análisis de problemas de control binario d. patiño, r. meziat departamento de matemáticas...

Análisis de Análisis de Problemas de Problemas de Control BinarioControl Binario

D. Patiño, R. MeziatDepartamento de MatemáticasUniversidad de los AndesColombia, 2005

XI Escuela Latinoamericana de Verano en XI Escuela Latinoamericana de Verano en Investigación de OperacionesInvestigación de Operaciones

ContenidoContenido

Introducción

Análisis del problema

Casos de Aplicación

Conclusiones y trabajo futuro

Análisis de Problemas de Control Binario. D. Patiño,Análisis de Problemas de Control Binario. D. Patiño, R. Meziat, ELAVIO 2005.

IntroducciónIntroducción

Proponemos una forma alternativa para resolver problemas de control óptimo discreto no lineal:

1

0

1 2

0

( , , )

. . ( , , )

, , ,

(0) (1)n

f

Min f x u t dt

s a x g x u t

u u u u

x x x x

Caso I:Caso I: Control discreto, sistema continuo.

1

1 2

0

, ,

. . ( , , )

, , ,

i i i

i i i i

n

N

Min f x u t

s a x g x u t

u u u u

x a x b

Caso II:Caso II: Control discreto, sistema discreto.


IntroducciónIntroducción

Dificultades de linealidad:

NO LINEAL:

Integración

Inestabilidad

Caos

Singularidades

Dificultades de convexidad:Dificultades de convexidad:

NO CONVEXO :NO CONVEXO :

No aplica la teoría clásica No aplica la teoría clásica para establecer para establecer existencia de la existencia de la solución.solución.


Técnicas clásicas: Análisis por espacio de estados, Control BIG-BANG, Optimización dinámica


Análisis del problemaAnálisis del problema

1

1

0

, ,

. . ( , , )i i i

i i i i

N

Min f x u t

s a x g x u t

u u

x a x b

Supongamos el caso donde el control solo toma dos valores:

1

2 2 21 1

0

, ,

. . ( , , )

0

i i i

i i i i

N

Min f x u t

s a x g x u t

h u u u u u u

x a x b

EL PROBLEMA ES NO LINEAL EN EL CONTROL !!!!!

EL PROBLEMA PUEDE NO SER CONVEXO!!!! h(u) ES COERCIVO!



Para abordar el problema de no linealidad y el de no convexidad, utilizamos una relajación en medidas de probabilidad.

Espacio de control

(Lineal – Convexo en medidas de probabilidad)

)(P

1

0

1

, ,

. . ( , , ) ( )

( ) ( ) 0

i i i

i i i i

i

Min f x t d dt

s t x g x t d

h d

ff

co(co()) fd

Obtenemos un problema definido Obtenemos un problema definido en la envoltura convexa del en la envoltura convexa del espacio de control.espacio de control.



La convexificación se realiza mediante distribuciones de probabilidad, y a su vez se discretizan por los momentos algebraicos.

N

ii ucuf0

)()(

N

iimcduf0

)(

mmii: Momentos: Momentos

)()( comi



CARACTERIZACIÓN DE MOMENTOS:

0

21

32

1321

210

NNN

N

N

mmm

mm

mmmm

mmmm

mH

Hankel Semidefinida PositivaProblema de control óptimo con forma lineal para el control con una familia convexa de controles m co()

,0

10

0

min

. . ,

0

n

i i i i im

M

i i i i

i i i

N

c x t m t dt

s t x d x t m t

p m t

x a x b


Casos de aplicaciónCasos de aplicación

Planificación de trayectorias.Planificación de trayectorias.

Punto meta

Posibilidades de movimiento:

1. Arriba

2. Abajo

3. Quieto


2

0

1

min

. .

1,0

N

ii

i i i

i

i i

x

s t x x u

u

x y


Formulación:

2

0

1 1,

6, 2,

1, 2, 3,

1, 2, 3, 4,

2, 3, 4, 5,

3, 4, 5, 6,

min

. .

2 0

1

0

N

ii

i i i

i i

i i i

i i i i

i i i i

i i i i

i i

x

s t x x m

m m

m m m

m m m m

m m m m

m m m m

x y



Trayectoria Control



Control de un motor DC.Control de un motor DC.

R: Resistencia eléctrica del motor.

I: Momento de Inercia

L: Inductancia

K: Torque

i: Corriente

w: Velocidad Angular

Solo acepta tres voltajes a la entrada (+5, -5, 0)


22 2 2

0

0 0

min

1. .

1,0

0 0

in

in

i V dt

Rs t i i V

L LKi

Lu

i i

Formulación I:

2

2 22

0

1

6 2

1 2 3

1 2 3 4

2 3 4 5

3 4 5 6

min

1. .

2 0

1

0

i m t dt

Rs t i i m

L LKi

Lm m

m m m

m m m m

m m m m

m m m m




CorrienteVelocidad angular

Control



22

0

0 0

min

1. .

5,0

0 0

in

in

V dt

Rs t i i V

L LKi

Lu

i i

2

2

0

1

6 2

1 2 3

1 2 3 4

2 3 4 5

3 4 5 6

min

1. .

25 0

1

0

m t dt

Rs t i i m

L LKi

Lm m

m m m

m m m m

m m m m

m m m m

Formulación II:



Corriente

Velocidad angular

Control

Los resultados con las técnicas de relajación son buenos y poseen una buena exactitud.

El problema transformado es convexo en el control, por lo cual posee solución (Cesari, 1983)

La señal de control se obtiene a partir del momento central en la serie de momentos de la convexificación.

Aplicaciones fuertes en economía. Próxima meta: Controlar sistemas MIMO (Multiple

Input Multiple Output)

Conclusiones y trabajo Conclusiones y trabajo futurofuturo


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