analisis de lineal id ad tanque conico
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Resumen: en este articulo se presenta el análisis de linealidad de un tanque cónico; el objetivo consiste en analizar y verificar la respuesta del sistema así como realizar la identificación a través de el algoritmo de mínimos cuadrados y el Toolbox de Matlab® IDENT.
Palabras Clave: análisis lineal, no lineal, estabilidad, linealización, identificación.
1. INTRODUCCIONEl presente artículo muestra el proceso para el análisis de linealidad de un sistema clásico como lo es un tanque de almacenamiento de líquido con geometría cónica. El trabajo se dividió en cinco partes principales: 1) Selección y modelamiento matemático de la planta, 2) Prueba de linealidad, 3) Linealización del modelo en un punto de operación, 4) Identificación de un modelo del sistema empleando el toolbox Ident de Matlab y 5) Conclusiones.
2. MODELO TANQUE CONICOLa Figura 1., muestra un tanque para almacenamiento de agua con geometría cónica [1]. La entrada de control es el flujo de entrada (Qin) en la tubería superior del tanque.
La salida corresponde al nivel (h) de agua en el tanque.
Figura No. 1. Tanque cónico
Qin es una variable controlable y cualquier cambio afecta de inmediato el sistema. Para el análisis se limita el flujo de entrada en el intervalo:
0 ≤ Qin ≤ 4*10-4 m3/s. (1.0)
El caudal de salida (Qout), es no controlable y se debe a la presión hidrostática. Se asume caudal de salida turbulento:
. (1.1)
Experimentalmente se ha encontrado
que La altura del tanque es de 0.5 m y el ángulo alfa es de 20°. En la practica el nivel de agua puede ser determinado de forma proporcional con la presión en el fondo del tanque.
Para el nivel h el volumen es:
(1.2)
Si se observa la Figura 1.0., se tiene que:
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Donde r(h) es el radio del tanque. h
Solucionando para h:
Reemplazando r(h) en 1.2:
(1.3)
Derivando con respecto al tiempo,
(1.4)
El volumen del tanque lo podemos expresar como:
(1.5)
Solucionando para dh/dt:
(1.6)
Ahora se tiene:
= (1.7)
Sustituyendo (1.6) en (1.7):
Finalmente se obtiene la siguiente relación:
(1.8)
Donde
Figura 2. Modelo de bloques del sistema
3. PRUEBAS DE LINEALIDADEl punto de partida en el análisis de un sistema de control generalmente es un modelo matemático como el mostrado por la ecuación (1.8), donde las entradas y salidas del sistema se relacionan como un conjunto de ecuaciones diferenciales y/o en diferencia. La mayoría de los modelos matemáticos son no lineales lo que les da cierto grado de complejidad, sin embargo, tales fenómenos no lineales se pueden reducir y describir mediante modelos lineales.
Cuando se dice que un sistema es lineal [2] nos referimos a sistemas que cumplen simultáneamente las propiedades de homogeneidad y superposición.
La homogeneidad quiere decir que cuando la entrada de un sistema dado
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es modificada por un valor, la salida del sistema varía en la misma proporción. La propiedad de superposición se cumple cuando la señal a la salida del sistema es igual a la suma de las salidas generadas por diferentes señales en la entrada.
La prueba de linealidad se realiza empleando tres señales de entrada U1, U2 y U3 tal y como se muestra en la Figura No. 3.
Figura No. 3. Pruebas de linealidad
Las graficas de la Figura No. 4., corresponden a la respuesta del sistema ante una entrada paso de una unidad.
Figura No. 4. Respuesta del sistemaLa grafica superior corresponde a la respuesta del sistema ante la entrada U1, la grafica del medio la respuesta ante la entrada U2 y la grafica inferior la respuesta ante la entrada U3. En este caso Y2 no equivale a 2Y1 lo que indica que no se cumple con la propiedad de homogeneidad y Y3=Y1+Y2 cuando U3= U1+U2 no corresponde a la suma punto a punto de las acciones de U1 y U2 por separado (propiedad de superposición). De esta forma se puede concluir que el sistema tiene un comportamiento no lineal.Este resultado permite demostrar que el sistema 2 no corresponde a un sistema lineal ya que no se satisfacen las propiedades de homogeneidad y superposición.
4. LINEALIZACION DEL MODELOLa Linealización [3] del modelo se realiza alrededor de uno o varios puntos de operación los cuales se seleccionan de forma arbitraria o corresponden a puntos críticos del
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sistema. Para ello se utiliza Series de Taylor. En este caso, se llevara a cabo en dos puntos para los cuales se quiere un comportamiento lineal y se realiza calculando la derivada parcial de la función con respecto a h y Qin:
(1.8)
(1.9)
Lo que lleva a: (1.10)
(1.11)
Donde: y
(1.12)
Punto de operación No. 1.
y
,
(1.13)
La función de transferencia es entonces:
Ahora analizando el denominador se tiene un polo negativo.
Esto nos indica que el sistema es estable en este punto.
Punto de operación No. 2.
,
(1.14)
Función de transferencia
De igual manera el sistema linealizado en este punto tiene un polo negativo por lo tanto es estable.
5. IDENTIFICACION DEL SISTEMALa identificación [2][3][4] del sistema se realiza alrededor del segundo punto de operación (ho=0.4 m) empleando el toolbox ‘Ident’ de Matlab.
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Figura No. 5. Identificación del sistema alrededor de
ho= 4 m
Figura No. 6. Respuesta del sistema alrededor de en: ho= 4 m y Qino=
6.3246e-5 m3/s.
Figura No. 7. Toolbox Ident de Matlab
Figura No. 8. Resultados obtenidos para un sistema de primer orden
La función estimada para el sistema es entonces:
Ahora, realizando el mismo procedimiento se estima una función de transferencia con dos polos
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Figura No. 9. Resultados obtenidos para un sistema con dos polos
Como se obtuvo un porcentaje de aproximación del 55.36%, se identifica ahora una función con un polo y un cero.
Figura No. 10. Resultados obtenidos para un sistema con un polo y un cero.
Realizando ahora identificación empleando el algoritmo de Mínimos cuadrados y un regresor de primer orden, se obtiene
0 1 2 3 4 5 6 7 8
x 104
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
Figura No. 11. Respuesta del sistema estimado con mínimos cuadrados
5. CONCLUSIONESSe logro obtener el modelo analítico (ecuación diferencial) y el modelo en diagramas de bloques que describen el comportamiento dinámico del sistema propuesto. Para ello se genero una colección de datos provenientes de pruebas experimentales simuladas empleando el diagrama de bloques, se determinaron los parámetros para varias funciones con ayuda de la caja de herramienta ‘Ident’ de Matlab y empleando el algoritmo de mínimos cuadrados.
Sin embargo, se encontraron varias inconvenientes en los procesos de simulación entre los que el más importante consistió en el número de
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cifras significativas que se empleaban en los valores registrados, especialmente, de la variable de entrada. Este factor influyo drásticamente al momento de usar un regresor de segundo orden, puesto que el rango de la variable de generaba inconsistencias al momento de calcular las diferentes matrices.
El proceso de identificación alrededor del punto de operación mostro un comportamiento aceptable y se pudo verificar que el sistema mantiene un comportamiento lineal en los puntos próximos a es te valor.
6. BIBLIOGRAFIA[1] M. Norgaar O, Ravn, N.K., Poulsen and L.K Hansen, Neural Networks For Modelling and Control of dinamic Systems.
[2] Apuntes clase de Sistemas lineales y no lineales, Universidad Distrital, Profesor Ing. Andrés Escobar, Ing. Jairo Soriano, 2010.
[3] OGATA, Katsuhiko, Ingenieria de control moderna, Editorial Pearson, México, 1998.
[4] Ayuda Matlab V7.1.0.246 (R14) Service Pck 3.
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