un número índice es una medida estadística diseñada para poner en relieve cambios en una...

Un número índice es una medida estadística diseñada para poner en relieve cambios en una variable o en un grupo de variables relacionadas con respecto al tiempo, situación geográfica, o cualquier otra característica.

Los números índice se usan para hacer comparaciones.

Números Indices

Concepto Concepto

Números Indices

Analizar la evolución de una variable o grupo de variables serie de tiempo, a partir de un punto de referencia o periodo base

tiempoXo X t

I t/0 = X t x 100 Xo

Indice del período “t,” respecto al período “0”

OBJETIVO :

Números IndicesNúmeros Indices

Clasificación de lo Números Indices

1. Simples o elementales 2. Compuestos o complejosCompuestos o complejos - No ponderados

- PonderadosUn solo artículo o item

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NUMEROS INDICES

Compra dos datos de una variable, indicando comparación y variación en el tiempo

I t/o = Xt *100Xo

donde : X o = dato en el período base (o de referencia)

X t = dato en el período t

Variación Porcentual (Var. %) :

Var t/o = Xt - 1 * 100 = I t/o - 100Xo

Nota : Una tasa de interés o cualquier otra es una variación porcentual

Compara dos datos de una variable de serie de tiempo, indicando su evolución de en el tiempo.

I t/o = 100 :

< 100 :

> 100 :

Xt respecto a Xo

Xt = Xo

Xt respecto a Xo

Var % = 0:

< 0 :

> 0 :

Xt respecto a Xo en ---%

Xt = Xo

Xt respecto a Xo en --- %

Nota : I o/o = 100 : Es decir el índice en el período “o” respecto a ese mismo período es igual a 100

Años Precios Var %

Artículo A

1994 10 100.0

1995 12 12/10 *100 = 120.0 = I 95/94 20

1996 15 15/10 * 100 = 150.0 = I 96/94 50

I t/94 : Indice de

Precios (base 1994)

Interpretación del valor del índice:I95/94: El precio del artículo A en el año 95 representa el 120 % del del precio en el año 95.I96/94: El precio del artículo A en el año 95 representa el 120 % del del precio en el año 95.Interpretación de la variación:Var % 95/94: En el 1995 el precio del artículo A se incrementó en 20% respecto a 1994Var % 96/94: En el 1996 el precio del artículo A se incrementó en 50%

respecto a 1994

= Var % 95/94

= Var % 96/94

Ejemplo

It/t-1= Xt x 100

Xt-1Precio INDICES Y VARIACIONES PORCENTUALESGas Doméstico Base Fija Base Variable

Años (en soles) 1991= 100 VAR % Pt / Pt -1 VAR %1991 3.40 100.00 0.00 100.00 0.001992 6.30 185.29 85.29 185.29 85.291993 13.70 402.94 302.94 217.46 117.461994 19.20 564.71 464.71 140.15 40.151995 20.30 597.06 497.06 105.73 5.731996 22.80 670.59 570.59 112.32 12.321997 25.10 738.24 638.24 110.09 10.091998 23.70 697.06 597.06 94.42 -5.58

Nota : Si la variable X es precio, se crea un Indice de Precio Si la variable X es Cantidad, se crea un Indice de Cantidad

Indice de Base Móvil o Variable o Cadena

Promedio geométrico de Indices

• La media geométrica de un conjunto de valores yi

(índices) está dada por

nnG yyyX ....21

Se aplica en los números índices. Calculando primero un promedio de índices, luego se obtiene la variación % porcentual promedio del la variable en el período.

Serie de tiempo Indice de base variable

Xi It/t-1 = Yi

Xo -.-

X1 Xo/X1 Y1 = I1/0

X2 X2/X1 Y2 = I2/0

X3 X3/X2 Y3 = I3/0

X4 X4/X3 Y4 = I4/0

X5 X5/X4 Y5 = I5/0

…Xn-1 Xn-1/Xn-2 Yn-1 = In-1/0

Xn Xn-1/Xn-2 Yn = In/0

nn

G

n

nn

xx

X

xx

yxx

yxx

0

11

22

0

11 ,...,,y

hacemos Si

Yi : representa los índices creados de una variable de series de tiempo Xi: Xo, X1, ... Xn

Nota.- n: es nº de índices creados de la variable X, puesto que enumera los Xi desde X0, X1, X2 … Xn

100%*rpromedio Var%

:como promedio porcentual variaciónla define se Luego

11Xr

:por dada está promedio ocrecimient de tasaLa

0G

nn

xx

j0j

1n01n

)r1(XX generalEn

)r1(XX

: temporalserie la de r valorespronostica

para promedio porcentual variaciónlautilizar puede Se

Donde Xo es ahora, el último valor de la serie Xi

Pronósticos usando la tasa de crecimiento geométrico:

Siempre que X sea una variable de serie de tiempo con tendencia creciente.

Xo: es ahora el último valor de Xi

j: Es el número u orden del período a pronosticar.

Xj = X0 ( 1 + r )j

mes Yi = It/t-1 j mes Pronósticos

Ene Xo 180 -.- 1 Jul 940 ( 1 + 0.391782 )1 =1308.27

Feb X1 188 1.04444 2 Ago. 940 ( 1 + 0.391782 )2 =1820.83

Mar X2 378 2.01064 3 Set 940 ( 1 + 0.39782 )3 = 2534.20

Abr. X3 560 1.48148 4 Oct. 940 ( 1 + 0.391782 )4 =3527.05

Ma. X4 780 1.39286 5 Nov. 940 ( 1 + 0.391782 )5 =4908.89

Jun X5 940 1.20513 6 Dic. 940 ( 1 + 0.391782 )6 =6832.10

Media geomet. n = 5 valores de Yi : indices5

X g = 940 = 1.3918180

r = 1.39178 -1

r = 0.39178

Tasa de Crecimieto o Variación Promedio

r % = 0.3918 x 100 = 39.18

Saldos de unacta. de

Ejemplo:

Nota: Observe que la potencia del radical es 5 ya que hay 5 índices.

Ejemplo

La producción de cobre en miles de toneladas entre 1998 y 2002 fue como sigue:

AÑO PRODUCCIÓN

1998 30

1999 50

2000 45

2001 60

2002 78

Los índices de producción tomando como base el año 1998 y las variaciones porcentuales están dadas por:

Índice = I t/98 Var% Var%

(1998=100) (t/98) (t / t-1)1998 30 100.00 --- ---1999 50 166.67 66.67 66.672000 45 150.00 50.00 -10.002001 60 200.00 100.00 33.332002 78 260.00 160.00 30.00

Año Producción

INTERPRETACIONES:

I2000/1998 = 150, significa que la producciónde cobre, en miles de toneladas, del año2000 es el 150% de la producción del año1998 (base), por lo tanto la producción aumentó un 50% desde el año 1998 al 2000.

Var% 2001/2000 = 33,33, significa que la producciónaumentó 33,33% del año 2000 al 2001.

Var% 2000 / 1999 = -10, significa que la producción disminuyó 10% del año 1999 al 2000.

Según la naturaleza de las variables, los índices pueden ser:

• De precios: La variable es el precio del bien considerado.

• De cantidad: La variable es la cantidad producida o vendida.

• De valor: El valor es el precio multiplicado por la cantidad.

Nosotros estudiaremos los índices de precios.

Cálculo de la Media geométrica = X G

X G = 78/30 = 1.2698

5

Tasa de crecimiento : r

r = XG - 1 = 1.2698 – 1.00 = 0.212698

Variación promedio:

Var % = r % = 0.2698 x 100 =26.98%

Indice promedio:

1.2698 x100 = 126.98

nn

G

n

nn

nnG

xx

X

xx

yxx

yxx

yyyX

0

11

22

0

11

21

,...,,y

hacemos Si

....

4

n = 4 número de índices de base variable.

It/t-1

1998 30 -.-

1999 50 1.67

2000 45 0.90

2001 60 1.33

2002 78 1.30

Año Producción

Pronósticos:Bajo el supuesto de que la producción seguirá el crecimiento promedio histórico:

Producicón del 2003 = 78 ( 1 + 0.216 )1 = Producción del 2004 = 78 ( 1 + 0.216 )2 = Producción del 2005 = 78 ( 1 + 0.216 )3 = Producción del 2006 = 78 ( 1 + 0.216 )4 =

AñoPronostico deProduc.

2003 79.212004 79.472005 79.772006 80.152007 80.60

Números Índices Compuestos No Ponderados

Se denomina así cuando el índice se calcula a partir de varias variables y

todas las variables que intervienen en el cálculo tienen la misma

importancia o el mismo peso.

Para el cálculo se utiliza el Método de Agregación Simple.El índice de precios es la relación expresada en porcentaje entre la sumatoria de los precios de los artículos i en un periodo “k” y la sumatoria de los precios de los mismos artículos i en un periodo “0” tomado como base.

It/o = Pit x 100

Pi0

donde:

Pit: Es el precio del artículo- i en el período t Pi0: Es el precio del artículo- i en el período 0 o base

Indices Agregados Simples.

Ejemplo de Indices Agregados Simples:

1995 1996 1997 1998

Artículo Pi 95 Pi 96 Pi 97 Pi 98

A 12 15 18 20

B 3 4 4 5

C 5 6 5 7

Total =

∑Pi t

20

∑Pi 95

25

∑Pi 96

27

∑Pi 97

32

∑Pi 98

I95/95 I96/95 I97/95 I98/95

100 125 135 160

IndicesAgregados Simples

Indices Agregados Simples de precios tomando como base el año 1995

160%1002032

100P

PI

135%1002027

100P

PI

125%1002025

100P

PI

100%1002020

100P

PI

95i

98i98

95i

97i97

95i

96i96

95i

95i95

Números Índices Compuestos Ponderados

Se calcula este índice cuando cada artículo

tiene una importancia relativa en el conjunto,

generalmente la importancia (ponderación)

está dada por las cantidades producidas o

vendidas en diferentes periodos.

Indices Compuestos Ponderados

Son índices de varios artículos o items relacionados

1. Indice de Laspeyres 100)0/( xqP

qPI

oo

ottL

2. Indice de Paashe 100)0/( x

qP

qPI

to

tttP

Relación entre el valor : del consumo (cantidad = q) del período base a precios (P) del periodo t, respecto:consumo (cantidad = q) del período base a precios (P) del periodo base

Relación entre el valor : del consumo (cantidad = q) del período t a precios (P) del periodo t, respecto:del consumo (cantidad = q) del período t a precios (P) del periodo base

Cálculo del Indice de Laspeyres

Cálculos ARTICULOS P95 i Q95 i P98 i Q95 i

Arroz Corriente (Kg.) 1.32 x 20 = 26.40 2.19 x 20 = 43.80Pan Francés (Kg.) 2.77 x 22 = 60.94 3.66 x 22 = 80.52Fideos a granel (Kg.) 2.23 x 2 = 4.46 2.85 x 2 = 5.70Pollo evicerado (Kg.) 5.14 x 6 = 30.84 6.23 x 6 = 37.38Huevos (kg) 2.91 x 2 = 5.82 3.96 x 2 = 7.92Leche evaporda (lata) 1.51 x 30 = 45.30 1.81 x 30 = 54.30Aceite Vegetal (lt.) 4 x 3 = 12.00 4.56 x 3 = 13.68 Total P95 i Q95 i = 185.76 P98 i Q95 i = 243.30

Datos ARTICULOS Precio(S/.) Consumo Precio(S/.) Consumo

P95 i Q95 i P98 i Q98 i

Arroz Corriente (Kg.) 1.32 20 2.19 22Pan Francés (Kg.) 2.77 22 3.66 24Fideos a granel (Kg.) 2.23 2 2.85 3Pollo evicerado (Kg.) 5.14 6 6.23 7Huevos (kg) 2.91 2 3.96 2Leche evaporda (lata) 1.51 30 1.81 25Aceite Vegetal (lt.) 4.00 3 4.56 3

IPL 98/95 = P98 i Q95 i x 100

P95 i Q95 i

243.30 x 100 = 130.98 %

185.76

Variac.% = 30.98 %

Interpretación : El valor de la canasta básica se incrementóen 30.98% en el año 98respecto a 1995

Cálculo del Indice de Paashe ARTICULOS Precio(S/.) Consumo Precio(S/.) Consumo

P95 i Q95 i P98 i Q98 i

Arroz Corriente (Kg.) 1.32 20 2.19 22Pan Francés (Kg.) 2.77 22 3.66 24Fideos a granel (Kg.) 2.23 2 2.85 3Pollo evicerado (Kg.) 5.14 6 6.23 7Huevos (kg) 2.91 2 3.96 2Leche evaporda (lata) 1.51 30 1.81 25Aceite Vegetal (lt.) 4.00 3 4.56 3

Interpretación : El valor de la canasta básica se incrementóen 31.62% en el año 98respecto a 1995

Cálculos ARTICULOS P98 i Q98 i P95 i Q98 i

Arroz Corriente (Kg.) 2.19 x 22 = 48.18 1.3 x 22 = 29.04Pan Francés (Kg.) 3.66 x 24 = 87.84 2.77 x 24 = 66.48Fideos a granel (Kg.) 2.85 x 3 = 8.55 2.23 x 3 = 6.69Pollo evicerado (Kg.) 6.23 x 7 = 43.61 5.14 x 7 = 35.98Huevos (kg) 3.96 x 2 = 7.92 2.91 x 2 = 5.82Leche evaporda (lata) 1.81 x 25 = 45.25 1.51 x 25 = 37.75Aceite Vegetal (lt.) 4.56 x 3 = 13.68 4 x 3 = 12.00 Total P98 i Q98 i = 255.03 P95 i Q98 i = 193.76

IPP 98/95 P98 i Q98 i x 100

P95 i Q 98 i

255.03 x 100 = 131.62 %

193.76

Variac.% = 31.62 %

3. Índice de Precios de Fisher3. Índice de Precios de Fisher

Este índice se encuentra calculando la media geométrica de los índices de Laspeyres y Paasche

t/0t/0t/0 .IPPIPLIPF

En el ejemplo anterior:

IPF 98/95 = 130.98 x 132.62 = 131.79

Var % (98/95) = 31.79 %

ÍNDICE DE PRECIOS DE LASPEYRESÍNDICE DE PRECIOS DE LASPEYRES

En este índice ponderado, los precios delos artículos i en el periodo t se ponderanpor las cantidades consumidas en el periodoconsiderado como base.

100QP

QPIPL

i0i0

i0it t/o

Este índice también es llamado como: “El Indice del año base”.

Ejemplo:

El la tabla siguiente se presentan: Los precios y la cantidades de tres artículos:

Artículo

Precio: pt (US$) Cantidad: qt

1990 1991 1992 1990 1991 1992

A (tonel) 200 250 175 10 12 14

B (libra) 10 12 9 20 22 18

C (unid) 5 8 7 50 55 45

Artículo p90q90 p91q90 p92q90

A (tonel) 2000 2500 1750

B (libra) 200 240 180

C (unid) 250 400 350

Total

∑ p q

2450

∑ p90 q90

3140

∑ p91 q90

2280

∑ p92 q90

En la siguiente tabla se muestran los cálculos necesarios:

93,1%10024502280

100QP

QPIPL

128,2%10024503140

100QP

QPIPL

100%10024502450

100QP

QPIPL

9090

909292/90

9090

909191/90

9090

909090/90

100QP

QPIPP

iti0

itit t/o

ÍNDICE DE PRECIOS DE PAASCHE

En este índice ponderado, los precios delos artículos i en el periodo t se ponderanpor las cantidades consumidas en el periododado (t).

Este índice también se conoce como el del año dado.

Para los datos del ejemplo anterior tenemos:

p90q90 p90q91 p90q92 p91q91 p92q92

2000 2400 2800 3000 2450

200 220 180 264 162

250 275 225 440 315

∑ 2450 2895 3205 3704 2927

Calculo del índice de precios de paasche

%3,1910032052927

100QP

QPIPP

%9,27110028953704

100QP

QPIPP

100%10024502450

100QP

QPIPP

9290

929292/90

9190

919191/90

9090

909090/90

Índice de precios de paasche

Para el ejemplo:

92,20%91.,3*93,1IPF

128,05%127,9*128,2IPF

100%100*100IPF

92/90

91/90

90/90

Cálculo Índice de Precios de FisherCálculo Índice de Precios de Fisher

CAMBIO DE BASE DE ÍNDICES

Para realizar el cambio de base se divide cada uno de los

índices de la serie entre el índice del periodo que será la

nueva base el índice. Esto es:

100*II

Ik/a

t/at/k

donde:

It/k es el nuevo índice del periodo t con base en el periodo k;

It/a es el índice del periodo t con base en el periodo a; y Ik/a

es el índice es el índice del periodo k con base en el

periodo a.

Ejemplo: A continuación se presentan los índices con base en el año 1998, y se cambia la base al año 2000.

El detalle de los cálculos se muestran a continuación:

Índice

(1998=100)

1998 100 66.67 = (100/150) x100

1999 166.7 111.13 = (166.7/150)x100

2000 150 100.00 = (150/150) x100

2001 200 133.33 = (200/150) x100

2002 260 173.33 = (260/150) x100

Año Cambio de Índice

(2000=100)

173,33100*150260

100*I

II

133,33100*150200

100*I

II

100100*150150

100*I

II

111,11100*150

166.67100*

I

II

66,67100*150100

100*I

II

2000/98

2002/982002/2000

2000/98

2001/982001/2000

2000/98

2000/982000/2000

2000/98

99/9899/2000

2000/98

98/9898/2000

EMPALME DE SERIE DE ÍNDICES

Se tienen dos series de índices, una con

base antigua, hasta cierto período j, y otra

con base nueva, a partir del periodo j o a

partir de un periodo anterior a j. Y se desea

obtener una serie completa de índices con la

base nueva.

Para empalmar una serie de Índices se debe

1. Calcular la razón de proporcionalidad k

que se obtiene mediante el cociente del

índice de un periodo específico con base

nueva y el índice del mismo periodo pero

con base antigua.

2. Luego se multiplica a cada uno de los

índices de la serie de la base antigua por

esta razón de proporcionalidad k.

Se desea empalmar las siguientes series de índices:

Año Índice (1980=100)

1997 250,2

1998 256,3

1999 267,8

2000 285,6

Año Índice (2000=100)

2000 100,0

2001 120,5

2002 132,6

2003 142,1

A continuación se presenta el proceso.

Ejemplo:

Índice Índice (1980=100) (2000=100)

1997 250.2 87.61

1998 256.3 89.74

1999 267.8 93.77

2000 285.6 100.002001 -.- 120.52002 -.- 132.62003 -.- 142.1

Año

Cambio de base aritmer

Empalme Aritmético: Base antigua 1980, base nueva: 2000

Coeficiente de Cambio de base 1980 a 2000

K = 100/ 285.6 = 0.35014

Año Índice (2000=100)

1997 87,6

1998 89,7

1999 93,8

2000 100,0

2001 120,5

2002 132,6

2003 142,1

93,80,35014*267,8I

89,70,35014*256,3I

87,60,35014*250,2I

tienese Luego

0,35014285,6100

K

99/2000

98/2000

97/2000

Calcular K = Indice base nueva Indice base antígua

Índices de Precios al Consumidor (IPC)

El IPC es una medida estadística de la

evolución del conjunto de precios de los bienes

y servicios que consume la población residente

en viviendas familiares en una región particular.

El índice de precios al consumidor se calcula con

base a la canasta familiar, que es el conjunto de

bienes y servicios que constituye el consumo

habitual de los hogares.

En el Perú el INEI (Instituto Nacional de

Estadística e Informática), es el que se encarga

de calcular los índices, aplicando la metodología

de Laspeyres.

El método de captación de datos (precios) es del tipo

denominado de “Punta a Punta”, es decir que

recolecta precios de los bienees y servicios de la

canasta familiar cada fin de mes.

1 Alimentos y Bebidas

2 Vestido y Calzado

3 Alquiler de Vivienda, Combustible y Electricidad

4 Muebles y Mantenimiento de la Vivienda

5 Cuidado y Conservación de la Salud

6 Transporte y Comunicaciones

7 Servicios Culturales y de Enseñanza

8 Otros Bienes y Servicios

Para el cálculo del IPC, el INEI tiene en cuenta las siguientes variables:

100*1IPC

IPCVar%IPC

1t

tt

El índice de inflación del periodo t está dado por:

Inflación Inflación

Ejemplo

Usos del IPCUsos del IPC

1. Como medida de la inflación en la economía: Las tasas de

inflación se miden por la variación porcentual del IPC. La

inflación es uno de los principales indicadores macroeconómicos.

Interpretación del IPC Interpretación del IPC El IPC de Abril 2008, con base dic.2001 es:Iabr-08 = 117.54 Es decir los precio de la economía (del consumo de

los hogares) son el 117.54 % de los de dic, 2001.Variac. % = 117.54 – 100 =

Inflación Acumulada = Variac. % = IPC -100

Inflación acumulada desde la base a la fecha t

En el ejemplo: 117.54 – 100 = 17.54: Los precios se han incrementado en 17.54 % desde dic. 2001 a abril 2008.

La inflación acumulada de m periodos consecutivos

hasta el periodo t está dada por:

100*1IPC

IPCIPC Var%

)1 m (-t

tmt,

Inflación AcumuladaInflación Acumulada

donde m = nº de meses anteriores al mes “t”

Nota: En general para calcular la inflación de un período dado (m, t) se debe considerar el IPC del mes “t” y el IPC del mes “m-1”

Ejemplo:

Calcular la inflación acumulada del período febrero 07 – Agosto 07.

t= Ago. 07 = 8m = 6 (número de meses anteriores a agosto)

Se requiere :IPC t=8 (agosto 07) y el IPC ( 8 – (6+1)) = 1 = Ene 07

Ejemplo: Calcular la inflación acumulada de lo que va del año: Enero – Abril 2008.

t= abril 08 = 4

m = 4 (número de meses entre enero y mayo) Se requiere IPC t=4 (abril) y el IPC ( 4– (4+1)) = -1 = Dic 07

(Ver cuadro adjunto)

2. Para deflactar series Monetarias :

Al deflactar una serie monetaria se elimina el efecto

de los cambios en el precio debido a la inflación.

Cuando se deflacta un valor se obtiene el valor real

en unidades constantes del periodo considerado

como base en el IPC.

100*IPC

NominalValor RealValor

/0t

t/0t

3. Para Indexsar Series Monetarias :

Al indexsar series monetarias se actualiza valores

nominales, incluyendo el efecto inflación, del período

(m, t).

Valor Nominal Actual t = Valor nominal anterior m x IPC t/o IPC m/o

Si un trabajador percibe en enero del 2008 S/. 1400.7¿Cuál será la remuneración de un trabajador para diciembre del 2008 sin que pierda poder adquisitivo?

Si se conoce que: IPC ene. 08 (base 1994=100) = 105.51 IPC (estimado) dic. 08 (base 1994=100) = 115.87

Remuneración dic. 08 = 1400 x 115.87 = 1538.23 105.51

El trabajador debería percibir S/. 1538.23 para no perder el poder adquisitivo de su remuneración.

Deflactación de Valores Monetarios

Completar la siguiente tabla, e interpretar los resultados

Ingresos porventas IPC t

Ingresos Contantes

Fecha (S/.) (2001 = 100) (2001 = 100)Dic-06 1,800 110.51Ene-07 2,000 110.52Feb-07 2,500 110.81Mar-07 2,600 111.19Abr-07 2,600 111.39May-07 2,800 111.94Jun-07 2,850 112.47Jul-07 2300 113.00Ago-07 2900 113.16Sep-07 3040 113.85Oct-07 3000 114.21Nov-07 4500 114.33Dic-07 4000 114.85Ene-08 4300 115.11Feb-08 4800 116.15