467

12

Análisis dinámico y respuesta de los sistemas lineales

AVANCE

Ahora que se han desarrollado procedimientos para formular las ecuaciones de movimiento

para los sistemas de VGDL sometidos a fuerzas dinámicas (capítulos 9 y 11), es posible

presentar la solución a estas ecuaciones. En la parte A de este capítulo se demuestra que

las ecuaciones de un sistema de dos grados de libertad sin amortiguamiento y sometido a

fuerzas armónicas pueden resolverse en forma analítica. Después, estos resultados se uti-

lizan para explicar la forma en que funciona un amortiguador de masa resonante para dis-

minuir o eliminar las vibraciones no deseadas. Esta solución simultánea de las ecuaciones

acopladas de movimiento en general no es factible, por lo que en la parte B se desarrolla el

procedimiento clásico del análisis modal. Las ecuaciones de movimiento se transforman a

coordenadas modales, lo que conduce a un conjunto acoplado de ecuaciones modales; cada

una de ellas se resuelve para determinar las contribuciones modales a la respuesta, y estas

respuestas modales se combinan para obtener la respuesta total. En la parte C se desarrolla

una explicación de las contribuciones de respuesta relativa de los distintos modos, con el

objetivo de determinar el número de modos que debe incluirse en el análisis dinámico. El

capítulo termina con la parte D, que incluye dos procedimientos de análisis útiles en situa-

ciones especiales: el método de corrección estática y el método de aceleración modal.

PARTE A: SISTEMAS DE DOS GRADOS DE LIBERTAD

12.1 ANÁLISIS DE LOS SISTEMAS DE DOS GRADOS DE LIBERTAD SIN AMORTIGUAMIENTO

Considere los sistemas de dos grados de libertad mostrados en la fi gura 12.1.1, excitados

mediante una fuerza armónica p1(t) = po sen ωt que se aplica a la masa m1. Para ambos

sistemas las ecuaciones de movimiento son

m1 00 m2

u1

u2+ k1 + k2 −k2

−k2 k2

u1

u2= po

0sen ωt (12.1.1)

M012_Chopra.indd 467 23/07/13 14:11

Análisis dinámico y respuesta de los sistemas lineales Capítulo 12468

Observe que las ecuaciones están acopladas a través de la matriz de rigidez. Una ecuación

no puede resolverse en forma independiente de la otra; es decir, ambas ecuaciones deben

resolverse a la vez. Debido a que el sistema está amortiguado, la solución de estado estacio-

nario puede suponerse como

u1(t)u2(t)

= u1o

u2osen ωt

Si se sustituye esto en la ecuación (12.1.1), resulta

k1 + k2 − m1ω2 −k2

−k2 k2 − m2 ω2u1o

u2o= po

0 (12.1.2)

o

k − ω2mu1o

u2o= po

0

Al multiplicar antes por [k − ω2m]−1 se obtiene

u1o

u2o= k − ω2m

−1 po

0= 1

det [k − ω2m]adj [k − ω2m]

po

0 (12.1.3)

donde det[⋅] y adj[⋅] indican el determinante y la adjunta de la matriz [⋅], respectivamente.

La ecuación de frecuencia (ecuación 10.2.6)

det[k − ω2m] = 0puede resolverse para las frecuencias naturales ω1 y ω2 del sistema. En términos de estas

frecuencias, el determinante se expresa como

det[k − ω2m] = m1m2(ω2 − ω2

1)(ω2 − ω2

2) (12.1.4)

Por lo tanto, la ecuación (12.1.3) se convierte en

u1o

u2o= 1

det[k − ω2m]k2 − m2ω

2 k2

k2 k1 + k2 − m1ω2

po

0 (12.1.5)

o

u1o = po(k2 − m2ω2)

m1m2(ω2 − ω21)(ω

2 − ω22)

u2o = pok2

m1m2(ω2 − ω21)(ω

2 − ω22)

(12.1.6)

Ejemplo 12.1

Grafi que la curva de frecuencia-respuesta para el sistema que se muestra en la fi gura 12.1.1

con m1 = 2m, m2 = m, k1 = 2k y k2 = k, sometido a una fuerza armónica po que se aplica en

la masa m1.

u1

m1

po sen ωt

k1

u2

m2k2

m1

m2

u2

u1

k1 = Rigidez de entrepiso

k2

po sen ωt

Vigas rígidas

Figura 12.1.1 Sistemas de dos grados de libertad.

M012_Chopra.indd 468 23/07/13 14:11

Sección 12.1 Análisis de los sistemas de dos grados de libertad sin amortiguamiento 469

Solución Si se sustituyen los valores dados de la masa y la rigidez en la ecuación (12.1.6),

resulta

u1o = po(k − mω2)

2m2(ω2 − ω21)(ω

2 − ω22)

u2o = pok

2m2(ω2 − ω21)(ω

2 − ω22)

(a)

donde ω1 = √k/2m y ω2 = √

2k/m; estas frecuencias naturales se obtuvieron en el

ejemplo 10.4. Con los parámetros dados del sistema, la ecuación (a) proporciona soluciones

para las amplitudes de respuesta u1o y u2o. Resulta instructivo volver a escribirlos como

u1o

(u1st)o= 1 − 1

2 (ω/ω1)2

1 − (ω/ω1)2 1 − (ω/ω2)

2

u2o

(u2st)o= 1

1 − (ω/ω1)2 1 − (ω/ω2)

2 (b)

En estas ecuaciones las amplitudes de respuesta se han dividido en (u1st)o = po/2k y (u2st)o =

po�2k, los valores máximos de los desplazamientos estáticos (un concepto introducido en la

sección 3.1), para obtener respuestas normalizadas o no dimensionales que dependen de las

relaciones de frecuencia ω�ω1 y ω�ω2, y no por separado de ω, ω1 y ω2.

Figura E12.1

–3

–2

–1

0

1

2

3

1 2

–3

–2

–1

0

1

2

3

1 2

u 1o

o÷

1st

()

uu 2

oo

÷2s

t(

)u

ω / ω1

ω1/ω1 ω2/ω1

ω / ω1

ω1/ω1 ω2/ω1

M012_Chopra.indd 469 23/07/13 14:11

Análisis dinámico y respuesta de los sistemas lineales Capítulo 12470

En la fi gura E12.1 se muestran las amplitudes u1o y u2o de la respuesta normalizada,

grafi cadas contra la relación de frecuencia ω�ω1. Estas curvas de frecuencia-respuesta indi-

can dos condiciones de resonancia en ω = ω1 y ω = ω2; en estas frecuencias de excitación la

respuesta en estado estacionario es ilimitada. En otras frecuencias de excitación la vibración

es fi nita y puede calcularse a partir de la ecuación (b). Observe que existe una frecuencia de

excitación en la que la vibración de la primera masa, donde se aplica la fuerza de excitación,

se reduce a cero. Ésta es toda la base del amortiguador de masa resonante que se analiza a

continuación.

12.2 AMORTIGUADOR DE MASA RESONANTE

El amortiguador de masa resonante es un dispositivo mecánico que se utiliza para reducir

o eliminar la vibración no deseada. La descripción amortiguador de masa sintonizado se

usa a menudo en las instalaciones modernas; este nombre nuevo tiene la ventaja de mostrar

su relación con otros tipos de amortiguadores. La exposición breve que sigue se restringe

al principio básico de un amortiguador de masa resonante sin entrar en muchos aspectos

importantes de su diseño práctico.

En su forma más simple, un amortiguador de masa resonante consiste en un resorte y

una masa. Tal sistema de absorción está conectado a un sistema de 1GDL, como se muestra

en la fi gura 12.2.1a. Las ecuaciones de movimiento para la masa principal m1 y la masa del

amortiguador m2 son las mismas que la ecuación (12.1.1). Para la fuerza armónica aplicada

a la masa principal ya se tiene una solución dada por la ecuación (12.1.6). Se presenta la

notación

ω∗

1 = k1

m1ω∗

2 = k2

m2μ = m2

m1

(12.2.1)

Figura 12.2.1 (a) Amortiguador de masa resonante unido a un sistema de 1GDL; (b) amplitud de

respuesta contra la frecuencia de excitación (la curva a trazos indica u1o negativa o una fase opuesta

a la excitación); μ = 0.2 y ω1* = ω2

*.

Rango de operación

0.8 1.25

0 1 20

1

2

4

6

8(b)

u 1o

÷(u

1st) o

ω/ ω *1

(a)

po sen ωt

u1

m1

k1

u2

m2

k2

Am

ortig

uado

rde

mas

are

sona

nte

Sist

ema

prin

cipa

l

M012_Chopra.indd 470 23/07/13 14:11

Sección 12.2 Amortiguador de masa resonante 471

la solución disponible puede reescribirse como

u1o = po

k1

1 − ω/ω∗2

2

1 + μ ω∗2/ω

∗1

2 − ω/ω∗1

21 − ω/ω∗

22 − μ ω∗

2/ω∗1

2

u2o = po

k1

1

1 + μ ω∗2/ω

∗1

2 − ω/ω∗1

21 − ω/ω∗

22 − μ ω∗

2/ω∗1

2

(12.2.2a)

(12.2.2b)

En la frecuencia de excitación ω = ω2*, la ecuación (12.2.2a) indica que el movimiento de

la masa principal m1 no sólo disminuye, sino que cesa por completo. En la fi gura 12.2.1b se

muestra una gráfi ca de la amplitud de respuesta u1o ÷ (u1st)o, donde (u1st)o = po�k1, contra ω;

para este ejemplo, la relación de masa μ = 0.2 y ω1* = ω2

*, donde el amortiguador está sin-

cronizado con la frecuencia natural del sistema principal. Como el sistema tiene dos grados

de libertad, existen dos frecuencias de resonancia y la respuesta en esas frecuencias no está

acotada. Se muestra el rango de la frecuencia de operación donde u1o ÷ (u1st)o < 1.

La utilidad del amortiguador de masa resonante es evidente al comparar la función de

frecuencia-respuesta de la fi gura 12.2.1b con la respuesta de la masa principal por sí sola,

sin la masa de éste. En ω = ω1*, la amplitud de respuesta de la masa principal por sí sola es

ilimitada, pero es cero en presencia de la masa del amortiguador. Así, si la frecuencia de

excitación ω está cerca de la frecuencia natural ω1* del sistema principal y las restricciones

de operación hacen que sea imposible variar cualquiera de ellas, puede utilizarse el amorti-

guador de masa resonante para reducir la amplitud de respuesta del sistema principal hasta

un valor cercano a cero.

¿Cuál debe ser el tamaño de la masa del amortiguador? Para responder a esta pregun-

ta se utiliza la ecuación (12.2.2b) a fi n de determinar el movimiento de la masa de éste en

ω = ω2*:

u2o = − po

k2 (12.2.3)

La fuerza que actúa sobre la masa del amortiguador es

k2u2o = ω2m2u2o = −po (12.2.4)

Esto implica que este sistema ejerce una fuerza igual y opuesta a la fuerza de excitación.

Así, el tamaño de la rigidez y la masa del amortiguador, k2 y m2, dependen del valor per-

mitido de u2o. Existen otros factores que afectan la elección de la masa del amortiguador.

Obviamente, una masa grande de éste presenta un problema práctico. Al mismo tiempo,

cuanto menor sea la relación de masa μ, más estrecho será el intervalo de la frecuencia de

operación del amortiguador.

La presentación anterior indica que un amortiguador de masa resonante tiene su ma-

yor aplicación en las máquinas sincronizadas, operando con una frecuencia casi constante,

para las que se sintoniza a una frecuencia particular y sólo es efi caz en una banda estrecha

de frecuencias. Sin embargo, los amortiguadores de vibraciones se emplean también en

situaciones en las que la excitación no es cercanamente armónica. Los amortiguadores que

cuelgan de las líneas de transmisión de alta tensión se usan para mitigar los efectos fati-

M012_Chopra.indd 471 23/07/13 14:11

Análisis dinámico y respuesta de los sistemas lineales Capítulo 12472

gantes de la vibración inducida por el viento. Éstos también se han utilizado para reducir la

vibración inducida por el viento en edifi cios altos, cuando los movimientos han alcanzado

niveles molestos para los ocupantes. Un ejemplo de esto es el edifi cio Citicorp Center de 59

niveles en el centro de Manhattan, cuya construcción fi nalizó en 1977; este edifi cio cuenta

con un bloque de concreto de 820 kip instalado en el nivel 59 sobre una plataforma móvil,

la cual se conecta al edifi cio mediante grandes brazos hidráulicos. Cuando el edifi cio se

balancea más de 1 pie por segundo, una computadora dirige los brazos para mover el bloque

en la otra dirección. Esta acción reduce la oscilación en un 40%, sufi ciente para aliviar las

molestias de los ocupantes del edifi cio durante los vendavales fuertes.

PARTE B: ANÁLISIS MODAL

12.3 ECUACIONES MODALES PARA LOS SISTEMAS NO AMORTIGUADOS

Las ecuaciones de movimiento para un sistema lineal sin amortiguamiento de VGDL se

obtuvieron en el capítulo 9 y se repiten aquí:

mu + ku = p(t) (12.3.1)

La solución simultánea de estas ecuaciones de movimiento acopladas, que se ilustró en la

sección 12.1 para un sistema de dos grados de libertad sometido a una excitación armónica,

no es efi ciente para los sistemas con más grados de libertad, ni es factible para los sistemas

excitados por otros tipos de fuerzas. Por consiguiente, resulta ventajoso transformar estas

ecuaciones en coordenadas modales, como se verá a continuación.

Como se mencionó en la sección 10.7, el vector de desplazamiento u de un sistema

de VGDL puede ampliarse en términos de las contribuciones modales. Así, la respuesta

dinámica de un sistema puede expresarse como

u(t) =N

r=1

φr qr (t) = Φq(t) (12.3.2)

Si se usa esta ecuación, las ecuaciones acopladas (12.3.1) en uj(t) pueden transformarse en

un conjunto de ecuaciones no acopladas donde las coordenadas modales qn(t) son las incóg-

nitas. Al sustituir la ecuación (12.3.2) en la (12.3.1), se obtiene

N

r=1

m φr qr (t) +N

r=1

k φr qr (t) = p(t)

Si se multiplica antes cada término de esta ecuación por φTn, resulta

N

r=1

φTn mφr qr (t) +

N

r=1

φTn kφr qr (t) = φT

n p(t)

M012_Chopra.indd 472 23/07/13 14:11

Sección 12.3 Ecuaciones modales para los sistemas no amortiguados 473

Debido a las relaciones de ortogonalidad de la ecuación (10.4.1), todos los términos en cada

una de los sumatorias se anulan, con excepción del término r = n; lo anterior reduce esta

ecuación a

(φTn mφn)qn(t) + (φT

n kφn)qn(t) = φTn p(t)

o

Mn qn(t) + Kn qn(t) = Pn(t) (12.3.3)

donde

Mn = φTn mφn Kn = φT

n kφn Pn(t) = φTn p(t) (12.3.4)

La ecuación (12.3.3) puede interpretarse como la ecuación que rige la respuesta qn(t) del sistema de 1GDL mostrado en la fi gura 12.3.1, con masa Mn, rigidez Kn y la fuerza de

excitación Pn(t). Por lo tanto, Mn se denomina la masa generalizada para el n-ésimo modo

natural, Kn la rigidez generalizada para el n-ésimo modo, y Pn(t) la fuerza generalizada

para el n-ésimo modo. Estos parámetros dependen sólo del n-ésimo modo φn. Por lo tanto,

si sólo se conoce el modo n, es posible escribir la ecuación para qn y resolverla sin conocer

siquiera los otros modos. Si se divide entre Mn y se usa la ecuación (10.4.7), la ecuación

(12.3.3) puede reescribirse como

qn + ω2n qn = Pn(t)

Mn (12.3.5)

Las ecuaciones (12.3.3) o (12.3.5) rigen la n-ésima coordenada modal qn(t), la única incóg-

nita en la ecuación, y hay N de estas ecuaciones, una para cada modo. Así, el conjunto de

N ecuaciones diferenciales acopladas (12.3.1) en los desplazamientos nodales uj(t) –j = 1,

2, . . . , N– ha sido transformado en el conjunto de N ecuaciones no acopladas (12.3.3) en

las coordenadas modales qn(t) –n = 1, 2, . . . , N–. Escrito en forma matricial este último

conjunto de ecuaciones es

Mq + Kq = P(t) (12.3.6)

donde M es una matriz diagonal de las masas modales generalizadas Mn, K es una matriz

diagonal de las rigideces modales generalizadas Kn, y P(t) es un vector columna de las fuer-

zas modales generalizadas Pn(t). Recuerde que M y K se introdujeron en la sección 10.4.

Ejemplo 12.2

Considere los sistemas y la excitación del ejemplo 12.1. Determine, mediante el análisis mo-

dal, la respuesta de estado estacionario del sistema.

Solución Las frecuencias y los modos de vibración naturales de este sistema se determinaron

en el ejemplo 10.4, a partir del cual se calculan las masas y rigideces generalizadas utilizando

Figura 12.3.1 Sistema generalizado de

1GDL para el n-ésimo modo natural.

qn(t)

Mn Pn(t)

Kn

M012_Chopra.indd 473 23/07/13 14:11

Análisis dinámico y respuesta de los sistemas lineales Capítulo 12474

la ecuación (12.3.4). Estos resultados se resumen a continuación:

ω1 = k

2mω2 = 2k

m

φ1 = 12 1

Tφ2 = −1 1 T

M1 = 3m

2M2 = 3m

K1 = 3k

4K2 = 6k

1. Calcule las fuerzas generalizadas.

P1(t) = φT1 p(t) = (po/2)

P1o

sen ω 2(t) = φT2 p(t) = −po

P2o

sen ωt (a)

2. Establezca las ecuaciones modales.

Mnqn + Knqn = Pno sen ωt (b)

3. Resuelva las ecuaciones modales. Para resolver la ecuación (b) se trabaja sobre la

solución presentada en la ecuación (3.1.7) para un sistema de 1GDL sometido a una fuerza

armónica. La ecuación gobernante es

mu + ku = po sen ωt (c)

y su solución de estado estacionario es

u(t) = po

kC sen ωt C = 1

1 − (ω/ωn)2 (d)

donde ωn = √k/m. Al comparar las ecuaciones (c) y (b), la solución para la ecuación (b) es

qn(t) = Pno

KnCn sen ωt (e)

donde n está dada por la ecuación (d) con ωn interpretada como la frecuencia natural del n-

ésimo modo. Si se sustituyen Pno y Kn para n = 1 y 2, resulta

q1(t) = 2po

3kC1 sen ω 2(t) = − po

6kC2 sen ωt (f)

4. Determine las respuestas modales. La contribución del n-ésimo modo a los despla-

zamientos (con base en la ecuación 12.3.2) es un(t) = φnqn(t). Al sustituir la ecuación (f) se

obtiene la respuesta de desplazamiento debida a los dos modos:

u1(t) = φ12po

3kC1 sen ωt u2(t) = φ2

−po

6kC2 sen ωt (g)

5. Combine las respuestas modales.

u(t) = u1(t) + u2(t) o uj (t) = uj1(t) + uj2(t) j = 1, (h)

M012_Chopra.indd 474 23/07/13 14:11

Seccion 12.4 Ecuaciones modales para los sistemas amortiguados 475

Si se sustituye la ecuación (g) para φ1 y φ2, resulta

u1(t) = po

6k(2C1 + C2) sen ω 2(t) = po

6k(4C1 − C2) sen ωt (i)

Estos resultados son equivalentes a los obtenidos en el ejemplo 12.1 mediante la resolución de

las ecuaciones de movimiento acopladas (12.3.1).

12.4 ECUACIONES MODALES PARA LOS SISTEMAS AMORTIGUADOS

Cuando se incluye el amortiguamiento, las ecuaciones de movimiento para un sistema de

VGDL son

mu + cu + ku = p(t) (12.4.1)

Con base en la transformación de la ecuación (12.3.2), donde φr son los modos naturales

del sistema sin amortiguamiento, estas ecuaciones pueden escribirse en términos de coor-

denadas modales. A diferencia del caso de los sistemas no amortiguados (sección 12.3),

estas ecuaciones modales pueden acoplarse a través de los términos de amortiguamiento.

Sin embargo, para ciertas formas de amortiguamiento que son idealizaciones razonables de

muchas estructuras, éstas se desacoplan de la misma forma que para los sistemas no amor-

tiguados. Esto se demostrará a continuación.

Si se sustituye la ecuación (12.3.2) en la ecuación (12.4.1), resulta

N

r=1

mφr qr (t) +N

r=1

cφr qr (t) +N

r=1

kφr qr (t) = p(t)

Al multiplicar antes cada término de esta ecuación por φTn, se obtiene

N

r=1

φTn mφr qr (t) +

N

r=1

φTn cφr qr (t) +

N

r=1

φTn kφr qr (t) = φT

n p(t)

que puede reescribirse como

Mn qn(t) +N

r=1

Cnr qr (t) + Kn qn(t) = Pn(t) (12.4.2)

donde Mn, Kn y Pn(t) se defi nen en la ecuación (12.3.4) y

Cnr = φTn cφr (12.4.3)

La ecuación (12.4.2) existe para cada n = 1 a N, y el conjunto de N ecuaciones puede es-

cribirse en forma matricial:

M q + C q + K q = P(t) (12.4.4)

donde M, K y P(t) se introdujeron en la ecuación (12.3.6), y C es una matriz no diagonal

con los coefi cientes Cnr. Estas N ecuaciones en las coordenadas modales qn(t) se acoplan a

través de los términos de amortiguamiento porque la ecuación (12.4.2) contiene más de una

velocidad modal.

M012_Chopra.indd 475 23/07/13 14:11

Análisis dinámico y respuesta de los sistemas lineales Capítulo 12476

Las ecuaciones modales se desacoplan si el sistema tiene un amortiguamiento clási-

co. Para tales sistemas, como se defi nió en la sección 10.9, Cnr = 0 si n ≠ r y la ecuación

(12.4.2) se reduce a

Mnqn + Cnqn + Knqn = Pn(t) (12.4.5)

donde el amortiguamiento generalizado Cn está defi nido por la ecuación (10.9.10). Esta

ecuación rige la respuesta del sistema de 1GDL mostrado en la fi gura 12.4.1. Al dividir la

ecuación (12.4.5) entre Mn, se obtiene

qn + 2ζnωnqn + ω2nqn = Pn(t)

Mn (12.4.6)

donde ζn es la fracción de amortiguamiento para el n-ésimo modo. Por lo general, la frac-

ción de amortiguamiento no se calcula utilizando la ecuación (10.9.11) sino que se estima

con base en datos experimentales para estructuras similares a la analizada, (capítulo 11). La

ecuación (12.4.5) rige la coordenada qn(t) del n-ésimo modo y los parámetros Mn, Kn, Cn y

Pn(t) dependen sólo del φn del n-ésimo modo, no de los otros modos. Por lo tanto, se tienen

N ecuaciones desacopladas como la ecuación (12.4.5), una para cada modo natural. En re-

sumen, el conjunto de N ecuaciones diferenciales acopladas (12.4.1) en los desplazamientos

nodales uj(t) se ha transformado en el conjunto de N ecuaciones no acopladas (12.4.5) en las

coordenadas modales qn(t).

qn(t)

Mn Pn(t)

Kn

Cn

Figura 12.4.1 Sistema generalizado de

1GDL para el n-ésimo modo natural.

12.5 RESPUESTA DE DESPLAZAMIENTO

Para las fuerzas externas dinámicas dadas, que están defi nidas por p(t), la respuesta diná-

mica de un sistema de VGDL puede determinarse resolviendo las ecuaciones (12.4.5) o

(12.4.6) para la coordenada modal qn(t). Cada ecuación modal tiene la misma forma que la

ecuación de movimiento para un sistema de 1GDL. Por lo tanto, los métodos de solución y

los resultados disponibles para los sistemas de 1GDL (capítulos 3 a 5) pueden adaptarse a

fi n de obtener las soluciones qn(t) para las ecuaciones modales. Una vez que se han deter-

minado las coordenadas modales qn(t), la ecuación (12.3.2) indica que la contribución del

n-ésimo modo a los desplazamientos nodales u(t) es

un(t) = φn qn (t) (12.5.1)

y la combinación de estas contribuciones modales proporciona los desplazamientos totales:

u(t) =N

n=1

un(t) =N

n=1

φn qn (t) (12.5.2)

La u(t) resultante es independiente de la manera en que se normalicen los modos, aunque

las qn(t) no lo son.

M012_Chopra.indd 476 23/07/13 14:11

Sección 12.7 Análisis modal: resumen 477

Este procedimiento se conoce como el análisis modal clásico o el método de super-posición de modos clásico porque las ecuaciones modales individuales (desacopladas) se

resuelven a fi n de determinar las coordenadas modales qn(t) y las respuestas modales un(t), para después combinarlas y obtener la respuesta total u(t). En forma más precisa, este mé-

todo se denomina el método de superposición de desplazamientos modales clásico debido

a que los desplazamientos modales se superponen. Por brevedad, este procedimiento suele

referirse como el análisis modal. Este método de análisis está restringido a los sistemas

lineales con amortiguamiento clásico. La linealidad del sistema está implícita en el uso

del principio de superposición, ecuación (12.3.2). El amortiguamiento debe tener la forma

clásica para obtener ecuaciones modales que se desacoplen, una característica central del

análisis modal.

12.6 FUERZAS DE LOS ELEMENTOS

Existen dos procedimientos descritos en la sección 9.10 para determinar las fuerzas en los

diversos elementos (vigas, columnas, paredes, etcétera) de una estructura en el instante t de

tiempo, a partir de los desplazamientos u(t) en el mismo instante de tiempo. En el análisis

modal resulta instructivo determinar las contribuciones de los diferentes modos individua-

les a las fuerzas de los elementos. En el primer procedimiento, la contribución del n-ésimo

modo rn(t) a una fuerza elemental r(t) se determina a partir de los desplazamientos modales

un(t) utilizando las propiedades de rigidez del elemento (apéndice 1). Entonces la fuerza del

elemento considerando las contribuciones de todos los modos es

r(t) =N

n=1

rn(t) (12.6.1)

En el segundo procedimiento, las fuerzas estáticas equivalentes asociadas con la res-

puesta del n-ésimo modo están defi nidas por la ecuación (9.10.1) con el subíndice s elimi-

nado: fn(t) = kun(t). Si se sustituye la ecuación (12.5.1) y se utiliza la ecuación (10.2.4),

resulta

fn(t) = ω2nmφnqn(t) (12.6.2)

El análisis estático de la estructura sometida a estas fuerzas externas en cada instante de

tiempo proporciona la fuerza elemental rn(t). Entonces, la fuerza total r(t) está dada por la

ecuación (12.6.1).

12.7 ANÁLISIS MODAL: RESUMEN

La respuesta dinámica de un sistema de VGDL a las fuerzas externas p(t) puede calcularse

mediante un análisis modal, el cual se resume a continuación como una secuencia de pasos:

1. Defi na las propiedades estructurales.

a. Determine la matriz de masa m y la matriz de rigidez k (capítulo 9).

b. Estime la fracción de amortiguamiento modal ζn (capítulo 11).

M012_Chopra.indd 477 23/07/13 14:11

Análisis dinámico y respuesta de los sistemas lineales Capítulo 12478

2. Determine las frecuencias naturales ωn y los modos naturales φn (capítulo 10).

3. Calcule la respuesta en cada modo siguiendo los siguientes pasos:

a. Establezca la ecuación (12.4.5) o (12.4.6) y resuelva para qn(t).b. Calcule los desplazamientos nodales un(t) a partir de la ecuación (12.5.1).

c. Calcule las fuerzas de los elementos asociadas con los desplazamientos nodales

un(t) mediante la aplicación de uno de los dos métodos descritos en la sección 12.6

para los valores deseados de t y las fuerzas de los elementos de interés.

4. Combine las contribuciones de todos los modos para determinar la respuesta total. En

particular, los desplazamientos nodales u(t) están dados por la ecuación (12.5.2) y las

fuerzas de los elementos por la ecuación (12.6.1).

Ejemplo 12.3

Considere los sistemas y la excitación del ejemplo 12.1. Determine las fuerzas de resorte Vj(t) para el sistema de la fi gura 12.1.1a o las fuerzas cortantes Vj(t) de cada nivel en el sistema de la

fi gura 12.1.1b, sin introducir fuerzas estáticas equivalentes. Tome en cuenta sólo la respuesta

de estado estacionario.

Solución Los pasos 1, 2, 3a y 3b del resumen del análisis de la sección 12.7 ya se realizaron

en el ejemplo 12.2.

Paso 3c: Las fuerzas de resorte en el sistema de la fi gura 12.1.1a o las fuerzas cortantes

de cada nivel en el sistema de la fi gura 12.1.1b son

V1n(t) = k1u1n(t) = k1φ1nqn(t)

V2n(t) = k2 [u2n(t) − u1n(t)] = k2(φ2n − φ1n)qn(t)

(a)

(b)

Si se sustituye la ecuación (f) del ejemplo 12.2 en las ecuaciones (a) y (b) con n = 1, k1 = 2k,

k2 = k, φ11 = 12 y φ21 = 1, resultan las fuerzas debidas al primer modo:

V11(t) = 2po

3C1 sen ω 21(t) = po

3C1 sen ωt (c)

Al sustituir la ecuación (f) del ejemplo 12.2 en las ecuaciones (a) y (b) con n = 2, φ 12 = −1,

y φ22 = 1, se obtienen las fuerzas del segundo modo:

V12(t) = po

3C2 sen ω 22(t) = − po

3C2 sen ωt (d)

Paso 4b: Si se sustituyen las ecuaciones (c) y (d) en Vj(t) = Vj1(t) + Vj2(t), resulta

V1(t) = po

3(2C1 + C2) sen ω 2(t) = po

3(C1 − C2) sen ωt (e)

La ecuación (e) proporciona la variación en el tiempo de las fuerzas de resorte y las fuerzas

cortantes en cada nivel. Para una po dada y unas ω y ωn ya determinadas, todas las cantidades

en el lado derecho de estas ecuaciones se conocen, por lo que es posible calcular Vj(t).

Ejemplo 12.4

Repita el ejemplo 12.3 usando fuerzas estáticas equivalentes.

Solución A partir de la ecuación (12.6.2), para un sistema de masas agrupadas, la fuerza está-

tica equivalente en el j-ésimo grado de libertad debida al n-ésimo modo es

f jn(t) = ω2nmj φjnqn(t) (a)

M012_Chopra.indd 478 23/07/13 14:11

Sección 12.7 Análisis modal: resumen 479

Paso 3c: En la ecuación (a) con n = 1 sustituya m1 = 2m, m2 = m, φ11 = 12 , φ21 = 1, w21

= k/2m, y q1(t) a partir de la ecuación (f) del ejemplo 12.2 para obtener

f11(t) = po

3C1 sen ωt f21(t) = po

3C1 sen ωt (b)

En la ecuación (a) con n = 2 sustituya m1 = 2m, m2 = m, φ12 = �1, φ22 = 1, w22 = 2k/m, y

q2(t) a partir de la ecuación (f) del ejemplo 12.2 para obtener

f12(t) = 2po

3C2 sen ωt f22(t) = − po

3C2 sen ωt (c)

El análisis estático de los sistemas de la fi gura E12.4 sometidos a las fuerzas fjn(t) propor-

ciona las dos fuerzas de resorte y las fuerzas cortantes de cada nivel debidas al n-ésimo modo:

V1n(t) = f1n(t) + f2n(t) V2n(t) = f2n(t) (d)

La sustitución de la ecuación (b) en la ecuación (d) con n = 1 da las fuerzas del primer modo

que son idénticas a la ecuación (c) del ejemplo 12.3. De manera similar, si se sustituye la ecua-

ción (c) en la ecuación (d) con n = 2, se obtienen los resultados del segundo modo que son

idénticos a la ecuación (d) del ejemplo 12.3.

Paso 4: Proceda como en el paso 4b del ejemplo 12.3.

Figura E12.4

f1n(t) f2n(t)

f2n(t)

f1n(t)

Ejemplo 12.5

Considere el sistema y la excitación del ejemplo 12.1 con las fracciones de amortiguamiento

modal ζn. Determine las amplitudes de desplazamiento en el estado estacionario del sistema.

Solución Los pasos 1 y 2 del resumen del análisis ya se realizaron en el ejemplo 12.2.

Paso 3: Las ecuaciones modales sin amortiguamiento se desarrollaron en el ejemplo

12.2. Ahora, al incluir el amortiguamiento, éstas se convierten en

Mn qn + Cn qn + Kn qn = Pno sen ωt (a)

donde Mn, Kn y Pno están disponibles y Cn se conoce en términos de ζn.

Para resolver la ecuación (a) se trabaja sobre la solución presentada en la ecuación

(3.2.3) para un sistema de 1GDL con amortiguamiento sometido a una fuerza armónica. La

ecuación gobernante es

mu + cu + ku = po sen ωt (b)

y su solución de estado estacionario es

u(t) = po

k(C sen ωt + D cos ωt) (c)

M012_Chopra.indd 479 23/07/13 14:11

Análisis dinámico y respuesta de los sistemas lineales Capítulo 12480

con

C = 1 − (ω/ωn)2

[1 − (ω/ωn)2]2 + (2ζ ω/ωn)2D = −2ζ ω/ωn

[1 − (ω/ωn)2]2 + (2ζ ω/ωn)2 (d)

donde ωn = √k/m y ζ = c/2mωn .

Al comparar las ecuaciones (b) y (a), la solución para esta última es

qn(t) = Pno

Kn(Cn sen ωt + Dn cos ωt) (e)

donde Cn y Dn están dadas por la ecuación (d) con ωn interpretada como la frecuencia natura del

n-ésimo modo y ζ = ζn, la fracción de amortiguamiento del n-ésimo modo. La sustitución de

Pno y Kn para n = 1 y 2 da

(f)

q1(t) = 2po

3k(C1 sen ωt + D1 cos ωt)

q2(t) = − po

6k(C2 sen ωt + D2 cos ωt) (g)

Pasos 3b y 4: Al sustituir φn en las ecuaciones (12.5.2), se obtienen los desplazamientos

nodales:

u1(t) = 12 q1(t) − q2(t) u2(t) = q1(t) + q2(t)

Si se sustituyen las ecuaciones (f) y (g) para qn(t), resulta

u1(t) = po

6k[(2C1 + C2) sen ωt + (2D1 + D2) cos ωt]

u2(t) = po

6k[(4C1 − C2) sen ωt + (4D1 − D2) cos ωt]

(h)

(i)

Las amplitudes de desplazamiento son

u1o = po

6k(2C1 + C2)

2 + (2D1 + D2)2

u2o = po

6k(4C1 − C2)

2 + (4D1 − D2)2

(j)

(k)

Estas ujo pueden calcularse cuando la amplitud po y la frecuencia ω de la fuerza de excitación

son conocidas junto con las propiedades del sistema k, ωn y ζn.

Es posible demostrar que las ecuaciones (h) e (i), especifi cadas para ζn = 0, son idénticas

a los resultados para el sistema sin amortiguamiento obtenidos en el ejemplo 12.2.

Ejemplo 12.6

Se desea encontrar la respuesta dinámica del sistema de la fi gura E12.6a a la excitación mos-

trada en la fi gura E12.6b. Determine: (a) los desplazamientos u1(t) y u2(t); (b) los momentos

fl exionantes y las fuerzas cortantes en las secciones a, b, c y d como funciones del tiempo;

(c) los diagramas de fuerza cortante y momento fl exionante en t = 0.18 s. Los parámetros del

sistema y la excitación son E = 29,000 ksi, I = 100 pulg4, L = 120 pulg, mL = 0.1672 kip-s2�pulg y po = 5 kips. Desprecie el amortiguamiento.

Solución Las matrices de masa y rigidez están disponibles a partir del ejemplo 9.5. Las

frecuencias y modos naturales de este sistema se determinaron en el ejemplo 10.2. Éstos son

ω1 = 3.156 E I/mL4 y ω2 = 16.258 E I/mL4; φ1 = 〈1 0.3274〉T y φ2 = 〈1 −1.5274〉T.

Al sustituir E, I, m y L se obtiene ω1 = 10.00 y ω2 = 51.51 rad�s.

M012_Chopra.indd 480 23/07/13 14:11

Sección 12.7 Análisis modal: resumen 481

1. Establezca las ecuaciones modales.

M1 = φT1 mφ1 = 0.0507 M2 = φT

2 mφ2 = 0.2368 kip-s2/pulg

P1(t) = φT1

po

o= 5 P2(t) = φT

2po

o= 5 kips

Las ecuaciones modales (12.4.6) son

q1 + 102q1 = 5

0.0507= 98.62 q2 + (51.51)2q2 = 5

0.2368= 21. (a)

2. Resuelva las ecuaciones modales. Si se adapta el resultado para el sistema de 1GDL,

ecuación (4.3.2), a la ecuación, (a) da

q1(t) = 98.62

102(1 − cos 10t) = 0.986(1 − cos 10t)

q2(t) = 21.12

(51.51)2(1 − cos 51.51t) = 0.008(1 − cos 51.51t)

(b)

Figura E12.6

u2 u1

p(t)

mL/2 mL/4L/2 L/2

(a)

abcd

2.737q1= 3.33

4.180q1= 5.09

fS, kips

V, kips

8.425.09

M, kip-pie

67.55

25.45(

(c)

p

po

t

(b)

338.8q2= 5.40

110.9q2= 1.77

3.63

1.77

9.30

8.55

(

)

(d)

f2 = 2.07

f1 = 6.86

fS, kips

V, kips4.79

6.86

M, kip-

58.25

34.30

(

(e)

M012_Chopra.indd 481 23/07/13 14:11

Análisis dinámico y respuesta de los sistemas lineales Capítulo 12482

3. Determine la respuesta de desplazamiento. Al sustituir para φ1, φ2, q1(t) y q2(t) en la

ecuación (12.5.2), se obtiene

u1(t) = 0.994 − 0.986 cos 10t − 0.008 cos 51.51t

u2(t) = 0.311 − 0.323 cos 10t + 0.012 cos 51.51t (c)

4. Determine las fuerzas estáticas equivalentes. Si se sustituyen ω21, m y φ1 en la ecua-

ción (12.6.2), resultan las fuerzas mostradas en la fi gura E12.6c:

f1(t) = f1(t)f2(t) 1

= 102 0.04180.0836

10.3274

q1(t) = 4.1802.737

q1(t) (d)

Del mismo modo, al sustituir ω22, m y φ2, se obtienen las fuerzas mostradas en la fi gura E12.6d:

f2(t) = f1(t)f2(t) 2

= 110.9−338.8

q2(t) (e)

Las fuerzas combinadas son

f1(t) = 4.180 q1(t) + 110.9 q2(t) f2(t) = 2.737 q1(t) − 338.8 q2(t) (f)

5. Determine las fuerzas internas. El análisis estático de la viga en voladizo de la fi gura

E12.6e proporciona las fuerzas cortantes y los momentos fl exionantes en las diferentes seccio-

nes a, b, c y d:

(g)

Va(t) = Vb(t) = f1(t) Vc(t) = Vd (t) = f1(t) + f2(t)

Ma(t) = 0 Mb(t) = L

2f1(t) Md (t) = L f1(t) + L

2f2(t) (h)

donde f1(t) y f2(t) se conocen a partir de las ecuaciones (f) y (b).

6. Determine las fuerzas internas en t = 0.18 s. En t = 0.18 s, con base en la ecuación

(b), q1 = 1.217 pulg y q2 = 0.0159 pulg. Al sustituir estas cantidades en las ecuaciones (d) y

(e), se obtienen los valores numéricos para las fuerzas estáticas equivalentes que se muestran

en las fi guras E12.6c y d, donde se grafi can las fuerzas cortantes y los momentos fl exionantes

debidos a cada modo. Los valores combinados de estas fuerzas elementales se presentan en la

fi gura E12.6e.

PARTE C: CONTRIBUCIONES A LA RESPUESTA MODAL

12.8 EXPANSIÓN MODAL DEL VECTOR DE EXCITACIÓN p(t) = sp(t)

Ahora se considerará un caso de carga común en el que las fuerzas aplicadas pj(t) tienen la

misma variación en el tiempo p(t) y su distribución espacial está defi nida por s, indepen-

dientemente del tiempo. Así,

p(t) = sp(t) (12.8.1)

Una idea central de esta formulación, que resultará instructiva, consiste en expandir

el vector s como

s =

N

r=1

sr =N

r=1

r m φr (12.8.2)

M012_Chopra.indd 482 23/07/13 14:11