analisis estructural

CAPÍTULO 1. ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADAS. 1.1 Introducción. La mayoría de las estructuras actuales están diseñadas para soportar sólo deformaciones pequeñas linealmente. Este es el caso de las estructuras metálicas, en las que el material se comporta conforme a la ley de Hooke; usualmente también se supone que las estructuras de concreto se deforman linealmente.

Sin embargo, es posible que un miembro estructural recto fabricado con un material que satisfaga la ley de Hooke se deforme no linealmente cuando es sometido a una carga lateral y a una fuerza axial grande.

Es importante reconocer la diferencia fundamental entre las estructuras

estáticamente indeterminadas (hiperestáticas), en las que las fuerzas en estas últimas no se pueden obtener únicamente a partir de las ecuaciones de equilibrio estático: también se requiere conocer algunas de las condiciones geométricas bajo carga.

El análisis de estructuras estáticamente indeterminadas, generalmente requiere la solución de ecuaciones lineales simultáneas, cuyo número depende del método de análisis.

(a)(b)

(c)(d)

ANALISIS ESTRUCTURAL 1

(e)(f)

(g)(h)

Figura 1-1. Ejemplos de estructuras reticuladas. (a) Viga continua.(b) y (c) Amaduras planas. (d) y (e) Marcos planos. (f) Marco tridimensional(g) Armadura tridimensional. (h) Retícula horizontal sometida a cargas verticales.

1.2 Equilibrio de un cuerpo.

En la figura 1-2a se representa un cuerpo sometido a fuerzas F1, F2,…, Fn en el espacio. En este contexto, el término fuerza significa, ya sea la acción de una carga concentrada, o un par de fuerzas, (un momento); en este último caso, el momento es representado por una flecha de doble cabeza. Una fuerza típica Fi

actuando en un punto con coordenadas (xi, yi, zi) se muestra en la figura 1-2b empleando el sistema de mano derecha de ejes ortogonales x, y, y z. Las componentes de Fi en la dirección de los ejes de la fuerza son:

ixiix FF λ= iyiiy FF λ= iziiz FF λ= (1-1)

Donde Fi es la magnitud de la fuerza (valor absoluto); ixλ , iyλ y izλ se

conocen como cosenos directores de la fuerza Fi, y son iguales al coseno de los ángulos α, β y γ entre la fuerza y las direcciones positivas de x, y, y z, respectivamente.


(x iy F

(b)

i y i ,, i z i )

ix F

i F

β γ

α

yMy

xz

Mz

Mx

0 F

1 F

3 F

2 F y x

z

(a)

Figura 1-2. Sistema de fuerzas y componentes de las fuerzas. (a) Cuerpo sometido a fuerzas en el espacio. (b) Componentes de una fuerza típica y convención de signos positivos para Mx, My y Mz.

iz F

El momento de una carga concentrada Fi con respecto a los ejes x, y, y z (figura 1-2b) es igual a la suma de momentos de las componentes Fix, Fiy y Fiz; por lo tanto,

iiyiizix zFyFM −= iiziixiy xFzFM −= iixiiyiz yFxFM −= (1-2)

Para un cuerpo en equilibrio, las componentes de la resultante en las direcciones x, y, y z deben anularse de tal forma que se aplican las siguientes ecuaciones:

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

======

∑∑∑∑∑∑

000000

zyx

zyx

MMMFFF

(1-3)

Cuando todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo libre se aplican en un plano, únicamente tres de las seis ecuaciones de equilibrio resultan significativas. Por ejemplo, cuando las fuerzas actúan en el plano x – y, estas ecuaciones son:

∑ = 0xF ∑ = 0yF ∑ = 0zM (1-4)

Cuando una estructura en equilibrio está constituida por varios miembros, se deben satisfacer las ecuaciones de equilibrio al aplicarse a la estructura como un todo. Cada miembro, nudo o parte de la estructura se encuentra también equilibrio y las ecuaciones de la estática también se deberían satisfacer.


Las ecuaciones de equilibrio 1-3 y 1-4 se pueden emplear para determinar las componentes de las reacciones o las fuerzas internas siempre y cuando el número de incógnitas no exceda el número de ecuaciones. En el caso de armaduras con miembros articulados y fuerzas aplicadas únicamente en los nudos, los miembros están sometidos a fuerzas axiales exclusivamente; por lo tanto, para un nudo de la armadura, las ecuaciones que expresan equilibrio de momentos incluidas en las ecuaciones 1-3 y 1-4 se anulan pero se pueden aplicar a una parte de la armadura para determinar las fuerzas en los miembros. Ejemplo 1-1. El elemento prismático en voladizo mostrado en la figura está sometido, en el plano de la sección transversal de su extremo libre, a las fuerzas F1 = P, F2 = 2Pb, como se muestra en la misma. Determine las componentes en O de la reacción resultante en el extremo empotrado; el punto O es el centro de la sección transversal.

b 3b

1.5b 1

F1 = P

F2= 2Pb y

zx

30°

Supóngase que las direcciones positivas de las componentes de la reacción son las mismas que las correspondientes a los ejes x, y, y z. Las coordenadas del punto de aplicación de F1 son (3b, 0.5b, -0.75b). Los cosenos directores de F1 son { }866.0,5.0,0,, 111 =zyx λλλ

Al aplicar las ecuaciones 1-1 y 1-2, se obtiene { } { }866.0,5.0,0,, 111 PFFF zyx =

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

××−

−×−×=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

500.1598.2

808.0

35.03866.0

)75.0(5.05.0866.0

1

1

1

PbPbMMM

z

y

x


El momento aplicado F2 sólo tiene una componente: M2y = -2Pb. Las ecuaciones de equilibrio 1-3 proporcionan las componentes de reacción en el punto O:

{ } { }866.0,5.0,0,, −−= PFFF OzOyOx

{ } { }5.1,598.4,808.0,, −−= PbMMM OzOyOx

Observe que las reacciones no varían si la flecha de doble cabeza, que representa el momento F2 en la figura 1-3a, se desplaza a otra posición sin ningún cambio de dirección. Ejemplo 1-2. Determine las componentes de la reacción para el marco plano que se muestra en la figura.

R1= -2P

R3= -3.2P

4P

A

BC

DE

F

P2P

y

xz2b

2b2bb

b

Seleccione los ejes x, y, y z como se muestra y aplique la ecuación 1-4: ∑ = 0xF 021 =+ PR ∑ = 0zM 0)(2)2(4)5()5(21 =+−−+− bPbPbPbRbR ∑ = 0yF 0432 =++−− PPRR La primera de las tres ecuaciones anteriores proporciona el valor de R1, el cual, al sustituirse en la segunda ecuación, permite la determinación de R2. Al sustituir R2 en la tercera ecuación, se obtiene R3. Las respuestas son: ;21 PR −=

;8.12 PR = .2.33 PR =

En este problema, podemos verificar que ∑ = 0zM con el eje z en un punto diferente, por ejemplo en el punto A. Nótese que con esto no se obtiene una cuarta ecuación que se podría usar para determinar una cuarta incógnita; ello se debe a que la cuarta ecuación se puede derivar a partir de las otras tres.


1.3 Fuerzas internas: convención de signos y diagramas. La finalidad de un análisis estructural es poder determinar las reacciones en los apoyos así como las fuerzas internas (las resultantes de los esfuerzos) en cualquier sección. En vigas y marcos planos en los cuales todas las fuerzas en la estructura están en un solo plano, la resultante de los esfuerzos en cualquier sección tiene generalmente tres componentes: una fuerza axial N, una fuerza cortante V y un momento flexionante M. Las direcciones positivas de N, V y M se muestran en la figura 1-3a. Las variaciones de N, V y M a lo largo del miembro se presentan gráficamente en lo diagramas de fuerza axial, fuerza cortante y momento flexionante, respectivamente, que se presentan en la figura 1-3b. Las fuerzas N y V positivas se dibujan hacia arriba, mientras que el momento M positivo se traza hacia abajo.

N N

V

V

M M

(a)

P

A G CN

A G B C

P

V

7P/3

AG

H B C

Pb

M

(b)

Figura 1.3. (a) Valores positivos de N, V y M. (b) Diagramas de fuerzas axial, fuerza cortante y momento flexionante.

2Pb

4Pb/3


Tarea. Obtenga los diagramas de fuerza cortante y de momento flexionante para las vigas y marcos estáticamente determinados que se muestran en la figura del problema 1-4.

AB C D

0.4L 0.6L 0.2L

qL 0.2qLq por unidad de longitud

(a)

A

B C

D

90°

L

L

PP

(b)

(e)

A B

C

DE

F G

0.2L

L/2 L/2L/5 L/5

L/2

3L/8

qL/4 qL/4

Carga total en BCD = qL

L

(f)

L/2

A

BCarga total sobre AB = qL

L LL

0.6L0.2L0.2L

0.5L 0.5L

AB

C

DF EG

0.3qLCarga uniformeq/ unidad de longitud

(c)4@ L = 4L

3L/2

L

Carga total sobre FG = 2P

A

B

D

F

G

C EP

P

PP

P

(g)

L0.15L

1 313

A

B

C

D

(d)

L L

L/2A B

C

x

y

Vista en planta de unaviga en voladizo horizontalsometida a su peso propio q por unidad de longitud

(h)


CAPÍTULO 2. INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS. 2.1 Indeterminación estática. La indeterminación de una estructura puede ser externa, interna o de ambos tipos. Se dice que una estructura es indeterminada externamente si el número de componentes de reacción excede el número de ecuaciones de equilibrio. Por lo tanto, una estructura tridimensional es, en general, externa y estáticamente indeterminada cuando el número de componentes de reacción es mayor de seis. En una estructura plana, el número correspondiente es de tres. Cada una de las vigas de las figuras 2-1 a y b tiene cuatro componentes de reacción. Como sólo hay tres ecuaciones de equilibrio estático, se tiene una fuerza desconocida en exceso a aquellas que se pueden encontrar por estática, por lo que las vigas son externas y estáticamente indeterminadas. Se define el grado de indeterminación como el número de fuerzas desconocidas que excede el de las ecuaciones de la estática. Por lo tanto, las vigas de las figuras 2-1 a y b son indeterminadas en primer grado. Algunas estructuras se construyen de tal modo que el esfuerzo resultante en una sección determinada sea cero. Esto proporciona una ecuación adicional de equilibrio estático permite la determinación de una componente adicional de reacción. Por ejemplo, el marco de tres articulaciones de la figura 2-1c tiene cuatro componentes de reacción, pero el momento flexionante en la articulación central debe ser nulo. Esta condición, junto con las tres ecuaciones de equilibrio aplicadas a la estructura como cuerpo libre, es suficiente para determinar las cuatro componentes de reacción.

R1

R2 R3 R4

(a)

R2

R1

R3

(b)

R1

R2 R3

(c)

Figura 2-1. (a), (b) Estructuras externa y estáticamente indeterminadas.(c) Marco de tres articulac iones estáticamente determinado.

R4


Considérense ahora las estructuras que son externa y estáticamente determinadas, pero internamente indeterminadas. Por ejemplo, en la armadura de la figura 2-2a, las fuerzas en los miembros no se pueden determinar solamente con las ecuaciones de la estática. Si se retira (o se corta) uno de los dos miembros diagonales, las fuerzas en los miembros se pueden calcular con las ecuaciones de la estática. De ahí que la armadura sea internamente indeterminada en primer grado, aunque sea externamente determinada. El marco de la figura 2-2b es internamente indeterminado en tercer grado: se convierte en determinado si se hace un corte en uno de los miembros (figura 2-2c). El corte representa la eliminación o liberación de tres resultantes esfuerzo: fuerza axial, fuerza cortante y momento flexionante. El número de liberaciones necesarias para hacer una estructura estáticamente determinada representa el grado de indeterminación. El mismo marco se convierte en determinado si las liberaciones se efectúan introduciendo tres articulaciones como se muestra en la figura 2-2d, eliminando así el momento flexionante en tres secciones.

R2 R3

Figura 2-2. Estructuras interna y estáticamente indeterminadas.

R1

(a)

R2

R1

R3(b)

R2

R1

R3(c)

R2

R1

R3(d)

Las estructuras pueden ser estáticamente indeterminadas tanto interna como externamente. El marco de la figura 2-3 es externamente indeterminado en primer grado, pero las resultantes de esfuerzos no se pueden determinar por estática aun suponiendo que se hayan encontrado previamente las reacciones.


R2 R4

Figura 2-3. Marco que es estáticamente indeterminado tanto externa como internamente.

R1

R3

El marco tridimensional de la figura 2-4 tiene seis componentes de reacción en cada apoyo: tres componentes X, Y, y Z y tres momentos Mx, My y Mz. Para evitar congestionar la figura, las seis componentes se muestran sólo en uno de los cuatro apoyos. Los vectores de momentos se indican con flechas de doble cabeza. Por lo tanto, el número de componentes de reacción de la estructura es 24, mientras que el número de ecuaciones de equilibrio que se pueden escribir es seis. Entonces, el marco es externamente indeterminado en 18°.

x

z

y

Figura 2-4. Marco tridimensional con nudos rígidos.

YX

ZM

y

Mz

Mx


2.2 Expresiones para el grado de indeterminación. Una armadura plana con tres componentes de reacción, m miembros y j nudos articulados (incluyendo los apoyos, que también están articulados). Las fuerzas desconocidas son las tres componentes de reacción y la fuerza en cada miembro, en total, 3 + m. Por otra parte, se pueden escribir dos ecuaciones de equilibrio en cada nudo:

∑ = 0xF ∑ = 0yF (2-1)

Siendo la sumatoria para las componentes de todas las fuerzas externas e internas que coinciden en el nudo. De ahí que el número total de ecuaciones es 2j.

Para la determinación estática, el número de ecuaciones de la estática es igual al número de incógnitas, es decir:

32 += mj (2-2)

Siempre que la estructura sea estable, se puede hacer cierto intercambio

entre el número de miembros y el número de componentes de reacción r, de modo que para la determinación total se satisfaga la condición:

rmj +=2 (2-3)

Entonces, el grado de indeterminación es:

jrmi 2)( −+= (2-4)

Para la armadura que se ilustra en la figura 2-5, ,4=r y . Por lo tanto .

18=m 10=j2=i

R1 R2 R4

Figura 2-5. Armadura plana estáticamente indeterminada.

R3


En el caso de un marco tridimensional con nudos articulados se pueden escribir tres ecuaciones de equilibrio, a saber:

∑ = 0xF ∑ = 0yF ∑ = 0zF (2-5)

Siendo otra vez la sumatoria de todas las fuerzas internas y externas que coinciden en el nudo. El número total de ecuaciones es 3j, y la condición de determinación es:

rmj +=3 (2-6)

El grado de indeterminación es:

jrmi 3)( −+= (2-7)

Un marco plano con nudos rígidos des estáticamente determinado sí:

rmj += 33 (2-8) y el grado de indeterminación es:

jrmi 3)3( −+= (2-9)

En estas ecuaciones, j es el número total de nudos rígidos, incluyendo los apoyos, y m es el número de miembros. Un marco tridimensional es estáticamente determinado sí:

rmj += 66 (2-10)

y el grado de indeterminación es:

( ) jrmi 66 −+= (2-11)

Aplicado la ecuación 2-11 al marco de la figura 2-4, se tiene que ,8=m 24=r y . Según la ecuación 2-11, 8=j 24=i .


2.3 Métodos generales de análisis de estructuras estáticamente indeterminadas. La finalidad del análisis de las estructuras es determinar las fuerzas externas (componentes de reacción) y las fuerzas internas (resultantes de esfuerzos). Las fuerzas deben satisfacer las condiciones de equilibrio y producir deformaciones compatibles con la continuidad de la estructura y las condiciones de apoyo. Como ya se ha visto, las ecuaciones de equilibrio no son suficientes para determinar las fuerzas desconocidas en una estructura estáticamente indeterminada y es necesario complementarlas con relaciones geométricas simples entre las deformaciones de la estructura. Con estas relaciones se asegura la compatibilidad de las deformaciones con la geometría de la estructura y se conocen como condiciones geométricas o condiciones de compatibilidad. Un ejemplo de dichas condiciones es que en un apoyo intermedio de una viga continua no puede haber deflexión la rotación es igual en ambos lados del apoyo. Se pueden usar dos métodos generales de estudio. El primero es el método de las fuerzas de flexibilidad, en que se proporcionan suficientes liberaciones para convertir la estructura en estáticamente determinada. La estructura liberada sufre deformaciones inconsistentes, y la inconsistencia geométrica se corrige posteriormente mediante la aplicación de fuerzas adicionales. El segundo enfoque es el método de los desplazamientos o de rigidez. En este método se agregan restricciones para impedir el movimiento de los nudos y se determinan las fuerzas necesarias para producir la restricción. Después se permite que tengan lugar desplazamientos de los nudos hasta que hayan desaparecido las fuerzas ficticias de restricción. Conociendo los desplazamientos en el nodo, se determinan las fuerzas en la estructura por superposición de los efectos de los desplazamientos separados. Se puede usar indistintamente el método de las fuerzas o el de los desplazamientos para analizar cualquier tipo de estructura. En el método de las fuerzas, se obtienen las fuerzas necesarias para restablecer la consistencia geométrica, el análisis generalmente comprende la solución de un número de ecuaciones simultáneas igual al número de fuerzas desconocidas, es decir, el número de liberaciones que se necesiten para convertir a la estructura en estáticamente determinada. Las incógnitas en el método de los desplazamientos son las posibles traslaciones y rotaciones de los nudos. La cantidad de fuerzas de restricción que se que se deben agregar a la estructura es igual al número de posibles desplazamientos de los nudos. Esto representa otro tipo de indeterminación, que se puede designar como indeterminación cinemática y se describe en la siguiente sección.


2.4 Indeterminación cinemática. Cuando una estructura constituida por varios miembros se somete a cargas, los nudos sufren desplazamientos en forma de rotación y traslación. En el método de análisis por desplazamiento, las magnitudes desconocidas son la rotación y la traslación de los nudos. En un apoyo se conocen una o más de las componentes del desplazamiento. Por ejemplo, la viga continua de la figura 2-6 está empotrada en C y tiene apoyos con rodillos en A y B. La fijación en C impide cualquier desplazamiento en ese extremo, mientras que los apoyos con rodillos en A y B evitan la traslación en dirección vertical pero permiten la rotación. Se debe mencionar que se supone que los apoyos con rodillos pueden resistir tanto fuerzas descendentes como ascendentes.

A B C

D1

D2

Figura 2-6. Indeterminac ión c inemática de una viga continua.

Si se supone que la rigidez axial de la viga es tan alta que se puede despreciar el cambio de longitud debido a fuerzas axiales, no habrá desplazamientos horizontales en A o en B. Por lo tanto, los únicos desplazamientos desconocidos en los nodos serán las rotaciones D1 y D2 en A y B, respectivamente (figura 2-6). Los desplazamientos D1 y D2 son independientes uno del otro, ya que a cualquiera de ellos se le puede asignar un valor arbitrario mediante la introducción de fuerzas apropiadas. A un sistema de desplazamiento de nudos se le denomina independiente si cada desplazamiento se puede variar arbitraria e independiente de todos los demás. Al número de desplazamientos independientes de nudos de una estructura se le conoce como grado de indeterminación cinemática o número de grados de libertad. Este número es una suma de los grados de libertad en rotación y en traslación. Algunas veces, a esta última se le conoce como libertad de desplazamiento lateral. El marco plano de la figura 2-7 es otro ejemplo de una estructura cinemática indeterminada. Si se desprecia la deformación axial, el grado de indeterminación cinemática es de dos, siendo los desplazamientos desconocidos de los nudos las rotaciones en A y en B.


A B C

D

P

D2D1

Figura 2-7. Indeterminación c inemática de un marcoplano con nudos rigidos.

Hay que destacar que la indeterminación cinemática y la indeterminación estática no se deben confundir una con la otra. Por ejemplo, el marco de la figura 2-7 tiene siete componentes de reacción y es estáticamente indeterminado en cuarto grado. Si se sustituye el apoyo fijo en D por una articulación, se reducirá en uno el grado de indeterminación estática, pero al mismo tiempo se hace posible que ocurra rotación en D, aumentándose de este modo el grado de indeterminación cinemática en uno. En general, la introducción de una liberación disminuye el grado de indeterminación estática y aumenta el grado de indeterminación cinemática. Por esta razón, cuanto más alto sea el grado de indeterminación estática, más adecuado será el método de desplazamiento para el análisis de la estructura. En el caso de una armadura con nudos articulados en el que todas la fuerzas están aplicadas en los nudos, los miembros están sometidos sólo a una carga axial (sin momentos flexionantes ni esfuerzos cortantes) y, por lo tanto, permanecen rectos. La configuración deformada de una armadura plana se define completamente si se determinan las componentes de la traslación en dos direcciones ortogonales para cada nudo, y cada nudo, que no sea un apoyo, tiene dos grados de libertad. Considérese el marco de la figura 2-8. Tiene ocho nudos, de los cuales cuatro están empotrados en el espacio. Cada uno de los nudos A, B, C y D puede tener seis desplazamientos como los que se muestran en A. Por lo tanto, el grado de indeterminación cinemática del marco es 2464 =× .


B

D

PC

A

D

D

DD

D D

6

3

1 4

5

2

x

z

y

Figura 2-8. Indeterminación c inemática de un marcotridimensional con nudos rigidos.

Si se toman en cuenta las deformaciones axiales, las longitudes de las cuatro columnas permanecen inalteradas, por lo que se anula la componente D3 de traslación en la dirección vertical, reduciendo así en cuatro los desplazamientos desconocidos. Además, como no cambian las longitudes de los miembros horizontales, las traslaciones horizontales en la dirección x de los nudos A y D son iguales; lo mismo ocurre en los nudos B y C. En la misma forma, las traslaciones en la dirección y de los nudos A y B son iguales; de nueva cuenta ocurre lo mismo para los nodos C y D. con todo esto se reducen en cuatro los desplazamientos desconocidos. Por lo tanto, el grado de indeterminación cinemática del marco de la figura 2-8, sin deformación axial, es 16. 2.5 Principio de superposición. Se mencionó que cuando las deformaciones de una estructura son proporcionales a las cargas aplicadas, es válido el principio de superposición. Este principio establece que el desplazamiento debido a varias fuerzas que actúen simultáneamente es igual a la suma de los desplazamientos ocasionados por cada fuerza actuando separadamente. En el análisis de estructuras, es conveniente usar una notación en que una fuerza Fj produce en un punto i un desplazamiento Dij. Por lo tanto, el primer subíndice de un desplazamiento describe la posición y dirección del desplazamiento, y el segundo subíndice, la posición y dirección de la fuerza que causa el desplazamiento. Cada subíndice se refiere a una coordenada que representa la ubicación y dirección de una fuerza o de un desplazamiento.


Este enfoque se ilustra en la figura 2-9a. Si la relación entre la fuerza aplicada y el desplazamiento resultante es lineal, se puede escribir:

111 FfD ii = (2-12)

Donde fi1 es el desplazamiento en la coordenada i debido a una fuerza unitaria en la ubicación y dirección de F1 (coordenada 1).

Di1

i

A i1

F1

(a)

Di1

i

A i2

F2

(b)

Di1

i

A i1

F1

(c)

Fn

Figura 2-9. Superposic ión de desplazamientos y de fuerzas.

Si se aplica una segunda fuerza F2 que cause un desplazamiento Di2 en i (figura 2-9b):

222 FfD ii = (2-13)

en que fi2 es el desplazamiento en i debido a una fuerza unitaria en la coordenada 2. Si varias fuerzas F1, F2,…, Fn actúan simultáneamente (figura 2-9c), el desplazamiento total en i es:

niniii FfFfFfD +++= L2211 (2-14)


Es claro que el desplazamiento total no depende del orden de aplicación de las cargas. Esto por supuesto no es válido cuado la relación esfuerzo-deformación unitaria del material no es lineal. Una estructura puede comportarse no linealmente aunque está hecha de un material que satisface la ley de Hooke si se producen cambios en su geometría inducidos por las cargas aplicadas. Considérese el puntal esbelto de la figura 2-10a, sometido a una fuerza axial F1 que no es lo suficientemente grande como para pandearlo. Por lo tanto, el puntal permanecerá recto y el desplazamiento en cualquier punto A es DA = 0. Ahora bien, si el puntal se somete a una carga lateral F2 actuando sola, habrá una deflexión lateral DA en el punto A (figura 2-10b). Si actúan ambas fuerzas F1 y F2 (figura 2-10c), el puntal quedará sometido a un momento flexionante adicional igual al producto de F1 multiplicado por la deflexión en la sección dada. Esta deflexión adicional causa nuevas deflexiones y la deflexión D’A en A, en este caso será mayor que DA.

F1

A DA= 0

(a)

A DA

(b)

F2

A D'A

(c)

> DA

Figura 2-10. Estructura con deformación no lineal.

F2

F1

Es obvio que no existe tal momento flexionante cuando las cargas F1 y F2 actúan separadamente, de manera que el efecto combinado de F1 y F2 no es igual a la suma de sus efectos separados, y no se satisface e principio de superposición. Cuando una estructura se comporta linealmente, se cumple el principio de superposición para las fuerzas así como para los desplazamientos. Se pueden determinar las resultantes de los esfuerzos internos en cualquier sección o las componentes de reacción de la estructura de la figura 2-9c mediante la suma de los efectos de las fuerzas F1, F2,…, Fn cuando cada una actúa por separado.


Supóngase que el símbolo Ai indica una acción general, la cual puede ser una reacción, un momento flexionante, un esfuerzo cortante o compresión en cualquier sección debido al efecto combinado de todas las fuerzas. Se puede escribir entonces una ecuación general de superposición de fuerzas:

nuinuiuii FAFAFAA +++= L2211 (2-15)

Donde Aui1 es la magnitud de la acción Ai cuando se aplica una fuerza unitaria sola en la ordenada 1. De igual manera, Aui2,…, Auin, son los valores de la acción A. La ecuación 2-15 puede escribirse en forma matricial:

[ ] { } 11 ××= nnuii FAA (2-16)

En las estructuras estáticamente indeterminadas, la superposición de fuerzas sólo es válida si se cumple la ley de Hooke, porque las fuerzas internas dependen de la deformación de los miembros. 2.6 Resumen. La mayoría de las estructuras modernas son estáticamente indeterminadas, y con el método de flexibilidad es necesario establecer para una estructura dada el grado de indeterminación, que puede se externa, interna o de ambas. En casos simples, el grado de indeterminación se puede encontrar por simple inspección, aunque en estructuras más complejas o de claros múltiples con varias crujías, resulta preferible establecer el grado de indeterminación con la ayuda de expresiones que incluyan el número de nudos, miembros y componentes de reacción. Se cuenta con este tipo de expresiones para armaduras planas y tridimensionales (de nudos articulados) y para marcos (con nudos rígidos). Existen dos métodos generales para el análisis de estructuras. Uno es el método de las fuerzas (o de flexibilidad), en el que se introducen liberaciones para convertir la estructura en estáticamente determinada; se calculan los desplazamientos resultantes y se corrigen las inconsistencias en los desplazamientos con la aplicación de fuerzas adicionales en la dirección de las liberaciones. De este modo se obtiene una serie de ecuaciones de compatibilidad; al resolverlas, se determinan las fuerzas desconocidas. En el otro método –de los desplazamientos (o de las rigideces)-, se introducen restricciones en los nudos. Se calculan las fuerzas restrictivas que se necesitan para impedir los desplazamientos de los nudos. Después se permite que se presenten los desplazamientos en la dirección de las restricciones hasta


que éstas hayan desaparecido; de aquí se obtiene un conjunto de ecuaciones de equilibrio: su solución proporciona los desplazamientos desconocidos. Luego se determinan las fuerzas internas de la estructura mediante superposición de los efectos de estos desplazamientos y de los de la carga aplicada con los desplazamientos restringidos. El análisis de estructuras con el método de las fuerzas o el de los desplazamientos implica el uso del principio de superposición, que permite una simple suma de desplazamientos (o acciones) debidos a las cargas individuales (o desplazamientos). Tarea. 1. ¿Cuál es grado de indeterminación estática de las estructuras que se muestran a continuación? Introduzca suficientes liberaciones para hacer cada estructura estáticamente determinada.

(a) (b)

A B CA B

C D

E F

A

B

C

(c)

A B C DE

A

A

B

B

C

C

D

D

E

E

F

F G H

I J

(d)

(e)

(f)

2. (a) Introduzca suficientes liberaciones para convertir el marco mostrado en estáticamente determinado. Indique las liberaciones mediante un sistema de coordenadas. (b) Introduzca una articulación en la parte media de cada miembro y dibuje el diagrama de momento flexionante para el marco debido a dos fuerzas horizontales, cada una igual a P, aplicadas en E y en C. Muestre esquemáticamente la magnitud y dirección de las componentes de reacción en A.


A B

C D

E F

P

P

L

L

L

CAPÍTULO 3. MÉTODO DE LAS FUERZAS PARA ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS. 3.1 Descripción del método.

1. Primeramente, se determina el grado de indeterminación estática. Luego se introduce un número de liberaciones igual al grado de indeterminación, efectuándose cada liberación mediante la eliminación de una fuerza externa o interna. Las liberaciones se deben seleccionar de manera que la estructura restante sea estable y estáticamente determinada. Sin embargo, en algunos casos el número de liberaciones puede ser menor que el grado de indeterminación, siempre que la estructura estáticamente indeterminada restante sea tan sencilla que se pueda analizar fácilmente. En todos los casos, las fuerzas liberadas, que también se denominan fuerzas redundantes, se deben escoger cuidadosamente para que la estructura liberada se pueda analizar con facilidad.

2. Las liberaciones introducen incongruencias en desplazamientos y como

segundo paso se determinan estas incongruencias o “errores” en la estructura liberada. En otras palabras, se calcula la magnitud de los “errores” en los desplazamientos que corresponden a las fuerzas redundantes. Estos desplazamientos se pueden deber a cargas externas aplicadas, asentamiento de los apoyos o variación de temperatura.

3. El tercer paso consiste en la determinación de los desplazamientos en la

estructura liberada debidos a valores unitarios de las redundantes (véanse las figuras 3-1 d y e). Estos desplazamientos se necesitan en el mismo lugar en la dirección que el error en desplazamientos determinado en el paso dos.

4. A continuación se determinan los valores de las fuerzas redundantes

necesarias para eliminar los errores en los desplazamientos. Esto implica el establecimiento de ecuaciones de superposición en las que los efectos


de las fuerzas redundantes separadas se suman a los desplazamientos de la estructura liberada.

5. En consecuencia, se encuentran las fuerzas que actúan sobre la

estructura indeterminada original: son la suma de las fuerzas de corrección (redundantes) y las fuerzas aplicadas a la estructura liberada.

Ejemplo 3-1. En la figura 3-1a se muestra una viga ABC empotrada en C, que descansa sobre apoyos de rodillos en A y en B y que soporta una carga uniforme igual a q por unidad de longitud. La viga tiene una rigidez constante a la flexión EI. Encuentre las reacciones de la viga.

(a)

A BC

q por unidad de longitud

L L

(b)

A C

F1, D1

F2, D2

(c)

Cq por unidad de longitud

(f)


qL qL

D1 D2

(d)

f11 f21

1

(e)

f12f22

1qL /14

8qL/7

2

Figura 3-1. (a) Viga estáticamente indeterminada. (b) Sistema de coordenadas.(c) Carga externa sobre la estructura liberada. (d) F1= 1. (e) F2= 1. (f) Redundantes.

La estructura es estáticamente indeterminada en segundo grado, por lo que se deben eliminar dos fuerzas redundantes. Son posibles varias opciones, por ejemplo, el momento y la reacción vertical en C, o las reacciones verticales en A y B. para los fines de este ejemplo, se eliminarán la reacción vertical en B y el momento en C. Por lo tanto, la estructura liberada es una viga simple AC con las fuerzas redundantes y los desplazamientos que se muestran en la figura 3-1b. La ubicación y dirección de las diversas fuerzas redundantes y de los desplazamientos están referidos a un sistema de coordenadas.


Las direcciones positivas de las fuerzas redundantes F1 y F2 se escogen arbitrariamente pero las direcciones positivas de los desplazamientos en el mismo lugar siempre tienen que concordar con los de las fuerzas redundantes. Las flechas en la figura 3-1b indican las direcciones positivas seleccionadas en el presente caso y, como las flechas representan tanto fuerzas como desplazamientos, es conveniente en un caso general identificar las coordenadas por medio de los números 1, 2,…, n. Siguiendo este sistema, en la figura 3-1c se muestran los desplazamientos en B y en C como D1 y D2, respectivamente. De hecho, como se ilustra en la figura 3-1a, los desplazamientos reales en estos puntos tienen valor cero, de modo que D1 y D2 representan las inconsistencias en deformación. La magnitud de D1 y D2 se pueden calcular a partir del comportamiento de la viga simplemente apoyada mostrada en la figura 3-1c. Para fines de este ejemplo se pueden usar las siguientes expresiones. Por lo tanto:

EIqlD

245 4

1 −= y EI

qlD3

3

2 −=

Los signos negativos indican que los desplazamientos son en direcciones opuestas a las direcciones positivas escogidas en la figura 3-1b. Cuando la liberación se aplica a una fuerza interna, deberá ser representada en el sistema de coordenadas con un par de flechas en direcciones opuestas. Los desplazamientos debidos a valores unitarios de las redundantes se muestran en las figuras 3-1 d y e. Estos desplazamientos adquieren los siguientes valores:

EIlf

6

3

11 = EIlf

4

2

12 =

EIlf

4

2

21 = EIlf

32

22 =

El coeficiente general fij representa el desplazamiento en la coordenada i debido a una redundante unitaria en la coordenada j. Las relaciones geométricas expresan el hecho de que la traslación vertical final en B y la rotación en C se anulan. Los desplazamientos finales son el resultado de la superposición del efecto de la carga externa y de las fueras redundantes sobre la estructura liberada. Por lo tanto, las relaciones geométricas se pueden expresar como:


00

2221212

2121111

=++=++

FfFfDFfFfD

(3-1)

Una forma más general de la ecuación 3-1 es:

22221212

12121111

∆=++∆=++

FfFfDFfFfD

(3-2)

Donde ∆1 y ∆2 son los desplazamientos prescritos en las coordenadas 1 y 2 de la estructura real. Si, en el ejemplo considerado, se necesita el análisis para los efectos combinados de la carga q dada y de un asentamiento descendente δB en el apoyo B (figura 3-1a), se deberá sustituir Bδ−=∆1 , 01 =∆ . 3.3 Matriz de flexibilidad. Las relaciones de la ecuación 3-2 se pueden escribir en forma matricial como:

[ ]{ } { }DFf −∆= (3-3) Donde:

{ }⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=2

1

DD

D y [ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2221

1211

ffff

f { }⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=2

1

FF

F

Los elementos de la matriz [ ]f son desplazamientos debidos a los valores unitarios de las redundantes. Por lo tanto, [ ]f depende de las propiedades de la estructura y representa la flexibilidad de la estructura liberada. Por esta, a [ ]f se le denomina matriz de flexibilidad, y sus elementos se conocen como coeficientes de flexibilidad. Los elementos del vector { }F son las redundantes que se pueden obtener resolviendo la ecuación 3-3; por la tanto:

{ } [ ] { }DfF −∆= −1 (3-4)

En el ejemplo estudiado, la matriz de flexibilidad y su inversa son:

[ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

EIl

EIl

EIl

EIl

f

32

4

462

23

(3-5)

y


[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=−

231

2338

712

lll

lEIf (3-6)

El vector de desplazamiento es:

{ }⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=−∆85

24

3 lEI

qlD

Sustituyendo en la ecuación 3-4, o resolviendo la ecuación 3-3 se obtiene:

{ }⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=l

qlF16

14

Por lo tanto, las redundantes son:

qlF78

1 = y 14

2

2qlF =

El signo positivo indica que las redundantes actúan en las direcciones positivas seleccionadas en la figura 3-1b. Las fuerzas finales que actúan en las estructura se ilustra en la figura 3-1f. Es importante observar que la matriz de flexibilidad es dependiente de la selección de las fuerzas redundantes: con diferentes redundantes para la misma estructura se obtendría una matriz de flexibilidad diferente. Las reacciones y las fuerzas internas también se pueden determinar por la superposición del efecto de las cargas externas en la estructura liberada y el efecto de las fuerzas redundantes. Esto se puede expresar con la siguiente ecuación de superposición:

( )nuinuiuisii FAFAFAAA ++++= L2211 (3-7) Donde:

Ai = cualquier reacción i, que es una reacción en uno de los apoyos, fuerza cortante, fuerza axial, momento de torsión o momento flexionante en una sección de estructura real. Asi = la misma acción que Ai, pero en la estructura liberada sometida a las cargas externas. Aui1, Aui2,…,Auin = la acción correspondiente debida a una fuerza unitaria que actúa sola sobre la estructura liberada en la coordenada 1, 2,…, n, respectivamente.


F1, F2,…, Fn =fuerzas redundantes que actúan sobre la estructura liberada- El término entre paréntesis de la ecuación 3-7 representa la acción de

todas las fuerzas redundantes aplicadas simultáneamente a la estructura liberada.

En general, se necesitan varias reacciones y fuerzas internas. Estas se pueden obtener con ecuaciones similares a la ecuación 3-7. Si el número de acciones es m, el sistema de ecuaciones que se necesita se puede expresar en forma matricial:

{ } { } [ ] { } 111 ×××× += nnmumsm FAAA (3-8)

El orden de cada matriz se indica en la ecuación 3-8, pero, en esta ocasión, puede ser conveniente escribir las matrices completas. Por lo tanto,

{ }

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

mA

AA

AL

2

1

{ }

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

sm

s

s

s

A

AA

AL

2

1

[ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

umnumum

nuuu

nuuu

u

AAA

AAAAAA

A

L

LLLL

L

L

21

22221

11211

3.4 Análisis para cargas diferentes.

Cuando se usa la ecuación 3-3 para encontrar las fuerzas redundantes en una estructura dada bajo varias condiciones de carga diferentes, no es necesario repetir el cálculo de la matriz de flexibilidad (y su inversa). Cuando el número de cargas es p, la solución se puede combinar en una ecuación matricial:

[ ] [ ] [ ] pnnnpn DfF ×

−×× −∆= 1 (3-9)

En que cada columna de [ y ]F [ ]D corresponde a una condición de carga. Las reacciones o las resultantes de los esfuerzos en la estructura original se pueden determinar con ecuaciones similares a la ecuación 3-8, es decir,

[ ] [ ] [ ] [ ] pnnmupmspm FAAA ×××× += (3-10)


3.5 Las cinco etapas del método de las fuerzas. En el análisis con el método de las fuerzas intervienen cinco etapas que se resumen a continuación: Etapa 1. Introduzca liberaciones y defina un sistema de coordenadas. Además, defina , que son las acciones requeridas, y defina la convención de signos (en caso necesario).

[ ] pmA ×

Etapa 2. Como resultado de las cargas aplicadas a la estructura liberada, determine y [ ] . Introduzca también los desplazamientos preestablecidos .

[ ] pnD × pmsA ×

[ ] pn×∆

Etapa 3. Aplique valores unitarios de las redundantes de uno en uno en la estructura liberada y genere los valores de [ ] nnf × y de [ ] nmuA × . Etapa 4. Resuelva las ecuaciones geométricas:

[ ] [ ] [ ] pnpnnn DFf ××× −∆= (3-11)

Con esto se obtienen las redundantes [ ] pnF × . Etapa 5. Calcule las acciones necesarias por superposición:

[ ] [ ] [ ] [ ] pnnmupmspm FAAA ×××× += (3-12)

Al terminar la etapa 3, ya se habrán generado todas las matrices necesarias para el análisis. En las dos últimas etapas sólo interviene álgebra matricial. Se podrá eliminar la etapa 5 cuando no se requiera otra acción aparte de las cargas redundantes, o cuando la superposición se pueda hacer mediante inspección una vez determinadas las redundantes. Cuando éste sea el caso, las matrices [ , y ]A [ sA ] [ ]uA no harán falta. Para una referencia rápida, los símbolos usados se definen como sigue: n, p, m = Número de redundantes, número de condiciones de carga, y número de acciones requeridas. [ ] =A Acciones requeridas. [ ] =sA Valores de las acciones debidas a las cargas aplicadas a la estructura liberada.


[ ] =uA Valores de las acciones en la estructura liberada debidos a fuerzas unitarias aplicadas separadamente en cada coordenada. [ ] =D Desplazamientos de la estructura liberada en las coordenadas debidos a las cargas; estos desplazamientos representan incompatibilidades que deberán ser eliminadas por las redundantes. [ ] =∆ Desplazamientos preestablecidos en las coordenadas en la estructura real; éstos representan desplazamientos impuestos que se deben mantener. [ ] =f Matriz de flexibilidad. Ejemplo 3-2. Encuentre los momentos flexionantes MB y MC y la reacción RA para la viga que se muestra en la figura 3-1 debidos al efecto separado de: (1) un asentamiento descendente ( )Aδ del apoyo A; (2) un asentamiento descendente ( B )δ del apoyo B; (3) una aumento de temperatura que varía linealmente con la profundidad h, desde Tt hasta Tb en las fibras superior e inferior, respectivamente.

(a)

A BC


L L

(b)

A C

F1, D1

F2, D2

(c)

Cq por unidad de longitud

(f)


qL qL

D1 D2

(d)

f11 f21

1

(e)

f12f22

1qL /14

8qL/7

2

Figura 3-1. (a) Viga estáticamente indeterminada. (b) Sistema de coordenadas.(c) Carga externa sobre la estructura liberada. (d) F1= 1. (e) F2= 1. (f) Redundantes.


Etapa 1. Se seleccionan las liberaciones y el sistema de coordenadas (figura 3-1b). Las acciones necesarias son las siguientes:

[ ]⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=321 A

B

A

B

A

B

RM

RM

RM

A

El momento flexionante se considera positivo cuando produce esfuerzos de tensión en la fibra inferior. Una acción RA hacia arriba es positiva. Las acciones requeridas MC no necesariamente deben incluirse en [ , debido a que y los valores de las redundantes

]A

2FM C = { }F se calcularán en la etapa 4. Los subíndices 1, 2 y 3 de la ecuación anterior se refieren a las tres condiciones de carga. Etapa 2. La estructura liberada se muestra en la figura 3-4 a y b para los casos (1) y (3) respectivamente. Los vectores de desplazamiento { }∆ y en los tres casos son:

{ }D

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=∆

00000 Bδ

[ ] ( )( ) ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−−−

=8/20)2/(8/202/ 2

lllD

A

A

ψδψδ

En este caso, ψ es la curva térmica en la estructura liberada (pendiente del diagrama de deformaciones unitarias (figura 3-4c):

( )lhTT tb −= αψ (3-13)

Donde α es el coeficiente de expansión térmica (grados -1). Observe que en el caso (1), { } { }0=∆ debido a que la estructura real tiene desplazamientos nulos en las coordenadas 1 y 2; sin embargo, la estructura liberada tiene desplazamientos que se van a eliminar en las coordenadas { } { }lD AA 2/,2/ δδ −−= . Los valores de las acciones en la estructura liberada son cero para los tres casos:

[ ] [ ] 320 ×=sA

Etapa 3. Las fuerzas unitarias aplicadas en las coordenadas se representan en las figuras 3-1 d y e. La matriz de flexibilidad [ ]f y su inversa, determinadas en el ejemplo 3-1 (ecuaciones 3-5 y 3-6), siguen siendo válidas. Los valores de las acciones debidas a F1 = 0 o a F2 = 1 son los siguientes:


[ ] ( )⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡−−−−

=l

lAu 2/15.0

5.05.0

Etapa 4. Sustituyendo en la ecuación 3-11 de geometría se obtiene:

[ ]( ) ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

lll

Fll

llEI A

BA

ψδψδδ

02/2/2/

3/24/4/6/1 2

2

23

La solución es:

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−

= 3

2

3 5.035.085.2

712

llll

lEIF

BA

BA

ψδδψδδ

Etapa 5. Sustituyendo en la ecuación 3-12 de superposición se obtiene:

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−−−

=lll

llEIABA

BA

/75.0/5.2/75.0/5.2/

712

33

22

ψδδψδδ

Los elementos de son los valores requeridos de M[ ]A B y de RA en los tres casos; la inversión del signo de F2 proporciona los valores correspondientes de MC:

[ ] [ ]33 5.035.0

712 lll

lEIM BAC ψδδ −−=

Se debe observar que RA, MB y MC son proporcionales al valor del producto EI. En general, las reacciones y las fuerzas internas debidas a los asentamientos de los apoyos o a variaciones de temperatura en estructuras estáticamente indeterminadas son proporcionales al valor de EI empleado en el análisis lineal.

Falta figura 3-4, que debe ser la 3-2 para la etapa 2 del ejemplo anterior.


Ejemplo que se planteo en clase.

AB

L L/2 L/2

q qL

F1

F2

∑ = 0AM

( ) 022

32 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

LqLLqLLRB ( ) 022 2 =− qLLRB qLRB =

∑ = 0yF 0=−−+ qLqLRR BA qLRqLR BA =−= 2

q qL

qL qL

q qL

qqL qL

=

∴ ( ) LxqLLxqqxqLxM x 2

322

22

−−−

+−= Con funciones de singularidad.

Diagrama de cuerpo libre.

q qL

qqL

L L/2

X

(X-3L/2)

M(x)

Aplicando doble integración:

LxqLLxqqxqLxdxdEI

23

222

2

2

2

−−−+−=


1

23

32

23

2662CLxqLLxqqxqLx

dxdyEI +−−−+−=

21

34

43

23

624246CxCLxqLLxqqxqLxEIy ++−−−+−=

Si 0=x 0=y ∴ 02 =C

Si Lx 2= 0=y

1

4444 2

482432

340 LCqLqLqLqL +−+−= 1

4 216110 LCqL += 3

1 3211 qLC −=

Conociendo ; para 1C Lx =

4444

327

3211

246qLqLqLqLEIy −=−−= ↓−=

EIqLy

4

327

Aplicando Apéndice “B”.

Ll 2= Px

b

l

2

5.0 llx ==

lb43

=

Como bx <

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=22

1 243

432

624

3llll

lEI

lllPf

EIPllll

EIPlf

3222

1 76811

4169

23

48=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

Si qLP = Ll 2= ↓=EIqLf

4

1 9611


( )EIqLL

EIqL

EIlPl

EIPll

lEI

lPf

32

22

22

3 3272

1287

1287

167

843

643

−=−=−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−=

q

l

Bl ψl

F1 F3

Ll 2=

5.0=B

5.0=ψ

( ) ( ) ( )[ ]2224

1 5.025.025.05.024

−−=EI

qlf

( )

EIqL

EILq

EIqlf

444

1 4852

7685

7685

=== EIqL

EIqLf

TOTAL

44

1 327

485

9611

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

Ahora para Bθ (extremo)

Lx 2=

333

33

3211

86342 qLqLqLqLqL

dxdyEI −−+−=

EIqL

B

3

9635

=θ

( ) ( )EIql

EIqlf

322

3

3 38475.025.0

24−=−−=

EIqLf

3

3 487

−=

Finalmente el signo (-) sólo indica de acuerdo al apéndice que el giro es . Con doble integración ( )−↓δ y θ ( ).+

EIqL

EIqL

EIqLf

TOTAL

333

3 9635

487

327

=+=

Para la viga:

q qL

(7/32)(qL /EI)4

(35/96)(qL /EI)3


Desplazamientos incongruentes y se deberán corregir ya que deben valer cero. Usando flexibilidades: { } [ ] { }DfF −∆= −1

0=∆ Tomado de acuerdo a apuntes.

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−

−=

EIqLEIqL

D 3

4

9635327

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=−

231

2338

712

LLL

LEIf

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−

2

13

4

33

9635327

2338

712

FF

EIqLEIqL

LLL

LEI

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−

−

2

155

44

3

9670

3221

96105

3256

712

FF

EIqL

EIqL

EIqL

EIqL

LEI

qLF89

1 = 8

2

2qLF = ∴

q qL qL /82

9qL/8

Las reacciones se resuelven por estática.


CAPÍTULO 4. MÉTODOS ENERGÉTICOS. 4.1 Introducción. El sistema experimenta una deformación cuando cambia su configuración o cuando se desplazan sus puntos materiales. Un sistema de fuerzas aplicado a un cuerpo, lo deforma hasta que el sistema de fuerzas internas equilibra al sistema de fuerzas externo. Las fuerzas externas realizan un trabajo que se deforma y acumula en el cuerpo. Este trabajo o energía de deformación es el utilizado por el cuerpo para recuperar su forma original al cesar la acción. 4.2 Ley de termodinámica. El trabajo efectuado por las fuerzas externas más el calor que absorbe el sistema del exterior es igual al incremento de energía cinética más el incremento de energía interna. En un sistema elástico se desprecian las pérdidas por calor y la energía interna del sistema es la energía o trabajo de deformación de dicho sistema. Dada una barra elástica de sección transversal A y longitud L sujeta a una carga axial P (aplicada gradualmente) cumple con la ley experimental de elasticidad lineal de Hooke.

PEAL

=δ (4-1)

Donde δ es la deformación de la barra y E el módulo de elasticidad de Young. El trabajo desarrollado en contra de las fuerzas internas del sistema es:

∫= δPdW (4-2)

De la ecuación 4-1 se despeja P:

δL

EAP =


Sustituyendo en la ecuación 4-2 se obtiene:

δδδδ PL

EAdL

EAW21

2

2

=== ∫ , ley de Clapeyron (4-3)

p

δ

C

W

δPW21

=

∫= dPC δ

Energía complementaria de deformación:

∫ ∫ ==== PPEALPdP

EALdPC δδ

21

2

2

(4-4)

Cuando la aplicación de la carga es instantánea, el trabajo de deformación es:

WCP +=δ

4.3 Energía específica de deformación. El esfuerzo normal de la barra sometida a carga axial es:

AP

=σ (4-5)

Y la deformación unitaria es:

Lδε = (4-6)

Despejando P y δ respectivamente de las ecuaciones 4-5 y 4-6 en la ecuación 4.3 se tiene:

AP σ= y Lεδ =

ALLAPW σεεσδ21

21

21

=== (4-7)


Si AL es un volumen unitario se tiene el trabajo específico de deformación , es decir la energía de deformación almacenada en la unidad de volumen: uW

σε21

=uW (4-8)

Sea una unidad de volumen y un corte paralelo al plano xy:

y

x

∆x

∆z

∆y∆y

∆x

δ δ

γ

P

P

P

P

El esfuerzo cortante y el giro son respectivamente:

zxP∆∆

=τ y y∆

=δγ (4-9)

Despejando P y δ de las ecuaciones anteriores y remplazándolos en la ecuación 4-3 se tiene:

zxP ∆∆= τ y y∆= γδ

yzxyzxPW ∆∆∆=∆∆∆== τγγτδ21

21

21

Es decir:

τγ21

=uW (4-10)

Dado que ∆x∆y∆z=1. Basándose en el principio de superposición de causas y efectos, aplicable a materiales linealmente elásticos, el trabajo específico de deformación por


aplicación gradual de la carga es para el caso general de esfuerzos normales y tangenciales.

σx

τxy

τxz

σz

τzy

τzx

y

x

τyx

σy

τyz

( )yzW yzxzxzxyxyzzyyxxu γτγτγτεσεσεσ +++++=21 (4-11)

Por la condición de equilibrio se tiene:

yxxy ττ = , zxxz ττ = , zyyz ττ =

La energía de deformación total se obtiene integrando en todo el volumen del cuerpo:

∫ ∫ ∫=v

udVWW (4-12)

4.4 Energía de deformación de barras. Sea una barra prismática en el espacio tridimensional, que cumple la ley de Hooke y que se encuentra sujeta a los elementos mecánicos: fuerza axial, fuerza cortante, momento flexionante y momento torsionante, donde se cumple el estado de esfuerzos de Saint Venant:

0=== yzyz τσσ

ANALISIS ESTRUCTURAL 38x

y

z

Aplicando el principio de superposición de causas y efectos, se considera por separado cada uno de los elementos mecánicos. 4.5 Efecto de fuerza normal. Si actúa la fuerza normal Nx se produce el esfuerzo normal siguiente:

AN x

x =σ (4-13)

Donde la deformación axial es:

Lδε = (4-6)

Remplazando la deformación determinada por la Ley de Hooke en la

ecuación anterior se tiene:

xNEAL

=δ

EAEN

Lxx

xσδε === (4-14)

El trabajo específico producto de la fuerza normal queda como:

2

22

221

21

EAN

EW x

xxxu === σεσ (4-15)

La energía de deformación producto de la fuerza normal se obtiene integrando sobre el volumen:

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫∫ ====v v

L

A

L

A

xxxu dA

EAN

dxdAEAN

dxdVEAN

dVWW0 0 2

2

2

2

2

2

222 (4-16)

Dado que Nx, E y A son constantes en una sección transversal y ,

se tiene finalmente que el trabajo de deformación por fuerza normal es:

∫∫ =A

AdA

∫=L x

N dxEA

NW

0

2

2 (4-17)


4.6 Efecto de momento flexionante. De acuerdo con la teoría de elasticidad y de resistencia de materiales, si actúa un momento flexionante Mz, se produce el esfuerzo siguiente:

yI

M

z

zx =σ (4-18)

Donde es la distancia del eje neutro al punto donde se calcula el esfuerzo e yI el momento de inercia de la sección transversal respecto al eje z. Remplazando el valor de σx en la ecuación 4-8 se tiene:

22

22

21

21

21 y

IM

EEW

z

zxxxu === σεσ (4-19)

La energía de deformación producto del momento flexionante se obtiene integrando el trabajo específico sobre todo el volumen:

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫====v v

L

A

L

z

z

z

zu dxdAy

EIMdxdVy

EIMdVWW

0 0

22

22

2

2

22 ∫∫Az

z dAyEIM 2

2

2

2 (4-20)

Dado que , zM E e son constantes en una sección dada y , se

tiene finalmente que la energía de deformación por momento flexionante es:

zI ∫∫ =A

IdAy 2

∫=L

z

zM dx

EIM

Wz 0

2

2 (4-21)

4.5 Efecto de fuerza cortante. Si se considera la acción de la fuerza cortante sobre una barra, se producen respectivamente el esfuerzo y la deformación

yV

xzγ siguientes:

yz

zyxz bI

QV=τ (4-22)

xzxz Gγτ = ⇒G

xzxz

τγ = (4-23)

Donde es el momento estático respecto a zQ z , el ancho de la sección en estudio y G el módulo de elasticidad transversal, que varía entre y .

ybE4.0 E5.0


Remplazando los valores de la deformación xzγ y del esfuerzo xzτ en la ecuación 4-8 se obtiene el trabajo específico siguiente:

22

222

21

21

21

yz

zyxzxzxzu bI

QVGG

W === τγτ (4-24)

La energía de deformación producto de la fuerza cortante se obtiene integrando el trabajo específico sobre todo el volumen:

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ===v

L

A yz

zy

yz

zy

vuV dA

bIQV

GdxdV

bIQV

GdVWW

y 0 22

22

22

22

21

21 (4-25)

Por otro lado, se puede obtener el momento de inercia de la sección a través del radio de giro, de la manera siguiente:

AI z=ρ ⇒ 2ρAI z =

Remplazando este valor de en la ecuación anterior se tiene: zI

∫ ∫∫ ∫ ∫∫==L

A

L

yz

z

A

y

yz

zyV dA

bIQ

GAV

dxdAbIQV

GdxW

y 0 0 22

22

22

22

221

ρ (4-26)

Donde , y yV G A son constantes en una sección dada y ∫∫=A yz

z dAbI

Qk 22

2

ρ sólo

depende de la forma de la sección y se denomina coeficiente de forma “k”. Por lo tanto, en elementos de sección constante el trabajo de deformación por fuerza cortante se expresa como:

dxGAV

kWL y

Vy ∫=0

2

2 (4-27)

El coeficiente de forma k vale 1.2 para secciones rectangulares y triangulares, 10/9 para secciones circulares y para perfiles laminados.

almación AA /sec


4.6 Efecto de momento torsionante. Se puede demostrar que una barra de sección circular o anular sujeta a momento torsionante se producen los esfuerzos tangenciales siguientes: xM

rJ

M xxz=τ (4-28)

Donde es el momento polar de inercia y J r la distancia al centro de la

sección al punto en estudio. De acuerdo a la ecuación 4-24, el trabajo específico es:

22

22

21

21

21 r

JM

GGW x

xzxzxzu === τγτ (4-29)

La energía de deformación producto del momento torsionante se obtiene integrando el trabajo específico sobre todo el volumen:

∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫∫ ∫∫ ===v

L

A

x

v

xuV dA

GJMdxdVr

JM

GdVWW

y 0 2

22

2

2

221 (4-30)

Donde , y son constantes para una sección dada y es el

momento polar de inercia.

xM G J ∫∫ =A

JdAr 2

Por lo tanto, en elementos de sección constante el trabajo de deformación por momento de torsión se expresa como:

dxGJ

MWL

ox

M x ∫=2

2

(4-31)

Para secciones circulares o anulares tiene el valor de: J

( )44

32 ie DDJ −=π (4-32)

Para secciones no circulares o anulares se utiliza el momento polar de inercia modificado . mJ


∫=L

m

xM ds

GJM

Wx 0

2

2 (4-33)

Para secciones rectangulares tiene el valor de: mJ

3

31 btJ m = (4-34)

Donde es lado mayor y t el de dimensión menor. b Finalmente, para el caso general de una barra tridimensional, sujeta a los 6 esfuerzos o elementos mecánicos, se tiene el trabajo de deformación siguiente:

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫+++++=L

o

L L L L L

m

x

y

y

z

zzyx dxGJMdx

EIM

dxEI

MdxGAVkdx

GAV

kdxEANW

0 0 0 0 0

22222

1

2

22222

22 (4-35)


CAPÍTULO 5. OBTENCIÓN DE LA MATRIZ DE FLEXIBILIDADES Y DE RIGIDECES. Sea:

F2F1

F3

A B

∑ = 0Fx F2

F1

F3 M(x)N(x)

V(x)x

0)(1 =− xNF ∴ 1)( FxN = ∑ = 0Fy 0)(2 =− xVF ∴ 2)( FxV =

∑ = 02M

0)( 23 =−+− xFFxM ∴ xFFxM 23)( −= (5-1) las tres anteriores. La energía de deformación para este elemento se puede expresar como:

∫ ∫ ∫++=L L L

z

zyx dxEI

MdxGAVk

dxEA

NW

0 0 0

221

2

222 (5-2)

Sustituyendo los valores de , y , se tiene: xN yV zM

( )∫∫∫

−++=

L

z

LLdx

EIxFF

dxGAFk

dxEAF

W0

223

0

221

0

21

222

∫ ∫ ∫+−

++=L L L

z

dxEI

xFxFFFdxGAFkdx

EAF

0 0 0

22232

23

221

21

22

22

L

zzz

LL

EIxF

EIxFF

EIxF

xGAFk

xEAF

0

322

232

23

0

221

0

21

62222 ⎥⎦

⎤+−+⎥

⎦

⎤+⎥

⎦

⎤=


zzz EILF

EILFF

EILF

GALFk

EALFW

62222

322

232

23

221

21 +−++= (5-3)

De acuerdo a los teoremas de Castigliano:

iiF

W δ=∂∂ (5-4)

11

11 2

2F

EAL

EALF

FW

===∂∂ δ (5-5)

3

2

2

31

23

3221

22 2326

22

2F

EILF

EIL

GALk

EILF

EILF

GALFk

FW

zzzz

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=−+==

∂∂ δ (5-6)

32

2

2

2

32

23

33 2222

2F

EILF

EILF

EILF

EILF

EIL

EILF

FW

zzzz

+−=−=−==∂∂ δ (5-7)

Expresando las ecuaciones anteriores en forma matricial, se tiene:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

3

2

1

2

23

3

2

1

20

230

00

FFF

EIL

EIL

EIL

EIL

GAkL

EAL

zz

zδδδ

(5-8)

Esta ecuación se puede escribir en forma abreviada, de la manera:

{ } [ ] { }AAAA Ff=δ (5-9)

Donde es una matriz de flexibilidades, que relaciona las fuerzas en el extremo

[ ]AAfA , , con los desplazamientos del mismo extremo { }AF A , { }Aδ , de un

elemento que une los puntos A y B . Despejando de la ecuación 5-5, se tiene: 1F


11 FEAL

=δ ∴ 11 δL

EAF = (5-10)

Donde es una fuerza axial en el extremo 1F A y 1δ el desplazamiento longitudinal (axial del mismo extremo A del elemento BA − ). Resolviendo el sistema de ecuaciones 5-6 y 5-7 para las fuerzas y y

despreciando el término de cortante

2F 3F

GALk1 , se tiene:

3

2

2

31

2 23F

EILF

EIL

GALk

zz

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=δ (5-6)

32

2

3 2F

EILF

EIL

zz

+−=δ (5-7)

Multiplicando la ecuación 5-7 por : 2/L

3

2

2

3

3 242F

EILF

EILL

zz

+−=δ (5-11)

Sumando la ecuación 5-11 a la ecuación 5-6:

zzzz EILF

EILF

EIL

EILL

121234

432

3

2

3

2

33

32 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=+ δδ

∴ 32232612

δδLEI

LEIF zz += (5-12)

Sustituyendo el valor de en la ecuación 5-6 se tiene: 2F

3

2

323

3

2 2612

3F

EIL

LEI

LEI

EIL

z

zz

z

z

−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ += δδδ

3

2

322 224 F

EILL

z

−+= δδδ


3

2

32 223 F

EILL

z

−=−− δδ

∴ 322346

δδLEI

LEIF z += (5-13)

Expresando las ecuaciones 5-10, 5-12 y 5-13 en forma matricial:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

3

2

1

2

23

3

2

1

460

6120

00

δδδ

LEI

LEI

LEI

LEI

LEA

FFF

(5-14)

Esta ecuación se puede abreviar de la forma siguiente:

{ } [ ] { }AAAA kF δ=

Donde es una matriz de rigideces que relaciona los desplazamientos en el extremo

[ ]AAkA , { }Aδ , con las fuerzas del mismo extremo, { }AF , de un elemento que

une los nodos A y B . Sea:

F2F1

F3

A BF5

F4F6

Dada la ecuación de equilibrio del nodo A , { } [ ] { }AAAA kF δ= :

a) Se puede aplicar un desplazamiento unitario en A en la dirección de y obtener las fuerzas correspondientes del mismo nodo

1FA :

AAAAA

LEA

k

kkkk

k

FFF

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

00

00

001

00

00 11

3332

2322

11

31

21

11

∴ L

EAF =11 , 03121 == FF


F=1

F5F4F6

1

11

1

EAL1

Y por el equilibrio:

00

4111 =+

=∑FF

Fx ∴

06151

1141

==

−=−=

FFL

EAFF

41F Será la fuerza o rigidez necesaria en el nodo B , para equilibrar los efectos de nodo A , o sea, es la rigidez necesaria y única en 41F B para equilibrar A .

b) De la misma manera, aplicando un desplazamiento unitario en A , en la dirección de , se tiene que las fuerzas en nodo 2F A son:

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

2

3

32

22

3332

2322

11

32

22

12

6

1200

010

00

00

LEILEI

kk

kkkk

k

FFF

F =32 F6F4

F5

22

26EIL

F =226EIL

1

2

3

00

42 =

=∑F

Fx

00

5222 =+

=∑FF

Fy ∴ 3225212

LEIFF −=−=


223322262

223262

66120

0

LEI

LEI

LEILFLFF

LFFFMz

=−=−=

=−+

=∑

c) Si se aplica un giro unitario en A en la dirección de , se tiene que las fuerzas en el nodo

3FA son:

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

LEILEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEA

FFF

4

60

100

460

6120

00

2

2

23

33

23

13

F =33 F6F4

F5

33

34EIL

F =226EIL2

00

43 =

=∑F

Fx

00

2353 =+

=∑FF

Fy ∴ 223536LEIFF −=−=

LEI

LEIL

LEIFLFF

LFFFM z

2460

0

2332363

233363

=−=−=

=−+

=∑

Finalmente, aplicando estos desplazamientos unitarios en A se deducen los efectos en B , por tanto:

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

=

LEI

LEI

LEI

LEI

LEA

k BA

260

6120

00

2

23


Dada la propiedad de simetría de la matriz de rigidez del elemento estructural, se tiene:

[ ] [ ]TBAAB kk =

Ensamblando la matriz de rigidez del elemento BA − , se tiene:

[ ] ⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

−

−

−

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

6

5

4

3

2

1

2

23

22

2323

6

5

4

3

2

1

260

6120

00

260460

61206120

0000

δδδδδδ

LEI

LEI

kLEI

LEI

LEA

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEA

LEA

FFFFFF

BB

La ecuación de equilibrio del elemento se puede expresar también en forma simplificada:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

B

A

BBBA

ABAA

B

A

j

i

kkkk

FF

FF

δδ

Para la obtención de la submatriz , se procede como sigue: BBk

a) Si se aplica un desplazamiento unitario en B en la dirección de se conoce el efecto sobre

4FA y aplicando equilibrio se obtiene la rigidez en

B :

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧−

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

00

001

260

6120

00

2

23

34

24

14 LEA

LEI

LEI

LEI

LEI

LEA

FFF

Por equilibrio:


F =14 F6F4

F5

44

4

EAL

δx= 1

A B

0

0

44 =+−

=∑F

LEAFx

∴ L

EAF =44

b) Si se aplica un desplazamiento unitario en B , en la dirección de , se

conoce el efecto sobre 5F

A y aplicando equilibrio se obtiene la rigidez en B :

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−

−=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

2

3

2

23

35

25

15

6

120

010

260

6120

00

LEILEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEA

FFF

1

F5F4

F6

55

5

F =356EIL2

F =2512EI

L3

00

45 =

=∑F

Fx

0120

355 =−

=∑

LEIF

Fy ∴ 355

12LEIF =

01260

3265 =+−

=∑L

LEI

LEIF

Mz ∴ 22

265

6126LEI

LEI

LEIF −=−=

c) Si se aplica un giro unitario en B en la dirección , se conoce el efecto

en 6F

A y aplicando equilibrio, se obtiene la rigidez en A :


⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

LEILEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEA

FFF

2

60

100

260

6120

00

2

2

23

36

26

16

F6F4

F5

66

6

F =266EIL2

F =362EIL

00

46 =

=∑F

Fx

060

256 =+

=∑

LEIF

Fy ∴ 256

6LEIF −=

0620

266 =−+

=∑L

LEI

LEIF

Mz ∴

LEI

LEI

LEIF 426

66 =−=

Finalmente la matriz de rigidez es: BBk

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

LEI

LEI

LEI

LEI

LEA

kBB

460

6120

00

2

23

La matriz de rigidez del elemento AB :


[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−−

−

−

−

−

=

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEA

LEA

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEA

LEA

k

460260

61206120

0000

260460

61206120

0000

22

2323

22

2323

Y la ecuación de equilibrio del elemento es:

[ ] [ ]{ }δδδ

kkFF

B

A

B

A =⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

Ahora se aplicará el mismo procedimiento pero sin despreciar el término

de cortante GA

Lk1 :

Como primer paso, se obtendrá la inversa de la matriz 5-8:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

3

2

1

2

23

3

2

1

20

230

00

FFF

EIL

EIL

EIL

EIL

GAkL

EAL

zz

zδδδ

(5-8)

{ } [ ] [ ] 1−= AAAA ffI

[ ]AAf Es al matriz de flexibilidades, [ ] 1−

AAf es la matriz inversa y { es la matriz identidad.

}I


⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

100010001

20

230

00

987

654

321

2

23

BBBBBBBBB

EIL

EIL

EIL

EIL

GAkL

EAL

zz

z

Se aplicarán los sistemas de ecuaciones siguientes:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

001

20

230

00

7

4

1

2

23

BBB

EIL

EIL

EIL

EIL

GAkL

EAL

zz

z

11 =BEAL I⇒ ∴

LEAB =1

023 7

2

4

3

=−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ B

EILB

EIL

GAkL II⇒

02 74

2

=+− BEILB

EIL III⇒

De la ecuación III se despeja , obteniéndose: 7B

47 2BLB = Este valor se sustituye en la ecuación 2.

043

0223

4

3

4

3

4

2

4

3

=−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

BEILB

EIL

GAkL

BLEILB

EIL

GAkL

De las ecuaciones anteriores se deduce que 04 =B ∴ . 07 =B


⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

010

20

230

00

8

5

2

2

23

BBB

EIL

EIL

EIL

EIL

GAkL

EAL

zz

z

02 =BEAL IV⇒ ∴ 02 =B

123 8

2

5

3

=−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ B

EILB

EIL

GAkL V⇒

02 85

2

=+− BEILB

EIL VI⇒

De la ecuación VI se despeja , obteniéndose: 8B

58 2BLB = Este valor se sustituye en la ecuación V .

1223 5

2

5

3

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ BL

EILB

EIL

GAkL ⇒ 1

43 5

3

5

3

5 =−+ BEILB

EILB

GAkL

112

3

5 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

EIL

GAkLB ⇒

EIL

GAkL

B

12

135

+=

Simplificando el valor de obtenemos: 5B

( )3

335 1212

1212

1212

1

LGAEIkL

EIGAGALEIkL

EIGA

EIGAGALEIkL

B+

=÷+

=+

=

Si consideramos que kAar = y que

rGaLEI

2

12=α ; donde es el área efectiva de

cortante.

ra

( )112

11212

1212

3

233

5 +=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=+

=αLEI

GaLEIL

EI

LGa

EILEIB

rr


⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+=

EIL

GAkL

LB

12

12 38 ⇒

EIL

GAkL

LB

62 38

+=

Simplificamos el valor de : 8B

( )

( )16

1126

1126

126

126

126

126

612

62

2

22

222

233338

+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=+

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=+

=÷+

=+

=+

=

αLEI

GaLEIL

EI

GALEIkL

EI

LGAEIk

EI

LGAEIkL

EIL

LGAEIkL

EILGAGALEIkL

EILGA

EIGAGALEIkL

L

EIL

GAkL

LB

r

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

100

20

230

00

9

6

3

2

23

BBB

EIL

EIL

EIL

EIL

GAkL

EAL

zz

z

03 =BEAL VII⇒ ∴ 03 =B

023 9

2

6

3

=−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ B

EILB

EIL

GAkL VIII⇒

12 96

2

=+− BEILB

EIL IX⇒

De la ecuación IX se despeja obteniéndose: 9B

69 2BL

LEIB += Sustituimos este valor en la ecuación VIII .


EIL

GAkL

LB

LEI

LGAkLB

LBEI

LBGAkL

BEILLB

EILB

GAkL

BLLEI

EILB

EIL

GAkL

62

212

212

0423

0223

36

3

6

6

3

6

6

3

6

3

6

6

2

6

3

+=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=+

=−−+

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

El valor simplificado de es igual al valor de . 6B 8B Ahora obtendremos el valor de . 9B

EIL

GAkL

LLEI

EIL

GAkL

LLLEIB

34

322 3

2

39

++=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

++=

Simplificamos el valor de . 9B


( )( )

( )

( )

( )( )1

4

112

412

112

412

112

312

12

312

12312

12312

12312

123

312

34

23

22

23

22

23

2

222

3

2222

3

2222

3

2222

3

3322

3

2

3

2

3

2

9

++

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

=

+

++=÷

+++

=

+++

=+

++=

++=

++=

++=

αα

LEI

GaLEIL

GaLEIEIL

GALEIkL

GALEIkEIL

GALEIkL

EIEIGAL

kIEL

LGAEIkL

EILEILGA

kIE

GAGALEIkL

GAEILGAEILkIE

GALEIkLLGAEILGAEILkIEL

GALEIkLLGAEILGAEILkLIE

GALEIkLGAEIL

LEI

EIGAGALEIkL

LLEI

EIL

GAkL

LLEIB

r

r

La matriz inversa que se obtiene es la siguiente:

( ) ( )

( )( )( )

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

+

++=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

3

2

1

2

23

3

2

1

14

160

16

1120

00

δδδ

αα

α

αα

LEI

LEI

LEI

LEI

LEA

FFF

Esta ecuación se puede abreviar de la forma siguiente:

{ } [ ] { }AAAA kF δ=

Donde es una matriz de rigideces que relaciona los desplazamientos en el extremo

[ ]AAkA , { }Aδ , con las fuerzas del mismo extremo, { }AF , de un elemento que

une los nodos A y B . Sea:


F2

F1F3

A BF5

F4F6

Dada la ecuación de equilibrio del nodo A , { } [ ] { }AAAA kF δ= :

a) Se puede aplicar un desplazamiento unitario en A en la dirección de y obtener las fuerzas correspondientes del mismo nodo

1FA :

( ) ( )

( )( )( )

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

+

++=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

00

001

14

160

16

1120

00

2

22

31

21

11 LEA

LEI

LEI

LEI

LEI

LEA

FFF

αα

α

αα

∴ L

EAF =11 , 03121 == FF

F=1

F5F4F6

1

11

1

EAL1

Y por el equilibrio:

00

4111 =+

=∑FF

Fx ∴

06151

1141

==

−=−=

FFL

EAFF

41F Será la fuerza o rigidez necesaria en el nodo B , para equilibrar los efectos de nodo A , o sea, es la rigidez necesaria y única en 41F B para equilibrar A .

b) De la misma manera, aplicando un desplazamiento unitario en A , en la dirección de , se tiene que las fuerzas en nodo 2F A son:


( ) ( )

( )( )( )

( )

( )⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+

+=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

+

++=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

16

112

0

010

14

160

16

1120

00

2

3

2

22

32

22

11

α

α

αα

α

αα

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEA

FFF

F =32F6

F4

F5

22

2

L (α+ 1)

F =2212EIL (α+ 1)

1

2

3

6EI

00

42 =

=∑F

Fx

00

5222 =+

=∑FF

Fy

3225212

LEIFF −=−=

∑ = 0Mz

0)(223262 =−+ LFFF

0)1()(12

)1(6

2262 =+

−+

+aL

LEIaLEIF

0)1(

12)1(

62262 =

+−

++

aLEI

aLEIF

)1(6

262 +=

aLEIF

c) Si se aplica un giro unitario en A en la dirección de , se tiene que las fuerzas en el nodo

3FA son:


( ) ( )

( )( )( )

( )( )( ) ⎪

⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+++

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

+

++=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

141

60

100

14

160

16

1120

00

2

2

22

33

23

13

ααα

αα

α

αα

LEIL

EI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEA

FFF

F =33F6

F4

F5

33

3EI(α+ 4)L(α+ 1)

F =23 L (α+ 1)26EI

00

43 =

=∑F

Fx

00

2353 =+

=∑FF

Fy ∴ ( )16

22353 +−=−=

αLEIFF

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )( )α

ααα

ααα

α+−

=+

+++

−=+

+++

−=−=

=−+

=∑

12

16

14

16

14

00

2332363

233363

LEI

LEI

LEIL

LEI

LEIFLFF

LFFFM z

Finalmente, aplicando estos desplazamientos unitarios en A se deducen los efectos en B , por tanto:

[ ] ( ) ( )

( )( )( ) ⎥

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−

+

+−

+−

−

=

αα

α

αα

12

160

16

1120

00

2

23

LEI

LEI

LEI

LEI

LEA

k BA

Dada la propiedad de simetría de la matriz de rigidez del elemento estructural, se tiene:


[ ] [ ]TBAAB kk =

Ensamblando la matriz de rigidez del elemento BA − , se tiene:

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )( ) ( )

( )( )

( ) ( ) [ ]

( )( )( )

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−

+

+−

+−

−

+−

+−

++

+

++−

++

−

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

6

5

4

3

2

1

2

23

22

2323

6

5

4

3

2

1

12

160

16

1120

00

12

160

14

160

16

1120

16

1120

0000

δδδδδδ

αα

α

αα

αα

ααα

α

αααα

LEI

LEI

kL

EIL

EIL

EAL

EIL

EIL

EIL

EIL

EIL

EIL

EIL

EIL

EAL

EA

FFFFFF

BB

La ecuación de equilibrio del elemento se puede expresar también en forma simplificada:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

B

A

BBBA

ABAA

B

A

j

i

kkkk

FF

FF

δδ

Para la obtención de la submatriz , se procede como sigue: BBk

b) Si se aplica un desplazamiento unitario en B en la dirección de se conoce el efecto sobre

4FA y aplicando equilibrio se obtiene la rigidez en

B :

( )( )

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−

+−

++−

−

=⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬

⎫

00

001

12

)1(60

)1(6

)1(120

00

2

23

34

24

14 LEA

LEI

LEI

LEI

LEI

LEA

FFF

αα

α

αα

Por equilibrio:


F =14 F6F4

F5

44

4

EAL

δx= 1

A B

0

0

44 =+−

=∑F

LEAFx

∴ L

EAF =44

b) Si se aplica un desplazamiento unitario en B , en la dirección de , se

conoce el efecto sobre 5F

A y aplicando equilibrio se obtiene la rigidez en B :

( )( ) ⎥

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−

+−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−

+−

++−

−

=⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬

⎫

)1(6

)1(120

010

12

)1(60

)1(6

)1(120

00

2

3

2

23

35

25

15

α

α

αα

α

αα

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEA

FFF

1

F5F4

F6

55

5

F =35

F =25

L (α+ 1)2

L (α+ 1)3

6EI

12EI

00

45 =

=∑F

Fx

( ) 01

120

355 =+

−

=∑

αLEIF

Fy ∴ ( )1

12355 +

=αLEIF

( ) ( ) 01

121

60

3265 =+

++

−

=∑L

LEI

LEIF

Mz

αα ∴ ( ) ( ) ( )1

61

121

622

265 +

−=+

−+

=ααα LEI

LEI

LEIF

b) Si se aplica un giro unitario en B en la dirección , se conoce el efecto en

6FA y aplicando equilibrio, se obtiene la rigidez en A :


( )( )

( )( ) ⎥

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−

+−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−

+−

++−

−

=⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬

⎫

αα

α

αα

α

αα

12

)1(60

100

12

)1(60

)1(6

)1(120

00

2

2

23

36

26

16

LEIL

EI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEA

FFF

F6F4

F5

66

6

F =26 2

F =36EI(2-α)L(α+ 1)

6EIL (α+ 1)

00

46 =

=∑F

Fx

( ) 01

60

256 =+

+

=∑

αLEIF

Fy ∴ ( )1

6256 +

−=αLEIF

( )( ) ( ) 0

16

120

266 =+

−+−

+

=∑L

LEI

LEIF

Mz

ααα

∴ ( )

( )14

66 ++

=αα

LEIF

Finalmente la matriz de rigidez es: BBk

[ ] ( ) ( )

( )( )( ) ⎥

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

+−

+−

+=

14

160

16

1120

00

2

23

αα

α

αα

LEI

LEI

LEI

LEI

LEA

kBB

La matriz de rigidez del elemento AB :


[ ]

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )( ) ( )

( )( ) ⎥

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

+−

+−

+

+−

++−

+−

−

+−

+−

++

+

++−

++

−

=

14

160

12

160

16

1120

16

1120

0000

12

160

14

160

16

1120

16

1120

0000

22

2323

22

2323

αα

ααα

α

αααα

αα

ααα

α

αααα

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEA

LEA

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEA

LEA

k

Y la ecuación de equilibrio del elemento es:

[ ] [ ]{ }δδδ

kkFF

B

A

B

A =⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

Como ya se había mencionado, el coeficiente de forma para secciones rectangulares, a continuación se efectúa la demostración:

2.1=k

∫∫=A yz

z dAbI

Qk 22

2

ρ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= 2

2

42yhbQ

AI

=2ρ 12

3bhI = bhA =

Desarrollando la integral:


( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 2.1160362

862

892

16072

812

818

16072

812

818

160362

862

892

5366

8183618

818

3618818

1657628836

36

16168

36

216

364

44

144

44

12121

42

2/

2/

2/

2/

2/

2/

2/

2/

2/

2/

2/

2/

2/

2/5

5

3

3

5

4

3

2

5

4

3

2

5

4224

5

4224

5

4224

52

22

22

53

22

22

233

2

22

=+−=⎥⎦⎤+−=+−=

+−=⎥

⎦

⎤+−=+−=

+−=+−

=

+−

=

+−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

∫

∫ ∫ ∫ ∫

∫∫∫∫∫∫

∫∫ ∫∫ ∫∫∫∫

−−

− − − −−

b

b

b

b

b

b

h

h

b

b

b

b

h

h

AAA

A A AA

bx

bx

bxdx

bbb

dxbbbdx

bhy

bhy

bhydydx

bhy

bhy

bh

dAbh

ybh

ybh

dAbh

yyhhdAbh

yyhh

dAbh

yyhh

dAbhb

yhb

dAhb

yhb

dAbbhbh

bh

yhb

k

Ejemplo.


Obtención de la matriz de flexibilidades y de rigideces de un elemento de sección constante en el espacio tridimensional. Sea:

L

F2F6

y

F8F12

F7

F10F11

z

F4F1

F3 F9

xiA

jB

F5

Lo que se busca es establecer la ecuación de equilibrio del elemento en función de los desplazamientos y de las fuerzas aplicadas en los nodos extremos de la barra. Para la obtención de la matriz de flexibilidades del elemento se puede proceder como sigue: La energía de deformación del elemento con comportamiento lineal se puede expresar como:

∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ +++++=L L L L L

y

yz

m

x

z

zyL x dxEJM

dxGAVk

dxGJM

dxEIM

dxGAVk

dxEA

NW

0 0 0 0 02

221

0

2

222222 (1)

Haciendo un corte y verificando el equilibrio, se pueden obtener las variaciones de las fuerzas internas como sigue:

F2F6

y

Nx

Vz

z

F4F1

F3M

x

F5

x

VyMy

Mz

∑ = 0Fx


0.1 =− xNF ∴ 1FN x = ∑ = 0Fy

02 =− yVF ∴ 2FVy = ∑ = 0Fz

05 =− zVF ∴ 5FVz = ∑ = 0Mx

04 =− MxF ∴ 4FMx = ∑ = 0My

056 =−− MyxFF ∴ xFFMy 56 −= ∑ = 0Mz

023 =−− MzxFF ∴ xFFMz 23 −= (2) todas las anteriores. Sustituyendo las valores de , , , , y en la ecuación 1 se tiene: xN yV zV xM yM zM

( ) ( )

L

yymzz

L

ymz

L

ymz

EIxF

EIxFFxF

GAxFk

GJxF

EIxF

EIxFFxF

xGAFkx

EAF

dxEI

xFxFFFGAFk

GJF

EIxFxFFF

GAFk

EAF

dxEI

xFFGAFk

GJF

EIxFF

GAFk

EAFW

0

325

265

26

252

24

322

232

23

221

21

0

22565

26

252

24

22232

23

221

21

0

256

252

24

223

221

21

62226222

22

2222

22

222222

⎥⎥⎦

⎤+

−++++

−++=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ +−+++

+−++=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −+++

−++=

∫

∫

yymzz EILF

EILFFLF

GALFk

GJLF

EILF

EILFFLF

GALFk

EALFW

62226222

325

265

26

252

24

322

232

23

221

21 +

−++++

−++=

(3)

De acuerdo al teorema de Castigliano:

iiF

W δ=∂∂

EALF

FW 1

11

==∂∂ δ


3

2

2

312

3

3

2

21

22 2332

FEILF

EIL

GALk

EIFL

FEILF

GALk

FW

zzzz

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+−==

∂∂ δ

2

2

333 2

FEILF

EIL

FW

zz

−==∂∂ δ

444

FGJ

LFW

m

==∂∂ δ

6

2

5

32

5

3

6

2

52

55 2332

FEILF

EIL

GALkF

EILF

EILF

GALk

FW

yyyy

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+−==

∂∂ δ

5

2

666 2

FEILF

EIL

FW

yy

−==∂∂ δ (4) todas las anteriores.

Expresando las ecuaciones anteriores en forma matricial se tiene:

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

6

5

4

3

2

1

2

232

2

231

6

5

4

3

2

1

20000

230000

00000

0002

0

00023

0

00000

FFFFFF

EIL

EIL

EIL

EIL

GALk

GJL

EIL

EIL

EIL

EIL

GALk

EAL

yy

yy

m

zz

zz

δδδδδδ

(5)

En forma abreviada { } [ ] { }iiii Ff=δ (6)

Donde es una matriz de flexibilidades, que relaciona las fuerzas en el extremo

[ ]iifA , , , con los desplazamientos del mismo extremo i , i { }iF { }iδ de un

elemento en el espacio , que une los nodos i y . D3 j

Por otro lado, las fuerzas { se pueden despejar de la ecuación 6 de la siguiente manera:

}iF


{ } { } { } [ ] { }iiiiiii kfF δδ == −1

CAPÍTULO 6. OBTENCIÓN DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO DE SECCIÓN VARIABLE.


6.1 Introducción. Para el caso particular de sistemas estructurales construidos a base de elementos de sección variable, la metodología antes descrita sigue siendo aplicable y requiere únicamente la definición de la matriz de rigidez de este tipo de elementos en coordenadas locales. Partiendo de la energía de deformación de un elemento plano se obtiene la relación entre fuerzas y desplazamientos de un nodo extremo del elemento, a través de la matriz de flexibilidades. Por otro lado, se deduce la matriz de rigidez del nodo mencionado, invirtiendo simplemente la matriz de flexibilidades. Después, aplicando desplazamientos unitarios y por equilibrio de fuerzas se deduce la matriz de rigidez para ambos extremos del elemento de sección variable. Finalmente, como un ejemplo de este trabajo se obtiene la matriz de rigidez de un elemento de sección variable rectangular llena. 6.2 Matriz de rigidez de un elemento de sección variable. Para la obtención de la matriz de rigidez de un elemento de sección variable con fuerzas o desplazamientos aplicados en los nodos extremos (figura 6-1), se puede proceder como a continuación se describe. La energía de deformación para un elemento plano con comportamiento lineal se puede expresar como:

dxEI

MGAVk

EANW

L

z

zy∫⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡++=

0

221

2

222 (6-1)

x

y

z

F1F2

F3M

N

V

A B

x

Figura 6-1.Elemento sujeto a fuerzas en los nodos extremos.

Donde, por equilibrio:


( )( )

( ) xFFxMFxVFxN

z 23

2

1

−===

(6-2)

Sustituyendo los valores de N , V y M en la ecuación 6-1 se obtiene:

( )( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )∫

∫

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+−+=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

−+=

L

z

L

z

dxxGA

FkxEI

xFxFFFxEA

FW

dxxGA

FkxEIxFF

xEAF

W

0

221

22232

23

21

0

221

223

21

222

2

222 (6-3)

De acuerdo al teorema de Castigliano:

iiF

W δ=∂∂ (6-4)

∴ 1001

11 )()(

FxEA

dxdxxEA

FFW LL

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡===

∂∂

∫∫δ

( ) ( ) ( )∫ ∫∫ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−==

∂∂ L L

z

L

zz

FxEI

xdxFdxxGA

kxEI

xdxxGA

FkxEI

xFxFFW

0 30201

2213

22

22 )()(2

22

22δ

( ) ( ) ( )∫ ∫∫ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−==

∂∂ L L

z

L

zz

FxEI

dxFxEI

xdxdxxEI

FxFFW

0 3020

323

3 222

δ (6-5)

Expresando estas relaciones en forma matricial se tiene:

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∫∫

∫∫

∫

3

2

1

00

001

2

0

3

2

1

0

0

00

FFF

xEIdx

xEIxdx

xEIxdxdx

xGAk

xEIx

xEAdx

L

z

L

z

L

z

L

z

L

δδδ

[ ]⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

3

2

1

3332

2322

11

3

2

1

3

2

1

00

00

FFF

ffff

f

FFF

f AA

δδδ

(6-6)

De acuerdo a lo anteriormente expuesto (ecuación 6-6), la matriz de flexibilidades del nodo A es:


[ ]( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=

∫∫

∫∫

∫

L

z

L

z

L

z

L

z

L

AA

xEIdx

xEIxdx

xEIxdxdx

xGAk

xEIx

xEAdx

ffff

ff

00

001

2

0

3332

2322

11

0

0

00

00

00

(6-7)

Dada esta matriz de flexibilidades del nodo A , (ecuación 6-7), y la relación que existe entre las fuerzas y desplazamientos de un mismo nodo extremo de un elemento (figura 6-2), se puede proceder como sigue, para la obtención de la matriz de rigidez completa de un elemento de sección variable.

x

F ,2

A BL

Figura 6-2.Fuerzas y desplazamientos en los nodos extremos del elemento.

δ 2 F ,1 δ 1F ,3 δ 3

F ,5 δ 5F ,6 δ 6F ,4 δ 4

A partir de la ecuación 6-7, se obtiene para el nodo A la relación siguiente:

[ ] [ ]{ } [ ] { } { }AAAAAA

Df

Df

Df

Df

f

fkF δδδ

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=== −

2223

2333

11

1

0

0

001

(6-8)

Donde [ AAk ] es la matriz de rigidez del nodo A y el determinante es:

2233322 fffDetD −== .

a) Dado un desplazamiento unitario en A en la dirección de 1F (figura 6-3),

se pueden obtener las fuerzas en el nodo A y por equilibrio deducir las fuerzas en el nodo B:


⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

00

1

00

001

00

001111

3332

2322

11

31

21

11 fk

kkkk

k

FFF

(6-9)

,06151 == FF

111141

1f

FF −=−= (6-10)

x

F 21

A BL

Figura 6-3.Fuerzas provocadas por un desplazamiento unitario en la dirección F1.

F 11F 31

F 51F 61

F 41

δ = 11

b) De la misma manera, se aplica un desplazamiento unitario en A en la dirección de 2F (figura 6-4), para obtener las fuerzas en el nodo A y por equilibrio deducir las fuerzas en el nodo B.

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

DfDf

kk

kkkk

k

FFF

23

33

32

22

3332

2322

11

32

22

12 00

010

00

00 (6-11)

,012 =F ,3322 D

fF =

Df

F 2332 =

(6-12)

,042 =F ,332252 D

fFF

−=−=

DfLf

FxFF 2333322262

−=−=


x

F 22

A B

L

Figura 6-4.Fuerzas provocadas por un desplazamiento unitario en la direcc ión F2.

F 12F 32

F 52F 62

F 42

δ = 12

c) Finalmente, se aplica un desplazamiento unitario en A (figura 6-5), en la dirección 3F , para obtener las fuerzas en el nodo A y por equilibrio deducir las fuerzas en el nodo B.

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

DfDf

kk

kkkk

k

FFF

22

23

33

23

3332

2322

11

32

22

16 00

100

00

00 (6-13)

x

F 23

A B

L


F 13F 33

F 53F 63

F 43

δ = 13

,013 =F ,2233 D

fF =

Df

F 2323 =

(6-14)

,043 =F ,2353 D

fF −=

DfLf

F 222363

−=

Por lo tanto la submatriz de rigidez AB es:


⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−

=

DfLf

Df

DfLf

Df

f

k AB

222323

233333

11

0

0

001

(6-15)

Y por simetría de la matriz de rigidez del elemento se tiene que:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−

==

DfLf

DfLf

Df

Df

f

kk TBABA

22232333

2333

11

0

0

001

(6-16)

Dado que se conoce la submatriz de rigidez [ ]BAk , se conocen también las

fuerzas producidas en el nodo A por los efectos de los desplazamientos unitarios en B, por tanto se puede por equilibrio deducir las fuerzas y rigideces en el nodo B, (figura 6-6, 6-7 y 6-8).

x

F 24

A B

L


F 14F 34

F 54F 64

F 44

δ = 11

,1

111444 f

FF == ,03424 == FF 06454 == FF (6-17)


x

F 25

A B

L

Figura 6-7.Fuerzas provocadas por un desplazamiento unitario en la dirección F5.

F 15F 35

F 55

F 65

F 45

δ = 15

,015 =F ,3325 D

fF =

Df

F 2335 =

(6-18)

,01545 == FF ,332555 D

fFF ==

DLff

LFFF 3323253565

−=−=

x

F 26

A B

L


F 16F 36

F 56F 66

F 46

δ = 16

,016 =F ,233326 D

fLfF

−=

DfLf

F 222336

−=

,016 =F ,33235656 D

LffFF

−=−= 362633 FLFF −= (6-19)

( )

DLffLf

DfLf

DLfLf

F 23222

332223233333

2−+=

−−

−=


La matriz resultante en B es:

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−−

−=

DLfLff

DLff

DLff

Df

f

kBB

23323223323

332333

11

20

0

001

(6-20)

Ensamblando las submatrices obtenidas, de las ecuaciones 6-8, 6-15, 6-16 y 6-20, se obtiene la matriz de rigideces de un elemento A-B de sección variable:

[ ] [ ] [ ][ ] [ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−−−−

−−−

−

−−

−−

−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

DLfLff

DLff

DfLf

DfLf

DLff

Df

Df

Df

ff

DfLf

Df

Df

Df

DfLf

Df

Df

Df

ff

kkkk

kBBBA

ABAA

2332322332322232333

3323332333

1111

2223232223

2333332333

1111

200

00

001001

00

00

001001

(6-21)

Renombrando los términos iguales, esta matriz se puede representar como:

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−−−

−

=

66263626

26222322

1111

36233323

26222322

1111

0000

00000000

0000

kkkkkkkk

kkkkkkkkkk

kk

k (6-22)

Donde:

,1

1111 f

k = ,3322 D

fk = ,23

23 Df

k = Df

k 2233 =

(6-23)

,233326 D

fLfk

−= ,2223

36 DfLf

k−

= D

fLfLfk 2223

233

662 +−

=


6.3 Ejemplo de una viga de sección variable rectangular. Sea un elemento de sección variable rectangular llena, como el mostrado en la figura 6-9. En este caso en particular, el peralte varía linealmente a lo largo de la longitud, y tanto el área como el momento de inercia se pueden expresar en función de x.

( ) xL

hhhxh 12

1−

+=

(6-24)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+== xL

hhhbxbhxA 121)()( e

312

1

3

1212)()( ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+== xL

hhhbxbhxI

L

b

b

x

Figura 6-9.Elemento de secc ión variable rec tangular llena.

h1

h2

De acuerdo con el capítulo anterior se puede obtener la matriz de rigideces a partir de la matriz de flexibilidades, o de los términos de la matriz de flexibilidades, 11f , 22f , 23f y 33f :

( )∫ ∫ ∫ −+

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+==

L L L

xL

hhh

dxEbx

LhhhEb

dxxEA

dxf0 0 0 12

112

1

111 (6-25)

Haciendo un cambio de variable:


,121 x

Lhh

hu−

+= dxL

hhdu 12 −

= (6-26)

,12

duhh

Ldx−

= :límites ;0 1hux =→= 2huLx =→=

La integral se convierte en:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∫∫ −−

=⎥⎦

⎤−

=−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 2

1

2

1

2

1

12121212

121 h

h

h

h

h

h

hInhInhhEb

LuInhhEb

Ludu

hhEbL

u

duhh

L

Eb

(6-27)

Por consiguiente se tiene que el primer término de la matriz de flexibilidades es:

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=1

2

1211 h

hInhhEb

Lf (6-28)

El siguiente término es:

( ) ( )∫ ∫+=L L

xGAdxk

xEIdxxf

0 0

12

22 (6-29)

Tomando el primer término de la integral:

( )∫ ∫⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+

=L L

xL

hhh

dxxEbxEI

dxx

0 03

121

22 12 (6-30)

Y haciendo un cambio de variables:

,121 x

Lhh

hu−

+= ,12

1 Lhhhu

x−−

= ( )

,2 22

12

211

22 L

hhhuhux

−+−

=

,12 dxL

hhdu

−= du

hhLdx

12 −= (6-31)

Con límites: sí 10 hux =→= y si 2huLx =→= La integral se convierte en:


( )( )

( )

( ) ( )( )

( ) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−=

⎥⎦

⎤⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+−

−=

+−

−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

+−

∫ ∫ ∫

∫ ∫

21

22

21

121

1

23

12

3

22

11312

3

32

1313

2

312

3

3

211

2

312

3

312

212

211

2

2

21

2111212

211212212

2122

12

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

hhh

hhh

hh

InhhEb

L

uh

uhuIn

hhEbL

uduh

uuduh

uduu

hhEbL

uduhuhu

hhEbL

u

duhh

Lhh

huhu

EbL

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

(6-32)

El segundo término es una integral similar a 11f :

( ) ( )∫ ∫=L L

xAdx

Gk

xGAdxk

0 0

11 (6-33)

Por lo tanto, simplificando términos se tiene:

( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−=

1

2

12

122

21

2

1

1

23

12

3

22 23

2212

hhIn

hhGbLk

hh

hh

hhIn

hhEbLf (6-34)

El siguiente término de la matriz de flexibilidades 23f es:

( )∫ ∫⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+

==L L

xL

hhh

xdxEbxEI

xdxf0 0

312

1

2312 (6-35)

Haciendo un cambio de variables:

xL

hhhu 12

1−

+= Lhhhu

x12

1

−−

=

dxL

hhdu 12 −

= duhh

Ldx12 −

= (6-36)

:límites ;0 1hux =→= 2huLx =→=



( )( )

( )

( ) ( ) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−

−=⎥

⎦

⎤⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

−=

−−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

∫ ∫∫

21

22

1

213

12

3

21212

2

313212

2

31

212

2

31212

1

112

11122

1112

121212

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

hhh

hhhhEbL

uh

uhhEbL

uduh

uudu

hhEbL

uduhu

hhEbL

u

duhh

LLhhhu

Eb

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h∫

(6-37)

Simplificando términos:

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

−= 2

2

1

212

12

2

23 21

2112

hh

hhhhEbLf (6-38)

Por último, el término se obtiene como sigue: 33f

( )∫ ∫⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+

==L L

xL

hhh

dxEbxEI

dxf0 0

312

1

3312 (6-39)

Haciendo el cambio de variable:

,121 x

Lhhhu −

+= :límites ;0 1hux =→= 2huLx =→=

,12 dxL

hhdu −= du

hhLdx

12 −= (6-40)


( ) ( ) ( )∫ ∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=⎥

⎦

⎤⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−2

1

2

1

2

1

22

2112

212

312

312 116

21

.121212 h

h

h

h

h

h hhhhEbL

uhhEbL

udu

hhEbL

u

duhh

L

Eb (6-41)


Simplificando términos se tiene:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−= 2

22

11233

116hhhhEb

Lf (6-42)

En resumen, los valores de los términos de la matriz de flexión son:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=1

2

1211 h

hIn

hhEbLf

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−=

1

2

12

122

21

2

1

1

23

12

3

22 23

2212

hh

InhhGb

Lkhh

hh

hh

InhhEb

Lf (6-43)

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

−= 2

2

1

212

12

2

23 21

2112

hh

hhhhEbLf

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−= 2

22

11233

116hhhhEb

Lf

Está claro que teniendo los valores de las flexibilidades se puede obtener la matriz de rigidez del elemento mediante las ecuaciones 6-23. Se hace la observación que para otro tipo de secciones, como la sección hueca o la sección tipo I, las integrales para obtener los términos de la matriz de flexibilidades se complican, ya que tanto las funciones de área como de los momentos de inercia son polinomios, que están en el denominador de la integral; por lo tanto se puede obtener la matriz de rigideces de este tipo de secciones mediante la composición de secciones macizas y la adición de las matrices de rigideces de este tipo de secciones macizas, como se muestra en las figuras siguientes:


h(x)t1

t2

b

= h(x)

b

- h(x) - 2t2

b - 2t1

SECCIÓN HUECA S SECCIÓN LLENA A SECCIÓN LLENA B

[KS] = [KA] - [KB]

Figura 6-10.Elemento de sección variable hueca o tubular cuadrada.

h(x)t1

t2

b

= h(x)

b

- h(x) - 2t2

b - t1

SECCIÓN HUECA S SECCIÓN LLENA A SECCIÓN LLENA B

[KS] = [KA] - [KB]

Figura 6-11.Elemento de sección variable tipo I.

Es necesario aclarar que en esta composición de secciones debe hacerse la adición o diferencia con las matrices de rigidez y no con las matrices de flexibilidad, ya que la flexibilidad es inversamente proporcional al área y al momento de inercia, por lo cual no pueden sumarse o restarse áreas para determinar la flexibilidad de un elemento, pero sí es válido sumarlas o restarlas cuando se trata de rigideces, ya que la rigidez es directamente proporcional al área y al momento de inercia. Como comprobación de esta composición de áreas, se hicieron integrales numéricas para casos específicos y se verificaron los resultados obtenidos mediante la resta de matrices de rigideces de secciones macizas. Los resultados obtenidos por ambos métodos son similares.


6.4 Conclusiones. La matriz de rigidez de un elemento de sección variable ha sido deducida a través de la matriz de flexibilidades. En particular se ejemplifica la deducción para un elemento de sección rectangular maciza o llena. Esta solución puede fácilmente ser extendida a otro tipo de secciones como las secciones huecas o las tipo I, de uso muy frecuente sobre todo en elementos de acero, sin necesidad de deducir matrices específicas de cada sección, ya que utilizando la matriz de rigidez de una sección maciza, se pueden obtener otro tipo de sección con combinaciones de la misma. Finalmente, cabe señalar que el método se puede fácilmente sistematizar e implementar en programas de análisis de uso común.


CAPÍTULO 7. MATRIZ DE RIGIDECES PARA ARMADURAS Y MARCOS. 7.1 Matriz de rigideces para armaduras.

y

x

y'

x'Coordenadas Globales. Coordenadas Locales.

x'

y'

1 2x'1x'2

y'1 y'2

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

'2

'2

'1

'1

'2

'2

'1

'1

0000

000000

00

vuvu

LEA

LEA

LEA

LEA

yxyx

x'y'

x'1 y'1

θθ

θ

x1

y1

θθ

θθ

cos

cos'1

'11

'1

'11

ysenxy

senyxx

+=

−= ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡'1

'1

1

1

coscos

yx

sensen

yx

θθθθ

θθ

θθ

senysenxy

senyxx

11'1

11'1 cos

+−=

+= ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

1

1'1

'1

coscos

yx

sensen

yx

θθθθ

Matriz de rotación (R)


⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡'1

'1

'1

'1

coscos

coscos

yx

sensen

sensen

yx

θθθθ

θθθθ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡1001

'11

1'1

xRx

xRxT=

= ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡'2

'1

2221

1211

'2

'1

uu

kkkk

xx

1−= RRT

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= '

1

'1'

1 yx

x 2211

00

0 kLEA

k =⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡= ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡= '

1

'1'

1vu

u

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= '

2

'2'

2 yx

x 1221

00

0 kLEA

k =⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= '

2

'2'

2vu

u

1

'1 uRu = '

11 uRu T=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

2

1

2221

1211

2

1

uRuR

kkkk

xRxR

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

0000

0

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

2

1

2221

1211

2

1

00

00

uu

RR

kkkk

xx

RR

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

2

1

2221

1211

2

1

00

00

00

00

uu

RR

kkkk

RR

xx

RR

RR

T

T

T

T

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

2

1

22

12

21

11

2

1

1001

uu

RkRRkR

RkRRkR

xx

T

T

T

T

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

θθθθ

θθθθ

coscos

00

0cos

cos11 sen

senL

EA

sensen

RkRT

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

θθθθ

θ

θ

coscos

0

0cos2

sensen

senL

EAL

EA


RkRsen

LEAsen

LEA

senL

EAL

EA

RkR TT22

2

2

11

cos

coscos=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=θθθ

θθθ

RkRRkR TT

2112 =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−−−−

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

2

2

1

1

22

22

22

22

2

2

1

1

coscoscoscoscoscos

coscoscoscoscoscos

vuvu

sensensensensensen

sensensensensensen

LEA

yxyx

θθθθθθθθθθθθ

θθθθθθθθθθθθ

7.2 Matriz de rigideces para marcos.

x1

y1M1

x2

y2M2

2

1

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−−

−

−

−

−

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

'2

'2

'2

'1

'1

'1

22

323

22

2323

'2

'2

'2

'1

'1

'1

460260

61206120

0000

260460

61206120

0000

θ

θ

vu

vu

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEA

LEA

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEA

LEA

MyxMyx


θx1

y1M1

x'1 y'1θ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡'2

'1

2221

1211

2

1

uu

kkkk

xx

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

1

1

1

'1

'1

'1

1000cos0cos

Myx

sensen

Myx

θθθθ

1

' xRx = 1'1 uRu =

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

1

1

2221

1211

2

1

uRuR

kkkk

xRxR

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

2

1

2221

1211

2

1

00

00

uu

RR

kkkk

xx

RR

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

2

1

2221

1211

2

1

00

00

uu

RR

kkkk

RR

xx

T

T

TRR =−1

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

2221

1211

kRkRkRkR

TT

TT

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

RkRRkRRkRRkR

TT

TT

2221

1211

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=

1000cos0cos

460

6120

00

1000cos0cos

2

2311 θθθθ

θθθθ

sensen

LEI

LEI

LEI

LEI

LEA

sensen

RkRT

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

=1000cos0cos

260

cos612

612cos

2

23

23

11 θθθθ

θθ

θθθ

sensen

LEI

LEI

LEI

LEIsen

LEA

senLEIsen

LEI

LEA

RkRT


⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

=

LEI

LEIsen

LEI

LEI

LEIsen

LEA

LEI

LEAsen

senLEI

LEI

LEAsensen

LEI

LEA

RkRT

4cos66

cos6cos1212cos

612cos12cos

22

22

32

3

232

32

11

θθ

θθθθθ

θθθθθ

FEP

vu

vu

FEDGEDEBCEBCDCADCA

GEDFEDEBCEBCDCADCA

MyxMyx

+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−−−−−

−−−−−−

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

2

2

2

1

1

1

2

2

2

1

1

1

θ

θ

θθ 23

2 12cos senLEI

LEAA += θθ 2

32 cos12

LEIsen

LEAB +=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= 3

12cosLEI

LEAsenC θθ θsen

LEID 2

6−=

θcos62L

EIE = LEIF 4

=

LEIG 2

=


Ejemplo. Obtener las reacciones y diagramas de la viga mostrada, a) sin el término de cortante y b) con el término de cortante (µ=0.18).

125 cm 125 cm 350 cm

q= 90 kg/cm

k= 25000 kg/cm

P= 25000 kg/cm

Reacciones y diagramas sin el término de cortante.

q= 90 kg/cm

P= 25000 kg

251888.62 kg-cm

6147.66 kg 39859.41 kg 10492.93 kg

6147.66 kg

18852.34 kg

21007.07 kg

10492.93 kg

516568.88 kg-cm

1839973.62 kg-cm

251888.62 kg-cm

611551.49 kg-cm


Reacciones y diagramas con el término de cortante.

q= 90 kg/cm

P= 25000 kg

681305.66 kg-cm

7990.31 kg 37927.48 kg 10582.21 kg

7990.31 kg

17009.69 kg

20917.79 kg

317483.09 kg-cm

1839973.62 kg-cm

681305.66 kg-cm

621919.04 kg-cm


CAPÍTULO 8. ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS ESQUELETALES CON MUROS DE CONCRETO.

h5

h4

h3

h2

h1

W1 W2

Ejes Centroidales

Muro

Muro Columnas

Vigas

a)

h5

h4

h3

h2

h1

L1

W2/2

W1/2

L2 L3 L4

b)

Figura 8-1. a) Esquema de la estructura. b) Marcos con columnas anchas.


8.1 Obtención de la matriz de rigidez de un elemento con extremos infinitamente rígidos.

a L b

1 2 3 4

Zonas Rígidas

1

2

34

56

Figura 8-2. Viga con zonas infinitamente rígidas a flexión en sus extremos.

L

F'3F'1

F'2

F2

F1

F3 F3

F2

F5 F6

F4

F6

F5F'6

F'4F'5

a b

Haciendo cortes en las secciones 2 y 3 y aplicando equilibrio de fuerzas en los diagramas de cuerpo libre de los tramos 1-2 y 3-4, se tiene lo siguiente: ∑ = ,0xF ,1

'1 FF = 4

'4 FF =

∑ = ,0yF (8-1) ,2

'2 FF = 5

'5 FF =

∑ = ,0zM 23

'3 aFFF +=

56

'6 bFFF −=

Expresando las ecuaciones anteriores en forma matricial se tiene:


[ ] { }RH

FFFFFF

b

a

FFFFFF

T=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

6

5

4

3

2

1

'6

'5

'4

'3

'2

'1

1000001000000100000010000010000001

(8-2)

Las relaciones entre los desplazamientos son:

'11 dd = addd '

3'22 += '

33 dd = (8-3)

'44 dd = bddd '

6'55 −= '

66 dd =

[ ]{ }'

'6

'5

'4

'3

'2

'1

6

5

4

3

2

1

10000010000

00100000010000010000001

dH

dddddd

b

a

dddddd

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

(8-4)

De acuerdo a la teoría elástica se tiene:

{ } [ ]{ }dkF = (8-5)

Por equilibrio de fuerzas entre los extremos de las secciones infinitamente rígidas se tiene:

{ } [ ] { }FHF T=' (8-6)

Remplazando el vector de fuerzas de la relación elástica, (ecuación 8-5), en la ecuación anterior se tiene:

{ } [ ] { } [ ] [ ][ ]{ }'' dHkHFHF TT == (8-7)

Finalmente, remplazando la relación entre desplazamientos, (ecuación 8-4), en la ecuación anterior se obtiene la matriz de rigidez de un elemento con extremos infinitamente rígidos:

{ } [ ] [ ]{ } [ ] [ ][ ]{ }'' dHkHdkHF TT == (8-8)

{ } [ ]{ }''' dkF =


CAPÍTULO 9. MARCOS PLANOS SOMETIDOS A CARGAS LATERALES. 9.1 Introducción.

Aplicando las matrices de rigidez de los elementos “barra”, podemos analizar estructuras sujetas a fuerzas aplicadas en los nudos de la estructura y por simplicidad es posible considerar que no existen desplazamientos verticales de la estructura, es decir eliminar las deformaciones axiales de columnas en el análisis de marcos sujetos a fuerzas laterales, de esta manera se reducen los grados de libertad de la estructura, lo que facilita la solución del sistema de ecuaciones. De esta manera tendríamos que para una columna o una viga que va de un punto inicial 1 a un punto final 2 su matriz de rigidez es la siguiente:

Fx2

Fx1

M1

M2

2

1

y'

x'

ELEMENTO COLUMNA

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−−

−

−

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

2

2

1

1

4626

612612

2646

612612

2

2

1

1

22

2323

22

2323

θ

θ

ux

ux

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

M

Fx

M

Fx

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

2

1

42

24

2

1

θ

θ

LEI

LEI

LEI

LEI

M

M

ELEMENTO VIGA

M2

21

M1

x

y


9.2 Método de rigideces.

Para explicar más facilmente el procedimiento de calculo realizaremos el siguiente ejemplo:

4.00 MTS

5.00 MTS

GEOMETRIA:

2000 KG

4000 KG

TRABES: 20 CM

40 CM

30 CM

30 CM

4.00 MTS

COLUMNAS:

MATERIAL:

f'c = 250 Kg/cm2E = 14000 f'c

FIGURA 9-1. TIPOLOGIA DE LA ESTRUCTURA:

X

Y

1

2

3

4

6

5u2 u5

u3 u6

θ2 θ5

θ3 θ6

u2= u5= ∆1

u3= u6= ∆2

1

2 4

3

5

6


Matrices de rigidez de los elementos: Columna 1:

NO. DE BARRA: 1

NUDO INICIAL: 1 NUDO FINAL: 2

E MOD. DE 221359.4 KG/CM2 ESLASTICIDAD:

LONGITUD: 400.0 CM MOM. DE INERCIA I : 67500.0 CM4

Fx 1 2801.58 560316.07 -2801.58 560316.07 u 1

M 1 560316.07 149417619.44 -560316.07 74708809.72 θ 1 = =

Fx 2 -2801.58 -560316.07 2801.58 -560316.07 u 2

M 2 560316.07 74708809.72 -560316.07 149417619.44 θ 2 Columna 2:

NO. DE BARRA: 2




Fx 2 2801.58 560316.07 -2801.58 560316.07 u 2

M 2 560316.07 149417619.44 -560316.07 74708809.72 θ 2 = =

Fx 3 -2801.58 -560316.07 2801.58 -560316.07 u 3

M 3 560316.07 74708809.72 -560316.07 149417619.44 θ 3


Columna 3:

NO. DE BARRA: 3




Fx 4 2801.58 560316.07 -2801.58 560316.07 u 4

M 4 560316.07 149417619.44 -560316.07 74708809.72 θ 4 = =

Fx 5 -2801.58 -560316.07 2801.58 -560316.07 u 5

M 5 560316.07 74708809.72 -560316.07 149417619.44 θ 5 Columna 4:

NO. DE BARRA: 4




Fx 5 2801.58 560316.07 -2801.58 560316.07 u 5

M 5 560316.07 149417619.44 -560316.07 74708809.72 θ 5 = =

Fx 6 -2801.58 -560316.07 2801.58 -560316.07 u 6

M 6 560316.07 74708809.72 -560316.07 149417619.44 θ 6


Viga 5:

NO. DE BARRA: 5




M 2 188893385.57 94446692.78 θ 2 = =

M 5 94446692.78 188893385.57 θ 5 Viga 6:

NO. DE BARRA: 6




M 3 188893385.57 94446692.78 θ 3 = =

M 6 94446692.78 188893385.57 θ 6


Matriz ensamblada:

149417619.44 -560316.07 -560316.07 149417619.44 74708809.72 94446692.78 0.00 560316.07 θ2 0.00188893385.57

74708809.72 149417619.44 0.00 94446692.78 560316.07 -560316.07 θ3 0.00

188893385.57 149417619.44 -560316.07 -560316.07

94446692.78 0.00 149417619.44 74708809.72 560316.07 θ5 0.00 188893385.57 =

0.00 94446692.78 74708809.72 149417619.44 560316.07 -560316.07 θ6 0.00 188893385.57 2801.58

-560316.07 560316.07 -560316.07 560316.07 2801.58 -2801.58 υ2=υ5=∆1 4000.00560316.07 560316.07 2801.58 -2801.58

2801.58

-560316.07 -560316.07 -560316.07 -560316.07 -2801.58 2801.58 υ3=υ6=∆2 2000.00

-2801.58 2801.58 Realizando las sumas en las celdas tenemos: 487728624.45 74708809.72 94446692.78 0.00 0.00 -560316.07 θ2 0.00

74708809.72 338311005.01 0.00 94446692.78 560316.07 -560316.07 θ3 0.00

94446692.78 0.00 487728624.45 74708809.72 0.00 -560316.07 θ5 0.00

= 0.00 94446692.78 74708809.72 338311005.01 560316.07 -560316.07 θ6 0.00

0.00 560316.07 0.00 560316.07 11206.32 -5603.16 ∆1 4000.00

-560316.07 -560316.07 -560316.07 -560316.07 -5603.16 5603.16 ∆2 2000.00


Resolviendo el sistema de ecuaciones lineales tenemos los siguientes

desplazamientos:

cm

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∆∆

5378.25364.10009.000233.00009.000233.0

216532

θθθθ

Una vez conocido los desplazamientos obtenemos las fuerzas en cada barra, multiplicando la matriz de rigidez de la barra por los desplazamientos conocidos.

Columna 1: Columna 2: Columna 3:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

72.51305000.3000

24.68694900.3000

2211

MFxMFx

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

48.25352500.1000

48.14647400.1000

3322

MFxMFx

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

06.51305100.3000

40.68694900.3000

5544

MFxMFx

Columna 4: Viga 5: Viga 6:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

55.25352500.1000

77.14647400.1000

6655

MFxMFx

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡82.65952504.659526

52

MM

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡55.25352548.253525

63

MM

Para comparar los resultados realizaremos el mismo ejemplo con el software SAP2000, se tomaran las mismas secciones y geometría.


Figura 9-2. Tipología de la estructura.

Figura 9-3. Estructura con fuerzas actuantes y descripción de barras.


Figura 9-4. Desplazamientos del nudo 2.

Figura 9-5. Diagramas de momento flexionante.


Corrida del SAP, donde se presentan los desplazamientos y fuerzas en

barras debidas a las cargas aplicadas en los nudos.

SAP2000 v7.12 File: MARCO-1 Kgf-m Units PAGE 1 10/21/04 15:57:46 J O I N T D I S P L A C E M E N T S JOINT LOAD U1 U2 U3 R1 R2 R3 1 LOAD1 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 2 LOAD1 0.0156 0.0000 0.0000 0.0000 2.365E-03 0.0000 3 LOAD1 0.0156 0.0000 0.0000 0.0000 2.360E-03 0.0000 4 LOAD1 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 5 LOAD1 0.0258 0.0000 0.0000 0.0000 9.171E-04 0.0000 6 LOAD1 0.0258 0.0000 0.0000 0.0000 9.091E-04 0.0000 F R A M E E L E M E N T F O R C E S FRAME LOAD LOC P V2 V3 T M2 M3 1 LOAD1 0.00 0.00 3006.23 0.00 0.00 0.00 6896.14 2.00 0.00 3006.23 0.00 0.00 0.00 883.67 4.00 0.00 3006.23 0.00 0.00 0.00 -5128.79 2 LOAD1 0.00 -1990.62 2630.34 0.00 0.00 0.00 6578.45 1.25 -1990.62 2630.34 0.00 0.00 0.00 3290.52 2.50 -1990.62 2630.34 0.00 0.00 0.00 2.60 3.75 -1990.62 2630.34 0.00 0.00 0.00 -3285.32 5.00 -1990.62 2630.34 0.00 0.00 0.00 -6573.24 3 LOAD1 0.00 0.00 -2993.77 0.00 0.00 0.00 -5105.92 2.00 0.00 -2993.77 0.00 0.00 0.00 881.62 4.00 0.00 -2993.77 0.00 0.00 0.00 6869.15 4 LOAD1 0.00 0.00 1003.15 0.00 0.00 0.00 1467.32 2.00 0.00 1003.15 0.00 0.00 0.00 -538.99 4.00 0.00 1003.15 0.00 0.00 0.00 -2545.29 5 LOAD1 0.00 -1003.15 -1016.60 0.00 0.00 0.00 -2545.29 1.25 -1003.15 -1016.60 0.00 0.00 0.00 -1274.54 2.50 -1003.15 -1016.60 0.00 0.00 0.00 -3.78 3.75 -1003.15 -1016.60 0.00 0.00 0.00 1266.97 5.00 -1003.15 -1016.60 0.00 0.00 0.00 2537.73 6 LOAD1 0.00 0.00 -996.85 0.00 0.00 0.00 -2537.73 2.00 0.00 -996.85 0.00 0.00 0.00 -544.03 4.00 0.00 -996.85 0.00 0.00 0.00 1449.66

Como podemos apreciar los valores obtenidos son similares a los ya

calculados anteriormente, por ejemplo el desplazamiento ∆1 es de 1.54cm y en el SAP es de 1.56 cm, en este caso el programa toma en cuenta el efecto de


deformación por cortante, lo que origina que los desplazamientos aumenten, aunque para este caso no contribuye en mucho. CAPÍTULO 10. INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS ELASTO-PLÁSTICOS. 10.1 Breve descripción del método. En un análisis elasto-plástico de un sistema estructural, la idea básica consiste en seguir un trayecto de carga paso a paso a partir de un estado inicial conocido y en calcular la solución en el instante dtt + a partir de la solución conocida en el instante . t La determinación de los aumentos de esfuerzos, deformaciones y desplazamientos, se hacen:

- A partir de los incrementos de carga. - A través de las ecuaciones de equilibrio casi estático.

- De las condiciones limites.

- De las condiciones de compatibilidad geométrica de deformaciones.

- De la ley de comportamiento.

Sin embargo es claro que esta determinación necesita conocer con

precisión a cada instante t : - La localización de los elementos plastificados (criterio alcanzado) y los no

plastificados. - Decidir para cada uno de los elementos plastificados, si durante el paso t

a hay carga o descarga. dtt +

En esto reside toda la dificultad de solución, en el caso general, de los problemas de elasto-plasticidad casi estático.

10.2 Sistema estructural simple. Sea una estructura articulada simple como la mostrada en la figura 11-1, constituida de tres barras verticales de igual longitud “h”, articuladas a una superficie indeformable y a una barra horizontal ( )AC supuesta igualmente indeformable, las distancias entre las barras son iguales a L . Las características de las tres barras son idénticas: misma sección A y módulo de Young E.


Las barras se supone tienen el mismo estado límite de elasticidad , tanto para tensión como para compresión. También se suponen tienen un comportamiento elasto-plástico perfecto.

oN

La carga es una fuerza vertical de intensidad Q aplicada en medio del claro BC.

y

B

Dx

h

L L/2 L/2

N1 N2 N3

AQ

Figura 11-1. Estructura articulada.

C

Ni

di

Ny = No

NoI/ES

-Ny = -No

Figura 11-2. Ley de comportamiento elasto-plástico perfecto de las barras de la estructura representada en la figura 11-1.

10.3 Etapa elástica (solución elástica).

a) A partir de las ecuaciones de equilibrio se tiene:

∑ = 0yF QNNN =++ 321 (11-1)

∑ = 0zM 0232 32 =−+ LQLNLN (11-2)


Sustituyendo el valor de Q de la ecuación 11-1 en la ecuación 11-2, y eliminando L, se obtiene:

( ) 0232 32132 =++−+ NNNNN ⇒ 0

21

21

23

321 =+−− NNN

03 321 =−+ NNN (11-3)

b) De la relación de comportamiento elástico lineal se obtienen las

deformaciones o alargamientos siguientes:

EAhN1

1 =δ EA

hN 22 =δ

EAhN3

3 =δ (11-4)

Cabe recordar que a partir de la ley de Hooke el alargamiento total δ de una barra se puede obtener como:

kP

hEAP

EAPh

===δ ó δkP =

Donde: P = fuerza total de tensión h = longitud de la barra A = área de la sección transversal de la barra E = constante elástica del material o módulo de elasticidad.

c) A partir de la condición de compatibilidad geométrica de deformaciones (figura 11-3), se tiene que:

( ) ( )2131

2δδδδ +−

=+−

LL ó 3121 22 δδδδ +−=+−

∴ 02 321 =+− δδδ (11-5)


-d1

d2d

d3

-d1+

d3

L L/2 L/2

Figura 11-3. Compatibilidad geométrica de los desplazamientos.

Por otro lado, se puede también deducir los desplazamientos del punto D, donde esta aplicada la carga Q, en función de:

( )( ) ( )311

22/3δδδ +−

=−

Ld

L ó ( ) ( 131 223 δδδ +=+− d )

131 4433 δδδ −=+− d ∴ ( )43 31 δδ +

=d

O sustituyendo 1δ de la ecuación 11-5: 321 2 δδδ −=

2422 3232 δδδδ +

=+

=d (11-6)

Sustituyendo las deformaciones de la ecuación 11-4 en la ecuación 11-5 se tiene:

02 321 =+− NNN (11-7)

Resolviendo el sistema de las ecuaciones 11-1, 11-3 y 11-7:

QNNN =++ 321 (11-1)

03 321 =−+ NNN (11-3)

02 321 =+− NNN (11-7) Despejando N3 de la ecuación 11-3 se tiene que:


213 3 NNN += (11-8)

Sustituyendo N3 de la ecuación 11-3 en la ecuación 11-1:

QNNNN =+++ 2121 3

QNN =+ 21 24 (11-9) Sustituyendo N3 de la ecuación 11-3 en la ecuación 11-7:

032 2121 =++− NNNN ó 04 21 =− NN

12 4NN = (11-10) Sustituyendo N2 de la ecuación 11-10 en la ecuación 11-9:

QNN =+ 11 84 ó 121QN = (11-11a)

Sustituyendo N1 de la ecuación 11-11a en la ecuación 11-10:

124

2QN = (11-11b)

De la ecuación 11-8:

QQQN127

124

123

3 =+= (11-11c)

Por otro lado, sustituyendo las ecuaciones 11-11 en las ecuaciones 11-4 se obtienen las deformaciones o alargamientos en función de Q:

EAQh

121 =δ EAQh

124

2 =δ EAQh

127

3 =δ (11-12)

Se deduce de las ecuaciones 11-11 y 11-12 que la fase elástica de comportamiento de la estructura sobre el trayecto de carga monótona creciente, corresponde a la barra 3, que es la más esforzada:

QN127

3 = ∴ oNNQ7

127

123 == (11-13)


Sí 0712 NQ = entonces

7120

1NQN ==

02 74

124 NQN ==

03 127 NQN ==

Por otro lado el desplazamiento del punto “D” es:

QEAh

EAQhd

2411

247

244

21

21

32 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=+= δδ

(11-14)

EAhNN

EAhd 00 14

117

122411

==

11/14

12/7

dEA/Noh

Q/No

Figura 11-4. Historia de carga de la etapa elástica.

10.4 Etapa elasto-plástica. Si la carga Q rebasa el valor de ( ) 07/12 N , la barra 3 deja absorber carga y permanece como un elemento que trabaja bajo carga constante, que para fines prácticos de modelado de la siguiente etapa de comportamiento elasto-plástico del sistema estructural, la barra 3 (N3) se puede representar como una fuerza aplicada en el punto C, de magnitud N0, como se muestra en la figura 11-5.


y

B

Dx

h

L L/2 L/2

N1 N2

No

AQ

Figura 11-5. Estructura articulada con la barra 3 plastificada.

C

a) Aplicando equilibrio: ∑ = 0yF QNNN =++ 021 (11-15) ∑ = 0zM 03 021 =−+ NNN Despejando N2 de la segunda ecuación de equilibrio se tiene:

102 3NNN −= Sustituyendo este valor en la primera ecuación de equilibrio se tiene:

QNNNN =+−+ 0101 3 ó QNN =+− 01 22

201QNN −=

Sustituyendo el valor de N1 en la ecuación anterior, se tiene:

QNQNNN232

23 0002 +−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=

Resumiendo:

01 2NQN +−= (11-16a)


02 223 NQN −= (11-16b)

03 NN = (11-16c)

Las deformaciones en las barras 1 y 2 siguen siendo elásticas.

EAhNQ

EAhN

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−== 0

11 2

δ (11-17a)

EAhNQ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −= 02 2

23δ (11-17b)

Y por compatibilidad geométrica se tiene de acuerdo a la ecuación 11-5:

02 321 =+− δδδ (11-5)

213 2δδδ +−=

EAhNQ

EAhNQ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−−= 00 2

232

2

EAhNNQQ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−+= 00 43

2

EAhNQ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= 03 5

27δ (11-17c)

Por otro lado tenemos:

( )EAhNQ

EAhNQNQd 000

32 75215

272

23

21

2−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−=

+=

δδ

EAhNQd ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −= 02

725 (11-18)

Para cuando N2 = N0 se obtiene la segunda plastificación, por tanto a partir de la ecuación 11-16b se tiene que:

002 223 NQNN −== QN

233 0 = 02NQ =


Carga necesaria para obtener la segunda fluencia y el colapso de la estructura, es decir, “la carga crítica” que produce el mecanismo plástico de colapso; por otro lado, se puede obtener el desplazamiento en , correspondiente:

d

EAhN

EAhNN

EAhNQd 0000 2

3275

27

25

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

12/7

2

11/14 3/2

(1.714)

(0.786) (1.5)

Q/No

qEA/Noh

Figura 11-6. Historia de carga.

10-5 Conclusiones de las etapas elásticas y elasto-plástica. Resumiendo los resultados obtenidos en las diferentes etapas, se tiene lo siguiente:

- Para la etapa elástica:

121QN =

124

2QN =

127

3QN =

Para 0712 NQ =

70

1N

N = 7

4 02

NN = 03 NN =

- Para la etapa elasto-plástica (dado que se plastifica el elemento 3):

01 2NQN +−= 02 2

23 NQN −= 03 NN =


Para 0NQ =

01 =N 02 NN = 03 NN = Como conclusión del análisis antes descrito se puede decir lo siguiente:

a) Para el problema estudiado se puede mencionar que:

• La solución obtenida para las etapas I) elástica y II) elasto-plástica, es la solución exacta del problema para cuando Q varía en el rango:

020 NQ ≤≤

• Por otro lado, la carga Q = 2N0 no puede ser excedida.

b) ¿Qué pasa cuando Q alcanza el valor de 2N0?

• Cuando Q alcanza el valor de 2N0 el estado de esfuerzos , de

alargamiento iN

iδ y el desplazamiento de la estructura están dados por las expresiones:

d

Fuerzas internas:

01 2NQN +−= 02 2

23 NQN −= 03 NN =

Para Q=2N0

01 =N 02 NN = 03 NN =

Alargamientos:

( )EAhNQ 01 +−=δ

EAhNQ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −= 02 2

23δ

EAhNQ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −= 03 5

27δ

Para Q=2N0

01 =δ EAhN02 =δ

EAhN 03 2=δ

Desplazamiento:

EAhNQd ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −= 02

725

Para Q=2N0

EAhNd 02

3=


• Cuando Q = 2N0, las barras 2 y 3 se encuentran simultáneamente plastificadas, esto implica que, sin aumentar Q una evolución o un alargamiento en el desplazamiento puede ser posible.

Por lo tanto, cuando Q alcanza el valor de 2N0 el estado de esfuerzos en

las barras es:

01 =N 02 NN = y 03 NN =

Si este estado se mantiene (es decir; 0==dt

dNN i

i 2.1=∀i ), la relación

de comportamiento se puede escribir:

01 =δ& y (11-19) 022 ≥= pδδ && 033 ≥= pδδ &&

• La única condición sobre los alargamientos es la relación de

compatibilidad geométrica que tiene que ser verificada a cada instante:

02 321 =+− δδδ (11-5)

Si esta relación se verifica para los alargamientos producidos por Q = 2N0, las tasas también se rigen por esta ecuación. Se observa entonces que para Q = 2N0, los alargamientos y los desplazamientos en la estructura pueden evolucionar bajo carga constante de manera monótona.

• Los esfuerzos se mantienen constantes y las velocidades de los alargamientos y los desplazamientos son:

01 =δ& 02 ≥δ& 023 ≥= δδ && (11-20)

( ) 023

21

32 ≥=+= δδδ &&&d

• Finalmente se observa que esta evolución del desplazamiento bajo carga

constante es puramente plástica.

Se dice también que las ecuaciones 11-19 y 11-20 definen un mecanismo de flexión plástica (libre) de la estructura.


analisis estructural

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