unidad no. 3 aplicaciones de la integral definida volúmenes de sólidos

UNIDAD No. 3Aplicaciones de la integral

definida

Volúmenes de sólidos

VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN

Si una región R en el plano XY se hace girar en torno a un eje L, generará un sólido, denominado “Sólido de revolución”.

Nuestro problema consistirá en determinar el volumen del sólido de revolución, generado al girar en torno a un eje L una región en el plano XY.

VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN…

¿Cuál es el sólido generado al rotar la región alrededor del eje indicado?

VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN…

Al rotar la región se genera el sólido mostrado.

VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN…

¿Cuál es el sólido generado al rotar la región alrededor del eje indicado?

VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN… Al rotar la región se genera el sólido mostrado.

VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN…¿Cuál es el sólido generado al rotar la

región alrededor del eje indicado?

VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN… Al rotar la región se genera el sólido mostrado.

VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN…¿Cuál es el sólido generado al rotar la

región alrededor del eje indicado?

VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN… Al rotar la región se genera el sólido mostrado.

VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN…Analizaremos ahora el proceso para la

determinación del volumen de un sólido de revolución mediante la utilización de la integral definida.

Para ello, consideraremos una región en el plano XY que rotará alrededor del eje x similar a la mostrada en la siguiente figura:

VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN…

VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN…El sólido es similar al mostrado.

Se puede observar que al tomar un elemento diferencial de volumen, se tiene un disco cuyo volumen es igual al producto del área de un círculo de radio f(x) y una altura xi.

VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN…Si el sólido se divide en n discos de igual

magnitud:

VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN…El volumen del sólido se puede obtener como una

aproximación mediante la suma de los n discos.Sólo cuando el número de discos considerados

tiende a infinito se puede hablar de una igualdad respecto del volumen del sólido.

Mediante el uso de la integral definida es posible decir que en general, cuando se tiene una representación similar a la anterior, el volumen es:

dxxfVb

a 2)(

PROBLEMAS:Obtener el volumen del sólido de revolución generado al

rotar alrededor del eje indicado la región dada en el plano XY.

1. 4.

2. 5.

3.

xejealtornoen

xyxy 40

xejealtornoen

xyxy 102

xejealtornoen

cuadranteprimerSóloxyxy )(042

yejealtornoen

xxyy 11

1

202

xrecta

ladealrededorxyxy