wronskiano

D'AlambertianoDe Wikipedia, la enciclopedia libreSaltar a navegación, búsqueda

El operador D'Alambertiano es la generalización del operador laplaciano a un espacio de Minkowski, o, más en general, a un espacio de dimensión y métrica arbitraria. Se suele representar como , o simplemente como . Técnicamente el D'Alambertiano de una función escalar es el operador de Laplace-Beltrami asociado a la métrica de dicho espacio, operando sobre dicha función.

Su definición es, por analogía con el operador nabla ordinario de , el producto escalar del vector de derivadas parciales consigo mismo. En una variedad (pseudo)riemanniana el operador nabla se define como:

Esta forma manifiestamente covariante implica la invarianza de este operador frente a transformaciones de Lorentz.

Contenido

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1 En el espacio de Minkowski 2 En un espacio curvo

3 Ejemplos

4 Enlaces externos

[editar] En el espacio de Minkowski

La métrica es la métrica plana , y por tanto el D'Alambertiano es

[editar] En un espacio curvo

Se puede hacer que el operador D'Alambertiano sea también invariante frente a una transformación general de coordenadas si se define en relación a la derivada covariante:

[editar] Ejemplos

Un ejemplo de utilización del D'Alambertiano sería la ecuación de Klein-Gordon, que describe campos escalares de spin cero:

[editar] Enlaces externos

Weisstein, Eric W. , «d'Alembertian» (en inglés), MathWorld, Wolfram Research, http://mathworld.wolfram.com/dAlembertian.html.

Obtenido de «http://es.wikipedia.org/wiki/D%27Alambertiano»

Los Wronskianos son funciones denominadas de tal forma en honor al físico, filósofo y

matemático polaco Josef Hoene-Wronski (1778-1853). Son fundamentales en el estudio de los

sistemas ecuaciones diferenciales. Dichos sistemas surgen en problemas que se relacionan

principalmente con las variables dependientes las cuales son función de la propia variable

independiente. Son de utilidad para determinar si dos funciones son independientes linealmente

y de esta forma crear un conjunto solución que a la vez respete la teoría de las ecuaciones

diferenciales, veamos entonces un ejemplo.

a, b y c son constantes en la siguiente ecuación diferencial, que a la vez es de segundo orden, de

primer grado y homogénea.

Es posible que la solución a esta ecuación sea una combinación lineal como la que vemos a

continuación,

Debemos comprobar lo anterior y una de las formas para hacerlo es anotar la ecuación en forma

de operador. Siendo así nos quedaría:

Las raíces de esto son λ1 y λ2

Como el polinomio es de segundo grado podemos obtener dos raíces, las cuales pueden ser,

reales diferentes, reales iguales o complejas conjugadas.

Para probar si es posible realizar esta combinación es posible el uso del Wronskiano como

determinante. Los resultados a comprobar son:

Es de gran importancia tener en cuenta que la solución general es,

Es una combinación lineal que corresponde a las dos soluciones. Se conoce que las raíces son

reales y diferentes, por lo cual si se utiliza la fórmula general, el discriminante de esta será

mayor que las raíces las cuales son reales y diferentes en este caso:

En la primera línea se deben colocar las soluciones que se probarán si son dos, el wronskiano es

entonces de 2×2. En la línea secundaria se ubicarán las derivadas de las soluciones. Entonces si

dan como resultado,

Las derivadas serán estas,

Cuando son colocadas en el determinante tenemos lo siguiente,

Se resuelve esto con la operación que sigue,

El Wronskiano es entonces:

Si el Wronskiano es diferente de cero, las funciones son linealmente independientes. Si las raíces

son diferentes, entonces no vale cero. Por lo tanto la solución de este ejercicio no puede ser cero

puesto que las raíces son diferentes y el único punto donde la exponencial tiene valor cero es si

x corresponde a menos infinito. Como el wronskiano es diferente de cero se comprueba que las

soluciones son linealmente independientes.

En otro caso si el discriminante es igual a cero las raíces serán reales e iguales. Si se realiza el

Wronskiano con dos raíces iguales, nos da como resultado cero, por lo cual tendríamos

soluciones linealmente independientes.

En caso que el discriminante sea menor que cero las raíces serán lo que llamamos complejas

conjugadas.

Es importante saber que las funciones son linealmente independientes a excepción de que el

exponencial sea cero, o sea si x, tiende a menos infinito. Si se consideran funciones de tercer

grado puede que esto no sea de tal forma ya que por ejemplo el valor absoluto de x elevado al

cubo puede ser escrito de la siguiente forma:

Se puede verificar que esta función es linealmente independiente aunque su Wronskiano sea

cero.