análisis de funciones de onda y representación gráfica...
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Análisis de funciones de onda y representación gráfica de orbitales
hidrogenoides. Jorge Arturo Campos González Angulo.
Carlos Mauricio Maldonado Domínguez
Material de apoyo para Estructura de la Materia y Química Cuántica 1
Justificación
De acuerdo con la manera actual del estudio de la Química desde el punto de vista molecular, la
visualización de orbitales se ha vuelto fundamental para la comprensión de los fenómenos sin
importar que el interés sea para análisis teóricos o con fines sintéticos.
Siguiendo este argumento consideramos un ejercicio útil el que el estudiante sea capaz de
reproducir mediante cálculos las representaciones pictóricas que en general deben ser dadas por
sentado al encontrarse descritas en los diferentes textos.
La descripción cuantitativa, seguida del aterrizaje en una visualización gráfica puede
permitir una mayor comprensión del concepto de densidad electrónica además de ejercitar la
abstracción de distribuciones espaciales.
En el presente se muestran procedimientos sencillos para representar gráficamente las
densidades electrónicas distribuidas alrededor de un átomo hidrogenoide. De manera que el lector
pueda, valiéndose de una hoja de papel polar o de herramientas computacionales comunes como
Microsoft® Excel, construir un dibujo que contenga la información relevante de las funciones de
onda de estos sistemas en cuanto a probabilidad se refiere.
Introducción
La densidad electrónica es una propiedad que depende de la región del espacio con la que se esté
tratando. Por lo tanto como función que depende de las tres coordenadas cartesianas. Dado lo
anterior la representación de orbitales necesitaría de un espacio en 4D cosa que en el plano
establecido por una hoja de papel puede ser imposible de conseguir. Sin embargo, siempre es
posible recurrir a algún artificio para lograr los fines de representación buscados. Por ejemplo
cuando se quiere representar espacios tridimensionales se apela a la perspectiva para crear ilusión
de profundidad.
A continuación mostraremos a modo de ejemplo la representación de la esfera unidad
sujeta a restricciones bidimensionales:
La esfera de radio 1 se representa en coordenadas cartesianas por la expresión:
2 2 2 1x y z
Suponiendo que debemos representar dicho cuerpo geométrico en el plano de la hoja de papel,
tomado como el plano xy, y no podemos valernos de la perspectiva; una forma de lograrlo es la
siguiente:
Puesto que lo único que podemos representar son los puntos (x,y) en el plano, necesitamos
saber cuáles son los pares coordenados permitidos dada la expresión que se desea representar.
Elevando al cuadrado se tiene:
2 2 2 1x y z
de donde puede notarse inmediatamente una restricción sobre los valores de las coordenadas: la
suma de sus cuadrados debe ser igual a uno. Ya que los cuadrados son siempre positivos la
restricción anterior implica forzosamente que el valor de cada coordenada debe estar entre -1 y 1,
o dicho de otra forma su valor absoluto debe estar entre 0 y 1.
Ahora veamos las coordenadas que nos interesan. Claramente,
2 2 21x y z
De esta expresión podemos explotar los casos extremos, (1) cuando |z| = 0 y (2) cuando |z| = 1.
En el primer caso se obtiene inmediatamente
2 2 1x y
Que es la expresión para la circunferencia de radio 1.
Mientras que en el segundo caso
2 2 0x y
Lo cual define por completo al punto (0,0) en nuestro plano de representación.
En general se tiene entonces que:
2 21 0x y
Expresión que define al disco de radio 1:
Hasta aquí todo lo que hemos hecho es definir el dominio de la función (entendido como
el conjunto de los valores que las variables independientes pueden adoptar):
2 2, 1z x y x y
Pero esto no nos da ninguna información sobre la función completa. Entonces
necesitamos de una herramienta adicional que permita dar una idea del comportamiento de z.
Ya que no podemos valernos de la perspectiva, una opción posible es utilizar colores:
-1 -0.5 0 0.5 1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
y
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Aquí hemos utilizado un gradiente de color para representar a la coordenada z.
De igual forma, para los orbitales atómicos hidrogenoides procederemos a definir el
dominio de las funciones de densidad de probabilidad y, valiéndonos de una herramienta extra,
representar las densidades de probabilidad en cada región alrededor del núcleo.
Funciones de onda hidrogenoides
Las funciones de onda que resultan de resolver la ecuación de Schrödinger para el átomo de
hidrógeno en coordenadas esféricas están compuestas de una parte radial y una parte angular.
La parte radial está dada por los polinomios asociados de Laguerre, los cuales están dados por:
0
10
2 300
1 ! ! 1 22
1 ! 2 1 ! !
k kn
r na
n
k
n n r naR r e
n a n k k k
Donde n y ℓ son los números cuánticos principal y acimutal respectivamente. Recordemos que
los valores posibles para este último son n – 1 ≥ ℓ ≥ 0, y a0 es el radio de Bohr (0.5291772083 Å).
Explícitamente, hasta n = 5, las soluciones a la parte radial tienen la forma:
0
0
0
0
0
0
0
0
13
0
20
2 05
0
21
25
0
30 2 2
3 0 07
0
31 2
3 07
0
32 2
3 7
0
40 3 2
4 09
0
21; 0
22; 0 2
14 2
23; 0 2 18 27
81 3
2 21 6
81 3
2 22
81 15
4; 0 24 144768
r a
r a
r a
r a
r a
r a
r a
en R r
a
n R r r a ea
e rR r
a
en R r r ra a
a
R r e r raa
R r e ra
en R r r r a
a
0
0
0
2 3
0 0
41 3 2 2
4 0 09
0
42 3 2
4 09
0
43 3
49
0
192
1 20 80256 15
2 12768 5
3768 35
r a
r a
r a
ra a
eR r r r a a
a
eR r r r a
a
eR r r
a
0
0
0
50 4 3 2 2 3 4
5 0 0 0 011
0
51 4 3 2 2 3
5 0 0 011
0
52 4 3 2 2
5 0 011
0
3 4 3
5 011
0
5; 0 2 100 1500 7500 937546875 5
2 21 2 90 1125 3750
46875 15
2 22 2 70 525
46875 35
2 23 20
46875 35
r a
r a
r a
en R r r r a r a ra a
a
R r e r r a r a raa
R r e r r a r aa
R r r r aa
4 4
5 11
0
2 24
140625 35R r r
a
Mientras que las soluciones angulares corresponden a los armónicos esféricos:
21 2 1 !, sen sen
2 ! 4 ! cos
m mmm im
m de
m d
Y
Donde mℓ es el número cuántico magnético cuyos valores corresponden con la desigualdad
|ℓ| ≥ mℓ.
Explícitamente, los primeros de esta serie tienen la forma:
0
0
0
1
1
1
0 2
2
1
2
2 2 2
2
1
2
1 3, cos
2
1 3, sin
2 2
1 5, 3cos 1
4
1 15, sin cos
2 2
1 15, sin
4 2
i
i
i
e
e
e
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Como puede notarse, estas funciones son complejas en ϕ, y en química es usual manejar
funciones únicamente reales, para lo cual se definen a los armónicos cartesianos:
cos 0
cos
sen
, , , 0
1, , 1 , ,
20
1, , 1 , ,
2
mm m m
mm m m
Y x y z m
Y x y z
m
Y x y zi
Y
Y Y
Y Y
Para ℓ = 1 y 2, se tiene explícitamente:
2 2
2
cos
1
sin
1
cos
1
cos
2 2
sin
2 2
sin 2
2 2
2 2cos2
2 2
2 2 2cos
2 2
1 3, ,
2
1 3, ,
2
1 3, ,
2
1 15 , ,
2
1 15 , ,
2
1 15, ,
2
1 15, ,
4
1 5 2 , ,
4
x
y
z
xz
yz
xy
x y
z
xY x y z p
r
yY x y z p
r
zY x y z p
r
xzY x y z d
r
yzY x y z d
r
xyY x y z d
r
x yY x y z d
r
z x yY x y z d
r
En la lista anterior se incluye la identificación con las etiquetas usuales en química para los
orbitales respectivos.
Para los fines de este trabajo es necesario llevar a cabo un análisis por separado de ambas
componentes de las funciones de onda. Mientras que la parte radial nos dará información sobre la
proporción de densidad de probabilidad a una distancia dada del núcleo, la parte angular
establecerá la geometría a la que la distribución de densidad de probabilidad se ve restringida.
Analicemos primero esta última situación.
Parte angular
Aunque la forma en la que la densidad electrónica se distribuye está gobernada por la función
radial, como se verá más adelante, ésta siempre estará multiplicada por una función angular, y
son éstas las que definen la geometría que la distribución adoptará mientras se reparte en el
espacio.
Es bien sabido que la función de onda por sí misma no tiene significado físico pero su
cuadrado es una función de densidad de probabilidad. Esto aplica tanto a la parte radial como a la
angular, es decir, que es el cuadrado de las funciones angulares la que da el sentido de
probabilidad a la geometría que representan. Por lo tanto no s centraremos en la representación
gráfica de las funciones elevadas al cuadrado.
Las funciones angulares fijan la geometría modulando las funciones radiales, de ahí que
para explotarlas las manipulemos como funciones polares, es decir:
2
, ,r Y
Orbitales s
Para las funciones ns el número cuántico azimutal es ℓ = 0, lo que quiere decir que la parte
angular está dada por:
0
0
1
2Y
Tomando en cuenta lo anterior, para representar este orbital hay que graficar la función:
1
,4
sr
Claramente esto significa que la superficie que se intenta representar es equidistante en
todos sus puntos al origen, independientemente de la dirección con la que se observe. Es decir la
superficie es una esfera perfecta de radio 1/4π.
Puede ser útil, y lo aprovecharemos a manera de ejemplo para futuros casos, el construir
la representación gráfica de esta situación.
En el ejercicio que sigue vamos a empezar por construir la gráfica de la función z(ρ)
donde ρ2 = x
2 + y
2. Por lo que la representación estará limitada al plano zρ.
Lo siguiente será construir gráficas de y(x) definidas por el valor de ρ.
Todo el método consiste en llenar la siguiente tabla tomando en cuenta las restricciones
impuestas por la función radial correspondiente al orbital en cuestión:
r z ρ2 |ρ|
1 -1.2 -0.44 ---
1 -1.0 0.00 0.00
1 -0.8 0.36 0.60
1 -0.6 0.64 0.80
1 -0.4 0.84 0.92
1 -0.2 0.96 0.98
1 0.0 1.00 1.00
1 0.2 0.96 0.98
1 0.4 0.84 0.92
1 0.6 0.64 0.80
1 0.8 0.36 0.60
1 1.0 0.00 0.00
1 1.2 -0.44 ---
¿Cómo se llenó la tabla anterior?
1. Sabemos que para este orbital la función a representar es:
1
,4
sr
Sin embargo, para fines prácticos, podemos quedarnos con la idea de que el radio
es constante y facilitarnos las cosas dejándolo como:
, 1r
2. El radio está perfectamente definido en coordenadas cartesianas por:
2 2 2 2 2 2r x y z z
Si sustituimos la condición anterior en la definición del radio podemos escribir:
2 21 z
3. Tenemos a z como grado de libertad. Entonces, siempre podremos encontrar el
valor de ρ2 una vez que nosotros hayamos escogido un valor de z para evaluar.
4. Gráficamente ρ es el radio de la circunferencia en el plano xy, por lo tanto no
puede admitir valores negativos. Sin embargo, para lo que intentamos ilustrar, es
necesario recurrir a éstos para tener dos valores que asignar a cada z. Entonces
simplemente definimos |ρ| = √ρ2, asegurándonos de que se admitan los valores con
ambos signos.
Lo que se está haciendo es fijar una altura a la cual se van a observar los bordes de
la esfera. Tales bordes están a ambos lados del eje de referencia, de ahí que
necesitemos dos valores para cada altura.
Ejemplo:
2
1
1 1 0
0
z
De entre lo que se puede observar en la tabla, resalta que para z > 1, ρ no tiene valor
definido en los números reales, es decir, nuestra esfera no puede existir en esta región. Cuando
|z| = 1, la componente vertical coincide con el radio de la esfera, por lo tanto las otras
componentes no contribuyen y ρ = 0, éstos son los polos, norte y sur, de nuestra esfera. Para z =
0, no hay componente vertical en el radio y todo lo conforman las combinaciones de x e y que le
dan al radio, es decir ρ = 1, puede observarse que éste es su valor máximo, por lo que nos
encontramos en el ecuador. Por último, para 0 < |z| < 1, tenemos que ρ es una función par con
respecto a z, lo cual coincide con el hecho de que los hemisferios son simétricos.
Una gráfica a partir de los datos anteriores construida en Excel, quedaría así:
Orbital s
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-1 -0.5 0 0.5 1
ρ
z +ρ
-ρ
Después podemos dibujar lo que se ve en los planos perpendiculares al anterior si
observamos desde diferentes valores de z. Es decir vamos a dibujar las curvas de nivel.
Utilizando un razonamiento como el anterior se deja fijo el valor de ρ dependiendo del de
z, se proponen valores de x y se calculan los valores de y correspondientes. Se deja este
procedimiento al lector. A continuación se muestran algunas de las curvas de nivel para
diferentes valores de z.
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
y
Curvas de nivelOrbitales s
|z| = 0.0
|z| = 0.2
|z| = 0.4
|z| = 0.6
|z| = 0.8
|z| = 1.0
Con esta información se puede pasar a dibujar la superficie del orbital, en este caso, la
esfera:
Orbitales p
Para las funciones np el número cuántico azimutal es ℓ = 1, lo que da lugar a tres posibles
armónicos cartesianos para la parte angular:
cos sin cos
1 1 1
1 3 1 3 1 3sin cos sin sin cos
2 2 2
x y z
Y Y Y
p p p
Para representar estos orbitales hay que graficar las funciones:
2 2 2 2 23 3 3, sin cos , sin sin , cos
4 4 4x y zp p pr r r
Por simplicidad empezaremos por dibujar el orbital pz ya que éste no depende
explícitamente de y hace más cómodo el trabajar en dos dimensiones.
Es necesario construir una tabla como en la sección anterior, mostremos los pasos de
cálculo:
1. Teniendo la función a representar vamos a considerar las constantes como iguales
a uno. Entonces trataremos con:
22
2cos
zp
zr
r
Lo que tiene como consecuencia que:
3 2
2 3
r z
r z
2. Sustituyendo la condición en la definición del radio tenemos:
2 4 3 2 2
2 4 3 2
r z z
z z
3. Nuevamente el asunto es encontrar el valor de ρ2 para valores escogidos de z.
4. Como en el caso anterior hay que tomar ambos signos de la raíz para la
representación completa.
La tabla que recopila los datos necesarios quedaría así:
r z ρ2 |ρ|
1.13 -1.2 -0.16 ---
1.00 -1.0 0.00 0.00
0.86 -0.8 0.10 0.32
0.71 -0.6 0.15 0.38
0.54 -0.4 0.13 0.37
0.34 -0.2 0.08 0.28
0.00 0.0 0.00 0.00
0.34 0.2 0.08 0.28
0.54 0.4 0.13 0.37
0.71 0.6 0.15 0.38
0.86 0.8 0.10 0.32
1.00 1.0 0.00 0.00
1.13 1.2 -0.16 ---
De entre lo que se puede observar en la tabla, tenemos nuevamente que para z > 1, ρ no
tiene valor definido en los números reales, es decir, nuestra gráfica no abarca esta región. Otra
vez, cuando |z| = 1, la componente vertical coincide con el radio y ρ = 0. La diferencia sustancial
se da en z = 0, en la que el radio ¡vale cero! es decir tanto z como ρ no pueden contribuir y son
nulas. La progresión de los valores de ρ conforme aumenta |z| es mucho menos pronunciada que
en el caso de la esfera, pero obedece a una función par. Lo anterior da origen a los conocidos
lóbulos, o bien al “famosísimo cacahuate”.
La gráfica en Excel, quedaría:
Orbitales p z
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6
ρ
z +ρ
-ρ
Con las curvas de nivel:
-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
x
y
Curvas de nivelOrbitales p
z
|z| = 0.0
|z| = 0.2
|z| = 0.4
|z| = 0.6
|z| = 0.8
|z| = 1.0
Al observar esta gráfica es más notoria la diferencia de la progresión de ρ con |z|, además
del hecho de que el diámetro del círculo en el plano xy alcanza su valor máximo en algún punto
de |z| entre 0 y 1 (aprox. 0.54).
Para dibujar los orbitales correspondientes a px y py sólo es necesario notar que el
tratamiento anterior centrado en z puede ser realizado sin ninguna dificultad para cualquiera de
las otras coordenadas cartesianas, ya que la dependencia del radio con respecto a éstas es idéntica
para las tres.
Por ejemplo si deseamos dibujar el orbital px, basta con definir ρ’2 = y
2 + z
2 y repetir el
tratamiento de los pasos 2 y 3 de nuestro algoritmo de graficación:
22 2
2
3 2
2 3
2 4 3 2 2
2 4 3 2
sin cosxp
xr
r
r x
r x
r x x
x x
Como puede verse, sólo es cosa de repetir los pasos pero ahora con x como la coordenada
a la que se le da prioridad. No hay que olvidar acostar los ejes para las representaciones.
La misma situación aplica para el orbital py, tomando las funciones pertinentes.
Finalmente los orbitales p quedan representados así:
Parte radial
El cuadrado de la función radial expresa el comportamiento de la densidad electrónica conforme
ésta se aleja del núcleo. Una vez que sabemos cómo la parte angular restringe la geometría
podemos pasar a analizar la densidad de probabilidad para entender lo que ocurre conforme nos
alejamos del sistema.
Como en el caso de las funciones angulares es necesario trabajar con el cuadrado de las
funciones, pero además hay que tomar en cuenta que es necesario que consideremos a los
polinomios en coordenadas esféricas, por lo tanto hay que multiplicar por el elemento de
volumen radial, r2, después de haber elevado al cuadrado. Definamos entonces la función de
densidad de probabilidad radial que incorpora todo lo anterior:
2 2
, ,n nF r R r r
Orbital 1s
Para la función 1s el número cuántico principal es n = 1 y el azimutal es ℓ = 0, lo que quiere decir
que la parte radial está dada por:
0
13
0
2r a
s
eR r
a
Y la función de densidad de probabilidad radial correspondiente es:
022
1 3
0
4r a
s
r eF r
a
Para fines prácticos, podemos olvidarnos de las constantes que multiplican a las funciones
y considerarlas igual a uno. Entonces vamos a tratar con:
0r aR r e
y 022 r a
F r r e
Veamos cómo construir la gráfica de la función de densidad de probabilidad radial paso a
paso:
1. Lo primero es conocer la parte radial de la función de onda. En este caso sólo se trata
de una exponencial decreciente. Recordemos que esta parte es común a todas las
funciones de onda ya que deben anularse en el infinito.
2. El siguiente paso es elevarla al cuadrado. Para esta situación el cambio es trivial y no
hay mucho que discutir al respecto. Así se ve una comparación de la función antes y
después de elevarla al cuadrado:
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.2
0.4
0.6
0.8
1
e-r/a
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.2
0.4
0.6
0.8
1
r [Å]
e-2r/
a0
Hay que estar consientes de que r es una distancia, por lo que no tiene sentido tomar sus
valores negativos.
3. Ahora vamos sobre la función de densidad de probabilidad radial. Dicha función
consta del producto de una potencia de r con una exponencial. Por separado éstas se
ven así:
0 1 20
1
2
3
4
r [Å]
r2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
0.2
0.4
0.6
0.8
1
e2r/
a0
Antes de graficar el producto hagamos un análisis de los puntos importantes en la
función resultante:
a. Para empezar la función r2 es una parábola que vale cero en el origen, de modo
que, sin importar las otras partes de la función, la función de densidad de
probabilidad radial siempre será cero en el origen. Esto aplica para todas las
funciones de todos los orbitales ya que siempre estarán multiplicados por r2. lo
anterior es consistente con el hecho de que el electrón no puede existir en la
misma posición que el núcleo.
b. Cuando r tiende a infinito es la exponencial decreciente la función que
predomina en el producto “matando” a la parábola. De este modo la función de
densidad de probabilidad tiende a cero conforme r aumenta. Esto tiene sentido
ya que es de esperarse que el electrón se concentre a una distancia finita del
núcleo. Esta característica es común a todas las funciones de todos los niveles.
c. Sabiendo lo anterior es lógico preguntarse ¿qué pasa en el medio?, ¿en qué
intervalo predomina cada función? Para resolverlo hagamos un análisis
diferencial de la función para encontrar los puntos críticos.
Primero hay que obtener la derivada de la función de densidad de probabilidad
radial:
0
0 0
0 0
0
22
2 22 2
2 22
0
22
0
22
2
r a
r a r a
r a r a
r a
dF dr e
dr dr
d dr e e r
dr dr
d rr e e r
dr a
re r
a
Luego igualarla a cero y resolver la ecuación en r que resulte:
0
22
0
2 0r a r
e ra
Claramente 2 no puede ser cero y sabemos que la exponencial únicamente
tiende a cero en el infinito, de modo que sólo el binomio entre paréntesis es el que
vale la pena tomar en cuenta para continuar el cálculo. Entonces:
2
0
2
0
0
0
rr
a
r a r
La anterior es una ecuación cuadrática y por lo tanto hay dos soluciones para r.
puesto que no hay término independiente se sigue de inmediato que una de las
raíces es cero. Por supuesto esto era de esperarse ya que las dos funciones son
positivas y cero es el mínimo valor que puede adoptar el producto, y como ya
sabíamos la función es cero en el origen que es justo lo que esta raíz nos quiere
decir. Por supuesto esta característica es común a todas las funciones sin importar
los números cuánticos que la etiqueten.
Encontremos la otra raíz:
0
0
0r a
r a
Y sorprendentemente, el valor de la distancia electrón-núcleo alrededor del
cual existe la mayor probabilidad de encontrar al electrón es ¡justamente el radio
de Bohr! Claro tenía que ser ya que es prácticamente el único resultado que el
modelo de Bohr arroja acertadamente, y no podíamos esperar que el modelo
cuántico entrara en contradicción al respecto. Este es el mejor ejemplo que
justifica el que esta cantidad le sobreviva a un modelo que cayó en desuso.
Muy bien, ahora sabemos que hay un punto crítico en r = a0. Pero, ¿será
mínimo o máximo? Esta pregunta se puede responder razonando el hecho de que
la función es el producto de dos positivas, y por lo tanto siempre es positiva, y que
además estamos analizando una región cuyos extremos valen cero; esto quiere
decir que nuestra función, siempre positiva, debe crecer conforme se aleja del
primer cero (el origen) y decrecer conforme se acerca al segundo (en el infinito).
Habiendo reflexionado lo anterior la única conclusión posible es que se trate de un
máximo. Pero hagamos el ejercicio de corroborarlo matemáticamente. Esto se
hace al conocer el signo de la segunda derivada evaluada en el punto crítico:
0
0 0
0 0
0
0 0
0
2 22
2
0
2 22 2
0 0
22 2
0 0 0
2
2
2 22 1
r a
a a
r a r a
a
r a r a
a
d F d re r
dr dr a
d r r de r r e
dr a a dr
r r d re r e
a a dr a
0
0
0
0
0
0
0 0
22
0 0 0
22
2
0 0 0
22
2
0 0
22 0 0
2
0 0
2
2 2
2 22 1
2 2 22 1
4 22 1
4 22 1
2 1 4 2
2 1 2 0
r a
a
r a
a
r a
a
a a
r re r
a a a
r r re
a a a
r re
a a
a ae
a a
e
e e
El que el argumento de la exponencial sea negativo sólo implica que el valor
de ese término es menor a 1, pero sigue siendo una función positiva; al estar
multiplicado por -2 la función total es negativa, y esto nos garantiza que el punto
que escogimos es máximo.
Sólo para confirmar, veamos el resultado con el otro punto crítico (r = 0)
00
22 02
2 2
0 0 0 00
4 0 2 04 22 1 2 1
2 1 2 0
ar a r re e
a a a a
Y, como ya sabíamos nos encontramos en presencia de un mínimo.
4. Ahora sí, la gráfica que representa todo lo que hemos estado haciendo queda así:
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
r [Å]
F(r
)
Orbital 2s
Para la función 2s el número cuántico principal es n = 2 y el azimutal es ℓ = 0, lo que quiere decir
que la parte radial está dada por:
02
2 05
0
22
r a
sR r r a ea
Y la función de densidad de probabilidad radial correspondiente es:
0
22
0
2 5
0
4 2r a
s
r r a eF r
a
Dejando de lado las constantes nos quedamos con:
02
02r a
R r r a e
y 022
02r a
F r r r a e
Procedamos a graficar.
1. Esta vez la parte radial de la función de onda es el producto de la ya familiar
exponencial decreciente con un polinomio en r. Para la función que nos ocupa el
polinomio representa a una recta de pendiente 1 y de ordenada -2a0. Esto quiere decir
que en r = 0 es negativa y se vuelve positiva hasta r = 2a0.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
r [Å]
f(r)
r - 2a0
e-r/2a
0
Al multiplicarla por la exponencial decreciente, que es siempre una función positiva,
nos encontramos con que la función total ¡es negativa para valores de r entre 0 y 2a0!:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
r [Å]
R(r
)
Por primera vez nos encontramos con una función que no es positiva en todo el
intervalo considerado. El punto en el que esta función cambia de signo se conoce como
nodo y su relevancia se verá cuando analicemos la función de densidad de probabilidad.
2. Al elevar la función al cuadrado la volvemos toda positiva, como debe ser si vamos a
hablar de probabilidades.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
r [Å]
|R(r
)|2
Vemos que el nodo se ha convertido en un mínimo ya que en este punto la función
vale cero, y como se discutió anteriormente éste es el menor valor que puede tener una
función positiva.
3. La función de densidad de probabilidad radial es el resultado de multiplicar la última
función con la parábola r2. ¿El que la función que multiplica sea diferente de una
simple y llana exponencial producirá cambios importantes? Antes de verificarlo
gráficamente veamos qué podemos deducir de la forma de la función a partir de lo
anterior.
a. Como antes la parábola debe “matar” a la función en cero.
b. Podemos observar que la tendencia de la función a anularse conforme r crece
se conserva a pesar del polinomio que multiplica.
c. Encontremos los puntos críticos.
Esta vez la función de densidad de probabilidad radial consta del producto de una
potencia de r con un polinomio en r y una exponencial. Por separado éstas se ven así:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
r [Å]
F(r
)