trabajo metodos numericos 2
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UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
(Universidad del Per, Decana de Amrica)
E.A.P INGENIERIA MECANICA DE FLUIDOS
(2015-0)
TRABAJO DE METODOS NUMERICOS II
TEMA: MODELADO NUMERICO DE TANQUE CON FORMA DE CONO (METODO DE RUNGE-KUTTA IV)
ALUMNO:
- CHARA CARUAYO EDGARD
PROFESOR:
- VICTOR YZOCUPE
Lima Per Jueves 22 de Enero del 2015
-
INTRODUCCION
Dentro de la Ingeniera y otras ciencias hay diversos problemas que se formulan en
trminos de ecuaciones diferenciales .Por ejemplo ,trayectorias balsticas ,estudio de
redes elctricas , deformacin de vigas, estabilidad de aviones, teora de vibraciones y
otras aplicaciones de aqu la importancia de su solucin
En el paso del tiempo y en la vida se han presentado problemas, de igual manera en
nuestra carrera se presentan situaciones que pueden ser resueltas por medio de
ecuaciones, dichas ecuaciones se pueden expresar en funcin del tiempo que transcurre
a esto se le llama una razn de cambio donde una variable cambia en funcin de un
tiempo t, dichas ecuaciones han sido resueltas a travs de los mtodos de integracin y
clculos extensos, engorrosos y complicados; pero al aparecer alrededor del ao 1900
un mtodo numrico planteado por los matemticos alemanes Carl Tolm Runge y
Martin Wilhelm Kutta que consiste en resolver ecuaciones diferenciales de primer orden
sin necesidad de realizar integrales y esto mezclado con las herramientas de tecnologa
como Excel hacen mucho ms fcil la solucin de dichas ecuaciones, a continuacin en
el siguiente informe se presenta el mtodo de Runge-Kutta y un ejemplo de cmo se
puede utilizar para resolver problemas de ingeniera tales como problemas de dinmica
de fluidos.
-
MARCO TEORICO:
METODO DE RUNGE-KUTTA
El mtodo de Runge-Kutta es un mtodo genrico de resolucin numrica de ecuaciones
diferenciales.
El mtodo de Runge-Kutta no es slo un nico mtodo, sino una importante familia de
mtodos iterativos, tanto implcitos como explcitos, para aproximar las soluciones de
ecuaciones diferenciales ordinarias (E.D.Os); estas tcnicas fueron desarrolladas
alrededor de 1900 por los matemticos alemanes Carl David Tolm Runge y Martin
Wilhelm Kutta.
Mtodo de Runge-Kutta de cuarto orden
Un miembro de la familia de los mtodos Runge-Kutta es usado tan comnmente que a
menudo es referenciado como RK4 o como el mtodo Runge-Kutta.
Definamos un problema de valor inicial como:
Donde:
As, el siguiente valor (yn+1) es determinado por el presente valor (yn) ms el producto
del tamao del intervalo (h) por una pendiente estimada. La pendiente es un promedio
ponderado de pendientes, donde es la pendiente al principio del intervalo, es la pendiente en el punto medio del intervalo, usando para determinar el valor de y en
el punto
usando el mtodo de Euler. Es otra vez la pendiente del punto medio,
pero ahora usando para determinar el valor de y es la pendiente al final del intervalo, con el valor de y determinado por . Promediando las cuatro pendientes, se le asigna mayor peso a las pendientes en el punto medio:
Entonces para hallar el ( )
( )
[ ]
Esta forma del mtodo de Runge-Kutta, es un mtodo de cuarto orden lo cual significa
que el error por paso es del orden de ( ), mientras que el error total acumulado tiene el orden ( ).
-
PROBLEMA DE APLICACIN METODO DE RUNGE-KUTTA IV
A un tanque cnico de 7m de altura y 3m de radio, que contiene un lquido a una
altura h0=6.5m, se le hace llegar un caudal de 7 lt/s. Treinta minutos despus este
flujo se interrumpe por falla de la bomba, la cual se repara y arranca una hora
despus. Determine el caudal necesario para que el nivel se recupere y se mantenga
en 5m; as como el tiempo necesario para alcanzar ese nivel (rgimen permanente).
El caudal de salida es igual a 3.457 (lt/s) ininterrumpidamente.
-
SOLUCION:
Primero planteamos la siguiente ecuacin:
Diferencia de volumen= Caudal de entrada Caudal de salida
Cono
( )
De dato tenemos que Qe= 7x10-3
m3/s y Qs=3.457x10
-3 m3/s
Ahora hallamos el volumen del cono para una altura cualquiera
(2)
A x lo pasamos en funcin de y para poder integrar .
Por semejanza de tringulos tenemos lo siguiente:
Reemplazamos x en la ecuacin (2) e integramos de 0 a h:
(
)
Derivando el volumen respecto al tiempo obtenemos:
Reemplazamos todo lo obtenido en la ecuacin (1):
( )
-
Despejando
:
( )
Con esta ecuacin podemos usar el mtodo de runge kutta de cuarto orden en este caso
us el programa matlab para hacer los clculos en este caso usaremos dt=900 que es el
intervalo de tiempo dado en clase, h0=6.5m tenemos q hallar el descenso los primeros
30 minutos.
PROGRAMA MATLAB:
clear all
disp(' Aplicacin de descenso de fluido') disp(' RESULTADOS
UTILIZANDO RUNGE KUTTA-IV'); fprintf('\n') fprintf('\n %3s %5s %7s %7s %7s %7s %7s
%10s \n','No','t(seg)','altura(m)','K1','K2','K3','K4','altura
n+1(m)' ) n=1; %Numero de divisiones h=6.5; %Valor inicial de la altura t=0; %Valor inicial para el tiempo en segundos i=0; dt=(900-0)/n; %Intervalo de tiempo while (h1800 break end end
-
Obtenemos el siguiente cuadro:
En tres iteracin vemos q para un tiempo de 1800 segundos desciende hasta 6.3657m
Ahora el problema nos dice que justo pasado los treinta minutos la bomba deja de
funcionar entonces ya no habra caudal de entrada y para reparar la bomba se demorara
1 hora que son 3600 segundos.
La ecuacin sera la siguiente:
Donde nuestra nueva altura inicial es 6.3657m.
Entonces haciendo los clculos en nuestro programa obtenemos el siguiente cuadro:
Para 3600 segundos la altura del lquido en el cono ha vuelto a descender y ahora est
en 4.6320m.
Nuestra nueva altura inicial es h0=4.6320m
Ahora que pas 1 hora y la bomba ha vuelto a funcionar tenemos que calcular el caudal
de entrada necesario para que el lquido vuelva a su altura inicial, entonces para hallar
ese caudal tenemos que reemplazar 6.5 en la ecuacin de caudal de salida
Qs=
Qe=8.814*10-3
m3/s aprox.
-
Ese valor hallado anteriormente es nuestro nuevo caudal de entrada el cual usaremos en
el programa matlab para hallar en que tiempo el lquido regresa a su altura inicial y se
mantiene.
La siguiente ecuacion nos ayudara a calcular el tiempo aproximado en el que el lquido
llega a su altura inicial:
( )
Despus de ejecutar el programa obtenemos los siguientes resultados:
RESULTADOS UTILIZANDO RUNGE KUTTA-IV
No t(seg) altura(m) K1 K2 K3 K4 altura n+1(m)
1 0.00 4.6320 0.1010 0.0911 0.0921 0.0920 4.7252
2 900.00 4.7252 0.0919 0.0835 0.0842 0.0842 4.8105
3 1800.00 4.8105 0.0841 0.0769 0.0775 0.0775 4.8889
4 2700.00 4.8889 0.0774 0.0712 0.0717 0.0716 4.9614
5 3600.00 4.9614 0.0716 0.0662 0.0666 0.0665 5.0286
6 4500.00 5.0286 0.0665 0.0617 0.0620 0.0620 5.0913
7 5400.00 5.0913 0.0620 0.0577 0.0580 0.0580 5.1498
8 6300.00 5.1498 0.0579 0.0541 0.0544 0.0543 5.2047
9 7200.00 5.2047 0.0543 0.0509 0.0511 0.0511 5.2562
10 8100.00 5.2562 0.0510 0.0479 0.0481 0.0481 5.3048
11 9000.00 5.3048 0.0481 0.0453 0.0454 0.0454 5.3506
12 9900.00 5.3506 0.0454 0.0428 0.0430 0.0430 5.3939
13 10800.00 5.3939 0.0429 0.0406 0.0407 0.0407 5.4350
14 11700.00 5.4350 0.0407 0.0385 0.0386 0.0386 5.4739
15 12600.00 5.4739 0.0386 0.0366 0.0367 0.0367 5.5109
16 13500.00 5.5109 0.0367 0.0348 0.0349 0.0349 5.5461
17 14400.00 5.5461 0.0349 0.0332 0.0333 0.0333 5.5796
18 15300.00 5.5796 0.0333 0.0317 0.0317 0.0317 5.6116
19 16200.00 5.6116 0.0317 0.0302 0.0303 0.0303 5.6421
20 17100.00 5.6421 0.0303 0.0289 0.0290 0.0290 5.6713
21 18000.00 5.6713 0.0290 0.0277 0.0277 0.0277 5.6992
22 18900.00 5.6992 0.0277 0.0265 0.0265 0.0265 5.7260
23 19800.00 5.7260 0.0265 0.0254 0.0254 0.0254 5.7516
24 20700.00 5.7516 0.0254 0.0243 0.0244 0.0244 5.7761
25 21600.00 5.7761 0.0244 0.0234 0.0234 0.0234 5.7997
26 22500.00 5.7997 0.0234 0.0224 0.0225 0.0225 5.8223
27 23400.00 5.8223 0.0225 0.0216 0.0216 0.0216 5.8440
28 24300.00 5.8440 0.0216 0.0207 0.0208 0.0208 5.8649
29 25200.00 5.8649 0.0208 0.0200 0.0200 0.0200 5.8850
30 26100.00 5.8850 0.0200 0.0192 0.0192 0.0192 5.9044
31 27000.00 5.9044 0.0192 0.0185 0.0185 0.0185 5.9230
32 27900.00 5.9230 0.0185 0.0178 0.0179 0.0179 5.9410
33 28800.00 5.9410 0.0178 0.0172 0.0172 0.0172 5.9583
34 29700.00 5.9583 0.0172 0.0166 0.0166 0.0166 5.9750
35 30600.00 5.9750 0.0166 0.0160 0.0160 0.0160 5.9911
36 31500.00 5.9911 0.0160 0.0154 0.0155 0.0155 6.0066
37 32400.00 6.0066 0.0155 0.0149 0.0149 0.0149 6.0216
38 33300.00 6.0216 0.0149 0.0144 0.0144 0.0144 6.0361
-
39 34200.00 6.0361 0.0144 0.0139 0.0139 0.0139 6.0501
40 35100.00 6.0501 0.0139 0.0134 0.0135 0.0135 6.0636
41 36000.00 6.0636 0.0135 0.0130 0.0130 0.0130 6.0767
42 36900.00 6.0767 0.0130 0.0126 0.0126 0.0126 6.0894
43 37800.00 6.0894 0.0126 0.0122 0.0122 0.0122 6.1016
44 38700.00 6.1016 0.0122 0.0118 0.0118 0.0118 6.1135
45 39600.00 6.1135 0.0118 0.0114 0.0114 0.0114 6.1250
46 40500.00 6.1250 0.0114 0.0110 0.0110 0.0110 6.1361
47 41400.00 6.1361 0.0110 0.0107 0.0107 0.0107 6.1468
48 42300.00 6.1468 0.0107 0.0104 0.0104 0.0104 6.1572
49 43200.00 6.1572 0.0104 0.0100 0.0100 0.0100 6.1673
50 44100.00 6.1673 0.0100 0.0097 0.0097 0.0097 6.1771
51 45000.00 6.1771 0.0097 0.0094 0.0094 0.0094 6.1866
52 45900.00 6.1866 0.0094 0.0091 0.0091 0.0091 6.1958
53 46800.00 6.1958 0.0091 0.0089 0.0089 0.0089 6.2047
54 47700.00 6.2047 0.0089 0.0086 0.0086 0.0086 6.2133
55 48600.00 6.2133 0.0086 0.0083 0.0083 0.0083 6.2217
56 49500.00 6.2217 0.0083 0.0081 0.0081 0.0081 6.2299
57 50400.00 6.2299 0.0081 0.0079 0.0079 0.0079 6.2378
58 51300.00 6.2378 0.0079 0.0076 0.0076 0.0076 6.2454
59 52200.00 6.2454 0.0076 0.0074 0.0074 0.0074 6.2529
60 53100.00 6.2529 0.0074 0.0072 0.0072 0.0072 6.2601
61 54000.00 6.2601 0.0072 0.0070 0.0070 0.0070 6.2671
62 54900.00 6.2671 0.0070 0.0068 0.0068 0.0068 6.2739
63 55800.00 6.2739 0.0068 0.0066 0.0066 0.0066 6.2805
64 56700.00 6.2805 0.0066 0.0064 0.0064 0.0064 6.2869
65 57600.00 6.2869 0.0064 0.0062 0.0062 0.0062 6.2932
66 58500.00 6.2932 0.0062 0.0060 0.0060 0.0060 6.2992
67 59400.00 6.2992 0.0060 0.0059 0.0059 0.0059 6.3051
68 60300.00 6.3051 0.0059 0.0057 0.0057 0.0057 6.3109
69 61200.00 6.3109 0.0057 0.0055 0.0055 0.0055 6.3164
70 62100.00 6.3164 0.0055 0.0054 0.0054 0.0054 6.3218
71 63000.00 6.3218 0.0054 0.0052 0.0052 0.0052 6.3271
72 63900.00 6.3271 0.0052 0.0051 0.0051 0.0051 6.3322
73 64800.00 6.3322 0.0051 0.0049 0.0050 0.0050 6.3372
74 65700.00 6.3372 0.0050 0.0048 0.0048 0.0048 6.3420
75 66600.00 6.3420 0.0048 0.0047 0.0047 0.0047 6.3467
76 67500.00 6.3467 0.0047 0.0046 0.0046 0.0046 6.3513
77 68400.00 6.3513 0.0046 0.0044 0.0044 0.0044 6.3558
78 69300.00 6.3558 0.0044 0.0043 0.0043 0.0043 6.3601
79 70200.00 6.3601 0.0043 0.0042 0.0042 0.0042 6.3643
80 71100.00 6.3643 0.0042 0.0041 0.0041 0.0041 6.3684
81 72000.00 6.3684 0.0041 0.0040 0.0040 0.0040 6.3724
82 72900.00 6.3724 0.0040 0.0039 0.0039 0.0039 6.3763
83 73800.00 6.3763 0.0039 0.0038 0.0038 0.0038 6.3800
84 74700.00 6.3800 0.0038 0.0037 0.0037 0.0037 6.3837
85 75600.00 6.3837 0.0037 0.0036 0.0036 0.0036 6.3873
86 76500.00 6.3873 0.0036 0.0035 0.0035 0.0035 6.3908
87 77400.00 6.3908 0.0035 0.0034 0.0034 0.0034 6.3942
88 78300.00 6.3942 0.0034 0.0033 0.0033 0.0033 6.3975
89 79200.00 6.3975 0.0033 0.0032 0.0032 0.0032 6.4007
90 80100.00 6.4007 0.0032 0.0031 0.0031 0.0031 6.4038
91 81000.00 6.4038 0.0031 0.0030 0.0030 0.0030 6.4068
92 81900.00 6.4068 0.0030 0.0030 0.0030 0.0030 6.4098
93 82800.00 6.4098 0.0030 0.0029 0.0029 0.0029 6.4127
-
94 83700.00 6.4127 0.0029 0.0028 0.0028 0.0028 6.4155
95 84600.00 6.4155 0.0028 0.0027 0.0027 0.0027 6.4182
96 85500.00 6.4182 0.0027 0.0027 0.0027 0.0027 6.4209
97 86400.00 6.4209 0.0027 0.0026 0.0026 0.0026 6.4235
98 87300.00 6.4235 0.0026 0.0025 0.0025 0.0025 6.4260
99 88200.00 6.4260 0.0025 0.0025 0.0025 0.0025 6.4285
100 89100.00 6.4285 0.0025 0.0024 0.0024 0.0024 6.4309
101 90000.00 6.4309 0.0024 0.0023 0.0023 0.0023 6.4332
102 90900.00 6.4332 0.0023 0.0023 0.0023 0.0023 6.4355
103 91800.00 6.4355 0.0023 0.0022 0.0022 0.0022 6.4377
104 92700.00 6.4377 0.0022 0.0022 0.0022 0.0022 6.4399
105 93600.00 6.4399 0.0022 0.0021 0.0021 0.0021 6.4420
106 94500.00 6.4420 0.0021 0.0020 0.0020 0.0020 6.4441
107 95400.00 6.4441 0.0020 0.0020 0.0020 0.0020 6.4461
108 96300.00 6.4461 0.0020 0.0019 0.0019 0.0019 6.4480
109 97200.00 6.4480 0.0019 0.0019 0.0019 0.0019 6.4499
110 98100.00 6.4499 0.0019 0.0018 0.0018 0.0018 6.4518
111 99000.00 6.4518 0.0018 0.0018 0.0018 0.0018 6.4536
112 99900.00 6.4536 0.0018 0.0017 0.0018 0.0018 6.4553
113 100800.00 6.4553 0.0017 0.0017 0.0017 0.0017 6.4570
114 101700.00 6.4570 0.0017 0.0017 0.0017 0.0017 6.4587
115 102600.00 6.4587 0.0017 0.0016 0.0016 0.0016 6.4603
116 103500.00 6.4603 0.0016 0.0016 0.0016 0.0016 6.4619
117 104400.00 6.4619 0.0016 0.0015 0.0015 0.0015 6.4635
118 105300.00 6.4635 0.0015 0.0015 0.0015 0.0015 6.4650
119 106200.00 6.4650 0.0015 0.0015 0.0015 0.0015 6.4664
120 107100.00 6.4664 0.0015 0.0014 0.0014 0.0014 6.4679
121 108000.00 6.4679 0.0014 0.0014 0.0014 0.0014 6.4693
122 108900.00 6.4693 0.0014 0.0014 0.0014 0.0014 6.4706
123 109800.00 6.4706 0.0014 0.0013 0.0013 0.0013 6.4719
124 110700.00 6.4719 0.0013 0.0013 0.0013 0.0013 6.4732
125 111600.00 6.4732 0.0013 0.0013 0.0013 0.0013 6.4745
126 112500.00 6.4745 0.0013 0.0012 0.0012 0.0012 6.4757
127 113400.00 6.4757 0.0012 0.0012 0.0012 0.0012 6.4769
128 114300.00 6.4769 0.0012 0.0012 0.0012 0.0012 6.4781
129 115200.00 6.4781 0.0012 0.0011 0.0011 0.0011 6.4792
130 116100.00 6.4792 0.0011 0.0011 0.0011 0.0011 6.4803
131 117000.00 6.4803 0.0011 0.0011 0.0011 0.0011 6.4814
132 117900.00 6.4814 0.0011 0.0010 0.0011 0.0011 6.4825
133 118800.00 6.4825 0.0011 0.0010 0.0010 0.0010 6.4835
134 119700.00 6.4835 0.0010 0.0010 0.0010 0.0010 6.4845
135 120600.00 6.4845 0.0010 0.0010 0.0010 0.0010 6.4855
136 121500.00 6.4855 0.0010 0.0009 0.0009 0.0009 6.4864
137 122400.00 6.4864 0.0009 0.0009 0.0009 0.0009 6.4874
138 123300.00 6.4874 0.0009 0.0009 0.0009 0.0009 6.4883
139 124200.00 6.4883 0.0009 0.0009 0.0009 0.0009 6.4892
140 125100.00 6.4892 0.0009 0.0009 0.0009 0.0009 6.4900
141 126000.00 6.4900 0.0009 0.0008 0.0008 0.0008 6.4909
142 126900.00 6.4909 0.0008 0.0008 0.0008 0.0008 6.4917
143 127800.00 6.4917 0.0008 0.0008 0.0008 0.0008 6.4925
144 128700.00 6.4925 0.0008 0.0008 0.0008 0.0008 6.4933
145 129600.00 6.4933 0.0008 0.0008 0.0008 0.0008 6.4940
146 130500.00 6.4940 0.0008 0.0007 0.0007 0.0007 6.4948
147 131400.00 6.4948 0.0007 0.0007 0.0007 0.0007 6.4955
148 132300.00 6.4955 0.0007 0.0007 0.0007 0.0007 6.4962
-
149 133200.00 6.4962 0.0007 0.0007 0.0007 0.0007 6.4969
150 134100.00 6.4969 0.0007 0.0007 0.0007 0.0007 6.4975
151 135000.00 6.4975 0.0007 0.0007 0.0007 0.0007 6.4982
152 135900.00 6.4982 0.0007 0.0006 0.0006 0.0006 6.4988
153 136800.00 6.4988 0.0006 0.0006 0.0006 0.0006 6.4995
154 137700.00 6.4995 0.0006 0.0006 0.0006 0.0006 6.5001
El tiempo para que regrese a su altura original esta entre 136800 y 137700 segundos
interpolando esos valores obtenemos que para una altura de 6.5m han transcurrido
137550 segundos en horas sera 38.2 horas.
-
ANEXO
En esta parte mostraremos las grficas de cada suceso primero graficaremos para
0
-
Ahora se graficara para cuando la bomba se malogr el rango seria 0
-
Ahora se graficar el ascenso del fluido hasta que llegue a 6.5m con un altura inicial de
h0=4.6320m
-
CONCLUSIONES
1. El mtodo de runge-kutta es un conjunto de mtodos iterativos para la aproximacin de ecuaciones diferenciales ordinarias que derivan
del mtodo de Taylor
2. Runge kutta es un mtodo numrico que aproxima la solucin de un problema de manera sencilla
3. La efectividad o exactitud del mtodo consiste en saber escoger un buen incremento
4. Se pueden resolver ecuaciones diferenciales sin tener necesidad de resolver las integrales , para resolver una ecuacin se necesita saber
una pendiente hallada a travs de la ecuacin :
.
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