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Procesamiento Digital de Señales

Facultad de Ingeniería Electrónica y Mecatrónica

Procesamiento Digital de Señales(TC61)

Sesión: 11

Ing. José C. Benítez P.

Filtros Digitales

Sesión 9,A. Filtros Digitales

� Filtros

� Tipos básicos de filtros

� Especificación de la respuesta en frecuencia de un filtro

� Frecuencias lineales y angulares

� Normalización de la respuesta en frecuencia

� Función de transferencia en el dominio Z de un filtro

� Ganancia y atenuación

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� Ganancia y atenuación

� Tipos de distorsión en banda de paso

� Respuesta de filtros ideales

� Tipos básicos de secuencias

� Respuesta de filtros reales

� Aproximación del módulo en filtros reales

� Aproximación de la fase en filtros reales

� Conversión de filtros

Filtros

� Un filtro es un sistema LIT que permite el paso de las

componentes frecuenciales de la señal pertenecientes

a un determinado conjunto de frecuencias (banda de

paso) y que elimina el resto (banda de atenuación).

� Las diferentes bandas (de paso y atenuación) estarán

delimitadas por una serie de frecuencias denominadas

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delimitadas por una serie de frecuencias denominadas

frecuencias de corte.

� En inglés, estas bandas se denominan: pass band

(banda de paso) y stop band (banda de atenuación).

� Cuando se utilizan variables relacionadas con la banda

de paso suele usarse el subíndice p; mientras que,

para el caso de la banda de atenuación, suelen usarse

tanto a como s.

Tipos básicos de filtros

� El caso más simple de filtro sería aquel en el que existe dos bandas; una única banda de paso y otra de atenuación. La frecuencia que establece el límite entre ambas se denomina frecuencia de corte (fc) del filtro.

� En este caso tan sencillo y según la posición relativa de ambas bandas podemos definir dos tipos de filtros:

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ambas bandas podemos definir dos tipos de filtros:

� Filtro de paso bajo (Low Pass Filter, LPF): en el que la banda de paso se encuentra por debajo de la frecuencia de corte, en las frecuencias inferiores.

� Filtro de paso alto (High Pass Filter, HPF): en el que la banda de paso se encuentra por encima de la frecuencia de corte, en las frecuencias superiores.

Tipos básicos de filtros

� Otro caso que también se considera básico es aquel en el que existen tres bandas (por lo que existirán dos frecuencias de corte, fc1y fc2,que las delimitan).

� En él podemos distinguir entre:

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� Filtro de paso de banda (Band Pass Filter, BPF): en el que hay una banda de paso situada entre dos bandas de atenuación.

� Filtro de rechazo de banda (Band Stop Filter, BSF): en el que hay una banda de atenuación situada entre dos bandas de paso.

Tipos básicos de filtros

� Band Pass Filter, BPF� Low Pass Filter, LPF

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� Respuesta en frecuencia de los tipos básicos de filtros

� Band Stop Filter, BSF� High Pass Filter, HPF

Especificación de la respuesta en frecuencia de un filtro

� El primer paso al diseñar un filtro es la especificación de su respuesta frecuencial, que consiste en determinar el valor que debe tomar H(f) en el dominio [0, fs].

� Cuando se estudió la DFT, se presentó su propiedad de simetría. Ahora, sin embargo, se trata del proceso contrario: partiendo de una transformada, H(f), debemos

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contrario: partiendo de una transformada, H(f), debemos encontrar la RMU equivalente, h[n].

� Así, es necesario que H(f) sea simétrica. Para ello, basta definirla entre 0 y fNyq y copiarla de forma simétrica en el intervalo [fNyq, fs].

� Por tanto, para saber si un filtro es LPF, HPF, BPF o BSF, hay que observar únicamente la forma que adopta su respuesta entre 0 y fNyq.

Frecuencias lineales y angulares

� Conviene recordar aquí la relación entre frecuencias lineales y angulares:

� Una frecuencia lineal se expresa en hercios (Hz).

� Una frecuencia angular se expresa en radianes por segundo (rad/s).

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� Para calcular la frecuencia equivalente a otra, basta aplicar un factor de 2π:

w0 = 2πf0f0 = w0 / (2π)

Normalización de la respuesta en frecuencia

� Las técnicas de diseño de filtros digitales suelen trabajar con datos frecuenciales normalizados por lo que es necesario explicar en qué consiste este proceso de normalización.

� Para normalizar una frecuencia, hay que dividirla por la frecuencia de muestreo (fs).

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frecuencia de muestreo (fs).

� De esta forma el rango de una respuesta frecuencialnormalizada será:

� el intervalo [0, 1], en caso de frecuencia lineal, y

� el intervalo [0, 2π], en caso de frecuencia angular.

� La frecuencia de Nyquist se encontrará siempre en el centro de este intervalo; siendo: fNyq = 0,5 y fNyq = πsegún el caso.

Parejas comunes de transformadas Z

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Ejemplo: especificación de la respuesta de un LPF con fc = 1 kHz trabajando a una fs = 4 kHz

Función de transferencia en el dominio Z de un filtro

� Ya se explicó en la lección correspondiente, que la función de transferencia en el dominio Z de un sistema se expresa como:

H(z) = Y(z) / X(z)

= (Σk=0,Q b[k]z-k) / (Σk=0,P a[k]z

-k)

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H(z) = (Σk=0,Q b[k]z-k) / (1 + Σk=1,P a[k]z

-k)

� Pero queda indicar dos aspectos:

� Se define como orden del filtro (M) al máximo entre P y Q.

� Se define como longitud del filtro a: L = M + 1.

Ganancia y atenuación

� Tanto la ganancia G(f) como la atenuación α(f) son formas de representar el módulo de la respuesta en frecuencia H(f) de un filtro.

� Ambas se miden en decibelios (dB) y se calculan como:

G(f) = 20 log10 |H(f)|α(f) = 20 log (1 / |H(f)|)

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10α(f) = 20 log10 (1 / |H(f)|)

� Nótese que:

G(f) = -α(f)|H(f)| = 10G(f)/20 = 10-α(f)/20

� Ventaja de estas representaciones: expanden el margen dinámico de representación, lo que permite apreciar detalles que de otro modo pasarían desapercibidos.

Ganancia y atenuación

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Ejemplo de ganancia y atenuación

Tipos de distorsión en banda de paso

� Una componente frecuencial perteneciente a la banda de paso (BP) no debe sufrir ninguna alteración al atravesar el filtro.

� Sin embargo, en la práctica, un filtro puede presentar dos tipos de distorsión en la banda de

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presentar dos tipos de distorsión en la banda de paso:

� Distorsión de amplitud.

� Distorsión de fase.

Respuesta de filtros ideales

� Un filtro ideal no produce distorsión en BP (ni de amplitud ni de fase).

� La respuesta en frecuencia de un filtro ideal es:

� H(f) = 1, f ∈ BP

� H(f) = 0, f ∈ BA

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∈

� H(f) = 0, f ∈ BA

� Así, un filtro ideal presenta:

� Módulo 1 en BP.

� Módulo 0 en BA.

� Fase 0 en BP.

Respuesta de filtros ideales

� Sin embargo, si la fase es lineal en BP, el efecto del filtro es únicamente un retraso de la señal de entrada (pero no se produce distorsión) por lo que puede considerarse ideal:

H(f) = e-jaf, f ∈ BP

∈

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H(f) = e-jaf, f ∈ BP

H(f) = 0, f ∈ BA

� En resumen, un filtro puede considerarse ideal si tiene:

� Módulo 1 y fase lineal en BP.

� Módulo 0 en BA.

Respuesta de filtros reales

� Un filtro real aproxima a uno ideal.

� Esta aproximación consiste en evitar la distorsión:

� Aproximar el módulo evitará

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� Aproximar el módulo evitará la distorsión de amplitud.

� Aproximar la fase evitará la distorsión de fase.

Aproximación del módulo en filtros reales

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Aproximación del módulo en filtros reales

� La distorsión de amplitud es imposible de evitar.

� Para establecer la calidad de esta aproximación se permite

una tolerancia tanto en frecuencia como en amplitud:

� Rizado (δp, Rp, δs, As): determina cuánto puede

alejarse el módulo real del ideal:

� BP: 1 - δ <= |H(f)| <= 1 + δ

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� BP: 1 - δp <= |H(f)| <= 1 + δp� Rp (dB) = 20 log10 (1 + δp)

� δp = 10Rp/20 - 1

� BA: 0 <= |H(f)| <= δs� As (dB) = -20 log10 δs� δs = 10

-As/20

� Ancho de banda de transición (∆f).

Aproximación del módulo en filtros reales

� En la respuesta en frecuencia de un filtro real distinguimos entre:

� Ceros de atenuación = frecuencias en las que el módulo es 1 y la atenuación es nula.

� Ceros de transmisión = frecuencias en las que el módulo es nulo y la atenuación es infinita.

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módulo es nulo y la atenuación es infinita.

� Además, se considera que:

� Un filtro es tanto más discriminante cuanto menor es el rizado permitido.

� Un filtro es tanto más selectivo cuanto más estrecha es su banda de transición.

� Fijado el orden del filtro, una mejora en la discriminación implica un empeoramiento en la selectividad, y viceversa.

El cuento de los maquinistas

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Atenuación y rizado en gráfica de ganancia

Aproximación de la fase en filtros reales: filtros de fase lineal

� La distorsión de fase sí es posible evitarla (consiguiendo una fase lineal).

� Para conseguir una respuesta de fase lineal, la RMU debe presentar cierta simetría:

h[n] = h[L - 1 - n]

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h[n] = ±h[L - 1 - n]

� Simetría par = se cumple con signo +.

� Simetría impar = se cumple con signo -.

Aproximación de la fase en filtros reales: filtros de fase lineal

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Tipos de filtros de fase lineal según la paridad de la simetría y la paridad de la longitud.

Conversión de filtros

� Existen técnicas para convertir entre diferentes tipos de filtros: LPH, HPH, BPH y BSH.

� Esto permite centrar las técnicas de diseño en uno de esos tipos (en general LPF) y utilizar posteriormente un método de conversión para obtener el filtro deseado.

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obtener el filtro deseado.

� Las técnicas que vamos a explicar son las siguientes:

� Spectral Inversion.

� Spectral Reversal.

� Suma de RMU.

� Convolución de RMU.

Conversión de filtros

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Conversión de filtros

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Conversión de filtros

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Suma de RMU: hBS[n] = hLP[n] + hHP[n]

Conversión de filtros

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Convolución de RMU: hBP[n] = hLP[n] * hHP[n]

Sesión 11. Tarea

Procesamiento Digital de Señales

Explique en que consiste:• Filtros No Recursivos FIR. • Diseño utilizando el método Windowing• Filtros Recursivos IIR. • Aproximación de Función Análoga Butterworth. • Respuesta en el Tiempo y Frecuencia

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• Respuesta en el Tiempo y Frecuencia• Transformación Bilineal. • Transformación de Frecuencias.

Presentación:• El desarrollo y las fuentes en USB.

• Adjuntar fuentes (03 PDFs, y 03 PPTs.) en USB de cada tema.

• Una fuente es valida si proviene de una universidad. Indicar los links de

descarga de cada una de las fuentes.

• La fuente debe conservar el nombre original y agregar _tema.

Sesión 11. Filtros

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