u1-s1-antiderivaciÓn
Post on 07-Dec-2014
103 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Facultad de Ingeniería Semestre 2013-I
CURSO: CÁLCULO II
Tema :
ANTIDERIVADA Un ingeniero que puede medir la razón variable a la cual fuga el agua de un tanque
quiere conocer la cantidad que se ha fugado durante cierto tiempo. Un administrador
que conoce el costo marginal de una producción puede interesarse en deducir el costo
total de la producción. En cada caso, el problema es hallar una función cuya derivada
sea una función conocida. Si existe tal función F, se le denomina una ANTIDERIVADA
de f.
Definición:
Una función F recibe el nombre de ANTIDERIVADA de f en un intervalo I, si:
'( ) ( ) F x f x x I
Ejemplo:
Sea 2
( )f xx
. Una antiderivada es ( ) 4F x x porque 2
'( ) '( )F x f xx
.
Teorema:
Si F es una antiderivada de f en un intervalo I , entonces la antiderivada más
general de f en I es:
( ) ;F x C
Donde C es una constante arbitraria.
Ejemplos:
1. La antiderivada más general de ( ) sin( )f x x es ( ) cos( )F x C x C .
2. La antiderivada más general de ( ) 2f x x es 2
( ) 23
F x C x x x C .
Definición:
Al conjunto de todas las antiderivadas de se le llama INTEGRAL INDEFINIDA de y se
representa por:
( ) ( )f x dx F x C
Ejemplos:
1. cos( ) sin( )x dx x C
2. 1
ln( )dx x Cx
Antiderivacion e integral indefinida
Facultad de Ingeniería Semestre 2013-I
FÓRMULAS BÁSICAS DE INTEGRACIÓN
Sean , f g funciones derivables, además , k C constantes, entonces tenemos:
1. ( ) ( )kf u du k f u du
2. ( ) ( ) ( ) ( )f u g u du f u du g u du
3. 0du C
4. du u C
5. kdu ku C
6. 1
1
nn u
u du Cn
7. lndu
u Cu
8. u ue du e C
9. , 0, 1ln( )
uu a
a du C a aa
10. sin( ) cos( )u du u C
11. cos( ) sin( )u du u C
12. sin( )
cos( )ku
ku du Ck
13. cos( )
sin( )ku
ku du Ck
14. tan( ) ln cos( )u du u C
15. c ( ) ln sin( )tg u du u C
16. sec( ) ln sec( ) tan( ) ln tan2 4
uu du u u C C
17. csc( ) ln csc( ) ( ) ln tan2
uu du u ctg u C C
Facultad de Ingeniería Semestre 2013-I
18. 2sec ( ) tan( )u du u C
19. 2csc ( ) ( )u du ctg u C
20. sec( ) tan( ) sec( )u u du u C
21. csc( ) ( ) csc( )u ctg u du u C
22. 2 2
1arctan
du udu C
u a a a
23. 2 2
1ln
2
du u aC
u a a u a
24. 2 2
1ln
2
du u aC
a u a u a
25. 2 2
arcsindu u
Caa u
26. 2 2
2 2ln
duu u a C
u a
27. 2 2
2 2ln
duu u a C
u a
28. 2
2 2 2 2 arcsin2 2
u a ua u du a u C
a
29. 2
2 2 2 2 2 2ln2 2
u au a du u a u u a C
30. 2
2 2 2 2 2 2ln2 2
u au a du u a u u a C
31. 2 2
1arcsin , 0
uduC a
a au u a
32. 2 2
2 2
1 ln( )du a a uC
a uu a u
Facultad de Ingeniería Semestre 2013-I
TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN INTEGRACION DIRECTA: Se trata aquí de lograr las primitivas en forma inmediata con el conocimiento de
derivadas y la aplicación de la tabla básica considerando algunos recursos algebraicos y
las propiedades señaladas. Algunas veces, antes de realizar la integral
correspondiente, se procede a simplificar la expresión por si de esa forma se puede
integrar mejor. Posteriormente, haciendo uso de las propiedades de las integrales, se
descomponen en otras más sencillas, transformándose en una simple suma de
integrales más elementales.
Ejemplos:
1. 6
5 5 66 6 66
xx dx x dx C x C
2. 4 3 2
3 23 5 3 4 3 5 3 44 3 2
x x xx x x dx x C
3. 2
3 2 3 3 2 3 3x dx x x dx xdx xdx xdx
23
24 3
32 3
xx x C
4. 3 5
2 22
1 1 15
x x x dx x dx x x C
5. 3 2
2
2 7 4x xdx
x
Solución:
Descomponiendo la fracción en suma de fracciones: 3 2 3 2
2
2 2 2 2
2 7 4 2 7 42 7 4
x x x xx x
x x x x
Por tanto:
3 2
2
2
2 1
2
2 7 42 7 4
2 7 42 1
47
x xdx x x dx
x
x xx C
x x Cx
6. Determinar 33 5
5 2
2 7 4
3
x x xdx
x
.
Solución:
Facultad de Ingeniería Semestre 2013-I
Transformando las raíces en potencia, descomponiendo en suma de fracciones
y simplificando, tenemos: 5 53 3
33 5 3 32 2
2 2 2 25 2 5 5 5 5
19 31110 15 5
2 7 4 2 7 4 2 7 4
3 3 3 3 3
2 7 4
3 3 3
x x x x x x x x x
x x x x x
x x x
Por lo que la integral nos queda: 19 311
33 5 10 15 5
5 2
19 31110 15 5
34 82110 15 5
2 7 4 2 7 4
3 3 33
2 7 4
3 3 3
20 105 5
63 102 6
x x x x x xdx dx
x
x x xdx dx dx
x x x C
7. Determinar 5 2 6
3 2
3 2x x xdx
x
.
Solución: 5 2 6 5 2 6
2 2 23 2 3 3 3
13 1643 3 3
16 7 193 3 3
3 23 2
3 2
9 6 3
16 7 19
x x x x x xdx dx dx dx
x x x x
x dx x dx x dx
x x x C
8. Determinar 5
1dx
x.
Solución: 5 1
5
5 4
1 1
5 1 4
xdx x dx C C
x x
9. Determinar 2
2
25
16
xdx
x
.
Solución: 2 2 2
2 2 2 2
2
2
2 2 2
25 16 9 169
16 16 16 16
16 916
116 16ln 16 9ln 16
2
x x x dxdx dx dx
x x x x
dxx dx
x
x x x x x x C
Facultad de Ingeniería Semestre 2013-I
EJERCICIOS PROPUESTOS En los siguientes ejercicios, halle las integrales dadas:
1. 5
3
xdx
2. 33 2 5x x dx
3. 2 4 2y y dy
4. 3
1dy
y
5. 2 3 2
2
x xdx
x
6. 23 5 2x x dx
7. 4
5 te dtt
8. /21 5
3
xe dxx x
9. 2
1ye dy
10. 3
2sin3
xex dx
11. 0.02 0.13 4t te e dt
12. 2tan 3cosx x dx
13. 2
2sin 2x dxx
14. 1/2 2 2t t t dt
15. 3 2 12 5x x dx
x
16.
3 12
2x
x
Resuelve los siguientes problemas
1) INGRESO MARGINAL. El ingreso marginal derivado de la producción de q
unidades de cierto artículo es 2' ( ) 4 1.2R q q q dólares por unidad. Si el
ingreso derivado de la producción de 20 unidades es de $30000, ¿cuál será el
ingreso esperado por la producción de 40 unidades?
2) COSTO MARGINAL. Un fabricante estima que el costo marginal por producir q
unidades de cierto bien es 2' ( ) 3 24 48C q q q dólares por unidad. Si el
costo de producción de 10 unidades es de $5000, ¿cuál es el costo de
producción de 30 unidades?
3) UTILIDAD MARGINAL. Un fabricante estima que el ingreso marginal será 1/2' ( ) 200R q q dólares por unidad cuando el nivel de producción sea de q
unidades. Se ha determinado que el costo marginal correspondiente es de
0.4q dólares por unidad. Suponga que la utilidad del fabricante es $2000
cuando en nivel de producción es de 25 unidades. ¿Cuál es la utilidad del
fabricante cuando el nivel de producción sea de 36 unidades?
4) CRECIMIENTO DE UN ARBOL. Un ecologista encuentra que cierto tipo de árbol
crece de tal forma que su altura ( )h t después de t años cambia a una razón de
2/3' ( ) 0.2 pies/añoh t t t
Facultad de Ingeniería Semestre 2013-I
Si cuando se plantó el árbol éste tenía una altura de 2 pies, ¿cuál será su altura dentro de 27 años?
5) CRECIMIENTO DE LA POBLACIÓN. Se ha determinado que la población ( )P t de
una cierta colonia de bacterias, t horas después de iniciar la observación, tiene
un razón de cambio
0.1 0.03200 150t tdPe e
dt
Si la población era de 200000 bacterias cuando inició la observación, ¿cuál será la población 12 horas después?
6) APRENDIZAJE. Tony toma una prueba de aprendizaje en la que se registra el
tiempo que le toma memorizar aspectos de una lista dada. Sea ( )M t el número
de aspectos que puede memorizar en t minutos. Su tasa de aprendizaje se
determina como 2'( ) 0.4 0.005M t t t
a) ¿Cuántos aspectos puede memorizar Tony durante los primeros 10
minutos?
b) ¿Cuántos aspectos adicionales puede memorizar durante los siguientes 10
minutos (del tiempo 10t al 20t )?
7) DESCONGELAMIENTO. Un trozo de carne se saca del refrigerador y se deja en
el mostrador para que se descongele. Cuando se sacó del congelador, la
temperatura de la carne era de -4°C, y t horas más tarde se incrementaba a
una tasa de 0.35 o' ( ) 7 C/htT t e
a) Determine una fórmula para la temperatura de la carne después de t
horas.
b) ¿Cuál es la temperatura después?
c) Suponga que la carne está descongelada cuando su temperatura llega a
10°C. ¿Cuánto tiempo transcurre hasta que se descongela la carne?
Facultad de Ingeniería Semestre 2013-I
INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN O CAMBIO DE VARIABLE:
El método de integración por sustitución o cambio de variable consiste en transformar
la integral dada, mediante un cambio de variable en otra inmediata o más sencilla de
integrar.
Si se tiene ( )f u du (una integral no inmediata), se trata de hacer un cambio:
( )u g x , entonces '( )du g x dx para llegar a:
( ) ( ) '( )f u du f g x g x dx
Ejemplos:
1. Determinar 21 2y ydy .
Solución:
Hacemos el cambio 21u y , entonces 2du ydy . Sustituyendo en la
integral, tenemos:
312 2 2
21 2
3y ydy udu u du u C
Reemplazando u
por 21 y , tenemos:
3
2 2 221 2 1
3y ydy y C
2. Determinar 5 25x x dx .
Solución:
Haciendo 25 2u x du xdx
2
duxdx
Luego, reemplazando en la integral:
615 2 5 5 5
62 5
1 55
2 2 12
55
12
dux x dx u u du u C
x C
3. Determinar 4
3 21 3x x dx .
Solución:
Hagamos 3 21 3u x du x dx . Reemplazando en la integral, tenemos:
Facultad de Ingeniería Semestre 2013-I
54
3 2 4
53
1 35
1
5
ux x dx u du C
xC
4. Determinar sin( )cos( )x x dx .
Solución:
Hagamos sin( ) cos( )u x du x dx . Reemplazando en la integral, tenemos:
2
2
sin( )cos( )2
sin( )
2
ux x dx udu C
xC
5. Determinar 2 2cos
xdxdx
x .
Solución:
Hagamos 2 2u x du xdx
2
duxdx
Reemplazando, tenemos:
2 2 2
2 2
2
1sec sec ( )
2cos
1 1tan( ) tan
2 2
xdxdx x x dx u du
x
u C x C
6. Determinar
21 1
dxdx
x .
Solución:
Hacer 1u x du dx . Entonces:
2
2 2
2
ln 111 1
ln 1 1 1
dx dudx u u C
ux
x x C
7. Determinar 21 ln ( )
dx
x x .
Solución:
Hagamos ln( )dx
u x dux
. Entonces, tenemos:
Facultad de Ingeniería Semestre 2013-I
2 2arcsin( )
1 ln ( ) 1
arcsin ln( )
dx duu C
x x u
x C
EJERCICIOS PROPUESTOS
Usando el método de cambio de variable halle las siguientes integrales:
1. a bx dx
2. 22x x dx
3. 2 1x x dx
4. 2( 1)
xdx
x
5. 323 1
x xx e dx
6. (2 ln )x dx
x
7. 2
3
( 1)
3
x dx
x x
8. 2( )a x dx
x
9. 2/3
2
1 11
dx
xx
10. 3 1 ln x
x
11. 3
4 2
10 5
6
x xdx
x x
12. 2
1
( cos )
sen xdx
x x
1) VALOR DE LA TIERRA. Se estima que dentro de t años, el valor ( )V t de una
hectárea de tierra cultivable crecerá a una tasa de 3
4
0.4'( )
0.2 8000
tV t
t
dólares por año. Actualmente la tierra vale $500 por hectárea.
a) Determine ( )V t
b) ¿Cuánto valdrá la tierra dentro de 10 años?
2) CRECIMIENTO DE UN ARBOL. Se trasplantó un árbol y después de x años este
crecía a una tasa de
2
11
1x
metros por año. Después de 2 años el árbol
alcanzó una altura de 5 metros. ¿Qué altura tenía cuando se trasplantó?
3) CONCENTRACION DE UN MEDICAMENTO. La concentración ( )C t en miligramos
por centímetro cúbico (mg/cm3) de un medicamento en el torrente sanguíneo de
un paciente es de 0.5mg/cm3 inmediatamente después de una inyección y t
minutos más tarde disminuye a la tasa de
0.01
20.01
0.01'( )
1
t
t
eC t
e
mg/cm3 por minuto.
Facultad de Ingeniería Semestre 2013-I
Se aplica una nueva inyección cuando la concentración es menor que 0.05
mg/cm3.
a) Determine una expresión para ( )C t .
b) ¿Cuál es la concentración después de 1 hora?
4) CONTAMINACION DEL AGUA. Un derrame de petróleo en el océano tiene una
forma aproximadamente circular, con radio ( )R t pies, t minutos después del
inicio del derrame. E radio crece a una tasa de
21'( ) pies/min
0.07 5R t
t
a) Determine una expresión para el radio ( )R t , suponiendo que 0R cuando
0t .
b) ¿Cuál es el área 2A R del derrame después de 1 hora?
top related