valores y vectores propios de matrices reales y complejas investigacion final.pdf
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UNIVERSIDAD DE
CUENCA
LGEBRA LINEAL
VALORES Y VECTORES PROPIOS
TRABAJO REALIZADO POR:
JUAN CARLOS CORTZ AUCAPIA
PROFESOR:
ING. HERNN PESNTEZ REGALADO
FECHA DE ENTREGA:
LUNES, 08 DE JULIO DE 2013
SEMESTRE:
MARZO-JULIO/2013
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2 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
OBJETIVOS GENERALES:
Adquirir conocimientos acerca de valores y vectores propios.
Conocer su historia y avances a lo largo del tiempo, y quienes fueron los
principales personajes que utilizaron esta teora.
Conocer aplicaciones tiles del algebra lineal y relacionar sus utilidades con
otras reas de la matemtica.
OBJETIVOS ESPECFICOS:
Dominar los conceptos de valores y vectores propios.
Calcular los valores propios de matrices generales y adems de matrices que no
son simtricas o hermticas
Conocer el proceso para la obtencin de valores y vectores propios.
Ser capaces de decir una matriz es o no diagonalizable
Obtener adecuadamente y segn sea el caso a la matriz P, y su correspondiente
matriz D que diagonalice a una matriz A cualquiera.
Aplicar correctamente los conceptos adquiridos para la correcta resolucin de
problemas.
Usar al algebra lineal como herramienta, as como darme cuenta cuanto puede
simplificar los clculos.
Usar los conocimientos adquiridos para realizar problemas geomtricos que
implican el uso de diagonalizacin
-
3 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
INTRODUCCION
En la presenta investigacin se abordaran temas relaciones a los eigenvalores o valores propios
y a los eigenvectores o vectores propios y su utilidad aplicaciones en diagonalizacin de
matrices, potenciacin de matrices, ecuaciones en diferencia, crecimiento poblaciones y en
formas cuadrticas.
El adjetivo alemn eigen significa propio o caracterstico de. Eigenvalores y eigenvectores son caractersticas de una matriz en el sentido de que contienen informacin importante acerca de la naturaleza de la matriz. La letra l (lambda), la equivalente griega de la letra L, se usa para eigenvalores porque en una poca tambin se conocan como valores latentes.
HISTORIA DE VECTORES Y VALORES PROPIOS
Los valores y vectores propios son temas de mayor utilidad del lgebra lineal. Se usan en varias
reas de las matemticas, fsica, mecnica, ingeniera elctrica, etc. Los valores propios de las
matrices aparecieron publicados antes que las matrices.
Los valores propios se originaron en el contexto de formas cuadrticas y en la mecnica
celeste (el movimiento de los planetas), conocindose como races caractersticas de la
ecuacin escalar. Desde 1740, Euler usaba de manera implcita los valores propios para
describir geomtricamente las formas cuadrticas en tres variables.
Fue hacia la segunda mitad del Siglo XVIII, que tanto LaGrange como Laplace se vieron
obligados a profundizar en el estudio matemtico de los valores propios.
As en la dcada de 1760, LaGrange estudi un sistema de seis ecuaciones diferenciales del
movimiento de los planetas (slo se conocan seis planetas) y de ah dedujo una ecuacin
polinomial de sexto grado, cuyas races eran los valores propios de una matriz 6x6.
En 1820, Cauchy se dio cuenta de la importancia de los valores propios para determinar los
ejes principales de una forma cuadrtica con n variables. Tambin aplic sus
descubrimientos a la teora del movimiento planetario. Fue l quien, en 1840, us por primera
vez los trminos valores caractersticos y ecuacin caracterstica para indicar los valores
propios y la ecuacin polinomial bsica.
-
4 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
BIOGRAFAS:
Joseph Louis LaGrange (25/01/1736 - 10/04/1813)
Matemtico francs de origen italiano. A los 19 aos obtuvo fama resolviendo el
llamado problema isoperimtrico, que haba desconcertado al mundo matemtico durante
medio siglo. Fue uno de los matemticos ms importantes del siglo XVIII; cre el clculo de
variaciones, sistematiz el campo de las ecuaciones diferenciales y trabaj en la teora de
nmeros En el lgebra Sus aporto en discusin de la solucin enteras de las formas
cuadrticas en 1769, y generalmente de ecuaciones indeterminadas en1770. . Entre sus
investigaciones en astronoma destacan los clculos de la libracin de la Luna y
los movimientos de los planetas. Su obra ms destacada es Mecnica analtica.
Augustin-Louis Cauchy (Pars, 1789-Sceaux, Francia, 1857)
Matemtico francs. Con veintisiete aos ya era uno de los matemticos de mayor prestigio y
empez a trabajar en las funciones de variable compleja, publicando las 300 pginas de esa
investigacin once aos despus. En esta poca public sus trabajos sobre lmites, continuidad
y sobre la convergencia de las series infinitas. En 1830 se exili en Turn, donde trabaj como
profesor de fsica matemtica hasta que regres a Pars (1838). Public un total de 789
trabajos, entre los que se encuentran el concepto de lmite, los criterios de convergencia las
frmulas y los teoremas de integracin y las ecuaciones diferenciales de Cauchy-Riemann.
-
5 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
Leonhard Euler (Basilea, 15 de abril de 1707 - San Petersburgo, 18 de septiembre de 1783)
Matemtico suizo. Leonhard Euler fue uno de los matemticos ms prolficos de la historia y
cubri casi todas las reas de las matemticas: geometra, clculo, trigonometra, lgebra.
Euler fue el encargado de introducir el concepto de funcin matemtica, una notacin que
ofreca mayor comodidad frente a los mtodos del clculo infinitesimal. Tambin introdujo
tambin la notacin moderna de las funciones trigonomtricas, el nmero e, la letra griega
que representa el smbolo para los sumatorios, la letra i para los nmeros imaginarios y la letra
pi para representar el cociente entre la longitud de la circunferencia y la longitud de su
dimetro.
Fue adems un apasionado de la teora de nmeros, llegando a unir la naturaleza de la
distribucin de los nmeros primos con sus ideas del anlisis matemtico. Leonhard Euler
consigui demostrar la divergencia de la suma de los inversos de los nmeros primos, y con
ella, descubri la conexin entre la funcin zeta de Riemann y los nmeros primos.
Algunos de los mayores xitos de Leonhard Euler vinieron en las matemticas aplicadas,
consigui hacer grandes avances en la mejora de las aproximaciones numricas para resolver
integrales, hasta el punto de conocerse hoy en da como aproximaciones de Euler.
FUENTES DE CONSULTA:
http://www.biografiasyvidas.com/biografia/l/lagrange.htm
http://www.biografiasyvidas.com/biografia/c/cauchy.htm
http://www.elcivico.com/notas/2013/4/15/breve-biografia-leonhard-euler-genio-matematico-
padre-numero-e-102994.asp
http://cvb.ehu.es/open_course_ware/castellano/tecnicas/fundamen_mate/contenidos/teoria
/documentos-pdf/diagonalizacion.pdf
http://www.miscelaneamatematica.org/Misc43/CarMtnez_a.pdf
-
6 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
VALORES Y VECTORES PROPIOS DE MATRICES REALES Y COMPLEJAS
DEFINICIN
Sea A y un vector diferente del vector cero de , y un escalar cualquiera RvC.
Adems es un valor propio real o complejo de A si existe una solucin no trivial de v, y v es
un vector propio real o complejo de A asociado a , Tal que A = .
A = , donde A y RvC, ^
Inexistencia del vector cero como vector propio
A y R se cumple A =
Por esta razn el vector nulo no se considera vector propio.
Sea A una matriz de nxn y sea un eigenvalor de A, el conjunto de todos los eigenvectores correspondientes a , junto con el vector cero, se llama eigenespacio de y se denota por .
EJEMPLO 1.- Sea A=(
) , =(
) , = (
). Son vectores y propios de A?
A = (
)*(
)= (
) = -3
Entonces es un vector propio correspondiente a un valor propio de (-3)
A = (
)*(
)= (
) (
)
Entonces no es un vector propio de A porque Av no es mltiplo de
EJEMPLO 2.- Vea 5i es un valor propio de la matriz A=(
) , despus encuentre
los vectores propios correspondientes.
Det(
)= 0
Det(
)= 0
( ) ( )-(4)(0.5) =0
2-2=0
0=0
Entonces 5 si es un valor propio de la matriz A.
Para encontrar los vectores propios de A resolvemos la ecuacin homognea:
(A
(A = (
) (
) (
)
UsuarioNota adhesivadebe ser 5
UsuarioResaltado
-
7 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
(
)*(
)
(
) ( )
Al resolver se obtiene
+
, t
Entonces: El sistema obtenido tendr infinitas soluciones con la forma:
(
)
Interpretaciones geomtricas de vectores propios en R2 y R3
Los valores y vectores propios tienen una interpretacin geomtrica til en los espacios
vectoriales R2 y R3, ya que s es un vector propio de un operador lineal T sobre R2 o R3,
asociado a un valor propio , entonces T dilata a , contrae a , invierte el sentido de segn
el valor de .
Entonces:
Si Dilatacin
Si Contraccin
Si Invierte en sentido
Si T (u)=0
EJEMPLO 3.- Calcule los valores propios de la transformacin lineal T: R2 R2, dada por
T((x,y))=(2x, x+3y)
Debemos buscar un vector =(x, y) diferente de cero que satisfaga
2x=
X+3y=
-
8 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
Despejando de 2x= obtenemos:
Adems
y= -x
Entonces:
= [ (x, y)= (x, -x) / x R; x ]
Obtenemos de esta expresin los vectores propios
Por ejemplo cuando x=3
(2(x), x+3(-x) ) = (2x,-2x) = 2(x,-x)
Ahora si tenemos x=0, entonces
= [(x`, y`)= (0, 3y) / y R; y ]
T( )=(0, 3y ) = 3(0,y)
De esto concluimos que por cada vector propio de T, podemos obtener una infinidad de
vectores propios, sin contar con su respectivo vector cero.
CALCULO DE LOS VECTORES PROPIOS
Para el clculo de lo eigenvectores o vectores propios de A se realizan las siguientes
operaciones:
A (Multiplico por I (Matriz Identidad) a los dos miembros de la igualdad)
A
-
9 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
A
A
CLCULO DE LOS VALORES PROPIOS
Para el clculo de lo eigenvalores o vectores propios de se tiene:
| |
(
)
Donde es el valor propio de A
EJEMPLO 4.- Demuestre que para cualquier valor de de la siguiente matriz A sus
vectores propios son ( ) (
)
(
)
Calculamos los valores propios de A
(
) = (
)
(A = (
) (
) (
)
|
|
,
Utilizamos (A
Con
-
10 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
(
) (
)
(
) ( )
t Con obtenemos
( )
Con
(
) (
)
(
) (
)
t Con obtenemos
(
)
Entonces los vectores propios de la matriz A son
( ) (
)
EJEMPLO 5.- Calcular los valores y vectores propios para la matriz A=(
)
Procedemos a calcular los valores propios
(
) = (
)
(A = (
) (
) (
)
Det (A =|
|= (5- )(3- )-(4)(12) =
Det (A =0, entonces
-
11 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
,
Utilizamos (A
(
)*(
)
(
) ( )
(t/2), t
Entonces: El sistema obtenido tendr infinitas soluciones con la forma:
( )
(
)*(
)
(
) ( )
(3t/2), t
Entonces: El sistema obtenido tendr infinitas soluciones de la forma:
( )
POLINOMIO CARACTERISTICO
Para cada matriz A de orden nxn se tiene que Det (A es un polinomio de grado n que se
llama polinomio caracterstico de A y se denota por PA( )
-
12 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
Consideramos la matriz
Luego:
(A =
Entonces el determinante de (A nos dar un polinomio caracterstico.
ECUACION CARATERISTICA
La ecuacin caracterstica es llamamos a:
Det (A =0
Como ya sabemos la ecuacin caracterstica de A, nos da los eigenvalores o valores propios de
la matriz A.
EJEMPLO 6.- Calcule el polinomio y la ecuacin caracterstica de la siguiente matriz.
A3x3 = (
)
El polinomio caracterstico se calcula Det (A
Entonces:
(A = (
) ((
)) = (
)
(
)
= (
Det (A =
Ecuacin Caracterstica: Det (A =0
Det (A =
-
13 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
Concluimos que el algoritmo a seguir para calcular valores y vectores propios es:
1. Determinamos el polinomio caracterstico PA( )= Det (A
2. Resolvemos la ecuacin caracterstica PA( )= Det (A =0 (Donde las soluciones
reales e imaginarias de sta ecuacin son los valores propios de A)
3. Para cada valor propio de la matriz A, se resuelve el sistema de ecuaciones
(A = .
MULTIPLICIDAD ALGEBRAICA
La multiplicidad algebraica de se define como la multiplicidad de la raz del polinomio
caracterstico PA( )
Max [k (1,2,., n) / (x- k ]
Donde k es el grado de multiplicidad.
Es decir se llama multiplicidad algebraica de un valor propio al nmero de veces que aparece
(x) como factor en el polinomio caracterstico de A
MULTIPLICIDAD GEOMETRICA
Se llama multiplicidad geomtrica de un valor propio a la dimensin del subespacio propio V
(0).
Dim ( ) = Nmero de vectores propios de
Relacin entre multiplicidad algebraica y geomtrica
La Multiplicidad Geomtrica es menor o igual a la multiplicidad algebraica
EJEMPLO 7.- Determine los valores propios y sus multiplicidades algebraicas y geomtricas de
la matriz:
A= (
)
Resolvemos Det (A =0
(A = (
) ((
)) (
)
Det(
) =
-
14 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
=
=
Entonces los valores propios de A son
Cuya multiplicidad algebraica es uno.
Cuya multiplicidad algebraica es dos.
La multiplicidad geomtrica de los valores propios es 2.
TEOREMAS:
Los eigenvalores de una matriz triangular son las entradas en su diagonal principal.
Una matriz cuadrada A es invertible si y slo si 0 no es un eigenvalor de A.
Sea A una matriz de nxn y sean distintos eigenvalores de A con sus correspondientes eigenvectores . Entonces son linealmente independientes.
FUENTES DE CONSULTA
Larson, Falvo. Fundamentos de Algebra Lineal. 6ta Edicin. Editorial CENGAGE Learning
(pagina 421-435)
David Poole. Algebra Lineal, Una introduccin Moderna. 3ra Edicin. Compaa de Cengage
Learning, 2011 (pgina 303-312)
Gareth Williams. Algebra Lineal con Aplicaciones. 4ta Edicin. Mc Graw-Hill, 2002. (Pgina
276-282)
David C. Lay. Algebra Lineal y sus Aplicaciones. 3ra Edicin. Pearson Education, 2007. . (Pagina
302-319)
http://personales.upv.es/jbenitez/cajon_sastre/val_prop.pdf
http://cursos.aiu.edu/Algebra%20Lineal/PDF/Tema%206.pdf
http://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/ma95-843/lecturas/l843-71.pdf
-
15 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
2. DIAGONALIZACIN DE MATRICES
Antes de empezar con las diagonalizacin de matrices es necesario conocer antes algunos
conceptos.
Semejanza de matrices
Definicin.- Sean 2 matrices A, B decimos que A y B son similares si existe una matriz
invertible C tal que A = PBP-1. La semejanza entre A y B, se lo denota por A B.
TEOREMA: Si las matrices A y B son semejantes, entonces tienen el mismo polinomio
caracterstico y, por consiguiente los mismos valores propios con las mismas multiplicidades.
Concepto de diagonalizacin
Una matriz A es diagonalizable si, y solo s, A tiene n vectores propios linealmente
independientes. De hecho A = PDP-1 con D como una matriz diagonal, si y solo s las columnas
de P son n vectores propios linealmente independientes. Entonces las entradas diagonales de
D son valores propios de A que corresponden, respectivamente a los vectores propios de P.
Para encontrar D se debe resolver:
La matriz est formada en su diagonal por los valores propios
TEOREMA:
Si A es una matriz de nxn con n eigenvalores distintos, entonces A es diagonalizable.
EJEMPLO 1.- Estudiar para que valores del parmetro es diagonalizable la matriz
(
)
Primero determinamos la ecuacin caracterstica, Det (A =0
(
)(
) (
)
|
|
1
-
16 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
Conclusin 1: La matriz A seria en teora diagonalizable siempre que , ya que con
aparecen autovalores triples entonces ser necesario calcular las dimensiones de los
subespacios propios y ver si son iguales o no a las multiplicidades de los respectivos
autovalores. Sin embargo debemos hallar sus vectores propios puesto que tenemos
autovalores dobles, as que debemos calcular La dimensin formada por el subespacio de
dichos autovalores.
Entonces calculamos los respectivos vectores propios
Con calculamos (A
(
)(
)=( )
(
) ( )
( )
Con calculamos (A
(
)(
) ( )
(
) (
)
(
)
-
17 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
Conclusin 2.- La matriz A dada no es posible diagonalizarla ya que solo se consigui tener 2
vectores propios, en lugar de 3. Debemos tambin saber que c debe ser diferente de 0.
Conclusin General: Sin importar el valor de la matriz no puede ser diagonalizable.
EJEMPLO 2.- Halle una matriz que P que diagonalice A y determine P-1
AP
(
)
Determino los valores propios de A
(A = (
) ((
))
(
)
Con
(A
(
)*(
)=( )
(
)=( )
( )
Con
-
18 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
(A
(
)*(
)=( )
(
) ( )
(
) ( )
Obtenemos P con todos los vectores propios
(
)
(
)
Ahora: P-1
AP
(
)(
)(
)
(
)(
)
(
)
EJEMPLO 3.- Diagonalice la siguiente matriz:
A=(
)
Procedemos a encontrar los valores propios de A.
-
19 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
(
) ((
))
|
|
= =0
Encontramos tres vectores propios de A linealmente independientes
(A
(
)*(
)=( )
(
)=( )
Resuelvo el sistema
(
)
Ahora hacemos el mismo proceso pero con
(A
(
)*(
)=( )
(
)=(
)
-
20 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
Resuelvo el sistema
(
) , ( )
Base={ (
) (
) ( ) }
Estructuramos P
(
)
(
)
(
)(
)(
)
(
)(
)
D= (
)
Ahora verificamos que AP=PD, ya que es la equivalencia de A=PDP-1, tenemos adems que
verificar que P sea invertible.
AP=(
)(
)=(
)
PD=(
)(
) (
)
-
21 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
Tambin veremos que se cumple A=PDP-1
P-1
=(
)
A=PDP-1
(
) (
)(
)(
)
(
) (
) (
)
(
) (
)
La matriz si es posible diagonalizarla.
EJEMPLO 4.- De ser posible diagonalice la siguiente matriz
(
)
((
) ((
)))
|
|
,
Resuelvo
Con
(
) (
) ( )
(
) ( )
-
22 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
Se resuelve el sistema:
Resolviendo el sistema se obtiene:
(
)
Con
(
) (
) ( )
(
) ( )
Se resuelve el sistema:
Resolviendo el sistema se obtiene:
(
)
Entonces la matriz
(
)
(
)
Ahora:
(
) (
) (
)
(
) (
)
-
23 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
(
)
EJEMPLO 5.- Vea si la matriz siguiente matriz es diagonalizable.
A= (
)
Hallamos Det (A =0
|
|
, ,
Resuelvo:
1. (A
(
)*(
)=( )
(
)*(
) = ( )
( )
2. (A
(
)*(
)=( )
(
)*(
) = ( )
-
24 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
( )
3. (A
(
)*(
)=( )
(
)*(
) = ( )
(
)
Entonces se obtiene la matriz P
(
)
(
)
(
)
(
)(
)
(
)
-
25 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
FUENTES DE CONSULTA
Larson, Falvo. Fundamentos de Algebra Lineal. 6ta Edicin. Editorial CENGAGE Learning, pag
(435-446)
David Poole. Algebra Lineal, Una introduccin Moderna. 3ra Edicin. Compaa de Cengage
Learning, 2011, pag (312-322)
David C. Lay. Algebra Lineal y sus Aplicaciones. 3ra Edicin. Pearson Education, 2007. pag
(319-327)
http://www4.ujaen.es/~magarcia/algebra2est_archivos/Practicas/PRACTICA08.pdf
-
26 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
5.3 MATRICES SIMETRICAS Y DIAGONALIZACIN ORTOGONAL
Matriz Simtrica
Una matriz A de nxn es simtrica si es igual a su transpuesta.
Si A es una matriz simtrica de orden n, entonces se cumplen las siguientes propiedades:
1. A es diagonalizable
2. Todos los valores propios son reales
3. Si es un valor propio de A con multiplicidad , entonces tiene vectores propios
linealmente independientes. Entonces el espacio propio de es de dimensin
Adems a valores propios de una matriz simtrica le corresponden vectores propios
ortogonales, y A tienen un conjunto de vectores propios que son una base ortonormal de .
Matrices Ortogonales
Una matriz cuadrada P se denomina ortogonal si:
1. Se puede encontrar
2.
3.
TEOREMA: Una matriz P de orden nxn es ortogonal si y solo s sus vectores columna forman un
conjunto base ortonormal para .
EJEMPLO 1.- Vea si la siguiente matriz es ortogonal.
(
)
Nos basta con determinar para luego comprobar si
(
)
-
27 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
(
)
(
)
(
)
Conclusin: La matriz A dada si es ortogonal, Adems sabemos que cada columna es un vector
propio de y que adems son bases ortonormales ya que su norma es 1.
Proceso de Gram-Schmidt
Sea V un espacio vectorial con producto interno. Todo subespacio W con base tiene al menos
una base ortogonal y una base ortonormal. Si B = { } es una cualquier base de
V, entonces { } es una base ortonormal donde:
{ } { }
{
}
Diagonalizacin Ortogonal
Una matriz es diagonalizable ortogonalmente si existe una matriz ortogonal P tal que
, siendo D una matriz diagonal.
TEOREMA: Sea A una matriz de orden nxn. Entonces A es diagonalizable ortogonalmente y
tiene valores reales propios si y solo si A es simtrica.
-
28 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
Proceso para Diagonalizar Ortogonalmente
1. Verificar que la matriz A sea simtrica
2. Determinar los vectores propios de cada uno de los espacios caractersticos
3. Usar Gram-Schmidt (si es el caso) para ortonormalizar los vectores propios de A
4. Construir la matriz P formado en cada una de sus columnas por los n vectores propios
ortonormales encontrados.
Nota: No es necesario usar Gram-Schmidt cuando se tienen n valores propios diferentes, ya
que basta con dividir cada vector propio para su norma. Pero si existe algn repetido (de
multiplicad geomtrica de 2 en adelante), entonces se deber usar Gram-Schmidt para
obtener los correspondientes vectores ortonormalizados.
EJEMPLO 2.- Diagonalizar ortogonalmente la siguiente matriz simtrica
(
)
((
) (
))
|
|
1
Determino los vectores propios (A
Con
(
)(
) ( )
-
29 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
(
) ( )
Resolviendo el sistema se obtiene:
( )
Con
(
)(
) ( )
(
) ( )
Resolviendo el sistema se obtiene:
(
) (
)
Ortonormalizo los vectores propios
( )
( )
(
)
-
30 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
(
)
(
)
(
)
Aplico el proceso de Gram Schmidt con (
)
(
) (
)
(
)
(
)
(
) (
)
(
)
(
) (
)
(
)
(
)
(
)
Ahora formo la matriz P con los vectores propios ortogonalizados
(
)
(
)
Entonces
-
31 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
EJEMPLO 3.- Halle una matriz P que diagonalice ortogonalmente A y determine .
(
)
Encuentro los valores propios de A
((
) (
))
|
|
Determino los vectores propios
Con
(A
-
32 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
((
))(
) = ( )
(
) ( )
( )
Con
(A
((
))(
) = ( )
(
) ( )
(
) (
)
Ahora con ( )
( )
( )
(
)
Ahora con (
)
-
33 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
(
)
(
)
(
)
Aplico el proceso de Gram Schmidt con (
)
(
) (
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
) (
)
(
)
(
)
(
)
Ahora formo la matriz P con los vectores propios ortogonalizados
(
)
(
)
Entonces
-
34 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
(
(
)
)
((
))
(
(
)
)
(
)
(
)
(
)
EJEMPLO 4.- Diagonalice ortogonalmente la matriz simtrica A.
(
)
Determino los valores y los vectores propios de A
((
) (
))
|
|
Determino los vectores propios
Con
-
35 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
(
)(
) = ( )
(
) ( )
Resuelvo el sistema:
Al resolver obtengo:
(
)
Con
(
)(
) = ( )
(
) ( )
Resuelvo el sistema:
Al resolver obtengo:
(
)
Con
(A
-
36 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
(
)(
) ( )
(
) ( )
Resuelvo el sistema:
Al resolver obtengo:
( )
Ahora, ortonormalizo a los vectores propios
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
( )
(
)
Entonces obtenemos
(
)
-
37 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
(
)
Entonces
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
EJEMPLO 5.- Encuentre una matriz ortogonal P, tal que diagonalice A.
(
)
Determino los valores y los vectores propios de A
((
) (
))
|
|
-
38 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
Con
(A
(
)(
) ( )
(
) ( )
Al resolver el sistema se obtiene
(
)
Con
(A
(
)(
) ( )
(
) ( )
Al resolver el sistema se obtiene
( )
Con
(A
-
39 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
(
)(
) ( )
(
) ( )
Al resolver el sistema se obtiene
(
)
Ahora ortonormalizo cada vector propio
(
)
(
)
(
)
( )
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
Ahora formo la matriz P con los vectores propios ortogonalizados
(
)
-
40 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
Ahora determino
(
)
Entonces
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
BIOGRAFIA
Schmidt (13 de enero 1876- 16 de diciembre 1959)
El principal inters de Schmidt fue en ecuaciones integrales y el espacio de Hilbert . Tom varias ideas de Hilbert sobre ecuaciones integrales y combina stas en el concepto de un espacio de Hilbert hacia 1905. Hilbert haba estudiado ecuaciones integrales con ncleo simtrico en 1904. Se demostr que en este caso la ecuacin integral tena valores propios reales, las soluciones correspondientes a estos valores propios las llamo funciones propias. Tambin ampli las funciones relacionadas con la integral de la funcin del ncleo como una serie infinita en un conjunto de funciones propias ortonormales.
Schmidt public un artculo de dos partes sobre ecuaciones integrales en 1907 en la que castig a los resultados de Hilbert de una manera ms simple, y tambin con menos restricciones. En este trabajo se ha dado a lo que ahora se llama el proceso de
-
41 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
ortonormalizacin de Gram -Schmidt para la construccin de un conjunto ortonormal de funciones a partir de un conjunto linealmente independiente. A continuacin, pas a considerar el caso en el que el ncleo no es simtrico y demostr que en ese caso las funciones propias asociadas a un determinado valor propio se produjeron en parejas adjuntos.
En 1908 Schmidt public un importante artculo sobre un nmero infinito de ecuaciones con
infinitas incgnitas, introduciendo diversas notaciones y trminos geomtricos que todava
estn en uso para describir los espacios de funciones y tambin en espacios interiores de
productos. Las ideas de Schmidt fueron para dirigir a la geometra de los espacios de Hilbert y
sin duda debe ser considerado como uno de los fundadores del moderno abstracto el anlisis
funcional .
Jorgen Pedersen Gram (1850-1916)
Matemtico dans al que se le recuerda sobre todo por este proceso de ortogonalizacion que
construye un conjunto ortogonal de vectores a partir de un conjunto independiente. Sin
embargo, l no fue el primero en usar este mtodo. Parece ser que fue descubierto por
Laplace y fue usado esencialmente por Cauchy en 1836.
FUENTES DE CONSULTA
Larson, Falvo. Fundamentos de Algebra Lineal. 6ta Edicin. Editorial CENGAGE Learning,
pagina (446-458)
Howard Anton. Introduccin al Algebra Lineal. 3ra Edicin. Editorial Limusa, 1994, pgina
(318-328)
Jos Alfredo Jimnez Moscoso, Notas de clase. lgebra Lineal II (con aplicaciones en
estadstica) (libro online)
http://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/ma95-843/lecturas/l843-82.pdf
http://www.youtube.com/watch?v=dcBdVibNZn0
http://personales.upv.es/lagudal/help-math-web/diagonaliza.htm#simetricas
-
42 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
5.4 POTENCIAS DE MATRICES. ECUACIONES EN DIFERENCIAS
POTENCIAS DE MATRICES
La matriz donde m es un valor entero no negativo, tiene los valores propios y
los vectores propios de A asociados con Entonces para elevar una matriz cuadrada a
la ensima potencia es necesario que sea diagonalizable, entonces se cumplir el siguiente
procedimiento.
Se tiene que (donde se multiplican n veces A)
Se sabe adems que
Sustituimos en
Recordando que
Se obtiene que
EJEMPLO 1. Determine y usando el proceso aprendido.
(
)
Hallamos los valores propios de A
((
) (
))
|
|
Determinamos los vectores propios
Con
-
43 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
(
)(
) ( )
(
) ( )
(
)
Con
((
))((
)) ( )
(
) ( )
( ) , (
)
Formamos la matriz P
(
)
Hallamos
(
)
-
44 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
Ahora resolvemos
(
)
(
)(
)
D
(
)
(
)
(
)
Para encontrar en valor de
(
)
(
)(
)
(
)
-
45 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
(
)
(
)
(
)
Finalmente hallamos
(
)
(
)
EJEMPLO 2.- Determine y usando el proceso aprendido.
(
)
Determino los vectores propios de A
((
) (
))
|
|
-
46 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
Ahora determinamos
Con
(
) (
) ( )
(
) ( )
(
)
Con
(
) (
) ( )
(
) ( )
(
)
Ahora sabemos que P ser
(
)
-
47 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
Entonces
(
)
Entonces
(
) (
) (
)
(
)(
)
(
)
Para encontrar en valor de
(
)
(
) (
)(
)
(
)(
)
((
) (
)
(
) (
)
)
Finalmente hallamos
(
(
) (
)
(
) (
) )
(
)
-
48 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
EJEMPLO 3.- Dada la matriz A calcule y despus
(
)
Hallamos los valores propios de A
((
) (
))
|
|
Ahora determinamos
Con
(
) (
) ( )
(
) ( )
( )
Con
-
49 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
(
) (
) ( )
(
) ( )
( ) (
)
Entonces:
(
)
Hallamos
(
)
Ahora
(
)(
)(
)
(
)(
)
(
)
Para encontrar en valor de
(
)
-
50 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
(
)(
)(
)
(
)(
)
(
)
(
)
(
)
EJEMPLO 4.- Calcule si es posible utilizando la diagonalizacin de matrices.
(
)
((
) (
))
|
|
Hallo sus vectores propios
Con
(
) (
) ( )
(
) (
)
-
51 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
Al resolver el sistema se obtiene:
(
)
(
)
Con
(
) (
) ( )
(
) (
)
Al resolver el sistema se obtiene:
(
)
(
)
Entonces obtenemos
(
)
(
)
Ahora
(
) (
) (
)
-
52 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
(
) (
)
(
)
Para encontrar en valor de
(
)
(
) (
)(
)
( (
) (
)
)(
)
( (
) (
)
(
) (
) (
) (
)
)
Finalmente calculamos
( (
) (
)
(
) (
) (
) (
)
)
(
)
EJEMPLO 5.- Diagonalice ortogonalmente la matriz A. Luego Calcule .
(
)
(
(
) (
)
)
-
53 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
|
|
(
) (
) (
) (
)
(
)
Hallo sus vectores propios
Con
(
) (
) ( )
(
) ( )
Al resolver el sistema se obtiene
( )
Con Hallo su vector propio
(
) (
) ( )
(
) ( )
-
54 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
Al resolver el sistema se obtiene
(
)
Ahora convierto cada vector en ortogonal
( )
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
Entonces
(
)
(
)
Ahora
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
-
55 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
(
)
Para encontrar en valor de
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
Finalmente calculamos
(
)
(
)
ECUACIONES EN DIFERENCIA
Las ecuaciones en diferencias no es lo mismo que las ecuaciones diferenciales ya que las
ecuaciones en diferencias evolucionan en un nmero nito de pasos nitos, mientras que una
ecuacin diferencial da un nmero innito de pasos innitesimales.
Hay cierto tipo de problemas cuya resolucin depende de la potencia de una matriz. Es el caso
de las ecuaciones en diferencias en las que a partir de una matriz cuadrada A y vectores de
-
56 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
se cumple para cada ndice natural k que
Entonces la solucin viene dada por la expresin:
EJEMPLO 6.- En una poblacin de 10000 individuos se observa que, de modo aproximado, el
80% de los que eran donantes de sangre un ao siguen sindolo al siguiente y que el 70% de
los que no eran donantes de sangre permanecen de nuevo sin donar a otro ao. Suponiendo
que inicialmente hay 2000 donantes hallar cuntos habr despus de 10 aos.
Solucin
Nmero de donantes despus de k aos
Nmero de no donantes despus de k aos
Planteamiento de las ecuaciones en diferencia:
Formamos la matriz
(
)
Y
(
)
Ponemos en la forma matricial:
(
) (
)
Al aplicar k veces se obtiene
Donde
(
) (
)
Hallamos
Determino los valores propios y sus correspondientes vectores propios
-
57 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
((
) (
))
|
|
Hallo sus vectores propios
Con
(
) (
) ( )
(
) ( )
Resolviendo el sistema se obtiene:
( )
Con
(
) (
) ( )
(
) ( )
-
58 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
Resolviendo el sistema se obtiene:
(
)
Formo la matriz P y determino su inversa:
(
)
(
)
Ahora
(
)(
) (
)
(
) (
)
(
)
Para encontrar en valor de
(
)
(
) (
)(
)
(
)(
)
-
59 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
(
)
Ahora basta reemplazar en
(
)
(
) (
)
Entonces el nmero de donantes despus de pasar k aos es
Calculamos el nmero de donantes para K=10 aos
donates
EJEMPLO 7.-
Un territorio est dividido en tres zonas Z1, Z2 y Z3 entre las que habita una poblacin de aves.
Cada ao y debido a diversas razones se producen los siguientes ujos migratorios entre las
distintas zonas:
En Z1: un 60 % permanece en Z1, un 10 % emigra a Z2 y un 30 % emigra a Z3.
En Z2: un 10 % emigra a Z1, un 80 % permanece en Z2 y un 10 % emigra a Z3.
En Z3: un 10 % emigra a Z1, un 20 % emigra a Z2 y un 70 % permanece en Z3
De la poblacin total de aves un 30 % viven en Z1, un 20 % viven en Z2 y un 50 % viven en Z3.
Cul ser la distribucin de la poblacin de aves a los 2 aos? Y a los n aos?
Armamos la matriz A con el flujo migratorio de Aves
(
)
El vector que describe la situacin inicia es
(
)
-
60 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
Determino
((
) (
))
|
|
Determinamos los vectores propios
Con
(
)(
) ( )
(
)
( )
Al resolver el sistema se obtiene:
-
61 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
( )
Con
(
)(
) ( )
(
)
( )
Al resolver el sistema se obtiene:
(
)
Con
(
)(
) ( )
(
)
( )
Al resolver el sistema se obtiene:
-
62 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
(
)
Formo la matriz P y determino su inversa
(
)
(
)
(
)
(
) (
)
D
(
)
(
)
(
)
Para encontrar en valor de
(
)
(
)(
)
(
)
-
63 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
(
)
(
)
(
)
Ahora basta reemplazar en
(
)
(
)
Entonces a los 2 aos el flujo de aves ser:
(
)
(
)
(
)
FUENTES DE CONSULTA
Gareth Williams. Algebra Lineal con Aplicaciones. 4ta Edicin. Mc Graw-Hill, 2002,(pag 305-
308)
Larson, Falvo. Fundamentos de Algebra Lineal. 6ta Edicin. Editorial CENGAGE Learning.
Elena Alemany Martnez, ngel Balaguer Beser, Josefa Marn Molina, Prcticas de lgebra con Mathematica (libro online)
http://cvb.ehu.es/open_course_ware/castellano/tecnicas/fundamen_mate/contenidos/ejercic
ios/ejercicios-resueltos/potencias-de-matrices-cuadradas.pdf
http://www2.uah.es/rviana/Tema8-Aplicaciones.pdf
-
64 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
5.5 MATRICES UNITARIAS, MATRICES NORMALES Y MATRICES HERMITIANAS
Matriz Unitaria
Una matriz A cuadrada de orden n, con elementos reales o complejos, se llama unitaria si
. Una matriz ortogonal es una matriz unitaria real tal que
Teoremas:
Los valores propios de una matriz unitaria tienen valor absoluto igual a 1.
Los vectores propios asociados con valores propios distintos son ortogonales.
EJEMPLO 1.- Diagonalice la siguiente matriz unitaria
(
)
Determino los valores propios de U
((
) ((
)))
|(
)|
Determinamos los vectores propios
Con
(
) (
) ( )
(
) ( )
Al resolver el sistema se obtiene:
( )
-
65 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
Con
(
) (
) ( )
(
) ( )
Al resolver el sistema se obtiene:
(
)
Ortonormalizo cada vector propio
( )
( ) (
)
(
)
(
) (
)
Formamos la matriz P y su
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
-
66 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
(
)
(
)
(
)
EJEMPLO 1.- Diagonalice la siguiente matriz, y diga si es unitaria.
(
)
Si es unitaria puesto que si determinante es igual a 1.
Procedemos a hallar los valores y vectores propios correspondientes.
((
) ((
)))
|(
)|
Determinamos los vectores propios
Con
(
) (
) ( )
(
) ( )
Al resolver el sistema se obtiene:
(
)
Con
-
67 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
(
) (
) ( )
(
) ( )
Al resolver el sistema se obtiene:
( )
Formamos la matriz P
(
)
(
(
)
)
Entonces
(
(
)
) (
) (
)
(
) (
)
(
)
Matriz Normal
Una matriz A de orden nxn recibe el nombre de matriz normal si es conmutativa con su
conjugada hermitiana . Las matrices unitarias y antihermitianas son casos
particulares de las matrices normales.
TEOREMAS:
La matriz es normal si y solo si tiene un conjunto de n vectores propios autonormales.
La matriz es normal si y solo si es unitariamente semejante a una matriz diagonal. (Los
elementos de la diagonal principal son los valores propios de A)
-
68 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
La matriz es normal si y solo si es unitariamente semejante a una matriz diagonal con
elementos que tienen valor absoluto igual a 1 en la diagonal principal.
Las matrices simtricas, antisimtricas u ortogonales son necesariamente normales.
EJEMPLO 3.- Diagonalice la siguiente matriz
(
)
((
) ((
)))
|
|
Determinamos los vectores propios
Con
(
) (
) ( )
(
) ( )
Al resolver el sistema se obtiene:
( )
Con
(
) (
) ( )
-
69 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
(
) ( )
Al resolver el sistema se obtiene:
(
)
Ortonormalizo a los vectores propios obtenidos
( )
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
Formamos la matriz P y
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( (
) (
)
(
) (
)
)
(
)
-
70 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
(
)
Matriz Hermitianas
La matriz en Hermitiana si y solo si es unitariamente semejante a una matriz diagonal
con elementos reales.
Los valores propios de las matrices Hermitianas cumplen las siguientes propiedades:
1. Los valores propios de una matriz hermitiana son reales.
2. Los valores propios de una matriz antihermitiana son imaginarios puros.
Para obtener la norma de una matriz hermitiana debemos multiplicar cada componente
vectorial por su conjugada en lugar de elevarlo al cuadrado, salvo las que son reales puros que
procedemos normalmente.
EJEMPLO 4.- Diagonalice la siguiente matriz hermitiana
(
) (
)
((
) (
) (
))
||
||
(
) (
) (
) (
)
Hallo sus vectores propios
Con
-
71 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
(
)
(
) ( )
(
(
)
(
) (
)
)
( )
(
)
(
) (
)
Al resolver el sistema se obtiene:
(
)
Con
(
)
(
) ( )
(
(
) (
)
(
) (
)
)
( )
(
) (
)
(
) (
)
Al resolver el sistema se obtiene:
(
)
Ortonormalizo los vectores propios
-
72 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
(
)
( )( ) ( )(( )
)
(
( )
)
(
)
( )( ) ( ) (
) (
(( ) )
)
Ahora formaremos la matriz P
(
(
) (( ) )
)
(
)
Ahora
(
)
(
)
(
(
) (( ) )
)
(
)
(
(
) (( ) )
)
(
)
EJEMPLO 5.- Diagonalice la siguiente matriz hermitiana
(
)
Calculamos valores y vectores propios de la matriz A
-
73 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
((
) (
))
|
|
Con
(
)(
) ( )
(
) ( )
Al resolver el sistema se obtiene:
( )
Con
( )
(
)(
) ( )
-
74 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
(
( )
( )
( )
) ( )
( )
( )
( )
Al resolver el sistema se obtiene:
( )
(
( )
)
Con
( )
(
)(
) ( )
(
) ( )
Al resolver el sistema se obtiene:
(
)
Ahora ortonormalizo cada vector
( )
( )
(
)
-
75 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
(
( )
)
(
( )
)
(
( )
)
(
)
(
)
(
)
Ahora formamos la matriz P y determinamos su inversa:
(
)
(
)
Ahora
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
-
76 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
(
)
FUENTES DE CONSULTA
Gilbert Strang, lgebra lineal y sus aplicaciones, pag 286
Erich Steine, Matemticas para las ciencias aplicadas, pag 497
http://www.licimep.org/Preprope/2008/Algebra%20lineal/Ejercicios/Diagonalizacion%20de%2
0matrices%203x3%20hermitiana%20Ej%201.pdf
-
77 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
5.6 APLICACIONES: CRECIMIENTO DE UNA POBLACIN
Los modelos de crecimiento poblacional es un modelo basado en matrices, presentado por
primera vez por P.H. Leslie en 1945. El modelo de Leslie describe el crecimiento de la parte
femenina de una poblacin, que se supone tiene una vida mxima. Las hembras se dividen en
clases por edad, todas las cuales abarcan un nmero igual de aos. Si se emplean datos acerca
de las tasas de nacimiento promedio y probabilidades de supervivencia de cada clase, el
modelo es capaz de determinar el crecimiento de la poblacin en el transcurso del tiempo.
Matriz Leslie: En general si tenemos una poblacin con n clases de edades de igual duracin .
La matriz L ser una matriz con la estructura siguiente:
(
)
Dnde:
son los parmetros de nacimiento. ( = numero promedio de hembras
producidas por cada hembra en la clase .
son las probabilidades de supervivencia probabilidad de que una
hembra en la clase sobreviva en la clase .
Comportamiento a Largo plazo
La proporcin de hembras en cada uno de los grupos de edad se mantiene constante para
valores grandes de n. Es decir tiende a estabilizarse a largo plazo. Los valores a los que tienden
dichas proporciones se denominan distribucin de edades estable
TEOREMA: Toda matriz de Leslie tiene un eigenvalor positivo nico y un eigenvector correspondiente con componentes positivos.
EJEMPLO 1.- Un grupo de conejos criados en un laboratorio tienen las siguientes
caractersticas:
A) La mitad de conejos sobrevive el primer ao. De stos, la mitad sobrevive el segundo ao.
La duracin mxima de vida es 3 aos
B) Durante el primer ao los conejos no producen descendencia. El nmero medio de
descendencia es 6 durante el segundo ao y 8 durante el tercer ao.
Actualmente, la poblacin de laboratorio consta de 24 conejos en la clase de la primera edad,
24 en la segunda edad, y 20 en la tercera. Cuntos habr en cada clase de edad en un ao?
Adems determine una distribucin estable de las edades.
-
78 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
La distribucin actual de edades est dada por la matriz
(
)
Y la matriz de transicin de edades es
(
)
Entonces, despus de un ao el vector de distribucin de edades ser
(
)(
) (
)
Si el patrn de crecimiento contina durante otro ao entonces la poblacin de conejos sera
(
)(
) (
)
Determinamos los vectores propios y su correspondiente vector propio
|(
) ((
))|
|(
)|
Se toma el valor y determinamos el vector propio
(
)(
) ( )
(
)
( )
-
79 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
Al resolver el sistema se obtiene
(
)
SI entonces:
(
)(
) (
)
(
)(
) (
)
Entonces se observa que se tiene la misma proporcin, por lo tanto el porcentaje de cada clase
de la poblacin permanece igual.
EJEMPLO 2. Una poblacin presenta las siguientes caractersticas.
A) Un total de 60% de la poblacin sobrevive el primer ao. De este 60%, el 50% sobrevive el
segundo ao. La duracin mxima de la vida es tres aos.
B) El nmero promedio de descendencia de cada miembro de la poblacin es 2 el primer ao,
5 el segundo y 2 el tercero.
Actualmente, la poblacin consta de 100 elementos de cada una de las tres clases de edad.
Cuntos habr de cada clase en un ao? Y en dos aos?
La distribucin actual de edades est dada por la matriz
(
)
Y la matriz de transicin de edades es
(
)
Entonces, despus de un ao el vector de distribucin de edades ser
-
80 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
(
)(
) (
)
Esto quiere decir que en el primer ao van a existir una poblacin de 900 habitantes que estn
entre 0 y un ao, 60 que estn entre 1 ao y dos, y 50 que estn entre dos hasta tres aos.
Si el patrn de crecimiento contina durante otro ao entonces la poblacin de conejos sera
(
)(
) (
)
Esto quiere decir que en el primer ao van a existir una poblacin de 2200 habitantes que
estn entre 0 y un ao, 540 que estn entre 1 ao y dos, y 30 que estn entre dos hasta tres
aos.
EJEMPLO 3.- Una poblacin presenta las siguientes caractersticas.
A) Un total de 75% de la poblacin sobrevive el primer ao. De este 75%, el 25% sobrevive el
segundo ao. La duracin mxima de la vida es tres aos.
B) El nmero promedio de descendencia de cada miembro de la poblacin es 2 el primer ao,
4 el segundo y 2 el tercero.
Actualmente, la poblacin consta de 120 elementos de cada una de las tres clases de edad.
Cuntos habr de cada clase en un ao? Y en dos aos?
La distribucin actual de edades est dada por la matriz
(
)
Y la matriz de transicin de edades es
(
)
Entonces, despus de un ao el vector de distribucin de edades ser
(
)(
) (
)
Esto quiere decir que en el primer ao van a existir una poblacin de 960 habitantes que estn
entre 0 y un ao, 90 que estn entre 1 ao y dos, y 30 que estn entre dos hasta tres aos.
Si el patrn de crecimiento contina durante otro ao entonces la poblacin de conejos sera
-
81 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
(
)(
) (
)
Esto quiere decir que en el primer ao van a existir una poblacin de 2340 habitantes que
estn entre 0 y un ao, 720 que estn entre 1 ao y dos, y 22 que estn entre dos hasta tres
aos.
EJEMPLO 4.- Encuentre un vector de distribucin de edades estable para la matriz de
transicin:
(
)
Determinamos los vectores propios y su correspondiente vector propio
|(
) ((
))|
|
|
Se toma el valor y determinamos el vector propio
(
)(
) ( )
(
) ( )
Al resolver el sistema se obtiene
-
82 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
( )
SI entonces:
(
) (
) (
)
(
)(
) (
)
Entonces se observa que se tiene la misma proporcin, por lo tanto el porcentaje de cada clase
de la poblacin permanece igual.
EJEMPLO 5.- Considere un organismo que puede vivir hasta una edad mxima de dos aos, y
cuya matriz Leslie es:
(
)
Determine una distribucin estable de edades, y estudie el comportamiento de la poblacin
para los 3 siguientes aos.
Primero: determinamos los valores propios de la matriz L
|(
) ((
))|
|
|
Escogemos la nica raz real
Determinamos el vector propio correspondiente al valor propio
(
)(
) ( )
-
83 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
(
)
Al resolver el sistema se obtiene
( )
Entonces la distribucin estable de edades estar dada por la forma del vector
( )
Comprobamos para t=2 en dos aos.
(
)
(
)(
) (
)
(
)(
) (
)
La poblacin mantendr su poblacin, es decir siempre tendr el mismo nmero de
habitantes, ya que as lo demuestra lo estudiado del comportamiento de la poblacin en tres
aos.
-
84 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
BIOGRAFIA
Patrick H. Leslie (25 septiembre 1815 a 12 agosto 1881)
Su aporte:
En las matemticas aplicadas , la matriz de Leslie es un discreto , con estructura de
edades modelo de crecimiento de la poblacin que es muy popular en la ecologa de la
poblacin .
FUENTES DE CONSULTA
Larson, Falvo. Fundamentos de Algebra Lineal. 6ta Edicin. Editorial CENGAGE Learning (pag
458)
David Poole. Algebra Lineal, Una introduccin Moderna. 3ra Edicin. Compaa de Cengage
Learning, 2011 Pag 245, 341
Stanley I. Grossman. Algebra Lineal. 6ta Edicin. Editorial Mc Graw-Hill, 2008. Pag 546-555
-
85 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
5.7 APLICACIONES: FORMAS CUADRTICA
Definicin de Formas cuadrticas
Es una funcin denida por un polinomio real de varias variables en el que todos los
sumandos no nulos son de segundo grado.
La expresin general para una forma cuadrtica real en dos variables es
O en forma matricial seria
( )((
))(( ))
Donde a, b, c son nmeros reales, y adems la matriz A es simtrica lo que implica que es de
orden nxn.
Generalizando para obtenemos:
+
En forma matricial:
Dnde:
(
)
(
)
Donde a, b, c son nmeros reales, y adems la matriz A es simtrica lo que implica que es de
orden nxn.
Forma Cannica
Sabemos que la matriz A al ser simtrica se la puede diagonalizar ortogonalmente. Adems
tenemos que . Recordamos que Q (o P segn sea la nomenclatura) es la matriz que
diagonaliza a A y est formada por los vectores propios ortonormalizados.
-
86 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
Partimos de
Donde como ya sabemos
Es la matriz Diagonal de los valores propios de A, y donde
Es el vector obtenido a partir de x con la transformacin ortogonal
Observacin:
El determnate de la matriz P debe ser igual a 1. Por lo que si el resultado es -1 basta con
cambiar de orden las columnas.
Teorema: ejes principales
Toda forma cuadrtica puede diagonalizarse. Especficamente, si A es la matriz simtrica de orden n, asociada con la forma cuadrtica y si P es una matriz ortogonal tal que es una matriz diagonal, entonces el cambio de variable transforma la forma cuadrtica en la forma cuadrtica , que no tiene trminos en . Si los eigenvalores de A son y
entonces
Teorema:
Sea A una matriz simtrica de orden nxn La forma cuadrtica es:
a. positiva definida si y slo si todos los eigenvalores de A son positivos.
b. semidefinida positiva si y slo si todos los eigenvalores de A son no negativos.
c. definida negativa si y slo si todos los eigenvalores de A son negativos.
d. semidefinida negativa si y slo si todos los eigenvalores de A son no positivos.
-
87 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
e. indefinida si y slo si A tiene eigenvalores tanto positivos como negativos.
Para ejercicios con cnicas se debe recordar:
{
EJEMPLO 1.- Analice la siguiente ecuacin y dibuje su grfica
Escribimos la forma matricial de
( )((
))(( ))
Encontramos los valores propios de la matriz y sus correspondientes vectores propios de
(
)
((
) (
))
|
|
Con
(
) (
) ( )
-
88 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
(
) ( )
Al resolver el sistema se obtiene:
( )
( )
Con
(
) (
) ( )
(
) ( )
Al resolver el sistema se obtiene:
(
)
(
)
Normalizamos los vectores propios
( )
(
)
(
)
(
)
Obtenemos la siguiente matriz ortogonal:
-
89 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
(
)
(
)
(
)
La ecuacin puede transformarse a la forma
(
) (
)
Esta ecuacin corresponde a una elipse en el sistema de coordenadas . La longitud del
semieje mayor es 2, y la longitud del semieje menor es . En el sistema de coordenadas
la grfica sera
La rotacin de las coordenadas est definida por la matriz C. Por lo que
-
90 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
(
)
(
)
Entonces
En sistema de coordenadas la grfica sera
EJEMPLO 2.- Encuentre un cambio de variable que transforme la forma cuadrtica siguiente
en una sin trminos .
La matriz correspondiente es
(
)
Entonces determino sus valores propios y sus correspondientes vectores propios
((
) ((
)))
|
|
-
91 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
Determinamos los vectores propios
Con
(
) (
) ( )
(
) ( )
Al resolver el sistema se obtiene:
(
)
Con
(
) (
) ( )
(
) ( )
Al resolver el sistema se obtiene:
( )
Ortonormalizo los vectores:
-
92 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
(
)
(
)
(
)
( )
( )
(
)
Armamos la matriz P (tambin se la nombra como Q) y su transpuesta
(
)
(
)
Entonces
(
)
(
)
(
)
(
)
La ecuacin puede transformarse a la forma
(
) (
)
EJEMPLO 3.- Identifique y grafique la cnica cuya ecuacin es:
Formamos la ecuacin matricial
(
) (
)
-
93 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
Diagonalizo ortogonalmente a la matriz
(
)
((
) ((
)))
|
|
Determinamos los vectores propios
Con
(
) (
) ( )
(
) ( )
Al resolver el sistema se obtiene:
( )
Con
(
) (
) ( )
-
94 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
(
) ( )
Al resolver el sistema se obtiene:
(
)
Ortonormalizo los vectores:
( )
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
Armamos la matriz P (tambin se la nombra como Q) y su transpuesta
(
)
(
)
Entonces
(
)
(
)
(
)
-
95 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
(
)
La ecuacin puede transformarse a la forma
(
) (
)
(
)
Entonces es una elipse y su grafico es:
EJEMPLO 4.- Identifique y grafique la cnica cuya ecuacin es:
Formamos la ecuacin matricial
(
) ( )
Diagonalizo ortogonalmente a la matriz
(
)
((
) ((
)))
-
96 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
|
|
Determinamos los vectores propios
Con
((
)) (
) ( )
(
) ( )
Al resolver el sistema se obtiene:
( )
Con
(
) (
) ( )
(
) ( )
Al resolver el sistema se obtiene:
(
)
Ortonormalizo los vectores:
-
97 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
( )
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
Armamos la matriz P (tambin se la nombra como Q) y su transpuesta
(
)
(
)
Entonces
(
)
(
)
(
)
(
)
La ecuacin puede transformarse a la forma
(
) (
)
Entonces es una hiprbola y su grafico es:
-
98 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
EJEMPLO 5.- Identifique la superficie cudrica cuya ecuacin es
Formamos la ecuacin matricial
(
)( )
Encontramos sus valores y sus correspondientes vectores propios ortogonales
(
)
((
) (
))
|
|
Al ser una expresin no facturable utilice la calculadora de Microsoft para resolverla y obtuve:
-
99 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
(
)
(
)
Entonces los valores propios son
Con
(A
(
)(
) ( )
(
) ( )
Al resolver el sistema se obtiene
( )
Con
(A
(
)(
) ( )
(
) ( )
-
100 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
Al resolver el sistema se obtiene
(
)
Con
(A
(
)(
) ( )
(
) ( )
Al resolver el sistema se obtiene
(
)
Ahora ortonormalizo cada vector propio
( )
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
-
101 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
(
)
(
)
(
)
Ahora formo la matriz P con los vectores propios ortogonalizados
(
)
Ahora determino
(
)
Entonces
(
)
(
)
(
)
((
))
(
(
)
)
(
)
Aplicamos el cambio de variable y se obtiene:
(
)(
)
-
102 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
(
) Divido para 36 a ambos lados de la ecuacin y se obtiene:
Entonces esta ecuacin se reconoce como la de un hiperboloide de una hoja. Los ejes
estn en las direcciones de los eigenvectores obtenidos, Su grfica es:
FUENTES DE CONSULTA
David Poole. Algebra Lineal, Una introduccin Moderna. 3ra Edicin. Compaa de Cengage
Learning, 2011
Bernard Kolman, David Hill. Algebra Lineal. 8va Edicin. Editorial Mc Graw-Hill, 2006
Erich Steine, Matemticas para las ciencias aplicadas, pag 495
Stanley I. Grossman. Algebra Lineal. 6ta Edicin. Editorial Mc Graw-Hill, 2008. pag 575-585
http://neblan.files.wordpress.com/2012/10/tema-7.pdf
-
103 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
CONCLUSIONES:
Al realizar la investigacin he aprendido y me he dado cuenta del poder del algebra lineal, y su
uso, el cual facilita el clculo en muchas aplicaciones.
Los valores propios siendo un concepto muy fcil de aprenderlo al igual que vectores propios
tiene un gran campo de accin es decir es utilizado en muchos casos tales como para
determinar la potencia ensima de una matriz cuadrada, tan solo con la condijo de que esta
sea diagonalizable, ya que el proceso realizando ajuste polinomial resultaba muy largo y
tedioso, adems de que la potencia ensima tiene aplicaciones en ecuaciones en diferencias
como lo vimos.
La diagonalizacin est presente en matrices reales como imaginarias, y adems para matrices
nrmales (aqu estn incluidas matrices simtricas, hermticas, unitarias, antihermitianas) las
cuales se las diagonaliza ortogonalmente.
Otra aplicacin de los conceptos adquiridos est en el crecimiento poblacional, ya que usando
el concepto de diagonalizacin podemos determinar un vector propio el cual determine un
crecimiento estable para un conjunto de habitantes.
Tambin, hemos visto su uso en la geometra permitiendo rotar i transformar a los ejes y de
esta manera facilitar su interpretacin, as como determinar la ecuacin de la cnica o figura
correspondiente en sus nuevas coordenadas.
Para concluir al desarrollar la investigacin not como el lgebra lineal es una herramienta
muy importante para otras ciencias, y que tiene innumerables aplicaciones, muchas ms que
las que esta investigacin exige tales como en las series de Fibonacci, Fsica, etc. Se puede
concluir que el lgebra lineal a travs del tiempo ha servido para el crecimiento de otras
ciencias y teoras, es por eso que matemticos muy importantes han realizados investigaciones
y han hecho aportes importantes a esta gran rama, conocida como LGEBRA LINEAL.
RECOMENDACIONES
Tener a mano la mayor cantidad de fuentes de consulta, es decir libros los cuales tengan un
amplio contenido, ya que segn el autor en unos libros la explicacin es muy clara.
Adems dar el tiempo adecuado y necesario para realizar el trabajo que permita primero tener
una idea clara del tema antes de realizar la investigacin como tal.
-
104 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
BIBLIOGRAFA GENERAL
Larson, Falvo. Fundamentos de Algebra Lineal. 6ta Edicin. Editorial CENGAGE Learning
David Poole. Algebra Lineal, Una introduccin Moderna. 3ra Edicin. Compaa de Cengage
Learning, 2011
Howard Anton. Introduccin al Algebra Lineal. 3ra Edicin. Editorial Limusa, 1994
Gareth Williams. Algebra Lineal con Aplicaciones. 4ta Edicin. Mc Graw-Hill, 2002.
David C. Lay. Algebra Lineal y sus Aplicaciones. 3ra Edicin. Pearson Education, 2007.
Bernard Kolman, David Hill. Algebra Lineal. 8va Edicin. Editorial Mc Graw-Hill, 2006
Stanley I. Grossman. Algebra Lineal. 6ta Edicin. Editorial Mc Graw-Hill, 2008.
Seymour Lipschutz (Schaum). Algebra Lineal. 2da Edicin. Editorial Mc Graw-Hill, 1993
BIBLIOGRAFA VIRTUAL
http://cursos.aiu.edu/Algebra%20Lineal/PDF/Tema%206.pdf
http://personales.upv.es/jbenitez/cajon_sastre/val_prop.pdf
http://www.univalle.edu.co/~mimarmol/topicosenalgebralineal.pdf
http://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/ma95-843/lecturas/l843-82.pdf
http://www.youtube.com/watch?v=dcBdVibNZn0
http://personales.upv.es/lagudal/help-math-web/diagonaliza.htm#simetricas
LIBROS ON-LINE UTILIZADOS
http://books.google.com.ec/books?id=Ezc-
PDWsUvoC&pg=PA111&dq=matrices+simetricas+y+diagonalizacion+ortogonal&hl=es&sa=X&e
i=lnjHUaXfNMT64APkzoDgDQ&ved=0CFAQ6AEwBw#v=onepage&q=matrices%20simetricas%2
0y%20diagonalizacion%20ortogonal&f=false
http://books.google.com.ec/books?id=eI34KBt0tTwC&pg=PA95&dq=matrices+simetricas+y+di
agonalizacion+ortogonal&hl=es&sa=X&ei=lnjHUaXfNMT64APkzoDgDQ&ved=0CDYQ6AEwAg#v
=onepage&q=matrices%20simetricas%20y%20diagonalizacion%20ortogonal&f=false
http://books.google.com.ec/books?id=L7O5T19IRG0C&pg=PA153&dq=ejercicios+de+potencia
+de+matrices&hl=es&sa=X&ei=y9vJUcjKNOaL0QHtzIGwBw&ved=0CD8Q6AEwAw#v=onepage
&q=ejercicios%20de%20potencia%20de%20matrices&f=false
-
105 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ
http://books.google.com.ec/books?id=bVsMgqWWfuoC&pg=PA286&lpg=PA286&dq=matriz+u
nitaria+compleja+ejemplos&source=bl&ots=PDpu1Tb9OC&sig=N-
_21SNPXZS58Pca9tlnIs4QQkk&hl=es&sa=X&ei=z6XZUYeGL6St0AGetIGoBw&ved=0CFkQ6AEwC
Q#v=onepage&q=matriz%20unitaria%20compleja%20ejemplos&f=false
http://books.google.com.ec/books?id=uxauLevnXxUC&pg=PA497&dq=matrices+complejas&hl
=es&sa=X&ei=-
ZfXUdagKK684AOUyoHYAQ&ved=0CCwQ6AEwAA#v=onepage&q=matrices%20complejas&f=fa
lse
FIN
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