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1

Departamento de Matemática Facultad de Ingeniería

Universidad Nacional de Mar del Plata

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2018

http://www3.fi.mdp.edu.ar/mateavanzada

mailto:[email protected]

2

Contenido

INTRODUCCIÓN …………………………………………………………………………...3

TEMAS DE VARIABLE COMPLEJA ……………………………………………………...9

ANÁLISIS EN EL DOMINIO NATURAL (TEMPORAL; ESPACIAL )………………….31

ANÁLISIS EN EL DOMINIO TRANSFORMADO ……………………………………… 93

APÉNDICE ……………………………………………………………………………… 177

TABLAS ……………………………………………………………………………………185

Temas de Variable Compleja

3

INTRODUCCIÓN

Estos apuntes de cátedra tienen la finalidad de guiar al alumno en el estudio de los diferentes

temas de la asignatura. No debe considerarse único material para el estudio de los contenidos

impartidos, sino que debe ser complementado con la bibliografía detallada en las páginas

siguientes.

Para comprender sin dificultades los contenidos, se requiere tener conocimiento y habilidad en

la resolución de ejercicios de los siguientes temas:

Álgebra de números complejos.

Topología del plano complejo.

Funciones de variable compleja.

Condiciones necesarias y suficientes de Cauchy-Riemann.

Funciones analíticas.

Funciones armónicas.

Familia de curvas ortogonales.

Integrales curvilíneas de una función compleja.

Los alumnos deberán leer, siguiendo el cronograma, los temas relacionados con la clase

siguiente. Durante las teorías, los profesores desarrollarán los temas, realizarán ejemplos y

explicarán los nuevos conceptos fundamentándolos con las demostraciones más importantes,

aclararán las dudas presentadas e integrarán los conocimientos.

Los responsables de las prácticas explicarán distintos tipos de ejercicios integradores y

atenderán consultas de los alumnos.

Se recomienda asistir a las clases teóricas y prácticas ya que se realizarán explicaciones

conceptuales necesarias para la comprensión de los distintos temas.


4

Integrantes de la cátedra:

- Dra. Gloria Frontini

- Dra. Gabriela Messineo

- Dr. Fernando Otero

- Ing. Carlos Chiuro

- Mg. Ing. Alberto López

- Sr. Agustín Olarce

- Ing. Eugenio Gelós

Objetivos generales de la asignatura

Familiarizar al alumno con el vocabulario adecuado para permitirle una mayor comprensión

de los contenidos impartidos en las asignaturas usuarias de ésta.

Capacitar al alumno para profundizar los temas de acuerdo con las necesidades de cada

especialidad.

Relacionar los diferentes conceptos, a fin de lograr un manejo integral de los mismos y

plantear situaciones nuevas.

Régimen de promoción:

La evaluación de la asignatura a lo largo del cursado se realizará en las siguientes instancias:

2 exámenes parciales teórico prácticos que serán calificados en la escala de 1 a 100

puntos y su aprobación corresponderá a una nota de 50 o más puntos. La ausencia a un

parcial significa cero como nota.

Seminarios con Matlab, que deberán realizarse antes de cada parcial. Serán de

asistencia obligatoria, siendo ésta la condición indispensable para poder rendir el parcial

correspondiente.

1 Recuperatorio que puede utilizarse para reemplazar la nota de un parcial

desaprobado.

Cumplidas esas etapas el alumno podrá estar:

PROMOCIONADO: Si la suma de los dos parciales aprobados es de 140 puntos como

mínimo, sin haber hecho uso del recuperatorio.

HABILITADO: Si la suma de los dos parciales es de 100 puntos como mínimo.

En este caso podrá aprobar la asignatura rindiendo un examen TOTALIZADOR para el cual

tiene tres posibilidades.

La nota final del alumno en la asignatura resulta de las notas obtenidas en el totalizador y en los

parciales.

DESAPROBADO: Si no cumple con las condiciones anteriores. En este caso el alumno deberá

recursar la materia.


5

Programa analítico

I) Variable Compleja

I-1) Transformación e Integración.

Introducción y repaso. Transformación Conforme. Integrales en el campo complejo.

Teorema de Cauchy-Goursat. Consecuencias. Fórmula de la integral de Cauchy y de la

Derivada de la integral de Cauchy.

I-2) Series de potencias. Polos y residuos.

Series de Taylor. Series de Laurent. Métodos prácticos. Desarrollos en serie.

Convergencia. Definición de residuos. Singularidades aisladas: definición y

clasificación. Fórmulas para el cálculo de residuos. Teorema de los residuos.

II) Análisis de señales y sistemas en el dominio natural.

II-1) Clasificación y propiedades de Señales

Análisis de señales en el dominio del tiempo. Señales periódicas y no periódicas.

Señales de energía y de potencia. Tipos de señales. Función impulso. Función impulso

como límite de otra función. Función impulso desplazada. Propiedades.

II-2) Sistemas lineales e invariantes en el tiempo.

Análisis de sistemas lineales. Definición de sistemas lineales. Función operacional del

sistema. Solución de ecuaciones diferenciales en el dominio del tiempo. Solución

transitoria y permanente de un sistema estable. Aplicaciones a sistemas lineales.

II-3) Convolución.

Cálculo y propiedades de la integral de convolución. Cálculo de la respuesta al impulso.

Respuesta a funciones exponenciales. Estabilidad de un sistema. Relación entre la

respuesta al escalón y la respuesta al impulso.

II-4) Variable de estado.

Modelado de sistemas lineales mediante variables de estado. Concepto de estado.

Obtención del modelo de variables de estado para sistemas de una entrada, una salida de

tiempo continuo. Modelo de la segunda forma canónica. Definición de matriz de

transición. Solución de ecuaciones de estado en el dominio temporal. Cálculo de la

matriz de transición. Estabilidad.

III) Análisis de señales y sistemas en el dominio transformado.

III-1) Series de Fourier

Sistemas ortogonales de funciones. Funciones seccionalmente continuas. Vectores y

señales. Series de Fourier de una función relativa a un sistema ortonormal.

Aproximación cuadrática. Coeficientes de Fourier. Identidad de Parseval. Series

trigonométrica y exponencial de Fourier. Simetría de la forma de onda. Integración y

diferenciación de las series de Fourier. Espectro de frecuencia discreta. Definición.

Espectro de amplitud y de fase. Propiedades. Espectro de potencia. Respuesta de un

sistema lineal a una función periódica.


6

III-2) Transformada e integral de Fourier

Forma trigonométrica de la integral de Fourier. Convergencia de la integral de Fourier.

Transformada de Fourier. Linealidad de la transformada. Propiedades.

Forma seno y coseno de la integral de Fourier. Transformadas seno y coseno.

Transformada inversa de Fourier. Propiedades. Convolución.

III-3) Transformada de Laplace

Definición unilateral de la transformada de Laplace. Teoremas de existencia.

Convergencia. Propiedades. Transformada inversa. Propiedades. Métodos para

calcularla. Aplicaciones. Función de transferencia. Análisis de la estabilidad de un

sistema. Diagramas de bloques en el tiempo y en la frecuencia compleja. Análisis y

solución del modelo en variables de estado mediante la Transformada de Laplace.

Propiedades de la matriz de transición de los estados. Relación con la función de

transferencia. Estabilidad. Transformaciones de semejanza. Transformación por los

autovectores.

Bibliografía

E.KREYSZIG: Matemáticas avanzadas para Ingeniería. Ed. Limusa.

R.V.CHURCHILL; J.W.BROWN: Variable compleja y aplicaciones. Ed. Mc Graw Hill.

M.R.SPIEGEL: Variable compleja. Serie Schaum. Ed. Mc Graw Hill.

R.A.GABEL, R.A. ROBERTS: Señales y Sistemas lineales. Ed. Limusa S.A.

C.D.MC GILLEN, H.R.COOPER: Continuos and Discrete Signal and System Analysis.

Ed.Holt-Rinehart and Winston.

R.V.CHURCHILL: Series de Fourier y problemas de contorno. Ed. Mc Graw Hill.

H.R.HSU: Análisis de Fourier. Fondo educativo interamericano S.A.

M.R.SPIEGEL: Transformada de Laplace. Serie Schaum. Mc Graw Hill.

A.PAPOULIS: The Fourier Integral and its Aplications. Mc Graw Hill.

M.R.SPIEGEL: Análisis de Fourier. Serie Schaum. Ed. Mc Graw Hill.

OPPENHEIN –WILLSKY: Señales y Sistemas. Prentice Hall.

C.L.PHILLIPS - J.M.PARR: Signals, Systems, and Transforms. Prentice Hall.

http://www.jhu.edu/~ signals

http://www.jhu.edu/~


7

Cronograma Cursada

Sem Temas a desarrollar 1

5/3

7/3

Revisión de conceptos de variable compleja.

Funciones Analíticas. Ceros y Singularidades. Transformaciones. Teorema de

Cauchy-Goursat. Consecuencias. Fórmula de la integral de Cauchy y de la

derivada de la integral de Cauchy. Residuos

2

12/3

14/3

Teorema de residuos. Series, polos y residuos. Series de Laurent. Métodos

prácticos

Práctica demostrativa 1.

3

19/3

21/3

Fórmulas para el cálculo de residuos: simples y múltiple. Análisis de señales.

Clasificación. Señales de energía y potencia. Señales causales y anticausales.

Simetrías. Compresión y dilatación.

4

26/3

28/3

Función rampa. Escalón unitario. Pulsos. Función impulso.

Sistemas lineales. Definición. Propiedades y Clasificación.

Parcialito 26/3

Seminario 1 28/3

5

4/4

Diagramas en Bloques. Resolución de ecuaciones diferenciales. Descomposición

de la respuesta total. Respuesta al Impulso.

Práctica demostrativa 2

6

9/4

11/4

Convolución en tiempo continuo. Propiedades. Ejemplos. Estabilidad de un

sistema BIBO. Cálculo de la respuesta al impulso. Relación entre la respuesta al

escalón y la respuesta al impulso. Respuesta permanente a señales exponenciales

complejas.

Práctica demostrativa 3

7

16/4

18/4

Modelado de sistemas lineales en variables de estado. Matriz de transición.

Definición y propiedades y cálculo de e At. Variable de estado: solución en el

dominio temporal.

8

23/4

25/4

Transformaciones de Semejanza.

Clase de repaso.

Seminario 2

9

2/5 Primer parcial

10

7/5

9/5

Ortogonalidad de funciones. Deducción de los coeficientes de Fourier. Series de

Fourier generalizada. Error cuadrático medio. Identidad de Parseval. Serie

exponencial y trigonométrica de Fourier.

Seminario 3

11

14/5

16/5

Convergencia. Teorema de Dirichlet. Ejemplos: tren de pulsos rectangulares,

diente de sierra, tren de impulsos, etc. Respuesta permanente de un sistema lineal

a una entrada periódica. Simetrías. Espectro discreto de frecuencia. Propiedades.

Espectro discreto de potencia.

12

21/5

23/5

Transformada de Fourier de señales de energía. Definición. Espectro de fase y de

amplitud. Teorema de la integral de Fourier. T. de Fourier de algunas señales:

pulso rectangular, exponencial unilateral y triangular. Propiedades de la T. de

Fourier: Simetría. Linealidad. Escala.


8

13

28/5

30/5

Convolución. Desplazamiento. Diferenciación e integración. Espectro de Energía.

Transmisión de señales a través de Sistemas lineales. Filtros. T. de Fourier de

señales de potencia. T. de Fourier de señales causales: T. de Fourier seno y

coseno. T. de Fourier de funciones periódicas.Transformada unilateral de Laplace.

Condiciones suficientes de existencia. Región de convergencia. Pares

transformados. Relación con la Transformada de Fourier.

14

4/6

6/6

Propiedades de la Transformada de Laplace. Linealidad. Escala. Traslación.

Convolución. Desplazamiento. Diferenciación e integración. Teoremas del valor

inicial y del valor final. Transformada de Inversa de Laplace. Resolución de

ecuaciones diferenciales. Aplicación a Sistemas Lineales. Función de

Transferencia. Estabilidad.

Seminario 4

15

11/6

13/6

Diagramas en bloques en la variable “s”. Ejemplos. Solución mediante

Transformada de Laplace. Respuesta transitoria y estacionaria. Aplicación de la

Transformada de Laplace al modelado en variables de estado. Relación con la

Función de transferencia. Estabilidad del sistema. Transformaciones de

semejanza. Transformación de los autovalores.

16

18/6

Clase de repaso.

25/6 Segundo Parcial

2/7 Recuperatorio


9

TEMAS DE VARIABLE

COMPLEJA

Gráfico de la función f(z)=(z2-1)(z-2-j)2/(z2+2+2j).

La coloración representa el argumento de la

función, mientas que el brillo representa el módulo.

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Color_complex_plot.jpg


10

INTRODUCCIÓN

FUNCIONES ANALÍTICAS

La función w = f(z), definida para los números complejos z=x+jy es analítica en un punto

dado z0 D si la misma es derivable tanto en el propio punto z0 como en un cierto entorno del

mismo.

Es condición necesaria (aunque no suficiente) para la derivabilidad de este tipo de funciones

que se verifiquen las Condiciones de Cauchy-Riemann (C-R), dos ecuaciones diferenciales

parciales básicas en el análisis de funciones complejas de variable compleja.

Recordamos las condiciones de C-R para f(z) =u(x,y)+jv(x,y) : yuxvyvxu ; .

Es condición necesaria y suficiente para que una función f(z) continua sea derivable en un

punto (x,y), que se verifiquen las condiciones de C-R y que las derivadas parciales de u y v

sean continuas en ese punto.

Singularidad : z0 es una singularidad de f(z), si f(z) es analítica en algún punto de cierto

entorno de z0, pero no lo es en el propio punto z0

Decimos que una función es entera, si es analítica en todo el plano z infinito. Por ejemplo, un

polinomio es una función entera.

Una función racional, cociente entre 2 polinomios, es analítica salvo en los valores de z tales

que el polinomio del denominador es cero; esos valores serán puntos singulares de f(z).

0

1

1

0

1

1

.....

.....)(

bzbzb

azazazf

m

m

m

m

n

n

n

n

Singularidad aislada: Si existe cierto entorno de un punto singular 0z de un función f, en todo

el cual f es analítica, excepto en el propio punto, entonces 0z es un punto singular aislado de f.

Otra forma de definirla es la siguiente: f (z) tiene una singularidad aislada en z = 0z si es

analítica en un entorno reducido de 0z .

Tipos de singularidades aisladas: clasificamos a las singularidades como polo, singularidad

esencial o singularidad evitable.

Como determinar la naturaleza de una singularidad

I) Si

f(z)lim0zz

entonces decimos que f(z) tiene un polo en z = 0z .

Para que un punto 0z sea un polo de orden ‘m’ de f(z), es necesario y suficiente que f(z) pueda

expresarse de la forma: m

0 )z(z

φ(z)f(z)

con φ(z)y0)φ(z 0 analítica en 0z .

Similarmente, podemos decir que 0z será un polo de orden ‘m’ si 0k,k.f(z))z(zlimm

0zz 0

II) Si f(z)lim0zz

no existe entonces z = 0z es una singularidad esencial de la función.

III) Si Lf(z)lim0zz

entonces z = 0z es una singularidad evitable.

http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales

http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales

http://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_Complejo


11

Ejercicios: Analizar los tipos de singularidades en los puntos indicados

1) 00

zenz

zsenf(z) Rta. Singularidad evitable

2) 0zenz

zsen)z(f 03

Rta. Polo de segundo orden.

3) 0zenz

e1)z(f 0

z

Rta. Singularidad evitable

4) 0zene)z(f 0z

1

Rta. Singularidad esencial

5) 0zenz

zcos1)z(f 07

Rta. Polo de quinto orden

CEROS DE UNA FUNCIÓN

Supongamos que la f(z) es analítica en el punto 0z . El punto 0z se llama cero de la función

f(z) de orden ‘n’ si se cumplen las siguientes condiciones:

0)z(f;0)z(f......;;.........0)z(f;0)z(f 0

n

0

)1n(

00

Si n = 1 el punto 0z es un cero simple.

Un punto 0z es un cero de orden ‘n’ de la f(z), que es analítica en el punto 0z , si y sólo si, en

cierto entorno de ese punto se verifica la igualdad:

0)z(yzenanalíticaes)z(donde),z(zz)z(f 00

n

0

Ejercicios

Determinar los ceros de las siguientes funciones y encontrar el orden de los mismos.

1) 3az)z(f Respuesta: 0z = a es un cero de tercer orden

2) ze1)z(f Respuesta: 0z = 2kj es un cero simple

TRANSFORMACIÓN(O MAPEO) CONFORME

Definición: Una función w = f(z) analítica y no constante transforma un dominio D del plano

z en otro dominio f(D) del plano w. En los puntos en los que f (z) 0 una aplicación de este

tipo posee una importante propiedad de ser conforme, lo que significa que si dos curvas

cualesquiera se cortan en un punto de D, sus imágenes en f(D) se cortan formando el mismo

ángulo que aquellas.

En cada punto z de un dominio donde f es analítica y f (z) 0 la transformación

w = f(z) es conforme. C1 C1

*

C2

C2*

C1*

Fig.1: Curvas C1 y C2 Fig.2: Imágenes de las curvas C1

*, C2*,

respectivamente bajo un mapeo conforme.

z w


12

Se describen a continuación algunos ejemplos de transformaciones conformes.

Transformación lineal

Forma general: w = Az + B; A y B constantes complejas.

a) Si w = z + B ( para A=1)

2

1

21Byv

BxujBBjyxjvu (son las coordenadas de transformación)

Representa una traslación, sin la modificación de la forma, ni orientación, ni tamaño de la

figura.

b) Si w = Az , trabajando en coordenadas polares, obtenemos:

rRree jjj

..Re

Azw

Representa una rotación según (argumento de A) y una magnificación (contracción o

dilatación) de la figura según: .ncontraccióhay1Asi;dilataciónhay1ASiRA

c) w = Az + B (para B≠0) Representa una combinación de rotación con magnificación y

traslación.

Ejemplo 1:

Si se quisiera encontrar la imagen de la siguiente región: 2y0;1x0 , mediante

w = (1+j)z + (2-j) se arribaría a las siguientes conclusiones:

Rotación según arg(1+j) = 4

Magnificación según: dilatación12;2j1

Traslación según (2-j)

Transformación inversa

Forma general: w

1zo

z

1w .

Excepto para z = 0, w = 0 (los que no tiene imagen) se establece una correspondencia uno a uno

En polares:

r

1

re

1e

j

j

Existe una simetría respecto al eje real y además una inversión respecto de la circunferencia de

radio r = 1, o sea:

Si r > 1 < 1 ; si r < 1 > 1.


13

En cartesianas:

z

1w

22

22

yx

yv

yx

xu

jyx

jyx.

jyx

1jvu ,

o bien, para w

z1

puede escribirse:

2222 vu

vy;

vu

ux

Estudiemos la transformación inversa de una familia de circunferencias y rectas

Si (a, b, c, d) R, la ecuación de una familia de circunferencias o rectas (dependiendo de a 0 o

a = 0) en el plano z es:

a(x2+y2) + bx + cy + d = 0

Si se aplica la transformación inversa a los puntos que cumplen con la igualdad de arriba,

tenemos que en el plano w corresponde a:

0dvu

vc

vu

bu

vu

vua

2222222

22

,

y operando se obtiene que

d (u2+v2) + bu – cv +a = 0.

Luego, como la región a(x2+y2) + bx + cy + d = 0 en el plano z resultó en

d (u2+v2) + bu – cv +a = 0 en el plano w,

se concluye que la región transformada resulta también una familia de circunferencias o rectas.

Ejemplos:

2) Transformar x2+y2 - 4x + 2y = 0 mediante la transformación inversa.

Respuesta: v = -2u + 2

1.

3) Hallar analítica y gráficamente mediante la transformación inversa, la imagen de la región rayada: z) j j/2


14

Respuesta:

22

2

22

2

1

2

1vu

11vu

0u

El punto del infinito

Una aplicación de la transformada inversa es que permite encontrar la imagen del punto del

infinito

Notación: z = (Indica que es la imagen de w = 0 bajo la transformación w = z

1)

Analíticamente se considera z

1z pues si z , entonces z 0. Utilizando esta

sustitución se simplifica la tarea en el cálculo de límites.

El punto del infinito recibe el nombre de punto impropio llamado .

El plano complejo más el punto infinito, recibe el nombre de plano complejo extendido, sin

ese punto se llama plano complejo finito.

Ejemplo 4: Transformar el punto z = mediante: 2

2

z1

z4w

. Respuesta: w = 4

Transformación bilineal (o lineal fraccionaria u homográfica)

Forma general: complejas) constantes :dc,b,a,0,bc-addcz

bazw (,

Las transformaciones de este tipo transforman circunferencias y rectas en circunferencias y rectas.

Observar que cuando c0 , la forma general se puede escribir, realizando la división de los

polinomios, como: dcz

1.

c

adbc

c

a

dcz

c

adb

c

aw

.

Haciendo: z= cz+d (A) y z

1z

(B), resulta: z.

c

adbc

c

aw

(C)

Las ecuaciones (A) ,(B) y (C) representan tres transformaciones sucesivas en que se descompo-

ne la transformación bilineal. La primera y la tercera son de tipo lineal y la segunda es inversa.

Hay sólo una transformación bilineal que transforma tres puntos distintos dados:

z1, z2, z3 , en otros tres puntos distintos w1, w2, w3, respectivamente.

Dicha transformación viene dada por la fórmula:

1 2 3 1 2 3

3 2 1 3 2 1

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

w w w w z z z z

w w w w z z z z

Demostración:

Supongamos un punto iz del plano Z cuya imagen es iw :


15

ii

i

az bw

cz d

Análogamente para el punto jz :

j

j

j

az bw

cz d

Si restamos ambas expresiones y operamos se obtiene que:

( )( )

( )( )

j i jii j

i j i j

az b ad bc z zaz bw w

cz d cz d cz d cz d

.

Ahora, realizando este procedimiento para " "iw w , 2 3" "w w ,

3" "w w y 2 1" "w w puede

escribirse:

11

2 32 3

2 3

33

3

2 12 1

2 1

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

ad bc z zw w

cz d cz d

ad bc z zw w

cz d cz d

ad bc z zw w

cz d cz d

ad bc z zw w

cz d cz d

Luego, realizando el cociente entre el producto de las dos primeras expresiones y el producto de

las dos últimas, se obtiene la relación buscada:

1 2 3 1 2 3

3 2 1 3 2 1

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

w w w w z z z z

w w w w z z z z

.

También, si se reescribe la ecuación del siguiente modo:

321 wwww 3zz 12 zz = 123 wwww 321 zzzz ,

es fácil observar que:

* Si z = z1 entonces el segundo miembro es 0 y w = w1

* Si z = z3 entonces el primer miembro es 0 y w = w3

* Si z = z2 entonces 321 wwww = 123 wwww , de donde:

w (w1-w3) = w2 (w1-w3) , por lo tanto: w = w2

También se puede trabajar con el punto del infinito mediante sustituciones adecuadas con el

paso al límite.

Se denomina punto doble (o fijo) aquel cuya imagen w representa el mismo número.

La transformación tiene como máximo dos puntos dobles representados por las raíces en z,

obtenidas en la ecuación: dcz

bazw

haciendo z = w


16

Ejemplos: 5) Encontrar la transformación que mapea: z1 = 1, z2 = 0, z3 = -1 en los puntos

w1 = j, w2 = 1, w3 = . Respuesta: )1z(

)1j2(z1w

6) Mediante )jz(

)jz(w

, transformar x>0, y>0. Respuesta:

1vu

0v22

7) Hallar la transformación bilineal del círculo z <5 en el círculo w <1, de tal modo que los

puntos z1 = -5, z2 = 4+3j, z3 = 5 se transformen en los puntos w1 = -1, w2 = j, w3 =1.

Respuesta: z10

5z2w

INTEGRACIÓN EN EL PLANO COMPLEJO

Una integral de línea o curvilínea es aquella integral cuya función es evaluada sobre una

curva, por ejemplo, la curva C que va de A a B. Esta integral

es una generalización de la definición de la integral definida real.

Sin embargo su interpretación no es tan sencilla como la de la

integral definida del cálculo elemental ( área bajo la curva descripta

por el integrando). La curva C se llama trayectoria de integración.

Ejemplos prácticos de su utilización pueden ser:

1- el cálculo de la longitud de una curva en el espacio,

2- el cálculo del volumen de un objeto descrito por una curva, objeto del que se posee una

función (campo escalar) que describe su volumen a lo largo de la curva,

3- el cálculo del trabajo que se realiza para mover algún objeto a lo largo de una trayectoria

teniendo en cuenta campos de fuerzas (descritos por campos vectoriales) que actúen sobre

el mismo.

Recordemos el Teorema de Green en el plano (integrales curvilíneas reales), que da la

relación entre una integral de línea alrededor de una curva cerrada simple C y una

integral doble sobre la región plana R limitada por C:

Sean 2 funciones P(x,y) y Q(x,y) y sus primeras derivadas parciales funciones continuas en toda

una región cerrada R, constituida por todos los puntos interiores a un contorno cerrado C, junto

con el contorno mismo, entonces:

RC

dxdyy

P

x

QQdyPdx .

C se recorre en sentido positivo (antihorario).

En el caso de una curva cerrada en dos dimensiones, la integral

curvilínea se llama también integral de contorno.

x

y

B

C

A

y

x

C

R

http://es.wikipedia.org/wiki/Integral_de_l%C3%ADnea

http://es.wikipedia.org/wiki/Integral_doble


17

Integrales de línea complejas

Consideremos una función f(z) = u(x,y) +j v(x,y) la cual es analítica en todos los puntos

interiores y sobre un contorno cerrado C, y es tal que )z(f es continua allí. Se quiere evaluar la

integral curvilínea:

C

f(z)dz

Es fácil ver que las integrales de línea complejas pueden expresarse en términos de

integrales de línea reales, en función de sus componentes. Si se sustituye f(z) = u(x,y) +j

v(x,y) y dz = dx +j dy en la integral y se opera, resulta:

CCCCC

dy)y,x(udx)y,x(vjdy)y,x(vdx)y,x(udz)z(f

TEOREMA DE CAUCHY-GOURSAT

Sea f(z) una función analítica en un dominio simplemente conexo D. Entonces, dado un

contorno cerrado simple C contenido en D, tenemos: C

f(z)dz = 0.

Demostración

Como:

CCCCC

dy)y,x(udx)y,x(vjdy)y,x(vdx)y,x(udz)z(f .

Entonces como f(z) es analítica, u y v y sus derivadas parciales de primer orden son continuas

en la misma región.

Dadas las propiedades de u y v, es posible aplicar el teorema de Green. Entonces, el segundo

miembro se modifica como,

RRC

dxdyy

v

x

ujdxdy

y

u

x

vdz)z(f .

Como se cumplen las condiciones de Cauchy-Riemann, y

u

x

v,

y

v

x

u

entonces el

segundo miembro se anula y resulta: 0f(z)dzC

.

Esta demostración, basada en el teorema de Green, exige que )z(f sea continua en R ya que de

lo contrario no podríamos aplicar dicho teorema. Cauchy obtuvo en 1814 por primera vez este

resultado, valiéndose de una fórmula equivalente ya que Green no había aún explicitado su

teorema. Otra demostración, menos restrictiva, fue formulada a fines del siglo XIX por Goursat,

que no requiere que )z(f sea continua. Estas deducciones se conocen como Teorema de

Cauchy-Goursat, o a veces únicamente como teorema de la integral de Cauchy.

Ejercicio 8: Probar que C

z 0dze para toda trayectoria cerrada.


18

Consecuencias del teorema de Cauchy-Goursat

Consecuencia 1

Supongamos f(z) analítica en una región comprendida entre dos curvas C y C1, es decir, en

un dominio doblemente conexo, entonces de puede probar que:

1CC

f(z)dzf(z)dz

Demostración: Un dominio doblemente conexo se transforma en simplemente

conexo con un corte AB, y entonces se puede aplicar el

teorema de Cauchy-Goursat:

0

1

B

AC

A

BC

Observe que C y C1 están recorridos en sentidos contrarios.

Además, como:

A

B

B

A

, y

11 CC

, podemos escribir: 0

1

B

AC

B

AC

,

de aquí que:

1CC

, ambas recorridas en el mismo sentido.

Si generalizamos para un dominio multiplemente conexo, Cj (j = 1,2,3,..........n) es:

n321 CCCCC

..............

Consecuencia 2 : Principio de la independencia de la trayectoria

Si f(z) es analítica en un domino simplemente conexo D , si tomamos dos puntos A y B

cualesquiera contenidos en D, y dos curvas C1 y C2 , también contenidas en dicho dominio,

se puede deducir que:

21 CABCAB

dz)z(fdz)z(f

Luego, la integral no depende del camino entre A y B.

Es esta otra consecuencia del teorema de Cauchy-Goursat, ya que si partimos de A por C2 y

volvemos a A por C1 y a la curva cerrada la llamamos C* , siendo C*= C1+(-C2 ) sabiendo que

la integral sobre C* es 0, resulta:

*

1 2C C C

, según las condiciones dadas es: *C

0 , entonces:

122221 CABCABCAB

0CABCBACBA

y

Observamos que la integral no depende del camino sino de los extremos.

C2 B

A

C1

C

C1

B

A


19

Ejercicio 9:

a) Para z1= 2-2j y z2= 2+2j , calcule 2

1

z

z

f dz (z) , para f(z) =ez

Integral definida: Una integral definida puede calcularse por el incremento que sufre la integral

indefinida, como en el caso de integrales reales: )(F)(Fdz)z(f

, donde los caminos de

integración están contenidos en un dominio simplemente conexo, en el que f(z) es analítica.

RESIDUOS

Definición: Sea f(z) una función analítica en un contorno cerrado C, simplemente conexo y en

todo punto del interior de C, salvo 0z . Se denomina residuo de la función f(z) en una

singularidad aislada z = 0z al número definido por:

Czz

dzzfj

zfs )(2

1)(Re

0

Toda función tiene un residuo en cada uno de sus puntos singulares aislados.

Sin embargo, el valor del residuo puede ser cero.

Recuerde que si z0 es un polo simple, entonces 0zz

(z)f(z)

, con (z) analítica y ( 0z ) 0 .

Puede probarse que )()(lim)(Res0

00zzzz

zf(z)zzzf0

(Por la Fórmula de la Integral

de Cauchy (se verá mas adelante)).

Además, si z0 es un polo múltiple, m0zz

(z)f(z)

y

)!1(

)()(Res

)1(

0

m

zzf 0

m

zz

.

Más adelante se demostrará que si 0z es un polo simple de f(z), y si

)z(Qy)z(P,)z(Q

)z(P)z(f analíticas en 0z y 0)(0)(;0)( 000 zQyzQzP ,

entonces el residuo es también )(z

)(zf(z)

zz0

0

Q

PRes

0

.

Ejercicio 10: Determinar el residuo de la siguiente función 2

32)(

2

z

zzzf en sus

singularidades. ( Rta: 3f(z)Re2

z

s ).

jy

2

j2

-j2

x

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_anal%C3%ADtica


20

TEOREMA DE LOS RESIDUOS

El Teorema de los residuos es consecuencia directa del Teorema de la integral de

Cauchy y forma parte fundamental de la teoría matemática de Análisis Complejo.

Sea C una curva cerrada en el plano complejo tal que la función f(z) es analítica en el

interior de C y sobre C, excepto en un número finito de puntos singulares aislados

m21 ...z,.........z,z interiores a C. Si m21 ...k,.........k,k representan los residuos de f en

aquellos puntos se tiene que:

m

1izz

C

f(z)Res j2f(z)dzi

Demostración:

Encerramos a cada uno de los puntos singulares zi en un círculo Ci con

radio pequeño para que queden separados todos esos ‘m’ círculos y C.

Entonces f(z) es analítica en el dominio multiplemente conexo

limitado por C1, C2,...........,Cm y sobre la frontera.

De acuerdo con la primera consecuencia del teorema de Cauchy-Goursat se concluye que:

mCCCC

dzzfdzzfdzzfdzzf )(...........)()()(

21

Como: 12)(

1

jkdzzfC

; 22)(

2

jkdzzfC

; ............... m

C

jkdzzf

m

2)( ,

entonces:

m

izz

m

C

zfsjkkkjdzzfi1

21 )(Re2)...........(2)( .

Ejercicio 11: Resolver las siguientes integrales aplicando el teorema de los residuos.

a)

2zC

2

3

dz)9z)(1z(

2z3 Rta. j ; b)

2zC

3 )4z(z

dz , Rta. j

32

c) 4zC

zsh

dz, Rta. - 2j .

FÓRMULA DE LA INTEGRAL DE CAUCHY

Sea (z) analítica (y unívoca en un domino simplemente conexo) en todos los puntos

interiores y sobre un contorno cerrado C; si z0 es cualquier punto interior a C se tiene

C

dzzz

(z)

j2

1)(z

0

0

,

donde la integral se toma en sentido positivo alrededor de C.

C1 C2

C3 Cm

C

z1

z2

zm z3

http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_integral_de_Cauchy

http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_integral_de_Cauchy

http://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_Complejo


21

La fórmula muestra que el valor de la función, que es analítica en una región, está determinado

en toda la región por sus valores sobre el contorno.

Demostración:

Sea C0 una circunferencia con centro en 0z tal que 000 ryrzz lo suficientemente

pequeño para que C0 sea interior a C.

La función 0

)(

zz

z

es analítica en todos los puntos interiores y sobre C, excepto en el punto 0z .

Por lo tanto la integral alrededor del contorno de la región anular entre C y C0 es cero, y según

la primera consecuencia del teorema de Cauchy-Goursat:

dzzz

zdz

zz

z

CC

0 00

)()( , donde ambas integrales se toman en sentido positivo.

Utilizando un artificio en el segundo miembro:

0 0

00

0

)()()()(

CC

dzzz

zzzdz

zz

z

Entonces: (A)

III

dzzz

zz

zz

dzzdz

zz

z

CCC

00 0

0

0

0

0

)()()(

)(

Analizamos cada una de las integrales I y II.

Sea j

00 erzz y jdθerdz jθ

0 , entonces I:

2

0

2

0j

0

j

0

C 0

j2jder

jer

zz

dz

0

.

Para II: Se toma el valor absoluto y se tiene en cuenta que es continua en 0z , entonces:

00 )()(/0)(,0 zzparazz .

En particular 00 rzz , interior a C.

022)()()()(

0

000

0

0

0

000

r

rdz

rdz

zz

zzdz

zz

zz

CCC

Puesto que el número puede ser tan pequeño como se desee, el valor absoluto de la integral

también puede hacerse arbitrariamente pequeño. Reducir equivale simplemente a reducir el

radio de C0.

Reemplazando en (A), resulta:

02).()(

0

0

jzdzzz

z

C

C

dzzz

(z)

j2

1)(z

0

0

Ejercicios:

12) Calcular :

C

2

2

dz1z

1z a lo largo del círculo de radio 1 con centro en a, para:

a) a = 1 (Rta. 2j) c) a = -1 (Rta. -2j)

b) a = 2

1 (Rta. 2j) d) a = j (Rta. 0)

z0

z C0

r0

C


22

13) a) Calcule C

dz1z

zcos, donde C es el contorno

triangular mostrado en la figura.

b) Calcule C

dz1z

zcos, donde C es

el mismo contorno que en el apartado a).

14) a) Reconsidere la función del Ej 12) y Calcule la integral a lo largo del círculo de radio

2 con centro en 0. Discuta el resultado en relación al obtenido en 12-d). (Rta. 0).

b) Considere ahora la curva C como en 14-a) pero para integrar 2 nuevas funciones:

)1()(

21

z

zzf ,

zz

zzf

)1(

13)(

2

2

.

c) Calcule

4zC

dz)3z)(2z)(1z(

1z2 (Rta. 0)

Fórmula de la derivada de la integral de Cauchy

Si la función (z) es analítica en un recinto D y en su frontera C, entonces para cualquier

número natural n se verifica la fórmula:

CzDzdondeC

n

,)

01dz

z(z

(z)

j2

n!)(z

0

0

(n)

Se puede demostrar partiendo de la fórmula de la integral de Cauchy y derivando respecto de

0z ; cuando se llega a )(' 0z se reitera el proceso y por inducción se llega a lo que se quería

demostrar y concluir: Si una función es analítica en un punto entonces sus derivadas de

todos los órdenes ´, ´´,................; son también analíticas en aquel punto.

Ejercicios:

15) a) Calcular dz)1z(

e

2zC

3

z2

; (Rta. 4e2j) ; b) Calcular

2zC

3dz

)1z()1z(

zch;

e2

j.Rta .

________________________________________________________________________________

2

2j

-2j

x

jy


23

SERIES. POLOS Y RESIDUOS

Revisemos previamente los siguientes temas:

Series de potencias

Una serie de potencias en z = a es una serie infinita de la forma:

0n

n

n

2

210

n

n ...........)az(c...............)az(c)az(cc)az(c

donde z es la variable; c0, c1,...................,cn son los coeficientes y a una constante que recibe el

nombre de centro de la serie.

En particular si a=0, se obtiene una serie de potencias en z :

0n

n

n zc

La región de convergencia se determina con un círculo de centro a y radio R, tal que en

Raz la serie es convergente y si Raz es divergente. El círculo Raz se llama

círculo de convergencia y su radio recibe el nombre de radio de convergencia.

El radio se calcula, por medio de los coeficientes de la serie, n

1n

n c

climL

y según la fórmula

de Cauchy-Hadamard: L

1R .

Si L = 0 R = la serie converge para todo z.

Si L = R = 0 la serie converge en z = a

Ejercicios 16:

a)

1n

n

n

z Respuesta: R = 1 y 1z ; b)

1nn

n

2

nz Respuesta: R = 2 y 2z

Series de Taylor

Sea f(z) analítica en todos los puntos interiores a una circunferencia C0 con centro en z0 y

radio R. En cada punto z interior a C0:

n

n

0

(n)2

0

0

000 R)z(zn!

f.................)z(z

2!

)(zf)z)(z(zf)f(zf(z)

.

Luego, la serie infinita converge a f(z) si Rn 0 cuando n .

La convergencia está garantizada si f es analítica en el interior de C0.

La RC definida es siempre una región abierta. El radio R es la distancia desde el punto z0 hasta

el punto singular de f que esté más próximo a z0, ya que la función es analítica en todos los

puntos interiores a C0.


24

Ejercicio 17

a) Determinar el radio de convergencia de la serie de Taylor para z1

1)z(f

siendo z0 = j

(Respuesta: 2R ).

b) Desarrollar )z(f 3z

2

en potencias de “z-1”

Solución para el inciso b) :

Si se trabaja algebraicamente con f(z) puede escribirse que:

f(z)

2

)1(1

)1(

2

)1(1)2(

2

2)1(

2

zzz (I)

Ahora, recodando la serie geométrica para q=2

)1( z la forma (I) es el valor de

convergencia de la serie f(z)

nz

2

)1()1( para 1

2

)1(

z.

Así, pudo encontrarse la serie de Taylor buscada:

f(z)

0

)1(2

1)1(

n

n

n

z , válida para 2)1( z .

Desarrollos en serie más utilizados:

1) Serie binomial:

!n

)1n)........(1(

n,1

0donde;1z,z

n)z1(

0n

n

Casos particulares:

1-1) ..............1)1(1,)1(1

1 321

0

zzzzózzz n

nn

1-2) ..............1))(1(1,)(1

1 321

0

zzzzózzz n

n

1-3) 1z...,..........!3

z)2m)(1m(m

!2

z)1m(mmz1)z1(

32m

2)

z,

)!1n2(

z)1(zsen

1n

1n21n

3)

z,)!n2(

z)1(1zcos

1n

n2n

4)

z,!n

z1e

1n

nz


25

Si una función f no es analítica en z0, no podemos aplicar el teorema de Taylor en ese punto.

No obstante, muchas veces es posible hallar una representación de f(z) en forma de una serie

que contiene tanto potencias positivas como negativas de z-z0 .

Es la denominada SERIE DE LAURENT

Teorema

Sea f(z) una función analítica en el anillo 102 rzzr centrado z0 . Sea C cualquier

camino cerrado simple, orientado positivamente, que rodea a z0 y está contenido en ese

dominio anular. Entonces, en cada punto z de esa región, f(z) está representada por una

serie convergente de potencias positivas y negativas de 0z-z , llamada SERIE DE

LAURENT:

(1))z(z

b)z(zaf(z)

1nn

0

n

0n

n

0n

102 rzzr C1

donde:

C

n(2)....)0,1,2,....(ndz

z(z

f(z)

j2

1a

0

n 1)

(3)...)1,2,......(ndzz(z

f(z)

j2

1b

0

n

C

n 1)

En general, obtendremos los coeficientes de la serie de Laurent por métodos prácticos y no por

las fórmulas (2) y (3).

Ejemplo: Desarrolle )3/(1)( zzf en serie de Laurent en potencias de (z-1) y determine el

dominio en el que la serie converge a f(z).

Observaciones:

I) El desarrollo (1) se escribe con frecuencia como

n

n

n

n zzAzf )()( 0 , donde :

C

1n

0

n )2,........ 1, 0,(ndz)z(z

f(z)

j2

1A

.

Llamamos zona intermedia a los puntos de la región 102 rzzr , en los que la serie

contiene tanto potencias positivas como negativas.

C2

r1

r2

z z0

C

jy

x


26

II) En el caso en que f sea analítica en todo punto sobre interior a C1, excepto z0, el radio r2

puede tomarse arbitrariamente pequeño. Así el desarrollo (1) es válido cuando 10 rzz0 .

La llamaremos zona cercana.

III) Si f es analítica en todos los puntos interiores a C1, la integral sobre C definida en la ec(3)

es igual a cero (por T. de C-G) y la serie (1) se reduce a una serie de Taylor. ( 01n y el

integrando es función analítica en z ) .

IV) En particular

1nn

0

n

zz

b)z(f es válido en 10 rzz . La llamaremos zona lejana.

Observamos que fuera de la corona circular, f(z) se podrá representar por una serie que tiene

solo una de las sumatorias de (1).

La serie de Laurent de una función analítica dada f(z) en su anillo de convergencia es

única. Sin embargo f(z) puede tener diferente serie de Laurent en dos anillos del mismo

centro.

Una serie potencial representa una función analítica en todo punto interior a su círculo de

convergencia.

Ejercicios:

18) Hallar todas las series de Laurent de )2z)(1z(

1)z(f

con centro en 0z = 0.

Respuesta: a) 1zenválidaz2

z

2

1)z(f

0n

n

n

b)

0n

1n

n

2zenválidaz

21)z(f

c) 2z1envalida2

z

z

1)z(f

0n1n

n

1n

19) Encontrar todas las series de Laurent de 2z1

1)z(f

con centro en 0z =1.

Respuesta: a) 210enválida2

1)1(

)1(2

1)(

0

zz

zzf

n

n

n

b)

02

21enválida1

2)1(.

)1(

1)(

n

n

n zzz

zf


27

SINGULARIDADES y RESIDUOS DE UNA FUNCIÓN y LA SERIE DE LAURENT

Cuando 0z es un punto singular aislado de f, existe un número positivo 1r tal que la

función es analítica en cada punto z para el cual 10 rzz0 y en este dominio la

función está representada por la serie de Laurent:

1nn

0

n

0n

n

0n)z(z

b)z(zaf(z)

A la última serie se la llama parte principal de f(z) en el entorno de 0z .

Tipos de singularidades aisladas. Relación con la serie de Laurent.

a) Decimos que una función tiene un polo de orden ‘m’ en el punto 0z , si la parte principal

de su desarrollo de Laurent alrededor del punto singular 0z contiene hasta un número finito

‘m’ de términos. Entonces, como puede observarse en las expresiones (3), los coeficientes

........,.........b,b 2m1m , son todos nulos. Por consiguiente su desarrollo de Laurent es:

m

0

m

-1m

0

-1m

2

0

2

0

1

0n

n

0n)z(z

b

)z(z

b

)z(z

b

)z(z

b)z(zaf(z)

........... , mb 0

Si m = 1 el polo es simple.

b) Decimos que el punto 0z es un punto singular esencial de la función, si la parte principal

contiene un número infinito de términos.

c) Si la Serie de Laurent carece de parte principal, y la función no es analítica en 0z pero

puede hacerse analítica utilizando una adecuada definición de la misma, entonces el punto 0z es

un punto singular evitable.

Se había visto que la naturaleza de una singularidad se podía determinar analizando el

límite:

I) Si f(z) tiene un polo en z = 0z entonces

f(z)lim0zz

. También puede afirmarse que

para que un punto 0z sea un polo de orden ‘m’ de f(z), es necesario y suficiente que

f(z) pueda expresarse de la forma: m

0 )z(z

φ(z)f(z)

con φ(z)y0)φ(z 0

analítica en 0z . (A)

II) Si f(z)lim0zz

no existe entonces z = 0z es una singularidad esencial de la función.

III) Si Lf(z)lim0zz

entonces z = 0z es una singularidad evitable.

Ahora estamos en condiciones de probar la propiedad I) la que resulta del siguiente

Teorema: 0z es un polo de orden ‘m’ de f(z) si y sólo si existe: 0k,k.f(z))z(zlimm

0zz 0

,

es finito y no nulo.


28

Demostración: Sea, )rzz( 100 .f(z))z(zφ(z) m0 definida en un entorno reducido

de 0z y analítica en 0z . Sustituyendo a f(z) por su desarrollo de Laurent, considerando la

existencia de un polo, resultará que:

(B) 0b,)zz(b................)zz(bb)z(za(z) m

1m

0101mm

0n

mn

0n

Si 0zz entonces kbz m )( 0 . Entonces (B) es válida en todo entorno de 0z y en el

propio punto.

Por ser (B) una serie de potencias convergente, la función )z( es analítica en 0z . En

consecuencia se puede escribir:

m

m

0zz

0 b.f(z))z(zlim)(z0

puesto que existe y 0bm se deduce que:

)z(flim0zz

RESIDUOS. Relación con la Serie de Laurent

Recordamos la definición:

Sea f(z) una función analítica en un contorno cerrado C, simplemente conexo y en todo punto

del interior de C, salvo 0z . Entonces el residuo de f(z) en 0z , está definido por:

Czz

dz)z(fj

)z(fsRe2

1

0

,

Observar que de acuerdo a las definiciones de los coeficientes en el desarrollo de Laurent,

(pag. 25), según (3) diremos que

10

b)z(fsRezz

.

Entonces el residuo de una función f(z) en el punto singular aislado 0z , es el coeficiente de

la potencia 1

0 )zz( en el desarrollo de Laurent.

Toda función tiene un residuo en cada uno de sus puntos singulares aislados. La serie de

Laurent alrededor del punto representa la función en todo entorno del punto, excepto en el

propio punto.

Ejercicio 20 Determinar el residuo de cada una de las siguientes funciones en sus respectivas singularidades.

1) 4

2)(

2

z

zzf Rta.

2) 2z

1

e)z(f Rta. 0

3) 2

z

)1z(

e)z(f

Rta. –e-1


29

CÁLCULO DE RESIDUOS

Es posible determinar el valor de un residuo, a partir de diferentes fórmulas, la mayoría de las

cuales ya se han presentado en este capítulo. Se presenta un breve resumen y algunas

deducciones interesantes en lo que sigue.

A) Para polos simples

A-1) Como m

m

0zz

b.f(z))z(zlim0

, si m = 1 entonces .f(z))z(zlimb 0zz

10

Demostración: Al ser z = 0z un polo simple, la serie de Laurent correspondiente es de la

forma:

0b,rzz0con)zz(

b)z(zaf(z) 10

0

1

0n

n

0n

.

Si multiplicamos ambos miembros por (z- 0z ), resulta:

(z- 0z ).1

0n

1n

0n b)z(zaf(z)

Aplicando límite obtenemos que: )f(z)z(zlimbf(z)Res 0zz

1zz 00

A-2) Si )z(Qy)z(P,)z(Q

)z(P)z(f analíticas en 0z y 0)z(Qy0)z(Q;0)z(P 000 ,

entonces el residuo es de la forma: )(zQ

)P(zb

0

0

1

.

Demostración : Si Q(z) es analítica en z = 0z se puede desarrollar en serie de Taylor,

entonces aplicando la regla A-1) resulta:

.............!2

)zz)(z(Q)zz)(z(Q)z(Q

)z(P).zz(lim)z(fsRe

2

00

000

0zzzz 00

Sabemos que

0)z(Q 0 y 0)z(Q 0 , por lo tanto es:

...............!2

)zz)(z(Q)z(Q)zz(

)z(P).zz(lim)z(fsRe

00

00

0zzzz 00

y pasando al límite :

)(zQ

)P(zbf(z)Res

0

0

1zz 0

B) Para polos de orden superior

Sea f(z) una función que tiene un polo de orden ‘m’ entonces 0bm y el desarrollo de la serie

de Laurent es de la forma:

..................)zz(aa)z(z

b.................

)z(z

b

)z(z

bf(z) 010

0

1

1-m

0

1-m

m

0

m


30

Si se multiplica a ambos miembros por m

0 )zz( y se construye una función auxiliar analítica

en 0z que denominamos )z( se obtiene:

.............)zz(a)zz(b.........)zz(bb)z(f.)zz()z( m

00

1m

0101mm

m

0

(I)

Pero (I) es el desarrollo de Taylor de )z( en 0zz donde los coeficientes vienen dados por la

fórmula:

..........)zz()!1m(

)z(.......................)zz)(z()z()z( 1m

0

0

1m

000

(II)

(I) y (II) representan el mismo desarrollo, que es único; en consecuencia, comparando

coeficientes, resulta:

.f(z))z(z(z)con;1)!(m

)(zb

m

0

0

1)(m

1

C) Para singularidades esenciales

No hay fórmulas para el cálculo de los residuos de la función en puntos singulares esenciales.

Se evalúan siempre encontrando la Serie de Laurent.

Ejercicio 21

Determinar el residuo de cada una de las siguientes funciones en sus respectivas singularidades.

1) 1z

1)z(f

4 Rta.

4

9j

zze

4

1)z(fsRe

1

,

4

9j

zze

4

1)z(fsRe

2

,

4

3j

zze

4

1)z(fsRe

3

,

4

3j

zze

4

1)z(fsRe

4

2) zz

z34)z(f

2

Rta. 4)z(fsRe

0z

, 1)z(fsRe

1z

3) 2

3

z

1sen.z)z(f Rta. 0)z(fsRe

0z

Análisis en el dominio natural

31

ANÁLISIS DE SEÑALES

y SISTEMAS

EN EL DOMINO NATURAL

(TEMPORAL; ESPACIAL)


32

ANÁLISIS DE SEÑALES EN EL DOMINIO NATURAL

Introducción

Una señal es la abstracción de una cantidad medible, y será así representada por una

función de una o más variables independientes. Puede también interpretarse a una señal como

una perturbación (cambio en su estado) que experimenta un medio. Lo relevante de una señal es

que este cambio puede desplazarse. Según la naturaleza del cambio es posible distinguir

diferentes dominios de propagación. Una señal puede expresarse en diferentes dominios;

cuando se expresa en el dominio del tiempo se habla de propagación y se aplican, al menos

aproximadamente, los conceptos de la cinemática. Además de este dominio puede haber otros,

como el dominio del espacio, el de las frecuencias etc. Es evidente que una señal tiene como

una de sus propiedades relevantes la capacidad de comunicar y /o transmitir información. La

información a que nos referimos podría ser también la respuesta de un sistema a una

solicitación. Las perturbaciones pueden ser de diferente índole, por ejemplo, las señales de radio

son perturbaciones electromagnéticas que se propagan en el espacio. En este caso se trata de un

estado de tensión eléctrica del medio que se propaga. Las señales acústicas son perturbaciones

de presión que se propagan en un medio material. Las señales telegráficas son perturbaciones

eléctricas que se propagan a través de un conductor etc.

Se podría afirmar que el mundo moderno está repleto de señales, la mayor parte de ellas

no es posible percibirlas con los receptores de que está dotado el Hombre en forma natural y

muchas, aún captadas con ayudas creadas por la inventiva del ser humano, necesitan ser

analizadas para obtener información útil de ellas. De eso trata el análisis de señales. Esta

disciplina es un conjunto de ideas y recursos que permiten la interpretación de las señales

naturales o artificiales que inundan nuestro universo. Los recursos son de dos tipos, unos que

modifican las señales para su interpretación y otros que las toman y las ponen de forma que

resulten evidentes sus principales características. En este curso daremos una introducción a la

primera parte de estas técnicas, es decir, aprenderemos a analizar señales para obtener de ellas la

información que nos interesa.

Desde tiempos muy antiguos los seres humanos han empleado señales de diferentes tipos

para comunicar acontecimientos importantes o dar voces de alarma. Como ejemplos podemos

citar:

Haces luminosos que empleaban los griegos y romanos para fines militares

Señales de humo tradicionalmente empleadas por indios para enviar mensajes.

Señales acústicas de tambores para comunicarse en sitios de difícil acceso

Señales producidas por faros para guía de barcos y comunicación de noticias.

A fines del siglo dieciséis, Inglaterra empleó un sistema de faros para alertar sobre la

proximidad de la armada Española, en esa época se acuñó el término de “señal” para denotar un

signo o noticia perceptible por el oído o la vista, destinada a advertir, transmitir una información

o comunicar alguna noticia. En el año 1806, el sistema de semáforos (del griego: “portador de

señales”) estaba en Inglaterra tan perfeccionado, que era posible transmitir una señal desde

Plymouth a Londres obteniendo una confirmación en tan solo tres minutos. En el año 1852,

Morse inventó un código el que junto a la invención del telégrafo produjo un gran avance en las

comunicaciones tanto desde el punto de vista de su rapidez como el de su confiabilidad.


33

Las señales de radar comienzan a ser aplicadas durante la segunda guerra mundial

para detectar aviones y alertar sobre la posibilidad de bombardeo. El sonar, inventado por

Langevin (1917) permitió aplicar señales acústicas a los sistemas de detección de

submarinos. Estas señales, atraviesan una porción del espacio, cuyas condiciones cambian

de forma azarosa perturbándolas e impidiendo, a veces, que estas cumplan con los objetivos

para los que fueron generadas. Esta circunstancia hizo que se desarrollara la teoría de

señales desde el punto de vista de su generación, mejorando la electrónica asociada para

hacer las señales más robustas y desde el punto de vista de la detección, se desarrolló la

herramienta estadística para buscar las características relevantes de la información que

llegaba alterada a los sistemas de detección.

En el área de las comunicaciones, la misión de la teoría de señales cumple múltiples

propósitos: debe mejorar su generación para hacerlas inmunes a las perturbaciones del

medio, facilitar su recuperación e incluso hacer que la transmisión de éstas sea más

económica.

Para físicos e ingenieros las señales tienen además un propósito no menos importante

que los anteriores. En muchas oportunidades aplicamos señales para estudiar un fenómeno

de la naturaleza. En este caso lo relevante es que la señal es modificada por el fenómeno que

se estudia y aquí el énfasis no se hace en evitar que la señal se distorsione sino en que la

distorsión de ésta sea originada por el fenómeno relevante que nos interesa estudiar.

Entonces, resulta de gran importancia tener información acerca del mecanismo de distorsión

de la señal generada. En este último caso tiene un significado considerablemente más

general que en los anteriores y una señal puede ser un proyectil cuya trayectoria se altera por

la presencia de un obstáculo, o una modificación en la amplitud y en el contenido de

frecuencia de una onda que se hace incidir sobre una zona afectada por un fenómeno

determinado, como una turbulencia, por ejemplo.

Para fines de investigación las señales las generamos mediante dispositivos que

transforman el fenómeno de interés en tensiones eléctricas. Un sistema que transforma

señales de un tipo en otras se llama un “transductor” .Hay tantos transductores como las

interacciones que gobiernan su capacidad de transformación, así tenemos transductores

eléctro-dinámicos (un buen ejemplo de estos son los parlantes de las radios), magnéticos,

electro magnéticos, piezoeléctricos, termo-eléctricos, etc.

Las señales, desde el punto de vista temporal se pueden dividir en “continuas” y

“discretas”, y ambas pueden ser periódicas o no periódicas. En este curso nos ocuparemos de

señales continuas.

En la próxima sección describimos las señales periódicas y sus principales

características, la mayoría de las cuales nos son familiares: período, amplitud, forma de

onda. También consideraremos señales no-periódicas, más ligadas a eventos no repetitivos;

no son tan fáciles de describir, sin embargo, basándose en la forma en que éstas se

despliegan en el tiempo, es posible dar algunas de sus más importantes características.


34

Descripción de señales

Señales periódicas:

Una señal periódica, es aquella que se repite a sí misma, cada cierto intervalo de tiempo

T (período). Así, el Período de la señal es el tiempo que tarda la señal y su derivada en

adquirir el mismo valor.

Nuestra capacidad de analizar señales se ve considerablemente fortalecida si las

expresamos como relaciones matemáticas, así podemos beneficiarnos de la potencia de

esta disciplina para el análisis de sus propiedades. Cuando esto es posible, se facilita

significativamente la obtención de la información que las señales contienen. Como un

primer ejemplo consideremos alguna de las propiedades elementales de las señales

periódicas.

Si una señal se puede expresar como una función periódica del tiempo y su período es

T, cumple los siguientes teoremas:

a) Si f(x) es periódica con período T; f(x)=f(x+T), además mT también es un período

de la misma función (f(x)=f(x+mT)), con m= 1,2,3...

Demostración:

Sea:

f (x + mT) = f (x+T) = f(x) con m = 1, entonces, si m=2:

xfTxfTTxfTxf 2 , si m=n

f(x+nT)=f({x+[n-1] T}+T)=f(x+[n-1] T)=f({x+[n-2] T}+T)+.....etc.

b) Si f(x) es periódica y tiene período T ; entonces f(ax) tiene periodo

a

T

Demostración:

Sea: g(x) = f(ax)

Es evidente que g(x) es periódica, entonces, supongamos que es el periodo de g(x),

luego, g(x)=g (x+) y f(ax)= fa (x+ ) ,luego f(ax)=f(ax+a), entonces a es el

período de f(ax) por tanto: a = mT =a

mT

.

c) Si g(x) es periódica de período T1 y f(x) es periódica de período T2, entonces si

existe un valor T=a T1 =bT2, con a/b un número racional, una nueva función y(x)

definida como la suma de las anteriores,

y(x)= f(x)+g(x) , será periódica , de período T.

Señales no periódicas:

Una señal no periódica o aperiódica, es aquella para la cual no existe un T que

satisfaga la condición f(t)=f(t+T) , t .


35

Hay señales no periódicas definidas para intervalos finitos de t , y otras no-

periódicas definidas t . Se analizará más adelante que las primeras pueden

representarse en términos de señales periódicas.

Valores medios

En ciertas oportunidades resulta muy útil describir las señales, periódicas o no, mediante

un número limitado de parámetros que reflejan magnitudes más fáciles de interpretar

desde el punto de vista físico, los que están relacionados más bien con las propiedades

que las funciones tienen en promedio. Ejemplos de estos se listan a continuación:

Valor medio o valor promedio, magnitud que es muy familiar en su forma discreta:

N

i

xiN 1

1f , donde

ixf es el valor de cada muestra de la señal, y N el número de muestras

de la señal. Cuando se trata de una señal continua esta expresión se transforma en la

bien conocida expresión para el valor medio de una señal continua f(x) definida en a x

b,

xdxf

abf

b

a

1,

la que es conceptualmente idéntica a la anterior,.

Cuando se quiere hacer un estudio de las variaciones de una señal en el tiempo, es

posible que su valor medio se anule por causa de las fluctuaciones, en este caso es más

conveniente emplear el llamado “valor RMS” de la señal, sigla que significa “valor

cuadrático medio” (root mean square). El valor RMS de una señal f(t) tiene por

expresión:

dttfT

T

0

21

También puede interesar el valor absoluto promedio de la magnitud de una señal,

idéntico conceptualmente al anterior, que está dado por:

T

dttfT

0

)(1

Señales de energía vs. Señales de potencia

Recordemos que si f(t) es una señal definida en (t1,t2), su energía se define:

2t

1t

2dttfE . (1.a)

Para la señal f(t) definida en , , decimos que su energía es:

L

Ldttf

L

2limE (1.b)


36

Entonces, una señal tiene energía finita si E . En ese caso, caracterizaremos a f(t)

como una señal de energía.

Ejercicio: Calcular la energía de la señal:

0t,ae

0t,0tf

bt;

Rta: bsib

aE

2

2

Recordemos que si f(t) es una señal en el intervalo (t1 , t2) , o si es periódica de período

T, entonces la potencia media de f(t) se define, respectivamente, como :

2

1

2

12

1t

t

dttftt

Pm

Tt

t

dttfT

Pm0

0

21.

Por otro lado, interesa también caracterizar a ciertas señales como señales de potencia.

Diremos que la señal f(t), definida en , , es una señal de potencia si:

L

LL

dttfL

2

2

1lim0 (2)

Una señal es de energía o es de potencia en , ; no puede ser ambas.

Puede probarse también que toda señal periódica es siempre una señal de potencia,

y que toda señal acotada, de las llamadas “pulso”, es siempre de energía.

Hay señales que no pertenecen a ninguna de las familias anteriores, que son las de

potencia infinita (Cuando (2) = ).

Ejercicio: Probar que la señal atetf con t , no es una señal de energía ni

de potencia.

Causal vs. Anticausal vs. Nocausal

Las señales causales son señales que tienen valor nulo en el tiempo negativo, y las

señales anticausales tienen valor cero en el tiempo positivo. Las señales no-causales

son señales con valor distinto de cero para tiempos positivos y negativo (Figura 1).

Una señal causal

Una señal anticausal

Una señal no-causal

Figura 1


37

Par vs. Impar

Una señal par es cualquier señal f(t) que satisface f(t) =f(−t). Las señales pares se

pueden detectar fácilmente por que son simétricas en el eje vertical. Una señal impar, es

una señal que satisface la relación f(t) = − f(−t) (Figura 2).

(a) Una señal par

(b) Una señal impar

Figura 2

Es interesante observar que cualquier señal tiene una descomposición par-impar. Se

puede demostrar que cualquier señal se puede escribir como la suma de una señal par y

una impar. Para demostrar esto, no tenemos más que examinar la siguiente ecuación:

f(t)= ½[ f(t) +f(−t)] + ½[ f(t) −f(−t)].

Al multiplicar y sumar esta expresión, demostramos que lo explicado anteriormente es

cierto. También se puede observar que e(t)= ½[ f(t) +f(−t)] satisface a una función

par, y que o(t)= ½[ f(t) −f(−t)] satisface a una función impar (Figura 3).

Ejemplo : Esta señal será descompuesta usando la descomposición Par-Impar


38

Figura 3

Señales como funciones seccionalmente continuas

Una función f(t) sobre [a,b] se dice seccionalmente continua en [a,b] si es continua en

todo el intervalo excepto en un número finito de puntos de discontinuidad de primera

especie (o con salto finito).

f(t)

tbt3t2t1a

Para tales funciones existen los límites por izquierda y por derecha en el intervalo [a,b],

es decir: f(t)limf(b);f(t)limf(a)-btat

y además existen los límites por derecha y

por izquierda en cada punto de discontinuidad con salto finito. Q[a,b]: espacio de


39

funciones seccionalmente continuas en [a,b] y Q’[a,b] simboliza el espacio de

funciones seccionalmente continuas en [a,b], diferenciables con continuidad por tramos

en [a,b].

Operación de Compresión vs. Dilatación

Analizar la relación de una señal f(t) con otra, obtenida a partir de la anterior mediante

la relación f(bt) para los siguientes casos b>1, 0<b<1, y b=-1.

TIPOS DE SEÑALES

Rampa unitaria

Definición:

0t0

0t,ttr

Si se quiere una pendiente distinta de 1, sólo es necesario multiplicar por una

constante; por ej., si b > 0, entonces:

0t0

0t,bttbr

Para la función rampa unitaria, se cumple:

tbrbtr si b > 0

at0

at,atatr

Función escalón unitario

Esta función se llama también función de Heaviside,

y se define como:

00

01

t,

t,tus

De la definición de rampa unitaria, surge que :

t

r(t

)

Función rampa

t

r(t-a)

Función rampa

t a a+1

us(t)

Función de Heaviside

t

1


40

10

00

dt

drtsi

dt

drtsi

0 t,tudt

drs

Por otro lado si buscamos un escalón de salto distinto de 1, basta con multiplicar por

una constante C a us(t); por ejemplo si C > 0 entonces:

00

0

t,

t,CtCus .

Ejemplos:

1)

00

01

t,

t,tus 2)

at,

at,atus

0

1 3)

at,

at,CatCus

0

Usando combinaciones de funciones rampa y escalón, es posible representar distintos

tipos de pulsos:

Pulso rectangular de ancho "a", centrado en "a/2", se denota como:

2

atPa

Puede considerarse como la suma de dos señales de tipo escalón:

2

atPa = ust)+[-us(t-a)]

Analíticamente:

* Si t < 0 us(t) = 0; us(t-a) = 0 0a/2)-(tPa ;

* Si 0 t < a us (t)=1; u(t-a) = 0 1a/2)-(tPa ;

* Si t a us(t)=1; us(t-a) = 1 0a/2)-(tPa

t

1

t

1

-a

t

C

a

tus atus C atus

Pa(t-a/2)

t a

1

us(t)

t

1

-us(t-a)

t

1

-1


41

Pulso rectangular de ancho "a", centrado en "0", tPa

Análogamente, el pulso centrado en cero puede expresarse

como:

22

atu

atutP ssa

Pulso triangular de ancho "2b", centrado en "0",

se puede escribir: tT b2

bt

bt,b/ttT b

0

12

Rampa finita

Ejercicios:

1) Verificar analíticamente que la rampa finita se puede expresar: x(t) = r(t) - r(t-1)

2) Graficar la forma de onda que resulta de considerar:x(t)= -r(t+1)+ 2r(t) - r(t-2) – us(t-3).

Función sinc (t)

01

0

t

tt

tsen

tcsin

La función en t = 0 es el

10

t

tsenlimt

, ya que t = 0 es una singularidad evitable de

t

tsen

Propiedades

1. ,)t(csinlimy)t(csinlimtt

00

pues: 001

)t(csinlimt

limt

tsenlim

t

tsenlim

tttt,

De la misma forma se analiza para el caso: t

2. Los ceros de la sinc(t) ocurren para 0 Zk,kt .

.Zk,kt)t(sent

tsen)t(csin 000

10

00

11

t,t

t,

t,

tx

T2b(t)

-b b t

1

-a/2 a/2

Pa

1

Rampa finita

x(t)

1

t


42

0

01000

Zk,ktlosson)t(csindeceroslos

)(csincomoytk,Si

3. La función sinc(t) es par

0

tsi),t(csin

t

)t(sen

t

)t(sen

)t(

)t(sen)t(csin

Si t = 0; sinc(0) = sinc(-0) = 1, luego t : sinc(-t)=sinc(t)

4. De la definición surge que: sinc (t) es continua en t = 0

La gráfica de sinc(t) es:

sinc(t)

t

g(t)=1sinc(t)

t

Ejercicio: Encontrar los ceros de la función sinc(3t).

Función impulso unitario: (t) ó Función DELTA-DIRAC Esta función se debe tratar como una función generalizada, pues no puede definirse su

valor punto a punto como en el caso de una función ordinaria, y se la suele llamar

DISTRIBUCIÓN DELTA DE DIRAC.

Definición:

La función Delta-Dirac, puede definirse a partir de un pulso de alto (amplitud) "1/a" y

ancho "a", centrado en el origen:

como: tPa

limt aa

1

0 ,

Puede pensarse, intuitivamente, que (t) tiene un ancho infinitamente pequeño y su alto

es infinitamente grande, con área unitaria.

Observar también que la definición dada puede expresarse no solo en base a un pulso

rectangular, sino también con otra función cualquiera. Podría expresarse entonces, con

el mismo concepto que antes, del siguiente modo:

4 3 2 2 3 4

El área asociada al pulso es 1, cualquiera sea el valor de a.

-a/2 a/2

Pa

1/a

20

2

11

at,

at,

atPa

a

)lim btfbtb


43

siempre que f(t) sea tal que 1

dttf .

Otra forma de definir t es mediante las siguientes relaciones:

a) 0

00

t,

t,

definidaestanot

b) 1

dttlim

Su representación gráfica es:

Propiedades:

1.a) Si f(t) es continua en t = 0 entonces: f(t) (t) = f(0) (t)

1.b) Si f(t) es continua en t = -t0 entonces: f(t-t0) (t) = f(-t0) (t)

2.a) Si f(t) es continua en t=0 entonces:

0fdtttf

2.b) Si f(t) es continua en t= - t0 entonces:

00 t-fdttttf

3) Utilizando la rampa finita de pendiente 1/a:

at0ta

10t0

at1

tf ,

y que el tutflim sa

0

, probar que:

Prueba: Como,

dt

tflimd

dt

tud as

0

, y considerando que es posible

intercambiar el orden de la derivada con el límite, queda, . . . . . .

2) Analizar la siguiente afirmación: )()( tutdt s

t

.

Ejercicios: Probar con propiedades que: 1.1) tttcose t

1.2) 0ttAsen

(t)

1

0 t

a(t)

a

0 t

t

dt

tud s


44

Función impulso desplazada

Sea el pulso de alto "1/a", ancho "a", centrado en t=t0

2

att,0

2

att,

a

1

ttPa

1

0

0

0a .

El área asociada es 1 y se puede definir:

00

0

1ttP

alimtt aa

.

Su gráfica es la de la Figura:

Propiedades de la (t) , de la (t-t0) y de (k)(t) :

1) Si f(t) es continua en t = 0 entonces: f(t) (t) = f(0) (t)

2) Si f(t) es continua en t = -t0 entonces: f(t-t0) (t) = f(-t0) (t)

3) Si f(t) es continua en t=0 entonces:

0fdtttf

4) Si f(t) es continua en t= - t0 entonces:

00 t-t fdtttf

5) Si f(t) es continua en 0000 tttftttftt

6)

atbtsi

btasitgdttt.tg

b

a 00

000

0 g(t) es continua en 0tt ;

ba

7) 20100

2

1

tttcon,ttdtt

t

t

8) 20100 12

1

tttcon,tfdttttf kkt

t

k

9)

tudt

trd t 0 y

t

dt

tud s

10)

0

000

0

1

ttsi

ttsidtttu

t

s

11)

dt

a

tt

adttat 0

0

1

12) tt

Ejercicio: Probar que:

0

4t2 2ted2te .

a

1/a

aa

t0

A(t-t0) A

0 t t0


45

Observar que: toda señal x(t) se puede expresar como un continuo de impulsos

ponderados

Según la propiedad 3) 000 tttxtttx hacemos 0t

txttx

Si integramos en ambos miembros:

dtxdttx

De aquí:

dtxdttx

Finalmente, podemos expresar:

dtxtx (A)

Luego, como se dijo, la señal x(t) quedó expresada (A) como un continuo de

impulsos ponderados. __________________________________________________________________


46

SISTEMAS DINÁMICOS

Sistema de suspensión de automóvil. Modelo simplificado

ECUACIÓN DIFERENCIAL:

Sistema mecánico rotacional

Sistema calefacción solar

Inercia J Torque

resistente

r Rozamiento B

Torque motriz m

Velocidad

angular

y: velocidad angular

Bomba

Bomba

Panel

solar

Chasis del automóvil

Amortiguador

y(t)+y0(t)

Resorte

x(t)

u: torque motriz m

v: torque resistente r

Almacenador

v: viento, temperatura

exterior

y: temperatura del

almacenador u: velocidad de la

bomba

w: radiación

solar


47

Análisis de sistemas

En general, llamamos sistema a la abstracción de “algo” (un proceso, un

mecanismo, un circuito, etc.) que toma una señal de entrada, opera sobre ella, y

produce una señal de salida. En otras palabras, un sistema establece una relación entre

su entrada y su salida. Un ejemplo de un sistema es un auto, en donde la entrada puede

ser la posición del acelerador y la salida la velocidad del auto. Otro ejemplo puede ser

una cámara de fotos en donde la señal de entrada es la luz que entra a la lente, y la

salida es la fotografía. Los sistemas no necesariamente están restringidos a sistemas

físicos. Pueden ser biológicos, económicos, computacionales, informáticos, sociales,

etc. Algunos ejemplos relacionados con Ingeniería se ilustran en la página anterior.

Los sistemas están afectados por estímulos externos. Las señales externas que pueden

ser manipuladas son usualmente llamadas entradas, mientras que las que no pueden ser

manipuladas son llamadas perturbaciones.

Características de Sistemas

Sistemas Dinámicos y Sistemas Estáticos

Un sistema en el cual la salida en el instante t depende exclusivamente de la entrada en

ese instante t es llamado Sistema Estático o sin memoria. En contraposición, un

Sistema Dinámico es uno en el cual la salida en el instante t depende también de

valores pasados y/o futuros de la entrada, además del valor en t. Se lo llama también

sistema con memoria.

Sistemas Causales y No causales

Un sistema es causal si su respuesta a una entrada no depende de valores futuros de esa

entrada y/o valores futuros de salidas. Un sistema que no verifica esta propiedad es

llamado no causal.

En particular un sistema se dice anticausal si su respuesta a una entrada depende

exclusivamente de valores futuros de esa entrada y/o valores futuros de salidas

Sistemas en Tiempo Continuo y en Tiempo Discreto

SISTEMA Señal de entrada Señal de salida

Perturbaciones

1. Con o sin memoria

2. causales y no causales Invariante o variante en el tiempo.

3. De tiempo continuo o discreto

4. Lineal y no lineal.

5. Invariante o variante en el tiempo Invariante o variante en el tiempo.

6. Estable o inestable.


48

Un sistema es un Sistema en Tiempo Continuo si opera sobre señales definidas en un

intervalo continuo de tiempo y produce como respuesta, señales también continuas en el

tiempo. Por otra parte, si el sistema procesa señales que están definidas únicamente en

instantes particulares de tiempo (generalmente equiespaciados), el sistema es llamado

Sistema en Tiempo Discreto. Para indicar el valor de estas señales en los instantes de

tiempo “tk” se usa la notación xk o x(k).

Linealidad y Estacionariedad Linealidad: Un sistema es lineal si verifica el Principio de Superposición, tanto para

entradas como para condiciones iniciales. Este principio se definirá más adelante. Un

sistema que no verifica el principio de Superposición se denomina no lineal.

Estacionariedad: Un sistema es estacionario si su salida es siempre la misma cada vez

que se aplica la misma entrada (para las mismas condiciones iniciales), sin importar el

instante en que se aplique la entrada. En otras palabras, el sistema no cambia con el

tiempo, es invariante.

Representación de un sistema Un sistema se representará esquemáticamente como una caja con señales de entradas

x1(t), x2 (t),....xn (t) y señales de salidas y1 (t), y2 (t),....yn (t), como puede verse en el

esquema:

Las entradas xi(t), i=1,2,...n y las salidas yj(t), j =1,2,...n serán en general señales de

tiempo, es decir: cualquier variable física que varíe con el tiempo.

En este curso se analizarán sistemas de una entrada y una salida, sin perturbaciones

externas

El análisis de sistemas puede dividirse en tres aspectos:

SISTEMA

(MIMO)

x1 (t)

x2 (t)

xn (t)

y1 (t)

y2 (t)

yn (t)

SISTEMA

(SISO) x(t) y(t)

El desarrollo de un modelo matemático apropiado para el problema físico que se trate.

En esta parte se deben obtener las ecuaciones de movimiento, condiciones de frontera o

iniciales, valores de parámetros, etc.

Después de obtener un modelo apropiado, se resuelven las ecuaciones resultantes para

encontrar la solución. Para ello, pueden aplicarse diversos métodos.

Luego, la solución del modelo matemático se relaciona o interpreta en función del

problema físico. Es evidente que lo descripto en el primer recuadro debe ser tan exacto

que permita hacer predicciones significativas concernientes al sistema físico.


49

ANÁLISIS DE SISTEMAS LINEALES

Una clase de sistemas son los lineales. El análisis de sistemas lineales es

importante principalmente por su utilidad, pues aunque un sistema físico nunca es

completamente lineal, en ciertas áreas de aplicación, un modelo lineal se puede usar con

frecuencia en forma apropiada. Además, existen una gran cantidad de teorías

matemáticas que permiten analizar tales sistemas.

Por el contrario, los sistemas no lineales requieren análisis particulares, es decir, cada

sistema no lineal debe estudiarse como un caso único. No hay métodos generales ni

soluciones generales.

Como ingenieros, no sólo interesa el análisis, sino también la síntesis de sistemas o el

diseño de sistemas que constituye la parte creativa de la ingeniería.

De aquí que, como en otras actividades creativas, para abordar el diseño de sistemas

primero se debe aprender a analizarlo.

Principio de Superposición

Un sistema es lineal si satisface el principio de superposición, que engloba las

propiedades de homogeneidad (escalado) y aditividad.

Si para la entrada x(t) se obtiene la salida y(t), y para la entrada x(t) se obtiene

y(t), cualquiera sea la constante , entonces decimos que se cumple la propiedad

de homogeneidad, es decir:

Si tytxtytx

Además, se debe cumplir la propiedad de aditividad:

Si

tytx

tytx

22

11 tytytxtx 2121

Ambas proposiciones se pueden combinar en la siguiente ecuación

(principio de superposición):

tyctyctxctxc 22112211 c1,c2, ctes.

Para representar la transformación de entradas a salidas en forma funcional se

puede reemplazar las flechas por la notación:

y(t)=L[x(t)] ,

donde L representa una transformación lineal, es decir:

txLctxLctxctxcL 22112211 ; c1,c2, reales.


50

Ejercicios:

a) Sea un sistema con relación de entrada-salida dada por la ecuación lineal:

b)t(ax)t(y , probar si el sistema es lineal.

b) Idem anterior, pero la relación está dada por: 43 ttxtxL

Invariancia en el tiempo

Los sistemas invariantes en el tiempo se modelan mediante ecuaciones diferenciales

con coeficientes constantes.

Una caracterización sencilla de los sistemas invariantes en el tiempo se tiene

desplazando en el tiempo a la señal de entrada:

Si )t(y)t(x entonces, )Tt(y)Tt(x para cualquier t y T.

Memoria en el tiempo

Si la salida para cualquier tiempo t depende sólo de la entrada en el mismo

tiempo, el sistema se llama "sin memoria", o también, estacionario.

Si la salida en el tiempo t o tk depende de los valores de entrada correspondientes

a cierto intervalo (t-T ,t), entonces el sistema "tiene memoria" de longitud T.

También se lo llama sistema dinámico.

Ej.: El sistema formado por un capacitor con la entrada definida como la corriente que

circula por el mismo, tiene memoria de duración infinita, ya que:

t

dttic

tv ´´1

indica que la salida depende de la entrada en todo el intervalo t, .

Sistema LIT

Modelo de un sistema dinámico Lineal e invariante en el tiempo

Cuando la función de entrada x(t) y la función de salida y(t) de un sistema dinámico

están relacionadas por una ecuación diferencial lineal ordinaria a coeficientes constantes

(EDO), entonces puede probarse que ese sistema es lineal, invariante en el tiempo y con

memoria (SLI). Para sistemas de una sola entrada-salida, la ecuación general puede ser:

txb

dt

tdxb

dt

txdb

dt

txdbtya

dt

tdya

dt

tyda

dt

tyda

m

m

mm

m

mn

n

nn

n

n 011

1

1011

1

1 ......

(A)

donde, x(t) :función de excitación del sistema ( o función de entrada),

y(t) : función de respuesta del sistema ( o función de salida ).


51

Si se denotan los siguientes operadores : dt

dD ; y

n

nn

dt

dD la ec. (A) puede

escribirse como:

)t(xbDb....DbDbtyaDa....DaDa mm

mm

nn

nn 01

1101

11

de donde resulta:

)t(x)D(H)t(x)D(A

)D(B)t(x

aDa....DaDa

bDb....DbDbty

nn

nn

mm

mm

011

1

011

1

donde , )D(A

)D(B)D(H

H(D) se la llama función operacional del sistema y es un operador que opera sobre la

función de entrada para producir la función de salida.

En un sistema lineal los coeficientes an y bn son independientes de la función de

respuesta.

En un sistema invariante en el tiempo dichos coeficientes son constantes.

Finalmente la ecuación diferencial, escrita en forma operacional es:

)t(x)D(A

)D(B)t(y)t(x)D(Bty)D(A , por lo tanto )t(x)D(H)t(y

______________________________________________________________________

Representación de Sistemas LIT utilizando diagramas de bloques

Una propiedad importante de los sistemas descriptos por ecuaciones diferenciales

lineales con coeficientes constantes es que se pueden representar fácilmente mediante

interconexiones de diagramas de bloque de operaciones elementales.

En los siguientes gráficos observamos los elementos básicos para la representación en

diagrama de bloque de sistemas: (a) un sumador; (b) multiplicación por un coeficiente;

(c) un diferenciador; (d) un integrador

(a)

(b)

(c)

(d)

x(t) ax(t)

a

x(t)

D dx(t)

dt

x(t)

∫ ∫-∞

x(τ)d τ

t

x1(t) x1(t)+ x2(t)

+

x2(t)


52

La combinación de estos elementos permite la representación de cualquier EDO. Por

ejemplo, la ecuación diferencial siguiente:

)t(bx)t(ay

dt

tdy

rescribiéndola primero como :

)t(xa

b

dt

tdy

a)t(y

1 , podemos construir también

el siguiente diagrama:

Observar que si en lugar rescribir la ecuación despejando y(t), lo hacemos despejando

dy(t)/dt, se obtiene

)t(a y)t(b xd t

td y . Entonces, la misma EDO se puede

representar utilizando un integrador, de la siguiente forma:

Los sistemas de mayor orden se representan con la interconexión de los esquemas

anteriores.

x(t)

y(t) b/a

+

D 1/a

dy(t)

dt

-

-

x(t)

dt

tdy

b

+

∫

-a

y(t)


53

Ejemplos: modelos físicos que corresponden a sistemas lineales e invariantes con memoria, de segundo orden

Nombre Esquema Ecuación VAR COEF Descripción

x y a b c

Modelo

Sistema

de 2do. Orden

xcy'by''ay

x

y

a

b

c

Entrada

Salida

Coeficiente y’’

Coeficiente y’

Coeficiente y’

Electricidad

Circuito

Serie

)t(uidtC

Ri'Li

t

0

1

)t(uqC

'Rq''Lq 1

u

i/q

L

R

1/C

Tensión

Corriente/carga

Inductancia

Resistencia

1/capacidad

Electricidad

Circuito

Paralelo

)t(iudtL

uR

'Cu

t

0

11

i

u

L

1/R

1/C

Corriente

Tensión

Inductancia

1/resistencia

1/capacidad

Mecánica

Vibraciones

Longitudinal

)t(fkx'cx''mx

f

x

m

c

k

Fuerza Excitante

Desplazamiento

Masa

Cte.Amortiguam

Cte. elástica

Mecánica

Vibraciones

Torsión

c

Par excitante

Desplazamiento

angular

Momento de

inercia

Cte.Amortiguam

Cte. Elástica

torsional

Mecánica

Vibraciones

Torsión

)t(fx'cx''Jx

f

x

c

Fuerza Excitante

Desplazamiento

Momento de

inercia

Cte.Amortiguam

Cte. Elástica

torsional

Acústica

Resonador de

Helmotz

)t(PVC

'VR''MVa

a 1

P

V

M

Ra

1/Ca

Presión exterior

Volumen de

desplazamiento

Coef. de inercia

acústica

Resistencia

acústica

1/capacidad

acústica

x(t) y(t)


54

Métodos de resolución

Consideremos una ecuación diferencial ordinaria con coeficientes constantes

donde el lado derecho de la ecuación no contiene derivadas, es decir:

txtyadt

tdya......

dt

tyda

dt

tyda

n

n

nn

n

n

011

1

1 (A)

Escrita en forma operacional: txtyaDa...DaDa nn

nn

011

1

o más reducida: A(D)[y(t)] = x(t) donde A(D) es el operador:

01

1

1 aDa...DaDa)D(A n

n

n

n

El primer método, propone encontrar la solución de (A) como formada por dos

componentes: y(t) = yh(t) + yp(t)

La solución homogénea (que constituye la forma transitoria de la solución completa

cuando el sistema es estable y causal como se verá más adelante) se obtiene de la

ecuación homogénea correspondiente a (A), es decir:

A(D)[yh(t)] = 0 (B)

y la solución en forma general es:

tyc....tyctycty nnh 2211 (C)

donde las funciones y1(t),...yn(t) dependen de las raíces de la ecuación característica

asociada:

0011

1 ara...rararf n

nn

n , (D)

y los coeficientes a0,... an, son los mismos que los del operador A(D).

i) Si (D) tiene "n" raíces distintas, las funciones yi(t), i=1,2,...n son tri

iety y

la solución homogénea es:

trn

trtrh

nec....ececty 21

21 (E)

ii) Si las raíces no son todas distintas, las funciones yi(t) tomarán diversas formas

dependiendo de la multiplicidad de las raíces de (D):

1) Para cada raíz real "r" la función es: ert

HOMOGÉNEA, o NATURAL

yh(t)

NO HOMOGÉNEA O

PARTICULAR, de estado estable,

yp(t).


55

2) Para cada raíz real "r" de multiplicidad "k", las funciones son : ert, tert, .....tk-1ert

3) Para cada par complejo simple de raíces a ± jb , las funciones pueden escribirse como

e(a+jb)t , y e(a-jb)t , o más convenientemente como:

btcoseat y btseneat

y entonces, estas raíces contribuyen a la respuesta homogéna con:

btsencbtcosceat21 , donde

1c y 2c son reales.

4) Para cada par complejo simple de raíces a ± bj de multiplicidad "k", las funciones

son:

btsenet,btcoset;......;btsente,btcoste,btsene,btcose atkatkatatatat 11

Cuando las constantes ci, i=1,2,..n; no se especifican, yh(t) se conoce como función

solución. (ec. (E))

Ejercicio: Verificar que yh(t) es solución de la ecuación homogénea: A(D)[yh(t)]=0

(Suponer que trn

trtrh

nec....ececty 21

21 ).

Para determinar los valores de las constantes ci con i=1,2,...n se utilizan las condiciones

iniciales o de frontera del problema, aplicadas a la solución completa:

y(t) = yh(t) + yp(t) = tyc....tyctyc nn 2211 + yp(t)

La forma de la solución particular es un poco más complicada de encontrar.

Existen varios métodos. Uno de ellos es el de los coeficientes indeterminados,

normalmente considerado en los cursos de Análisis Matemático. Recuerde este

método resolviendo el siguiente ejemplo sencillo:

Ejercicios: Suponga la ecuación diferencial de primer orden, )()()(' txtyty .

Verifique que para y(0)=1 y x(t) =3, la solución es y(t) =3-2e-t.

Ejercicios: Dada las siguientes ecuaciones diferenciales, hallar la yh(t):

1 -

0442

2

3

3

tydt

tdy

dt

tyd

dt

tyd, Rta: ttt

h ecececty 23

221

2 -

08422

2

3

3

tydt

tdy

dt

tyd

dt

tyd, Rta: ttt

h tecececty 23

22

21

3 -

02

2

3

3

tydt

tdy

dt

tyd

dt

tyd, Rta: tsenctcoscecty t

h 321

______________________________________________________________


56

Método del operador anulador

Se considera ahora otro método, el denominado método del operador anulador LA,

que permite encontrar la solución completa, y(t).

El procedimiento requiere, como primer paso, encontrar un operador que anule la

función particular dada, x(t) en la ecuación (A).

Entonces, dado x(t) encontrar LA , tal que LA[x(t)]=0.

LA siempre se puede encontrar si x(t) es solución de una ecuación homogénea con

coeficientes constantes.

Por ejemplo, si:

a) atetx , será LA = D-a .

b) btBsenbtcosAtx , será: LA =D2+b2.

c) btBsenbtcosAetx at , será LA =(D2+b2 ).(D-a)

Una vez hallado LA, se aplica a ambos miembros de la ecuación completa original.

Haciendo ésto se obtiene otra ecuación homogénea. Por ejemplo, suponga que se quiere

resolver la ecuación:

A(D)[y(t)] = x(t),

entonces, LA{ A(D)[ [y(t)]}= LA[x(t)] = 0 (I)

la que puede resolverse por el método delineado previamente para una ecuación

homogénea. Entonces, la función solución que se propone es:

**

prprpppp

*

nn tyc....tyctyctyc....tyctycty 22112211

Las n primeras funciones (*) satisfacen A(D)[ [y(t)]=0 ; dichos términos

sumarán cero y los únicos términos del segundo miembro serán (**) que provienen de la

función particular de excitación (entrada).

Si se igualan coeficientes de términos semejantes en ambos miembros de la

ecuación, es posible determinar los prc y obtener la solución forzada. Por lo visto, en

este método no es necesario proponer una forma para la solución particular. Sí es

necesario, por el contrario, encontrar la forma del operador anulador.

Ejemplo: Considere la ecuación diferencial, )t(sentyDtyA(D) 1[ 2

En este caso, casualmente, el operador anulador es 12 D . Así, la ecuación homogénea a

resolver será de cuarto orden, dada por: 011 22 tyDD ,


57

la que podría escribirse también como

0122

2

4

4

dt

tyd

dt

tyd.

La ecuación característica correspondiente es 011 22 rr , cuyas raíces son j y –j

para cada factor, resultando raíces de multiplicidad doble. Entonces, la función solución es:

tsentctcostctsenctcoscty pp 2121 .

Si se sustituye esta función en la ecuación original, se obtiene la siguiente,

)t(sentsentctcostctsenctcoscD pp 2121

2 1 .

Operamos entonces del siguiente modo:

)t(sentsentctcostcDtsenctcoscD

I

**

pp

*

21

2

0

21

2 11

El primer término es 0 porque corresponde a la forma de la solución homogénea de la

ecuación original. Con el segundo término, (I), operamos e igualamos coeficientes. Las

derivadas segundas que aparecen en I son:

)tcost)t(sen(ctcostcD pp 211

2 ; )sentt)tcos((ctsentcD pp 222

2;

sustituyendo y operando queda, )t(sentcosc)t(sencI pp 21 22 . Entonces

será, 021 21 pp c,/c .

La solución completa es: tcost/tsenctcoscty 2121 (II)

Los coeficientes que faltan determinar dependen de las condiciones iniciales.

Supongamos que los datos son: 0010 )('y,)(y . Sustituimos en (II) y obtenemos:

21210

21

10

22

21

11

/c/c)('y

))t(tsen)t(cos(/)tcos(c)t(senc)t('y

cc)(y

Luego, la solución completa para esas condiciones iniciales y esa entrada dada es:

tcost/tsen/tcosty 2121


58

Descomposición de la respuesta total:

El análisis realizado, nos lleva a poder concluir que, la solución matemática de la EDO

en términos del sistema y del estímulo de entrada x(t), está formada por dos

componentes, que denominamos yh e yp, tal que la solución y (t)= yh (t)+ yp(t).

Sin embargo, para el análisis de sistemas lineales existe otra forma útil de descomponer

la respuesta total.

Esta descomposición implica separar la respuesta provocada por la energía inicial

almacenada, de la respuesta debida a la entrada del sistema.

a) La solución de fuente libre, yl(t), se obtiene con una señal de entrada igual a

cero, y depende del sistema y de sus condiciones iniciales. Será una solución de

la ecuación diferencial homogénea y constituye, en parte, la solución transitoria

de la respuesta del sistema.

b) La solución forzada, yf(t), es consecuencia tanto del sistema como de la señal

de entrada. Esta solución comprende la solución de estado estable por un lado,

pero también incluye un transitorio, y para hallarla se resuelve la ecuación

diferencial no homogénea considerando que inicialmente el sistema no tiene

energía de ningún tipo (es decir, cond. iniciales nulas).

Luego, tytyty f l2

donde 0000 1 f

n

ff y......yy ;

y 0)( tyDA l para 00 yy l

; 00 yy l

; ..............;

00 11 nn yyl .

De este modo, 0y ; 0´y ; ...; 01ny son las condiciones iniciales dadas para el

sistema.

Bastará ver que y2(t)=y(t) en el sistema original, y para ello ver que las dos funciones

satisfacen la misma ecuación diferencial. Pero, sin embargo, podrá observarse que

yf(t) ≠ yp(t); yh(t)≠ yl (t)

L a) x(t) y (t)

Sistema con energía inicial almacenada

L

b) x(t) yf(t)

Sistema sin energía inicial almacenada

L

x(t)=0 yl(t)

con energía inicial

almacenada

(condiciones iniciales

dadas)

y2(t)


59

En el siguiente ejercicio aclaramos aún más estos conceptos.

Ejercicio

Suponga la siguiente ecuación diferencial de primer orden, )()()(' txtyty .

Considere y(0)=1 y x(t) =3. La solución es

/te.)t(y 23 .

Cuyo gráfico se muestra en la figura

Esta solución, se puede encontrar utilizando el conocido método de la homogénea más

la particular, y entonces resulta como la suma de las funciones de la primera columna de

la siguiente tabla.

yp (t)=3

+

yh (t)=-2e-t

/.33)( t

f ety

+

yl (t)=e-t

Para desdoblar la solución como se muestra en la segunda columna puedo operar de la

siguiente forma:

Propongo, /t

f e.cc)t(y 21 , como forma para la solución forzada, con la entrada

aplicada y condiciones iniciales nulas. Puede verse que será solución de la ecuación

diferencial para todo c2 si c1=3:

33.)..(

)()()('.

1

/

21

/2

ceccec

txtyty

tt

ff

Y luego, aplicando condiciones iniciales nulas, se obtiene la otra constante:

/t

f

/t

f e.)t(yc,e.c)(y 333030 22

Por otro lado, la denominada componente libre, es una función que verifica la ecuación

diferencial homogénea con las condiciones iniciales dadas. Tenemos entonces:

yl (t)=c3e-tyl (0)=c3=1 yl (t)=e-t

______________________________________________________________________

0 2 4 6 8 10

-2

0

2

4

t [s]

Tau=1


60

CAUSALIDAD Y ESTABILIDAD SISTEMA CAUSAL Se dice que un sistema es causal o no anticipativo si la salida en el instante to solo

depende de la entrada para t ≤ to . Informalmente, podríamos decir que la entrada es la

causa de la salida. En otras palabras, la salida actual no depende de valores futuros de la

entrada. Intuitivamente, es claro que todo sistema mecánico o eléctrico de existencia

física en el mundo real es inherentemente causal.

Sin embargo, actualmente hay una cantidad de situaciones ingenieriles que requieren la

formulación de sistemas no-causales. Por ejemplo, la “inteligencia artificial” se basa

justamente en sistemas anticipativos. En muchos casos, se puede prevenir una salida, o

anticipar la decisión. Esto sucede en edificios inteligentes, seguimiento de satélites,

calefacción de ambientes, etc.

Para pensar: denominamos como “derivador puro” a un sistema que se define por la

relación: dt

tdxty

)( . Será éste un sistema causal?

SISTEMA ESTABLE Una descripción intuitiva del concepto de estabilidad es la siguiente. Suponga un

sistema en reposo, sin entrada ni salida. En un instante, se proporciona una entrada a ese

sistema, que podrá ser una energía eléctrica, mecánica, acústica o electromagnética. Si

la señal de entrada desaparece, luego de un cierto tiempo, o se mantiene en un valor

constante, el sistema será estable siempre que la señal de salida desaparezca, o se

mantenga en un valor finito, respectivamente. Si, por el contrario, la Señal de salida

crece y crece cuando la señal de entrada se mantiene acotada, entonces diremos que el

sistema es inestable.

Así, un criterio de estabilidad dice que, si la entrada de un sistema es acotada, la salida

es acotada. (BIBO).

Entonces, el sistema es estable si

para t,M)t(x , resulta que t,K)t(y , con M y K constantes reales.

Hemos visto que y(t) = yh(t) + yp(t) = tyc....tyctyc nn 2211 + yp(t)

Recuerde que yp(t) sigue la forma de la entrada, luego si la entrada es acotada ésta

también lo será. Sin embargo, el término general de la parte restante de la respuesta del

SLIT toma la forma tr

iiec .

La magnitud de este término es tjt

i

tj

i

tr

iiiiii eececec

)( t

iiec

, donde

i es la componente real de la raíz ri .

Si i >0, la magnitud del término se hace no acotada para t que tiende a infinito.

Contrariamente, si i es negativo, tenderá a cero.

Luego, será condición necesaria y suficiente para la estabilidad, que las raíces de la

ecuación característica del sistema estén en el semiplano izquierdo del plano

complejo z, o, dicho de otro modo, que tengan parte real negativa.


61

Solución transitoria y permanente de un sistema estable Se denomina solución transitoria a la parte de la solución completa que se hace cada

vez más pequeña, cuando el sistema es estable, a medida que transcurre el tiempo. Está

compuesta por la solución libre o natural, sumada a otro transitorio que es consecuencia

de la entrada aplicada.

La solución permanente es la que se establece a tiempos grandes como consecuencia

de la entrada aplicada. Puede observarse que coincidirá con la solución particular,

yp(t).

Ejercicio resuelto

Suponga ahora que el Ejercicio resuelto anteriormente, representa el sistema de primer

orden que modela al circuito RC como el de la figura, )()()(' txtyty , donde

=RC, x(t) es la tensión aplicada e y(t) es la tensión en el capacitor.

Encuentre la respuesta total del sistema si la entrada es un

escalón de amplitud 3 Volt y además y(0)=1 Volt.

Señale la respuesta en régimen permanente y la transitoria.

¿De qué depende cada una de ellas?

¿Cuál es la solución particular y cuál la homogénea?

El problema es el mismo que antes. La única condición que seguramente quisiéramos

agregar, por pensar en un sistema físico real, es su causalidad. En ese caso, podríamos

utilizar las soluciones obtenidas antes, y hacerlas valer solamente para los valores de

t>0. En los gráficos que siguen se muestran las curvas de las funciones que componen

la respuesta total.

Observe que la característica de yp(t), es ser la solución en el régimen permanente. Por

eso todo lo transitorio está en yh(t). Por el contrario, tanto yf(t), como yl(t), muestran un

transitorio.

Existe otra forma de encontrar yf(t), utilizando los conceptos de la integral de

convolución que se presentará más adelante.

0 2 4 6 8 10-3

-2

-1

0

1

2

3

4

t [s]

Descomposición de la respuesta en homogénea y particularTau=1

yh

yp

y total

0 2 4 6 8 10-1

0

1

2

3

4

Descomposición de la respuesta en libre y forzadaTau=1

t [s]

yl

yf

y total


62

Observe en los siguientes gráficos, las componentes transitorias y permanentes de la

solución. Estos casos corresponden a sistemas de orden mayor, con entradas diferentes y

cond. iniciales diferentes.

0 5 10 15

-4

-2

0

2

4

t[s]

y(t

)

Respuesta de sistema de 2° orden a entrada cosenoidal c.i. nulas

-2 0 2 4 6 8 10

0

2

4

6

8

t[s]

y(t)

Respuesta de sistema de 3°orden a entrada escalón c.i. nulas

0 2 4 6

0

1

2

3

4

t[s]

y(t

)


0 2 4 6 8

-1

0

1

2

3

4

5

t

y(t)

Respuesta de sistema de 2° orden a entrada escalón c.i.=4

0 5 10 15

-4

-2

0

2

4

t[s]

y(t

)

Respuesta de sistema de 2° orden a entrada cosenoidal c.i. nulas

-2 0 2 4 6 8 10

0

2

4

6

8

t[s]

y(t

)



63

RESPUESTA AL IMPULSO Y CONVOLUCIÓN

La respuesta al impulso h(t) es uno de los conceptos fundamentales en la teoría

de sistemas SLIT. Es una caracterización completa del sistema y está íntimamente

relacionada con la forma operacional del sistema, H(D) . En este capítulo se define la

respuesta al impulso y se deduce la operación de convolución, una herramienta

importante para el análisis de sistemas en el dominio temporal.

Un problema fundamental en el análisis de sistemas SLIT es la obtención de la

respuesta a una entrada determinada. Analíticamente se puede resolver de diversas

formas. Una forma consiste en resolver la ecuación diferencial que modela el sistema,

dadas la entrada y las condiciones iniciales. Otra de las formas consiste en la aplicación

del método de convolución.

Consideramos que la entrada del sistema es la señal (t), y la respuesta a

dicha entrada, con condiciones iniciales nulas, es la que caracteriza al sistema y la

llamaremos h(t).

Si bien (t) es una señal matemática, en rigor no realizable físicamente, en la

práctica señales aproximadas a (t) se utilizan para los denominados ensayos impulsivos

en el estudio de comportamiento de transformadores, equipos de maniobra, etc., entre

otras aplicaciones.

Entonces, si entra (t), sale h(t) del SLIT, es decir: tht .

Supongamos que se aplica un impulso en este sistema:

Calculemos en forma directa su respuesta. Resultará que h(t) = ………………..

En sistemas más complejos este análisis no podrá hacerse. Veremos más adelante un

método para calcular la respuesta al impulso de sistemas modelados con una EDO de

orden n.

(t) h(t)

-

x(t)

b

∫ y(t) +

Retardo:


64

INTEGRAL DE CONVOLUCIÓN

Si se aplica un impulso de entrada de área o peso k, entonces, debido a la linealidad del

sistema: k(t)kh(t) y al ser invariable en el tiempo: k.(t-t0) k.h(t- t0)

Por lo dicho, si entra una combinación lineal de señales delta desplazadas en el

tiempo, sale la misma combinación lineal de h(t) igualmente desplazada en el tiempo.

Por ejemplo: x(t) = (t)+3(t-1)+4(t-2) y(t) = h(t)+3h(t-1)+4h(t-2),

porque se trata de un sistema SLIT.

Una generalización interesante se puede escribir directamente a partir de la relación:

dtxtx . Si esta integral se expresa como una suma de infinitos

términos y se aplica el límite para t tendiendo a cero tenemos que:

tit

tittixtx

0lim ;

La salida será tit

tithtixty

0lim .

Ahora, sustituyendo las sumatorias por integrales, pueden escribirse las siguientes

relaciones:

dtxtx d)t(h.)(x)t(y

t R

Por lo tanto, la salida del sistema queda expresada por una integral, conocidas la entrada

x(t) y la respuesta al impulso h(t), y se la llama integral de convolución. La notación

abreviada para convolución es:

y(t) = x(t) * h(t)

La integral de convolución no sólo nos proporciona una manera conveniente de calcular

la respuesta de un sistema SLIT, suponiendo que conocemos su respuesta al impulso

unitario, sino también indica que las características de un sistema SLIT se determinan

completamente por su respuesta al impulso unitario.

L[x(t)]

La deducción de la integral de convolución para sistemas lineales se

obtuvo descomponiendo la señal de entrada en una suma continua de

funciones de impulsos y en dicha deducción se supuso que el sistema

está desenergizado (con condiciones iniciales nulas), y representará

la respuesta del sistema cuando las condiciones iniciales de la entrada

también son nulas.


65

Propiedades: La convolución entre 2 señales cualesquieras es:

conmutativa,

asociativa,

distributiva

Demostración de la propiedad conmutativa:

th*txdthxty

Si ts st y dsd , s , s

dsshstxdsshstxty h(t)*x(t) (Si hacemos un cambio formal

de la variable s por , por lo tanto: t * xt h t*ht x ty

Ejercicio: Hallar la convolución de la t con la respuesta al impulso.

Si ttx thth*tty

pues thdthdthxty

En general: para cualquier f(t) , será tft*δtf pues: tfdtf

.

Análogamente, puede escribirse otra relación de utilidad como:

000 ttgt*ttgtt*tg

OBSERVACION: Debido a que en muchas aplicaciones, la respuesta al impulso es una

función causal, es decir h(t) = 0 para t < 0, en estos casos sería:

h(t-)= 0 para t -< 0 > t

y se puede cambiar el límite de integración, en vez de infinito por t. Si x(t) también es

causal el límite inferior cambia por 0. Así se pueden presentar 4 casos posibles:

dthxty th,tx general

t

dthxty

0

th,tx causal (pero no señales tipo pulsos)

Estabilidad de un sistema BIBO (Bounded-input, bounded-output: entrada acotada,

salida acotada)


66

Sea ;t,M)t(x con M una constante real.

Interesa analizar la cota de la salida del sistema. Para ello, se aplica el concepto de valor

absoluto a ambos miembros de la igualdad dada por la integral de convolución, y se

obtiene que:

d)(h).t(xd)(h).t(x)t(y ,

Luego, si se introduce la condición de la cota de la entrada, se obtiene que:

d)(h:siadacotaestá)t(yfinitoM,d)(hM)t(y ; si h(t)

satisface esta condición se dice que es absolutamente integrable.

Para un sistema LTI causal, el criterio se reduce a:

0

dt)t(h

Ejercicio: Determinar la estabilidad del sistema SLIT que tiene la respuesta al impulso

dada por h(t) = e-3tus(t).

Como h(t) es causal, verificamos la convergencia absoluta de la siguiente integral:

3

1

3

1

3

1

3 30

3

0

3

0

3

AA

At

A

ts

t

elim

elimdtedt.)t(ue .

Cálculo de la integral de convolución

La integral de convolución es un cálculo que puede ser operativamente complicado

cuando las señales son continuas por tramos.

Debe tenerse presente que es la variable de integración, y que t pasa a actuar como

parámetro a los fines de integrar. La integral debe evaluarse para todos los posibles

valores reales de t.

Para pasar de x(t) a x() se hace un cambio de variables, y para obtener h(-) se hace

un cambio de variables de h(t) y una reflexión.

Para encontrar h(t-) basta con desplazar horizontalmente h(-) según sean los valores

de t, si t > 0 hacia la derecha y si t < 0 se mueve hacia la izquierda.

Ejercicios:

1) Sea x(t) = u(t) y h(t) = e-t.u(t). Encontrar la salida y(t)

Respuesta: 01 tparae)t(y t

2) Hallar la convolución x(t)*h(t), siendo x(t)=u(t)-u(t-4) y h(t) = e-2t.u(t)


67

Respuesta:

412

1

402

1

2

1

00

82

2

tsi).(e.e

tsi.e

tsi

)t(y

t

t

3) Resolver x(t)*h(t), siendo:

casosotros

t)t(x

0

202 y

casosotros

t

t

)t(h

0

433

301

Respuesta:

60

65366

54162

4384

324

202

00

tsi

tsit

tsit

tsit

tsi

tsit

tsi

)t(y


68

Causalidad y estabilidad en relación a la respuesta al impulso del sistema.

La integral de convolución puede utilizarse para ilustrar el requerimiento de

causalidad.

Considere que la señal x(t) de la figura es la entrada de un SLIT con una respuesta al

impulso, h(t)= us(t+2). ¿Cuál es la salida del sistema si hay condiciones iniciales

nulas?

Sabemos ahora, que la misma puede calcularse convolucionando las 2 señales.

Grafique las señales y el resultado de la convolución. Observe que la respuesta del

sistema se anticipa a la entrada.

Cálculo de la respuesta al impulso para sistemas causales

A continuación se presenta un método sencillo y poderoso para encontrar la respuesta al

impulso de sistemas lineales causales descriptos por una ecuación diferencial. Este

método se basa en el conocimiento de las soluciones homogéneas de la ecuación.

Supongamos primeramente una ecuación donde el lado derecho corresponde a la

entrada, y no existen derivadas sobre ella, y donde an = 1 :

txtyaDa....DaDty)D(A nn

n 011

1 (A)

Para la respuesta al impulso, h(t), se tendrá que x(t) = (t) y condiciones iniciales

nulas:

0000 1 ny...yy .

Puede probarse que la función respuesta al impulso debe satisfacer la ecuación

homogénea

0ty)D(A

con condiciones iniciales:

100000 12 nn h;h....hh (I)

Así:

tutyctyctycth nn ..2211

donde las condiciones iniciales (I) se emplean para calcular los nc .

x(t) h(t) y(t)

2 * =

-2 -1 0 1 2 -2 -1 0 1 2 -3 -2 -1 0 1 2


69

Prueba: La solución de (A) puede expresarse como: dthxty

t

0

(B)

cuando thtx , son causales.

Por el teorema de la derivación bajo el signo integral * pueden obtenerse expresiones

para las derivadas sucesivas de (B):

* La Regla de Leibniz y varios teoremas asociados, permiten afirmar que es legítimo derivar bajo el

signo integral cuando el integrando es función continua del grupo de variables y parámetros. Entonces

para una función f integrable sobre el intervalo [a,b], se define F sobre [a,b]

como

)t(v

)t(u

d),t(f)t(F , entonces F es derivable. Consecuencia directa es la siguiente

igualdad:

)t(v

)t(u

)t(v

)t(u

d),t(fdt

d)t('u))t(u,t(f)t('v))t(v,t(fd),t(f

dt

d

En nuestro caso, v(t)=t , u(t)=0. Entonces:

tt

dtfdt

dttfdtf

dt

d

00

),(),(),(

Pero además, f(t,τ)=x(τ)*h(t- τ). Entonces:

t

t

t

dthxdt

dthxdthx

dt

dty

00

)]()([)()()('

Resulta:

dthxhtxty

t

0

'0' . (C)

Como y’(0)=0 , de (C) resulta que 00 h , y entonces: dthxty

t

0

'' (C-

1)

Si volvemos a aplicar la Regla de Leibniz a (C-1), obtenemos la expresión para la

derivada segunda:

dt''hx'htxdt''hxt'hxt''ytt

t

00

0 (C-2)

dxthtxhtyt

nnn

0

1 0 .

Supóngase el caso más sencillo de un sistema de segundo orden como por ejemplo:

txtyDD 122 (D)

Como y’(0)=0 , de (C) resulta que 00 h .


70

Ahora, se utilizan (C-1) y (C-2) para verificar la (D). Combinándolas resulta:

dt''hx'htx

t

0

0 + dt'hxt

0

2 + )t(xdthxt

0

La que puede rescribirse como:

)('2''0'0

txdthxthxthxhtx

t

Se observa que la ecuación se verifica si:

10 h

. 02

0

d)t(ht'ht''hx

t

La segunda relación es cero si el integrando es cero, y considerando que 0)t(x ,

entonces deberá ser )t(ht'ht''h 2 =0.

Luego, h(t) será solución de la ecuación homogénea y debe cumplir que

00 h y que 10 h .

La generalización de esta demostración lleva a lo enunciado al comienzo de la sección

para los sistemas de orden n.

OBSERVACION: Si el lado derecho de la EDO que modela al sistema es de la

forma: B(D)[x(t)], A(D)[y(t)] = B(D)[x(t)], el método para encontrar la respuesta al

impulso se modifica.

Se obtiene primero una th que corresponda al sistema A(D)[y(t)] = x(t) y

luego la respuesta al impulso es: h(t) = B(D)[ th ]. Todo esto sobre la suposición de

que el orden de B(D)es menor al de A(D); de no ser así, aparecerán en h(t) términos

adicionales que incluirán a (t) y sus derivadas, pues las derivadas de h(t) de orden (n-1)

o mayor, en general no son cero en t = 0.

Ejercicios:

1) Dado: A(D)[y(t)]=(D2+2D+2)[y(t)]=x(t), hallar una expresión integral para

y(t), si y(0)=y’(0)=0.

. . . . . . . . . . . . . .

2) Verificar que: (D2+2D+2)[h(t)]=(t)

. . . . . . . . . . . . . .

3) Considere el circuito de la figura. Sea la señal de excitación x(t). Considere a

la tensión en el capacitor como la salida del sistema. La ecuación diferencial


71

que modela la relación entre ambas señales, para ciertos valores de los

parámetros, es:

)(1)(222D txDtyD

.

Solución:

El primer paso es determinar la respuesta al impulso, )(ˆ th del sistema definido por la

ecuación: )()(222D txtyD

.

Para ellos resolvemos la ecuación característica:

jrr

10222r

Entonces podemos escribir:

)())(sen)cos(()(ˆ 21 tutCtCeth st

Las condiciones iniciales para hallar las constantes C1 y C2 son:

0)0(ˆ h

1)0('ˆ h

Entonces:

0)0(ˆ 1 Ch )()(sen)(ˆ 2 tutCeth st

)(.0

222 )()(sen)()cos()()(sen)('ˆ

t

ts

ts

t ttCetutCetutCeth

)()cos()()(sen)('ˆ 22 tutCetutCeth st

st

111.0.)0('ˆ 222 CCCh

Por lo tanto: )()(sen)(ˆ tuteth st

Ahora, puede encontrarse la respuesta al impulso h(t) buscada operando del siguiente

modo:


72

)()cos()()(sen)()(sen)()cos()()(

)()(sen1)(ˆ1)(

tuttetuttetttetuttetutsente

tutteDthDth

ssss

s

Entonces, para este sistema, y con condiciones iniciales nulas, la salida y(t) puede

expresarse como:

t

t dxtety0

)( ,)()cos()( 0t

Considerando ahora el caso particular en que x(t) es un escalón unitario de entrada, se

tendrá que,

t

t dtety

0

)( ,)cos()( 0t

0,0

0)),(cos)(sen1(2

1

cos

0 t

ttetede

ttt

A partir de la h(t) calculada se puede demostrar que se cumple la siguiente igualdad:

)(1)(22 2D tDthD

)(1)()cos(222D tDts

utteD

)()())()(cos(

)(.1

)()cos()())()cos()()cos(

tts

utsentte

t

tttets

utsentettets

utteD

)(')()()(2)('

)().1(

)())()(cos(

)())cos()()(())()(cos()()cos(2

ttts

utsentet

t

ttsentte

ts

uttsents

utetsenttets

utteD

Reemplazando:

)]()[1()(')()(')()()cos(2)(2)()(2

)()cos(2)()(2))()cos((2))()())()(cos((2

)(')()()(2()cos(22 2D

tDttttts

uttetts

utsente

ts

uttets

utsentetutetts

utsentte

ttts

utsentets

utteD

s

t

Vemos que se verifica la igualdad.

Relación entre la respuesta al escalón y la respuesta al impulso

La respuesta al escalón de un sistema lineal g(t), es la salida provocada por la función

escalón us(t) como entrada. Así si L representa la transformación realizada por el

sistema lineal, entonces: g(t) = L[us(t)].


73

La g(t) se puede obtener convolucionando us(t)*h(t) = g(t), de donde, si el sistema es

causal, será:

g(t) = us (t)*h(t) = t tt

ss d).(hd).t(u).(hd).t(h).(u

0 00

, entonces:

La respuesta al escalón de un sistema lineal es la integral de su respuesta al

impulso.

Podemos verificar por diferenciación de g(t) y obtener así, la respuesta al impulso:

tt

s thdthddt

tduh

dt

tdg

00

)()().()(

).()(

Ejercicio: escriba la expresión integral que resulta para g(t) en el caso en que el sistema

sea no-causal.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ejemplo: Sea h(t) = e-3t.us(t). La respuesta al escalón unitario es:

g(t) = )t(u.ede st

t3

0

3 13

1 , por lo tanto resulta: )t(u.e)t(g st31

3

1

Este resultado se puede verificar por diferenciación de g(t) y obtener la respuesta al

impulso, tal como se muestra a continuación:

)t(u.e)t(.e.)t(u.e..)t(.e

dt

)t(u.ed

)t(h stt

stt

st

3333

3

3

1

3

13

3

11

3

11

3

1

Finalmente aplicando las propiedades de la )t( , obtenemos:

)t(u.e)t(.)t(h s

t3

3

1

3

1 )t(u.e)t(h s

t3 .


74

Respuesta permanente a funciones exponenciales de entrada

La respuesta de sistemas lineales a funciones de entrada que sean funciones

exponenciales permanentes en el tiempo, son de especial importancia en el análisis de

sistemas lineales ESTABLES.

Sea: x(t) d)t(h.)(x)t(y

.

Demostrar que la respuesta de un sistema lineal e invariable a una función exponencial,

también es una función exponencial y proporcional a la entrada.

Si x(t) = ejt , entonces y(t) = ejt H(D=j)

Observar que ejt es una función periódica con frecuencia y período T=2/La

frecuencia de la señal de entrada se mantiene en la señal de salida. H(D=j) es un

número complejo que en general modificará en módulo y ángulo a la función

exponencial compleja. Podría también tomar valor nulo para algunos valores de , y en

ese caso la señal de salida sería nula.

Vale aclarar que H(D=j) es la función operacional del sistema H(D) donde se hace la

sustitución D=j. Llamamos ¨Función del sistema¨ a Hj).

Demostración : …………………………………………….

………………………………………………………….

Ejercicio:

Extienda el resultado anterior, para el caso de entradas del tipo sen(t) o cos(t).

LTI


75

REPRESENTACION DE SISTEMAS LINEALES

MEDIANTE VARIABLES DE ESTADO

Hemos visto anteriormente que un Sistema LTI puede ser caracterizado por una

ecuación diferencial de orden n, o alternativamente por su respuesta al impulso th .

Hemos visto también que existen métodos para encontrar la respuesta ty , para 0tt a

una entrada tx válida para 0tt , para un conjunto dado de condiciones iniciales, a

partir de la ecuación diferencial. Por otro lado, analizamos que la respuesta ty a una

entrada tx puede encontrarse mediante la integral de convolución, utilizando la

respuesta al impulso.

Estudiaremos ahora la representación mediante variables de estado, la que presenta un

método alternativo para resolver sistemas LTI con las siguientes ventajas:

1. Permite conocer no sólo el comportamiento de la entrada y la salida del sistema, sino

también el de las variables internas del mismo.

2. Se puede adaptar fácilmente para su solución utilizando computadoras.

3. Se puede extender a sistemas no lineales o variantes en el tiempo.

4. Permite manejar sistemas con múltiples entradas y salidas.

En este capítulo se verá la formulación en variables de estado. Así, un sistema lineal

modelado con una ecuación diferencial ordinaria de orden n, podrá representarse por

medio de un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden acopladas. El

modelo obtenido se denomina modelo de estados.

Concepto de estado

Se define estado del sistema en algún tiempo t0 a la información que, junto con todas

las entradas para todos los tiempos subsiguientes a t0, determina el comportamiento del

sistema para t t0 , Es decir, es la información “suficiente” acerca del sistema en algún

instante t0 , en el sentido de que permite el cálculo de las salidas del sistema para todo

tiempo posterior a t0. Las variables que contienen esta información se conocen como

variables de estado. En otras palabras, el conocimiento del estado del sistema en t0,

basta para predecir el comportamiento futuro del sistema, siendo innecesaria alguna

información acerca del comportamiento anterior del sistema.

Ejemplos introductorios

Para introducir el modelado en variables de estado se partirá de un caso particular.

1) Considere un circuito serie RLC, cuya descripción matemática está dada por las

ecuaciones:


76

Ldi t

dtRi t v t v tc i

( )( ) ( ) ( )

v tC

i dc

t

( ) ( )

1

donde vi (t) es la tensión de entrada, conocida, y la corriente i(t) y la tensión en el

capacitor

vc (t) son las variables desconocidas.

a) Se reescribe la segunda ecuación para que quede en forma diferencial:

dv t

dt Ci t

c ( )( )

1

b) Se definen 2 variables de estado, o simplemente 2 estados, con la notación xi(t) :

x1(t) = i(t)

x2(t) = vc(t)

Sustituyendo con la nomenclatura elegida, y despejando, se llega al siguiente sistema

acoplado:

( ) ( ) ( ) ( )x tR

Lx t

Lx t

Lv ti1 1 2

1 1

)(1

)( 12 txC

tx

c) Se escribe la ecuación que relacione la salida del sistema con las variables de estado.

En este caso, la salida es vc(t) , luego, la ecuación que falta es:

y(t)= vc(t)=x2(t)

d) La formulación se simplifica si se utiliza notación matricial, en donde la entrada, vi(t)

es denominada como u(t) :

)t(u

0L

1

)t(x

)t(x

0C

1L

1

L

R

)t(x

)t(x

2

1

2

1

)t(x

)t(x.10)t(y

2

1.


77

Estas dos ecuaciones matriciales son las ecuaciones de estado para el circuito RLC.

Esta representación puede no ser única; ello depende de qué variables se definan como

estados.

En general, la forma estándar para las ecuaciones de estados de un SLIT es:

x(t) Ax(t) Bu(t)

y(t) Cx(t) Du(t)

, (1)

donde la notación es la siguiente:

x(t) : Vector de estados de dimensión (n x 1) para un sistema de orden n

u(t) : Vector entrada (r x 1) correspondiente al vector de entradas al sistema

y(t) : Vector salida (p x 1) compuesto por las señales de salida del sistema.

A : Matriz cuadrada (n x n) es la matriz del sistema

B: Matriz de entrada (n x r). Relaciona los estados con las entradas

C : Matriz de salida (p x n). Relaciona los estados con las salidas

D: Matriz de orden (p x r) que representa el acoplamiento entre las entradas del sistema

y las salidas.

2) Considere ahora el sistema de la figura formado por 2 resortes y 2 masas, al que se

le aplica una fuerza externa f(t).

2-1) Verifique que el modelo matemático está dado por el siguiente sistema de

ecuaciones de segundo orden.

)t(z)t(zk)t(zkdt

)t(zdm 122112

12

1

)t(f)t(z)t(zkdt

)t(zdm 1222

22

2

2-2) Verifique también que el siguiente sistema es equivalente al anterior.

Escríbalo en forma matricial, considerando que m1=2, m2=1, k1=4, k2=2 y

f(t)=40sen3t.

t3senxxx

xx

xxx

xx

4022

3

314

43

312

21

2-3) Defina 1 entrada y 1 salida para este sistema. Escriba 1 ecuación más que

represente la relación entre la salida y los estados. Por ejemplo,

u(t)=f(t)

k1 m1 k2 m2

z1(t) z2(t)

f(t)


78

y(t)=z2(t)=x3(t)

Obtención del modelo de variables de estado para sistemas de 1 entrada y 1 salida (SISO) a partir de la EDO de orden “n”

Caso 1: Se considera primero un caso particular que aparece con frecuencia. Sea el

sistema de una entrada y una salida representado por la ecuación diferencial

)t(ub)t(yadt

)t(yda

dt

)t(ydn

n

nn

n

001

1

1

. (2)

Se observa que el lado derecho de la ecuación no contiene derivadas, y que an=1. Las

componentes del vector de estados se pueden definir como las salidas de cada integrador,

si se realizara el diagrama de bloques correspondiente, como se verá más adelante. Sin

embargo, por ser este un caso más simplificado, la denominación de las variables se

puede realizar directamente, obteniendo el mismo resultado, del siguiente modo.

Llame:

(3)

A partir de esta definición será cierto también que:

( ) ( )( )x t y tnn ,

y despejando de la ecuación (2), resulta entonces que

( ) ( ) ( ) ( )x t b u t a x t a x tn n n 0 0 1 1 (4)

Rescribiendo el sistema (3) y agregando la ecuación (4) resulta la forma final, dada por:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

x t x t

x t x t

x t x t

x t b u t a x t a x t

n n

n n n

1 2

2 3

1

0 0 1 1

(5)

La salida del sistema en términos de las variables de estado, resulta:

y(t)=x1(t) (6)

x t y t

x t y t x t

x t y t x t

x t y t x tnn

n

1

2 1

3 2

11

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )


79

Ecuaciones (5) y (6) pueden escribirse en forma matricial nuevamente como:

x(t) Ax(t) Bu(t)

y(t) Cx(t) Du(t)

donde:

1n10 aaa

000

010

A

;

0b

0

0

B

; 0....01C ; D 0.

Ejercicio: Verifique el resultado encontrado realizando un diagrama en bloques para el

sistema representado por la ecuación (2)

Caso 2: Ecuación diferencial de orden “n” general

Se considera a continuación el procedimiento para escribir el modelo en variables de

estado de un sistema de orden n general, dado por su ecuación diferencial,

)t(ubdt

)t(udb

dt

)t(udb)t(ya

dt

)t(yda

dt

)t(yda

m

m

mm

m

mn

n

nn

n

n 01

1

101

1

1

; con

an=1.

Para ello, consideremos primero un ejemplo correspondiente a una ecuación de orden

2, representado por el siguiente diagrama en bloques:

Ejercicio 3) Verifique a partir de allí que su ecuación diferencial es

tut'ut''utytyty 24534 ,

(7-a)

(7-b)

t

t

+ +

-4

-3

4

2

x2

x1

u(t) y(t) 5


80

y que el correspondiente modelo en V.E. es

tu

tx

tx

t'x

t'x

1

0

43

10

2

1

2

1

)t(u

tx

tx)t(y)t(u

tx

tx)x()x(ty 5 16135 454352

2

1

2

1

Observe la relación directa que hay entre los coeficientes de la ecuación diferencial y

los elementos de las matrices A, B, C y D.

Puede probarse, que para el caso de la ecuación de orden “n”, el diagrama en bloques

que se muestra en la figura siguiente, corresponde al modelo en VE cuyas matrices se

forman directamente, utilizando los coeficientes de la ecuación diferencia.

coeficientes de y(t) coeficientes de u(t)

Designe a la salida de cada integrador con el nombre de una variable de estado. Si la

salida es xi (t), la entrada será ( )x ti como se muestra en la figura.

u(t)

+ _ bm + y(t)

- - ( )x tn + +

+

an-1 )t(xn bm-1

( )x t1

a0 x1(t) bo

ʃ

)t(xn 1

an-2 xn-1(t) bn-2

ʃ

ʃ


81

1. Escriba las ecuaciones para las señales de entrada de cada integrador:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

x t x t

x t x t

x t x t

x t a x t a x t a x t u t

n n

n n n

1 2

2 3

1

0 1 1 2 1

2. Escriba la ecuación para la salida del sistema:

y t b a b x t b a b x t b a b x t b u tn n n n n n n( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 1 1 2 1 1

3. Escriba las ecuaciones en forma matricial. La forma del modelo que se obtiene

siguiendo este procedimiento es conocida como Segunda forma canónica o Forma

canónica de la variable de fase :

x(t)

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 0 1

x(t)

0

0

0

1

u(t)

a a a a an n0 1 2 2 1

(8)

y(t) x(t) u(t) ( ) ( ) ( )b a b b a b b a b bn n n n n n0 0 1 1 1 1 (9)

Como puede verse, esta expresión puede escribirse directamente a partir de la ecuación

diferencial ubicando los coeficientes en las posiciones correctas en la matriz. Se verá

más adelante, que lo mismo puede hacerse a partir de la función de transferencia.

El procedimiento puede aún simplificarse si después de la designación de las variables,

se omite el dibujo de los integradores.

Ejercicio 4:

I) Modifique el ejercicio anterior, (Ej 3) considerando b 2=0 . Encuentre el

Modelo en VE denominado de la 2da. forma canónica.

Si b 2=0, la ec. diferencial es tut'utytyty 2434 y las

matrices del modelo serán:

A=……… ; B= ;C= ; D=


82

II) Verifique que el siguiente diagrama, corresponde al mismo SLIT, pero a

otro modelo en VE.

a) Escriba la ecuación diferencial que lo modela.

Solución: Como:

teDty

tyteDtute

tytute

21

11

2

1

44

32

tutDutytDytyD

tDytytutDutyD

tyDtyDtuDtuDty

tyDtytuDtuDty

tyDteDtuDty

2434

4324

4324

4324

44

2

2

1221

121

11

21

Luego, la ec. diferencial es la misma

b) Ahora vamos a encontrar el modelo en variables de estados.

Planteamos los estados a la salida de los integradores.

txty

tutxt'x

tutxtxt'x

txtut'x

txtxtut'x

tytx

1

12

211

12

211

1

23

44

32

44

Finalmente obtenemos:

tutx

tx

t'x

t'x

2

4

03

14

2

1

2

1

tx

txty

2

1 01 .

u(t)

t

t

e1(t) e2(t) y(t)

2 2

4

+ +

-

3

-

x2 x1

tut'utytyty 2434


83

Se puede comprobar que a partir de estas ecuaciones se llega a la ecuación diferencial

del Sistema.


84

Solución en el dominio temporal de las Ecuaciones de los Estados

Consideremos el modelo general:

x(t) Ax(t) Bu(t)

y(t) Cx(t) Du(t)

Primero se tratará de encontrar la solución natural, libre o no forzada; es decir, u(t)=0 .

Entonces, la primera ecuación se simplifica y queda:

x(t) Ax(t) (10)

Suponga que la solución de esta ecuación matricial es:

x(t)= e A(t-to) x(t0) (11a)

x(t0) es el vector de estados iniciales en t = t0 . Para el caso en que t0=0, entonces,

será:

x(t)= eAt x(0) (11b)

donde : )t(te A ( nxn), llamada matriz de transición de estados, es una matriz

función de la matriz A , que se define como:

k

k !k

ktte AA

0. (12)

donde, veces k

AAAA ........k .

Además, puede observarse que AAAAA ee e ttt

dtd .

Demostración:

1

1 1

1

0

1

00

k

k !k

ktk

k !k

ktkk

k !k

kt

dt

dk

k !k

kt

dt

dtedt

dA AAAAA

tej

j !j

jt

kk

k !k

kt AA AA AA

0 escribirse puede 1,-j para ;1

1 1

1

Entonces, ahora se puede verificar que la (11) es solución de la (10):

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .


85

Propiedades: la matriz eAt tiene las siguientes propiedades:

1. Ie 0

2. 2121 tttt

e eeAAA

3. identidad) matriz : (IIe e tt1 AAAA tt ee .

Observar también que es posible encontrar x(t0), para algún t0 <t1, a partir del

conocimiento del valor de los estados para ese instante de tiempo t1 .

Entonces, como x(t1)= eA(t1-t0) x(to),

será: x(to)=( eA(t1-t0))-1 x (t1).

Además, como la matriz inversa de eAt es e-At . Luego,

x(to)= e-A(t1-t0) x (t1),

o, x(to) =(t0-t1) x(t1) (13)

la que expresa una relación entre 2 valores de la solución libre de los estados.

Solución total de los estados

Para encontrar la solución total, debe conocerse una solución forzada de la ecuación

diferencial. Se supone una solución de la forma:

x f (t)= eAt q(t) (14)

donde q(t) es un vector de funciones desconocidas que se van a determinar. Se obtiene

por sustitución de la ecuación de los estados, que:

)Bu()(Ax)(x ttt ff (15)

Ahora, si se sustituye la ec.(14) en la ec. (15) resulta que:

)Bu()q(Ae)(qe)q(Ae AAA tttt ttt

Simplificando y despejando: )Bu(e)(q A tt t

cuya solución se encuentra integrando. Así, se obtiene:

q(t) q(t ) e Bu( )A 0

0

t

t

d

Luego, la solución libre de los estados es x(t)= e A(t-to) x(t0)


86

y la solución forzada: dtttt

t

)t(tt)Bu(e)q(e)q(e)(x

AAA

0

0f

La solución completa de la ecuación es:

dt)t(tt

t

)t(t)tt()Bu(e)q(exe)x(

AAA

0

000

Evaluando la ecuación anterior para t=t0 resulta q(t0)=0, por lo cual la expresión final

para la solución completa queda:

x( ) e x e Bu( )A At t dt t t

t

t

( ) ( )( )0

0

0 (16)

Sustituyendo en la segunda ecuación de (7), se obtiene la salida correspondiente

y t t d u tt t t

t

t

( ) Ce x Ce Bu( ) DA A ( ) ( )( ) ( )0

0

0 (17)

El primer sumando es la respuesta cuando u(t) = 0, es decir la respuesta libre que

depende de las condiciones iniciales.

Los segundo y tercer sumandos constituyen la respuesta cuando x(t0) = 0, es decir la

respuesta forzada. De estos términos podemos asimismo obtener la respuesta al

impulso.

Verifique, de la (17), que la cantidad Ce BAt +D (t) es la función respuesta al impulso

h(t) definida para sistemas lineales de una entrada y una salida.

Ejercicio 5:

Calcular la solución libre y forzada del sistema y los estados para un SLI cuyo modelo está dado por las matrices de abajo. Suponga también conocida la matriz transición de los estados:

32

10A ;

1

0B ; 54C ;D=0;

0,222

222

22

teeee

eeeetttt

tttttA

e

Si el modelo dado es el de la segunda forma canónica, reconstruya la ecuación diferencial, halle las raíces de la ecuación característica y compare los valores encontrados con los autovalores de A.


87

Cálculo de eAt

Para A diagonal, con elementos aii, i=1, 2, . . n, diferentes, puede demostrarse que

siempre será tAe también una matriz nxn diagonal, cuyos elementos son taiie , i=1,2,

. . n.

Para A cualquiera, tAe debe calcularse mediante alguna de las siguientes

expresiones:

Método con series:

0k

kkt

!k

tAA

e (I)

Método de Cayley-Hamilton:

1

0

n

i

ii

t )t( AeA (II).

La reducción de la serie infinita de (I) a una serie de n términos de (II) se debe al

teorema que establece que solamente las primeras n-1 potencias de la matriz de orden n

n son linealmente independientes; es decir, todas las potencias más altas de A pueden

expresarse en términos de I, A, A2, . . . , An-1. La ventaja es entonces que se reduce una

suma de infinitos términos (expresión I), a una suma de n términos (expresión II).

Para obtener tAe utilizaremos el Método de Cayley – Hamilton, que indica que

cualquier matriz arbitraria A de tamaño n x n satisface su ecuación característica, es

decir:

det(A- I) = 0,

donde los escalares i con i = 1, 2.... n que satisfacen la ecuación característica anterior

se denominan autovalores de A.

Se puede demostrar que e At puede escribirse como una combinación lineal de potencias de

A.

1

0

n

i

ii

t t γe AA ,

donde, los tγi se pueden obtener resolviendo el sistema de n ecuaciones

,...,n,j,λ t γtγen

i

iji

tλ j 211

10

cuando todos los autovalores son diferentes. Cuando existen autovalores repetidos debe

utilizarse un recurso que se mostrará en el Ejercicio 7.

Ejercicio 6: Encontrar la matriz transición de los estados para la matriz A dada

300

031

013

300

031

013

IAA

032727933 233 Idet A


88

4,3,2 321 Autovalores de A.

Luego, 2210 AAA tγ tγ Itγe t

tγ0 , tγ1 y tγ2

satisfacen las ecuaciones:

t16t4te

t9t3te

t4t2te

210

t4

210

t3

210

t2

Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos:

ttt

ttt

ttt

eeetγ

eeetγ

eeetγ

234

21

2

2

2734

25

1

2340

2

6

683

Por lo tanto queda:

900

0106

0610

300

031

013

100

010

001

210 ttte t A

Resolviendo finalmente se obtiene:

t

tttt

tttt

t

e

eeee

eeee

e

3

2

214

212

214

21

2

214

212

214

21

00

0

0

A

Ejercicio 7 (Con raíces dobles):

010

441

011

A 210 321 ,Idet A

2210 AA tγ tγ Itγt

tγtγte

tγtγtγe

tγtγtγe

t

t

t

212

2102

210

4

42

La tercer ecuación se obtuvo derivando 2210 λtγ λtγ tγe λt con respecto a ,

lo que resulta en: ttte t21 2

Ejercicio 8 . Considere nuevamente el sistema del Ejercicio 4. Es posible verificar que

para el modelo en VE hallado, la matriz transición de los estados es la siguiente:


89

)tcosh(e)t(senhe)t(senhe

)t(senhe)tcosh(e)t(senhe)t(

ttt

ttt

333

323

3

3

33

333

3

32

222

222

,t ≥0.

Propiedades de la matriz de transición

Consideremos nuevamente para su análisis, las propiedades ya enunciadas de la matriz

Ate)t( , definida como : et

kt

k

k

kAA

!0 .

Recordemos también la ec. (11.a) que establece la relación

)()()( 000

)( 0 ttttetttA

)x(xx .

Ahora, demostremos las 3 propiedades:

1. I)( 0

Demostración: . . . . . . . . . . . . .

2. )t().t()t().t()tt( 122121

Demostración:

Considere t=t1 y t0=0. Por ec.(11.a) se puede escribir )(t)t( 011 )x(x .

Suponga que quiere escribir la misma ecuación para una condición inicial dada en t0= t1

Entonces, para t2 segundos más tarde (es decir t - t0 = t2 ), la relación sería:

)()t(t)t(t)tt( 0121212 x)()x(x (20)

Pero, también se puede escribir la misma relación para un tiempo final t1+t2 con

condición inicial en 0, directamente:

)()tt)tt( 01212 x(x (21)

Comparando ec(20) y ec(21), resulta que )t().t()tt( 1221

Del mismo modo, si fuese t2<t1 , se llegaría a )t().t()tt( 2121 .

3. )t()t( 1

Demostración: . . . . . . . . . . . . . .

Ejercicio: Verifique las propiedades de la matriz de transición en alguno de los

ejemplos anteriores.

Estabilidad:


90

Un sistema LTI es estable si los autovalores de la matriz de estados tienen

parte real negativa. Para fundamentar esta propiedad, analice la relación de los

autovalores con la ecuación característica del sistema.

TRANSFORMACIÓN DE SEMEJANZA

El modelo de variables de estado de un mismo LTI no es único, sino que por el

contrario, un LTI tiene un número ilimitado de modelos de estado.

Transformaciones

Se considera el caso de sistemas de una entrada-una salida

x(t) Ax(t) B ( )

y(t) Cx(t) ( )

u t

Du t

Considere un nuevo vector de funciones de dimensión n v(t) , que se representa como

una combinación lineal de los elementos del vector de estados x(t) .

)()()()(

)()()()(

)()()()(

2211

22221212

12121111

txqtxqtxqtv

txqtxqtxqtv

txqtxqtxqtv

nnnnnn

nn

nn

En forma matricial esta ecuación puede escribirse como

v(t)=Qx(t)=P-1x(t)

x(t)=P v(t)

donde P es llamada matriz de transformación.

Sustituyendo (30) en (28) da:

)(CPv(t)y(t)

)(BAPv(t)(t)vP

tDu

tu

y rescribiendo:

)(v(t)Cy(t)

)(Bv(t)A(t)v

tuD

tu

vv

vv

donde: Av=P-1AP , Bv=P-1B , Cv=CP , Dv=D

Esta transformación se llama de semejanza pues si bien la estructura interna del

modelo se modifica, la relación entrada-salida no.

Propiedades de las matrices de estados para los modelos resultantes de

aplicar transformaciones de semejanza.


91

1) det (I-Av) = det (I-A)

Lo que implica que los autovalores del sistema y del sistema transformado son los mismos.

Dem: . . . . . . .

2) det Av = det A (= 1 2 . . . n)

3) tr Av = tr A (= 1 +2 +. . . +n)

Ejemplo

Para el mismo sistema lineal de segundo orden considerado en el Ej. 1, suponga la

transformación dada por: v t x t x t

v t x t x t

1 1 2

2 1 22

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

Halle:

a) las matrices P y Q

b) las ecuaciones de estado transformadas

c) la función de respuesta al impulso del sistema

d) verifique las propiedades enunciadas

Transformación de los autovalores

Si A tiene n autovalores distintos, entonces puede diagonalizarse usando la

transformación

=P-1AP

siendo P una matriz cuyas columnas son los autovectores de la matriz A, resultando la

matriz como una matriz diagonal cuyos elementos son los autovalores de A.

Prueba: para cada autovalor puede escribirse la ecuación

A.1= 1.1

A.2= 2.2

A.n= n.n

donde por ejemplo, 1 es el autovector correspondiente al autovalor 1 .

Ahora, las n ecuaciones partir de arriba, puede escribirse en forma matricial como:

AP =P.

resultando entonces: =P-1 A P

Luego, si se elije para la Transformación de Semejanza, la matriz formada por los

autovectores, se obtendrá un modelo en variables de estado, con una matriz de estados

Av =, diagonal, cuyos elementos son los autovalores del sistema.


92

Ejercicio 9: Encuentre el modelo de variables de estado semejante al encontrado ya

en el Ejercicio 5, realizando la transformación por los autovectores.

Análisis en el dominio transformado

93

ANÁLISIS EN EL

DOMINIO

TRANSFORMADO


94

INTRODUCCIÓN

El desarrollo de las técnicas del análisis de Fourier tiene una larga historia; desde

los babilonios y con Euler en la historia moderna.

El concepto del empleo de “sumas trigonométricas”, esto es, sumas de senos y

cosenos o de exponenciales complejas periódicas, armónicamente relacionadas, se

utiliza para describir fenómenos periódicos, y específicamente, veremos que si la

entrada a un sistema SLIT se expresa como una combinación lineal de exponenciales

complejas periódicas o senoidales, la salida también se puede expresar de esta forma,

con los coeficientes expresados en forma conveniente en términos de los de la entrada.

Esto facilita en gran parte el análisis de los sistemas SLIT.

Si deseamos describir una señal, periódica o no, en términos matemáticos, se

tienen varias posibilidades. Una de ellas, muy familiar a los estudiantes de ingeniería y

ciencias experimentales, es el conocido método de ajuste de curvas, un ajuste de curva

puede ser considerado como un modelo para una serie temporal de valores de una

variable (señal). Estos métodos se presentan en varias versiones por ejemplo:

a) Empleo de polinomios,

f(t) = a0 + a1t + a2 t2+...+an t

n,

Aquí se trata de representar una señal de forma que se pueda manejar con formas

potenciales. Una alternativa consiste en suponer que es posible ajustar un polinomio

para que sus valores representen los de la señal. Para esto se debe obtener un sistema de

ecuaciones con las que se determinan los coeficientes del polinomio. Mientras mayor

sea el número de puntos del polinomio que coincidan con los de la curva que se

pretende ajustar, mayor será el grado del polinomio a considerar. Esto sugiere que el

método es bastante potente y que se puede conseguir tanta precisión como se quiera en

el citado ajuste. Sin embargo, que el sistema propuesto presenta ciertas debilidades para

el caso de señales periódicas.

El sentido del método es bastante claro y para ciertas curvas resulta suficiente,

pero la función resultante de este ajuste no es periódica, por lo tanto es aplicable solo a

un ciclo de una señal periódica (o parte de él), por esta razón sólo da valores

suficientemente aproximados para los puntos que se ha tomado para hacer el cálculo (y

su entorno), la precisión de la representación se va perdiendo rápidamente a medida que

nos alejamos de los puntos de referencia.

b) Serie de potencias

f(t)= a0 + a1

t

1 f’ (t) + a2

t 2

2 f’’(t) + ...

Ajusta los puntos y sus derivadas, tiene también el problema de no ser periódica

y por lo tanto con este tipo de representación podemos aspirar, como máximo, a ajustar

la señal en un intervalo de tiempo finito, no obtener una expresión para la función en

todo el dominio del tiempo.

c) La otra posibilidad es representar nuestra señal en otro dominio de validez, que como

veremos, es completamente equivalente a la representación que hemos venido haciendo.


95

Nuestra primera representación la hemos realizado en el dominio del tiempo, pero esta

puede ser representada también en el dominio del espacio. Como veremos, aquí lo que

se enfatiza es el concepto de sistema de coordenadas asociado a una base ortonormal de

vectores.

Por ejemplo, supongamos que queremos ajustar la señal periódica que se presenta en la

Figura 1.

-3 -2 -1 0 1 2 3-2

-1

0

1

2

Figura 1: Señal periódica del tipo "diente de sierra" de amplitud /2

Pese a lo aparentemente complicado que resulta representar esta señal en un intervalo de

tiempo infinito, hay una expresión que la aproxima bastante bien:

......44

13

3

12

2

10000 tsentsentsentsentf (I)

(sugerimos que en el ambiente Matlab represente esta función). Reconozca, además la

lógica de generación de términos para obtener la representación con 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,

etc. términos verificando la forma en que se mejora la precisión en la representación a

medida que se agrega componentes a la serie.

-3 -2 -1 0 1 2 3-2

-1

0

1

2

Figura 2: Aproximación de la señal "diente de sierra" por los primeros 3 términos de la serie de la ec.(I)

Como puede verse en la Figura 2, el “ajuste” de la serie a la curva se logra

bastante bien con los primeros 3 términos, e irá mejorando a medida que se agreguen los

otros términos. Se muestra la habilidad de las funciones periódicas para representar

señales a través de una serie ponderada de un conjunto de funciones periódicas

linealmente independientes. A continuación veremos las propiedades de estas

funciones y haremos una generalización de ellas.


96

Sucesiones ortogonales de señales

El concepto de sistema ortogonal de funciones es una generalización natural del

concepto de sistema ortogonal de vectores; esto es, de un sistema de vectores

mutuamente perpendiculares. De hecho, una función puede considerarse como un vector

generalizado, y por ello las propiedades de un sistema de vectores sugieren las

propiedades análogas de un sistema de funciones.

Recordemos los conceptos de producto interior y norma.

El producto interior, interno o escalar de dos funciones reales )t(gy)t(g nm

definidas para todos los valores del intervalo a t b, es el número definido por la

ecuación:

b

a

nmnm dt)t(g)t(gg,g , (1)

en analogía con el producto interior de vectores.

La condición de que las dos funciones sean ortogonales se expresa: g gm n, 0,

b

a

nm 0dt)t(g)t(g (2)

La norma de la función es la raíz cuadrada no negativa de g gm m, y se simboliza con

gm . Por lo tanto indicaremos:

b

a

2

mm dt)t(gg y en consecuencia puede escribirse

g g gm m m ,/1 2

. (3)

Esta generalización de funciones como vectores, no conservan el significado de la

terminología geométrica. La norma de una función g(t) tiene la interpretación de ser una

medida asociada con ella, calculada como la raíz cuadrada del área bajo la gráfica de

[g(t)]2. La ortogonalidad de dos funciones no tiene ningún significado en cuanto a

perpendicularidad; quiere decir solamente que el producto de las dos funciones toma

tantos valores positivos como negativos en el intervalo de modo que queda satisfecha la

ecuación (2).

En general, el producto interno o escalar entre dos señales gm(t) y gn(t) (reales o

complejas), en el intervalo (a,b) está dado por:

b

adt)t(ng)t(mg)t(ng),t(mg (4)

Nótese que el producto interno no conmuta, en general, excepto en el caso de funciones

reales. Luego, dos señales son ortogonales en un intervalo finito de tiempo (a,b) si su

producto interno es nulo :


97

,.....)2,1(m,nnmsi

2ng

nmsi0b

adt)t(ng)t(mg

(5)

Si ninguna de las funciones gr tiene norma cero, cada función gr puede normalizarse

dividiéndolas por la constante positiva rg .

Definición: Sistema o conjunto ortogonal es toda sucesión de funciones

,.....),,(rgr 321 ortogonales dos a dos en un cierto intervalo. El sistema se

llama ortonormal cuando las funciones están normalizadas, es decir, todas

tienen norma 1.

Considere entonces un sistema ortogonal rg . Si se forma una nueva sucesión r ,

donde

r

rr

g

g es normal y ortogonal, entonces, esta sucesión diremos

abreviadamente que es ortonormal, en el intervalo.

Ejemplo:

La sucesión

c

tnsen es ortogonal en el intervalo (0, c) y la norma de estas

funciones es c

2 y por lo tanto, la sucesión ortonormal es:

,......)2,1n,ct0(c

tnsen

c

2

Ejemplos de sistemas ortogonales

1) Sea

2

T,

2

TQ , con B =

Nn,T

tn2sen,

T

tn2cos,1 . Probar que B es un sistema

ortogonal. B se llama sistema trigonométrico.

0n,0T

tn2cos,1

n,0T

tn2sen,1

2

Tdt

T

tn2cos.

T

tn2cos0nmSi.nmpara,0

T

tm2cos,

T

tn2cos

2

T

2

T


98

2

Tdt

T

tn2sen.

T

tn2sen0nmSi.nmpara,0

T

tm2sen,

T

tn2sen

2

T

2

T

nmpara,0T

tm2sen,

T

tn2cos

. Por lo tanto B es ortogonal n,m

Ahora, se puede calcular B’ ortonormal.

* Si T)t(vTdt.v)t(v

T

T

2

2

211

* Si 2

T2)t(f

2

Tdt

T

tn2cos)t(f

T

tn2cos)t(f,Nn n

2

T

2

T

22

nn

* Si2

T2)t(g

2

Tdt

T

tn2sen)t(g

T

tn2sen)t(g,Nn n

2

T

2

T

22

nn

Luego: B’ =

Nn,T

tn2sen

T2

2,

T

tn2cos

T2

2,

T

1

2) Sea

2

T,

2

TQ , T > 0 con B =

T

2w,Zn,e

T

10

tjnw0

. Probar que B es un

sistema ortogonal y ortonormal.

Consideramos tjmw

mtjnw

n eT

)t(;eT

)t( 0011

, entonces

dteT

dteT

.eT

,

T

T

tw)mn(jtjmw

T

T

tjnwmn

2

2

2

2

000111

2

2

0

0

11T

T

tw)mn(je

)mn(jT

mnsi

mnsi,)mnsinc(

)mn(j

ee )mn(j)mn(j

0

1

2

B ortogonal.

Calculamos la norma:

2

2

2

2

22

1111

0

T

T

T

T

tjnwZndt

Tdte

T , en consecuencia B

es ortonormal.


99

SERIES DE FOURIER GENERALIZADAS

Los conjuntos ortogonales proporcionan tipos importantes de desarrollos en serie, en

una forma relativamente sencilla. En efecto, sea B={1(t), 2(t),........ n(t),........},

cualquier conjunto ortogonal de funciones sobre un intervalo atb. Puede que resulte

posible representar una función ƒ dada arbitrariamente en aquel intervalo por medio de

una combinación lineal de aquellas funciones generalizada a una serie infinita:

ƒ(t) = k11(t) + k22(t) +..................+ kn n(t)+……….. (6)

En el caso de que la serie converja hacia ƒ(t), y si, después de multiplicar todos los

términos de la expresión anterior por m (t) ( m fijo), la serie que resulta en el segundo

miembro es integrable, y suponiendo que es permisible la integración término a término,

podremos obtener los coeficientes cn , que son los coeficientes de Fourier.

11

,.,n

mnn

b

a nmnn

b

a

mm kdtkdtff

dtkdtkdtkf

b

a

mnn

b

a

m

b

a

mm ......, 2211

Observe el lado derecho de la igualdad de arriba. La integral para la que n= m es igual a 2

mmm , , mientras que todas las demás integrales son cero, debido a la

ortogonalidad del conjunto de funciones. Luego, resulta entonces que: 2

, mmm kf ,

y la fórmula para los coeficientes de Fourier queda:

b

a

m

mm

mm dtttf

fk )()(

1,22

, (7)

siendo éstos los coeficientes de Fourier de ƒ respecto de la sucesión ortogonal {n}.

Resulta claro que si el sistema es ortonormal, {n}, los coeficientes de Fourier se

reducen a:

b

a

mmm dtttffk )()(, (8)

La serie de la ecuación (6) con estos coeficientes es la serie de Fourier generalizada

correspondiente a la función ƒ.


100

ERROR CUADRÁTICO MEDIO y la IDENTIDAD DE PARSEVAL

Si f(t) se aproxima por su suma parcial de Fourier, definida como :

m

nnnm tktS

1

)()( (9)

Entonces, se comete un error dado por la diferencia entre la f(t) y su aproximación, es

decir: Em = f(t) - Sm(t). Se denomina error cuadrático medio m a:

abm

1

b

a

m

b

a

m dt)t(S)t(fab

dtE22 1

. (10)

Puede probarse que { m}mN es una sucesión real no negativa decreciente y como la

sucesión de sumas parciales de Fourier Sm(t) converge a f(t) en la media cuadrática, es

decir, lim f t S t dtm

m

a

b

( ) ( )

2

0 , entonces limm

m

0.

Por lo tanto, si se aproxima una función f(t) por una serie finita de Fourier Sm(t),

dicha aproximación tiene la propiedad de tener el mínimo error cuadrático medio.

Si la condición:

b

a

0dt2

(t)mSf(t)m

lim (11)

es satisfecha por cualquier función f en nuestro espacio funcional, diremos que el

sistema ortonormal {n(t)} es cerrado en el sentido de la convergencia en media.

Desarrollando el integrando de la ecuación (11), y teniendo presente la definición de kn,

se llega a que:

0)(lim1

222

b

a

m

nnn

mkdttf , de donde se deduce que se verifica la expresión

conocida como identidad de Parseval:

b

a

nn

n dttfk22

1

2)(

(12)

Demostración: . . . . . . .


101

Puede demostrarse que si el sistema utilizado fuese ortonormal, y no solamente

ortogonal, la expresión anterior se modifica como:

b

ann dttfk

2

1

2)(

De todo lo anterior surge que el error cuadrático de la aproximación (ec. (10)),

respecto de f en el intervalo fundamental será, para cualquier sistema ortogonal,

cuando se utilizan las primeras m componentes:

b

a

m

nnnm kdttf

ab 1

222)(

1 .

Aproximación cuadrática

Las series de Fourier, como se dijo, desempeñan un papel principal en la aproximación

de funciones por medio de funciones más simples. Esta área es conocida como teoría de

aproximaciones. A continuación analizaremos la demostración de la propiedad de que

los coeficientes de la serie de Fourier dados por la ec.(8) son aquellos que proporcionan

la aproximación con menos error cuadrático medio.

Sea f(t) una función que puede representarse por una serie de Fourier en el espacio de

funciones seccionalmente continuas en (a,b) y sean m21 ,......., , m funciones de una

sucesión ortonormal {n } (n =1,2,................) en dicho intervalo y Km una combinación

lineal de las mismas.

Km(t) = 11(t)+ 22 (t)+.........+ mm(t) (13)

Es natural preguntarse si (8) es la “mejor” aproximación a f . Consideremos que

“mejor” significa que el “error” de la aproximación es mínimo.

Desde luego, debe definirse primero qué se entiende por el error E de esta

aproximación. Elegimos una definición que mida la bondad de la concordancia entre f

y K en el intervalo, considerando el caso particular en que {n } y f(t) son funciones

reales solo a los efectos de simplificar la demostración.

Se elige: dtK)t(fE

2b

a

m , (14)

que puede considerarse una medida de error, y se desea que sea lo más pequeña posible.

Esta es una aproximación a f(t) por mínimos cuadrados. Obsérvese que E es el

cuadrado de la distancia generalizada f Km entre las funciones f y Km.


102

Sean cn = < f, n> los coeficientes de Fourier de f, con )t(n ortonormal, entonces:

dt)t(.........)t()t()t(fE

b

a

mm

2

2211

b

a

mmm .c........cc......dt)]t(f[ 222 221122

22

12 (13)

Sumando y restando c12, c2

2,......, cm2 para completar los cuadrados del segundo

miembro, se tiene:

b

a

mmm )c(.....)c()c(c.........ccdt)]t(f[E 2222

211

222

21

2 . (14)

Según se observa de la ecuación (9), E 0; por consiguiente se deduce de la ecuación

(11) que E tiene su valor mínimo cuando 1 = c1 , 2 = c2 , ........,m = cm. Es decir:

2m

22

21

b

a

2 c-................-cc-dtf(t)E (15)

Este resultado puede enunciarse así:

Los coeficientes de Fourier de una función f con respecto a las funciones

1,2,.....,m de un sistema ortonormal son aquellos para los cuales una

combinación lineal de las m funciones resulta ser la aproximación cuadrática

óptima a f(t) en el intervalo.

El error cuadrático total de la aproximación, respecto de f en el intervalo

fundamental es mínimo si y sólo si los coeficientes de dicha aproximación, son los

coeficientes de Fourier de f. Este valor mínimo está dado por la relación (12).


103

SERIES DE FOURIER

Una forma de onda compleja, periódica, puede ser analizada y representada en términos

de un número de funciones, ortogonales, relacionadas armónicamente.

Nos ocuparemos en profundidad de 2 representaciones diferentes, pero equivalentes

para una misma señal, dadas por:

n

tjnwnec)t(f 0

tnsenbtncosaa

)t(f n

n

n 00

1

0

2

donde T

20

, es la componente de la onda de frecuencia más baja y se la suele llamar

“frecuencia fundamental”.

Observación:

Toda función f: RR, tal que )t(.Af(t) sen se llama armónica.

También )t(.Af(t) cos es armónica y es /2 periódica.

Amplitud de la armónica: A

Fase de la armónica: t +

Fase inicial:

Frecuencia de la armónica:

A la expresión: tn.btn.a 0n0n sencos se la llama n-ésima armónica.

Del mismo modo diremos que la n-ésima armónica está representada por: t-jn

ntjn

n00 .-c.c

ee .

Se llama primera armónica o armónica fundamental a:

t.bt.a 0101 sencos , ó a t-j

-1tj

100 c.c

ee .

Una clase de señales que se puede representar mediante las series de Fourier es la de

señales periódicas que tienen energía finita sobre un período, es decir, señales para las

cuales T

2dtf(t) ; esta condición garantiza que los coeficientes cn sean finitos.

Debido a que la mayoría de las señales periódicas que consideramos tienen energía finita

sobre un solo período, consecuentemente tienen representaciones en series de Fourier.

Las condiciones de DIRICHLET deben ser cumplidas por las funciones, para poder ser

representadas por esta serie. Estas condiciones son satisfechas por prácticamente

todas las señales con las cuales trataremos, y nos garantiza que f(t) será igual a su

representación en serie de Fourier excepto en valores aislados de t para los cuales

f(t) es discontinua.


104

Las condiciones de DIRICHLET son las siguientes:

1. Sobre cualquier período, f(t) debe ser absolutamente integrable, esto es

T

dtf(t)

Una señal periódica que no cumple

esta condición de Dirichlet es

la de la Figura 1, donde 1t0,t

1f(t)

2. f(t) está acotada en cualquier intervalo finito de tiempo, y no tiene más que un

número finito de máximos y mínimos durante cualquier período de la señal.

3. En cualquier intervalo finito de tiempo hay sólo un número finito de

discontinuidades. Además cada una de estas discontinuidades debe ser finita.

CONVERGENCIA DE LA SERIE DE FOURIER

Teorema:

Sea f Q’[a,b], su serie de Fourier converge en cada punto t

2

T,

2

T y la suma

1nt

T

n2sennbt

T

n2cosna

20a

S(t) satisface :

1) S(t) = f(t) si 2

Tt

2

T y f(t) es continua en t.

2) 2

)f(t)f(tS(t)

si

2

Tt

2

T y f(t) es discontinua en t.

3) 2

2

Tf

2

Tf

2

TS

2

TS

Si una función no es periódica pero está definida en un intervalo cerrado, entonces la

convergencia establecida se restringe al intervalo de definición de la función

-1 0 1 2 3 t

1

f(t)

- 8 0 8 t

1

f(t)

1/2

1/4

. . . . . . . . .

f(t)

1 2

t

. . . . . .

. . . . . .

f(t1+)

f(t1-)

f(t)

t

f(t1+)+f(t1-)

2


105

Serie trigonométrica de Fourier

Sea

2

T,

2

TQ , T>0, con B =

Nn,T

tn2sen,

T

tn2cos,1 ortogonal. La suma

parcial de Fourier está dada por:

m

1n

nn0

mT

tn2senb

T

tn2cosa

2

a)t(S y los

coeficientes se deducen como sigue:

T

dt)t(f

1

1,f

2

a

2

T

2

T

2

0

2

T

2

T

0 f(t)dtT

1

2

a

2

T

dtT

tn2cos).t(f

T

tn2cos

T

tn2cos,f

a

2

T

2

T

2n NndtT

t2nf(t).cos

T

2a

2

T

2

T

n

2

T

dtT

tn2sen).t(f

T

tn2sen

T

tn2sen,f

b

2

T

2

T

2nNndt

T

t2nf(t).sen

T

2b

2

T

2

T

n

Como )t(Slim)t(f mm

resulta:

1n

nn

0

T

t2nsenb

T

t2ncosa

2

af(t) (I)

El error cuadrático medio está dado por

m

1n

2n

2n

20

T/2

T/2

2m ba

2

1

4

adtf(t)

T

1ε

Como el limm

m

0

1n

2n

2n

20

T/2

T/2

2ba

2

1

4

adtf(t)

T

1 Identidad de Parseval

El término a0/2 es el valor medio de la función en el intervalo. Cada uno de los

términos de la serie (I) es periódico en t con período T. Cuando la serie converge a f(t)

en el intervalo fundamental

2

T,

2

T converge a una función periódica de período T


106

que coincide con f en el intervalo fundamental, es decir, la serie representa la extensión

periódica de f para todos los valores de t. En el caso de que f(t+T) = f(t), la serie

representa a f para cualquier valor de t cuando la representación es válida en el intervalo

fundamental. Sintetizando, la serie de Fourier (I) : a) representa una función definida

en el intervalo

2

T,

2

T para valores de t en ese intervalo, o b) representa una función

periódica, con período T, para todos los valores de t. Evidentemente no puede

representar una función para todo valor de t si la función no es periódica.

Ejercicio: Hallar la serie de Fourier correspondiente a la función

t0sit

0tsi0)t(f

en el intervalo ,

Serie compleja de Fourier

Sea

2

T,

2

TQ , T>0, con B = Zne

tjnw0 ortogonal. La suma parcial de Fourier está

dada por:

m

mn

tjnw

nm0ec)t(S y los coeficientes se deducen a partir de la definición:

T

dte).t(f

e

e,fc

tjnw

2tjnw

tjnw

n

0

0

0

Zn,dtf(t).eT

1c

2

T

2

T

tjnw

n0

Si n = 0

2

T

2

T

0 f(t)dtT

1c

Como )t(Slim)t(f mm

resulta : T

2πwcon.ecf(t) 0

n

tjnw

n0

El error cuadrático medio está dado por

2m

mnn

T/2

T/2

2m cdtf(t)

T

1ε

Como el limm

m

0

n

2

n

2

T

2

T

2cdtf(t)

T

1 Identidad de Parseval

Ejercicio:

Sea la señal periódica f(t) representada por la figura:


107

f(t)

t

A

-5d -2d -3d -d -d d d 3d 2d 5d

2 2 2 2 2 2

T

Calculamos la serie exponencial de Fourier:

ZndtetfT

c

T

T

tjnw

n

,).(

12/

2/

0

En los intervalos: dt2/deny2/dtd la función f(t) = 0, por lo tanto

resulta:

2/d

2/d

tjnw

n dte.Ad2

1c 0 y resolviendo la integral, se llega a:

Zn,d

nwA

cn

2sinc

20 Por lo tanto la serie es:

tjnw

0

n

n

0e.2

dnwsinc.

2

A)t(f

que converge en

2

T,

2

T. En los puntos donde f(t) es discontinua, la serie converge al

promedio de los límites laterales, es decir:

2

dtsi

2

Ae.

2

dnwsinc.

2

A tjnw

0

n

n

0

2

dtsi

2

Ae.

2

dnwsinc.

2

A tjnw

0

n

n

0

En este caso la identidad de Parseval viene dada por la fórmula:

n

2

n

2/T

2/T

2cdt)t(f

T

1

La integral se calcula fácilmente:

2/d

2/d

22

2

AdtA

d2

1 y los coeficientes de Fourier cn ya

fueron calculados, por lo tanto después de hacer el módulo al cuadrado, resulta la

identidad:

n

0

222

2

dnwsinc

4

A

2

A 2

2

dnwsinc

n

0

2

Si tomamos un caso particular, por ejemplo, T = 2d d2

T , como se muestra en la

figura. Tenemos entonces que: dT

w

2

, 0. Los coeficientes y la correspondiente

serie para la señal f(t)toman las

siguientes formas:

f(t)

t

A

-5d -2d -3d -d -d d d 3d 2d 5d

2 2 2 2 2 2

T


108

ZnnA

cn

,

2sinc

2

dtjnn

n

encA

tf 7.2

sin.2

)(

, .

También se puede hallar la serie trigonométrica de Fourier.

Considerando la expresión de los coeficientes tendremos que:

0b,Nn,2

nsen

n

A2a,Aa nn0

.

Finalmente se puede escribir la serie trigonométrica correspondiente:

2

T,

2

Tt,

d

tncos.

2

nsen

n

A2

2

A)t(f

1n

Relación entre los coeficientes de la serie exponencial y la serie trigonométrica

Sea

2,

2)(

TTtparadefinidatf real y el desarrollo en serie exponencial

(compleja) de Fourier T

TTtectf

n

tjnwn

2,

2,

2,.)( 0

0

, donde

2/

2/

0).(1 T

T

tjnn dtetf

Tc

. Entonces:

Si n = 0 2

adt)t(f

T

1c 0

2/T

2/T

0

2

ac 0

0

Si n N dt.tnwsenjtnwcos).t(fT

1c

2/T

2/T

00n

cn =

nn b

2

1

2/T

2/T

0

a2

1

2/T

2/T

0 dt.tnwsen).t(fT

1.jdt.tnwcos).t(f

T

1

, de donde: Nnjba2

1c nnn (A)

Ahora calculamos los c-n , con n N

2/T

2/T

tjnw

2/T

2/T

tw)n(j

n dte).t(fT

1dte).t(f

T

1c 00 . Haciendo un análisis similar al caso

anterior resulta: Nnjba2

1c nnn (B)


109

De (A) y (B) se deduce: Nncc nn . Para indicar el conjugado de cn también se

utiliza la siguiente simbología: *ccn

Con las fórmulas que hemos hallado se obtiene la serie exponencial de Fourier a partir

de la forma trigonométrica de la serie de Fourier.

Utilizando las mismas fórmulas se puede pasar de la forma exponencial a la

trigonométrica.

Es decir: 00 c.2a , nnn cca , nnn cc.jb , Nn

Ejercicio:

Serie de Fourier de un tren periódico de impulsos unitarios

El tren periódico de impulsos unitarios es una función muy útil, la simbolizamos: )t(T

De este modo:

n

T )nTt()t( . Gráficamente:

t

g(t)

T 2T-T-2T

Proponemos,

1

000

2 nnnT tnwsen.btnwcos.a

a)t( , y calculamos los

coeficientes a fin de escribir la serie trigonométrica de Fourier.

Tdtt

T

adttg

Ta

T

T

T

T

1)(

1

2)(

22/

2/

0

2/

2/

0 T

a 1

2

0

Ttnwcos.

Tdttnwcos).t(

Ta

t

/T

/T

on

22200

2

2

T

an

2

022

00

2

2

t

/T

/T

on tnwsen.T

dttnwsen).t(T

b 0nb

En consecuencia, la serie es:

1

0

21

n

T tnwcosTT

)t(

Hallar la serie exponencial del tren de impulsos: . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Otros ejemplos de series de Fourier para señales comunes, se muestran en la tabla

siguiente:

)(t )( Tt

)2( Tt )( Tt

)2( Tt


110

Forma de onda C0 Cn, n≠0

Onda

cuadrada

0

Si n impar

Cn=n

Xj

02

Si n par

Cn= 0

Diente de

Sierra

X0/2

Para todo n

Cn= n

Xj20

Onda

Triangular

X0/2

Si n impar

Cn= 2

02

n

X

Si n par

Cn= 0

Onda

Rectificada

2X0/

Para todo n

Cn=

124

02

n

XnC

Onda con

media

Rectificación

X0/

Si n impar

,/jXC

,/jXC

4

4

01

01

Cn= 0 (n≠±1)

Si n par 12

0

n

X

Onda

Rectangular

Para todo n

Cn=

Tren de

impulsos

0

0

T

X

Para todo n

Cn= 0

0

T

X


111

RESPUESTA PERMANENTE DE UN SISTEMA LINEAL

A UNA FUNCIÓN PERIÓDICA

La respuesta de un sistema lineal con función H(j) a una función T-periódica, es

una función T-periódica.

Sea un SLIT cuya respuesta al impulso es h(t). Según vimos en el capítulo

anterior la respuesta a una entrada x(t) es : dτ)x(t . hy(t)

. Si la entrada es

una exponencial compleja de la forma tje , definida para todo t, la respuesta

estacionaria o “permanente” del sistema es:

jH.ede).(h.ede.)(h)t(y tjj.tjtj ,

donde )( jH es la función del sistema y es un número complejo para cada valor

determinado de .

Para hallar la respuesta y(t) de un SLIT a una entrada periódica que puede

representarse por una serie de Fourier,

n

tjnnn e.c)t(f 0

, utilizamos la propiedad

de superposición de un SLIT . Como para cada entrada de frecuencia n0 la salida es

H(j n0) e j n0 , entonces, la salida para f(t) será:

n

tjnn e).jn(Hc)t(y 0

0

La última ecuación nos dice que la señal de salida es una suma de exponenciales

con coeficientes )( 0jnHcd nn . Nótese que como )( 0jnH es una constante

compleja para cada valor de n, la salida es también periódica y sus coeficientes de

Fourier son dn. Por otro lado, como la frecuencia fundamental de y(t) es 0 , que es

también la frecuencia fundamental de f(t), los períodos de las dos señales son iguales.

Por lo tanto,

la respuesta SLIT a una entrada periódica de período T

es periódica con el mismo período.


112

SIMETRÍA DE ONDAS PERIÓDICAS

Funciones pares e impares

Recordemos que:

- f(t) definida en

2

T,

2

T es par f(t) = f(-t)

- f(t) definida en

2

T,

2

T es impar f(t) = - f(-t)

Y que toda función f(t) arbitraria definida en

2

T,

2

T puede escribirse como la suma

de una función par (fp) y una impar(fi).

Demostración:

)t(f)t(f2

)t(f)t(f

2

)t(f)t(f

2

)t(f)t(f)t(f)t(f

2

)t(f)t(f

2

)t(f.2)t(f ip

)t(f)t(f ip

Ejercicio: Demostrar que t R : ip ff

t )tsenh()tcosh(e .

Observar que, para f(t) y g(t) funciones definidas en

2

T,

2

Tse cumple que:

1. Si f(t) y g(t) son pares, entonces su producto es par.

2. Si f(t) y g(t) son impares, entonces su producto es par.

3. Si f(t) es par y g(t) es impar, entonces su producto es impar.

4.

Influencia de la simetría en la serie exponencial de Fourier

Si f(t) es real y par, entonces los cn R, n Z con T

2πω 0

2/T

2/T

0

2/T

2/T

0n dt.tnwsen).t(fT

1jdt.tnwcos.)t(f

T

1c

2/T

2/T

0n dttnwcos).t(fT

1c

Como se observa los cn son reales n Z.

Si f(t) es real e impar, entonces los cn son imaginarios puros, n Z con

T

2π0ω

2/T

2/T

0

2/T

2/T

0n dt.tnwsen).t(fT

1jdt.tnwcos.)t(f

T

1c

2/T

2/T

0n dttnwsen).t(fT

1jc

Como se observa los cn son imaginarios puros n Z.


113

Influencia de la simetría en la serie trigonométrica de Fourier

Si f(t) es real y par, su serie de Fourier es de la forma:

1n T

t2nπ.cosna

20a

f(t) n N

Pues:

2/T

2/T

0 dt)t(fT

2a

T/2

0f(t)dt

T

40a

2/T

2/T

n dtT

tn2cos).t(f

T

2a

T/2

0dt

T

t2nπf(t).cos

T

4na y bn = 0 n N

Si f(t) es real e impar, su serie de Fourier es de la forma:

1n T

t2nπ.sennbf(t) n N

Pues: 0aa n0 y T/2

0dt

T

t2nπf(t).sen

T

4nb

Además, como para toda f(t) , f(t) = fp(t)+fi(t) será:

1n

0n0

p tnwcos.a2

a)t(f y

1n

0ni tnwsen.b)t(f

Aplicaciones

1) Desarrollos en serie de Fourier para señales definidas en

2

T0, , T > 0

Una señal cualquiera, definida en un intervalo, puede expresarse en ese intervalo

mediante diferentes series, según se proponga lo que llamaremos una extensión

par de la misma o una extensión impar.

Extensión par e impar

f(t)

2

T,0 y se puede extender de forma par o impar a

0,

2

T

La extensión par a

2

T,

2

T será:

02

20

,T

tsi)t(f

T,tsi)t(f

)t(f

Como )t(f es par, su desarrollo en serie de Fourier tendrá las características

correspondientes a toda señal par:


114

La extensión impar a

2

T,

2

T será:

02

002

0

,T

tsi)t(f

tsi

T,tsi)t(f

)t(f

Su desarrollo en serie de Fourier es el mismo que corresponde a las funciones impares.

Ejemplo: Dado el pulso de la figura, encuentre las series trigonométricas que

representan : a) la extensión par del mismo , b) la extensión impar del mismo

Solución

a) 1)sin()cos(22

cos..24

a22

2/

0

n

nnn

n

Adt

T

ntt

T

A

T

T

; 0bn

b) 0a n ; )cos(.)sin(22

..24

b22

2/

0

n nnnn

Adt

T

ntsent

T

A

T

T

0 T/2 t

--

_A


115

2) Relación entre los coeficientes de una señal desplazada

Sea f(t) = g(t-a) . Se supone que se sabe que :

n

tjnwn e'c)t(g 0 ,

Entonces será:

n

tjnwajnwn

n

)at(jnwn ee'ce'c)at(g)t(f 000

Y la serie de Fourier

de f(t) resulta

n

tjnwnec)t(f 0

con ajnw

nn e'cc 0 .

Ejemplo: Halle los

coeficientes de la serie

de Fourier de un tren

de pulsos rectangulares desplazado, f(t-d/2).

Simetría de media onda

Sea f(t) definida en

2

T,

2

T, se dice que tiene simetría de media onda si:

2

Ttff(t)

Gráficamente, se debe notar que la porción negativa de la onda es el reflejo de la

porción positiva, desplazada horizontalmente medio período.

Ejercicio:

Si una función periódica f(t) tiene simetría de media onda, demostrar que:

2

Ttf)t(f . Al ser f(t) periódica, de período T, se puede escribir:


116

)t(f2

TtfT

2

Ttf

2

Ttf

según la definición de simetría de media

onda. En consecuencia:

2

Ttf)t(f

Propiedad: La serie de Fourier de una función periódica f (t) con simetría de

media onda, contiene solamente armónicas impares.

Las fórmulas se pueden deducir, aplicando la definición de simetría de media onda en el

desarrollo de la serie trigonométrica de Fourier.

2n 1 0 2n 1 0

n 1

a cos(2n 1)w t b sen(2n 1)w tf(t)

con a2n = 0 ,

b2n=0

T

2

2n 1 0

0

4a f(t)cos(2n 1)w t dt

T

T

2

2n 1 0

0

4b f(t) sen(2n 1)w t dt

T n N

ESPECTRO DISCRETO DE FRECUENCIA

Si f(t) es una función periódica, de período T, la serie trigonométrica de Fourier

1

000

2n

nn tnwsen.btnwcos.aa

)t(f , muestra a f(t) como una suma de armónicas de

frecuencia n0, donde la componente de cada armónica es: twbtnwa nn 00 nse.cos. ,

siendo T

π20

la frecuencia fundamental y n un múltiplo entero de la

frecuencia de la armónica fundamental.

Los coeficientes complejos de Fourier dados por dte).t(fT

c

/T

/T

tjnwn

2

2

01

, los

representaremos ahora por Fn, pero como estos coeficientes dependen de n y , lo

indicamos como:

Zn,dte).t(fT

)nw(F

/T

/T

tjnw

2

2

00

1

La frecuencia = n0, con n Z, se llama frecuencia discreta.

Si bien puede tomar valores negativos: - 0, -2 0,......., estos valores de frecuencia

no existen desde el punto de vista físico y surgen al efectuar un modelo matemático

complejo de la descomposición espectral de una señal periódica f(t).

El espectro discreto de frecuencias de una función periódica f(t) es el conjunto de

valores: Zn,0 )F(nω , que es un conjunto discreto.

De todo lo desarrollado, se puede concluir que se considera que existen dos formas de

representar una señal:


117

1) En el dominio temporal: la función queda definida por su ecuación

funcional.

2) En el dominio frecuencial: la función queda definida por su espectro de

frecuencia discreta.

El conjunto de los segmentos que representan los valores de )F(nω0 se llama espectro

de línea, y la curva que une los extremos de estos segmentos, se llama envolvente del

espectro.

En general )F(nω0 es un número complejo, del que se conoce su módulo y su

argumento: )n(j

e.)n(F)n(F 0

00 . A )n(F 0 se lo llama espectro discreto de amplitud.

y a )n(Farg)n( 00 se lo llama espectro discreto de fases.

Ejemplo1: Se desea encontrar el espectro discreto de frecuencias y graficar el espectro

de amplitud y el de fase de la señal definida como

tsit

tsitx

0

00)( , y

x(t)=x(t+2) t . Entonces la señal en el dominio temporal puede graficarse como se

muestra en la siguiente figura:

Su espectro discreto está dado por:

0

00

2

1)( dtetnX

tjn para 1/20 T .

Operando obtenemos:

imparn

parn

n

nj

n

nnXX

,

,

2

)cos(

2

1)cos()(;

4)0(

20

Calculando la amplitud y la fase, se obtienen las figuras siguientes

Espectro Discreto de Amplitud nX Espectro Discreto de fase nθ

n n

π

π

x(t)

t 3π -2π -π 2π


118

Ejemplo 2: Sea f(t) la señal dada por la figura:

2

d-5d

2-d-2d -3d

2

-d

2

T

A

f(t)

2dd 3d

2

5d

2t

Los coeficientes de Fourier de f(t), calculados anteriormente están dados por:

dT;Zn,dn

csin.T

Adcn 2

2

0

. Entonces el espectro de frecuencia

discreta de f(t) es: Zn,2

dnsinc

T

Ad)F(n 0

0

,

el que también puede escribirse como: Zn,T

ndsinc

T

Ad)F(n 0

.

Tomemos valores particulares para d y T.

I)

421

2

5

1

2

1

10

10

/y

T

dT;d por lo tanto:

52

0 ndn , así:

Zn,5

nsinc

5

A)F(n 0

Si calculamos los ceros de

5

nsinc , es k5n0Zk,k

5

n

,

por lo tanto:

020455 0 Zk,k.k.k

n

.

La representación gráfica del espectro de frecuencia discreta F(n 0) es:

envolvente

F(nW0)

espectro de línea

A

nW0

5

0 20 40

F(n0)

……… ………


119

El espectro de amplitud es: Zn,5

πnsinc.

5

A)F(n 0

y su representación

gráfica:

|F(nW0)|

5A

nW0

Para graficar el espectro de fase, debemos tener en cuenta que 0 n es una función

impar, propiedad que se demostrará más adelante. Además:

knk

nnn 54

20

00

Con estas observaciones y teniendo en cuenta que en este ejemplo, el espectro de

frecuencia discreta es un número real, resulta:

nW0

F (nW0)

II)

21

2

101

10

10 y

A

T

AdT;d por lo tanto:

102

0 ndn , así:

Zn,10

nsinc

10

A)F(n 0

Si calculamos los ceros de

10

nsinc tenemos: 0,20,10 Zkkkn

F(nW0)

10A

nW0

40 20 0 20 40 0

• • • • • • • • • • • • • • • •

40 20 20 40 0

…… …….

40 20 0 20 40 0

…… …….


120

PROPIEDADES DEL ESPECTRO DISCRETO DE FRECUENCIAS

1) Simetría de los espectros de amplitud y de fase

El espectro de amplitud de una función real periódica f(t) es una función par de

“n0” y el espectro de fase es una función impar de “n0”.

Demostración Recordamos la propiedad ya vista de los coeficientes complejos de la Serie de

Fourier: nn cc . Entonces:

Zn,dte).t(fT

)n(F

T

T

tjn

2

2

00

1 , por lo tanto podemos expresar que:

1-1) )n(F)n(F 00 , si tomamos el módulo en ambos miembros queda:

)n(F)n(F)n(F 000 en consecuencia el espectro de amplitud es

una función par de “n0”.

1-2) Al ser F(n0) un número complejo conocemos su módulo y argumento, por lo

tanto si partimos de la misma propiedad que en 1-1) y expresamos según su

módulo y argumento, resulta:

)n(F)n(F 00

)n(j)n(je.)n(Fe.)n(F 00

00

En esta igualdad se verifica que los módulos son iguales, según lo demostrado

en el inciso anterior, )n(F)n(F 00 , y los argumentos también, es

decir:

(- 0n ) = - ( 0n ) ( 0n ) = - (- 0n ) .

En consecuencia, el espectro de fase es una función impar. Obsérvese que

si n = 0 también se verifica la propiedad.

2) Función trasladada en el tiempo

Si f(t) es una función periódica (real) de período T y t0 R, entonces el espectro de

amplitud de f(t-t0) es: )F(n 0 y el espectro de fase es: 0000 tnnn


121

ESPECTRO DE POTENCIA

Si recordamos la definición ya vista, podemos afirmar que la potencia media asociada

a una señal periódica f(t), se define como:

T/2

T/2

2

m dtf(t)T

1P ,

fórmula que permite calcular, en el dominio del tiempo, la potencia de una señal.

Ejercicio: Si f(t) = A.ej(t + ) Pm = 2

A .

Calcularemos ahora la potencia de una señal, operando en el dominio de la frecuencia.

Si f(t) es una señal periódica de período T, entonces la descomposición de f(t) en

armónicas complejas de frecuencia “n0” con n Z, está dada por el desarrollo de f(t)

en serie exponencial de Fourier, o sea:

tjn

neF)t(f 0 donde

2

2

01

T

T

tjnn e).t(f

TF

. Como el sistema Zn,etjn

0 es completo, se cumple la

identidad de Parseval, o sea que:

1

n

2

n

n 1n

2

n

2

0

2

n

2

T

2

T

2FFFFdt)t(f

T

1

En la última sumatoria hacemos un cambio de variables, tal que nn ,

entonces

1n

2

n

1

n

2

n FF y nuevamente cambiamos nn , y nos queda:

1n

2

n

1n

2

n

2

0

2

T

2

T

2FFFdt)t(f

T

1,

ya que el espectro de amplitud es una función par, podemos escribir:

1n

2

n

2

0

1n

2

n

1n

2

n

2

0

2

T

2

T

2F2FFFFdt)t(f

T

1, finalmente:

1n

2

n

2

0

2

T

2

T

2F2Fdt)t(f

T

1


122

Esta ecuación indica que la potencia media total de f(t) se puede calcular sumando

todas las potencias medias asociadas a cada componente de frecuencia “n0” de f(t) .

El conjunto de las potencias de las componentes, 2

nF , como función de “n0” se llama

espectro de potencia de f(t). O sea el espectro de potencia de f(t) es Zn,F2

n .

Al igual que con el espectro de frecuencia discreta de una señal periódica de período T,

aquí también tenemos el espectro de línea de potencia media de f(t) y la curva de

ecuación 2

)( F será la envolvente del espectro de potencia media.

Ejercicio

1) Hallar analítica y gráficamente el espectro de potencia media, e indicar el correspondiente

espectro discreto y su envolvente, para la señal representada en la figura.

2) ¿Qué porcentaje de la potencia total está contenida hasta el primer cruce en cero de

la envolvente del espectro de f(t)? ¿Y hasta el cuarto?

3) Calcule el error cuadrático medio entre la señal exacta y su aproximación con una

serie de Fourier truncada.

T=1

-1

40

A=1

f(t)

T t

4

4-1

41=1

8240

=1

2

d

2

-T

Respuestas: 1) Espectro de potencia media:

Zn,

5

nsinc

25

1 2

Envolvente del espectro:

4025

1 2 csin .

2) Representan el 90,3% y el 97.5% de la mP de la señal f(t).


123

OTRAS PROPIEDADES DEL ESPECTRO DISCRETO DE FRECUENCIAS

3) Diferenciación en el tiempo

Si f(t) es una función periódica, de período T que admite derivada seccionalmente

continua en

2

T,

2

T hasta el orden k inclusive,

2

Tf

2

Tf 1k)1k( para k N,

entonces el espectro de frecuencia discreta de ),n(F.jn)t(fkk

00 n Z.

Si

tjn

n

tjn

n

e.)n(F.jn)t(fe.)n(F)t(f 00

000

10

00

k,e.)n(F.)jn()t(ftjn

n

kk

4) Integración en el tiempo

Sea f(t) una función periódica de período T, continua y

t

dx)x(f)t(g , entonces

g(t) es una función periódica, de período T si y sólo si

2

T

2

T

dt)t(f = 0 y su espectro de

frecuencia discreta es:

2

2

0

0

0

01

0

0

T

T

n,dt)t(gT

)(G

n,jn

)n(F

)n(G

5) Desplazamiento en frecuencia

Sea f(t) una función periódica de período T y a Z entonces la función

)t(f.e)t(gtja 0

es periódica de período T y su espectro de frecuencia discreta es:

Zn,anF)an(F)n(G 0000

6) Convolución en frecuencia

Si f(t) y g(t) son funciones periódicas de período T y f(t).g(t) es una función de

período T>0, entonces el espectro de frecuencia discreta de h(t) = f(t).g(t) es:

H(n0) = F(n0) * G(n0) =

k0.kn).G0F(k , n Z.


124

7) Convolución periódica en el tiempo

Si f(t) y g(t) son funciones periódicas, de período T, pertenecientes al

2

T,

2

TQ ,

entonces la función

2

2

1

T

T

dx)x(g).xt(fT

)t(h (A) es continua en

2

T,

2

T, es

periódica de período T y su espectro de frecuencia discreta es :

H(n0) = F(n0).G(n0)

Ejercicio

Sean las señales periódicas f(t) y g(t) indicadas en las gráficas, se pide:

a) Calcular la convolución periódica de f(t) y g(t)

b) Encontrar el espectro de frecuencia discreta de h(t), definida como el resultado de a)

c) Verificar el espectro obtenido en b), mediante el teorema de convolución en el

tiempo.

T

a

f(t)

t

T

a

g(t)

t

-a

Respuestas:

t2

)t(2

a2

t2

t2

a2

t)t(2

a

)t(h

2

2

2

a)

00

0222

2

0

n

nn

senn

aj

)n(H

c) Zn,n

csina

)n(F

220

0n

2

ncos1

n

ja

0n0

)nw(G 0

2 2

2

2

2 2

2

2


125

Una vez hecho el producto en frecuencia se obtiene )n(H 0 igual que en b).

Resolución del a)

T

a

f(t)

t

-a

a

t

-a

a

t

Si

tt2

30

2 No tiene sentido ya que las variaciones de

Si 22

0

tt

a

t

Si 022

tt

a

t

Si 2

02

3 tt

2

2

2

2

t

t

t2

t2

g tg

t2

2

2

t

t

t2

t2

2

2

t

t

t2

T

a

g(t)

t

-a

2

2

dtgfdtgfT

th

T

T

)()(2

1)()(

1)(

2

2

t

ta

d)a(a)t(h 2

2

22

2

22

1

)(2

)(2

ta

th si 2

t

t

t

t

dadath2

2

2

2 )(2

1)(

ttatath

222

1)( 22

222

1)( 222

aatath

2)(

2tath si 0

2 t

,t


126

a

t

Si

tt2

22

3

a

t

Si ,232 ttt

,2

3

22 ttt

,2

3

20 ttt

Finalmente:

t2

sit2

a

2t

2si

2

ta

2tsi)t(

2

a

th

2

2

2

h(t)

t

2

2

2

2

t2

t

t

t2

t2

2

2

t

t

t2

2

2

2

2

1)(

t

dath

t

at

ath

2222)(

22

ta

th 2

)(2

si

t2

2

t

2

t

t2

2 d)a(da2

1)t(h

tattath

222

1)( 22

2)(

2tath si

20

t


127

RESUMEN DE FÓRMULAS

Serie exponencial o compleja de Fourier

f(t) = n

0jnw t

c en

donde

T

2

n

T

2

0jnw t1

f(t).e dtT

c

y 0

2πw

T


n 0 n 0

n 1

0 a cos(nw t) b sen(nw t)a

f(t)2

con

T

2

0

T

2

2a f(t)dt

T

;

T

2

n 0

T

2

2a f(t)cos(nw t) dt

T

T

2

n 0

T

2

2b f(t)sen(nw t) dt

T

Si f(t) es par:

n 0

n 1

0 a cos(nw t)a

f(t)2

con :

T

2

0

0

4a f(t)dt

T ;

T

2

n 0

0

4a f(t)cos(nw t) dt

T ; bn= 0

Si f(t) es impar:

n 0

n 1

b sen(nw t)f(t)

con : a0 = an = 0 ;

T

2

n 0

0

4b f(t) sen(nw t) dt

T

Si f(t)tiene simetría de media onda contiene solamente armónicas impares

2n 1 0 2n 1 0

n 1


con a0 = 0

T

2

2n 1 0

0


T

T

2

2n 1 0

0


T

Identidad de Parseval

Si utilizamos la serie compleja de Fourier:

n

2

n

2

T

2

T

2cdtf(t)

T

1

Si utilizamos la serie trigonométrica de Fourier:

1n

2

n

2

n

2

02

T

2

T

2ba

2

1

4

adtf(t)

T

1


128

Transformada de Fourier


129

Espectro de frecuencias de un tren de pulsos rectangulares

(c)

Pulso rectangular y su transformada de Fourier

f(t)= A Pd(t) F() = d A sinc (d/2)


130

1. Motivación: El dominio de la frecuencia

Se ha considerado hasta ahora, el análisis de sistemas fundamentalmente en el dominio

del tiempo, es decir cuando las señales de entrada y salida se representan como

funciones del tiempo. Sin embargo, a menudo es más conveniente analizar señales y

sistemas cuando están representados en el dominio de la frecuencia. El dominio de la

frecuencia es probablemente el concepto más importante en la teoría de señales y

sistemas.

Para llevar a cabo el análisis en el dominio de la frecuencia, haremos uso de la

Transformada de Fourier , operación matemática que tiene una multitud de

aplicaciones en muchas áreas de la ciencia e ingeniería: el procesamiento de señales,

la teoría de la probabilidad, la óptica, la propagación de ondas y otras áreas.

La rama de la matemática que estudia T. de Fourier y sus generalizaciones es

denominada análisis armónico.

La T. de Fourier goza de una serie de propiedades de continuidad que garantizan que

puede extenderse a espacios de funciones mayores e incluso a espacios de funciones

generalizadas.

En procesamiento de señales la transformada de Fourier suele considerarse como la

descomposición de una señal en componentes de frecuencias diferentes. Puede decirse

que es básicamente el espectro de frecuencias de una función. Un buen ejemplo de eso

es lo que hace el oído humano, ya que recibe una onda auditiva y la transforma en una

descomposición en distintas frecuencias (que es lo que finalmente se escucha). El oído

humano va percibiendo distintas frecuencias a medida que pasa el tiempo, sin embargo,

la transformada de Fourier contiene todas las frecuencias contenidas en todos los

tiempos en que existió la señal; es decir, en la transformada de Fourier se obtiene un

sólo espectro de frecuencias para toda la función.

Recordemos algo sobre Sistemas lineales e invariantes en el tiempo (SLIT )

1. Considere que la entrada del sistema es una señal x(t) cualquiera. La salida será:

)]([)( txLty

que es una forma de escribir la relación matemática que vincula la entrada con la salida,

la que está estrictamente dada por una ecuación diferencial ordinaria del tipo:

ad y t

dta

d y t

dta y t b

d x t

dtb

d x t

dtb x tn

n

n n

n

n m

m

m m

m

m

( ) ( )( )

( ) ( )( )

1

1 0 1

1

1 0

Llamando: Dd

dt , A D a D a D an

nn

n( )

11

0 y B D b D b D bmm

mm( )

11

0

resulta la forma operacional : y t H D x t( ) ( ) ( ) ,

donde H DB D

A D( )

( )

( ) : es la “función operacional del sistema”.

2. Si la entrada del sistema es una señal x(t) exponencial imaginaria:

x t e j t( ) con

2

T

se puede ver que y t L x t k e k x tj t( ) [ ( )] ( )

http://es.wikipedia.org/wiki/Procesamiento_de_se%C3%B1ales

http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_la_probabilidad

http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%93ptica

http://es.wikipedia.org/wiki/Propagaci%C3%B3n_de_ondas

http://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_arm%C3%B3nico

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_generalizada

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_generalizada

http://es.wikipedia.org/wiki/Frecuencia


131

es la solución de régimen permanente del sistema, ya que se supone que la entrada

existe todo es tiempo, donde además )( jHk es un número complejo para cada

frecuencia .

A )( jH = )()( jejH se lo conoce como “Función del Sistema”.

Se llama función característica o autofunción del sistema a la función que

produce una salida proporcional a la entrada. Por lo tanto las autofunciones de

los LTI son las funciones x t e j t( ) .

Importante: El sistema lineal no modifica la frecuencia de la entrada. Es decir, si la

entrada era periódica, de período T, la salida será una función periódica del mismo

período.

3. Sea la entrada del sistema una señal x(t) periódica

Si x t x t T C ekjk t

k

k

( ) ( )

0

Aplicando el principio de superposición se obtiene:

y t C L e C H jk e C H jk ekjk t

k

k

kjk t

k

k

kj k t k

k

k

( ) [ ] ( ) ( ) ( ( ))

0 0 0 00 0

Nuevamente se observa que la salida es una función del mismo período que la entrada.

La respuesta del sistema se ha calculado como la suma de las respuestas debidas a cada

componente { }e jk t0 de la señal de entrada, y se ha observado la conveniencia que esto

representa por el hecho de que encontrar la respuesta de un LTI para entradas de este

tipo es muy sencillo.

Sin embargo, hay que recordar que la serie exponencial de Fourier proporciona un

método de descomposición de una función f(t) en términos de suma de componentes

elementales de la forma { }e jk t0 , pero se puede emplear solamente para señales que

son:

1) periódicas, f(t)=f(t+T) , en cuyo caso la representación es válida en (-, )

2) aperiódicas, en cuyo caso la representación es en un intervalo finito (a,b). La

extensión periódica de f(t) se obtiene fuera de (a,b).

¿ Es posible obtener una representación de funciones aperiódicas en (-, ) a partir del

mismo sistema base { }e jk t0 ?

Conteste: ¿Podrían ser éstos LTI?

Sen (t) cos (t+20)

???

0.25 Sen (10t) cos (5t)

???


132

2. La Transformada de Fourier

La T. de Fourier es una de las técnicas de procesamiento de señales más usadas.

Es una transformación matemática que sirve para encontrar la representación

frecuencial de una señal a partir de su representación temporal. Una vez en el dominio

frecuencial, es posible analizar el “contenido de frecuencia” de la señal, es decir, la

proporción relativa de las diferentes frecuencias presentes en la misma.

dtetfFtftj )()()}({F (1)

)}({=)(2

1=)( 1-

FdeFtf

tj F

(2)

Las dos expresiones recuadradas definen la Transformada de Fourier, y la Transformada

inversa de Fourier, respectivamente. Se las llama normalmente Pares transformados, y

se las representa mediante la notación:

)(Ftf )( (3)

La expresión (2) se interpreta como la descomposición de f(t) en términos de una suma

continua de funciones elementales ej t

.

A F( ) se lo llama espectro continuo de frecuencia de f(t). En general,

F( ) será una función compleja de la variable real y por lo tanto se puede escribir de

la forma

F F e j( ) ( ) ( ) (4)

donde: F( ) es el espectro de amplitud de f(t)

( ) es el espectro de fase de f(t).

Se utiliza también normalmente la notación: F R jX( ) ( ) ( )

donde: R() = Real [F()] y X() = Im [F()]

Forma trigonométrica: F f t t dt j f t t dt( ) ( ) cos( ) ( ) sen( )

donde, en el caso mas general f(t): R C

Importante: No todas las funciones se pueden desarrollar en suma continua de

exponenciales complejas ej t

.


133

Teorema de la integral de Fourier

Si f(t) definida en - < t < cumple con las condiciones de Dirichlet, es decir

es:

1) en todo intervalo:

acotada

tiene un número finito de máximos y mínimos

tiene un número finito de discontinuidades

2) absolutamente integrable en R, es decir:

f t dt( )

entonces, la T. de Fourier existe y es única, y también existe su transformada inversa, es

decir:

ff FF 1- , (6)

siendo F y 1-F operadores lineales que representan las transformaciones ya

expresadas en las ecuaciones (1) y (2).

Demostración:

x

-

ddtxj

exfddxtxj

exf

dtjedxxj

exfdtjeFtf

)()(

2

1)()(

2

1

)(2

1)(

2

1)(1FF

dxtx

txlimxfdxd

txjelimxf

)(

)(sen2)(

2

1)()(

2

1

)t(fdx)tx()x(f

dx)tx(csinlim)x(fdx)tx(csinlim)x(f

2

122

2

12

1

2

1

Observar que las condiciones de Dirichlet son condiciones suficientes, pero no

necesarias. Muchas señales útiles no cumplen estas condiciones, como las señales de

potencia, y sin embargo se podrán analizar mediante la T. de Fourier, como se verá más

adelante.

Transformada de algunas señales de energía sencillas

Ahora se considerarán varios ejemplos de transformadas de Fourier de señales de

energía sencillas a fin de dar una idea de cómo obtener el espectro continuo de

frecuencia para una función f(t).


134

Transformadas de Fourier de un pulso rectangular

Para la señal gd(t) de la figura:

a) Calcular y graficar el espectro de frecuencia contínua

b) Determinar el espectro de amplitud y el de fase y dibujarlos

c) Determinar la representación integral (de Fourier) de gd(t)

d) Expresar en forma trigonométrica la integral anterior y calcular su valor para t=0

La función pulso rectangular que se muestra en la FIGURA 1

tiene una ecuación dada por:

1, td /2

gd (t) =

0, los demás valores t

a) Su transformada, o espectro continuo de frecuencia Gd (), (FIGURA 2) , está dada

por:

Gd ()={gd (t)=

gd (t) e

-jt dt 2/dtj2/d

2/d

tj

2/d)j/(edte1

ωωω

= 2

2

/d

)/d(send

= d . sinc(d/2)

b) Asi ,el espectro de amplitud es: Gd ()=d sinc(d/2)

y el espectro de fase es:

0, sinc(d/2)>0

()= , sinc(d/2)<0 si >0

-, sinc(d/2)<0 si <0

FIGURA 1 FIGURA 2

-d/2 0 d/2

t

.gd(t)

1

-4/d -2/d 0 2/d 4/d

Gd()

d

. . . . . . . .


135

En este caso el espectro Gd () es un número real que puede ser positivo o

negativo .Los cambios de signo se pueden interpretar como cambios de fase de

radianes

La forma del espectro de la figura 6.2 depende de la forma de gd(t) .Sin embargo

empleando gd(t) y Gd() se puede ilustrar una propiedad muy general de los pares de

transformada .Como se demostró en capítulos anteriores, la mayor parte de la energía de

una señal periódica (potencia para el caso periódico) está contenida hasta el primer

cruce en cero de Gd().El primer cruce de Gd() en cero ocurre a una frecuencia =1/T

Hz. Si disminuye el ancho “d” del pulso, el primer cruce en cero se desplaza a una

frecuencia mayor . Por el contrario , si aumenta el ancho “d” del pulso , el primer cruce

en cero se acerca al origen. Esta es una propiedad general de todos los pares de

transformada tiempo-frecuencia. Mientras menor sea la duración de una señal de tiempo

,mas extenso será su espectro y viceversa . Este análisis se ampliará cuando se traten las

propiedades de la transformada.

c) la representación integral (de Fourier) de gd(t) es :

ded

csin.d)t(g tjd

22

1

d) y en su forma trigonométrica:

Entonces, gd(t=0)= 1= . . . . .

Transformadas de Fourier de un pulso exponencial

Sea, f(t)=A.e-at u(t), Real(a)>0. Su transformada de Fourier se deduce aplicando la

definición:

0

)(

0

)(

)()()()(

ja

AedteAdtetuAedtetfF

tjatjatjattj

ja

A

.

Como se ha visto, la función exponencial se emplea continuamente en el análisis

de sistemas lineales.

0

A


136

Los espectros de amplitud y fase aparecen en la figura 6.3. Las expresiones

analíticas para F( y se obtienen encontrando respectivamente la magnitud y el

ángulo de la función compleja F . Estas expresiones son

A

F( = ; = arctg - / a)

(a2 + 2 )1/2

Transformadas de Fourier de un pulso triangular

Un pulso triangular tiene una expresión analítica dada por:

tde valoresdemás los,0

btb

t1A

)t(f

a) Grafique la señal en el dominio temporal

b) Demuestre que el espectro contínuo de frecuencias es: A b sinc2(b/2).

c) Grafíquela y analice algunas características del espectro encontrado.

-/2

F(

-4 a -2 a 0 2 a 4a

/2

-4 a -2 a -2 0

2 4

a


137

Transformada de Fourier de funciones absolutamente integrables

Transformada de Fourier de funciones reales.

Si además de ser absolutamente integrable, f(t) es una función real, entonces se pueden

analizar varias propiedades:

1) dttjetfFf

)()(F . Luego, para f(t) real, F(0) representa el área

bajo la curva.

2) tdttfR cos)()(

y R() es una función par de

tdttfX sen)()(

y X() es una función impar de

Demostración:

)()()( sen)(cos)()( jXRF dtttfjdtttfdttjetf

Ahora, observemos que

R(-) = dtttfdtttf )cos()()cos()(

= R(), por ser el cost una función

par con respecto a .

Análogamente resultará que : X() = - X(-) , por ser el sent una función impar de .

3) )()( FF

Demostración: (por propiedad 2): F(-) = R(-) + j X(-)

= R() - j X()= )(F

4) - El espectro de amplitud )(F es una función par de .

- El espectro de fase )( es una función impar de .

Demostración: ………………….

………………….

5) La fórmula de inversión puede desarrollarse, en todos los casos, de la forma:

dtjeFtf )(

2

1)(

tdsen)(Xdtcos)(Rd)tjsent(cos))(jX)(R()t(f2

1

2

1

2

1 (7)


138

Trabajando algebraicamente la ec.(7), se ve que para funciones reales( f(t): R R ), se

anula la componente imaginaria, resultando entonces otra expresión para la fórmula de

inversión para funciones reales:

0

sen)(1

0

cos)(1

)(

dtXdtRtf (8)

Demostración: ………………….

………………….

6) Si f(t) es real y par de t , resultará que 0sen)()(

dtttfX

F() es real; y podrá calcularse como dtttfF cos

0

)(2)(

y su inversa, de acuerdo a ec.(8) puede escribirse como:

0

cos)(1

)(

dtRtf

7) Si f(t) es real e impar de t , entonces 0cos)()(

tdttfR

F() es imaginario puro . Luego: dtttfjF sen

0

)(2)(

y su inversa:

0

sen)(1

)(

dtXtf

La propiedad recíproca también es cierta:

-Si la T. de Fourier es real f es par.

-Si la T. de Fourier es imaginaria f es impar.

PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER

Como ya se ha dicho, la T. de Fourier es otro método de representación de una

función f(t). Estas dos descripciones son útiles en ingeniería porque, con frecuencia,

alguna de ellas es más fácil de emplear en una aplicación particular o es más intuitiva en

determinado problema. Por supuesto, la elección depende de cada caso. La

transformación entre los dos dominios es relativamente directa empleando las

definiciones. Sin embargo es útil estudiar el efecto que se produce en uno de los

dominios al operar en el otro. Esto no sólo permite pasar de un dominio a otro, sino

también observar ciertos aspectos físicos básicos de la señal y del sistema, que de otra

manera no se observarían (como la relación inversa entre el tiempo de duración y el

ancho de banda). Así, se podría preguntar, por ejemplo, ¿cuál es la relación entre las

transformadas de una función del tiempo y la integral de ella?. ¿Qué sucede a la inversa

de una función en el dominio de la frecuencia si ésta se traslada en frecuencia? En esta

sección se da respuesta a este tipo de preguntas, analizando algunas propiedades de la T.

de Fourier.

1) Linealidad La T. de Fourier es una operación lineal. Es decir, si


139

)()( 11 Ftf y )()( 22 Ftf

entonces, )()()()( 2121 bFaFtbftaf , con a y b constantes.

La comprobación de la ecuación anterior es inmediata, ya que las transformadas son

integrales de funciones del tiempo y la integración es una operación lineal.

2) Simetría o Dualidad

Observemos las ecuaciones de f(t) y su transformada F().

deFtf tj)(2

1)( ;

dtetfF tj )()(

Es evidente su simetría respecto a las variables t y . Esta simetría se puede emplear

provechosamente para ampliar la tabla de pares de transformada.

Si )()( Ftf

Entonces: )(2)( ftF

Comprobación:

Puesto que

deFtf tj)(2

1)( . Llame como ’, y escriba esta expresión

para –t.

Entonces será:

')'()(2 ' deFtf tj . Cambiando ahora el nombre de la variable

t por , queda

')'()(2 ' deFf j .

La forma más familiar se obtiene reemplazando ’ por t :

)}({)()(2 tFdtetFf jt F

Observe que para el caso particular de f(t) función par, entonces:

)(2)}({ ftF F

Ejemplos: Aplique esta propiedad para encontrar la T. de Fouirer de las funciones

Sinc(at) y Sinc2(at) .

3) Escala

Si )()( Ftf

Entonces, para la constante a real

aF

aatf

1)(

Comprobación: (para a>0 y a<0 ) . . . . . . . . . . . . . .

Analice el caso particular en que a=-1.

Observe que la propiedad de escala cuantifica la relación tiempo de duración-ancho de

banda entre una función de tiempo y su transformada. Si a>1, entonces f(at), como


140

función de tiempo, es la función f(t) con una escala de tiempo reducida en un factor a.

De la misma manera, F(/a) representa la función F() con una escala de frecuencia

expandida por el factor a.

Si a<1, entonces f(at) representa una expansión de f(t) y F(/a) representa una

compresión de F(). Así, cuando se reduce el tiempo de duración de una señal, se

aumenta la distribución de su espectro de frecuencia. Al comprimir el tiempo de

duración de una señal se producen transiciones mas rápidas y por lo tanto se requieren

componentes de alta frecuencia en el espectro. De igual modo, al aumentar el tiempo de

duración de la señal las transiciones se producen en intervalos mayores, lo que se puede

lograr con componentes de frecuencia menor en el espectro.

4) Convolución en el tiempo

La convolución es una caracterización muy importante de la relación entrada-salida

de los sistemas lineales invariantes en el tiempo. No siempre es fácil de resolver la

integral de convolución. El dominio de la trasformada proporciona un método

conveniente para realizar esta operación.

Si )()( Xtx , y )()( Hth

entonces

)()()()(.)()( HXYdthxty

Demostración: . . . . . . . . . . . ..

Aplicación en sistemas LIT

Definición de Filtros pasa alto, pasa bajo y pasa banda.

5) Convolución en frecuencia

Si )()( Ftf , y )()( Gtg

entonces,

)(*)(2

1)().(

GFtgtf

Demostración: . . . . . . . . . . . ..

Espectro de Energía

Cuando se trabajó con funciones periódicas, se demostró que la potencia en el tiempo se

puede asociar con la potencia contenida en cada componente armónica de la señal. Es

posible aplicar estos resultados a las señales no periódicas representadas por sus T. de

Fourier. La energía de las señales de energía no periódicas en el intervalo (-,) es

finita, mientras que la potencia (energía por unidad de tiempo) es cero. Así, el concepto

de espectro de energía, en vez de espectro de potencia, es más útil para el caso de

X() H() Y()= X() H()


141

señales de energía no periódicas. La energía asociada a f(t), función real de t , se define

como:

dttfE )(2

Si se emplea la representación integral de f(t) :

deFtf tj)(2

1=)( , se puede

escribir:

dFFddtetfFdtdeFtfE tjtj )()(2

1)()(

2

1)(

2

1)(

Como f(t) es real, )()( FF . Entonces, 2

)()()( FFF y sustituyendo en

el último desarrollo queda:

dFdttfE22 )(

2

1)( : Relación de Parseval

Si f(t) fuese una señal compleja, entonces puede deducirse que la Relación de Parseval

toma la forma:

d)(FdttftfE2

__

2

1)( )( .

La relación de Parseval expresa la energía de f(t) en términos del espectro continuo de

frecuencia de f(t) , la que resulta igual al área bajo la curva de la función

2

2)(F

. Esta

es una función par y real de , por lo cual puede escribirse la integral, integrando doble

entre cero e infinito, con lo que resulta:

00

22 )()(22

1)(

dSdFdttfE

En la ecuación anterior, la Energía ha sido también expresada integrando la denomina

densidad espectral de energía:

2)(

)(F

S . Cuando se analizaron las funciones

periódicas se asoció cierta cantidad de potencia con cada armónica. En el caso de las

señales de energía, se asocia la energía con bandas continuas de frecuencia. La energía

contenida en la banda de frecuencia (1,2) es simplemente el área bajo S()

comprendida entre 1 y 2 . Por ejemplo, si se tiene la función pulso rectangular y su

espectro continuo de frecuencia, el área sombreada es la energía de GT() contenida en

la banda de frecuencia (-2,-1) U (1,2) . (Ver el gráfico).


142

6) Desplazamiento en tiempo

Si

f(t) F entonces

f(t – t0 ) F . 0tje

(11)

Comprobación: Por definición, se tiene que la transformada de Fourier de f (t - t0) es:

{ f( t – t0 ) } = dtettf tj

)( 0

Si, x = t – t0 , entonces dx = dt y t = t0 + x. De esta manera

{ f( t – t0 ) } = dxexfxtj )( 0)(

= 0tje

F.

La función f (t – t0 ) representa f(t) retardada t0 segundos. El teorema establece

que el espectro original esta multiplicado por 0tje

. Esta multiplicación no afecta al

espectro de amplitud del espectro original. Sin embargo, cada componente de frecuencia

esta desplazada en fase una cantidad -t0 . Esto es lógico, ya que el desplazamiento t0 en

el tiempo corresponde a un cambio de fase de -t0 para una componente de frecuencia

de rad/seg. Por ejemplo el doble pulso rectangular de la figura, tiene un espectro dado

por

f(t) }= e-jDT sinc ( T/ 2 ) + ejD T sinc(T/ 2).

.f(t)

0 D-T/2 D+T/2 t

D

D

_1


143

7) Desplazamiento en frecuencia - modulación

La traslación o desplazamiento en frecuencia es una operación importante en

sistemas de comunicación. Si

f(t) F

entonces

f(t).tj oe

F( - 0 ) (12)

Comprobación: Por definición, la transformada de f(t).tj oe

es

f(t).tj oe

} = dteetf tjtj

0)( = dtetf

tj )( 0)(

= F (-0 )

es decir, f(t).tj oe

F( - 0 )

8) Diferenciación en el tiempo

Si )()( Ftf

Entonces, )()(

Fjdt

tdf

siendo el caso más general: )()()(

Fjdt

tfd n

n

n

Demostración : . . . . . . . (sugerencia: diferenciar con respecto al tiempo ambos

miembros de la ecuación que da la fórmula de inversión de la T. de Fourier).

9) Diferenciación en frecuencia

Si )()( Ftf

Entonces, n

nn

d

Fdtfjt

)()()(

Prueba:

)()()()()(

tfjtdtetfjtd

dF tj F

Ejemplo: Aplique la propiedad anterior para demostrar que

1)(

!)(

n

atn

ja

ntuet

F , para a>0.


144

10) Integración restringida

Con la propiedad 8) podemos “intentar” obtener la expresión de la integral, pero

recordemos de “Análisis Matemático” , que en realidad, integrar y derivar no son

funciones inversas.

Si )(Fjdt

)t(dfωω

Podemos pensar que )(F ω

dt

)t(df

jF

1 .

Entonces, si definimos :

t

d)(f)t(g ττ de forma tal que )t(fdt

)t(dg

Será siempre cierto que )(F)(Gj ωωω

Pero, solamente será cierto que )(Fj

1)(G ω

ωω si :

dttfFF )()()0(0

=0 .

Analizar que esta condición significa que, para una dada f(t), señal de energía, entonces,

g(t) será también una señal de energía. Si esta condición no se cumple, deberá ampliarse

esta propiedad encontrando una expresión diferente.

11) Integración

A partir de la fundamentación detallada en la propiedad anterior, es posible enunciar, de

forma más general, la siguiente propiedad:

Si, f(t) y g(t) son señales que admiten T. de Fourier, y si

t

d)(f)t(g ττ entonces,

su transformada de Fourier puede expresarse como:

)()0()(1

)(

FFj

G

______________________________________________________________________


145

Transmisión de señales a través de filtros lineales (SLTI)

Después del estudio de las propiedades de la T. de Fourier estamos en condiciones de

analizar algunas otras características de los LTI en el dominio frecuencial.

1. Llamando X() a la T. de Fourier de la entrada del sistema, e Y() a la T. de Fourier

de la salida del sistema, entonces la función del sistema se puede escribir como:

)(X

)(Y)jD(H

, para 0)( X .

2. Además, para sistemas estables, ya que h(t) es una señal de energía, será también

cierto que: )(H)jD(H = h(t)F .

La prueba es directa a partir de la relación ya deducida en el dominio temporal:

y(t)=x(t)*h(t)

Demostración: …………..

3. Es posible probar que el sistema modelado por:

)()()(

)()()(

01

1

101

1

txbdt

txdb

dt

txdbtya

dt

tyda

dt

tyda

m

m

mm

m

mn

n

nn

n

n

,

donde los coeficientes son constantes y no nulos, es invariable con respecto al tiempo,

haciendo uso de la T. de Fourier.

Prueba:

Sea Rot arbitrario pero fijo, y sean y(t) la respuesta del sistema a la entrada x(t) e

y1(t) la respuesta del sistema a la entrada x(t-to). Resulta entonces que:

))()()(

)()()(

01

1

11011

11

omo

m

mmo

m

mn

n

nn

n

n ttxbdt

ttxdb

dt

ttxdbtya

dt

tyda

dt

tyda

Si se aplica T. de Fourier a ambos miembros de la igualdad resulta:

)()()()()()()()()()( 0110111 ooom

mn

n ttxbttxjbttxjbYaYjaYja FFF

Además, )()(

Xettx otjo

F , en consecuencia, y utilizando la forma operacional

para el polinomio en j , se puede escribir:

oooo tjtjtj

n

mtjmn eYeXjHXe

jA

jBYXejBYjA

)()()()(

)(

)()()()()()( 11

)()()()( 11 otj

ttytyeYY o


146

4. Relación entre la densidad espectral de energía de la entrada y la salida de un

sistema

La densidad espectral de energía de la salida del sistema será:

2)(

)(Y

Sy para 0

< .

Además, como 222

)()()()()()( HXYXjHY , luego,

222

)()()()(

)(

jHSjH

XS xy para 0 < .

Señales de Potencia. Transformada de Fourier de funciones no

absolutamente integrables

Señales como la función escalón, la función signo, y funciones periódicas, cumplen con

las condiciones de Dirichlet, salvo la de absoluta integrabilidad. Estas señales se llaman

de potencia. Su energía no es finita, pero su potencia si lo es. La característica de las

señales de potencia es que la Transformada de Fourier presentará, en general, funciones

impulso. Lo contrario sí puede afirmarse: si la señal tiene funciones impulsos en el

dominio transformado, entonces es una señal de potencia.

Transformadas de Fourier donde aparece la función Impulso.

Considere )()( 0ttAtf

Aplicando la definición surge que 0)()( 0tjtj AedtettAF

El par transformado es entonces:

0)( 0tj

AettA

El caso especial del impulso unitario en cero, se puede calcular a partir de la anterior

con t0=0, y A=1 , lo que da 1)( t

Consideremos también los casos en los que aparece la función impulso en la

frecuencia.

Sea: )()( 0 F


147

Si se aplica la definición de la transformada inversa se encuentra que

tjetf 0

2

1)(

Es decir, que el par transformado sería )(2

10

0

tje , o lo que es

equivalente:

)(2 00

tje

Para el caso particular de 0=0, resulta el par: )(21

Y entonces, para a real o complejo, será )(2 aa

Transformadas de Fourier de señales que contienen funciones

sinusoidales

Demostrar que: )()(cos. 000 tF

)()(sen 000 jtF

Las expresiones anteriores constituyen la base matemática necesaria para comprender la

modulación. Por ejemplo la multiplicación de una función del tiempo f(t) (señal

moduladora) por una simusoide cosot (portatora), es:

)()(2

1cos*)(

2

1cos).( 0000

FFttfttf FFF

Función signo :

0,1

0,0

0,1

)sgn()(

t

t

t

ttf

Usando la propiedad de diferenciación, y como en este caso

)(2)][sgn()]([

tdt

td

dt

tfd ,

entonces, será: 2)( Fj

A partir de este resultado se determina que:

)(2

)(

kj

F

donde el término )(k es no nulo solamente para =0 y tiene en cuenta el valor

medio de f(t) . En general, este término debe estar incluído ya que la operación de

2sinc

2sinc

2cos 00

0

)()()t(P).t(F


148

diferenciación en el tiempo presente en la expresión jF(), produce pérdida de

información acerca del valor medio de f(t).

En este caso particular, el valor medio de la función Signo es cero. Luego, a pesar de

que la función sgn(t) es una señal de potencia, cumple con la condición recuadrada en la

propiedad 10. Por lo tanto k=0 (k=2π<f>).

Entonces el par transformado es: j

t2

)sgn(

Función escalón unitario : )]sgn(1[2

1)()( ttutf

Combinando las propiedades de linealidad, la transformada de una constante y la de la

función signo, resulta:

j

tu1

)()(

Ejercicio: Demostrar que:

22

0

000j

)()(2

)t(u.)tcos(ωω

ωωωδωωδ

πω

F

Transformadas de Fourier donde aparece la derivada de la función Impulso.

Demostrar que: n

n

n

jdt

td)(

)(

y que n

nnn

d

djt

)(2


149

Transformadas de Fourier de Funciones periódicas

Las funciones periódicas se pueden representar empleando una suma de

exponenciales complejas, y ya que se puede obtener la transformada de exponenciales

complejas, entonces cualquier función periódica se puede representar utilizando la

integral de Fourier. Supóngase que f(t) es periódica con periodo T. Se puede expresar

f(t) en términos de una serie de Fourier como:

f(t)=

n

n

Fn tjn oe

(13)

Por tanto, la transformada de Fourier de f(t) es

F = f(t) = {

n

n

Fn tjn oe

}

=

n

n

Fn tjn oe

= 2

n

n

Fn ( - n 0) (14) ,

en donde Fn son los coeficientes de Fourier asociados a f(t) y están dados por

dtetfT

Ftjn

T

Tn

o

2/

2/

)(1

(15)

La ecuación (14) establece que la transformada de Fourier de una función

periódica está formada por impulsos localizados en las frecuencias armónicas de f(t). El

área asociada a cada impulso es igual a 2 veces el coeficiente de Fourier obtenido por

medio de la serie exponencial de Fourier. La ecuación (14) no es más que otra

representación de la información contenida en la serie exponencial de Fourier.

Ejemplo 1:

Obtener la transformada de Fourier del tren de pulsos que se muestra en la figura.

f(t)

t

A

-5d -2d -3d -d -d d d 3d 2d 5d

2 2 2 2 2 2

T La formulación con la serie de Fourier se obtuvo anteriormente como:

f(t)=

n

n

Fn ej ot


150

donde los coeficientes de Fourier son Fn = ( Ad / T ) sinc ( n d / T ).

Por tanto, la transformada de Fourier es

f(t) = (2Ad / T)

n

n

sinc ( n d / T ) ( - n 0)

en donde 0 = 2 / T. La transformada de f(t) está formada por impulsos localizados

en = 0, 0 ,,... . . . Cada impulso tiene asociada un área igual al valor

( d / T) sinc ( n d / T ) , donde n es el número de la armónica.

Por otro lado, observemos que será posible escribir una relación entre los

coeficientes de la serie exponencial de Fourier de una señal periódica y la

transformada de Fourier del pulso correspondiente a un período.

Si transcribimos la ecuación (15) dtetfT

Ftjn

T

T

no

2/

2/

)(1

, y la comparamos con la

expresión de la T. de Fourier f(t),

dtetfF tj )()( , podemos fácilmente afirmar

que:

0 )( ntT

fT Fn F

Siendo

2/,0

2/),()(

Tt

TttftfT

Transformada de Fourier Seno y Transformada de Fourier Coseno

Definición

Sea f(t) causal. Entonces se definen dos nuevas transformadas:

Transformada de Fourier Coseno )()( cFtf cF

dtttfcF cos

0

)()(

;

y su fórmula de inversión:

0

cos)(2

)(

dtcFtf ; 0t

Transformada de Fourier Seno )()( sFtf sF

dtttfsF

0

sen)()( ;


151

y su fórmula de inversión:

0

sen)(2

)(

dtsFtf ; 0t

Relaciones de interés

1) Relación de las T. de Fourier seno y coseno con la T. de Fourier para f(t) causal:

F() = Fc() - j Fs()

2) Relación de las T. de Fourier seno y coseno con la T. de Fourier para f(t) no causal,

par o impar:

2-a) Considere f(t) par, entonces, compruebe que: F() = 2 Fc()

2-b) Considere f(t) impar, entonces, compruebe que: F() =- 2 j Fs()


152

Transformada de Laplace

La transformada de Laplace es una de las transformadas más importantes en el análisis

de sistemas lineales. La misma ofrece ventajas interesantes. Se la utiliza para

descomponer una señal en la suma continua de funciones exponenciales de la forma est,

en donde s = +j es una “frecuencia compleja”.

El análisis de la respuesta a entradas arbitrarias de sistemas físicos que puedan

considerarse lineales e invariantes (SLIT) en tiempo continuo involucra la solución de

ecuaciones diferenciales ordinarias o, si se conoce la respuesta al impulso del sistema, la

evaluación de la integral de convolución entre la entrada y la respuesta al impulso. Estas

técnicas de análisis suelen implicar la realización de tediosas operaciones matemáticas

aún para el caso de señales de entrada relativamente simples. El uso de la Transformada

de Laplace simplifica considerablemente la solución del problema ya que convierte las

ecuaciones diferenciales ordinarias en ecuaciones algebraicas en las transformadas, y la

integral de convolución en un producto de transformadas.

Otra ventaja del uso de la Transformada de Laplace para el análisis de SLIT es que

posibilita la obtención de la respuesta total (respuesta libre + respuesta forzada), y que

permite incluir automáticamente las condiciones iniciales en la solución del problema.

Definiciones

)()( sFtf L

Transformada (unilateral) de Laplace, Transformada inversa

0

dte)t(f)s(F)t(f stL ;

jc

jc

st1- dse)s(Fj

)s(F)t(f2

1 L

región

estable

para los

polos de

H(s)


153

Transformada Unilateral de Laplace

Definición:

Sea f una función definida para la variable t real en (- , ), tal que f(t) =0 para t <

0 . La aplicación L que a cada función f le asigna la función

F s f t e dtst

( ) ( )

0

,

se llama Transformación de Laplace Unilateral, y se representa por L { f } = F(s)

“s” es el número complejo, s = +j, llamada frecuencia compleja.

= Re(s) se llama atenuación, y

= Im(s) se llama frecuencia

Notación: F(s) = R (,)+ j X(,)

F(s) es una función compleja de la variable compleja s, sus componentes real e

imaginaria las representaremos por R (, ) y X(,) respectivamente.

Región de Convergencia (RC)

La transformada de Laplace existe si la función f(t) es de orden exponencial, es decir, si

existe números reales M, y T para los cuales,

TtMetf t ,)( ,

condición que puede también escribirse como:

0)(lim

t

tetf

El mínimo valor de para el cual se verifica esta condición se denomina abscisa de

convergencia, c. Con esta condición, podrá afirmarse que la integral f t e dtst

( )

0

converge en la región

c)s(e ,

que se denomina Región de Convergencia (RC).

Se ve que la RC es un semiplano en s,

como se muestra en la figura

cc ,)s(e/Cs }

Luego, podríamos definir la R.C. como “el conjunto de valores de s para los cuales la

integral de la T. de Laplace puede ser evaluada”.

c

j

Región de

Convergencia.


154

Condiciones suficientes para la existencia de la transformada de Laplace

Sea f una función definida en (- , ), tal que f(t) =0 para t < 0 y cumple que:

1. Es seccionalmente continua.

2. Es de orden exponencial “”,

entonces, existe el número llamado Transformada de Laplace: F(s)= f t e dtst

( )

0

, pues

f t e dtst

( )

0

es absolutamente convergente para Re(s) > c.

Observar:

1- f(t) / 0 t/tK)t(f es una función de orden exponencial cero. Por lo tanto,

sen(t) y cos(t) son funciones de orden exponencial cero.

2 - f te t

t

t

( ),

,

3

0

0 0 no es de orden exponencial, y por consiguiente, no tiene T. de

Laplace.

3 - f tt t

t( )

,

,

/

1 20

0 0 no es integrable en cada intervalo [0,T] y no cumple la

condición 1 del teorema de existencia y sin embargo tiene transformada de Laplace.

Calculo de la transformada de Laplace de algunas funciones especiales

Ejemplo 1: Función exponencial.

Sea f(t) = eat u(t), a R . Encuentre su transformada de Laplace y su Región de

Convergencia (RC). Encuentre también la expresión de las componentes real e

imaginaria.

)as(

elim)as()as(

edteee )as(t

t

)as(tstatat

1

11

00

L , si Re(s-

a)>0

pues, e-t(j+-a) = e-tj . e-t(-a) , donde se ve que el primer factor es siempre acotado.

Luego, Rta: F ss a

s a Ra

aX

a( ) , Re( ) ; ( , )

( ); ( , )

( )

1

2 2 2 2

Analice como se modifica el ejercicio anterior si a fuese imaginario; repita el

análisis para el caso de a complejo.

Ejemplo 2: función escalón unitario

Ejemplo 3: función impulso unitario


155

Ejemplo 4: función rampa unitaria

f (t)=t us(t)

.dttet st

0

L

De la tabla de integrales: ),1( ueduue uu entonces tomando u= - st

)1

0(00)1(1

)(

1202

0

2 sue

sduue

s

uu

, pues

01

1111

1 uuuu

u

u elim

e

ulimuelim ( aplicando la regla de L’Hospital)

El par transformado resultas entonces : 2

1

st

Ejemplo 5: f (t)=t2

Rta: 3

2 2

s

!t L , para s>0 . Resulta de utilizar que

3

2 3

s

)(t

L

Relación entre la T. de Laplace unilateral y la T. de Fourier

Sea f(t) causal (f(t)=0, t<0) , entonces

dtetfedtetfdtetfdtetfsF jwtttjwstst )()()()()( )(

0

)t(fe)t(f tL

Propiedades de la T. de Laplace

1. Linealidad: Si f1(t) y f2(t) son funciones que admiten transformada de Laplace, y a

y b son constantes reales o complejas, entonces resulta que:

)t(fb)t(fa)t(bf)t(af 221 +1

LLL

y la región de convergencia es la intersección de las regiones de convergencia de cada

una de las T. de Laplace de f1(t) y de f2(t).

Demostración:

)t(fb)t(fadt)t(febdt)t(feadt)t(bf)t(afe)t(bf)t(af ststst212

0

1

0

21

0

21 + LLL


156

Ejemplo 6: Hallar la T. de Laplace del cosh at

f t ate eat at

( ) cosh

2 atat eeatcosh LLL

2

1

2

1 y de acuerdo a

lo encontrado en el ejercicio 1 resulta:

asasatcosh

11

2

1L para Re(s)>a y Re(s)>-a, entonces Re(s)>a. En

conclusión: 22 as

satcosh

L para Re(s)>a

Ejemplo 7: funciones seno y coseno

2. Cambio de escala )f(aa

)at(fa

sF

1L solo para a>0

Demostración: ……………

3. Traslación en t

Sea f(t) una función con transformada de Laplace F(s) , y to una cte. positiva,

entonces: L

Demostración:

L

4. Traslación en s

Si )f()sRe(parasF)t(f L , entonces:

a)f()sRe(asFat )t(fe para L

Demostración:

por lo tanto: )t(fedtee)t(fdte)t(fasF atstatt)as( L

00)-(

5. Convolución en el tiempo

Si f(t) y g(t) son causales y )()()()(0 t

dxxtgxftgtf , entonces:

)( )()()( sGsFtgtf L ,

válida en al menos la intersección de las regiones de convergencia de F(s) y G(s).

Prueba: Sabemos que para todos los casos:

)()(0 dtetfsF st

dxxtgxftgtf )()()()(


157

Cuando las funciones son causales, puede escribirse:

Si aplico la transformada de Laplace en el primer miembro de la ec. de arriba da:

:obtiene se ,desplazada señal una de Lapace de T. la es paréntesis del lo comoy

Ejemplo 8:

Verificar el T. de convolución para las funciones f(t)=e-atus(t) y g(t) =e-btus(t) con

0 < a < b .

Rta: 1

)bs)(as()t(g)t(f

L para Re(s) > -a

Ejemplo 9: Aplicando la propiedad anterior, calcular 21

11

)s)(s(

-L

Ejemplo 10: Verificar, a partir de las propiedades dadas que:

10-1. L )j(s

e t)j(

1

10-2. L

10-3. L

6. Diferenciación en el tiempo

Si f t F s( ) ( )

entonces f t sF s f'( ) ( ) ( ) 0

y en general se tiene que:

)0()0(')0()()( )1(21 nnnn

n

ffsfssFsdt

tfd

Comprobación:

dxsGexuxfdxxtgxuxf sx

ss )()()()()()( L

)()()()()( sGsFsGdxexuxf sx

s


158

Por definición, dtedt

)t(df

dt

)t(df st

0

L

Integrando por partes, tal que u=e-st, será du= -se-stdt y f’(t)dt =dv, por lo que v=f(t)

Resulta:

)s(sF)(fe)t(fdte)t(fse)t(fdt

)t(df ststst

0

00

L

como F(s) existe, entonces tetf st en evaluada)( es cero. Por lo cual resulta

)(f)s(sF)t('f 0L

El caso general se obtiene aplicando en forma repetida el proceso anterior. Para la

derivada de 2do. Orden, es:

)('f)(sf)s(Fs)('f)](f)s(sF[s)('f)t('fs)t(''f 00000 2 LL

Esta propiedad de la T. unilateral de Laplace proporciona un método muy conveniente

para resolver problemas de transitorios en sistemas lineales. Las condiciones iniciales de

un sistema se incorporan con facilidad a las soluciones.

Debe recalcarse que si en t=0 f(t) y sus derivadas no fuesen continuas, entonces la

propiedad de derivación vale, evaluando las condiciones iniciales en 0+

Ejemplo: Verificar que la T. de Laplace de f’(t), donde f(t) = e-at u(t) , para f(0)=0, y

para f(0) =1, es as

s

y

as

a

respectivamente.

7. Integración en el tiempo

Si f t F s( ) ( )

entonces f x dxF s

s

t

( )( )

0

y además: f x dxF s

s

f

s

t

( )( ) (

( )

0)

1

, donde

f f x dx(( )

( )0)1

0

Comprobación:

1) Por definición, dtedx)x(fdx)x(f sttt

0 00

L

Integrando por partes, con: u f x dx dv e dtt

st ( )0

y , y por consiguiente:

stes

vdttfdu 1

y )(

dte)t(fs

dx)x(fs

edx)x(f st

tstt

0000

1L


159

= -[ 0 – 0 ]+ 1/s F(s) (1)

El primer término de la expresión (1) es cero porque, para Re(s)>0, la exponencial es

cero en el límite superior, ya que t

duuf

0

)( puede probarse que es también una función

de orden exponencial . En el límite inferior la integral es cero.

En conclusión:

s

)s(Fdu)u(f

t

0

L

en al menos la región dada por la intersección entre la RC de F(s) y {Real(s)>0}

2) Veamos que modificaciones ocurren cuando se quiere encontrar la Transf. de f u dut

( )

.

Se puede escribir:

tt

duufduufduuf

0

0

)()()( , t 0

Aplico T. de Laplace a ambos miembros:

s

)s(F

s

fdu)u(fdtefdu)u(ffdu)u(f

)()(

tst)(

)(

t)(

)(

t

10

00

10

0

10

LLLL

(2)

La R.C. es claramente la intersección de las dos regiones correspondientes a cada

uno de los términos en el último miembro de la ec.(2): Re(s)>0 que es la RC de

s

f)1(

)0(

y Re(s)>a Re(s)>0 es la RC de F s

s

( ).

Ejemplo de aplicación: Encuentre la corriente que se establece en un circuito RLC, si

en t=0 la carga del capacitor es q0 , la corriente en la bobina i0 y la tensión que se aplica

V(t) .

8. Diferenciación en frecuencia

Sea f(t) una función tal que atk etft )()( es absolutamente integrable para k=0,1,…n

; para a en la región de convergencia de F(s) . Entonces:

k

kk

ds

)s(Fd)t(f)t( L con RC igual a la de F(s)

Ejemplo 11: Hallar la transformada de Laplace de f(t) = t eat u(t) .

llamemos g(t) = eat us(t)

G ss a

( )1

, s>a (a R) .

Luego:

2

21 11

)as()as)(()as(

ds

d

ds

)s(dG)t(tg)t(ute)t(f at

LLL si

Re(s)>a


160

Analiticidad de F(s)

Si e t f t ( ) es absolutamente integrable, la transformada de Laplace F(s) = L f(t)

con t 0 , es analítica para Re{s} > y lims

F s

( ) 0 para Re(s) .

" F(s) es analítica en su región de convergencia ".

Los teoremas del Valor Inicial y del Valor final permiten, determinar los valores de

f(t=0+) y f(t) a partir de F(s) , sin necesidad de volver al dominio temporal .

Teorema del Valor Inicial

Sea f(t) una función que admite transformada de Laplace, y existen el limt o

f t

( ) y

lims

sF s

( ) .

Entonces: lims

sF s

( ) limt o

f t f o

( ) ( )

Demostración

La propiedad de diferenciación en el tiempo establece:

)(f)s(sFdtste)t('f)t('f 0

0

L

Se aplica límite en esta igualdad, y entonces,

lim lims s

f t e stdt sF s f

'( ) ( ) ( )

0

0 ( A )

0

lims

sF s f( ) ( )0

lims

sF s f( ) ( )0

La demostración anterior es estrictamente cierta siempre que f(t) sea continua en el

origen, y por lo tanto f '(t) sea finito.

Sin embargo la demostración se modifica cuando f(t) es discontinua en el origen, y en

la expresión aparece f(0+) en vez de f(0), tanto si se considera la expresión de la

transformada de la derivada que tiene en cuenta el límite izquierdo o la que tiene en

cuenta el límite derecho. Entonces la ecuación debe escribirse:

lims

sF s f

( ) ( )0

La demostración rigurosa se desarrolla mas abajo. Analicemos todo esto en un ejemplo

sencillo:

Ejemplo 12:

Verificar el T. del valor inicial para f(t) = 3 e -2t us(t).


161

Demostración

Si f(t) es discontinua en el origen, entonces f ' (t) contiene un impulso de peso

[f(0+)-f(0-)] , es decir , en el origen es f ' (t) =[f(0+)-f(0-)](t). Se debe entonces saber

como considerar el límite inferior en la integral si en 0+ o en 0-.

a) Si en la relación A se considera 0- resulta:

dtstetfdttsteffdtstetfsslimlim

0

)('

0

0

)()]0()0([

0

)('

0)0()0()]0()([

fffssFslim

Luego: lims

sF s f

( ) ( )0

b) Ahora, si se considera 0+ en la relación (A) tendremos:

lim = lims s

f t e stdt sF s f

'( ) ( ) ( )][

0

0 0 , entonces

lims

sF s f

( ) ( )0

Conclusión:

Si f(t) es discontinua en t=0, entonces el límite )(ssFslim

da el valor de f(0+) siempre.

Teorema del Valor Final

Sean f(t) y f '(t) funciones que admiten transformada de Laplace, y existen )(lim tft

y

lim ss o

F s

( ) , entonces,

limt

f t

( ) = lim ss o

F s

( )

Demostración:

Se sabe que: )(f)s(sF)t('f 0L .

Si se encuentra el valor del límite para s tendiendo a cero en los dos miembros de la

igualdad anterior resulta:

)]0()([0

lim

0

)('0

lim fssFs

dtstetfs

)]0()([0

limlim

0

)(' )0()( fssFst

dttf ftf

)(0

limlim )( ssFst

tf

Ejemplo 13: Obtener el valor final de la función en el tiempo, si su transformada

unilateral es F ss a

a( ) ,

1

0, >-a ; Rta: 0 . ( f(t) = e -at us(t))


162

Otros ejemplos de interés

Ejemplo14: Derivadas de la función impulso

k

t

st

k

kk se

dt

ddtste

ktkt

0

)1(

0

)()()()( L

Ejemplo15: Funciones Periódicas

Consideremos una señal periódica tal que ( ) ( )f t f t nT . Esta señal puede expresarse

también como:

1

( )( ) n

n

f tf t

Donde 1( ) ( 1)nf t f t n T y 1( ) ( ) ( ) ( )s sf t f t u t u t T es el pulso que se repite

como muestra la figura:

Entonces:

1 1 1

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )n n n

n n n

F s f t f F s F sf t t

L L L

Y además:

( 1)

1 1( ) ( 1) ( )( ) n Ts

n nF s f f t n T e F st L L

Luego:

1

)1()(1)(n

TsnesFsF y Tse

en

Tsn

1

1

1

)1( si 1Tse

Entonces:

1

1( ) ( )

1 TsF s F s

e

1

1( 1)

1 Tsn

t n Te

L

T 2T 3T

f1(t) f2(t) f3(t)

t


163

Ejemplo16: Tren de impulsos

Demuestre, utilizando la propiedad de Transformada de Laplace para funciones

periódicas, que la transformada de un tren de impulsos es igual a:

1

1( 1)

1 Tsn

t n Te

L

δ(t) δ(t-3T) δ(t-T) δ(t-2T)

T 3T

t

2T 0


164

Tabla 1: Propiedades de la T. Unilateral de Laplace

Señal Transformada Región de Convergencia

1 f(t)

F(s) R

2 f1(t) F1(s) R1

3 f2(t) F2(s) R2

4 af1(t)+ bf2(t) aF1(s)+bF2(s) al menos R1 R2

5 f(t-t0) e sto F(s) R

6 es to f(t) F(s-so) R desplazada *

7 f(at) 1

aF

s

a( ) R escalada *

8 f1(t) * f2(t) F1(s)F2(s) al menos R1 R2

9 )(tfdt

d s F(s) - f(0+) al menos R

10 - t f(t) d

dsF s( ) R

11 f x dx

o

t

( ) 1

sF s( ) al menos R {Re{s}>0}

12 f x dx

t

( )

1 01

sF s

f

s( )

( )

al menos R {Re{s}>0}


165

Transformada Inversa de Laplace

Fórmula de inversión

Sea f(t) una función causal, la fórmula de inversión es:

jc

jc

st1- dsesFj

sFtf )(2

1)()(

L (2)

La Transformada de Laplace es una operación matemática que permite expresar

prácticamente cualquier señal continua en el tiempo, mediante una suma de

exponenciales complejos de la forma K est. De la fórmula de inversión se ve que el

contorno de integración es una línea recta paralela al eje j para todo valor c dentro de

la región de convergencia de la transformada.

Métodos para calcular la T. inversa de Laplace

a) Fórmula de Inversión compleja

b) Descomposición en suma de fracciones simples

c) Fórmula del desarrollo de Heaviside

d) Inversión para señales periódicas

a) Fórmula de Inversión compleja

Puede demostrarse que la integral de línea a lo largo de la línea =c

es igual a la integral a lo largo de la curva cerrada C como la graficada,

en sentido anti-horario.

Esta integral, en virtud del teorema de los residuos, será igual a :

])([Re)(

1

stn

kss

esFstfk

, donde sk con k=1, . . . n son los polos de F(s)est en Re(s)<c .

Raramente usaremos esta expresión para calcular en la práctica una transformada

inversa. Generalmente el procedimiento que se utilizará consistirá en manipular la

expresión de la transformada dada, hasta obtener formas de transformadas que aparecen

en la tabla. b) Descomposición en suma de fracciones simples

Este método se aplica para transformadas que son funciones racionales en s , es decir

razones de polinomios en s , cuya forma general sería:

nno

mmo

sbsbsbb

sasasaasF

2

21

221)(

Se supone m<n . Si éste no es el caso, F(s) siempre se puede escribir como la suma de

un polinomio de grado m-n más una razón de polinomios con un numerador un grado

menor que el grado del denominador.

j

C c


166

Las funciones racionales se pueden expresar como suma de fracciones más simples para

las cuales se tiene tabulada su transformada inversa.

Para obtener el desarrollo en fracciones simples deben obtenerse los polos de F(s).

b-1) Si los polos son no repetidos, se expresa:

)()()()())(()(

2

2

1

1

21

221

n

n

nn

mmo

ps

c

ps

c

ps

c

pspspsb

sasasaasF

(3)

y los coeficientes se pueden obtener como:

ipsii sFpsc

)()(

b-2) Si los polos son múltiples, la ecuación (3) debe incluir , para el polo múltiple,

tantos términos como la multiplicidad del polo. Por ejemplo, si el polo pi tiene

multiplicidad r se incluyen los términos:

ri

ri

i

i

i

i

ps

c

ps

c

ps

c

)()()( 2

21

donde, ips

riri sFpsc

)()( ;

ips

riri sFps

ds

dc

)()(1

;

ips

rik

k

kri sFpsds

d

kc

)()(!

1 ;

ips

rir

r

i sFpsds

d

rc

)()()!1(

1

1

1

1

b-1) y b-2) son válidos también para raíces complejas. Sin embargo, se puede

mencionar un tercer caso.

b-3) Si f(t) es real, entonces las raíces complejas del denominador de F(s) se presentan

como pares conjugados. Se pueden expresar esas dos raíces como un solo factor, con

diferentes formas. Dos de estas formas aparecen en el tercer y cuarto miembro de la

siguiente igualdad.

2221

221

)()(

)()(

s

DsD

bass

DsD

sB

sAsF

Las constantes D1 y D2 , se obtienen generalmente resolviendo un sistema de 2 ecuaciones.

Ejemplo 17: Demuestre que si f(t) es causal y su T. de Laplace es

463

3)(

23

sss

ssF entonces,

Ejemplo 18: Demuestre que si f(t) es causal y su T. de Laplace es

3

2

)3)(1(

332)(

ss

sssF entonces,


167

c) Fórmula del desarrollo de Heaviside

Sean P(s) y Q(s) polinomios tales que grado P(s)<grado Q(s), y Q(s) solo con raíces

simples, entonces, la transformada inversa de Laplace unilateral de la función

)(

)()(

sQ

sPsF es

tpn

k k

k ke)p('Q

)p(P)}s(F{

1

1L donde pk son las raíces simples de

Q(s).

Ejemplo 19: Verificar el resultado obtenido para el Ejemplo 16, aplicando la fórmula

de Heaviside

d) Inversión para señales periódicas

Suponga que la T. de Laplace de f(t) está dada por )1(

1)(

10

5

s

s

es

esF

De la forma del denominador se deduce que f(t) es periódica de período T0=10. Para

verlo más claramente se rescribe:

)1(

1)()(

101 sesFsF

,

donde )1(1

)( 51

ses

sF f1(t) = us(t)-us(t-5), que es un pulso rectangular de

ancho 5 y altura 1.

Por consiguiente, f(t) será periódica de período 10, con valor 1 para

nT<t<nT+5, y valor 0 para todo otro t siendo n=1,2, . . .

lo que queda también expresado como:

0

1 )()(

n

nTtftf

Resolución de ecuaciones diferenciales con la transformada de Laplace

Las ecuaciones diferenciales lineales ordinarias con coeficientes constantes pueden

reducirse a ecuaciones algebraicas de la transformada.

Sea la ecuación: y t ay t r t' '( ) ( ) ( )

donde se conocen a y r(t) . Si se aplica la transformada de Laplace en ambos

miembros de la ecuación: )t(r)t(ya)t(''y LLL

y aplicando las propiedades:

s Y s sy y aY s R s2 0 0( ) ( ) '( ) ( ) ( )

despejando: Y ssy y

s a

R s

s a( )

( ) ' ( ) ( )

0 0

2 2


168

Finalmente, la solución se halla antitransformando:

)s(Yty -1= )( L

Ejemplo: Resolver la ecuación

y t y t y t e y yt' ' ( ) ' ( ) ( ) ( ) ; ' ( ) ; 2 1 0 1 0 0 con

Rta: y t t e t( ) 1

212 , t ≥0

Aplicación a sistemas lineales. Función de Transferencia

En forma análoga a lo que se hizo con T. de Fourier, se puede trabajar con el caso más

general de la T. de Laplace. Consideremos un LTI cuya entrada es una señal genérica

x(t) , y su respuesta una señal y(t). Si se aplica la T. de Laplace a la ecuación

diferencial ordinaria que modela el sistema, y considerando que el sistema tiene

condiciones iniciales nulas, por todo lo ya visto sabemos que se obtendrá una igualdad,

en el dominio transformado dada por:

a s Y s a sY s a Y s b s X s b sX s b X snn

mm( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 0

Utilizando la forma operacional para el polinomio en s, se puede escribir:

A s Y s B s X s Y sB s

A sX s H s X sn m

m

n( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )( ) ( ) ( ) (4)

donde, H sY s

X s( )

( )

( ) es la Función de Transferencia del sistema, que es una función

racional que representa la relación entrada-salida en el dominio s , obtenida cuando el

sistema tiene condiciones iniciales nulas.

Si la entrada que se aplica al sistema es de la forma x t es to( ) , la salida será :

y t H s eos to( ) ( ) . La demostración es totalmente análoga a la hecha para las funciones

x t e j to( ) , caso que está incluido en el anterior, ya que son equivalentes en o=0 .

Como todo esto es cierto para todo s del plano complejo, la relación entrada-salida

para este tipo de entradas se puede representar esquemáticamente como:

x(t)= est h(t) y(t)= H(s) est

Además, la función de transferencia se puede encontrar haciendo la T. de Laplace de la

respuesta al impulso del sistema, y entonces , para el caso de sistemas causales será:

)t(h)s(H L , para Re(s)> (f) (5)

Demostración : Si la entrada es un impulso, entonces su T. de Laplace es X(s)=1 .Por lo

tanto, de acuerdo a la ec.(4) la salida en el dominio frecuencial será: Y(s)=H(s).1=H(s)


169

. Entonces, como la respuesta al impulso en el dominio temporal es y(t)=h(t), resulta

que )t(h)s(H L .

Función de transferencia de sistemas en serie, en paralelo y retroalimentado

Relación entre la respuesta en frecuencia y la T. de Laplace de un SLIT

Considere un LTI causal con respuesta al impulso h(t) . Es fácil verificar que la relación

entre la función del sistema y la función de transferencia está dada por:

jssHH

)()(

Esto es posible solo si el SLI es estable.

Analice las razones de la afirmación anterior. Para ello puede considerar el caso

particular de un sistema de los llamados “integrador puro”.

Observar que la relación anterior se cumple para toda señal, no solamente para h(t).

Luego, para una señal cualquiera x(t) podrá afirmarse que :

jssXX

)()(

solo si x(t) es absolutamente integrable.

Respuesta transitoria y de estado estacionario

Los conceptos de respuesta transitoria y respuesta permanente o estacionaria, estudiados

en el dominio del tiempo, también se pueden ilustrar en el dominio de la frecuencia.

Supongamos que se aplica x(t) a un sistema cuya respuesta al impulso es h(t).

Consideramos que sus transformadas están dadas por.

))....()((

)(

)(

)()(

21

1

1

1

npspsps

sA

sB

sAsH

))....()((

)(

)(

)()(

21

2

2

2

mqsqsqs

sA

sB

sAsX

Se sabe que la salida del sistema, con condiciones iniciales nulas, en el dominio

transformado es:

))....()(())....()((

)()()(

2121

21

mm qsqsqspspsps

sAsAsY

H1

H1 H2 + +

H2 _


170

Desarrollando en fracciones simples

)()()()()(

1

1

1

1

m

m

n

n

qs

k

qs

k

ps

c

ps

csY

y la transformada inversa:

II

m

i

tqi

I

n

i

tpi

ii ekecty

11

)(

representa la salida del sistema en el dominio temporal, para una entrada x(t), con

condiciones iniciales nulas; es la que llamamos respuesta forzada. Cada término de esta

sumatoria es un “modo” del sistema.

La sumatoria I es la componente transitoria de la respuesta forzada. Los términos se

obtienen de las singularidades de H(s) y en general, los coeficientes ci dependen de H(s)

y X(s) .

La sumatoria II es la parte de estado estacionario de la respuesta y(t). Estos términos se

deben a las singularidades de X(s) .

Cuando el sistema tiene condiciones iniciales no nulas, como se sabe, la respuesta

transitoria tendrá otra componente que dependerá de las mismas.

Estabilidad

Definición de Sistema estable: entradas acotadas producen salidas acotadas. (BIBO).

Hay diferentes formas de asegurar la estabilidad en este sentido:

1- Con respecto a su Región de convergencia:

Diremos que un sistema es estable si y solo si el eje imaginario (=0) está contenido en

la región de convergencia de H(s)

2- Con respecto a su ecuación característica:

Para sistemas causales, también puede definirse su estabilidad con el siguiente criterio:

Todos los polos de H(s) están en el semiplano izquierdo de s.

3- Con respecto a su respuesta al impulso:

Si

dtth )( , entonces el sistema es estable

Por otro lado, el requerimiento de que el grado del polinomio del denominador de H(s)

es mayor o igual al grado del polinomio del numerador, está relacionado con la

causalidad del sistema.

Justificación

Observe la forma que se usó para descomponer la salida del sistema en dos sumatorias,

en el punto anterior. En los sistemas estables, los términos de la suma I tienden a cero

cuando se incrementa t , mientras que los de la sumatoria II pueden contener términos

que son distintos de cero indefinidamente. Esta parte, contiene los polos de la entrada.

Por lo tanto, si la entrada es acotada, esta parte también lo será.

Por consiguiente, la salida será no-acotada si al menos uno de los términos de la

respuesta natural (ciepit ) se hace no-acotado. Esto ocurre solamente si la parte real de al

menos 1 polo pi es positivo o cero.


171

Ejercicio: Proponga un sistema cuya Func. de Transferencia tenga polos en la

región 1. Encuentre la respuesta al impulso y analice la estabilidad

de acuerdo al criterio 3. Repita para el caso en que los polos

están e la región 2.

Ejercicio: Indicar los valores que debe tomar k para que el sistema de la figura

sea estable y encontrar la función de transferencia.

X(s) + + 1/(s2+1) Y(s)

_ _

5 s

k Rta : k>-1

Ejercicio de aplicación

Suponga que la barra cuyos extremos están ubicados en x=0 y x=l coincide con el eje x.

Suponga que se aplica una carga vertical W(x) por unidad de longitud que actúa

transversalmente sobre la barra. Entonces el eje de la barra sufre una deflexión Y(x) en

el punto x, que satisface la siguiente ecuación:

lx0IE

)x(W

dx

Yd4

4

Esta deflexión transversal suele llamarse curva de deflexión o curva elástica. La

cantidad EI se llama rigidez flexural de la barra y la supondremos constante (E es el

módulo elástico de Young de la barra e I es el momento de inercia de una sección

transversal de la barra alrededor del eje). Las cantidades EIY’’(x) y EIY’’’(x) se llaman,

respectivamente, momento de flexión y momento de corte (shear vetical) en x. Observe

que la eje y se toma positivo hacia abajo, es decir, que las deflexiones son positivas

hacia abajo.

Las condiciones de contorno asociadas con la ecuación diferencial dependen de la

manera en que la barra es soportada. Las más comunes son las siguientes:

a) Empotrada o fija: Y=Y’=0

b) Hinged or simple supported end: Y=Y’’=0

c) Libre: Y’’=Y’’’=0

j s

1 2

x

x=0 x=l

W(x)


172

Análisis del modelo en Variables de Estado con la transformada de Laplace

Es posible transformar la ecuación de los estados y luego antitransformar, con el mismo

criterio que se utiliza cuando se resuelve una ecuación diferencial mediante la T. de

Laplace.

Entonces, para : x(t) Ax(t) B ( )

y(t) Cx(t) ( )

u t

Du t ,

Podemos desarrollar, por ejemplo, las dos primeras filas de la ecuación matricial y

obtenemos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

x t a x t a x t a x t b u t b u t b u t

x t a x t a x t a x t b u t b u t b u t

n n r r

n n r r

1 11 1 12 2 1 11 1 12 2 1

2 21 1 22 2 2 21 1 22 2 2

donde aij y bij son los elementos de las matrices A y B respectivamente.

Ahora, aplicando la T. de Laplace en ambos miembros de las dos ecuaciones resulta:

sX s x a X s a X s a X s b U s b U s b U s

sX s x a X s a X s a X s b U s b U s b U s

n n r r

n n r r

1 1 11 1 12 2 1 11 1 12 2 1

2 2 21 1 22 2 2 21 1 22 2 2

0

0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

el resto de las ecuaciones mantiene la misma estructura, y por lo tanto la transformada

de todas las ecuaciones también se puede escribir en forma matricial:

s s s sX x AX BU( ) ( ) ( ) ( ) 0

reordenando y trabajando algebraicamente s s s sX AX x BU( ) ( ) ( ) ( ) 0

s s s s s sIX AX I A X x BU( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 .

Ahora se puede despejar la T. de Laplace de la matriz de estados:

X I A x I A BU( ) ( ) ( ) ( ) ( )s s s s 1 10 (18)

El vector de estados x(t) es la T. inversa de Laplace de esta ecuación.

Ejercicio 20:

Considere el LTI con una entrada y una salida, cuya ecuación de transferencia está

dada por: H sY s

U s

s

s s( )

( )

( )

5 4

3 22 .

a) Halle a partir de la función de transferencia primero la ecuación diferencial y

encuentre el diagrama en bloques.

b) Halle las ecuaciones de los estados para el modelo conocido como la 2da. Forma

canónica.


173

c) Expréselo en el dominio transformado y obtenga un diagrama en bloques

utilizando bloques “1/s”.

Matriz de transición de los estados

Llamemos matriz de transición de los estados en el dominio transformado a

1)s()s( AI .

La ya definida matriz de transición de los estados, (t) , podrá entonces calcularse

como:

})s{()}s({)t( 11-1- AILL (19)

Se llama matriz de transición ya que determina la evolución de los estados, es decir,

permite encontrar los estados de un LTI en un tiempo t a partir del conocimiento de los

mismo en un tiempo t0, considerando entrada nula en el sistema, como se ve claramente

en la solución no forzada representada por:

)()( 00 tttt )x(x . (20)

o bien, para t0=0, )0()( )x(x tt .

La solución temporal de los estados se halla antitransformando la ecuación (18),

recordando que la T. inversa de la matriz se calcula como la T. inversa de cada uno de

sus elementos. Hay dos formas de realizar esta antitransformada:

1) Se trabaja algebraicamente el 2do. término de la (18) en la variable s , y después se

antitransforma, resultando:

)}s()s{()Φ(t)x(x(t) BUAI11-0 L , (21)

o bien,

2) se antitransforma considerando que el producto en la variable s del segundo

término de la ec. (18) resulta en una integral de convolución en la variable t , y

entonces se puede escribir:

ττBuτxx d)()t()0()t()t(t

0

(22)

Ejercicio 21: Reconsidere el sistema dado en el Ejercicio 20.

a) Halle las matrices (s), (t).

b) Halle la salida del sistema a partir de lo hallado en el inciso a), si considera que la

entrada del mismo es un escalón unitario.

Rta:a)

b) y(t) = 2 + [-2 x1(0)-x2(0) +1]e-t+[6x1(0)+6x2(0)-3]e-2t, t≥0


174

Relación con la Función de Transferencia

La transformación de las ecuaciones de estado (7-a) y (7-b), da para condiciones

iniciales nulas: s s s sX AX BU( ) ( ) ( )

Y CX DU( ) ( ) ( )s s s

Despejando y relacionando estas ecuaciones

X I A BU( ) ( ) ( )s s s 1 , y entonces Y C I A B D U( ) [ ( ) ] ( )s s s 1

Recordando que la función de transferencia es el cociente entre la T. de Laplace de

entrada y salida, para condiciones iniciales nulas, resulta, para el caso de sistemas de

una entrada-una salida:

DsDss

ssH

BCBAICU

Y)()(

)(

)()( 1

Estabilidad

Un LTI es estable (entrada acotada-salida acotada) cuando los polos de la función de

transferencia H(s) están en el semiplano izquierdo.

Como:

C I A B CI A

I AB( )

( )

( )s

s

s

1 adj

det

el polinomio del denominador es el determinante de (s I - A). Luego, los polos de la

función de transferencia son las raíces de la ecuación característica del sistema, dada

por:

det(s I - A) = 0

En conclusión, un LTI es estable si las raíces de la ecuación característica están en el

semiplano izquierdo del plano s . Esto es equivalente a decir que:

un LTI es estable si los autovalores de la matriz de estados tienen parte real negativa

Ejercicio 22:

Analice la estabilidad a partir de la matriz A para el modelo obtenido en el Ejercicio 20.


175

TRANSFORMACIÓN DE SEMEJANZA

El modelo de variables de estado de un mismo LTI no es único, sino que por el

contrario, un LTI tiene un número ilimitado de modelos de estado.

Transformaciones

Se considera el caso de sistemas de una entrada-una salida

Puede demostrarse que hay un ilimitado número de matrices A, B, C y de escalares D

que se relacionan por: x(t) Ax(t) B ( )

y(t) Cx(t) ( )

u t

Du t

Considere un nuevo vector de funciones v(t), también de dimensión n, que se representa

como una combinación lineal de los elementos del vector de estados x(t) .

)()()()(

)()()()(

)()()()(

2211

22221212

12121111

txqtxqtxqtv

txqtxqtxqtv

txqtxqtxqtv

nnnnnn

nn

nn

En forma matricial esta ecuación puede escribirse como

v(t)=Qx(t)=P-1x(t)

x(t)=P v(t) donde P es llamada matriz de transformación .

Sustituyendo (30) en (28) da :

)(CPv(t)y(t)

)(BAPv(t)(t)vP

tDu

tu

y rescribiendo:

)(v(t)Cy(t)

)(Bv(t)A(t)v

tuD

tu

vv

vv

donde: Av=P-1AP , Bv=P-1B , Cv=CP , Dv=D

Esta transformación se llama de semejanza pues si bien la estructura interna del

modelo se modifica, la relación entrada-salida no.

Esto se prueba en la cuarta de las propiedades que se detallan más adelante.

Propiedades de las matrices de estados para los modelos resultantes de

aplicar transformaciones de semejanza.

1) det (sI-Av) = det (sI-A)

Lo que implica que los autovalores del sistema y el sistema transformado

son los mismos.

Dem: . . . . . . .

2) det Av = det A (= 1 2 . . . n)


176

3) tr Av = tr A (= 1 +2 +. . . +n)

4) H ss

ss D s Dv v v v( )

( )

( )( ) ( ) Y

UC I A B C I A B

1 1

Demostración: . . . . . . .

Ejemplo

Para el mismo sistema lineal de segundo orden considerado en el Ej. 20, suponga la

transformación dada por: v t x t x t

v t x t x t

1 1 2

2 1 22

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

Halle:

a) las matrices P y Q

b) las ecuaciones de estado transformadas

c) la función de transferencia del sistema

d) verifique las propiedades enunciadas

Transformación de los autovalores

Si A tiene n autovalores distintos, entonces puede diagonalizarse usando la

transformación

=P-1AP siendo P una matriz cuyas columnas son los autovectores de la matriz A, resultando la

matriz como una matriz diagonal cuyos elementos son los autovalores de A.

Prueba: para cada autovalor puede escribirse la ecuación

A.x1= 1.x1

A.x2= 2.x2

A.xn= n.xn

donde por ejemplo, x1 es el autovector correspondiente al autovalor 1 .

A partir de las definiciones de las matrices hechas mas arriba, este sistema de n

ecuaciones matriciales puede escribirse en forma mas compacta como:

AP =P.

resultando entonces: =P-1 A P

Luego, si se elije para la Transformación de Semejanza, la matriz formada por los

autovectores, se obtendrá un modelo en variables de estado, con una matriz de estados

Av =, diagonal, cuyos elementos son los autovalores del sistema.

Ejercicio 24: Encuentre el modelo de variables de estado semejante al

encontrado ya en el Ejercicio 20, realizando la transformación por los

autovectores.

Apéndice

177

ApéndiceS

Apéndice

178

Variable Compleja

NÚMERO COMPLEJO: z=x+jy

FORMA POLAR DE UN COMPLEJO:

je.rz donde

22 yxzr y x

ytgarc

El argumento de z admite múltiples valores, pero el valor: se denomina

valor principal del argumento.

EXTRACCIÓN DE RAÍCES:

n

k2.j

e.n1

rn1

z , k = 0,1,2,……,n-1 y es el argumento de z

DESIGUALDADES TRIANGULARES:

a) 2121 zzzz b) 2121 zzzz

FUNCIÓN DERIVABLE EN UN PUNTO: Sea f(z)=u(x,y)+j v(x,y)

Condiciones de Cauchy-Riemann: yuxv;yvxu

a) Condiciones necesarias:

Si una función es derivable en un punto 00 y,x , entonces se cumplen las condiciones

de C-R

b) Condiciones suficientes:

Sean u y v funciones reales uniformes de x e y, las cuales junto con sus derivadas

parciales de primer orden son continuas en un punto 00 y,x . Si estas derivadas

parciales satisfacen las condiciones de C-R en aquel punto, entonces la derivada f '(z0),

existe.

FUNCIONES ANALÍTICAS:

La función w = f(z) es analítica en un punto dado z0 D si la misma es derivable tanto

en el propio punto z0 como en un cierto entorno del mismo.

Las condiciones de C-R son necesarias pero no suficientes.

Apéndice

179

FUNCIONES ELEMENTALES

a) Función exponencial : w = ez

*Es una función entera, es decir analítica en todo el plano complejo.

*No se anula para ningún valor de z.

*Su imagen es el plano complejo completo excepto el origen, pues:

rlnxdondedeere xz

* Es una función periódica de período jk2 , Zk

b) Función logarítmica: w = log z

w = log z = Zkk2wjz arg.ln

Si k = 0, el valor principal se denomina como Log z= wjzln arg

c) Funciones trigonométricas e hiperbólicas

j2

eezsen

jzjz ; sen (-z) = -sen z ; sen ( z + 2 ) = sen z. ; D sen z = cos z

2

eezcos

jzjz ; cos (-z) = cos z ; cos ( z + 2 ) = cos z. ; D cos z = - sen z

Sh z = 2

ee zz ; Ch z =

2

ee zz

ECUACIONES EN EL CAMPO COMPLEJO

Recordemos de Álgebra:

a) Los conceptos de raíces simples y múltiples.

Sea una raíz de la ecuación algebraica f(x)=an.xn + an-1.x

n-1 +…………..+ a1.x + a0 = 0,

es decir que f() = 0. Esto equivale a que el polinomio f(x) es divisible por (x-). Puede

ocurrir que f(x) sea divisible por una potencia de (x-)m, y que el exponente m sea el

más alto posible, es decir, que f(x) no sea ya divisible por (x-)m+1; en otros términos,

que el factor primo (x-) figure en la descomposición de f(x) exactamente con el

exponente m: f(x) = (x-)m.g(x), donde ya (x-) no es divisor de g; o lo que es

equivalente: g() 0. Entonces el número natural m se llama la multiplicidad o el

orden de multiplicidad de la raíz . Este último número es raíz simple si m = 1, y raíz

múltiple si m > 1.

b) El Teorema fundamental del Álgebra

Toda ecuación algebraica f(x) = 0 de grado no nulo, de coeficientes reales o complejos,

tiene al menos una raíz (real o compleja)

Apéndice

180

Una ecuación grado n, P(x) = 0 puede escribirse, en el campo complejo, en la forma

factoreada: r21 k

r

k

2

k

1 xx.................xx.xx.a con kj 1, ( j = 1,2,……,r), y

k1+k2+…………..+kr = n

Una raíz xj será múltiple si kj > 1, y el entero kj se llama orden de multiplicidad.

Si una raíz no es múltiple, es decir k = 1, se llama simple. Como la suma de los kj es n,

tenemos: en el campo complejo, una ecuación de grado n tiene exactamente n

raíces, contando cada una con su orden de multiplicidad.

SERIES POTENCIALES:

n0n

zz.na0

Las series de potencias tienen un “buen” comportamiento, bajo la suma, multiplicación,

diferenciación e integración; la cual las hace útiles en análisis complejo.

* La suma o resta término a término de dos series de potencias con radios de

convergencia R1 y R2, produce una serie de potencias con radio de convergencia por lo

menos igual al menor de R1 y R2.

* La multiplicación término a término de dos series de potencias significa la

multiplicación de cada término de la primera serie por cada término de la segunda serie

y el agrupamiento de los términos que tienen la misma potencia de z.

* La diferenciación e integración de término a término de una serie de potencias es

permisible. La serie de potencias que se obtiene de derivar término a término se

denomina serie derivada de la serie de potencias.

* La serie derivada de una serie de potencias tiene el mismo radio de convergencia

que la serie original.

* Una serie de potencias con radio de convergencia R diferente de cero representa

una función analítica en todo punto interior de su círculo de convergencia. Las

derivadas de esta función se obtienen por diferenciación término a término de la serie

original. Todas las series así obtenidas tienen el mismo radio de convergencia que la

serie original. Por tanto, cada una de ellas representa una función analítica.

Apéndice

181

Álgebra Lineal

El estudio de las matrices tiene su origen en los sistemas de ecuaciones

algebraicas lineales. Considere el siguiente ejemplo:

x x x

x x x

x x x

1 2 3

1 2 3

1 2 3

3

1

2 3 6

(a-1)

Estas ecuaciones pueden escribirse utilizando la forma vectorial-matricial como:

6

1

3

312

111

111

3

2

1

x

x

x

(a-2)

Si llamamos: A

1 1 1

1 1 1

2 1 3

x =

x

x

x

u

3

1

6

1

2

3

, ,

entonces (a-2) puede expresarse como:

Ax = u

donde A es una matriz (3,3), , y x y u vectores ( o matrices 3x1).

La forma genérica de denominar a la matriz A es

A

a a a

a a a

a a a

a

n

n

m m mn

ij

11 12 1

21 22 2

1 2

Matriz identidad:

Es una matriz cuadrada, tal que todos los elementos de la diagonal son iguales a 1, y los

elementos fuera de la diagonal son cero:

aij=1, i=j aij=0, ij . Por ejemplo, la matriz identidad de orden 3 es:

I

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Matriz diagonal: D

d 0 0

0 d 0

0 0 d

11

22

33

Matriz simétrica: La matriz cuadrada A es simétrica si aij= aji ,para todo i , j

Apéndice

182

Transpuesta de una matriz:

Si A

a a a

a a a

a a a

11 12 13

21 22 23

31 32 33

entonces, A T

a a a

a a a

a a a

11 21 31

12 22 32

13 23 33

Traza:

tr(A)= a11+ a22+ . . . +ann

Determinante:

El determinante de una matriz cuadrada es un número que se puede calcular haciendo la

suma de los productos de los elementos de una línea (fila o columna) , por sus

respectivos adjuntos.

Cofactor o adjunto

El cofactor cij del elemento aij de la matriz cuadrada A está dada por

cij = (-1)i+j mij

donde mij es el menor del elemento aij , es decir , el determinante de la matriz (n-1)x(n-

1) que queda cuando se quitan la fila y la columna que incluye a aij . Por ejemplo, para

A(3x3), m21=

a a

a aa a a a

12 13

32 3312 33 13 32

Matriz Inversa

AA

A

1 adj

donde, adj A es la matriz adjunta de la matriz cuadrada A , la que se define a partir de

la definición de cofactor, como:

Matriz Adjunta

Es la matriz de los cofactores, transpuesta. Si A (3x3): adj A

c c c

c c c

c c c

T11 12 13

21 22 23

31 32 33

Integración y diferenciación

La derivada (o la integral) de una matriz, se obtiene diferenciando (o integrando) la

matriz elemento por elemento.

Autovalores y autovectores

Definición: Un autovalor de una matriz cuadrada A (n n) es uno de los escalares

que permiten una solución no trivial (x 0) a la ecuación

A x = x

Apéndice

183

Observe que esta ecuación se puede escribir en la forma:

A x = I x

A x - I x = 0

(A - I ) x = 0

Un vector solución x no trivial existe solamente si det (A - I ) = 0.

Por lo tanto, los autovalores de A son las raíces de su ecuación característica, es decir,

del polinomio que resulta de calcular el determinante de la matriz: A- I . Observe que

este polinomio es de orden n. Por lo tanto existen n autovalores, 1, 2 , . . . , n . Estos

valores pueden ser todos distintos, o repetidos.

Asociado a cada autovalor i , existe una solución xi de la ecuación A x = x . Este

vector solución se llama autovector o vector propio. (xi se llama también vector

invariante respecto de la transformación A x )

Observe que los autovectores tienen longitud arbitraria: para cualquier escalar , si x es

solución de A x = x , entonces x también lo es, ya que A x = x . Un autovector

es normalizado a la unidad, si su longitud es la unidad, es decir x 1.

Ejemplo 1:

a) Calcule los autovalores de la matriz

31

43 Rta: 1 y 5.

b) Calcule el conjunto de autovectores asociado al autovalor =1. Rta.:x1=

b

b2 ;

b

c) Encuentre el autovector asociado al autovalor =1 que tiene norma 1.

Rta: x1=1

5

2

1

Ejemplo 2:

Repetir los incisos del Ejemplo 1 para

221

131

122

Rtas.: a) 5, 1 y 1; b) x1=

k

k

k

Ejemplo 3:

Proponer una matriz diagonal cualquiera y verificar que sus autovalores coinciden con

los elementos de la diagonal.

Ejemplo 4: A=

21

01 a) Verificar que A-1 =

5050

01

..

b) Encontrar los autovalores y autovectores de A-1.

c) ¿Cuales son sus conclusiones?

Apéndice

184

Propiedades de interés:

n

ii

n

iii

n

ii

TT

a)(traza

)(

)()(

11

1

111

11

11

11

A

A

ABA.B

AA

AA

IAAAA

BAAB

Apéndice

185

TABLAS

Apéndice

186

TRANSFORMADA DE FOURIER

PROPIEDADES

DEFINICION )(tf

dtetfF tj )()(

DUALIDAD F(t)

)(2 f

ESCALA )(atf

aF

a

1

DESPLAZAMIENTO EN EL

TIEMPO

)( 0ttf )(0 Fe

tj

DESPLAZAMIENTO EN

FRECUENCIA

)(0 tfetj

)( 0 F

DERIVACION EN EL TIEMPO

Nntf n ,)()(

)()( Fj n

DERIVACION EN FRECUENCIA

Nntfjt n ,)()( )()( nF

INTEGRACION EN EL TIEMPO

t

duuf )( )()0()(

1

FF

j

CONVOLUCION EN EL TIEMPO

)(*)( tgtf )()( GF

CONVOLUCION EN

FRECUENCIA

)()( tgtf )(*)(2

1

GF

f(t) cos(0t) )(

2

1)(

2

100 FF

f(t) sen( 0t)

)(2

1)(

2

100 F

jF

j

Relación de Parseval: E=

dt)t(f2

=

d)(F2

2

1

Apéndice

187

PARES TRANSFORMADOS

FUNCIÓN TRANSFORMADA

e-at us(t) , a0 aj

1

tae

22

2

a

a

0,2

ae at

aea

4/2

Pa(t)

2sinc

aa

T2b(t)

2sinc2 b

b

Nn(t), u-ate

!n

ts

n

1

1

, a0 naj )(

1

e-at sen bt us(t), a0 22)( baj

b

e-at cos bt us(t) ,a0 22)( baj

aj

)(t 1

Nntn ),()( nj )(

us(t)

j

1)(

N n, t n )(j2 )n(n ωδπ

etj 0

)(2 0

t0 cos )()( 00

t0sen )()( 00 j

t0sen us(t) )()(j

00220

0

2

t0 cos us(t) )()(2

0022

0

j

t us(t) 2

1)('

j

Apéndice

188

TRANSFORMADA DE LAPLACE

FUNCIÓN

TRANSFORMADA

0,)( ttf

0

)()()( dttfesFtf st

)()( tgtf )()( sGsF

1 s/1

t 1

ate as

asReRe

1

nt 1ns

!n

0sRe

sen(at) 22 as

a

cos(at)

22 as

s

)(tfeat )( asF , si )()( tfsF L

natte ,...2,1,

)(

!1

nas

nn

)(tft n ,...3,2,1),()1( nsF

ds

dn

nn

)()( tf n , n=1,2,3,...

snF(s)- sn-1f (0+)- sn-2f '(0+) - .....-f

(n-1)(0+)

t

df

0

)( )(1

sFs

t

df )( )(1

sFs

0

)(1

dttfs

EXISTEt

tfsi

t

tf

t

)(lim,

)(

0

s

duuF )(

f(at), a>0 )/(1

asFa

)()( atuatf s )(sFe as

Apéndice

189

FUNCIÓN TRANSFORMADA

t

dvvtgvf0

)()( F(s) G(s)

f(t) = f(t+T) dtetfe

Tst

sT

0

)(1

1

senh(at) 22 as

a

cosh (at)

22 as

s

ebt senh (at) 22)( abs

a

ebt cosh(at) 22)( abs

bs

ebt sen (at) 22)( abs

a

ebt cos(at) 22)( abs

bs

T. del valor final T. del valor inicial

)s(Fslim)t(flim

0st )s(Fslim)t(flim

st 0

______________________________________________________________________

Apéndice

190

Variables de Estado

)()()(

)()()()()(

0

00

tuDtxCty

duBttxtttx

t

t

2ª Forma Canónica

1210 ...

1...000

0...100

0...010

naaaa

A ;

1

0

0

0

B ; nbD

)()(......)()( 11221100 nnnnnnnn babbabbabbabC

Transformación

PAPAv

1 ; BPBv

1 ; PCCv ; DDv

Método de Cayley – Hamilton :

1

0

n

i

ii

t t γe AA ,

Los tγi se obtienen de ,...,N,j,λ t γtγeN

i

iji

tλ j 211

10

Señales de potencia y energía

Para calcular la energía:

L

Ldttf

L

2limE

Para analizar si es de potencia:

L

LL

dttfL

2

2

1lim0

______________________________________________________________________

Propiedades Delta de Dirac 1) 00 /0)( ttttt

2) 2010 1)(

2

1

tttsidttt

t

t

extensible a intervalos infinitos

Apéndice

191

3) Si f(t) es continua en )()()()( 00001 tttftttftt

4) battencontínuaestgbtasi

btasitgdttgtt

b

a

;)(

0

)()()( 0

0

00

0

5) 1010

2

1

0 ,)()()( tttconttdtt

t

t

6) 1010)(

2

1

0)( ,)()1()()( tttcontfdtttf kk

t

t

k

7)

0

0

000

1)()(

ttsi

ttsidtttu

t

8) tda

tt

atdtat

)(1

)( 00

9) )()( tt

__________________________________________________________________

SERIES DE LAURENT

(1))z(z

b)z(zaf(z)

1nn

0

n

0n

n

0n

C

n(2)....)0,1,2,....(ndz

z(z

f(z)

j2

1a

0

n 1) (3)...)1,2,......(ndz

z(z

f(z)

j2

1b

0

n

C

n 1)

Desarrollos en serie más utilizados:

1) Serie binomial:

!n

)1n)........(1(

n,1

0donde;1z,z

n)z1(

0n

n

Casos particulares:

1-1) ..............1)1(1,)1(1

1 321

0

zzzzózzz n

nn

1-2) ..............1))(1(1,)(1

1 321

0

zzzzózzz n

n

1-3) 1z...,..........!3

z)2m)(1m(m

!2

z)1m(mmz1)z1(

32m

2)

z,

)!1n2(

z)1(zsen

1n

1n21n

3)

z,)!n2(

z)1(1zcos

1n

n2n ; 4)

z,!n

z1e

1n

nz

Apéndice

192

SERIE DE FOURIER

Serie exponencial o compleja de Fourier

f(t) = n

0jnw t

c en

donde

T

2

n

T

2

0jnw t1

f(t).e dtT

c

y 0

2πw

T


n 0 n 0

n 1

0 a cos(nw t) b sen(nw t)a

f(t)2

con

T

2

0

T

2

2a f(t)dt

T

;

T

2

n 0

T

2

2a f(t)cos(nw t) dt

T

T

2

n 0

T

2

2b f(t)sen(nw t) dt

T

Si f(t) es par:

n 0

n 1

0 a cos(nw t)a

f(t)2

con :

T

2

0

0

4a f(t)dt

T ;

T

2

n 0

0

4a f(t)cos(nw t) dt

T ; bn= 0

Si f(t) es impar:

n 0

n 1

b sen(nw t)f(t)

con : a0 = an = 0 ;

T

2

n 0

0

4b f(t) sen(nw t) dt

T

Si f(t) tiene simetría de media onda contiene solamente armónicas impares

2n 1 0 2n 1 0

n 1


con a0 = 0

T

2

2n 1 0

0


T

T

2

2n 1 0

0


T

Identidad de Parseval

Si utilizamos la serie compleja de Fourier:

n

2

n

2

T

2

T

2cdtf(t)

T

1

Si utilizamos la serie trigonométrica de Fourier:

1n

2

n

2

n

2

02

T

2

T

2ba

2

1

4

adtf(t)

T

1

Apéndice

193

Identidades trigonométricas

π)(xx 2sen)(sen π)(xx 2cos)(cos π)(xx tg)(tg

π)(xx sen)(sen π)(xx cos)(cos

(x)x tg)(tg (x)x cotg)(cotg

x

πx

2cos)(sen

x

πx

2sen)(cos

x

πx

2cotg)(tg

a

bxosba(x)bxa arctgccos)(sen 22

1)(cos)(sen 22 xx

yxyxyx sencoscossen)(sen

yxyxyx sensencoscos)(cos

yx

yxyx

tgtg1

tgtg)(tg

Apéndice

194

Funciones hiperbólicas

)(h2

1)(Ch Cee )(h2

1)(Sh See

)(h/)(h)(Th CS )(h/)(Ch)(Ch S e )(Sh)(Ch eS )(h)(Ch

1)(h)(Ch 22 S

)(Ch)(h)(Ch)(h)(Sh SS

)(Sh)(Sh)(Ch)(Ch)(Ch

)(Th)(Th1

)(Th)(Th)(Th

)(Ch)(Ch2

1)(Sh)(Sh

)(Ch)(Ch2

1)(Ch)(Ch

)(Sh)(Sh2

1)(Ch)(Sh

)(Sh)(Ch)(Sh)(Ch nnn

)(sen)(Sh xixi )(Sh)(sen xixi

)cos()(Ch xxi )(Ch)cos( xxi

)(tg)(Th xixi )(Th)(tg xixi

)(Sh)cos()(Chsen)(sen yxiy(x)iyx

)(Sh)(sen)(Chcos)(cos yxiy(x)iyx

)(ArgSh)(sen arc xixi

)(ArgCh)(cos arc xiixi

x

xxixi

1

1ln

21)(ArgTh)( tgarc

análisis en el dominio transformado - fi.mdp.edu.ar · iii-1) series de fourier sistemas...

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