vectores en el plano nivel 4º e.s.o.. el concepto de vector está motivado por la idea de...

VECTORES EN EL PLANOVECTORES EN EL PLANO

Nivel 4º E.S.O.Nivel 4º E.S.O.

El concepto de vector está motivado por la idea de desplazamiento en el espacio

P Q

Si una partícula se mueve de P a Q determina un segmento de recta dirigido con punto inicial P y punto final Q

PQ

R SP Q

S

R

La magnitud del vector es la longitud de ese desplazamiento y se denota por

PQ

Vectores de la misma magnitud

RSPQ

Un vector es un segmento orientado

La dirección del vector viene dada por el punto inicial y el punto final. En este sentido

SRRS

Vectores de la misma

dirección

S

R Q

P

S

R

S

R

Vectores en direcciones

distintas

P

Q

Vectores Equivalentes

Q

P

RSPQ

Tienen la misma magnitud y dirección

S

R

Definición Geométrica

Un vector es el conjunto de todos los segmentos dirigidos

equivalentes

OEje x

Eje y

Representante del vector por el origen de coordenadas

(a,b) son las coordenadas del vector u y también del punto P

u

a

b

A un vector u se le asocia el punto P(a,b) así:

P(a,b))b,a(OPu

Eje Y

OEje X

10c10cmm

6cm6cm

31º31º

15c15cmm ¿b?¿b?

11º11º

¿a?¿a?

Magnitud o módulo de un

vector u

El vector nulo (0,0) no tiene

dirección

Dirección de u

Angulo positivo que forma con el eje X

22 bau a

btag

u

a

b(a,b)

Eje Y

OEje X

Un vector de módulo uno se llama unitario

Halla el módulo del vector u(4,1) y el ángulo θ que forma con el eje X

Eje Y

O Eje X

22 bau a

btag

Halla el módulo del vector u(1,4) y el ángulo θ que forma con el eje X Halla el módulo del vector u(-4,1) y el ángulo θ que forma con el eje X Halla el módulo del vector u(-4,-1) y el ángulo θ que forma con el eje X Halla el módulo del vector u(4,-1) y el ángulo θ que forma con el eje X Halla el módulo del vector u(2,2) y el ángulo θ que forma con el eje X Halla el módulo del vector u(0,5) y el ángulo θ que forma con el eje X Halla el módulo del vector u(0,-3) y el ángulo θ que forma con el eje X

Halla el módulo del vector u(3,-2) y el ángulo θ que forma con el eje X

Los vectores i=(1,0) y j=(0,1) son los vectores unitarios en la dirección de los

ejes coordenados

Todo vector (x,y)=x(1,0)+y(0,1), es decir, es combinación lineal de los

vectores i,j

Eje Y

O Eje X

u

x

y

i

j xi

yj

Halla el módulo del vector u(1,1) = i + j y el ángulo θ que forma con el eje X

Eje Y

O Eje X

22 bau a

btag

Halla el módulo del vector u(1,3) = i +3 j y el ángulo θ que forma con el eje X Halla el módulo del vector u(-2,3) =-2i +3 j y el ángulo θ que forma con el eje X

Operaciones con vectores

Sean u=(x,y) y v=(a,b) vectores en el plano y un número real. Se define el vector:

suma u+v como

u+v= (x+a, y+b)

producto por un escalar u como

u=(x, y).

Operaciones con vectores

Si u=(2,3), v=(4,1), gráficamente u+v=(6,4) es la diagonal mayor del paralelogramo

Eje Y

OEje X

u+ v u

v

Operaciones con vectores

Si u=(2,3), v=(4,1), gráficamente v-u=(2,-2) es la diagonal menor del paralelogramo

Eje Y

OEje X

u- v u

v u- v

Operaciones con vectores

Si u=(x,y), v=(a,b), gráficamente u+v=(x+a,y+b) es la diagonal mayor del

paralelogramo

Eje Y

OEje X

u+ v u

v

Operaciones con vectores

Si u=(x,y), u=(x, y)

Eje Y

OEje X

u

u

>0

u <0

0<<1

Se define el producto escalar de dos vectores u=(x,y) y v=(a,b) como:

u.v=│u││v│cos

: Se define el ángulo entre dos vectores u y v como el ángulo no negativo mas pequeño entre u y v.

Producto escalar

El producto escalar de los vectores canónicos i=(1,0), j=(0,1) será i.i=j.j=1 i.j=j.i=0

Nueva definición de Producto escalar:

ybxav.u

j.ybji.yajj.xbii.xaiv.u

bjaiv

yjxiu

Se define el producto escalar de dos vectores u=(x,y) y v=(a,b) como:

u.v=ax+by

Se define el ángulo entre dos vectores u y v como el ángulo no negativo mas pequeño entre u y v.

Producto escalar

Dos vectores son paralelos si el ángulo entre ellos es 0 o .

Dos vectores son ortogonales si forman un ángulo de /2

Producto escalar

Eje X

Eje Y

/2

Propiedades del producto escalar

u.0 = 0 u.v = v.u (propiedad conmutativa) Si u.v =0 y ninguno de ellos es nulo entonces los vectores son perpendiculares.

Interpretación geométrica:

Teorema:

Sean u y v vectores no nulos y el ángulo entre ellos, entonces si calculamos el producto escalar podremos hallar el ángulo entre ellos:

cosvuv.u

v

u

ucos

cos/. vuvu

Ejemplo: Sean los vectores A = 4i y B = i + 2 j . Representarlos y determinar su módulo. El producto escalar de A por B. Halla el ángulo entre A y B.