fija una cuota de $ 4 por corte de cabello, advierte que el número de clientes que atiende en una semana es de 100, en promedio. Al elevar la tarifa a $ 5, el número de clientes por semana baja a 80. Suponiendo una ecuación de demanda lineal entre el precio y el número de clientes, determine la función de ingreso marginal. Encuentre entonces el precio que produce un ingreso marginal igual a cero. Solución

Ingreso = (precio)(cantidad) I(x) (4 x)(100 20x) ; x es el número de incrementos.

Precio: p 4 x p 4 x

Ahora reemplacemos el valor de x en la función ingreso: I(p) p(100 20(p 4)) p(100 20p 80) p(180 20p)

2I(p) 180p 20p

Ingreso Marginal:

I'(p) 180 40p 18

180 40p 0 180 40p p 4,54

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3. El editor de una revista descubre que si fija un precio de $1 a su revista, vende un total de 20 000

ejemplares al mes; sin embargo, si el precio fijado es de $1.50, sus ventas solo serán por 15 000 ejemplares. El costo de producir cada ejemplar es de $0.80 y tiene costos fijos de 10 000 al mes. Suponiendo una ecuación de demanda lineal, calcule su función de utilidad marginal y determine el precio de la revista que haga la utilidad marginal igual cero. Evaluar la utilidad marginal cuando el precio es: $1.80 b. $ 1.90 c. $ 2 Solución Si fija un precio de $1 a su revista, vende un total de 20 000 ejemplares al mes; sin embargo, si el

precio fijado es de $1.50 sus ventas solo serán por 15 000 ejemplares. Esto significa que si aumenta 0.50 dólares las ventas bajan en 5000 ejemplares. Entonces la función ingreso es:

Ingreso = (precio)(cantidad) I(x) (1 0,5x)(20 000 5000x) ; x es el número de incrementos.

Precio: x x

p 1 p 1 x 2p 22 2

Ahora reemplacemos el valor de x en la función ingreso: I(p) p(20 000 5000(2p 2)) p(30 000 10000p)

2I(p) 30 000p 10 000p

Costo total = (costo unitario)(Cantidad) + costo fijo

C(p) 0.80(30 000 10000p) 10 000 24 000 8000p 10 000 34 000 8000p

Utilidad = Ingreso Total – Costo total:

2 2U(p) 30 000p 10 000p (34 000 8000p) 10 000p 38 000p 34 000

Utilidad marginal:

2U'(p) ( 10 000p 38 000p 34 000)' 20 000p 38 000

0 20 000p 38 000 p 1,9 . Precio que maximiza la utilidad

I'(1,8) 20 000(1,8) 38 000 2000

I'(1,9) 20 000(1,9) 38 000 0

I'(2) 20 000(2) 38 000 2000

Gráfica de la función utilidad.

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4. Una empresa determina que llegaría a vender 1000 unidades de un artículo por mes si el precio es de 500 dólares por unidad. También considera que por cada dólar de reducción en el precio unitario, puede vender 10 unidades más. Determinar la función ingreso en función del precio de venta y determinar el ingreso marginal. Solución

Ingreso = (precio)(cantidad) I(x) (500 x)(1000 10x) ; x es el número de reducciones.

Precio: p 500 x x 500 p

Ahora reemplacemos el valor de x en la función ingreso:

2I(p) p(1000 10(500 p)) p(1000 5000 10p) 6000p 10p

Ingreso marginal

2I'(p) (6000p 10p )' 6000 20p

5. Un fabricante de bicicletas de montaña determinó que cuando se produce 20 bicicletas por día, el

costo promedio es de 150 dólares y el costo marginal de 15 dólares. Determine el costo total de producir 21 bicicletas por día.

Solución

Costo promedio = costo total / cantidad

CT(20)

150 CT(20) 300020

Costo marginal = derivada del costo total

15 (CT(20))'

Recordar que el costo marginal es la variación que tiene el costo cuando se produce una unidad más. Es decir:

CT(20) CT(21)15

20 21

Entonces:

CT(21) CT(20)15 15 CT(21) CT(20) 15 CT(21) 3000

20 21

Por lo tanto, el costo de producir 21 bicicletas es:

CT(21) 3015

6. El precio de un producto en un mercado competitivo es de $ 300. Si el costo unitario por producir la

mercancía es 160 + x, donde x es el número de unidades producidas al mes. Encuentre la función de utilidad marginal. Solución Ingreso: I(x)=300x Costo total: CT(x)=(160+x)x=160x + x2

Utilidad: U(x)= 300x-(160x+x2) = –x2 +140x

Utilidad marginal: 2U'(x) ( x 140x) 2x 140

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7. Una empresa de bienes raíces posee 100 departamentos. Cada departamento puede rentarse a $400 por mes. Sin embargo por cada $10 mensuales de incremento habrá 2 departamentos vacíos, sin posibilidad de rentarlo. Determine la función ingreso en función del precio de venta. Determine el ingreso marginal cuando el precio es de 450 e interprete el resultado. Solución

Ingreso = (precio)(cantidad) I(x) (400 10x)(100 2x) ; x es el número de aumentos.

Precio:

p 400

p 400 10x x10

Ahora reemplacemos el valor de x en la función ingreso:

p 400 p 400 p 400 pI(p) p 100 2 p 100 p 100 p 100 80

10 5 5 5 5

2p pI(p) p 180 180p

5 5

Ingreso marginal

'2p 2pI'(p) 180p 180

5 5

2(450)

I'(450) 180 180 180 05

Esto significa que el ingreso es máximo cuando el precio es de 450 dólares