UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO

UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLOFACULTAD DE INGENIERIA CIVIL, SISTEMAS Y ARQUITECTURAESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVILResistencia de materiales II

ALUMNO: ORDOEZ SAAVEDRA ERICK 110416-HCICLO:2014-I2014LAMBAYEQUE, JULIO DEL 2014

Ing. OSCAR PORRO AI

ANALISIS ESTRUCTURAL II

HIPERESTATICIDAD, ESTABILIDAD E INDETERMINACION

HIPERESTATICIDAD, ESTABILIDAD E INDETERMINACIONINTRODUCCINSe sabe que una partcula est en equilibrio si permanece en estado de reposo relativo (v=0) o si se mueve con velocidad relativa uniforme (v=cte) respecto a un sistema de referencia inercial.Un cuerpo est en equilibrio si todas las partculas que lo conforman estn en equilibrio.En el presente captulo slo nos ocuparemos del equilibrio de los cuerpos en reposo. Las fuerzas que hacen que el cuerpo est en reposo, estn constituidas por: fuerzas externas o cargas que pueden ser puntuales o distribuidas provenientes de la accin directa de otros cuerpos. Por accin indirecta, producidas por vnculos que los unen a otros cuerpos denominadas reacciones. Por accin del propio peso del cuerpo, que en ocasiones llega a despreciarse por tener un valor pequeo comparado con las cargas y reacciones.Es necesario aislar un cuerpo o una parte de l para lograr su anlisis. Un cuerpo aislado se denomina cuerpo o slido libre y para una correcta solucin del problema implica haber aislado correctamente el slido.

SLIDO DEFORMABLESLIDO RIGIDOSLIDO SIN CARGASUn cuerpo slido o cuerpo rgido, es aquel que no se deforma ante la accin de fuerzas.

1.1 ECUACIONES DE EQUILIBRIO

Sea un slido rgido (S.R.) sometido a la accin de cargas, a la accin indirecta producida por apoyos y sometido tambin a la accin de su propio peso.

Si el S.R. se encuentra en equilibrio, la resultante de fuerzas R y la resultante de momentos M con respecto a cualquier punto deben ser nulos.

Fx = 0Fy = 0Fz = 0MAx = 0MAy = 0MAz = 0MA = 0F = 0MA = 0Ambas resultantes pueden ser expresadas en funcin de sus componentes rectangulares. As:

En el plano estas ecuaciones se reducen a:

Fx = 0Fy = 0MAz= 0

1.2 ESTABILIDAD Y GRADO DE DETERMINACION DE ESTRUCTURAS La estabilidad y el grado de determinacin de las estructuras deben juzgarse tanto por el nmero y disposicin de los apoyos como por el nmero y disposicin de sus elementos y las uniones de la estructura. Se determinan por simple inspeccin o por medio de frmulas.Estudiaremos la estabilidad y grado de determinacin generales de vigas, cerchas o armaduras y prticos rgidos. En secciones separadas.Condiciones de equilibrio y determinacin en estructuras planasSi# reacciones =# ecuaciones estticas ms ecuaciones de condicin; hay estabilidad.Si # reacciones < # ecuaciones; es inestable.Si # reacciones > # ecuaciones; es estticamente indeterminado o hiperesttico y su grado de indeterminacin esttica externa se determina por:GI externo = # reacciones - # ecuaciones

ESTABILIDAD Y GRADO DE DETERMINACIN GENERALES DE VIGAS. Si una viga se construye sin ninguna unin interna (articulacin interna, apoyo de rodillo o pendular).La viga completa puede considerarse como un cuerpo rgido monoltico colocado sobre un nmero cualquiera de apoyos y la cuestin de la estabilidad y grado de determinacin de la viga se basa nicamente en el nmero y disposicin de los apoyos.. Ahora procederemos a investigar qu suceder si se inserta en una viga algn dispositivo de unin. Supongamos que se introduce una articulacin en una viga estable y estticamente determinada como la de la Fig. 1(a) o (b). La viga en en todo caso se har evidentemente inestable bajo un sistema general de cargas. como resultado de una rotacin relativa entre las partes de la izquierda y la derecha de la articulacin interna, como indica la Fig. 1(c) o (d). Como la articulacin no tiene capacidad de resistir un momento, se impone una condicin restrictiva a las fuerzas externas actuantes sobre la estructura; esto es.

Respecto a la articulacin. En otras palabras, el momento respecto a la articulacin producido por las fuerzas externas a cualquier lado de ella debe ser cero, con el fin de garantizar que las partes no roturan alrededor de la articulacin. Refirindonos a la Fig. 1(c) (d) vemos que en cada caso hay tres elementos de reaccin proporcionados por los apoyos, mientras que hay cuatro condiciones de la esttica que han de satisfacer las fuerzas externas tres de equilibrio ms una

Fig. 1

de construccin. Lo anterior significa que el nmero de incgnitas de reaccin es uno menos que el nmero de ecuaciones independientes de la esttica disponibles para su solucin. Por tanto, las ecuaciones de la esttica para el sistema de fuerzas generalmente no se satisfacen. La viga es inestable, a menos que pro-veamos por lo menos un elemento adicional de reaccin tal como el apoyo de rodillos mostrado en la Fig. 1 (e) o (f), lo que hace que el nmero total de incgnitas sea igual al nmero de ecuaciones independientes de la esttica necesarias para determinar los elementos de reaccin. Si esto se hace, la viga recuperar el estado de estabilidad y determinacin esttica.

Ahora, supongamos que un apoyo pendular o de rodillos se introduce en una seccin de la viga estable y estticamente determinada de la Fig. 1 (a) o (b). Tenemos que esperar que esta viga sea menos estable todava que con una articulacin, debido a que el apoyo pendular o de rodillos no puede resistir momentos, ni fuerzas normales. La viga sufrir colapso bajo cualquier tipo de carga como resultado de la rotacin relativa y la traslacin lateral de las porciones a la izquierda y derecha del apoyo mvil, como se indica en la Fig. 2 (a) o (b).

Fig. 2

Como el apoyo mvil no tiene capacidad de resistir fuerzas laterales ni momentos, se constituyen dos limitaciones para las fuerzas externas que actan sobo la estructura, a saber: Respecto al apoyo pendular (cualquiera de los dos pasadores), H es la suma de las fuerzas a cualquier lado del apoyo pendular en la direccin normal a ste. El cumplimiento de la condicin de H = 0 para la porcin de la estructura a cualquier lado del apoyo pendular evita el movimiento en la direccin normal a ste de una porcin de la estructura con relacin a la otra.El cumplimiento de la condicin M = 0 para la porcin de la estructura a cualquier lado del apoyo pendular ase-gura que dichas porciones no rotarn alrededor de sus pasadores. Al referirnos a la Fig. 2 (a) o (b), encontramos que en cada caso hay tres elementos de reaccin proporcionados por el sistema de apoyos, mientras que hay cinco condiciones de la esttica que los limitan: tres de equilibrio y dos de construccin. Puesto que el nmero de elementos de reaccin es menor en dos que el nmero de ecuaciones de la esttica para determinados, la viga es, entonces bastante inestable a menos que proveamos un mnimo de dos elementos adicionales de reaccin, tal como el apoyo articulado mostrado en la Fig. 2 (c) o (d), para compensar el exceso de ecuaciones. Con esto, la viga recuperar su estado estable y estticamente determinado. Hay vigas en las cuales el nmero de elementos de reaccin es mayor que el nmero total de ecuaciones independientes proporcionadas por la esttica. Las vigas se clasifican entonces como estticamente indeterminadas o hiperestticas; y el nmero de incgnitas en exceso indica el grado de indeterminacin. Es normal que se presente la inestabilidad geomtrica cuando se introducen uniones internas en una estructura originalmente estable. Consideremos, por ejemplo, la Fig. 3 (a), la viga es estticamente indeterminada en primer grado. Si ahora se inserta una articulacin, como se muestra en la Fig. 3 (b), la viga ser aparentemente estticamente determinada. Sin embargo. al aplicar una carga, se producir un desplazamiento inicial que no ser resistido elsticamente por la estructura. En tal caso, la viga es inestable no por causa de apoyos inadecuados, sino por una disposicin inadecuada de sus dos partes. Esto se conoce como inestabilidad geomtrica interna. Muy a menudo en estos casos, la estructura se derrumba. En el caso presente no ocurrir el colapso de la estructura; la viga quedar en una posicin de reposo como la indicada por la lnea de trazos de la Fig. 3 (b). A partir del estudio precedente, puede establecerse un criterio para la estabilidad y grado de determinacin de las vigas.

Fig. 3

Si designamos por r el nmero de elementos de reaccin y por e el nmero de ecuaciones de condicin (c = 1 para una articulacin; c= 2 para un apoyo mvil; c= 0 para una viga sin uniones intermedias). 1. Si r < c+3 , la viga es inestable2. Si r=c+3, la viga es estticamente determinadas siempre y cuando no exista inestabilidad geomtrica (interna o externa).3. Si r>c+3, la viga es estticamente indeterminada.

TABLA Ms ejemplos se presentan en la siguiente tabla:

CLASIFICACIONr c r >=< c+3VIGA

Estable y Determinada5 2 5=5

Estable e indeterminada de primer orden6 2 6>5

Inestable* 5 5 5=5

Inestable ** 4 3 45

EJEMPLO DE GRADO DE HIPERESTACIDAD DE LAS ESTRUCTURASEs el exceso del nmero de incgnitas (reacciones) respecto al nmero de ecuaciones del equilibrio esttico.

G.H. = N incgnitas N de ecuaciones esttica.

De donde: GH = 0, la estructura es isosttica. GH > 0, la estructura es hiperesttica. GH < 0, la estructura es hipoesttica.

Ejemplos: Calcular el grado de hiperestaticidad de las siguientes estructuras.

1.

GH = N Incognitas N Ecuac. Equilib.GH = 6 3 = 3Sistema hiperesttico de 3 grado.

2.

GH = N Incognitas N Ecuac. Equilib.GH = 3 3 = 0Sistema isosttico

3.

GH = N Incognitas N Ecuac. Equilib.GH = 3 3 = 0Sistema isosttico

ESTABILIDAD Y GRADO DE DETERMINACIN GENERALES EN CERCHAS Y ARMADURASUna cercha est compuesta por un nmero de barras unidas en sus extremos mediante pasadores formando una red formada normalmente por una serie de tringulos. y montada sobre un nmero de apoyos, tal como la mostrada en la Fig.4 ( a ). Cada barra de una cercha es un elemento sometido a dos fuerzas: de tal manera que cada una representa una incgnita de fuerza interior

Fig. 4

El nmero total de elementos desconocidos del sistema completo es igual al nmero de barras (internas) ms el nmero de elementos de reaccin independientes (externos). Si llamamos b el nmero de barras y r el nmero de componentes de reaccin, el nmero total de incgnitas del sistema completo ser b + r. Si la cercha est en equilibrio, cada porcin aislada debe estar tambin en equilibrio. Para una cercha que tenga j nudos, el sistema completo puede separarse en j slidos aislados, como se ilustra en la Fig. 4 (b), en la que cada nudo tiene dos ecuaciones de equilibrio ; para el sistema de fuerzas concurrentes que actan sobre l. Se obtiene de lo anterior un sistema de 2j ecuaciones independientes, con (b + r) incgnitas. Podemos establecer un criterio de estabilidad y grado de determinacin de la cercha comparando el total de incgnitas y de ecuaciones.1. Si b+ r < 2j , el sistema es inestable2. Si b+r= 2 j, el sistema es estticamente determinadas siempre y cuando no exista inestabilidad geomtrica (interna o externa).3. Si b+r>2j , el sistema es estticamente indeterminada

El cumplimiento de la condicin b + r 2 j , no asegura que la archa sea estable. Para que, una cercha sea estable se requiere el cumplimiento de ms condiciones. Primero, el valor de r debe ser igual o mayor que el de tres requerido para la estabilidad esttica de los apoyos. Luego, no debe haber una disposicin inadecuada en los apoyos y barras para evitar a la vez inestabilidad geomtrica externa e interna. Bsicamente, una cercha estable puede obtenerse partiendo de tres barras unidas por medio de pasadores en sus extremos, formando un tringulo y ampliarse a partir de ste aadiendo dos nuevas barras por cada nudo nuevo, como se indica en la Fig. 4 (a). Puesto que esta cercha satisface b+r =2j (b=13, r=3, j=8), tendremos una estructura estticamente determinada.Supongamos que la forma de esta cercha se cambia, como se muestra en la Fig. 5. El nmero de barras y nudos permanece constante; la ecuacin de condicin de estabilidad contina cumplindose. Pero es geomtricamente inestable, porque no hay una barra que soporte la fuerza. Vertical (cortante) en el tramo donde se omiti la diagonal. En la Tabla 2 se presentan otros ejemplos.

Fig. 5

b r j b+r >=< 2j ClasificacinCERCHATABLA 2

7 3 5 10=10 Estable y Determinada

7 3 5 10=10 Inestable*

7 3 5 10=10 Inestable **

6 3 5 9 10 Estable e indt. de 2do orden 6 4 5 10=10 Inestable**

*Inestabilidad geomtrica interna debida a que los tres nudos a , b,c estn alineados : desplazamiento posible como se indica en la lnea de trazos ** Inestabilidad geomtrica externa debida a que las tres reacciones son paralelas. *** Inestabilidad geomtrica interna debida a la falta de resistencia lateral del cuadriltero abcdLa Fig. 6 muestra una armadura de puente de gran luz, que puede considerar-se compuesta de tres cerchas rgidas unidas por la articulacin A y el apoyo pendular BC, montada sobre cuatro apoyos. Estas uniones no son completamente rgidas, introducindose por tanto, algunas ecuaciones de condicin que han de cumplir las fuerzas externas aplicadas sobre la estructura. En este caso la articulacin en A proporciona una ecuacin de condicin MA = 0 , la cual indica que el momento respecto de A de las fuerzas

Fig 6

aplicadas a la izquierda, o a la derecha de ese punto, debe ser cero. El tirante BC (apoyo pendular), proporciona dos ecuaciones de condicin, MB = 0 (o Mr = 0) y H =0, las cuales implican que el momento respecto de B (o Cl de las fuerzas colocadas a cualquier lado de B (o C) debe ser 0 y tambin que la suma de las fuerzas horizontales tomadas a cualquier lado del tirante deben ser cero, ya que ste es incapaz de resistir fuerzas horizontales. La estabilidad y grado de determinacin de la cercha puede investigarse en primer lugar contando el nmero de barras, nudos y elementos de reaccin. Se encuentra que la ecuacin b + r = 2j se satisface en la cercha, puesto que b = 40, r = 6 y j = 23. En esta forma la condicin necesaria para que el sistema sea estticamente determinado se cumple. En segundo lugar no hay inestabilidad manifiesta ni en la formacin de las cerchas ni en sus apoyos. Las cerchas a la izquierda de A y a la derecha de BC son estrictamente indeformables (estabilidad interna) y estn soportadas adecuadamente. La cercha central tambin. Su unin con las partes laterales por medio de una articulacin y un tirante (apoyo pendular) constituyen tres elementos de apoyo. Con respecto a las reacciones, hay un total de seis elementos que pueden determinarse mediante las ecuaciones de la esttica, tres de equilibrio y tres de construccin. As, el sistema completo es estable y estticamente determinado; adems, es estable y estticamente determinado con respecto a las reacciones en los apoyos.Hay ciertos casos en los cuales la estabilidad o inestabilidad de una cercha no se manifiesta claramente. Una forma de comprobarlo es la de intentar un clculo de los esfuerzos y ver si los resultados son compatibles o no. Un resultado incom-patible indica que la solucin no es nica, sino infinita e indeterminada. En tal caso, se dice que la cercha es inestable.

ESTABILIDAD Y GRADO DE DETERMINACIN GENERALES DE PRTICOS RGIDOS. Un prtico rgido se compone de vigas y columnas unidas rgidamente tal como el mostrado en la Fig. 6 (a). La estabilidad y grado de determinacin de un prtico rgido puede investigarse tambin comparando el nmero de incgnitas (incgnitas internas e incgnitas de reaccin) con el nmero de ecuaciones de la esttica disponible para su solucin. Como en el caso de una cercha , un prtico rgido puede separarse en un nmero de slidos aislados, igual al de ruidos, como se muestra en la Fig. 6 (b) lo que requiere separar todos los elementos (viga o columna) del prtico mediante dos secciones. Pueden determinarse las correspondientes

Fig. 6

a otra seccin cualquiera. Por tanto, solamente hay tres incgnitas internas e independientes en cada elemento de un prtico. Si 1, representa el nmero total de elementos, r el nmero de elementos de reaccin, entonces el nmero total de incgnitas independientes en un prtico rgido ser (3b + r). Un nudo rgido separado como slido aislado se encuentra sometido a un sistema general de, fuerzas y momentos como se indica en la Fig. 6(b), ya que un nudo rgido es capaz de soportar momentos. Para el equilibrio de un nudo, este sistema debe satisfacer las tres ecuaciones de equilibrio, .

En esta forma, si el nmero total de nudos rgidos es j, entonces podrn escribirse 3j ecuaciones independientes de equilibrio para el sistema completo.

Puede suceder que se introduzcan articulaciones u otros dispositivos de construccin en la estructura con el fin de proveer ecuaciones adicionales de la esttica, por ejemplo un total de c. As, el nmero total de ecuaciones de la esttica disponibles para la solucin de (3b + r) incgnitas ser (3j + c). Los criterios para la estabilidad y grado de determinacin de un prtico rgido se establecen comparando el nmero de incgnitas (3b + r) con el nmero de ecuaciones independientes (3j + c): 1. Si 3b + r < 3j + c, el prtico es inestable. 2. Si 3b + r = 3j + c, el prtico es estticamente determinado, siempre que sea a la vez estable. 3. Si 3b + r > 3j + c, el prtico es estticamente indeterminado.

Debe recalcarse nue, como en el estudio hecho para las cerchas, el cumplimiento de la condicin 3b + r >< 3j + c no garantiza un prtico estable a menos que r > 3j + c = 18 + 0. El exceso de incgnitas, seis, indica que el prtico es estticamente indeterminado de sexto.

TABLA 3

PORTICO b r j c 3b+r >=< 3j +c Clasificacin

10 9 9 4 39 > 31 Indet . de 8vo grado10 9 9 0 39 > 27 Indet. 12 grado

10 9 9 1 39 > 28 Indet. Undcimo grado

10 9 9 3* 39 > 30 Indet. De noveno grado

10** 6 9 0 36>27 indeter . De 12 grado

* Si se inserta un nudo en un prtico rgido, en general, C= nmero de elementos concurrentes menos uno. En este caso, c = 4 1= 3.

Las partes voladas, tales como ab y cd a la derecha del prtico, no deben incluirse en el nmero de barras.

SISTEMAS ESTRUCTURALES QUE COMBINAN ELEMENTOS TIPO CERCHA CON ELEMENTOS TIPO VIGA EN UNIONES ARTICULADAS.Para la determinacin interna se recomienda separar la estructura en sus partes, hacer el diagrama de cuerpo libre de cada una y contar incgnitas y ecuaciones disponibles.Cada parte de la estructura debe estar en equilibrio.La determinacin y estabilidad externa se encuentran por los mtodos usados para las otras estructuras.En el anlisis externo tenemos:3 reacciones, 3 ecuaciones estticas; entonces es estticamente determinado y estable.Note que la estructura no necesita de sus reacciones para mantener su forma por lo tanto no se cuentan ecuaciones de condicin.Internamente, partiendo en las uniones:Nmero de incgnitas: 6.Nmero de ecuaciones: 9-3 de la esttica externa=6.Estable y estticamente determinado internamente.Si una de las barras est sometida solamente a las fuerzas de sus uniones, sta barra trabaja como cercha y se eliminan dos incgnitas, pero tambin sus ecuaciones de equilibrio se reducen a una sola en vez de tres

1.3 GRADOS DE LIBERTADSe define como grados de libertad el nmero mnimo de parmetros necesarios para describir de manera nica la figura deformada de la estructura.Estos parmetros corresponden a las rotaciones y traslaciones libres en cada uno de los nudos de la estructura.Para el anlisis de estructuras podemos usar dos mtodos que varan de acuerdo con las incgnitas a resolver, en uno se encuentran fuerzas y en el otro se encuentran deformaciones.Analizremos estructuras reticulares donde un elemento queda totalmente determinado si conocemos las deformaciones y rotaciones de sus extremos ( mtodo de las deformaciones) o las fuerzas y momentos de sus extremos (mtodo de las fuerzas).Para estructuras estticamente determinadas el mtodo de las fuerzas resulta mas apropiado ya que las fuerzas como incgnitas quedaran resueltas al aplicar las ecuaciones estticas.En el caso de tener estructuras con grados de hiperestticidad altos resulta mas ventajoso usar el mtodo de las deformaciones, debido a que se cuenta con menos grados de libertad libres que nmero de fuerzas por determinar.En estos casos el grado de indeterminacin se mide por el nmero de grados de libertad libres (posibles formas de moverse la estructura en sus uniones) y se denomina indeterminacin cinemtica de la estructura.Para un elemento tipo viga sin ninguna restriccin tendramos 6 grados de libertad libres, tres en cada extremo:

Si la viga se le colocan apoyos de tal manera que queda estticamente determinada y estable ella quedara con un grado de indeterminacin cinemtica de 3.

1.4 COMPATIBILIDADGeneralmente, las condiciones de compatibilidad o las relaciones tenso- deformacionales de los materiales resultan difciles de satisfacer estrictamente, por lo que pueden adoptarse soluciones en que estas condiciones se cumplan parcialmente, siempre que sean equilibradas y que se satisfagan a posteriori las condiciones de ductilidad apropiadas.La compatibilidad de deformaciones te permite calcular las reacciones en un sistema hiperesttico.Para aclarar lo anterior es necesario definir algunos conceptos.Se sabe que existen solo dos ecuaciones de equilibrio, las cuales son:.

la diferencia entre un sistema isosttico e hiperesttico es que el primero se puede resolver utilizando las ecuaciones de equilibrio y el segundo no, debido a que existen mas incgnitas que ecuaciones.Por ejemplo una viga empotrada en un extremo y simplemente apoyada en el otro es un sistema hiperesttico de primer orden, es decir, se requiere de una ecuacin adicional para resolver y encontrar las reacciones.Una viga doblemente empotrada es un sistema hiperesttico de segundo orden, debido a que requiere 2 ecuaciones a parte de las de equilibrio para resolver el problema.Para conseguir esa o esas ecuaciones basta aplicar la compatibilidad de deformaciones y as encontrar las ecuaciones que faltan para resolver el sistema.

PROBLEMAS PROPUESTAS1. b)a)Investigar la estabilidad y grado de indeterminacin y demostrar su hiperestaticidad de las vigas mostradas en las figuras :

d)c)

2. Investigar la estabilidad y grado de indeterminacin y demostrar su hiperestaticidad de las cerchas mostradas en las figuras :

a)b)

d)c)

f)e)

3. Investigar la estabilidad y grado de indeterminacin y demostrar su hiperestaticidad de los prticos mostradas en las figuras :

d)c)b)a)

f)e)

24HIPERESTATICIDAD, ESTABILIDAD E INDETERMINACION