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UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 1
MACROECONOMÍA UPF 2008-09
SET 3 de Diapositivas
Profesor Antonio Ciccone
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 2
III. CRECIMIENTO ECONOMICO CON
AHORRO ENDOGENO
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 3
1. La decisión de ahorro de las familias
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 4
1. “Teoría Keynesiana” del ahorro y el consumo
• Hasta ahora hemos supuesto una función de ahorro “keynesiana”
• donde s es la propensión marginal a ahorrar.
1. La función de consumo (ahorro) keynesiana
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 5
Por la RESTRICCIÓN PRESUPUESTARIA
Esto implica una función de consumo “keynesiana”
Donde c es la propensión marginal a consumir.
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 6
2. Limitaciones
– Las familias miran solamente la renta CORRIENTE cuando deciden su nivel de consumo?
– No. Muchas familias piden prestado a los bancos para poder consumir más hoy, porque saben que serán capaces de devolver el préstamo en el futuro.
– Si la gente ahorra, presumiblemente lo hacen para consumir más en el futuro. Por lo tanto, el ahorro es una decisión que se toma “mirando hacia delante” (FORWARD-LOOKING) y que debe tener en cuenta lo que pase en el futuro.
CONCEPTUALESLa decisión de consumo se supone “mecánica” y “miope”:
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 7
Suponer que el ahorro es una función de la renta corriente contradice el uso que las familias hacen de sus ahorros
EMPÍRICAS
“Suavizar el consumo”
– Empíricamente, se observa que las familias suavizan el consumo. En otras palabras, la renta de las familias es generalmente más volátil que su consumo.
– Esto sugiere que las familias miran hacia delante y tratan de estabilizar su consumo (su estándar de vida) tanto como pueden.
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 8
tiempo
Ingreso familiar de un Agricultor
FIGURA 1: Suavizado del consumo en el tiempo: Un sendero temporal de la renta volátil
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 9
tiempo
FIGURA 2: Renta y consumo “keynesiano”
Ingreso familiar de un agricultor
Consumo de un agricultor (Teoría “Keynesiana”)
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 10
tiempo
FIGURA 3: Proceso de suavizado del Consumo
Ingreso familiar de un agricultor
Consumo de un agricultor (Observación empírica)
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 11
tiempo
Ingreso Familiar
Consumo suavizado
Ahorro para épocas de sequía
Desahorro para mantener los niveles de consumo
FIGURA 4: Ahorros y desahorros en modelos de consumo suavizado
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 12
INTERESANTEMENTE:
La Teoría Keynesiana del Consumo parece comportarse mejor a nivel agregado que a nivel de familias individuales. Por ejemplo:
– La teoría keynesiana sirve para describir la relación entre el consumo y la renta de un país en diferentes años.
– Esta teoría también sirve para describir la relación entre el consumo y la renta para diferentes países
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 13
RENTA
CONSUMOUN DILEMA?
NIVEL AGREGADO
NIVEL DE LA FAMILIAINDIVIDUAL
Alemania 1950O País 1
Alemania 1960O País 2
Alemania 1980O País 3
Sr A
Sra B
Sr CSra D
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 14
2. La teoría del ingreso permanente, del consumo y del ahorro
1. Idea básica y un modelo de dos períodos
Las familias toman las decisiones de consumo:
• MIRANDO HACIA DELANTE
• USANDO AHORROS Y PRÉSTAMOS de los bancos para mantener su nivel de vida lo más ESTABLE posible en el tiempo
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 15
Modelo formal más simple posible ( 2 PERIODOS)
Supuestos:• Las familias viven 2 períodos y tratan de maximizar la utilidad
INTERTEMPORAL
• Saben que obtendrán un ingreso LABORAL Lw[0] en el período 0 y Lw[1] en el perído 1
• Comienzan con RIQUEZA 0
• Pueden ahorrar y endeudarse con el sistema bancario a la tasa de interés r
( [0]) (1 ) ( [1])U C U C
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 16
PROBLEMA DE MAXIMIZACIÓN MATEMÁTICA:
Eligiendo C0 y C1
Sujeto a: S=Lw0-C0
C1=Lw1+(1+r)S
es el DESCUENTO aplicado a las utilidades futuras
Notar que S puede ser NEGATIVO (qué implica que la familia está pidiendo PRESTADO o DESAHORRANDO).
0 1max ( ) (1 ) ( )U C U C
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 17
FORMULACIÓN MATEMÁTICA
Maximizar UTILIDAD INTERTEMPORAL
Eligiendo C
Sujeto a:
RESTRICCIÓN PREUPUSTARIA INTERTEMPORAL
C1=Lw1+(1+r)S= Lw1+(1+r)(Lw0-C0)
0 1max ( ) (1 ) ( )U C U C
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 18
RESTRICCIÓN PREUPUSTARIA INTERTEMPORAL
También puede ser escrita como:
TEMINOLOGÍA IMPORTANTE:
INGRESO PERMANENTE (IP)
PRECIO DEL CONSUMO FUTURO CON RELACIÓN AL CONSUMO PRESENTE
2 21 11 1
C LwC Lw
r r
21 1
LwLw
r
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 19
C[0]
C[1]
Lw[0]
Lw[1]
GRÁFICAMENTE: NIVELES DE RENTA Y CONSUMO
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 20
C[0]
C[1]
Lw[0]
Lw[1]
1+r
LA RESTRICCIÓN PREUPUSTARIA INTERTEMPORAL
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 21
C[0]
C[1]
Lw[0]
Lw[1]
1+r
MAXIMIZACIÓN INTERTEMPORAL DE UTILIDAD
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 22
C[0]
C[1]
Lw[0]
Lw[1]
1+r
C[0]
C[1]
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 23
C[0]
C[1]
Lw[0]
Lw[1]
1+r
C[0]
C[1]
ENDEUDAMIENTO PARA CONSUMIR MÁS HOY
PRÉSTAMO
DEVOLUCIÓN
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 24
2. Solución de forma reducida en un caso simple
Suponiendo: TASA DE INTERÉS CERO: r = 0 DESCUENTO DE LA UTILIDAD FUTURA CERO: β=0
EL PROBLEMA DE MAXIMIZACIÓN QUEDA:
Con respecto a C
Sujeto a 0 1 0 1C C Lw Lw PI
0 1max ( ) ( )U C U C
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 25
CONDICIONES DE PRIMER ORDEN:
Las condiciones de primer orden pueden ser obtenidas de
Con respecto a C0
Donde hemos sustituido la restricción presupuestaria.
Derivando con respecto a C1 e igualando a cero:
O, lo que es lo mismo:
0 0max ( ) ( )U C U PI C
0 1
0 1
( ) ( )U C U C
C C
0 1'( ) '( )U C U C
C1
0 0
0 1
( ) ( )( 1) 0
U C U PI C
C C
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 26
IGUALAR LA UTILIDAD MARGINAL EN DIFERENTES MOMENTOS DEL TIEMPO
ESTO IMPLICA
“CONSUMO PERFECTAMENTE SUAVIZADO”
Usando la RESTRICCIÓN PRESUPUESTARIA INTERTEMPORAL nos queda el consumo como función de la RENTA PERMANENTE
0 1C C
2
IP
210
10
YY
CC
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 27
Lw[0]
C[0]
0.5*Lw[1]
0.5*Lw[0]+0.5*Lw[1]
"FUNCIÓN DE CONSUMO"
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 28
Lw[0]
C[0]
0.5*Lw[1]
0.5*Lw[0]+0.5*Lw[1]
INCREMENTO “TEMPORARIO” EN LA RENTA
INCREMENTO en laRenta del primer período
EFECTO DE UN INCREMENTO EN LA RENTA DEL PRIMER PERÍODO EN SOBRE C0
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 29
Lw[0]
C[0]
0.5*Lw[0]+0.5*Lw[1]
INCREMENTO “PERMANENTE” EN LA RENTA
INCREMENTO Lw[0]
INC
RE
ME
NT
O L
w[1
]
THE EFFECT OF AN INCREASE IN INITIAL AND FUTURE INCOME
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 30
DESCUENTO DE LA UTILIDAD FUTURA Y TASA DE INTERÉS
MAXIMIZACIÓN CON FACTOR DE DESCUENTO E INTERÉS
con respecto a C
Sujeto a:
RESTRICCIÓN PRESUPUESTARIA INTERTEMPORAL
1 10 01 1
C LwC Lw
r r
0 1max ( ) (1 ) ( )U C U C
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 31
CONDICIONES DE PRIMER ORDEN
“DESCUENTO TEMPORAL EFECTIVO”
CONSUMO CONSTANTE
En este caso los efectos del descuento de las utilidades futuras y de la tasa de interés se cancelan entre sí.
0 1'( ) (1 )(1 ) '( )U C r U C
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 32
CONSUMO CRECIENTE EN EL TIEMPO:
Si (1-β)(1+r) > 1, el consumo crecerá en el tiempo.
En este caso el efecto positivo de la tasa de interés más que compensa el descuento sobre la utilidad futura
CONSUMO DECRECIENTE EN EL TIEMPO:
Si (1-β)(1+r) < 1, el consumo se reducirá en el tiempo.
En este caso el descuento sobre la utilidad futura más que compensa el efecto positivo de la tasa de interés
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 33
C[0]
C[1]
Lw[0]
Lw[1]
1+r
C[0]
C[1]
AUMENTO EN LA TASA DE INTERÉS
TASA DE INTERÉS ALTA
TASA DE INTERÉS BAJA
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 34
EJEMPLO
Supongamos la siguiente función de utilidad:
con
Las condiciones de primer orden son:
O
1/ 1/0 1(1 )(1 )C r C
1
0
(1 )(1 )C
rC
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 35
3. El caso de 3 y más períodos
-- Timing-- Restricción Presupuestaria Intertemporal-- Condiciones de optimalidad-- Consistencia temporal
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 36
TIMING
t=0 t=1
Q[0]
w[0]L w[1]L w[2]L
C[1] C[2]
RIQUEZAINICIAL
t=2
-Interés r[0]-Descuento sobrela utilidad
C[0]
ESTAMOS AQUÍ
- Interés r[1]-Descuento sobrela utilidad
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 37
VALOR PRESENTE DE LA RENTA Y EL CONSUMO
0 1 20
0 0 1 0 1 21 (1 )(1 ) (1 )(1 )(1 )
Lw Lw LwQ
r r r r r r
0 1 2
0 0 1 0 1 21 (1 )(1 ) (1 )(1 )(1 )
C C Cr r r r r r
- RENTA PERMANENTE
-VALOR PRESENTEDEL CONSUMO
t=0 t=1
Q[0] w[0]L w[1]L w[2]L
C[0] C[1] C[2]
t=2
ESTAMOS AQUÍ
InterésDescuento
InterésDescuento
InterésDescuento
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 38
RESTRICCIÓN PRESUPUESTARIA INTERTEMPORAL
0 1 20
0 0 1 0 1 2
0 1 2
0 0 1 0 1 2
1 (1 )(1 ) (1 )(1 )(1 )
1 (1 )(1 ) (1 )(1 )(1 )
Lw Lw LwQ
r r r r r r
C C C
r r r r r r
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 39
RESTRICCIÓN PRESUPUESTARIA Y EVOLUCIÓN DE LA RIQUEZA
t=0 t=1 t=2
Q[0] w[0]L w[1]L w[2]L
C[1] C[2] C[3]
1 0 0 0 0(1 )Q r Q Lw C
2 1 1 1 1(1 )Q r Q Lw C
3 2 2 2 2(1 )Q r Q Lw C
C[0]
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 40
RESTRICCIÓN PRESUPUESTARIA INTERTEMPORAL
1 1 1 1(1 )t t t t tQ r Q Lw C
dado está 0Q
período último el es T Si
0período delFin T Q
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 41
0 1 20
0 0 1 0 1 21 (1 )(1 ) (1 )(1 )(1 )
Lw Lw LwQ
r r r r r r
EL VALOR PRESENTE DEL SUPERÁVIT PRESUPUESTARIO
= RENTA PERMANENTE menos VALOR PRESENTE DEL CONSUMO
0 1 2
0 0 1 0 1 21 (1 )(1 ) (1 )(1 )(1 )
C C C
r r r r r r
= VALOR PRESENTE DE LA RIQUEZA AL FINAL DE LA VIDA
)1)(1)(1( 210 rrr
Q alPeríodoFinT
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 42
MAXIMIZAR ENTRE PERÍODOS ADYACENTES
1 1'( ) (1 )(1 ) '( )t t tU C r U C
SOLUCIÓN ÓPTIMA AL PROBLEMA DEL CONSUMIDOR
MÁS RESTRICCIÓN PRESUPUESTARIA CON IGUALDAD
0)1)(1)(1( 210
rrr
Q alPeríodoFinT
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 43
HORIZONTE INFINITO
= VALOR AL MOMENTO CERO (VALOR PRESENTE) DE 1 EURO PAGADO AL FINAL DEL PERÍODO t
)1(...)1()1(
1
10 Tt rrr
VP
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 44
RESTRICCIÓN PRESUPUESTARIA INTERTEMPORAL
Esta condición implica que no puede haber juegos del tipo PONZI
1 1 1 1(1 )t t t t tQ r Q Lw C
dado 0Q
0lim 0
FdPTT
TQVP
FdP: Fin del Período
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 45
Tiempo T
0
QUÉ PASA SI: 0lim 0
bQVP FdPTT
T
FdPTTQVP0
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 46
SE PUEDE INCREMENTAR EL CONSUMO DEL MOMENTO 0
EL PLAN DE CONSUMO NO ES ÓPTIMO!
PARA LA OPTIMALIDAD ES NECESARIO QUE:
0lim 0
FdPTT
TQVP
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 47
CONSISTENCIA TEMPORAL DE LOS PLANES DE CONSUMO DE LA FAMILIA
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 48
PLANES DE CONSUMO EN EL MOMENTO 0
t=0 t=1
Q[0] w[0]L w[1]L w[2]L
C[0] C[1] C[2]
t=2
ESTAMOS AQUÍ
InterésDescuento
Interés Descuento
Interés Descuento
t=0 t=1
Q[0] Q(1) w[1]L w[2]L
C[1] C[2]
t=2
ESTAMOS AQUÍ
PLANES DE CONSUMO EN EL MOMENTO 1 (SIN NUEVA INFO)
InterésDescuento
InterésDescuento
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 49
***** CONSISTENCIA TEMPORAL *****
t=0 t=1
Q[0] w[0]L w[1]L w[2]L
C[0] C[1] C[2]
t=2
ESTAMOS AQUÍ
t=0 t=1
Q(1) w[1]L w[2]L
C[1] C[2]
t=2
ESTAMOS AQUÍ
InterésDescuento
InterésDescuento
InterésDescuento
InterésDescuento
InterésDescuento
PLANES DE CONSUMO EN EL MOMENTO 1 (SIN NUEVA INFO)
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 50
3. Consumo y ahorro óptimos en tiempo continuo1. Horizonte Infinito
sujeto a
= VALOR AL MOMENTO 0 (VALOR PRESENTE) DE 1 EURO PAGADO EN EL MOMENTO t
0max ( )t
te U C dt
dtLwVPQdtCVP tttt
0
00
0
0
Tdttr
tt eCVP 0)(
0
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 51
2. Restricción Presupuestaria Intertemporal
1 1 1 1(1 )t t t t tQ r Q Lw C
(1 )t t t t t tQ r Q r Lw C
1 1 1 1(1 )t t t t tQ r Q Lw C
Riqueza en tiempo discreto
1 1 1 1 1t t t t t tQ Q r Q Lw C
Riqueza en tiempo continuo
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 52
La Restricción Presupuestaria Intertemporal en tiempo continuo se satisface con igualdad si
(1 )t t t t t tQ r Q r Lw C
dado 0Q
0lim 0 tt
tQVP
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 53
3. Interpretación de y rr es la tasa de interés que se recibe entre dos períodos de
tiempo muy cercanos
es la tasa de descuento aplicada POR UNIDAD DE TIEMPO entre dos períodos de tiempo muy cercanos
PARA VER QUE r es la tasa de descuento aplicada POR UNIDAD DE TIEMPO entre dos períodos de tiempo muy cercanos:
1) Note que el descuento de utilidad entre el período 0 y t es:
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 54
2) Por lo que el descuento de utilidad por unidad de tiempo es:
3) Qué pasa si tomamos límite para cuando t0?
Aplicando la regla de L’Hopital:
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 55
4. Condiciones de Primer Orden
donde:es la TASA DE PREFERENCIA
INTERTEMPORAL y mide la impaciencia de la gente por consumir
es la ELASTICIDAD DE SUSTITUCIÓN INTERTEMPORAL, y mide cuánto aumenta el consumo futuro ante un incremento en la tasa de interés (cuánto la gente “responde” a la tasa de interés)
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 56
Tiempo
SENDERO ÓPTIMO DE CONSUMO r =
C(t)
C(0)
CONSUMO CONSTANTE EN EL TIEMPO
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 57
Tiempo
SENDERO ÓPTIMO DE CONSUMO r >
C(t)
C(0)
CONSUMO CRECIENTE EN EL TIEMPO
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 58
Tiempo
SENDERO ÓPTIMO DE CONSUMO r <
C(t)C(0)
CONSUMO DECRECIENTE EN EL TIEMPO
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 59
5. Solución de forma reducida en un caso especial
SUPONIENDO
(Los consumidores tienen un HORIZONTE INFINITO)
La SOLUCIÓN SE CARACTERIZARÍA POR
LA GENTE QUIERE MANTENER EL CONSUMO CONSTANTE EN EL TIEMPO (CASO DE SUAVIZADO PERFECTO DEL CONSUMO)
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 60
LA RESTRICCIÓN PRESUPUESTARIA INTERTEMPORAL
SIN riqueza inicial
ENTONCES
PERMANENTERENTA ][0
dttLwert
PERMANENTERENTA ][
r
tC
PERMANENTERENTA ][ rtC
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 61
6. Condiciones de primer orden en tiempo continuo
• MAXIMIZACIÓN ENTRE DOS PERÍODOS SEPARADOS POR UN TIEMPO x
• sujeto a
= GASTO TOTAL EN LOS DOS PERÍODOS
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 62
Supongamos la siguiente función de utilidad:
con
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 63
CONDICIONES DE PRIMER ORDEN para dos períodos
Usando la función de utilidad
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 64
REESCRIBIENDO:
Restando 1 de ambos lados
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 65
DIVIDIENDO POR x (EL TIEMO ENTRE DOS PERÍODOS) OBTENEMOS EL CRECIMIENTO DEL CONSUMO POR UNIDAD DE TIEMPO
Qué pasa cuando los dos períodos de tiempo son cada vez más cercanos (x0)?
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 66
• Aplicando la regla de L’Hopital
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 67
ENTONCES, a medida que los dos períodos se vuelven más y más cercanos
Qué es lo que queríamos demostrar
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 68
RESUMIENDO
PREGUNTA: Qué caracteriza el sendero de consumo óptimo que resuelve:
sujeto a
1 1/
0 0max ( )
1 1/t t t
tC
e U C dt e dt
dtLwVPQdtCVP tttt
0
00
0
0
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 69
ˆ ( )tt t
t
CC r
C
RESPUESTA:
y
o (1 )t t t t t tQ r Q r Lw C
0lim 0 tt
tQVP
dtLwVPQdtCVP tttt
0
00
0
0
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 70
2. El Modelo de Ramsey-Cass-Koopmans
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 71
Ahora integraremos la familia que elige óptimamente su consumo para un horizonte de tiempo infinito con el Modelo de Solow. El resultado será lo que habitualmente se conoce como MODELO DE CASS-KOOPMANS.
El MODELO DE CASS-KOOPMANS es exactamente como el MODELO DE SOLOW con la diferencia que las familias ya NO se comportan “mecánicamente” sino que ahora eligen el consumo y el ahorro de forma de resolver el siguiente problema:
sujeto a
donde
1. Crecimiento de equilibrio con familias de horizonte infinito
0max ( [ ])te U C t dt
LdttwVPQdttCVP tt ][]0[][0
0
0
0
dttr
t
T
eVP
0)(
0
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 72
Para no complicar demasiado las cosas vamos a simplificar el modelo asumiendo:
1. No hay cambio tecnológico (i.e. a=0 en el Modelo de Solow)
2. No hay crecimiento poblacional (i.e. n=0 en el Modelo de Solow)
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 73
QUÉ PODEMOS MANTENER DEL MODELO DE SOLOW
FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN
FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN CON RENDIMIENTOS CONSTANTES
E(1)
E(2)
ECUACIÓN DE ACUMULACIÓN DEL CAPITAL
E(3)
1. Tecnología y el Mercado de Capital
)('),(
kfK
LKFPMK
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 74
EQUILIBRIO DEL MERCADO DE CAPITAL
E(4)
E(5) ][])[('][ trtkftPMK
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 75
LO QUE NO PODEMOS MANTENER ES:
EN SU LUGAR:
E(6)
E(7) RESTRICCIÓN PRESUPUESTARIA INTERTEMPORAL
donde c[t] es CONSUMO por PERSONA
2. Comportamiento de las familias
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 76
INTENTAREMOS CARACTERIZAR EL EQUILIBRIO DE ESTA ECONOMÍA EN TÉRMINOS DE LA EVOLUCIÓN DE c y k.
REDUCIREMOS las ecuaciones anteriores a un SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES EN DOS DIMENSIONES donde:
CAMBIO en el CONSUMO c=FUNCIÓN DE k y cCAMBIO en el CAPITAL k=FUNCIÓN DE k y c
(E6) y (E5) implican
E(8)
3. Sistema de equilibrio Dinámico
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 77
(E3) y (E4) implican
Recuerden que NO hay crecimiento poblacional, por lo que:
E(9)
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 78
ENTONCES, NOS QUEDAN DOS ECUACIONES [E(8) y E(9)]:
y
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 79
Estas ecuaciones pueden ser analizadas en un DIAGRAMA DE FASES
Comenzamos con la ecuación de acumulación de capital
PRIMERO: Encontrar la ISOCLINE, los puntos en los que las combinaciones (c, k) son tales que
INTERPRETACIÓN: el capital por trabajador NO crece si la economía consume todo el producto neto de la depreciación del capital. En ese caso, la inversión es justo la necesaria para cubrir la depreciación del capital.
2. Crecimiento de equilibrio y optimalidad
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 80
k
c k-ISOCLINE: EL CAPITAL ESTÁ CONSTANTE
k-ISOCLINE
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 81
k
c
k-ISOCLINE: EL CAPITAL ESTÁ CONSTANE
CAMBIOS EN k EN EL DIAGRAMA DE FASES
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 82
Continuamos con la ecuación de consumo óptimo
PRIMERO: Encontrar la ISOCLINE, es decir, las combinaciones (c, k) tales que
o
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 83
k
c c-ISOCLINE: EL CONSUMO PERMANECE CONSTANTE
k*Es el k tal que f’(k)=r+δ
c-ISOCLINE
0
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 84
k
c
CAMBIOS EN c en el DIAGRAMA DE FASES
0 k*Es el k tal que f’(k)=r+δ
c-ISOCLINE: EL CONSUMO PERMANECE CONSTANTE
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 85
k
c
CAMBIOS EN c en el DIAGRAMA DE FASES
0 k*Es el k tal que f’(k)=r+δ
c-ISOCLINE: EL CONSUMO PERMANECE CONSTANTE
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 86
k
c
k-ISOCLINE: CAPITAL CONSTANTE
c-ISOCLINE: CONSUMO CONSTANTE
k*
JUNTANTO LOS CAMBIOS en k y c
0
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 87
k
c
k-ISOCLINE: CAPITAL CONSTANTE
c-ISOCLINE: CONSUMO CONSTANTE
k*0
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 88
k
c
k-ISOCLINE: CAPITAL CONSTANTE
c-ISOCLINE: CONSUMO CONSTANTE
k*0
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 89
Todas esas trayectorias satisfacen (por construcción):
-Maximización del consumidor período a período-Equilibrio en el mercado de capital
Pero NO necesariamente satisfacen restricciones como:
-Stock de capital no negativo k[t]>=0-Restricción Presupuestaria Intertemporal con IGUALDAD
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 90
k
c
k-ISOCLINE: CAPITAL CONSTANTE
c-ISOCLINE: CONSUMO CONSTANTE
k*k(0)
TRAYECTORIAS que violan la condición de Stock de capital no negativo (se consume demasiado en el comienzo)
0
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 91
k
c
k-ISOCLINE: CAPITAL CONSTANTE
c-ISOCLINE: CONSUMO CONSTANTE
k*k(0)
TRAYECTORIAS que no satisfacen la restricción presupuestaria con igualdad (se consume demasiado poco en el comienzo)
0
k_barra
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 92
Q(t)=K(t) o q(t)=k(t)
(1) Riqueza=Capital
(2) Restricción presupuestaria intertemporal con igualdad
0limlim 00 tt
ttt
tkVPqVP
t dr
t eVP 00
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 93
k
c
f(k)-k
c-ISOCLINE: CONSUMO CONSTANTE
k*k(0)
TRAYECTORIAS QUE NO SATISFACEN LA RESTRICCIÓN PRESUPUESTARIA CON IGUALDAD
f’(k)-=r=0
TASA DE INTERÉS NEGATIVAINTERÉS POSITIVO
k_barra
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 94
tiempo tTASA DE INTERÉS NEGATIVA
)_(*limlim 00 barrakVPqVP tt
ttt
t dr
t eVP 00
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 95
k
cc-ISOCLINE: CONSUMO CONSTANTE
k*k(0)
TRAYECTORIAS QUE NO SATISFACEN LA RESTRICCIÓN PRESUPUESTARIA CON IGUALDAD
0
k_barra
NO SE ESTÁ GASTANDO TODA LA RENA PERMANENTE!!!!!!!
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 96
k
c
k-ISOCLINE: CAPITAL CONSTANTE
c-ISOCLINE: CONSUMO CONSTANTE
k*k(0)
TRAYECTORIA DE EQUILIBRIO (“PUNTO DE SILLA”)
0
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 97
( )t t t tk f k c k
( )t t t t t tk r k Lw c k
t t t t tk r k Lw c
LA TRAYECTORIA DE PUNTO DE SIILLA (SADDLE PATH) SATISFACE LA RESTRICCIÓN PRESUPUESTARIA
Equilibrio del mercado de capital
Renta por trabajador=Renta laboral + Renta de Capital:
Por lo tanto:
t t t t tq r q Lw c t tk q
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 98
Además:
Como:
Dado que la tasa de interés>0 para k<=k*
0limlimlim *000
kVPkVPqVP t
ttt
ttt
t
0limlim 00
t dr
tt
teVP
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 99
OPTIMALIDAD
-- Qué debería hacer el Planificador Social?
-- Planificador Social: dictador benevolente que elige la asignación de recursos que maximiza el bienestar de las Familias sujeto a los recursos disponibles
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 100
Tasa Marginal de Sustitución=Tasa Marginal de Transformación (TMS=TMT)
Restricción de Recursos
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 101
k
c
k-ISOCLINE: CAPITAL CONSTANTE
c-ISOCLINE: CONSUMO CONSTANTE
k*0
UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 102
k
c
k-ISOCLINE: CAPITAL CONSTANTE
c-ISOCLINE: CONSUMO CONSTANTE
k*k(0)
TRAYECTORIA ÓPTIMA (“PUNTO DE SILLA”)
0
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