análisis estructural por el método de rigidez en 2d
TRANSCRIPT
-
8/18/2019 Análisis Estructural Por El Método de Rigidez en 2D
1/39
ANALISIS ESTRUCTURAL 2 PAG. 1
Análisis Estructural por el método de Rigidez en 2D .
2.0 MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO ESTRUCTURAL Una estructura en el plano puede subdividirse en elementos estructurales es decir, podemos desensamblarla y
ais la rla y por equil ibrio estático podemos decir: si una estructura se encuentra en equil ibri o entonces cual quier
parte de ella también lo está. El método de rigidez está basado en este principio básico, por lo tanto, un sistema
estructural es el resultado de un proceso de ensamble de todos sus elementos estructurales y sus cargas
correspondientes, cuyos desplazamientos de todos los elementos con nudos conectados son compatibles. La
matriz de rigidez de un miembro estructural no varía y es constante sol o si la estructura tiene un co mportamiento
elástico. En base a cada matriz de rigidez de los elementos (miembros) estructurales en si stemas de coordenadas
globales permite ensamblar las ecuaciones equilibrio de nudo de la estructura total y del mismo modo se
ensambla la matriz de cargas equival entes de extremo fijo y las cargas nodal es todos en base a equil ibri o estático.
Para ell o se encuentran las matrices de rigidez en coordenadas loca les del mismo las cargas las mimas que luego se
transforman a un sistema de coordenadas globales .
2.1 FUERZAS INTERNAS DE EXTREMO EN UNA ESTRUCTURAUna estructura cualquiera puede ser dividida en sub-estructuras mínimas, a las cuales denominaremos miembros
estructurales. Por otro lado una estructura reticular puede estar compuesta por diversos tipos de miembros
estructurales como son: vigas, columnas, muros de cortante, armaduras, con diversas condici ones de extremo, etc.
Estos miembros estructurales están sometidos a fuerzas internas (esfuerzos) y solo nos interesan para este método
los esfuerzos o fuerzas internas en sus extremos. Estos esfuerzos en sus extremos son desconocidos, sin embargoestos esfuerzos se pueden expresar en función a: las matrices de rigideces y de los desplazamientos que se
producen en l os nudos o juntas de la estructura de acuerdo a los Grados de Libertad (GDL).
Cualquier estructura por el método de rigideces se puede resolver sin limitaciones para ello lo importante es
discretizar en forma adecuada la estructura en elemento estructurales. Asimismo la respuesta de la estructura
ante cargas estáticas depende de la rigidez de sus elementos estructurales, los cuales tienen dos nudos en sus
extremos por l o tanto tenemos 3 esfuerzos por nudo y seis por cada elemento estructura l que son incógnitas por
determinar. Para resolver el problema se requieren ecuaci ones de equil ibr io y se pueden obtener tres ecuaciones
de equilibrio por nudo, cuyas direcciones son dos desplazamientos lineales y un giro. Del mismo modo que las
direcciones consideradas de las fuerzas en los nudos se deben los desplazamientos s egún los Grados De li bertad y
para un mismo nudo con diversos miembros estructurales que llegan a un mismo nudo rígido, entonces de dichos
desplazamientos son compatibl es. Gracias a este concepto el tamaño de i ncógnitas se logra reducir a l mínimo. Portanto es más oportuno expresar los esfuerzos en función de sus desplazamientos y sus matrices de rigideces
correspondientes. Lo que nos permite reducir el número de incógnitas en lugar de considerar a los esfuerzos de
extremo como incógnitas se expresan a estos en función de los desplazamientos que resulta un número de
incógnitas de esfuerzos.
Para resolver problemas por este método se va desarrollar un procedimiento para obtener las matrices de
rigideces para cada miembro estructural según diversa condiciones de borde, en principio se hallan dichas
matrices en coordenadas l ocal es y se encuentran sus matrices de transformaci ón de coordenadas para expresar las
matrices de rigideces, cargas y desplazamientos en un sistema de coordenadas globales, esto es importante para
poder hacer la integración de toda la estructura llamada más comúnmente ensamblaje. Como se indicó
anteriormente sabemos que los desplazamientos en todos los nudos rígidos son compatibles para todos los
elementos que convergen en un mis mo nudo. El Ensamble de la estructura s e reali za en coordenadas globales
miembro por miembro incluyendo los nudos encontramos la ecuación matricial de equilibrio y cuya matriz de
rigidez de nudo de toda la estructura se extrae de los coeficientes del vector de desplazamientos y la matriz de
-
8/18/2019 Análisis Estructural Por El Método de Rigidez en 2D
2/39
ANALISIS ESTRUCTURAL 2 PAG. 2
cargas de extremo fijo y las cargas nodales se ensamblan rápi damente ya que las cargas son datos de entrada. En
base a estas matrices se establece la ecuació n de equili brio total de la estructura y se ensambla por equil ibrio de
nudos, para posteriormente resolver el sistema de ecuaciones cuyas incógnitas son los desplazamientos, una vez
conocidos podemos encontrar para ca da miembro estructural l os esfuerzos de extremo (ver Figs . 1 y 2).
Fig. 1 Estructura ensamblada (completa) y codificada según sus miembros estructurales.
Fig. 2 Estructura desensamblada del pórtico de la fig. 1.
2.2 FUERZAS RESTAURADORAS DE ELEMENTOS ESTRUCTURALES
Estas fuerzas restauradoras o elásticas de un elemento estructural son dependientes de la rigidez y de losdesplazamientos elemento estructural del material, la geometría y las característ icas geométricas de la seccióntransversal de dichos elementos estructurales se originan debido a desplazamientos en sus extremos, es decir, losdesplazamientos (DxJ, DyJ, DJ), que se producen en los nudos inducen fuerzas restauradoras que dependen del
material y la geometría de los miembros estructurales. Se consideran tres grados de libertad por nudo, puesto quecualquier miembro es tructural I ésimo tiene dos nudos extremos : J y K, por lo tanto se tienen seis grados de libertad
por miembro, ya que existen casos en que varios miembros estructurales tienen nudos comunes , es decir, losdesplazamientos son compatibles en esto casos se simplifican variables por esta razón. Las fuerzas elásticas orestauradoras en un miembro est ructural se infieren debido a los desplazamientos que s ufren sus extremos . Dichasfuerzas dependen de la rigidez y de los desplazamientos y éstas se calculan aplicando el principio de lasuperposición. Las fuerzas restauradoras de extremo se pueden calcular para cada grado de libertad, aplicandodesplazamientos exclusivos para cada grado de libertad, tal como se ilustra en la fig. 3 y posteriormente se calcula elefecto (o fuerzas) que producen en la dirección de los grados de libertad considerados . Y finalmente el efecto to tal
se calcula por la superpos ición de los seis desplazamientos.
-
8/18/2019 Análisis Estructural Por El Método de Rigidez en 2D
3/39
ANALISIS ESTRUCTURAL 2 PAG. 3
Fig. 3 Desplazamientos sucesivos para los seis grados de libertad de un miembro estructural en coordenadas
locales.
En un miembro estructural cualquiera se inducen fuerzas internas en sus nudos extremos debido a losdesplazamientos en dichos nudos . Estos esfuerzos en los extremos se denominan vector de fuerzas restauradoras oelásticas de un miembro estructural con nudos rígidos, cuya estructura matemáticas:
f xj
f yj
f j
f xk
f yk
f k
AE
L
0
0
AE
L
0
0
0
12 EI
L3
6 EI
L2
0
12 EI
L3
6 EI
L2
0
6 EI
L2
4 EI
L
0
6 EI
L3
2 EI
L
AE
L
0
0
AE
L
0
0
0
12 EI
L3
6 EI
L3
0
12 EI
L3
6 EI
L3
0
6 EI
L2
2 EI
L
0
6 EI
L3
4 EI
L2
dxj
dyj
d j
dxk
dyk
dk
Esta relación matricial puede particionarse en sub-matrices, según sus nudos extremos: J y K. Donde lossímbolos y nomenclatura usada esta con letra minúscula indica que el s istema de coordenadas es local y si el sistemade coordenadas es global el texto esta expresado con letra mayúscula. Superpuesto sobre los vectores de:desplazamientos, fuerzas elásticas y la matriz de rigidez, nos indica que están en un sistema de coordenadas es
locales. Y el primer sub-índice de las fuerzas o desplazamientos representa la dirección, que puede ser: "x", "y", " ".Y el segundo sub -índice se refiere al código del nudo. El vector de fuerzas restauradoras expresado en sub -matriceses:
(2)
Donde:{If J}, {If K } = fuerzas internas en los extremos de las barras nudas: J o K en coordenadas locales.
{IdJ}, {IdK } = desplazamientos en los nudos J o K en coordenadas locales.
[I b ] = sub-matriz de 3x3 de rigidez del miembro I-ésimo en coordenadas locales.
-
8/18/2019 Análisis Estructural Por El Método de Rigidez en 2D
4/39
ANALISIS ESTRUCTURAL 2 PAG. 4
La ecuación (2) en forma compacta, puede escribirse así:
{If} = [Ik] {Id} (3)
Donde:{If} = vector de fuerzas elásticas en coordenadas locales del miembro i.
{Id} = vector de desplazamientos en coordenadas locales del miembro i.[Ik] = matriz de rigidez en coordenadas locales del miembro i.
Fig. 4 Codificación de fuerzas y desplazamientos en coordenadas locales de un miembro estructural I-ésimo.
La matriz de rigidez de un miembro estructural I-ésimo en coordenadas locales expresada en sub-matricesen función de los nudos conectivos J y K, es:
[I bJJ] [I bJK ]
[Ik] = --------- ---------- (4)
[I bKJ] [I bKK ]
2.3 MATRICES DE RIGIDEZ EN COORDENADAS LOCALES
La matriz de rigidez de un miembro en coordenadas locales, se obtiene, del coeficiente del vector dedesplazamientos , al producir desplazamientos unitarios para cada grado de libertad, tal como se ilustra en la fig. 2.Para pórticos planos en el caso más general se consideran tres grados de libertad por nudo, a saber: dosdesplazamientos lineales en la dirección de los ejes x, y; y un desplazamiento angular en la dirección .
-
8/18/2019 Análisis Estructural Por El Método de Rigidez en 2D
5/39
ANALISIS ESTRUCTURAL 2 PAG. 5
2.3.1 Matriz de Rigidez de un miembro estructural, con los nudos extremos J y Krígidos: (Tipo de Miembro: MT=0)
K
AE
L
0
0
AE
L
0
0
0
12EI
L
3
6EI
L2
0
12 EI
L3
6EI
L2
0
6EI
L
2
4EI
L
0
6 EI
L3
2EI
L
AE
L
0
0
AE
L
0
0
0
12 EI
L
3
6 EI
L3
0
12EI
L3
6 EI
L3
0
6EI
L
2
2EI
L
0
6 EI
L3
4EI
L2
Esta matriz se ensambla para cada grado de libertad aplicando el principio de superposición se encuentra elefecto total. Para una mejor ilustración se indican los grados de libertad en el encabezamiento de la matriz de rigidez
(ver Fig. 5).
Fig. 5 Desplazamientos unitarios para cada grado de libertad por separado y el efecto que produce en sus extremos, para un
miembro con los nudos J y K rígidos.
2.3.2 Matriz de Rigidez para un miembro con articulación en el nudo J y rígido en elnudo K. La matriz de rigidez se obtiene por el principio de superposición cuya estructuramatemática se muestra a continuación (Ver Fig. 6): (MT=1)
d
AE
L
0
0
AE
L
0
0
0
3 EI
L3
0
0
3 EI
L3
3
EI
L2
0
0
0
0
0
0
AE
L
0
0
AE
L
0
0
0
3 EI
L3
0
0
3 EI
L3
3 EI
L2
0
3 EI
L2
0
0
3 EI
L2
3
EI
L
-
8/18/2019 Análisis Estructural Por El Método de Rigidez en 2D
6/39
ANALISIS ESTRUCTURAL 2 PAG. 6
Fig. 6 Desplazamientos unitarios para cada grado de libertad y el efecto que producen sus los extremos, para un miembro
con el nudo J articulado y el nudo K rígido.
2.3.3 Matriz de Rigidez para un miembro estructural, con el nudo J rígido y conarticulación el nudo K articulado (Ver Fig. 7), (MT=2)
K
AE
L
0
0
AE
L
0
0
0
3EI
L3
3
EI
L2
0
3 EI
L3
0
0
3EI
L2
3
EI
L
0
3EI
L2
0
AE
L
0
0
AE
L
0
0
0
3 EI
L3
3 EI
L2
0
3EI
L3
0
0
0
0
0
0
0
Fig. 7 Desplazamientos unitarios para cada grado de libertad por separado y el efecto que produce en los extremos, para un
miembro con el nudo J rígido y con articulación en el nudo K.
-
8/18/2019 Análisis Estructural Por El Método de Rigidez en 2D
7/39
ANALISIS ESTRUCTURAL 2 PAG. 7
2.3.4 Matriz de Rigidez de un miembro tipo armadura, (articulado en los nudos: J y K) aplicando elprincipio de superposición se obtiene la matriz de rig idez de miembro. Alternativamente también puede
obteners e haciendo EI=0, a la matriz de la ecuación (5), (MT=3):
K
AE
L
0
0
AE
L
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
AE
L
0
0
AE
L
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Fig. 8 Desplazamientos unitarios en un miembro tipo armadura y el efecto que produce con los nudos: J y K articulados.
-
8/18/2019 Análisis Estructural Por El Método de Rigidez en 2D
8/39
ANALISIS ESTRUCTURAL 2 PAG. 8
2.3.5 Matriz de Rigidez considerando la deformación por esfuerzo cortante.- esto es, para miembros tipo: muros de cortante. Esta matriz es usada para pórticos que incluyen muros de cortante (Shear -Wall); y también viga de corte su estructura matemática en coordenadas locales, es: (Ver Fig. 9, siendo el número decódigo MT=4)).
L
Fig. 9 Miembro estructural considerando la deformación por esfuerzos: axial, flexión y corte, (viga de Timoshenko).
K
s1
0
0
s1
0
0
0
s2
s3
0
s2
s3
0
s3
s5
0
s3
s4
s1
0
0
s1
0
0
0
s2
s3
0
s2
s3
0
s3
s4
0
s3
s5
Cuyos parámetros son:
Donde:E = Módulo de elasticidad del material.G = E/(2(1+v) (Módulo de rigidez).v = Relación de Poisson (v=1/6 para el concreto y 0.3 para el acero).
F f
= Factor de forma por corte que depende de la sección transversal.
Arw = Área Reducida por deformación por corte.
=
3 =
6
(1+) =
12
(1+)3
=(2−)
(1+) 5 =
(4+ )
(1+)
=12
=
-
8/18/2019 Análisis Estructural Por El Método de Rigidez en 2D
9/39
ANALISIS ESTRUCTURAL 2 PAG. 9
2.3.6 Matriz de Rigidez con zonas rígidas considerando la deformación por
esfuerzos: cortante, axial y flexión (este caso se presenta en los pórticos con muros de cortante y/o en vigas decorte, ver Fig. 9) Código: Member Type: MT=5
bLaL cL
Fig. 10 Miembro estructural que contempla a un elemento con extremos rígidos y zonas flexibles.
Tf
1
0
0
0
00
0
1
d L
0
00
0
0
1
0
00
0
0
0
1
00
0
0
0
0
1 b L
0
0
0
0
01
d
Td
1
0
0
0
00
0
1
0
0
00
0
d L
1
0
00
0
0
0
1
00
0
0
0
0
10
0
0
0
0
b L1
d
KLw 1
1
A E
c L
0
0
A E
c L
0
0
0
12 E I
c L( )3
6 E I
E I c L( )2
0
12 E I
E I c L( )3
6 E I
E I c L( )2
0
6 E I
E I c L( )2
4 ( ) E I
E I c L
0
6 E I
E I c L( )2
2
E I c L
A E
c L
0
0
A E
c L
0
0
0
12 E I
E I c L( )3
6 E I
E I c L( )2
0
12 E I
E I c L( )3
6 E I
E I c L( )2
0
6 E I
E I c L( )2
2
E I c L
0
6 E I
E I c L( )2
4 ( ) E I
E I c L
Tf KLw
A E
L c 1( )
0
0
A E
L c 1( )
0
0
0
12 E I
L3
c3
1( )
6
L2
c2
1( )
12 E I d
L2
c3
1( )
0
12
L3
c3
1( )
6 12 b
0
6
L2
c2
1( )
6 d
L c2
1( )
4
L c 1( )
0
6
L2
c2
1( )
6 b 2
A E
L c 1( )
0
0
A E
L c 1( )
0
0
0
12
L3
c3
1( )
6
L2
c2
1( )
12 d
L2
c3
1( )
0
12
L3
c3
1( )
6
12 b
0
6
L2
c2
1( )
6 d
L c2
1( )
2
E I L c 1( )
0
6
L2
c2
1( )
6 b 4
-
8/18/2019 Análisis Estructural Por El Método de Rigidez en 2D
10/39
ANALISIS ESTRUCTURAL 2 PAG. 10
3. CARGAS EQUIVALENTES DE EXTREMO FIJO
3.1 ESFUERZOS DE EXTREMO, CARGAS EQUIVALENTES DE EXTREMO YCARGAS NODALES
Todas las estructuras están conformadas por elementos o miembros o barras estructurales que en un casogeneral pueden estar sometidas a cargas aplicadas en los nudos (denominadas carga nodal), y cargas que actúansobre los miembros denominados por el método de rigidez cargas equivalentes de extremo o de empotramiento
perfecto.
El método de la rigidez se basa en una formulación generalizada de la matriz de rigidez de miembro encoordenadas globales para los desplazamientos en los nudos y en la dirección que sea posible describir sudeformación y ello se demuestra con el procedimiento de flexibilidades o por el método de energía de deformaciónque nos sirve para cualquier tipo de cargas. Por ello este método trabaja con los desplazamientos que sufren losnudos y que son consideradas como incógnitas llamados grados de libertad (GDL). Puesto que debemos establecerel equilibrio en los nudos de la estructura, por ello las cargas que actúan sobre el miembro 2 de la Fig. 11 por
ejemplo deben transformarse a cargas equivalentes de extremo.
Fig. 11 Cargas en un nudo sobre un miembro de una estructura.
Las fuerzas internas de extremo de los miembros en coordenadas locales {If}se calculan en base a su matriz
de rigidez [Ik] por el desplazamiento de los nudos extremos {Id} y agregando las cargas equivalentes de extremo
fijo todos en coordenadas locales {If F}, se calculan en base a las cargas en coordenadas locales. Por tanto el vector
de fuerzas de extremo está dado por: (Ver Fig.12).
{If} = [Ik] {Id} + {If F} (11)
-
8/18/2019 Análisis Estructural Por El Método de Rigidez en 2D
11/39
ANALISIS ESTRUCTURAL 2 PAG. 11
X m
K
J
X
Y m
Y
Fig. 12 Cargas equivalentes de extremo fijo en un sistema de coordenadas locales.
Donde:
{If F} = Vector de cargas equivalentes de extremo fijo en coordenadas locales del miembro I-ésimo.
X m
K
J
X
Y m
Y
Fig. 13 Fuerzas de extremo y desplazamientos de un miembro en un sistema de coordenadas locales.
-
8/18/2019 Análisis Estructural Por El Método de Rigidez en 2D
12/39
ANALISIS ESTRUCTURAL 2 PAG. 12
4. TRANSFORMACION DE COORDENADAS de FUERZAS Y DESPLAZAMIENTOS
Un miembro estructural puede estar orientado en cualquier dirección. Se sabe también que los vectores defuerzas y desplazamientos tienen los mismos cosenos directores. Por tanto basta con calcular los cosenos directoresdel miembro geométricamente y mediante una transformación de coordenadas por rotación de dichas coordenadas
locales obtenemos sus componentes en un s istema de coordenadas globales. (Ver Fig. 14).
x m f x k f
y k
. C o s
f x k
. S e n
f k
k
fxk.Cos fyk.Sen
f x j
fx j .Cos
j
f y j . C o s
f x j . S e n
X f i
f y k
Y
y m
fyj.Sen
f y j
X J X K
Y J
Y K
Fig. 14a Transformación de fuerzas de extremo de un sistema de coordenadas de locales a globales.
de la Fig. 14a en base a las coordenadas calculamos la longitud del miembro I-ésimo, por Pitágoras:
L
I
= (xK - xJ)2 + (yK - yJ)2 (12)
y sus cos enos directores:cx = cos I = (xK - xJ)/ LI (13)
cy = sen I = (yK - yJ)/ LI (14)
4.1 Transformación de coordenadas del vector de fuerzas de un nudo cualquiera.- De la Fig. 14 paraun nudo cualquiera se obtienen las relaciones de transformación de coordenadas de fuerzas en coordenadas locales aglobales de una barra (mediante el álgebra vectorial de es tática se logra es ta transformación):
Minúscula -> localMayúscula-> global
Fx = f xcx - f ycy + 0
Fy = f xcy + f ycx + 0 (15)F = 0 + 0 + f
Escribiendo es tas ecuaciones en forma matricial, tenemos:
Fx cx -cy 0 f x Fy = cy cx 0 f y (16)F 0 0 1 f
y en forma compacta la fuerza en un nudo se expresa con la submatriz de 3x3:
{F} = [A]T {f} (17)
-
8/18/2019 Análisis Estructural Por El Método de Rigidez en 2D
13/39
ANALISIS ESTRUCTURAL 2 PAG. 13
4.2 Transformación de coordenadas del vector de fuerzas de un miembro I-ésimo,
que tiene los nudos conectivos: J y K, este vector se forma completando un arreglo matricial quedando la siguienteexpresión:
{IF
J} [
IA]T {
If J} + [0] {
If K
}
------- = -------------------- ------- ----- (18)
{IFK } [0] {If J} + [IA]T {If K }
Factorizando los vectores de fuerzas locales de los nudos J y K, se obtiene:
{IFJ} [IA]T [0] {If J}
= (19)
{IFK } [0] [IA]T {If K }
Expresando en forma compacta:
{IF} = [IR]T {If J} (20)
en donde la matriz [IR], representa a la matriz de transformación de coordenadas, cuya matriz tiene la
propiedad de ser una matriz ortogonal, esto sucede cuando su determinante es igual a la unidad y tambiéncuando la inversa de dicha matriz es igual a su transpues ta, es decir:
[IR]T = [IR]
-1 (21)
de ello, podemos encontrar la siguiente transformación coordenadas globales a locales :
{If} = [IR] {IF} (22)
Donde:
cx cy 0 0 0 0-cy cx 0 0 0 0
[IR] = 0 0 1 0 0 0 (23)
0 0 0 cx cy 00 0 0 -cy cx 00 0 0 0 0 1
-
8/18/2019 Análisis Estructural Por El Método de Rigidez en 2D
14/39
ANALISIS ESTRUCTURAL 2 PAG. 14
k
j
X
Y
y m
X J X K
Y J
Y K
x m
F k
F y K
F y J
F xK
F xJ
F J
D y K
D xK D
D y J
D xJ D
Fig. 14b Fuerzas de extremo y desplazamientos de nudo no dependen del miembro en un sistema de coordenadas globales.
4.3 Transformación de coordenadas del vector de desplazamientos
para un miembro I-ésimo, análogamente al procedimiento descrito en la sección 4.1.2, se obtiene:
{ID} = [IR]T {Id} (24)
Despejando tenemos:
{Id} = [IR] {ID} (25)
4.4 Transformación de coordenadas locales del vector de fuerzas de empotramiento perf ecto
a un sistema de coordenadas globales de un miembro I-ésimo:
{IFF} = [IR]T {If F} (26)
Donde:{If F} = Vector de cargas equivalentes de extremo fijo en coordenadas locales .{IFF} = Vector de cargas equivalentes de extremo fijo en coordenadas globales.
4.5 Transformación del sistema de coordenadas locales del vector de fuerzas elásticas del miembro I-ésimo a
coordenadas globales. Sabemos que el vector de fuerzas restauradoras en coordenadas locales se encuentra con laexpres ión matricial (ecs -1 y 4):
{If} = [Ik] {Id} (4)
Reemplazando el vector de fuerzas restauradoras a un sistema de coordenadas globales, se tiene
{IF} = [IR]T {If} = [IR]T [Ik] {Id} (27)
transformando el vector de desplazamientos a un sistema de coordenadas g lobales, la ecuación (27)anterior, queda:
{IF} = [IR]T [Ik] {Id} = [IR]T [Ik] [IR] {ID} (28)
-
8/18/2019 Análisis Estructural Por El Método de Rigidez en 2D
15/39
ANALISIS ESTRUCTURAL 2 PAG. 15
de donde la matriz coeficiente del vector {ID} es la matriz de rigidez del miembro I-ésimo en coordenadasglobales, esto es:
[IK] = [IR]T [Ik] [IR] (29)
4.6 Transformación de coordenadas del vector de fuerzas de extremo de un miembro I en coordenadas locales a un sistema de coordenadas globales, la (ec-11) se encuentra con la siguiente expresión:
{If} = [Ik] {Id} + [If F] (11)
transformando el sistema de coordenadas de este vector de fuerzas a un s istema de coordenadas globales,reemplazando en la ec-11 en la ec-20 se tiene:
{IF} = [IR]T [Ik] {Id} + {If F} (30)
efectuando el producto matricial, obtenemos:
{IF} = [IR]T [Ik] {Id} + [IR]T {If F} (31)
Reemplazando por: {Id} = [IR] [ID] en la ecuación anterior, haciendo un arreglo, se tiene:
{IF} = ( [IR] T [Ik] [IR] ) {ID} + [IR]T {If F} (32)
en donde la matriz coeficiente del vector de desplazamiento {ID} representa a la matriz de rigidez de unmiembro en coordenadas globales, esto es:
[IK] = [IR]T [Ik] [IR] (29)
y el vector de cargas de extremo equivalente en coordenadas globales es:
[IFF] = [IR]T [If F]
de ello la ecuación (32) puede ser expresada así:
{IF} = [IK] {ID} + [IFF] (32)
-
8/18/2019 Análisis Estructural Por El Método de Rigidez en 2D
16/39
ANALISIS ESTRUCTURAL 2 PAG. 16
4.7 Aplicación de la transformación.
Ejemplo 1. Encontrar la matriz de rigidez de una columna para un sistema de coordenadas globales,sabemos que la dirección de una columna es = 90°; y la matriz de rigidez en coordenadas globales se encuentracon la transformación:
[IK] = [IR]T [Ik] [IR]
Y la matriz de rigidez de un miembro estructural en coordenadas locales puede expresarse, as í:
a1 0 0 -a1 0 00 a2 a3 0 -a2 a3
[IR] = 0 a3 2a4 0 -a3 a4
-a1 0 0 a1 0 00 -a2 -a3 0 a2 -a3
0 a3 a4 0 -a3 2a4 donde:
a1 = AE/L, a2 = 12EI/L3 a3 = 6EI/L2 a4 = 2EI/L
Y la matriz de transformación dada en la ecuación (23), para: =90° tenemos que, cx=0, cy=1, será,reemplazando, se obtiene:
0 1 0 0 0 0-1 0 0 0 0 0
[IR] = 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 00 0 0 -1 0 0
0 0 0 0 0 1
Efectuando el triple producto matricial, obtenemos la matriz de rigidez de miembro en coordenadas globales:
a2 0 -a3 -a2 0 -a3 0 a1 0 0 -a1 0
[IK] = [IR]T [IK] [IR] = -a3 0 2a4 a3 0 a4 -a2 0 a3 a2 0 a3 0 -a1 0 0 a1 0-a3 0 a4 a3 0 2a4
-
8/18/2019 Análisis Estructural Por El Método de Rigidez en 2D
17/39
ANALISIS ESTRUCTURAL 2 PAG. 17
5. EQUILIBRIO DE LA ESTRUCTURA
5.1 ECUACIONES DE EQUILIBRIO DE NUDOS DE LA ESTRUCTURA
Una estructura plana de “NJ” nudos que está en equilibrio estát ico, tiene tres ecuaciones de equilibrio pornudo, por lo tanto tenemos: 3 NJ ecuaciones de equilibrio de la estructura. Y en cada miembro estructural actúanseis fuerzas, tres por cada nudo. La magnitud de dichas fuerzas depende de las rigideces de los miembrosestructurales, de las cargas en los nudos y de las cargas equivalentes de extremo fijo. En consecuencia, pues to quela estructura está en equilibrio, la suma de las fuerzas en un nudo debe ser igual a cero.
Con estas ecuaciones de nudo se ensambla la matriz de rigidez del nudo total y los coeficientes en sub-matrices del vector de desplazamientos s e suman.
Sea S un nudo S-ésimo cualquiera, al ser aislado de la estructura dicho nudo también debe estar enequilibrio, es decir, la resultante de la sumatoria de las fuerzas totales que llegan a este nudo; transmitidas por losextremos de los miembros en sentido contrario más las cargas nodales debe ser igual a cero.
Fig. 15 Equilibrio de la estructura se da en todos sus nudos.
El vector de fuerzas de extremo de un miembro en coordenadas globales , expresado en sub -matrices, es:
{IFJ} [IBJJ] [IBJK ] {DJ} {IFFJ}------- = ---------------- ------- + ------- (33){IFJ} [IBKJ] [IBKK ] {DK } {IFFK }
Es importante notar que el desplazamiento de los nudos no depende del sub índice I que representa elcódigo de miembro debido a ello se ha obviado este sub índice puesto que puede existir varios miembros con unmismo nudo en común. Luego efectuando el producto matricial en sub-matrices de la ecuación (33) se obtienen losvectores de fuerzas de extremo en los nudos J y K:
{IFJ} = [IBJJ] {DJ} + [IBJK ] {DK } + {IFFJ} (34)
{IFK } = [IBKJ] {DJ} + [IBKK ] {DK } + {IFFK } (35)
Con estos vectores de fuerzas de extremo por nudo s e establecen las ecuaciones de equilibrio de un nudo cualquieraenésimo, es decir: (n = J ó K)
-
8/18/2019 Análisis Estructural Por El Método de Rigidez en 2D
18/39
ANALISIS ESTRUCTURAL 2 PAG. 18
NB NB
- {IFn} + {F Nn} = {0} (36)n=1 n=1
donde:
{F N
n} = Vector fuerzas del nudo enés imo (3x1).{IFJ}, {IFK } = Vectores de fuerzas de extremos de los nudos : J y K, del miembro I-ésimo. (3x1) NB = Número de miembros conectivos al nudo enés imo.
Con la ecuación (34), se ensambla la matriz de rigidez de nudo total [K] separando los coeficientes derigidez, cargas y desplazamientos mediante un arreglo matricial, se obtiene la ecuación matricial de equilibrio denudo:
-[K] {D} - {FF} + {F N} = {0} (37)
donde:[K] = matriz de rigidez de total de la estructura.
{D} = vector de desplazamientos en los GDL.{FF} = vector de cargas equivalentes de extremo fijo de toda la estructura.{F N} = vector de fuerzas nodal.
La ecuación matricial de equilibrio de nudo total, puede particionarse en función de los grados de libertad.Ya que los vectores de desp lazamientos en los GDL son desconocidos y sabemos que los desplazamientos de losnudos restringidos son nulos. Por ello, planteamos las ecuaciones de equilibrio en sub-matrices en función de losdesplazamientos s egún los GDL y los grados restringidos, así:
[K UU] [K UR ] {DU} {FFU} {F NU} {0}- ----------------- ------- - ------- + ------- = ----- (38)
[K RU] [K RR ] {DR } {FFR } {F NR } {0}
donde:{DU} = vector de desplazamientos de los nudos libres.{DR } = vector de desplazamientos de los nudos restringidos.{FFU} = vector de fuerzas de empotramientos de los nudo s libres.{FFR } = vector de fuerzas de empotramientos de los nudos restringidos.{F NU} = vector de cargas en los nudos libres.{F NR } = vector de cargas en los nudos restringidos o vector de reacciones.
Los grados restringidos con subíndice “u” son desplazamientos conocidos, es decir, son nulos,reemplazando {DR } = {0} efectuando el producto en s ub matrices:
- [K UU] {DU} - {FFU} + {F NU} = {0} (39)
- [K RU] {DU} - {FFR } + {F NR } = {0} (40)
de la ecuación (39) despejamos el vector de des plazamientos de nudos libres:
{DU} = [K UU]-1 (-{FFU} + {F NU} ) (41)
y el vector de reacciones o de fuerzas restringidas s e encuentra con la ecuación (40):
-
8/18/2019 Análisis Estructural Por El Método de Rigidez en 2D
19/39
-
8/18/2019 Análisis Estructural Por El Método de Rigidez en 2D
20/39
ANALISIS ESTRUCTURAL 2 PAG. 20
9 1 2 con extremos empotrados I A L E 1 010 2 3 con extremos empotrados I A L E 1 0
DATOS DE CARGAS:
Cargas nodales: Nudo 1: Fx = 10Tn
Nudo 4: Fx = 5Tn
Cargas sobre los miembros:
Miembro 7: y = -2.5Tn/m2
Miembro 9: y = -2.5Tn/m2
Miembro 10: y = -2.5Tn/m2
SOLUCION
Encontramos las matrices de rigidez locales [k], de cada miembro con las siguientes fórmulas:
k E
A
L
0
0
A
L
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
A
L
0
0
A
L
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Matriz de rigidez para armaduras Matriz de rigidez para miembros con extremos empotrados
Matriz de rigidez local para los miembros 1, 2,3 y 4: Matriz de rigidez local para el miembro 5:
3200
0
0
3200
0
0
0
10.258
30.773
0
10.258
30.773
0
30.773
123.093
0
30.773
61.547
3200
0
0
3200
0
0
0
10.258
30.773
0
10.258
30.773
0
30.773
61.547
0
30.773
123.093
Matriz de rigidez local para los miembros 6 y 8: Matriz de rigidez local para los miembros 7, 9 y 10:
6400
0
0
6400
0
0
0
82.062
123.093
0
82.062
123.093
0
123.093
246.187
0
123.093
123.093
6400
0
0
6400
0
0
0
82.062
123.093
0
82.062
123.093
0
123.093
123.093
0
123.093
246.187
k = k =
k E
A
L
0
0
A
L
0
0
0
12I
L3
6I
L2
0
12 I
L3
6I
L2
0
6I
L2
4I
L
0
6 I
L2
2I
L
A
L
0
0
A
L
0
0
0
12 I
L3
6 I
L2
0
12I
L3
6 I
L2
0
6I
L2
2I
L
0
6 I
L2
4I
L
-
8/18/2019 Análisis Estructural Por El Método de Rigidez en 2D
21/39
ANALISIS ESTRUCTURAL 2 PAG. 21
Encontramos las matrices t ransformación de coordenadas [R], para cada miembro con la siguiente fórmula:
IR
Cx
Cy
0
0
0
0
Cy
Cx
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
Cx
Cy
0
0
0
0
Cy
Cx
0
0
0
0
0
0
1
IR
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
IR
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
IR
0.7071
0.7071
0
0
0
0
0.7071
0.7071
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0.7071
0.7071
0
0
0
0
0.7071
0.7071
0
0
0
0
0
0
1
En base a estos datos podemos encontrar las matrices de rigidez de los miembros en coordenadas locales, paraluego encontrar en la matriz de rigidez del elemento en coordenadas globales; con la s iguiente fórmula:
[IK] = [IR] T [Ik] [IR]
matriz de rigidez global de uno de los elementos.
MIEMBROS 1, 2, 3 y 4: [K] = [1,2,3,4R] T [1,2,3,4k] [1,2,3,4R]
[RT] [k] [R]
4525.483
0
0
4525.483
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
4525.483
0
0
4525.483
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
6400
0
0
6400
0
0
0
82.044
123.067
0
82.044
123.067
0
123.067
246.133
0
123.067
123.067
6400
0
0
6400
0
0
0
82.044
123.067
0
82.044
123.067
0
123.067
123.067
0
123.067
246.133
Matriz de transformaciónde coordenadas para
miembros horizontales(7, 9, 10)
Matriz de transformaciónde coordenadas paramiembros verticales
(1, 2, 3, 4, 5)
Matriz de transformaciónde coordenadas paramiembros inclinados
(6, 8)
k =k =
Donde:Cx, Cy: son los cosenos directores
L XK XJ 2
YK YJ 2
Cx
XK XJ
L Cy
YK YJ
L
-
8/18/2019 Análisis Estructural Por El Método de Rigidez en 2D
22/39
ANALISIS ESTRUCTURAL 2 PAG. 22
En el MathCad se utiliza otra nomenclatura como la que sigue
En el MathCad
MIEMBRO 5: [5K] = [5R] T [5k] [5R]
MIEMBROS: 6 y 8: [6,8K] = [6,8R] T [6,8k] [6,8R]
6400
0
0
6400
0
0
0
82.062
123.093
0
82.062
123.093
0
123.093
246.187
0
123.093
123.093
6400
0
0
6400
0
0
0
82.062
123.093
0
82.062
123.093
0
123.093
123.093
0
123.093
246.187
R 1
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
KL1
6400
0
0
6400
0
0
0
82.062
123.093
0
82.062
123.093
0
123.093
246.187
0
123.093
123.093
6400
0
0
6400
0
0
0
82.062
123.093
0
82.062
123.093
0
123.093
123.093
0
123.093
246.187
R 1
TKL
1R 1
82.062
0
123.093
82.062
0
123.093
0
6400
0
0
6400
0
123.093
0
246.187
123.093
0
123.093
82.062
0
123.093
82.062
0
123.093
0
6400
0
0
6400
0
123.093
0
123.093
123.093
0
246.187
-
8/18/2019 Análisis Estructural Por El Método de Rigidez en 2D
23/39
ANALISIS ESTRUCTURAL 2 PAG. 23
MIEMBROS 7, 9 y 10: [7,9,10K] = [7,9,10R] T [7,9,10k] [7,9,10R]
Ahora procederemos a encontrar las matrices de Cargas Equivalentes de Extremo Fijo para cada miembro:
F
F
F
F
=
F
F
FF
F
F
F
F
F
F
f Y
f
f X f X
f
f Y
If X
If
If
If X
If Y
If
{If }
{If }
I
Donde el sub-índice I denota el código del miembro y los sub-índices J, K denotan los nudos conectivos dedicho miembro (cercano y lejano).
Momentos de empotramiento perfecto: mTn x L
.875.112
35.2
12
. 22
Reacciones de empotramiento perfecto: Tn x L
75.32
35.2
2
.
Para el ejemplo, sólo los miembros 7, 9, y 10 poseen carga distribuida y su matriz de fuerzas de empotramiento perfecto es la s iguiente:
f F
0
3.75
1.875
0
3.75
1.875
X
Y
X
Y
En base a estos resultados podemos encontrar la matriz de fuerzas de empotramiento perfecto de cada miembro encoordenadas globales, con la siguiente expresión:
Para este caso la matriz de fuerzas es la misma para loselementos 7, 9 y 10, al tener similar geometría,dimens iones y misma condición de carga.
-
8/18/2019 Análisis Estructural Por El Método de Rigidez en 2D
24/39
ANALISIS ESTRUCTURAL 2 PAG. 24
[IFF] = [IR] T [If F]
Desarrollando el producto matricial obtenemos:
FF
0
3.75
1.875
0
3.75
1.875
PROCEDIMIENTO DE ENSAMBLE DE LAS MATRICES DE RIGIDEZ, FUERZAS Y
DESPLAZAMIENTO
Ahora procederemos a resolver la s iguiente ecuación en forma matricial.
{IF}= [IK] {ID}+ {IFF}
Donde:[IFF] : Matriz de fuerzas de empotramiento en coordenadas globales.{ID} : Matriz de desplazamientos globales .[IK] : Matriz de rigidez de miembro en coordenadas globales .{IF} : Matriz de fuerzas del miembro en coordenadas globales .
Por simplicidad del problema la ecuación anterior la trabajaremos con sub-matrices, todas las matrices se encuentranen coordenadas g lobales, esta ecuación s e aplica para cada miembro.
{IFJ }
{IFK } [IKKJ] [IKKK]
[IKJJ] [IKJK]
=K
J
J K
{IFK }
{IFJ }+
{IDJ }
{IDK }F
F
Donde el sub-índice I denota el código del miembro y los sub -índices J, K denotan los nudos conectivos de dichomiembro.
1
paso.- Se preparan los casilleros de la matriz de rigidez de NJ x NJ, en este ejemplo la matriz de rigidez es de8x8, la dividimos en sub-matrices de 3x3, para cada nudo:
Donde:[IFF] : Matriz de empotramiento en coordenadas globales[IR] T:: Matriz de transformación de coordenadas[If F] : Matriz de cargas equivalentes de extremo fijo en coord. locales
-
8/18/2019 Análisis Estructural Por El Método de Rigidez en 2D
25/39
ANALISIS ESTRUCTURAL 2 PAG. 25
U R
87654321GRADOS DE LIBERTAD
= +
R
U
8
7
6
5
4
3
2
1
NJxNJ NJx1 NJx1NJx1
Fig. 17 Casilleros para el ensamble de la matriz de rigidez del nudo de la estructura
Donde:U = Grados de libertad libres.R = Grados de libertad restringidos.NJ = Número de nudos.
2
paso.- Cada miembro tiene 4 sub-matrices, correspondientes a sus nudos, estas sub-matrices se colocan en elcasillero correspondiente de la matriz de rigidez del pórtico, Por ejemplo, el miembro I = 1, tiene las conectividadesJ = 6 y K = 4, y está dividida en 4 sub-matrices las cuales s e colocan en los casilleros s egún los sub-índices, como seindica en la siguiente representación de una sub-matriz: Entonces la sub-matriz [1K 66] se ubica en el casillero de lafila 6 y la columna 6, la sub-matriz [1K 64] se ubica en la fila 6 y la columna 4, y así sucesivamente con las otras sub-matrices quedando tal como se muestra en la siguiente figura; el mismo procedimiento se realiza con las sub -matrices de empotramiento, desplazamiento y fuerzas:
8
7
6
5
4
3
2
R
{ F6 }
{ F4 }
U
=
[1K46]
[1K66]
[1K44]
[1K64]
{ D4 }
{ D6 }
{ 1F4 }
{ 1F6 }F
F
+
1
1 32
U
4 65 7
R
8
Fig. 18 Ensamble de la matriz de rigidez total de nudo, proces o de ensamblaje para el miembro I = 1.
Después proseguimos ensamblando con el segundo miembro I = 2, J = 7 y K = 5, de la cual sus 4 sub-matrices se añaden en la matriz de rigidez global y posteriormente proseguimos con el miembro I = 3, J = 4y K = 1, donde la sub-matriz [K 44] se coloca en casillero (4,4) y encontramos que tenemos dos sub-matrices en el mismo casillero, esto significa que los miembros con el código 1 y 3 tienen el mismo nudoconectivo y por lo tanto se superponen sumándose todas las sub-matrices que se colocan en un mismocasillero esto se produce solamente en la diagonal (ver Fig. 19). Así sucesivamente s e va ensamblando lamatriz de rigidez de nudo con los demás miembros has ta completar todos ellos.
-
8/18/2019 Análisis Estructural Por El Método de Rigidez en 2D
26/39
ANALISIS ESTRUCTURAL 2 PAG. 26
{ D7 }
{ D1 }F
{ 3F1 }
F
{ 3F4 }F
{ 2F5 }
F
{ 2F7 }
{ 1F4 }+
{ 1F6 }
{ D4 }
{ D6 }F
F
+
87654321
U R
R
U
8
7
6
5
4
3
2
1
{F6}
{F4}+
=
[2K57][2K55]
[2K75] [2K77]
[3K14]
[3K41]
[3K11]
[1K46]
[1K64] [1K66]
[1K44]+
[3K44]
{F3}
{F7}
{F4}
Fig. 19 Proceso de ensamblaje de las matrices con los miembros 1,2 y 3.
-
8/18/2019 Análisis Estructural Por El Método de Rigidez en 2D
27/39
ANALISIS ESTRUCTURAL 2 PAG. 27
{ F7 }
{ F1 }
{ F4 }
{ F6 }
{ F2 }
{ F3 }
{ F5 }
{ F8 } { D8 }
{ D5 }
{ D3 }
{ D2 }
=
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
{ 5F3 }+
{10F3 }
F
{ 5F8 }
F
{ 4F2 }+ { 9F2 }+
{10F2 }
+
F
F
{ D6 }
{ D4 }
{ 1F6 }
{ 1F4 }+
{ 3F4 }+{ 6F4 }+{ 7F4 }
{ 2F7 }+{ 6F7 }
F
{ 2F5 }+{ 4F5 }+{ 7F5 }+{ 8F5 }
F
{ 3F1 }+
{ 8F1 }+
{ 9F1 }
F
{ D1 }
{ D7 }
[0]
[0]
[0]
[0]
[0]
[0]
[0]
[0]
[0]
[0]
[0]
[0]
[0]
[0][0]
[0]
[0]
[0]
[0]
[0][0]
[0]
[0]
[0]
[0]
[0]
[0]
[0]
[0]
[0]
[0]
[0]
[0]
[0]
[0]
[0] [10K32]
[10K23][9K21]
[9K12]
[8K51]
[8K15]
[7K54]
[7K45] [6K47]
[6K74]
[5K38][5K33] +[10K33]
[5K83] [5K88]
[4K25][4K22] +
[9K22] +[10K22]
[4K52]
[1K44] +[3K44] +
[6K44] +[7K44]
[1K66][1K64]
[1K46]
[3K11] +[8K11] +
[9K11]
1 2 3 4 5 6 7 8
1
2
3
4
5
6
7
8
U
R
U R
[3K41]
[3K14]
[2K77] +[6K77]
[2K75]
[2K55] +[4K55] +
[7K55] +[8K55]
[2K57]
-
8/18/2019 Análisis Estructural Por El Método de Rigidez en 2D
28/39
ANALISIS ESTRUCTURAL 2 PAG. 28
[2K55] +
[4K55] +
[7K55] +
[8K55]
[3K14]
[3K41]
5
4
3
2
1
54321
[3K11] +
[8K11] +
[9K11]
[1K44] +
[3K44] +
[6K44] +
[7K44]
[4K52]
[4K22] +
[9K22] +
[10K22]
[4K25]
[5K33] +
[10K33]
[7K45]
[7K54]
[8K15]
[8K51]
[9K12]
[9K21] [10K23]
[10K32][0]
[0]
[0]
[0]
[0]
[0]
[0] [0]
{ D1 }
F
{ 3F1 }+
{ 8F1 }+
{ 9F1 }
F
{ 2F5 }+{ 4F5 }+{ 7F5 }+{ 8F5 }
{ 1F4 }+
{ 3F4 }+{ 6F4 }+{ 7F4 }
{ D4 }
F
+
{ 4F2 }+ { 9F2 }+
{10F2 }
F
{ 5F3 }+
{10F3 }
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
=
{ D2 }
{ D3 }
{ D5 }{ F5 }
{ F3 }
{ F2 }
{ F4 }
{ F1 }
MATRIZ DE CARGAS, EN EQUILBRIO CON LA FUERZA ELASTICA Y CARGA EQUIVALENTES DE EXTREMO FIJO DE LA ESTRUCTURA
FF
10
0
0
0
0
0
0
0
0
5
0
0
0
0
0
ECUACIÓN MATRICIAL DE EQUILIBRIO DE LA ESTRUCTURA
Matriz de Cargas Nodales
+
Matriz global de rigidezMatriz de desplazamientos globales Matriz de fuerzas de empotramiento
=
D1
D2
D3
D4
D5
D6
D7
D
8
D9
D10
D11
D12
D13
D14
D15
8744.79
2262.74
123.07
6400
0
0
0
0
0
82.04
0
123.07
2262.74
2262.74
0
2262.74
8744.79
123.07
0
82.04
123.07
0
0
0
0
6400
0
2262.74
2262.74
0
123.07
123.07
492.27
0
123.07
123.07
0
0
0
123.07
0
123.07
0
0
0
6400
0
0
12882.04
0
123.07
6400
0
0
0
0
0
82.04
0
123.07
0
82.04
123.07
0
6564.09
0
0
82.04123.07
0
0
0
0
6400
0
0
123.07
123.07
123.07
0
738.4
0
123.07123.07
0
0
0
123.07
0
123.07
0
0
0
6400
0
0
6410.26
0
30.77
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
82.04
123.07
0
3282.04
123.07
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
123.07
123.07
30.77
123.07369.2
0
0
0
0
0
0
82.04
0
123.07
0
0
0
0
0
0
8826.85
2262.74
0.03
6400
0
0
0
6400
0
0
0
0
0
0
0
2262.74
15144.79
123.07
0
82.04
123.07
123.07
0
123.07
0
0
0
0
0
0
0.03
123.07
738.45
0
123.07
123.07
2262.74
2262.74
0
82.04
0
123.07
0
0
0
6400
0
0
8826.83
2262.74
0
2262.74
2262.74
0
0
6400
0
0
0
0
0
82.04
123.07
2262.74
15144.79
123.07
0
0
0
123.07
0
123.07
0
0
0
0
123.07
123.07
0
123.07
738.4
0
3.75
1.875
0
7.5
0
0
3.75
1.875
0
3.75
1.875
0
3.75
1.875
-
8/18/2019 Análisis Estructural Por El Método de Rigidez en 2D
29/39
ANALISIS ESTRUCTURA L 2 INGENIERIA CIVIL DE LA UNSA
Fidel Copa P. 29
MATRICES COMPLETAMENTE ENSAMBLADAS PARA EL PORTICO
La matriz de rigidez s e divide en función a los nudos libres y restringidos , sabemos que los nudos del 1 al 5son libres y los nudos 6, 7 y 8 están restringidos entonces podemos dividir dicha matriz en la forma siguiente:
Donde:U = Grados de libertad.R = Grados restringidos.
Resolviendo la anterior ecuación matricial hallamos los valores correspondientes a la matriz de desplazamientosen coordenadas globales:
{D} = [K]-1({F}- {FF})
DDT 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 0.02146 0.0036 -0.00703 0.02131 -0.00465 -0.00223 0.02125 -0.00115 0.00522 0.00874 0.00262 -0.00583 0.01021 -0.00339 -0.00067
-
8/18/2019 Análisis Estructural Por El Método de Rigidez en 2D
30/39
ANALISIS ESTRUCTURA L 2 INGENIERIA CIVIL DE LA UNSA
Fidel Copa P. 30
Procedimiento en MATHCAD V4.0
RESTRICCONES EN (X, Y, PARA CADA NUDO
rx 0 0 0 0 0 1 1 1( )T
ry 0 0 0 0 0 1 1 1( )T
r 0 0 0 0 0 1 1 1( )T
MATRIZ DE CARGAS NODALES
FF
1
10
0
0
4
5
0
0
NNC cols FF( ) NNC 2
CARGAS EQUIVALENTES DE EXTREMO FIJO DE MIEMBROS
fe1
0 0 0 0 0 0( )T
fe6
0 0 0 0 0 0( )T
fe2
0 0 0 0 0 0( )T
fe7
0 3.75 1.875 0 3.75 1.875( )T
fe3
0 0 0 0 0 0( )T
fe8
0 0 0 0 0 0( )T
fe4
0 0 0 0 0 0( )T
fe9
0 3.75 1.875 0 3.75 1.875( )T
fe5
0 0 0 0 0 0( )T fe10
0 3.75 1.875 0 3.75 1.875( )T
PROGRAMA MATRIZ DE RIGIDEZ DE MARCO PLANO 3 GDL/NUDO
DATOS DE MIEMBROS
E1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
I1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
TB1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Donde
E=Módulo de Elasticidad I =Mto. de Inercia A=Area TB=tipo de Miembro
NUMERO DE BARRAS N B r ow s A( ) NB 10
COORDENADAS DE LOS NUDOS
X 0 3 6 0 3 0 3 6( )T
Y 6 6 6 3 3 0 0 0( )T
NUMERO DE NUDOS NN r ow s X( ) NN 8
NUDO INICIAL (J) Y NUDO FINAL (K) PARA CADA BARRA
J 6 7 4 5 8 4 4 1 1 2( )T
K 4 5 1 2 3 7 5 5 2 3( )T
-
8/18/2019 Análisis Estructural Por El Método de Rigidez en 2D
31/39
-
8/18/2019 Análisis Estructural Por El Método de Rigidez en 2D
32/39
ANALISIS ESTRUCTURA L 2 INGENIERIA CIVIL DE LA UNSA
Fidel Copa P. 32
CALCULO DE LA MATRIZ N QUE ALMACENA
LOS GRADOS DE LIBERTAD DE CADA NUDO
NN
N j 1
M1 i
j
j j 1
rxi 0if
M1 i
0 otherwise
M2 i
j
j j 1
ryi
0if
M
2 i
0 otherwise
M3 i
j
j j 1
r i 0if
M3 i
0 otherwise
i 1 NNfor
M
N
NGL max N( ) NGL
MATRICES DE TRANSFORMACION DE COORDENADAS PARA CADA MIEMBRO i
L
Mi
XK i
XJi
2
YK i
YJi
2
i 1 NBfor
M
R
Ci
XK i
XJi
L
i
Si
YK i
YJi
L
i
Mi
Ci
Si
0
0
0
0
Si
Ci
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
Ci
Si
0
0
0
0
Si
Ci
0
0
0
0
0
0
1
i 1 NBfor
M
-
8/18/2019 Análisis Estructural Por El Método de Rigidez en 2D
33/39
ANALISIS ESTRUCTURA L 2 INGENIERIA CIVIL DE LA UNSA
Fidel Copa P. 33
MATRIZ DE RIGIDEZ EN COORD. LOCALES PARA CADA TIPO DE MIEMBRO i
i 1 NB
k2i
Ei
Ai
Li
0
0
Ai
Li
0
0
0
3 Ii
Li
3
0
0
3 Ii
L
i
3
0
0
0
0
0
0
0
Ai
Li
0
0
Ai
Li
0
0
0
3 Ii
Li
3
0
0
3 Ii
L
i
3
0
0
3 Ii
Li
2
0
0
3 Ii
L
i
2
0
k1
i E
i
Ai
Li
0
0
Ai
Li
0
0
0
12 Ii
Li
3
6 Ii
Li
2
0
12 Ii
Li 3
6 Ii
Li
2
0
6 Ii
Li
2
4 Ii
Li
0
6 Ii
Li 2
2 Ii
Li
Ai
Li
0
0
Ai
Li
0
0
0
12 Ii
Li
3
6 Ii
Li
2
0
12 Ii
Li 3
6 Ii
Li
2
0
6 Ii
Li
2
2 Ii
Li
0
6 Ii
Li 2
4 Ii
Li
k4i
Ei
Ai
Li
0
0
Ai
Li
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Ai
Li
0
0
Ai
Li
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
k3i
Ei
Ai
Li
0
0
Ai
Li
0
0
0
3 Ii
Li
3
3 Ii
Li
2
0
3 Ii
Li
3
0
0
3 Ii
Li
2
3 Ii
Li
0
3 Ii
Li
2
0
Ai
Li
0
0
Ai
Li
0
0
0
3 Ii
Li
3
3 Ii
Li
2
0
3 Ii
Li
3
0
0
0
0
0
0
0
ASIGNACION DE LA M ATRIZ DE RIGIDEZ EN COORD. LOCALES POR MIEMBRO
KL
Mi
k1i
TBi
1if
Mi
k2i
TBi
2if
Mi
k3i
TBi
3if
Mi
k4i
TBi
4if
i 1 NBfor
M
-
8/18/2019 Análisis Estructural Por El Método de Rigidez en 2D
34/39
ANALISIS ESTRUCTURA L 2 INGENIERIA CIVIL DE LA UNSA
Fidel Copa P. 34
CALCULO DE LAS M ATRICES DE RIGIDECES GLOBALES PARA CADA MIEMBRO
i 1 NB KGEi
R i
TKL
i R
i
EMSAMBLE DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ EN COORDENADAS GLOBALES
KG f 0
Mi j
0
j 1 NGLfor
i 1 NGLfor
aa Nk Ji
bb N j Ji
Maa b b
Maa b b
KGEi
k j aa 0 bb 0if
aa Nk K i
bb N j Ji
Maa b b
Maa b b
KGEi
3 k j aa 0 bb 0if
aa Nk Ji
bb N j K i
Maa b b
Maa b b
KGEi
k 3 j aa 0 bb 0if
aa Nk K i
bb N j K i
Maa b b
Maa b b
KGEi
3 k 3 j aa 0 bb 0if
k 1 3for
j 1 3for
i 1 NBfor
M
-
8/18/2019 Análisis Estructural Por El Método de Rigidez en 2D
35/39
ANALISIS ESTRUCTURA L 2 INGENIERIA CIVIL DE LA UNSA
Fidel Copa P. 35
MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA EN COORDENADAS GLOBALES
KG
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
744.8 262.7 123.1 -6400 0 0 0 0 0 -82 0 123.1 262.7 262.7 0
262.7 744.8 123.1 0 -82 123.1 0 0 0 0 -6400 0 262.7 262.7 0
123.1 123.1 492.3 0 123.1 123.1 0 0 0 123.1 0 123.1 0 0 0
-6400 0 0 12882 0 123.1 -6400 0 0 0 0 0 -82 0 123.1
0 -82 123.1 0 564.1 0 0 -82 123.1 0 0 0 0 -6400 0
0 123.1 123.1 123.1 0 738.4 0 123.1 123.1 0 0 0 123.1 0 123.1
0 0 0 -6400 0 0 410.3 0 30.8 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 -82 123.1 0 3282 123.1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 123.1 123.1 30.8 123.1 369.2 0 0 0 0 0 0
-82 0 123.1 0 0 0 0 0 0 826.8 262.7 0 -6400 0 0
0 -6400 0 0 0 0 0 0 0 262.7 144.8 123.1 0 -82 123.1
123.1 0 123.1 0 0 0 0 0 0 0 123.1 738.5 0 123.1 123.1
262.7 262.7 0 -82 0 123.1 0 0 0 -6400 0 0 826.8 262.7 0
262.7 262.7 0 0 -6400 0 0 0 0 0 -82 123.1 262.7 144.8 123.1
0 0 0 123.1 0 123.1 0 0 0 0 123.1 123.1 0 123.1 738.4
MATRICES DE CARGAS DE EQUIVALENTES DE EXTREMO F IJO POR MIEMBRO
i 1 NB FEGi
R i
Tfe
i
ENSAMBLE DEL VECTOR TOTAL DE CARGAS DE EQUIVALENTES DE EXTREMO FIJ
FE
Mi
0
i 1 N GLfor
aa N j Ji
Maa
Maa
FEGi
j aa 0if
bb N j K i
M bb
M bb
FEGi
j 3 bb 0if
j 1 3for
i 1 NBfor
M
FET 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 0 3.75 1.875 0 7.5 0 0 3.75 1.875 0 3.75 1.875 0 3.75 1.875
-
8/18/2019 Análisis Estructural Por El Método de Rigidez en 2D
36/39
ANALISIS ESTRUCTURA L 2 INGENIERIA CIVIL DE LA UNSA
Fidel Copa P. 36
ENSAMBLE DEL VECTOR TOTAL DE CARGAS NODALES
FN
Mi
0
i 1 NGLfor
aa N j FF1 i
Maa
FF j 1 i
aa 0if
j 1 3for
i 1 NNCfor
M
FNT 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 11 12 13 14 15
1 10 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0
VECTOR DE DESPLAZAMIENTOS DE LA ESTRUCTURA EN COORD. GLOBALES
DD KG 1
FN FE( )
DDT 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 4 15
1 .0215 .0036 0. 007 .0213 . 0046 . 0022 .0213 . 0011 .0052 .0087 .0026 . 0058 .0102 . 0034 . 0007
DESPLAZAMIENTOS POR MIEMBRO DE LA ESTRUCTUR
D
aa N j Ji
M j i
DDaa
aa 0if
M j i
0 otherwise
bb N j K i
M j 3 i
DD bb
bb 0if
M j 3 i
0 otherwise
j 1 3for
i 1 NBfor
Ni
submatrix M 1 6 i i( )
i 1 NBfor
N
CALCULO DE FUERZAS INTERNAS EN COORD. LOCALES EN MIEM BRO
f i KL
i R
i Di
fei
DESPLAZAMIENTOS DE MIEMBROS EN COORDENADAS GLOBALES
-
8/18/2019 Análisis Estructural Por El Método de Rigidez en 2D
37/39
ANALISIS ESTRUCTURA L 2 INGENIERIA CIVIL DE LA UNSA
Fidel Copa P. 37
D1
0
0
0
0.0087
0.0026
0.0058
D2
0
0
0
0.01021
0.00339
0.00067
D3
0.00874
0.00262
0.00583
0.02146
0.0036
0.00704
D4
0.01021
0.00339
0.00067
0.02131
0.00465
0.00223
D5
0
0
0
0.02125
0.00115
0.00522
D6
0.0087
0.0026
0.0058
0
0
0
D7
0.00874
0.00262
0.00583
0.01021
0.00339
0.00067
D8
0.02146
0.0036
0.00704
0.01021
0.00339
0.00067
D9
0.02146
0.0036
0.00704
0.02131
0.00465
0.00223
D10
0.02131
0.00465
0.00223
0.02125
0.00115
0.00522
MATRICES DE TRANSFORMACION DE COORD. DE MIEMBROS
R 1
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
R 6
0.707
0.707
0
0
0
0
0.7070.707
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0.707
0.707
0
0
0
0
0.707
0.707
0
0
0
0
0
0
1
R 5
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
R 7
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
MATRICES DE RIGIDEZ DE MIEMBROS EN COORDENADAS LOCALES
KL1
6400
0
0
6400
0
0
0
82.062
123.093
0
82.062
123.093
0
123.093
246.187
0
123.093
123.093
6400
0
0
6400
0
0
0
82.062
123.093
0
82.062
123.093
0
123.093
123.093
0
123.093
246.187
KL6
4525.483
0
0
4525.483
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
4525.483
0
0
4525.483
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
KL5
3200
0
0
3200
0
0
0
10.256
30.767
0
10.256
30.767
0
30.767
123.067
0
30.767
61.533
3200
0
0
3200
0
0
0
10.256
30.767
0
10.256
30.767
0
30.767
61.533
0
30.767
123.067
KL7
6400
0
0
6400
0
0
0
82.044
123.067
0
82.044
123.067
0
123.067
246.133
0
123.067
123.067
6400
0
0
6400
0
0
0
82.044
123.067
0
82.044
123.067
0
123.067
123.067
0
123.067
246.133
VECTORES DE FUERZAS INTERNAS EN MIEMBROS EN COORD. LOCALES
-
8/18/2019 Análisis Estructural Por El Método de Rigidez en 2D
38/39
ANALISIS ESTRUCTURA L 2 INGENIERIA CIVIL DE LA UNSA
Fidel Copa P. 38
f 1
16.7448
0.0003
0.3585
16.7448
0.0003
0.3594
f 2
21.709
0.755
1.174
21.709
0.755
1.092
f 3
6.321
0.541
0.737
6.321
0.541
0.885
f 4
8.043
0.554
0.927
8.043
0.554
0.735
f 5
3.669
0.378
0.975
3.669
0.378
1.296
f 6
19.61
0
0
19.61
0
0
f 7
9.407
3.443
1.096
9.407
4.057
2.018
f 8
13.588
0
0
13.588
0
0
f 9
0.932
3.287
0.885
0.932
4.213
2.273
f 10
0.378
3.831
1.538
0.378
3.669
1.296
VECTORES DE DESPLAZAMIENTOS EN MIEMBROS EN COORD. LOCALES
[1R] {1D} = {1d}
R 1
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
D1
0
0
0
0.00874
0.00262
0.00583
d1
R 1 D
1 d
1
0
0
0
0.00262
0.00874
0.00583
VECTORES DE FUERZAS INTERNAS EN MIEMBROS EN COORD. LOCALES
[1k] {1d} + {1f F} = {1f}
KL1 d1
fe1
16.745
0
0.358
16.745
0
0.359
-
8/18/2019 Análisis Estructural Por El Método de Rigidez en 2D
39/39
ANALISIS ESTRUCTURA L 2 INGENIERIA CIVIL DE LA UNSA
DIAGRAMA DE FUERZAS CORTANTESDIAGRAMA DE MOMENTOS FLECTORES
+
-
+
-
+
-
+
+
-
+
3.669
3.8313.287
4.057
3.443
0.379
0.5540.541
0.756
4.213
+
+ +
-
-
-
+
-
-
-
+
+
+
---
+
-
1.401.25
1.27
1.538
2.273
2.019
1.096
1.296
1.296
0.975
0.735
0.927
0.885
0.885
0.7371.092
1.1750.358
0.359
DIAGRAMA DE FUERZAS AXIALES
-
-
+
-
+
-
+
-
- 3
. 6 6 9
-0.379-0.932
9.407
- 8
. 0 4 3
- 1 9 . 6 1
- 1 6 . 7 4
6 .
3 2 1
- 2 1
. 7 0 9
1 6
. 7 4