vectores sears

MAGNITUDES FÍSICAS.MAGNITUDES FÍSICAS.

• Magnitudes fMagnitudes fíísicas escalares y sicas escalares y vectoriales. Algebra vectorial.vectoriales. Algebra vectorial.

•EjemplosEjemplos

Bibliog. Sears, FBibliog. Sears, Física universitaria ísica universitaria 1999, 1999,

Hewitt, Física conceptual 1999Hewitt, Física conceptual 1999

Magnitudes Magnitudes físicasfísicas

por su naturaleza

Escalares

Vectoriales

Magnitudes Magnitudes físicasfísicas

Escalares

Vectoriales

Asociadas a propiedades que pueden ser caracterizadas a través de una

cantidad

Asociadas a propiedades que se caracterizan no sólo por su cantidad

sino por su dirección y su sentido

Magnitudes Magnitudes físicasfísicas

Masa, densidad, temperatura,

energía, trabajo, etc

Velocidad, fuerza, cantidad de movimiento,

aceleración, torque, etc.

Escalares

Vectoriales

Sistema de Referencia: Cuerpos que se toman como referencia para describir el movimiento del sistema bajo estudio.

Bases para el estudio Bases para el estudio del movimientodel movimiento

x(t)x(t)

y(t)y(t)

z(t)z(t)

Se le asocia Se le asocia

• ObservadorObservador

• Sistema de Sistema de CoordenadasCoordenadas

y

x

z

• RelojReloj

Movimiento planoMovimiento plano

Coordenadas Cartesianas

y (m)

x (m)O

origenabcisa

ordenada

(x,y)

Q (-2,2)

P (8,3)

Coordenadas Polares

O

origen

(r,)

Movimiento planoMovimiento plano

Relacion entre (x,y) y (r,)

y (m)

x (m)O

origenabcisa

ordenada

(x,y)

r

θcosrx θrseny

θtanxy22 yxr

VectoresVectores

Notación A

Módulo A > 0

A

Dirección θ,

x

y

z

θ

Ap

x

y

Propiedades Propiedades de Vectoresde Vectores

• Dados A y B, si A = B entonces A = Bl

• Todo vector se puede desplazar paralelamente a si mismo

A

B

C

CBA

Suma de Suma de VectoresVectores

BA

R

BA C

C

Ley del polígono

El vector resultante es aquel vector que va desde el origen

del primero hasta el extremo del último

A

B

C

D

Entonces si se tiene los siguientes vectores

El vector resultante de la suma de todos ellos será:

A B

C

D

DCBAR

R

Propiedades Propiedades de Vectoresde Vectores

A

Opuesto-A

Nulo 0 =

A + ( )-A

Vector unitario

A

A

μ

ˆAA

PropiedadesPropiedades de la suma de la suma de Vectoresde Vectores

Ley Conmutativa

ABBAR

Ley Asociativa

C)BA)CBAR

((

Diferencia

B-AR

)B(-AR

A

B A

-BR

Ley conmutativa

¿Cómo se explica esta regla?

Los vectores A y B pueden ser desplazados paralelamente para

encontrar el vector suma

B

R = A+B

A

B R = B+A

(Método del paralelogramo)

B R = A+B

Multiplicación de un vector por un escalar

Dado dos vectores

ByA

Se dicen que son paralelos sí BA

BAsi

0

BAsi

0BAsi

1

A

B

AB

21

A

B

AB

41

Ejemplo:

Hallar el vector resultante de la suma de los siguientes vectores

A B

C

A B

CR = 2

Vectores unitarios en el plano

ijx

y

iVector unitario en la dirección del eje x+

j Vector unitario en la dirección del eje y+

Vectores unitarios en el espacio

xy

z

ij

k

Representación Representación de un vectorde un vector

x

y

z

θ

A

Ax

Ay

Az

θsenAAx cosθsenAsenAy

θcosAAz 222zyx AAAAA

kAjAiAA zyx

Observaciones:

Las componentes rectangulares de un vector dependen del

sistema coordenado elegido.

La magnitud del vector no cambia. Permanece invariante

en cualquier sistema coordenado

Determínese la resultante de los siguientes vectores

A4u 3u

B

BAR

7u

+

A

B

8u 4u =

BAR

4u

Observamos que, cuando los vectores están en la misma dirección podemos determinar fácilmente su magnitud

¿Qué sucede si los vectores no están en la misma dirección? , ¿podremos determinar directamente su magnitud ?

4u

3uA

B

La magnitud en este caso no puede La magnitud en este caso no puede determinarse directamente , por lo que determinarse directamente , por lo que debemos tratar de buscar otra forma de debemos tratar de buscar otra forma de

determinarladeterminarla

BAR

A

B

yA

xA

xB

yB

4u

3u

5u

6u

8u

10u

yA

xA

xB

yB

4u

3u

6u8u

yx AAA

yx BBB

yy BA

xx BA

10u

5u

yyxx BABAR

Por Pitágoras podemos ahora determinar la magnitud del vector

resultante

uR 55510 22

yA

xA

xB

yB

xCyC

xD

yD

yyyyy DCBAR

xxxxx DCBAR

xR

yR

15 u5 u

yx RRR

105R

xy

z(x1,y1,z1)

(x2,y2,z2)

A

Dados los puntos Dados los puntos indicados el vector indicados el vector que los une está que los une está representado por representado por

xy

z(x1,y1,z1)

(x2,y2,z2)

A

k)z(zj)y(yi)x(xA 121212ˆˆˆ

Producto Producto escalar de escalar de

dos vectoresdos vectoresθABBA cos

cosθAAB Proyección de A sobre B

cosθBBA

Proyección de B sobre A

1ˆˆ ii1ˆˆ jj

0ˆˆ ji

0ˆˆ kj

0ˆˆ ki

xAiA

1ˆˆ kk

yAjA ˆ

zAkA ˆ

ZZYYXX BABABABA

Producto Producto vectorial de vectorial de

dos vectoresdos vectores BAC

θABC sen

0ii

0ˆˆ

jj

0ˆˆ

kk

kji ˆˆˆ ikj ˆˆˆ

jik ˆˆˆ

)kBjBiB()kAjAiA(BAC zyxzyx

YZZYX BABAC

zxxzy BABAC

xyyxz BABAC

Demostrar:

Determínese la suma de los siguientes vectores:

Ejemplo:

k5j8i3A ˆˆˆ

kji-5B ˆ3ˆ2ˆ

kji4C ˆ2ˆ7ˆ

Ejemplo:

8m

10m

5m

A

B

C

Determine la suma de los vectores indicados

x

y

z

Ejemplo

Dados los vectores:

k3j5i4B

k5j3i3A

Determine :

a) El producto escalar entre ellos.

b)el producto vectorial entre ambos

e) el ángulo que forman entre sí.

Tarea 9c, 9d y 10