análisis del fenómeno del golpe de ariete - concurso iific
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERA FACULTAD DE INGENIERA CIVIL Departamento Acadmico de Hidrulica e Hidrologa
EVALUACIN DE LOS MTODOS DE ANLISIS DEL FENMENO DE GOLPE DE
ARIETE APLICADO A CENTRALES HIDROELCTRICAS
Uribe Fernandez, Aldo Niker
Asesor: Ing. Romero Machuca Fernando M. Telf: (+511) 648-9369, Cell: (+511) 956812544
RESUMEN
Pese a que hoy en da se cuenta con muchas tecnologas, lo diseadores de centrales hidroelctricas an siguen empleando
mtodos muy simplificados, para evaluar la sobrepresin en las tuberas forzadas, a causa del fenmeno de golpe de ariete,
resultando ineficiente y poco adecuado econmicamente. As mismo muchos de los proyecto desarrollados en nuestro pas no
toman en cuenta las limitaciones de los mtodos que se emplean, no por desconocimiento, sino porque muchos mtodos
requieren operaciones laboriosas, debido a que no se realizan demasiadas simplificaciones en su planteamiento.
Habiendo la necesidad de mostrar a los diseadores herramientas bsicas para dar solucin ptima a la evaluacin de las
sobrepresiones, surge la propuesta de investigar a fondo los diversos mtodos que existen examinando sus limitaciones
matemticas y tericas, para finalmente desarrollar programas al alcance de los usuarios.
En este trabajo se investiga la influencia de la velocidad de cierre de la vlvula en el desarrollo del golpe de ariete en un sistema
simple chimenea de equilibrio tubera - vlvula.
El golpe de ariete se manifiesta como fluctuaciones de presin en conducciones. Estos transitorios pueden causar variaciones de
presin tan amplias que invalidan las suposiciones de homogeneidad y continuidad. Las propiedades mecnicas de la pared de la
conduccin influencian significativamente la intensidad y velocidad de propagacin de estas ondas de presin.
Se ha desarrollado un programa de simulacin del golpe de ariete utilizando el mtodo de las caractersticas, que permite predecir
las presiones y velocidades instantneas en la conduccin y su relacin con la velocidad de cierre de la vlvula.
Se ha resuelto el mismo sistema de ecuaciones aplicando la transformada de Laplace-Mellin, lo que ha permitido corroborar la
validez del programa de simulacin.
Otro de los mtodos importantes para el anlisis del fenmeno del golpe de ariete viene a ser la resolucin de las ecuaciones de
Saint Venant, mediante mtodos de volmenes finitos, lo que simula las condiciones en 3 dimensiones, resultando un estimacin
de la sobrepresin ms correcta y que resulta mucho ms certero para el diseo de los sistemas de obras hidrulicas en una central
hidroelctrica.
En la presente investigacin se detallan las codificaciones de los diversos mtodos en el software Matlab, para facilitar los
clculos previos al diseo.
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I. INTRODUCIN
El golpe de ariete, como fenmeno transitorio, ha sido un tema de estudio de la hidrulica, por sus efectos
destructores en sistemas de alta presin como los conductos abastecedores de turbinas en centrales hidroelctricas.
La circulacin de fluidos en tuberas es intrnsecamente un proceso transitorio que presenta cambios en los flujos de
entrada y salida, ya sea por arranque y parada de bombas y compresores, cambios de las condiciones de trabajo, as
como tambin cambios en la composicin de los fluidos que recorren la lnea y la variacin de la temperatura con
las condiciones ambientales.
La desaceleracin rpida produce un incremento de presin aguas arriba de la obstruccin, as la energa cintica se
transforma en energa potencial que lleva a un aumento temporal de presin. Aguas abajo de la obstruccin, el
transiente pueden causar una cada de la presin en las tuberas lo suficientemente grande como para invalidar la
suposicin de homogeneidad y continuidad del fluido al generarse burbujas de gas o vapor en el seno del fluido. Las
propiedades mecnicas del material de la pared y la rigidez de los apoyos de la caera pueden influir
significativamente en la intensidad de las oscilaciones de presin. La amplitud de la primer depresin aguas abajo de
la obstruccin es prcticamente tan alta como la amplitud de la sobrepresin aguas arriba de la obstruccin
Estos hechos indican que un modelo til para describir el flujo en tuberas debe ser un modelo transiente, eso es,
debe resolver las ecuaciones de flujo dependientes del tiempo. Sin embargo, habitualmente se usa el modelo de flujo
estacionario para el diseo de tuberas
Las computadoras permiten ejecutar programas de simulacin, sin embargo el anlisis del fenmeno transiente de
presin mediante tcnicas numricas es relativamente nuevo. Independientemente del modelo numrico usado, un
programa de anlisis debe ser fiable, y eficaz.
En este trabajo se ha estudiado el transiente en un sistema simple formado por un tanque reservorio y una
conduccin que termina en una vlvula; generando el golpe de ariete mediante el cierre la vlvula. La modelizacin
computacional se ha realizado utilizando el Mtodo de las Caractersticas y se ha contrastado con la solucin
analtica obtenida mediante la Transformada de Laplace - Mellin. Asimismo se plantea el desarrollo del fenmeno
de golpe de ariete a travs de volmenes finitos, para su posterior comparacin y obtener el adecuado empleo de
cada uno de ellos segn sea las condiciones del proyecto, as como las limitaciones de las mismas.
II. OBJETIVOS:
Objetivo general:
Seleccin de un mtodo para el diseo eficiente y ptimo de una chimenea de equilibrio as como la tubera forzada
y dems accesorios.
Objetivos especficos:
Realizar el anlisis terico riguroso de los mtodos empleados para evaluar el golpe de ariete en una tubera
forzada.
Empleando los mtodos estudiados se evaluar algunos problemas para realizar un anlisis comparativo
estableciendo su grado de confiabilidad e indicando su respectiva limitacin, para luego seleccionar el ms
adecuado.
Programacin de los mtodos de anlisis en el programa Matlab.
Proponer un software para el anlisis del fenmeno del golpe de ariete por uno de los mtodos (El ms
confiable) y comparar con lo ya calculado para establecer sus alcances y limitaciones.
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III. CONCEPTOS BASICOS:
Teora de la columna de rgida:
En la teora de la columna rgida se considera, como caso limite, el fluido incompresible, el tubo rgido y los
cambios de presin y velocidad se presentan en forma instantnea con la misma intensidad en el conducto.
Ecuaciones:
Para tuberas que satisfacen las condiciones y , el incremento, o decremento, mximo de
carga en el instante para una maniobra de cierre o abertura total o parcial es:
(
)
(
) (
) [1]
Dnde:
g: Aceleracin de la gravedad (m/s2).
: Carga de presin en el conducto cuando el flujo es permanente, medida a partir de un plano de referencia (m).
L: Longitud total del conducto (m).
V: Velocidad en el conducto (m/s).
: , Cambio de velocidad por efecto del cierre de la vlvula, (m/s).
: Incremento o decremento mximo de carga, medido desde la lnea de presiones de flujo permanente, (m).
: Tiempo de cierre de la vlvula (s).
En la ecuacin [1] el signo positivo del radical se usa para el cierre y el negativo para la abertura.
Teora de la columna elstica:
Se hace las mismas suposiciones que el concepto anterior, excepto que se considera la elasticidad de las paredes del
tubo, y la compresibilidad del fluido bajo la accin del cambio de presin se toman en consideracin.
Ecuaciones:
Las ecuaciones que se plantean con la consideracin de la elasticidad de las paredes del tubo y la compresibilidad
del flujo, se detallan en el siguiente tem, en el cual se plantean dos principios bsicos, tales como la segunda ley de
Newton y la ecuacin de continuidad.
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IV. DESARROLLO DE LA INVESTIGACION:
El anlisis del golpe de ariete en sistemas presurizados, para el presente trabajo de investigacin se va a realizar bajo
las siguientes consideraciones:
a) Conduccin unidimensional donde el flujo transita con velocidad y presin uniforme en todas las secciones.
b) Las prdidas de carga por friccin transientes se aproximan mediante las ecuaciones correspondientes al
estado estacionario.
c) La conduccin es a tubo lleno, y permanece en esa condicin durante el trnsito el transitorio.
d) No se produce separacin de la columna de agua, durante el transitorio, es decir la presin es mayor que la
presin de vapor del fluido en todo momento.
e) La cantidad de gas libre en el fluido es pequea, por lo que la velocidad de propagacin de la onda puede
considerarse prcticamente constante.
f) Tanto el lquido como las paredes de la conduccin se comportan como linealmente elsticas.
g) La variacin de presin debido a la interaccin del fluido con las paredes de la tubera son pequeas en
comparacin con la onda de presin producida por el golpe de ariete.
Los principios bsicos que rigen el trnsito de flujo, con las consideraciones anteriores se basan en leyes de la
mecnica, tal como la ley de la conservacin de la masa y la ley de la conservacin de la cantidad de movimiento
que permiten definir el comportamiento del flujo mediante un sistema de dos ecuaciones diferenciales parciales
cuyas variables independientes son la posicin, x y el tiempo, t y las variables dependientes son la presin P y la
velocidad promedio V en una seccin determinada. Estas ecuaciones son conocidas tambin como ecuaciones de
Saint Venant.
Ecuaciones de movimiento:
Figura 1.-Diagrama del cuerpo libre para la deduccin de la ecuacin de movimiento.
Haciendo las simplificaciones de la figura 1, se puede obtener la siguiente ecuacin:
| |
[2]
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Ecuaciones de continuidad:
Figura 2.- Volumen de control para la deduccin de la ecuacin de continuidad.
[3]
Donde es la presin expresada en altura de columna lquida y es la velocidad del lquido, es la densidad del
flujo y es la velocidad de la onda de presin.
Celeridad (a).
Se define como la velocidad de propagacin de la onda de presin en un medio elstico. La deduccin de la
ecuacin para su evaluacin, toma en cuenta dos principios bsicos, la primera considera a la tubera como elstica y
las paredes se deforman linealmente con la presin, la segunda tiene en cuanta la compresibilidad del agua.
La expresin resultante que lo define queda como la ecuacin [4]:
(
)
[
(
)]
[4]
a: Celeridad.
K: Modulo de elasticidad del fluido.
E: Modulo de elasticidad de la tubera.
D: Dimetro interno del tubo.
e: Espesor del tubo.
: Densidad del fluido.
: Parmetro adimensional que depende de las propiedades elsticas del conducto.
Las ecuaciones fundamentales [2] y [3] pueden combinarse linealmente como, , obtenindose as la
siguiente expresin.
(
) (
)
| |
[5]
I II
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Donde el primer trmino I viene a ser la derivada total de dV/dt cuando . Del clculo.
De forma similar, el segundo trmino II es la derivada total de dP/dt si cuando, para que estas dos
ecuaciones sean verdaderas, debe tener el mismo valor.
Por lo tanto puede tomar dos valores diferentes:
o
y
Para estos valores, la ecuacin (4) queda reducida en el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:
| |
[6] , para
| |
[7] , para
Estas dos ltimas expresiones son ecuaciones diferenciales ordinarias.
En la Figura 3 se muestran dos lneas, C+ y C-, a lo largo de las cuales son vlidas las ecuaciones [6] y [7]
respectivamente.
Estas ecuaciones contienen dos incgnitas para cualquier punto de las lneas caractersticas, pero en la interseccin
de las dos curvas, punto P, los valores de las incgnitas deben satisfacer simultneamente ambas ecuaciones. Por lo
tanto, pueden resolverse, obtenindose los valores de H y V.
Figura 3.- Lneas caractersticas en el plano x-t.
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V. METODOS DE SOLUCION:
1.0 Mtodo de Michaud.
Si consideramos un tiempo crtico , siendo L la longitud total y c la celeridad de la onda, podemos dividir
los cierres de vlvula en las conducciones afectadas por un golpe de ariete en cierre lento o cierre rpido
con .
En el caso de que el cierre sea lento, no llegan a alcanzarse las sobrepresiones o depresiones de Allievi sino que el
valor mximo ser:
[8]
La simplificacin es la correspondiente a un cierre lineal de la superficie de obturacin que no es real en muchas
vlvulas, sin embargo nos dar una idea de los valores que puede alcanzar el golpe de ariete.
Figura 4.- Diagrama de sobrepresiones para un tiempo de parada superior a 2L/c, con lo cual la expresin reinante es la de
Michaud, inferior a la expresin de Allievi.
2.0 Mtodo de Allievi.
La expresin deducida por Lorenzo Allievi toma en cuenta las ecuaciones de Saint Venant de manera simplificada,
obteniendo una ecuacin sencilla que a la vez da un resultado de sobrepresin mxima.
Dnde: a es la celeridad, V la velocidad de funcionamiento normal y U la velocidad de paso por una obstruccin. Si
consideramos U = 0, es decir el cierre de la vlvula en el punto B segn la figura 4, es inmediato, obtenemos la
famosa frmula de Allievi o pulso de Joukowsky que nos indica la mxima sobrepresin posible en una conduccin.
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Figura 4.- Cierre rpido de vlvula en B
Al cerrarse la vlvula en B aparece un , que actuando sobre la seccin transversal S del flujo va comprimiendo a
este con la fuerza:
El impulso de dicha fuerza durante el tiempo: que tarda el tramo de la tubera en detenerse, ser igual a
la variacin de la cantidad de movimiento que ha sufrido la masa m de dicho tramo, al detenerse o al pasar de una
velocidad V a otra velocidad U menor.
(Parcial)
Sustituyendo:
(Total)
En el caso de cierre total: , lgicamente el ms peligroso, se obtiene:
o
Esta ecuacin ltima viene a ser la expresin obtenida por Lorenzo Allievi para establecer la sobrepresin mxima
producto del fenmeno del golpe de ariete.
[9]
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3.0 Mtodo de las Caractersticas.
Para resolver numricamente el conjunto de ecuaciones (Ecuaciones [6] y [7]) se utiliza habitualmente el mtodo de
las caractersticas. Para implementarlo se divide la lnea de conduccin en N segmentos de la misma longitud .
Los valores de y se conoce para el instante inicial del transitorio, pues son los que corresponden al estado
estacionario previamente alcanzado por el sistema (condiciones iniciales).
Para determinar el incremento temporal ( ), se tiene en cuenta que usualmente por lo tanto .
Entonces el paso temporal resulta ser . En consecuencia las pendientes de y son y
respectivamente. Por lo tanto, ambas curvas caractersticas son ahora rectas, con pendiente (ver figura 5).
Integrando las ecuaciones [6] y [7] a lo largo de las curvas caractersticas y , como se muestra en la figura 3.
| |
[10]
| |
[11]
Al resolver la tubera es conveniente trabajar con la lnea piezomtrica H y el caudal Q en lugar de P y V.
y
De la cual se deduce la siguiente expresin, considerando V=Q/A, para C+.
| |
[12]
Y para C-.
| |
[13]
La ecuacin de compatiilidad C- desde P hasta B se obtiene en forma similar a la ecuacin de compatibilidad C+,
para simplificar las ecuaciones sea.
y
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Entonces para C+.
| | [14]
Para C-.
| | [15]
La tubera de la lnea de conduccin se divide en N tramos, cada una con una longitud de , por lo que
y .
Entonces las lneas caractersticas C+ y C- son las diagonales de la malla rectangular. Lo denotaremos con
subndices como se muestra en la figura 5. Al aplicar las ecuaciones para resolver una seccin interna, donde se
desean y se conocen las condiciones en el tiempo anterior, es decir, , , , . Reuniendo los
trminos conocidos de la ecuacin [14] en las constantes y , se obtienen.
y | | [16]
Mientras que para la ecuacin [15], las constates sern y .
y | | [17]
Figura 5.- Malla x-t para resolver problemas de tuberas simples.
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Figura 6.- Condiciones de frontera. (a) Extremo de aguas arriba. (b) Extremo de aguas abajo.
Ahora para C+ las ecuaciones [14] y [15] se convierten en:
[18]
Y para C-.
[19]
Con , , , conocidos, la solucin de las ecuaciones [18] y [19] dan como resultado.
,
La solucin consiste en encontrar H y Q para los puntos en la malla en , para luego proceder a , y asi
sucesivamente hasta la duracin temporal deseada. Los puntos extremos de la tubera se introducen cada par de
pasos temporales despus de las condiciones iniciales. El trmino Condiciones de frontera se refiere a la condicin
en los extremos de la cada tubera.
Condiciones aguas arriba:
En un tanque presurizo con un espejo de agua bastante grande o en un embalse la elevacin de la lnea piezometrica
normalmente puede suponerse constante durante el transitorio de corta duracin. Esta condicin extremo esta
descrita por , en donde el es la elevacin de la superficie del embalse por encima del nivel de referencia.
Condiciones aguas abajo:
Para un flujo permanente a travs de la vlvula, se considera como un orificio con una seccin constate (antes del
cierre).
Donde es el caudal permanente, es la cada de cabeza a travs de la vlvula y es el rea de la abertura
multiplicada por el coeficiente de descarga.
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4.0 Solucin Analtica.
Para obtener las soluciones analticas que describen el transitorio generado por el cierre de la vlvula se ha resuelto
la ecuacin de onda unidimensional.
[20]
Junto con la ecuacin de cantidad de movimiento.
[21]
Para las diferentes condiciones de contorno.
Para
Para (Presin esttica).
La resolucin de este sistema de ecuaciones se realiza mediante la transformada de Laplace-Mellin, resultando:
(
) (
) [22]
De forma similar para el cierre de la vlvula lineal se tiene:
i) Si
{
(
) (
)} [23]
ii) Si
{
(
) (
)
(
) (
)} [24]
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5.0 Mtodo de Volmenes Finitos.
Algunas de las hiptesis ms importantes consideradas para la deduccin del modelo de Saint-Venant son:
i. Las fuerzas de masa que actan son la gravedad en la direccin vertical y la fuerza de Coriolis en el plano
horizontal.
ii. La curvatura de las lneas de corriente es pequea, por lo que la distribucin de la presin se considera
hidrosttica.
iii. El movimiento principal de las partculas ocurre en planos horizontales.
Con esto, el modelo de Saint-Venant es:
[25]
Donde h es la profundidadel flujo, y son las componentes de la velocidad en las direcciones x, y
respectivamente, en cada punto de , g la aceleracin de la gravedad, C refleja el efecto de la fuerza de coriolis.
La forma vectorial del modelo de Saint-Venant simplifica mucho la notacin para el tratamiento numrico, as como
se muestra a continuacin:
[26]
Dnde:
(
), (
), (
)
Y
(
( )
( ) )
Son necesarias condiciones iniciales y de contorno para la resolucin del sistema de Saint-Venant, aunque en
situaciones generales no existen soluciones analticas del problema. Ante esto, una opcin es recurrir a los mtodos
numricos. A continuacin se bosquejara la aplicacin de uno de ellos: volmenes finitos. Para el tratamiento con
volmenes nitos no se tendrn en cuenta los trminos de Coriolis y tensin del viento, ni el termino turbulento.
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Existen varios tipos de volmenes finitos que pueden usarse, teniendo en cuenta cada una de sus ventajas y
desventajas. Para el presente trabajo de investigacin se va usar los de tipo vrtice por sus ventajas para tratar las
condiciones de frontera. Dado un dominio y una discretizacin por tringulos de este, se define una nueva
discretizacin espacial como se muestra en la figura 7, uniendo los baricentros de cada triangulo con los puntos
medios de sus aristas. Esto da un polgono asociado con uno de los nodos de la malla de tringulos.
A cada uno de estos polgonos se le llama volumen finito.
Figura 7.- Discretizacin de por volmenes finitos.
Con cada volumen finito se asocia una funcin base como la que se muestra en la Figura 8, es decir se supone que
las incgnitas del modelo son constantes en cada volumen finito.
Integracin y discretizacin temporal:
Definiendo:
[27]
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Figura 8.- Funcin base.
El modelo de Saint-Venant puede escribirse como:
[28]
Como el dominio del sistema est dividido en un conjunto de volmenes finitos , se calcula la integral de
superficie en cada uno de ellos, y se obtiene:
De donde:
Discretizando con el mtodo de Euler hacia adelante, se tiene.
Con el rea de la celda , de donde se sigue tiene.
[29]
Discretizacin del Flujo:
El producto escalar de se denomina flujo en 2 dimensiones a travs de un segmento de longitud unitario y se
aproxima en el tiempo n como.
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( ) ( )
| |
(
) [30]
Siendo Q la matriz Jacobiana del flujo.
Y la matriz | | se obtiene como | | | | , donde | | es la matriz diagonal de los valores absolutos de los
autovalores de Q y X es la matriz cuyas columnas son los autovectores correspondientes a cada autovalor, y
es el vector normal unitario en la frontera comn de y , dirigido hacia el exterior de la celda .En
el esquema de Van Leer, | | se evala en el estado intermedio:
Discretizacin de Termino Fuente:
La fuente discreta bidimensional G en cada subcelda en el tiempo n se define como:
| |
Donde, si H representa la distancia al fondo desde un nivel de referencia fijo, entonces.
(
)
Es decir, tambin se descentra este trmino. Aqu es la distancia del nodo al nodo como se aprecia en la figura
7. Aproxima la pendiente de friccin en el centro de cada celda.
(
)
Sustituyendo el flujo discreto y la fuente discreta en la ecuacin [28] se tiene para cada y en cada la
discretizacin del modelo inicial:
[31]
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Donde es el rea del tringulo como se observa en la figura 7. Esta ecuacin da un algoritmo explicito para
encontrar el valor de las variables de inters en cada volumen finito en cada tiempo n, en donde solo falta tener en
cuenta si el volumen finito tiene especificada una condicin de contorno, y definir el tamao de paso temporal para
asegurar la estabilidad.
Paso Temporal y Algoritmo:
El paso temporal corresponde la condicin de estabilidad de Courant-Friedrich-Lewy tambin conocido como CFL
y est dado por la siguiente expresin:
(
( )
) ..[32]
Donde c es la celeridad. En casos de fuerte pendiente se producen inestabilidades, lo que ha obligado al uso de un
coeficiente corrector de 0.8.
VI. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES:
En muchos proyectos de diseo de tubera forzada no se tiene en consideracin el fenmeno del golpe de
ariete, y si lo hacen generalmente suele usarse las frmulas ms simplificadas como la teora de Allievi u
otra estimacin bsica, sin tener en cuenta que estos mtodos tienen muchas limitaciones por tanto pueden
incurrir en errores irremediables. Por otro lado puede darse el caso que se tenga un sobre dimensionamiento
de las obras hidrulicas, debido a que la teora de Allievi considera una sobrepresin mxima.
Uno de los mtodos de anlisis del fenmeno del golpe de ariete ms confiable es el mtodo de las
caractersticas, debido a que considera la teora de la columna elstica. A su vez tiene una fcil aplicacin
porque puede programarse, dando un ptimo diseo de la tubera forzada y otras estructuras hidrulicas.
La solucin analtica a diferencia del mtodo de las caractersticas, resuelve las ecuaciones de Saint Venant
mediante transformada de Laplace Mellin, incorporando series numricas para su solucin.
El mtodo de volmenes finitos resulta ser ms eficiente al momento de estimar sobrepresiones, debido a
que toma en consideracin el caso ms real de las condiciones, siendo su nica desventaja la dificultad en
su comprensin, por lo que muchos especialistas optan por otros mtodos ms simple.
La presente investigacin, har una programacin computacional de todos los mtodos antes descritos para
facilitar a los diseadores realizar un adecuado anlisis del fenmeno del golpe de ariete que a la vez
resulte ser sencilla en su comprensin.
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VII. BIBLIOGRFIA:
Allievi L. (1929). The Theory of Water Hammer. (Transl. By E.E. Halmos). Am. Soc. Mech. Engrs.
Chaudhry M. Hanif (1979). Applied Hydraulic Transients, Edit. VNR, New York.
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Novak P. (1977). Water Hammer and Surge Tanks, Second Revised Edition.
Parmakian John (1963). Water Hammer Analysis, Edit. Dover Publications, New York, Denver, Colorado 1963 (Paperback).
Pastor Ruperez J. (1984). Rgimen Variable en Tuberas: Teora General del Golpe de Ariete, Edit. Nuevas Grficas S. A.,
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Buenos Aires.
Randall J. Leveque (2002). Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems, Cambridge University Press, USA.
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