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Universidad Nacional Autónoma de México
FACULTAD DE QUÍMICA
SECRETARÍA DE EXTENSIÓN ACADÉMICA
COORDINACIÓN DE ACTUALIZACIÓN DOCENTE
Curso: Conceptos matemáticos básicos para un mejor acercamiento
al logro de las competencias de los programas de matemáticas
del bachillerato de la UAEM
Las TIC’s I co o herra ie tas de apoyo para
la construcción de conceptos Matemáticos
Escuché… y olvidé Vi… y recordé
Hice… y aprendí Adagio Chino
Fechas: 8, 9, 15, 16 y 22 de abril, 2016
Instructor:
Dr. Salvador Moreno Guzmán
Curso: Conceptos matemáticos básicos para un mejor acercamiento al logro
de las competencias de los programas de matemáticas del bachillerato de la
UAEM
Las TIC’s I como herramientas de apoyo para
la construcción de conceptos Matemáticos
Escuché… y olvidé Vi… y recordé
Hice… y aprendí Adagio Chino
Objetivo del curso apoyado con el programa GeoGebra
Al finalizar el curso los profesores conocerán las herramientas que proporcionan las
diferentes interfaces (Vistas) del programa GeoGebra como: la Algebraica, Gráfica, Cálculo
Simbólico y la Hoja de Cálculo, el propósito es que adquieran las habilidades y destrezas
que les permitan lograr un mejor manejo computacional en diferentes campos de las
matemáticas como la aritmética, álgebra, geometría, trigonometría, cálculo diferencial e
integral, y que con el apoyo de estos recursos logren diseños didácticos más significativos en
beneficio de los estudiantes.
¿Qué es GeoGebra?
GeoGebra es un software de matemáticas dinámicas para todos los niveles educativos que reúne geometría, álgebra, hoja de cálculo, gráficos, estadística y cálculo en un solo programa fácil de usar. GeoGebra es también una comunidad en rápida expansión, con millones de usuarios en casi todos los países. GeoGebra se ha convertido en el proveedor líder de software de matemática dinámica, apoyando la educación en ciencias, tecnología, ingeniería y matemáticas (STEM: Science Technology Engineering & Mathematics) y la innovación en la enseñanza y el aprendizaje en todo el mundo.
Datos interesantes
Conectamos geometría, álgebra y hoja de cálculo de forma completamente dinámica
Interfaz muy fácil de usar, a pesar de contar con poderosas herramientas
Herramienta de autoría para crear materiales de aprendizaje interactivos como
páginas web
Disponible en varios idiomas, para nuestros millones de usuarios en todo el mundo
Software de código abierto disponible gratuitamente para usos no comerciales
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ate áti as del a hillerato de la UAEM
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Los datos anteriores se tomaron de la página de GeoGebra cuya dirección es
www.geogebra.org y de la cual se puede bajar el programa para su instalación.
El creador de este software Markus Hohenwarter comenzó su proyecto en 2001 y
actualmente cuenta con un amplio equipo de colaboradores que día a día lo enriquecen más.
La versión 5 cuenta con una interfaz para la tercera dimensión.
Recorrido en el programa GeoGebra
Al abrir el programa GeoGebra aparece la siguiente página mostrando lo siguiente:
1. La barra de herramientas.
2. Los botones que abren los menús.
3. Los botones para deshacer y rehacer.
4. Los botones para abrir la ayuda y las preferencias que proporciona la interfaz.
Figura 1
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5. Siempre que se abre un archivo nuevo en el programa, aparece la ventana de apariencias
que permite abrir cualquiera de las seis vistas.
6. En la barra de entrada es donde se captura la información que se va a operar.
7. En la Vista Algebraica se muestran las expresiones capturadas en la barra de entrada.
8. En la Vista Gráfica se observan las expresiones mostradas en la Vista Algebraica.
9. Se muestra el botón para solicitar la ayuda de comandos.
En seguida se presentan las imágenes donde se muestran las diferentes Vistas del
programa GeoGebra.
En la vista gráfica es donde se
construyen todos los objetos geométricos
como los puntos, líneas, circunferencias,
polígonos, curvas cónicas, gráficas de
funciones de sus derivadas o lugares
geométricos, ya sea en el sistema cartesiano,
isométrico o polar.
También se construyen o se muestran
los gráficos referentes a la probabilidad y
estadística.
Todo esto se puede manipular en
forma dinámica.
Figura 2
Figura 3
La Hoja de Cálculo es parecida a la
de Excel donde la ventaja en esta interfaz es
que se pueden articular las demás Vistas en
forma dinámica.
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No queremos pasar por desapercibido uno de los recursos que consideramos más
importante para el aprendizaje de la aritmética y el álgebra por parte del estudiante y que
proporciona el programa GeoGebra en la Vista CAS por lo que se harán una serie de
actividades para conocer la herramientas con que cuenta y adquirir las habilidades y
destrezas en su manejo.
Consideramos que los conocimientos y habilidades adquiridos por los profesores se
reflejarán en la elaboración de mejores materiales que impactarán en el proceso enseñanza-
aprendizaje de los estudiantes.
En esta Vista se pueden manipular en forma
simbólica y diseñar secuencias didácticas para
que los estudiantes lleven un seguimiento paso a
paso para obtener los resultados de las
operaciones realizadas en diferentes campos
como la aritmética, la geometría, el álgebra a
diferentes niveles, elemental, superior o de
facultad.
En esta Vista se desarrollarán, más adelante,
una serie de actividades en la cual podríamos
desarrollar secuencias didácticas dirigidas a los
estudiantes.
Figura 4
La vista 3D es una interfaz que facilita el
desarrollo de temas que en el pizarrón son
complicados de ilustrar como el álgebra vectorial
o la geometría analítica en tercera dimensión.
Figura 5
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En la Vista Probabilidad se puede observar que
el programa cuenta con las principales
distribuciones de probabilidad y con las de
estadística para el desarrollo de temas como
intervalos de confianza y las pruebas de
hipótesis.
Las gráficas obtenidas se pueden pasar a la
Vista Gráfica.
Estas distribuciones también se pueden construir
directamente desde la Vista Gráfica las cuales se
también se pueden articular con otros objetos
como botones, deslizadores o la Hoja de
Cálculo.
Figura 6
Uno de los botones que más se va a utilizar es el
primero a la izquierda cuya etiqueta es Elige y Mueve.
Al dar clic en este botón permite liberar las
herramientas que se estén utilizando y con ello
se puede elegir y mover los objetos que han sido
construidos en la Vista Gráfica.
Figura 7
Al abrir la tercera opción de la barra de menús
permite desplegar las diferentes Vistas, el
teclado virtual, el protocolo de construcción el
recálculo de todos los objetos entre otras
acciones.
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Figura 8
En el cuarto botón que abre el menú de
Opciones poco se va a utilizar, quizá solo para
cambiar el tamaño de letra de las diferentes
Vistas.
El propósito de mostrar los comandos que
despliega este menú es para tener en cuenta
aquellos que nos podrían ser de utilidad para los
propósitos del curso.
Figura 9
Actividades en la vista CAS
Aritmética
Abre el programa GeoGebra y da clic en el
menú Vista y después en Cálculo Simbólico
(CAS) y desarrolla las siguientes actividades.
Cierra las Vistas Algebraica y Gráfica dando clic
en el botón derecho que se muestra con una x (ver figura 10)
Figura 10
Otra forma es dar clic en el pequeño triángulo
que se observa a la mitad derecha de la imagen
del programa y otro clic en CAS
Figura 11
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En la primera línea captura la siguiente expresión
Al terminar de capturar la expresión, si das clic
en el tercer botón se Conserva la entrada, es
decir, escribe en formato algebraico la misma
expresión.
Si das clic en el segundo botón Valor numérico
se obtiene el resultado de la operación en forma
decimal, pero si das clic en el primer botón
Evalúa da una evaluación exacta.
En la imagen de la figura 12 se observan los
resultados de estos formatos.
Figura 12
Para borrar uno o más renglones selecciónalos y da clic en el último botón que tiene
parecido al cesto de la basura o con la tecla Suprimir.
Un recurso interesante que se debería de tomar en cuenta en el diseño de secuencias
didácticas es que en la vista CAS se pueden obtener resultados parciales de una operación
donde se involucren varias expresiones algebraicas.
Vamos a simplificar una expresión aritmética pero, antes borramos las expresiones de las
líneas anteriores y capturamos lo siguiente: √
Para elevar una expresión a cierta potencia o
extraer la raíz cuadrada, se puede hacer
desde el teclado virtual pero lo más general es
escribirla a través del acento circunflejo “^” que también viene en el teclado virtual. A
veces conviene insertarlo con el código ASCII
Alt+94 lo cual nos proporciona el símbolo “^”, que a veces es más rápido de obtenerlo.
Figura 13
El teclado virtual despliega más símbolos
dando clic en los botones que se indican en la
figura 13.
Todos estos símbolos pueden insertarse en
los documentos de Word directamente desde
este teclado.
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Figura 14
En esta imagen se muestran los resultados
posibles de acuerdo a la acción de los
primeros tres botones.
En la primera línea se tiene la escritura en
formato matemático.
En la segunda el resultado aproximado.
En la tercera la representación la evaluación
exacta.
Figura 15
Pero los resultados parciales se pueden obtener tanto en la aritmética como en el álgebra,
cuestión que es de indudable valor para los estudiantes que pueden hacer un seguimiento
de los desarrollos algorítmicos.
Del ejemplo anterior capturamos la expresión y damos clic en el tercer botón.
1) 4(5-3^2)+√104-12
obtenemos √
Luego damos clic dentro en la segunda parte de la primera línea y regresamos a la primera
para dar otro clic en la expresión que se muestra abajo √ , esto permite copiar la primera expresión en el segundo renglón sin mayor esfuerzo. Es importante tener
en cuenta este proceso porque lo vamos a repetir en cada renglón hasta obtener el resultado
final del ejercicio.
De esta manera podemos determinar los resultados parciales, como a continuación se
desarrolla una de varias posibilidades que se puede seguir.
Seleccionamos 3^2 de la expresión 4(5-3^2)+√140-12 y damos clic en el primer botón, se
obtiene 4(5-9)+√140-12, luego copiamos esta expresión al siguiente renglón.
Ahora seleccionamos 4 (5 - 9) + sqrt(140) – 12 luego damos clic en el primer botón, se
obtiene 4 (5 - 9) + 2sqrt(35) – 12, copiamos esta expresión al siguiente renglón de la forma
antes mencionada.
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Seleccionamos 4 (5 - 9) + 2sqrt(35) – 12 y damos
clic en el primer botón
Se obtiene 4(-4) + 2sqrt(35) – 12 copiamos la
expresión.
Seleccionamos 4(-4) + 2sqrt(35) – 12
Se obtiene -16 + 2sqrt(35) – 12
Se obtiene 2sqrt(35) – 28 copiamos la expresión y
damos Enter para obtener finalmente el resultado
como se muestra en renglón 6 √
Esto es importante para el estudiante porque le
permite comparar lo realizado en lápiz y papel del
desarrollo procesal con el desarrollado en la vista
CAS.
Figura 16
Como siguiente ejercicio vamos a obtener el máximo común divisor (MCD) de tres números
escribimos en la primera línea mc y antes de terminar la palabra se observa que aparece un
menú de opciones para seleccionar, para nuestro caso nuestro caso MCD[ <Lista de números> ]
Introducimos la lista de números
MCD[{12,18,24}] damos Enter y da por resultado el
número seis, ver figuras 17 y 18.
Es importante tener en cuenta que las listas de
objetos o números deben estar entre paréntesis de
llaves.
Figura 17
GeoGebra cuenta con múltiples comandos para el análisis de números.
La figura 18 muestra lo siguiente:
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El máximo común divisor de los números {12,18,24} El mínimo común múltiplo de los números {12,18,24} Los factores primos del número 1836.
Si al número 1836 se factoriza dando
clic en el cuarto botón, se obtiene 22*33*17.
Se puede solicitar un número
determinado de dígitos de un número
irracional como pueden ser veinte dígitos del
número π. Se puede preguntar por el número
primo anterior a uno dado o por el siguiente o
si este es primo o no, así como los factores
los números primos de Fermat
Figura 18
Número de Fermat
Un número de Fermat, nombrado en honor a Pierre de Fermat, quien fue el que formuló e
investigó estos números, es un número natural de la forma:
donde n es natural. De particular interés son los números primos de Fermat.
Pierre de Fermat conjeturó que todos los números naturales de la forma
con n natural eran números primos (después de todo, los cinco primeros términos,
3 (n=0), 5 (n=1), 17 (n=2), 257 (n=3) y 65537 (n=4) lo son), pero Leonhard Euler probó que
no era así en 1732. En efecto, al tomar n=5 se obtiene un número compuesto:
4294967297 es el número más pequeño que, siendo número de Fermat, no es primo.
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Actualmente, sólo se conocen cinco números primos de Fermat, que son los que ya se
conocían en tiempos del propio Fermat, y, a la fecha de enero de 2009 sólo se conoce la
factorización completa de los doce primeros números de Fermat (desde n=0 hasta n=11).
Estas son algunas de las conjeturas que existen hoy día sobre estos números:
1. ¿Sólo hay cinco números primos de Fermat (3, 5, 17, 257 y 65537)?
2. ¿Existen infinitos primos de Fermat?
Tomado de Wikipedia. Se recomienda la lectura completa de este artículo.
Ejercicios
Simplifica las siguientes expresiones
a) – 8 – 3 + 2 = b) – 5 – (4 – 10) + 3(– 7 – 2) =
c) 2 + 4(3 – 7) = d) 7(–3 + 5) – 4(12 –15) + 2(4 – 3) =
e) 32 + 53 = f) 4(32 – 53) + 2(-5)2 =
Simplifica paso a paso las siguientes expresiones:
√
De los siguientes ejercicios determina:
El máximo común divisor de los números {6,18,48}.
El mínimo común múltiplo de los números {6,18,48}.
Los factores primos del número 1836.
Si es que 12353 es número primo.
Los números primos, el anterior y el posterior a 12353.
Obtén el número √ hasta con 30 decimales.
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Álgebra
Operaciones con polinomios
Simplifica la siguiente expresión (x+3)(x-4)+3(x-1)(x+2)
Se hace la captura en el primer renglón y se da
clic en el tercer botón para conservar la entrada
la cual queda así .
Posicionamos el cursor del mouse en el segundo
renglón y damos clic en la segunda línea del
primer renglón para copiar la expresión y con el
primer botón simplificamos, quedando
Realiza la siguiente división
Se captura de la siguiente forma
(8x^6-16x^5+6x^4+24x^2+18x-36)/(4x^3+3x)
Se da clic en el tercer botón para verificar que
está bien escrita.
Figura 19
En el siguiente renglón escribimos la palabra div… y nos presenta el menú de opciones,
seleccionamos División[ <Polinomio dividendo>, <Polinomio divisor> ] e introducimos en
el primer campo el polinomio dividendo y en el segundo el divisor y damos clic en el primer
botón para obtener { } En el primer campo se muestra el cociente y en el segundo el residuo
Se recomienda cotejar el resultado con el desarrollo en papel y lápiz.
Realiza la siguiente división
Siguiendo los pasos del proceso anterior capturamos División[a^3-b^3, a-b] y damos
clic en el primer botón resultando { } Desarrollar el siguiente binomio
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Capturamos (1/2x-3)^3 y damos clic en el quinto botón (Desarrolla) con lo que se
obtiene
Factoriza el polinomio anterior
Se captura: 1 / 8 x³ - 9 / 4 x² + 27 / 2 x – 27, se clic en el cuarto botón y se obtiene
Ejercicios
Sean p:=x3+2x^2-x y q:=x2-2x+5
Determinar
a) p+q b) p-q c) p*q d) p/q División[ p, q ] e) p2
Solución de ecuaciones
Resuelve la siguiente ecuación ( ) Se captura la expresión 3x+3/4=5(3x-1/2),
Se da clic en el séptimo botón (Resuelve) y se obtiene el resultado
La solución del ejercicio se puede obtener paso
por paso siguiendo las indicaciones que se
muestran en la segunda columna.
Nota importante Las expresiones de cada renglón se pueden
manipular con el símbolo # acompañado del
número del renglón. Haciendo el seguimiento del
ejercicio anterior se tiene:
Multiplicamos la expresión del renglón 1 (#1) por
4 y damos clic en el primer botón.
A la expresión de la línea 2 que se escribe con
(#2) le restamos 3 y damos Enter.
Figura 20
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A #3 le restamos 60x y damos Enter.
Finalmente a #4 lo dividimos entre - 48 y obtenemos el resultado . Resuelve la siguiente ecuación
x2-3x-10=0
1. Capturamos la expresión y damos clic
en el séptimo botón (Resuelve)
2. Se obtiene {x= -2, x= 5} 3. El comando Resuelve que se ejecuta
con el primer botón funciona siempre que la
ecuación polinomial esté en términos de x, si
la expresión cuenta con otras letras no
pregunta respecto a que variable se tiene que
resolver y no proporciona la solución.
4. El comando Soluciones[ <Ecuación>,
<Variable> ] es importante tenerlo en cuenta
porque si se tiene diferentes variables en una
ecuación se puede indicar la variable que se
va a despejar.
5. El botón Resuelve solo proporciona
soluciones reales por lo que si se requieren
las demás soluciones se utiliza el comando
SolucionesC[<Ecuación>] ejecuta la siguiente
instrucción
SolucionesC[2x^3+3x^2-5x+3=0]
Figura 21
Cuando se tiene que resolver una ecuación con varias variables o parámetros el comando a
utilizar es Soluciones[ <Ecuación>, <Variable> ] o Resuelve[ <Ecuación>, <Variable> ] y
dar clic en el primer botón (Evalúa),
La diferencia está en que el comando Soluciones no muestra la letra que se despeja y el
comando Resuelve sí presenta la igualdad de la letra que se despeja con la igualdad de su
término.
Resuelve la siguiente ecuación
ax2+bx+c=0
Resuelve[a*x^2+b*x+c=0, a]
Se debe escribir el símbolo de la multiplicación entre el coeficiente y la variable
Soluciones[a*x^2+b*x+c=0, a]
Ver la imagen de la figura 22.
Resuelve la siguiente ecuación con respecto a t.
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Resuelve[ v=2v_0*t+g*t^2, t] da clic en botón Evalúa. Soluciones[ v=2v_0*t+g*t^2, t] y da clic en botón Evalúa .
La captura del texto y las soluciones se muestran en la imagen de la figura 21.
Figura 21
Ejercicios
Resolver las siguientes ecuaciones
a)
b)
Resolver para x y para m
Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas
a)
b)
c)
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Solución de sistemas de ecuaciones
Sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones {
Captura en la primera línea la ecuación
5x + 2y = 3, en la segunda 2x + 3y = -1.
Presiona la tecla Mayúsculas y con el
Mouse selecciona las líneas 1 y 2, deja de
presionar la tecla y da clic en el botón siete
para resolver el sistema de ecuaciones.
La solución se muestra en el renglón 3 con
el siguiente formato {{x=1, y=-1}}.
Hay otras formas de resolver los sistemas
de ecuaciones, pero, se considera que
esta es la más sencilla.
Vamos ahora a desplegar la vista gráfica
para observar el punto solución del
sistema.
Figura 22
En la barra de Menús da clic en Vista y luego en Vista Gráfica, en seguida ajusta la ventana
para que puedas observar las líneas rectas correspondientes a las ecuaciones y su punto
solución.
Ahora da clic en el pequeño círculo que se encuentra abajo del número 1 de la primera línea,
observa la Vista Gráfica, haz lo mismo con el de la línea dos. De esta forma se tiene la
gráfica del sistema de ecuaciones, pero también, observa que el programa asigna los
símbolos “a:=” a la expresión 1 y lo mismo “b:=” a la expresión del segundo renglón,
quedando de la siguiente forma:
a:=5x + 2y = 3
b:=2x + 3y = -1
Estas asignaciones nos permiten realizar operaciones de las expresiones manipulando
únicamente los símbolos a y b.
Por ejemplo, resolver el sistema por el método de reducción.
Realizamos las siguientes operaciones:
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a) En un nuevo renglón introducimos 2a -5b y damos clic en el pequeño círculo obteniendo el
siguiente renglón, c:=2a - 5b y abajo se observa -11y =11
b) Dividimos c entre -11 y damos clic en el primer botón para evaluar, obteniendo y= -1
c) Copiamos la primera expresión en el siguiente renglón y sustituimos y el valor de -1.
d) Resolvemos esta última ecuación dando clic en el botón que está ubicado en la posición
siete “Resuelve” lo cual determina x= 1 y con ello la solución del sistema.
Otra forma de resolver el sistema es con el comando resuelve e introduciendo las
ecuaciones en forma de lista.
La manera de denotar una lista de objetos como ya se dijo antes, es introduciendo las
expresiones entre paréntesis de llaves como se muestra en seguida.
Resuelve[{5x + 2y = 3, 2x + 3y = -1}, {x, y}]
Pulsando el primer botón se tiene la solución, ver la figura 22.
Ahora para determinar el punto solución, da clic en Vista Gráfica y observa que aparecen los
botones que despliegan las herramientas con los que se puede trabajar en ella. Pulsa el
segundo botón y selecciona la herramienta intersección, después selecciona una por una las
rectas que representan el sistema a resolver y observa que aparece el punto solución. Para
ver la etiqueta y las coordenadas del punto selecciónalo y da clic en el pequeño triángulo que
se encuentra a la izquierda de expresión “Vista Gráfica” y da clic a la derecha de la
pequeña letra A luego presiona en “Nombre y valor” ver figura 23.
Figura 23
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Sistemas no lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas
Resuelve el siguiente sistema {
Realizando los pasos del ejemplo anterior la imagen de tu computadora será similar a la
figura 24.
Figura 24
Resuelve y compara los siguientes sistemas de ecuaciones con las imágenes de las figuras
25 y 26.
a) { b) {
Figura 25 Figura 26
Ejercicios
Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones
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a) { b) {
c) {
Suma, resta, multiplicación, división composición e inversa de funciones
Sean y
Determinar
a) (f+g)(x) b) (f-g)(x) c) (f*g)(x) d) (f/g)(x)
e) f(3) f) f(a) g) g(x+h) h) f(g(x))
i) g(f(x)) j) f-1(x) k) g-1(x)
Nota- El exponente a la -1 en la función determina su reciproco. Para obtener la inversa de la
función es con el comando Inversa[ <Función> ].
Los resultados de estas operaciones se pueden ver en las figuras 27 y 28.
Figura 27 Figura 28
Las gráficas de las funciones resultantes se pueden observar en la vista gráfica dando clic en
el pequeño círculo de la segunda línea de cada renglón.
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Desigualdades
Resuelve la siguiente desigualdad
x² - 2x - 15 ≤ 0
Captura la expresión y da clic en el séptimo botón (Resuelve).
La respuesta que da el programa es la siguiente {-3 ≤ x ≤ 0}.
Si muestras la gráfica, la primera línea cambia de aspecto mostrando
lista1:=Resuelve[x² - 2x - 15 ≤ 0] y la segunda lista 1: {-3 ≤ x ≤ 5}. Ver figura 29.
Figura 29
Ejercicios
Resuelve la siguientes desigualdades una de valor absoluto y la otra racional.
a) | | b)
En la primera desigualdad captura la expresión abs(5-2x)<3 y da clic en el botón Resuelve.
Realiza los mismos pasos para la desigualdad (x-2)/(1-2x)<1.
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Figura 30 Figura 31
Esto fue un breve recorrido por la vista CAS (Cálculo Simbólico Algebraico).
Vista Gráfica
Aun cuando ya se empezó a utilizar la Vista Gráfica, se va a continuar su exploración con lo
más elemental para lograr una mayor destreza en el uso de sus comandos, lo cual nos
permitirá llevar a cabo una mejor elaboración de materiales didácticos enfocados al aula, los
diseños de estos materiales sólo estarían limitados por la dedicación, la imaginación, la
creatividad y el conocimiento de la disciplina.
Gráfica de un punto Se puede graficar un punto de dos formas
Método 1. A través de la barra de entrada
Los puntos deben designarse con una letra mayúscula seguida de dos puntos o el símbolo
igual y sus coordenadas, por ejemplo: captura en la barra de entrada A:(3,5) y da Enter, o
A=(3,5) y da Enter, el resultado es el mismo.
Para obtener la abscisa de un punto por ejemplo, el punto A=(3,5) se introduce en la barra
de entrada x minúscula seguida de A entre paréntesis x(A), esto proporciona en la Vista
Algebraica un parámetro que cambia de valor al mover el punto, para el valor de la ordenada
se hace algo similar y(A).
Observa que en la parte de la izquierda de la Vista Algebraica se lleva un historial de los
objetos construidos, los cuales podemos ocultarlos o mostrarlos dando clic en el pequeño
círculo que está situado a su izquierda.
Otra forma de construir los puntos es dar clic en el segundo botón de la Barra de Menús y
después otro clic en la vista gráfica.
¡Importante! Para liberar los botones de las herramientas se debe de dar clic en el primer botón que al
pasar el cursor presenta la etiqueta Elige y Mueve. Otra forma es presionar la tecla Esc.
Funciones
Para construir funciones se puede capturar sólo la parte derecha de la igualdad que esté
escrita en la variable x y el programa la etiqueta con el símbolo f(x) y si se captura una
segunda expresión el programa la etiqueta con el símbolo g(x).
Por ejemplo, de la expresión f(x) = 2x+1 captura únicamente 2x+1 y da Enter, se obtiene f(x)
= 2x+1 y su gráfica. Si después de la función g(x) = x2+x, se captura x2+x el programa
escribe g(x) = x2+x. Lo más recomendable es capturar la relación completa con la letra que
uno le indique al programa.
Ahora para optimizar el tiempo y la explicación vamos a articular las diferentes vistas que
nos proporciona el programa.
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Iniciamos con un nuevo archivo abriendo la ventana Archivo de la barra de herramientas y
dando clic en Nuevo el programa abre una ventana de dialogo preguntando si deseamos
guardar lo anterior, se acepta o no, según sea el caso.
Gráficas de una función, su derivada y la articulación con la tabla de valores
En las actividades que siguen se va a realizar la gráfica de una función en la Vista Gráfica y
en la Hoja de Cálculo se efectuarán las actividades necesarias para construir una tabla de
valores que contengan las coordenadas de los puntos, los valores de la derivada y su
conversión al ángulo de la pendiente de la recta tangente.
Para ello se realizarán las siguientes actividades:
Vista algebraica
Abre un nuevo archivo
En la barra de entrada introduce la función f(x)=-x2+4x
Para obtener la derivada de f(x), en la barra de entrada captura la palabra Derivada y
observa que aparecen varios comandos a elegir como:
Derivada[ <Función> ], Derivada[ <Curva> ], Derivada[ <Función>, <Variable> ],
Derivada[ <Curva>, <Número (orden de la derivada)> ], etc.
Elige la primera y en <Función> captura f y da enter.
Vista Hoja de Cálculo
En Vista damos clic en la segunda opción Hoja de Cálculo
El programa nos presenta una hoja similar a la de Excel que se manipula de igual
forma.
La información se puede capturar de diferentes formas, desde la barra de entrada,
dando clic en fx lo cual abre una barra de entrada que indica la celda que estamos
activando y otra más grande para capturar la información que se va a manipular.
Si la información se escribe entre comillas el programa lo considera texto y sino como
las operaciones a realizar.
Vamos a desarrollar una práctica para adquirir habilidad en el manejo de la Hoja de Cálculo
Actividades para construir la tabla de valores
En la columna A vamos a introducir una sucesión de valores por ejemplo, en A1 el
número 1 y en la celda A2 el número 2.
Selecciona con el teclado o con el mouse las dos celdas y arrastra el Mouse hasta la
fila 10.
Observa que se muestra una sucesión de 10 números que van de uno en uno.
Borra los números y haz algo similar pon el número 1 en la primera celda y el 3 en A2
selecciona las dos primeras celdas y arrastra hasta la línea que desees y suelta el
mouse.
Te darás cuenta que puedes construir sucesiones de números de acuerdo a tus
requerimientos.
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Practica otras opciones por ejemplo empezar con número negativo.
Ahora vamos a construir un ambiente donde se articulen las vistas: algebraica, gráfica, la
tabla de valores de una función y su deriva, el ángulo de sus pendientes y la hoja de cálculo.
Actividades Abrir un archivo nuevo
Mostrar las vistas: algebraica, gráfica y la hoja de cálculo
En la barra de entrada capturar la función f(x) = -x2+4x y dar Enter. Ajustamos la vista gráfica de la función alejándola o acercándola con el Scroll (la ruedita que
está entre los dos botones del mouse) y centramos al presionar una de las teclas
mayúsculas o Ctrl y arrastrando el mouse.
En la tecla de entrada escribimos Derivada[f] y damos Enter. En la hoja de cálculo
En la primera línea escribimos entre comillas para que el programa lo tome como texto
En A1: “x”, en B1: “f(x)”, en C1: “f´(x)” y en D1: θ.
Construir la lista de números de la primera columna.
Escribimos en la celda B2: f(A2) y arrastramos el mouse hasta B11.
En C2: f´(A2) podemos obtener el acento que indica la derivada de f en el teclado virtual.
Escribimos en D2: arctan(f’(C2))
Para que los valores de θ aparezcan en grados damos clic con el botón derecho en la Vista
Gráfica o en Opciones de Hoja de Cálculo y en el último botón “Preferencias-Avanzado”, y
damos clic en Ángulos en grados como resultado de las trigonométricas inversas.
Construcción de la tabla de valores Selecciona las dos primeras columnas y con el botón derecho del mouse da clic para abrir la
ventana de dialogo y nuevamente da clic en Crea y luego en Tabla de la misma forma crea
la lista de puntos.
Borra la tabla y selecciona las columnas a tu gusto y crea la tabla de valores.
Da clic en la tabla y observa que se presentan las opciones para dar formato y color al texto,
color al fondo y a los puntos de la gráfica.
Te debe quedar algo parecido a la siguiente figura.
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Figura 32
Deslizadores
Se pueden resaltar en las diferentes vistas los puntos de interés como: los que contienen las
raíces, los máximos o mínimos locales o globales las concavidades etc. Esto va a depender
de tu diseño didáctico para lograr una mejor compresión de los conceptos matemáticos en
juego. Ver figura. 33
Se puede crear un deslizador de diferentes
formas, un de ellas es, abrir el menú del
penúltimo botón de la barra de herramientas
y dar clic en deslizador, luego llevar el cursor
a la Vista Gráfica y dar clic en el lugar que
nos parezca apropiado. Esto hace aparecer
una ventana de dialogo para indicar el
nombre vamos a dejarlo con el nombre que
aparece n le damos clic en Entero y como
valor Mín: -5 y como Máx: 5 y finalmente en
Aplicar Figura 33
Como se puedes observar el parámetro que llamamos n puede variar en unidades de
ángulo, se puede poner en forma vertical u horizontal y se puede ajustar la velocidad para
animarlo y también se le puede asignar la propiedad para que sea aleatorio el valor que
aparezca.
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Figura 34
Para controlar el valor inicial de la tabla desde el deslizador, seleccionamos la celda A2 y
escribimos n damos Enter y en la celda A3 escribimos A2+1 y damos Enter.
Desplaza el deslizador y observa el cambio de los valores en la Vista Gráfica y en la tabla.
Coordenadas polares
Gráfica de puntos y ecuaciones en coordenadas polares
Abrimos el menú de la Vista Gráfica dando clic al botón derecho del mouse y otro en la
última opción que corresponde a Vista Gráfica (ver figura ), esto abre la ventana de
preferencias (ver figura ) y damos clics en Cuadrícula, Cuadrícula visible y en Tipo de cuadrícula en la opción Polar.
Figura 35 Figura 36
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Para graficar punto y lugares geométricos, en la barra de entrada se escribe como entre
paréntesis circulares como en el sistema cartesiano pero en lugar de coma para separar las
coordenadas se pone punto y coma.
Grafica los siguientes puntos:
A(3, 45°) y B(-2, 120°)
En la Barra de Entrada se captura la letra mayúscula dos puntos y las coordenadas
A:(3; 45°) y B:(-2; 120°)
También, la letra mayúscula el signo de igualdad y las coordenadas.
A=(3; 45°) y B=(-2; 120°)
Gráfica de lugares geométricos
Para las gráficas de lugares geométricos se recomienda, primero, construir un deslizador
para variar el ángulo o argumento y escribir en la barra de entrada (<La expresión que varía
el radio>; <el parámetro del ángulo>)
Por ejemplo para graficar la espiral de Arquímedes
Se construye el deslizador para variar el ángulo.
En la barra de entrada se introduce (θ; θ). Se da clic en la última opción del cuarto botón que corresponde a Lugar
Geométrico.
Se seleccionan el punto así construido con el punto del deslizador y esta acción hace
que se muestre la gráfica de la espiral.
Figura 37
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Para construir las cónicas se puede utilizar la expresión donde e representa la
excentricidad
Figura 38 Figura 39
Si e =0 la cónica es una circunferencia Si e =1 la cónica es una parábola
Figura 40 Figura 41
Si e <1 la cónica es una elipse Si e >1 la cónica es una hipérbola
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Bibliografía
Direcciones electrónicas
http://www.geogebra.org/. Contiene 209291 materiales libres e interactivos (19/05/2015).
https://www.youtube.com/watch?v=kGyyHDntpYs
https://www.youtube.com/watch?v=G3I-LRy7D8Y&spfreload=10
Estas son algunas de las innumerables direcciones que puedes encontrar en Internet sobre
la construcción de conceptos matemáticos..
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