vector tangente, normal y binormal

Definiciones: Z

BT

N

C

X

0 Y

Sea C una curva en el espacio definida por la función r (t); según hemos visto, dr/dt es un vector en la dirección de la tangente a C. Considerando al escalar t como la longitud de arco s medida a partir de un punto fijo de C de la curva dr/dt es un vector tangente a C y que llamaremos T como se observa en la figura de la derecha.La variación de T respecto de s es una medida de la curvatura de C y viene dada por: .La dirección de en un punto cualquiera de C es la correspondiente a la normal a la curva en dicho punto. El vector unitario N en dirección de la normal se llama normal principal a la curva.

dsdT

dsdT

El vector unitario B definido por el producto vectorial: , perpendicular al plano formado por T y N, se llama binormal a la curva C. Este sistema de coordenadas recibe el nombre de triedro intrínseco en el punto. Como a medida que varía s el sistema se desplaza, se le conoce con la denomonación de triedro móvil.

NTB

DEFINICIÓN DE VECTOR TANGENTE UNITARIO

Recordemos que una curva se dice que es suave en un intervalo si r´ es continua y no nula en dicho intervalo. Así pues, la suavidad es suficiente para garantizar que una curva posee vector tangente unitario en todos sus puntos.

Cálculo del vector tangente unitario

EJEMPLO 1: Hallar el vector tangente unitario a la curva dada por:

tjitr 2)(

1)( 2 tcuandojttitrSe calcula la primera derivada de

por tanto el vector tangente unitario es: 2412

)()(

)(t

tjitrtr

tT

Cuando t =1, el vector tangente unitario es:52

)1(ji

T

Ver figura de la siguiente diapositiva

La dirección del vector tangente unitario depende de la orientación de la curva. Si la parábola estuviera dada por:

jtittr 2)2()2()(

T(1) sería todavía el vector tangente unitario en el punto (1, 1), pero apuntaría en la dirección opuesta.

DEFINICIÓN DE VECTOR NORMAL PRINCIPAL (UNITARIO)

Cálculo del vector normal principal (unitario)

EJEMPLO 2: Hallar N (t) y N (1) para la curva representada por: jttitr 223)( 2169)(43)( ttrytjitr

)43(169

1)()(

)(2

tjittr

trtT

Derivando la función dada vemos que:

De donde se deduce que el vector tangente unitario es:

Ahora derivando T (t) respecto de t, tenemos:

Vector tangente unitario

)34()169(

12)43(

)169(

16)4(

1691

)(2

32

3222

jtit

tjit

tj

ttT

232

2

16912

)169(169

12)(tt

ttT

Por lo tanto el vector normal principal es:

)34(169

1)()(

)(2

jtittT

tTtN

Cálculo del vector normal principal (unitario) …continuación

Cuando t = 1, el vector normal principal es:

)34(51

)1( jiN

Tal como se muestra en la figura de la derecha:

DEFINICIÓN DE VECTOR BINORMAL

El vector unitario B definido por el producto vectorial: , perpendicular al plano formado por T y N, se llama binormal a la curva C.

NTB

Cálculo del vector binormal

Para calcularlo solo basta aplicar el producto cruz de los vectores T y N