ANALISIS DE FLUCTUACIONES FINANCIERAS A PARTIR DE SERIES DE TIEMPO

Dr. Oswaldo Morales Matamoros

Comité Nacional de Administración Integral de Riesgos

Dr. Alexander Balankin

Instituto Politécnico Nacional

CONTENIDO

Introducción

Capitulo 1: Movimiento Browniano

Capitulo 2: Geometría Fractal

Capitulo 3: Fluctuaciones en el Mercado Petrolero

Conclusiones

FluctuacionesMercados Financiero Incertidumbre Inversionistas

Administración

de Riesgos

Rie

sgos

INTRODUCCION

Globalización Económica

(1973)

•Liberación económica•Fluctuaciones de variables económicas•Industria de derivados C

ober

tura

Ingeniería Financiera

Administración de Riesgos

Identificación y Análisis de

Riesgos

Medición de Riesgos

Control de Riesgos

Fluctuaciones en los mercados financieros

Métodos VaR

Cobertura con productos derivados

(Ingeniería Financiera)

INTRODUCCION

INTRODUCCION

Identificación y Análisis de

Riesgos

Análisis de Fluctuaciones en series de tiempo

financieras

Enfoque del mB

•Movimiento Browniano (Geométrico) Modelo B-S

•99% valuación portafolios inversión y derivados

•Modelo del Movimiento Browniano Fraccional

•Modelo de Multifractales

Enfoque Fractal

Precios relativos

Rendimientos logarítmicos

Valor absoluto de rendimientos logarítmicos

Volatilidad

5

15

25

35

45

55

65

75

1986 1990 1994 1998 2002

Precio

, U

SD

/bl

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

1986 1990 1994 1998 2002

Lo

g-retu

rn

, d

0.0

2.0

4.0

1986 1990 1994 1998 2002

Vo

lati

lid

ad

, s

CAPITULO 1

•En 1905 Einstein explica este fenómeno de manera matemática (mecánica estadística)

•Louis Bachelier en 1900 formula su modelo del Movimiento Browniano para estudiar el comportamiento de precios de los activos financieros

Movimiento Browniano:

•Descubrimiento en 1827 por Robert Brown

•Comportamiento aleatorio de precios y fluctuaciones de precios a través de tiempo

a) b)

CAPITULO 1

El Movimiento Browniano (mB) supone que:

•El precio evoluciona como un proceso de Markov y se ajusta a una distribución normal, entonces los precios tienen comportamiento aleatorio y pueden ser positivos y negativos

•Samuelson (1960) establece el modelo del Movimiento Browniano geométrico para tener solo precios positivos, pero aparecen dos parámetros desconocidos: (rendimiento medio esperado del subyacente) y (rendimiento que pagan las opciones)

CAPITULO 1

•Fisher Black y Myron Scholes (1973) desarrollan un modelo estocástico para valuar opciones de precios; ya no hay parámetros ni

•Supuestos del modelo de Black y Scholes (B-S):

•Los precios se comportan como el Movimiento Browniano Geométrico (distribución log-normal)

•La volatilidad es constante en el tiempo (=1/2)

•No hay arbitraje (mercados en equilibrio)

•El riesgo (del impacto de la volatilidad) se elimina a diversificar los portafolios de inversión

CAPITULO 1

El modelo B-S es una ecuación diferencial parcial de segundo orden, parabólica y lineal (ecuación de difusión del calor), cuya solución representan los precios de los distintos derivados (en un principio, el precio de una Opción Europea)

Con el modelos B-S se valúan productos derivados

Sin embargo, las crisis financieras son originadas por eventos extremos que se encuentran a 10 o mas desviaciones estándar

•Ejemplos de crisis económico-financieras : México 1994 y Fondo de inversión Long Term Capital Management, 1997

CAPITULO 1

CASO PRACTICO: LONG TERM CAPITAL MANAGEMENT (1997)

•Fondo de inversión fundada por Merriwether bajo el modelo B-S, Merton/Scholes

•Grupo arbitraje Salomon Bros y profesionales en banca de inversión (matemáticas)

•Ganancias, por estrategia de convergencia en varios mercados, de 17% hasta 1997

•A finales 1997 se redujo capital apalancable; la crisis en Rusia provoco diferenciales en bonos gubernamentales de EU que no se corrigieron, causando mas pérdidas

• Administradores del fondo vendieron volatilidad (Swaps tasas de interés)

•Agosto/1998: el fondo pierde su base de capital por cubrir perdidas en sus derivados, por lo que hubo una liquidación masiva de activos

•Salvamento privado por 3,650 MM USD (90% fondo y 10% inversionistas iníciales)

•Fondos inversión: estrategia de inversión sin riesgo, al construir y aplicar portafolios de inversión diversificados y tomar posiciones cortas y largas en distintos activos, pero omiten eventos (“extremos”) con probabilidad de ocurrencia de 0.1% o menos (diez desviaciones estándar)

CAPITULO 1

MOVIMIENTO BROWNIANO

Economistas/financieros aplican un modelo (Movimiento Geométrico Browniano) preconcebido con algunos parámetros desconocidos, forzando el ajuste del modelo a una serie de tiempo que no es estacionaria, mediante la “mejor elección de los parámetros” (con métodos robustos y rigurosos); concluyendo que los datos son difíciles de ajustar en escalas de tiempo muy amplias

SISTEMAS COMPLEJOS (“FRACTAL”)

Físicos estudian comportamiento histórico de muchos sistemas complejos a través del análisis de series de tiempo que contienen registros de las fluctuaciones de dichos sistemas; al graficar dichas series de tiempo, se obtienen curvas rugosas

ENFOQUES PARA ANALIZAR SERIES DE TIEMPO FINANCIERAS

Se propone el Enfoque Fractal para analizar las fluctuaciones de los mercados financieros, el cual considera a los mercados financieros como sistemas complejos

CAPITULO 1

Océano Pacifico

Curva de esfuerzo-

deformación

Propagación de grieta en hoja de

papel

Precios del petróleo

Función del perfil de temperatura

T

Usd

/bar

ril

Océano Pacifico Curva de esfuerzo-

deformación

Propagación de grieta en hoja de

papel

Precios del petróleo

Océano Pacifico Curva de esfuerzo-

deformación

Propagación de grieta en hoja de

papel

Precios del petróleo

Función del perfil de temperatura

T

Usd

/bar

ril

CURVAS RUGOSAS

muchos quiebres que se aprecian mejor a mayor escala de observación: perímetro de costas, perfil de montañas y contorno de nubes; no son derivables en ningún punto (sin tangente)

CAPITULO 2

•Geometría Fractal: herramienta matemática para cuantificar el grado de rugosidad de señales

•Fractales (Mandelbrot, 1970): geometrías (o curvas) complejas e irregulares (rugosas) que permanecen invariantes a cambios de escala y cuya longitud infinita se encuentra dentro de un espacio finito

CAPITULO 2

Fractales

Auto-similares

Auto-afines

Determinísticos

Estadísticos

Aleatorios

Pre

vale

ce e

n la

N

atu

rale

za

Si H (Exponente de Hurst o rugosidad)=0.5 mB (no estacionalidad)

Si H >0.5 persistencia

Si H <0.5 antipersistenciaestacionalidad

a) b)

a) b) c)

CAPITULO 2

Mandelbrot en las finanzas:

•1963: advierte las limitaciones del modelo de B-S: la series de tiempo de precios no son estacionarias, la varianza no tiene que ser finita, no se reconoce la presencia de discontinuidad (eventos extremos)

•Ajusta los precios con distribuciones de colas pesadas (Levy): ajustan fluctuaciones a pequeña escala y grandes fluctuaciones a corto plazo (modelo del Movimiento Browniano fraccional)

a) b)

CAPITULO 2

El modelo Browniano fraccional no caracteriza la volatilidad a diferentes escalas de tiempo

Mandelbrot desarrolla el modelo de multifractales

c)

0

1

2

3

0 1024 2048 3072 4096

Dias habiles

Vn

n = 8

d)

0

1

2

3

0 1024 2048 3072 4096

Dias habiles

Vn

n = 20

b)

0

1

2

3

0 1024 2048 3072 4096

Dias habiles

Vn

n = 3

a)

5

20

35

02/01/1986 06/11/1992 11/09/1999

Fecha

Pre

cio, $

/bll

Objeto de Estudio

CAPITULO 3

0

1

2

3

0 0.5 1 V3

c)f

0

1

2

0 0.5 1 1.5

b)

V18

f

0.001

0.1

10

0 1 2

0.001

0.1

10

0.1 1 10

0

0.05

0.1

0.15

5 15 25

f

price

a)

Análisis Estadístico

CAPITULO 3

CAPITULO 3

Análisis Fractal

0

0.25

0.5

0.75

1 10 100

H=0.5

H=0.83H

Horizonte de tiempo, n

antipersistencia

persistencia

aleatorio

CAPITULO 3

Generación de escenarios de precios WTI

CAPITULO 3

Posibles escenarios de precios WTI

CAPITULO 3

Precios históricos y pronosticos del WTI

CAPITULO 3

Pronósticos de precios WTI mas probables

CONCLUSIONES

•Dos enfoques diferentes para analizar, caracterizar y modelar las fluctuaciones de variables financieras que reflejan el comportamiento de los mercados financieros: del Movimiento Browniano y Fractal; en ambos hay que partir de series de tiempo financieras.

•Enfoque Browniano: primer modelo estocástico para fluctuaciones de precios; los precios y rendimientos logarítmicos de precios son variables aleatorias independientes y distribuidas por la normal, por lo que el comportamiento de las fluctuaciones se considera un proceso estocástico que no es estacionario y para el cual α=1/2 (H=0.5).

•El modelo de B-S, piedra angular de la teoría financiera moderna para estrategias de cobertura, se basa en el Enfoque Browniano. Al diversificar el portafolio de inversión, se elimina el riesgo, puesto que no considera la presencia de discontinuidades (eventos extremos con 10 desviaciones estándar), que causan crisis económicas México (1994) y la quiebra de Long Term Capital Management (1997).

CONCLUSIONES

•Enfoque fractal: basado en la Geometría Fractal; Mandelbrot desarrolló los modelos del Movimiento Browniano fraccional y el de multifractales; este último es aplicado mejor al análisis y modelación de la volatilidad puesto que considera diferentes escalas de tiempo y permite establecer si una serie de tiempo llega a ser estacionaria (correlaciones a largo plazo).

•Con el modelo multifractal se generaron escenarios de los rendimientos logarítmicos de los precios del crudo WTI, obteniendo precios a la alza y considerando un escenario de precio máximo de mas de 60 usd/barril para inicios de 2006; a diferencia de los pronósticos (con Enfoque Browniano) de cinco compañías de EU que iban hacia la bajo.

•Enfoque Fractal puede ser herramienta cuantitativa más confiable para caracterizar el comportamiento de fluctuaciones de los mercados financieros, ya que los considera sistemas complejos que despliegan estructuras muy rugosas a diferentes escalas de tiempo-espacio. Esto, a su vez, permitiría generar pronósticos de precios, índices, tasas y tipos de cambio más precisos, los cuales ayudarían a los administradores de riesgos a desarrollar estrategias de cobertura más confiables.

DR. OSWALDO MORALES MATAMOROS

SOCIO IMEFPROFESOR-INVESTIGADOR, INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL

oswmm2001@yahoo.comomoralesm@ipn.mx

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