trabajo de inves final (1)siiii
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Unidad Educativa “Ambato”
Investigación de la Ciencia y la Tecnología
Tema:
PROBLEMA CIENTÍFICO SOBRE LA MEDICIÓN DEL RADIO DE LA TIERRA
Problema:
“COMO EL PLANTEAMIENTO DE ERATÓSTENES, INFLUYE EN LA MEDICIÓN DEL RADIO DE LA TIERRA REALIZADO POR LOS ESTUDIANTES” DEL TERCER AÑO DE BACHILLERATO GENERAL UNIFICADO DE LA UNIDAD EDUCATIVA “AMBATO”
Msc. Rosita Salas
Integrantes:
Aguilar Arcos Erika Yadira
Chaglla Moyolema Dayanna Michelle.
Dávila Toasa Paula Katherine.
Obregón Manzano Raúl David.
Sánchez Lema Jessica Estefanía.
Fecha: Ambato, 18 de Noviembre del 2015
Curso: 3° B.G.U.
Paralelo: “A”.
Año lectivo:
2015 – 2016
INDICE
1. Portada.
Índice.
2. Resumen.
3. Introducción.
4. Hipótesis.
4.1 Objetivos.
4.1.1 Objetivo General.
4.1.2 Objetivos Específicos.
5. Justificación.
6. Cuerpo.
7. Procedimiento.
7.1 Datos.
7.2 Solución.
8. Metodología y Recursos.
8.1 Metodología.
8.1.1 Métodos.
8.1.2 Técnicas.
8.2 Recursos.
8.2.1 Materiales.
8.2.2 Técnicos.
8.2.3 Humanos.
9. Conclusiones.
10. Recomendaciones.
11. Bibliografía.
12. Anexos.12.1 Cronograma.
2.-RESUMEN
En el proyecto presente se demuestra el radio de la Tierra a través de un sencillo
proceso partiendo de la sombra proyectada de un objeto (pala) la cual formara un cierto
ángulo, mayor cuando más al sur este situado el punto, el cual proyectara el horizonte
del lugar.
Los estudiantes al basarse en los fundamentos que plantea Eratóstenes pudieron
demostrar el radio de la Tierra desde un punto específico en este caso fue las
instalaciones del Colegio “Ambato” en el que se tomó las diferentes medidas utilizadas
para la siguiente proyecto.
3.- INTRODUCCIÓN
4.- HIPOTESIS
La teoría de Eratóstenes y su influencia trascendental en la medición del radio de la
tierra.
4.1 OBJETIVOS
4.1.1 OBJETIVO GENERAL
Determinar si la Teoría de Eratóstenes influye en la medición del Radio de la tierra
realizada por los estudiantes del Tercero Año de Bachillerato General Unificado de la
Unidad Educativa “Ambato”.
4.1.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Reconocer el aumento de la sombra proyectada por una pala en un tiempo
intermedio del día.
Demostrar el radio de la Tierra basándose en información implícita en el tema.
Comprobar la teoría de Eratóstenes a partir de la investigación realizada.
5.-JUSTIFICACIÓN
El presente informe tiene como tema: “Planteamiento de Eratóstenes, fundamento para
la medición del radio de la tierra realizado por los estudiantes de la Unidad Educativa
“Ambato” Tercer Año De Bachillerato General Unificado”, con lo cual buscamos poner
en practica la teoría planteada por este científico. Esta teoría ha permitido a lo largo del
tiempo ir determinando cual es el radio de la tierra desde distintos puntos del mundo. Se
puede decir que es una técnica sencilla de aplicar, para que cualquier persona la pueda
realizar.
Medir el radio de la tierra se había convertido en un reto para aquellos que estuvieron
antes que Eratóstenes ya que nadie concebía como se podía medir algo tan grande. Sin
embargo se ha demostrado que cualquier persona es capaz de lograr esto, con los
medios adecuados y las investigaciones necesarias.
Eratóstenes tuvo una aproximación del radio terrestre con un reducido error gracias a su
ingenio, de unas sencillas observaciones y de unas matemáticas que hoy sse consideran
elementales.
6.- CUERPO
DEFINICIÓN DE GEOMETRÍA
La geometría (del latín geometrĭa, y este del griego γεωμετρία de γεω gueo, ‘tierra’, y
μετρία metría, ‘medida’) es una rama de lamatemática que se ocupa del estudio de las
propiedades de las figuras en el plano o el espacio,
incluyendo: puntos, rectas, planos,politopos (que
incluyen paralelas, perpendiculares, curvas, superficies, polígonos, poliedros, etc.).
Es la base teórica de la geometría descriptiva o del dibujo técnico. También da
fundamento a instrumentos como el compás, el teodolito, el pantógrafo o el sistema de
posicionamiento global (en especial cuando se la considera en combinación con
el análisis matemático y sobre todo con las ecuaciones diferenciales).
Sus orígenes se remontan a la solución de problemas concretos relativos a medidas.
Tiene su aplicación práctica en física
aplicada,mecánica, arquitectura, geografía, cartografía, astronomía, náutica, topografía,
balística, etc. Y es útil en la preparación de diseños e incluso en la elaboración
de artesanía.
La geometría es una parte de la matemática que se encarga de estudiar las propiedades
y las medidas de una figura en un plano o en un espacio. Para representar distintos
aspectos de la realidad, la geometría apela a los denominados sistemas formales o
axiomáticos (compuestos por símbolos que se unen respetando reglas y que forman
cadenas, las cuales también pueden vincularse entre sí) y a nociones como rectas, curvas
y puntos, entre otras.
Hay que dejar patente que la geometría es una de las ciencias más antiguas que existen
en la actualidad pues sus orígenes ya se han establecido en lo que era el Antiguo Egipto.
Así, gracias a los trabajos de importantes figuras como Heródoto o Euclides, hemos
sabido que desde tiempos inmemoriales aquella estaba muy desarrollada pues era
fundamental para el estudio de áreas, volúmenes y longitudes.
Asimismo tampoco podemos pasar por alto que una de las figuras históricas que más
han contribuido al desarrollo de esta área científica es el matemático, filósofo y físico
francés René Descartes. Y es que este planteó el desarrollo de la geometría de una
forma en la que las distintas figuras podían ser representadas a través de ecuaciones.
Esta disciplina se convierte en una de las claves principales de lo que es la asignatura de
Matemáticas en los distintos centros docentes y en los distintos niveles educativos. Así,
tanto en Primaria como en Secundaria, por ejemplo, se desarrollan lecciones que giran
entorno a aquella.
En concreto, entre las unidades que versan sobre dicha materia destacan todas aquellas
que permiten que el alumno en cuestión aprenda todos los conocimientos necesarios
sobre los elementos del plano, los polígonos, los triángulos, las traslaciones y giros, la
semejanza o las áreas y volúmenes de los cuerpos geométricos.
Así, por ejemplo, a la hora de desarrollar esta última lección citada los estudiantes
trabajarán sobre lo que es el prisma, el cilindro, el tetraedro, la esfera, el cubo o el
tronco de la pirámide.
La geometría parte de axiomas (las proposiciones que se encargan de relacionar los
conceptos); estos axiomas dan lugar a teorías que, mediante instrumentos de esta
disciplina como el transportador o el compás, pueden comprobarse o refutarse.
Entre las distintas corrientes de la geometría, se destaca la geometría algorítmica, que
usa el álgebra y sus cálculos para resolver problemas vinculados a la extensión.
La geometría descriptiva, por su parte, se dedica a solucionar los problemas del
espacio mediante operaciones que se desarrollan en un plano donde están representadas
las figuras de los sólidos.
La geometría analítica se encarga de estudiar las figuras a partir de un sistema de
coordenadas y de las metodologías propias del análisis matemático.
Por último, podemos agrupar tres ramas de la geometría con diferentes características y
alcances. La geometría proyectiva se encarga de las proyecciones de las figuras sobre
un plano; la geometría del espacio se centra en las figuras cuyos puntos no pertenecen
todos al mismo plano; mientras que la geometría plana considera las figuras que tienen
la totalidad de sus puntos en un plano.
ERATOSTENES Y EL RADIO DE LA TIERRA
Eratóstenes nació en Cirene en el año 276 a. C y se cree que era de origen caldeo. Fue
matemático, astrónomo y geógrafo. Alrededor del año 255 a. C fue nombrado director
de la Biblioteca de Alejandría por el rey Ptolomeo Evegetes. Trabajó con problemas de
matemáticas, como la duplicación del cubo y los números primos. Hemos podido
conocer algo de sus trabajos, merced a comentarios y citas de otros autores.
Una de sus principales contribuciones a la ciencia y a la astronomía fue su trabajo sobre
la medición de la Tierra. Estando en la Biblioteca de Alejandría, encontró un informe de
observaciones sobre Siena, ciudad situada a unos 800 Km. al sur de Alejandría, en el
que se decía que el día del solsticio de verano (21 de junio) a mediodía, los objetos
(como por ejemplo, los obeliscos) no producían sombra y en el fondo de los pozos
podía verse la luz del sol. Esto se debe a que está ciudad está sobre la línea del trópico
(en realidad, 33' al norte del Trópico de Cáncer).
Eratóstenes realizó observó que, en Alejandría, el mismo día y a la misma hora no se
producía este mismo hecho. Asumió de manera correcta que el Sol se encontraba a gran
distancia y que sus rayos, al alcanzar la tierra, lo hacían en forma (prácticamente)
paralela. Esto ratificaba su idea de que la superficie de la Tierra era curva pues, de haber
sido plana, no se hubiese producido esta diferencia entre las dos ciudades. El siguiente
paso fue medir en Alejandría el ángulo que formaban los rayos del sol con la vertical
que por construcción es igual al ángulo cuyo vértice está en el centro de la Tierra (ver
gráfico superior). Este ángulo resulto ser de 7º 12' ( = 7'2º) que unido al hecho conocido
de que la distancia entre las dos ciudades era de 5.000 estadios, dieron como conclusión
que la circunferencia de la Tierra medía 360·5000/7'2; es decir, 250.000 estadios.
Aunque no se tienen datos exactos, se sabe que el estadio equivale a unos 160m
(actualmente se suele tomar 158m). Por tanto, 250.000 estadios son aproximadamente
250.000*160/1000 = 40.000 Km. Esto equivale a un radio de 6.366 Km. o 6.286 si
tomamos los 158m, contra los 6.371 Km. que son los admitidos hoy en día.
Las únicas herramientas de Eratóstenes fueron palos, ojos, pies y cerebro, y además el
gusto por la experimentación. Con estos elementos dedujo la circunferencia de la Tierra
con un error bastante pequeño, lo que constituye un logro notable para el año en que
tuvo lugar.
Otros logros suyos son: la creación de uno de los calendarios más avanzados de su
época y una historia cronológica del mundo desde la guerra de Troya. Realizó
investigaciones en geografía dibujando mapas del mundo conocido, grandes extensiones
del río Nilo y describió la región de Eudaimon, actual Yemen, en Arabia.
Suidas afirma que, desesperado tras perder la vista, se dejó morir de hambre a la edad de
ochenta años (año 194 a.C., en Alejandría).
MEDICION DE LAS DIMENSIONES DE LA TIERRA
Sin embargo, el principal motivo de su celebridad es sin duda la determinación del
tamaño de la Tierra. Para ello inventó y empleó un método trigonométrico, además de
las nociones de latitud y longitud, al parecer ya introducidas por Dicearco, por lo que
bien merece el título de padre de la geodesia.
Por referencias obtenidas de un papiro de su biblioteca, sabía que en Siena (hoy Asuán,
Egipto) el día del solsticio de verano los objetos verticales no proyectaban sombra
alguna y la luz alumbraba el fondo de los pozos; esto significaba que la ciudad estaba
situada justamente sobre la línea del trópico y su latitud era igual a la de la eclíptica que
ya conocía. Eratóstenes, suponiendo que Siena y Alejandría tenían la misma longitud
(realmente distan 3º) y que el Sol se encontraba tan alejado de la Tierra que sus rayos
podían suponerse paralelos, midió la sombra en Alejandría el mismo día del solsticio de
verano al mediodía, demostrando que el cenit de la ciudad distaba 1/50 parte de la
circunferencia, es decir, 7º 12' del de Alejandría. Según Cleomedes, Eratóstenes se
sirvió del scaphium o gnomon (un protocuadrante solar) para el cálculo de dicha
cantidad.
Posteriormente, tomó la distancia estimada por las caravanas que comerciaban entre
ambas ciudades, aunque bien pudo obtener el dato en la propia Biblioteca de Alejandría,
fijándola en 5000 estadios, de donde dedujo que la circunferencia de la Tierra era de
250.000 estadios, resultado que posteriormente elevó hasta 252000 estadios, de modo
que a cada grado correspondieran 700 estadios. También se afirma que Eratóstenes, para
calcular la distancia entre las dos ciudades, se valió de un regimiento de soldados que
diera pasos de tamaño uniforme y los contara.
Admitiendo que Eratóstenes usase el estadio ático-italiano de 184.8 m, que era el que
solía utilizarse por los griegos de Alejandría en aquella época, el error cometido sería de
6.192 kilómetros (un 15 %). Sin embargo, hay quien defiende que empleó el estadio
egipcio (300 codos de 52,4 cm), en cuyo caso la circunferencia polar calculada hubiera
sido de 39614 km, frente a los 40008 km considerados en la actualidad, es decir, un
error de menos del 1%.
Ahora bien, es imposible que Eratóstenes diera con la medida exacta de la
circunferencia de la Tierra debido a errores en los supuestos que calculó. Tuvo que
haber tenido un margen de error considerable y por lo tanto no pudo haber usado el
estadio egipcio:
- Supuso que la Tierra es perfectamente esférica, lo que no es cierto. Un grado de
latitud no representa exactamente la misma distancia en todas las latitudes, sino
que varía ligeramente de 110,57 km en el Ecuador hasta 111,7 km en los Polos.
Por eso no podemos suponer que 7º entre Alejandría y Siena representen la
misma distancia que 7º en cualquier otro lugar a lo largo de todo el meridiano.
- Supuso que Siena y Alejandría se encontraban situadas sobre un mismo
meridiano, lo cual no es así, ya que hay una diferencia de 3 grados de longitud
entre ambas ciudades.
- La distancia real entre Alejandría y Siena (hoy Asuán) no es de 924 km (5000
estadios ático-italiano de 184,8 m por estadio), sino de 843 km (distancia aérea y
entre los centros de las dos ciudades), lo que representa una diferencia de 81 km.
- Realmente Siena no está ubicada exactamente sobre el paralelo del trópico de
cáncer (los puntos donde los rayos del sol caen verticalmente a la tierra en el
solsticio de verano). Actualmente se encuentra situada a 72 km (desde el centro
de la ciudad). Pero debido a que las variaciones del eje de la Tierra fluctúan
entre 22,1 y 24,5º en un período de 41000 años, hace 2000 años se encontraba a
41 km.
- La medida de la sombra que se proyectó sobre la vara de Eratóstenes hace 2.200
años debió ser de 7,5º o 1/48 parte de una circunferencia y no 7,2º o 1/50 parte.
Puesto que en aquella época no existía el cálculo trigonométrico, para calcular el
ángulo de la sombra, Eratóstenes pudo haberse valido de un compás, para medir
directamente dicho ángulo, lo que no permite una medida tan precisa.
Si rehacemos el cálculo de Eratóstenes con la distancia y medida angular exacta desde
Alejandría hasta el lugar geográfico situado justo en la intersección del meridiano que
pasa por Alejandría con el paralelo del trópico de cáncer, obtenemos un valor de 40074
km para la circunferencia terrestre.4 Eso representa solamente 66 km o un 0,16% de
error de la circunferencia real de la Tierra medida por satélites avanzados, que es de
40008 km, lo que demuestra la validez de su razonamiento. Esta ligera diferencia se
debe a que la distancia entre Alejandría y la línea del trópico de cáncer es 1/46 parte de
una circunferencia, pero la Tierra no es una esfera perfecta.
Posidonio rehízo el cálculo de Eratóstenes 150 años más tarde y obtuvo una
circunferencia sensiblemente menor. Este valor fue adoptado por Ptolomeo y fue en el
que probablemente se basó Cristóbal Colón para justificar la viabilidad del viaje a las
Indias por occidente. Con las mediciones de Eratóstenes, el viaje no se habría llegado a
realizar, al menos en aquella época y con aquellos medios, aceptando solo las certezas
científicas. Los doctores consultados en Salamanca, a petición real, se basaron en ellos
para determinar que el objetivo principal -llegar a China y Japón- era imposible dada la
distancia. Finalmente, la empresa fue aprobada por el rey por las ventajas estratégicas y
comerciales que preveía el proyecto y sobre objetivos secundarios, como la condición
de Colón de obtener prebendas y porcentajes sobre las tierras que descubriera en
camino.
El trabajo de Eratóstenes es considerado por algunos el primer intento científico en
medir las dimensiones de nuestro planeta, ya que se hicieron otros cálculos y se
perfeccionaron siglos después por estudiosos tales como el califa Al-Mamun y Jean
François Fernel.
7.- PROCEDIMIENTO
Observamos que se encuentre el sol para poder obtener la proyección de la
sombra de la pala.
Escogemos un lugar específico para realizar el proyecto práctico.
Pegamos con cinta el papelógrafo en el suelo con dirección este – oeste (Para lo
cual se utilizó una brújula).
Colocamos la pala de manera correcta es decir al norte.
Tomamos la medida de la sombra proyectada por el sol, de las 11 pm de ahí
vamos tomando cada 5 minutos hasta las 13h00 pm.
Al momento que el tiempo va aumentando la sombra de la pala también va
aumentando.
Cuando ya tengamos los datos se procederá a aplicar las formulas respectivas
para obtener el radio de la tierra.
Al momento que ya tengamos los datos calcularemos con ayuda de las formulas
necesarias.
7.1DATOS
• Altura de la pala: 76 cm
• Promedio de la sombra: 35 cm
• Distancia desde la mitad del mundo hasta el Colegio Ambato: 190 km
7.2SOLUCIÒN
GRAFICO
∝
Primero encontramos el ángulo formado por la sombra
tan∝= CatetoOpuestoCateto Adyacente
tan∝=35 cm76 cm
∝=Shift tan (0.46)
∝=24.70 °−23 °
∝=1.70 °
Segundo encontramos la longitud del triángulo.
L=360 °× Distanciadesdela mitad del mundo hastael Colegio Ambato∝
76 cm
35 cm
L=360 °× 190 km1.70 °
L=40235 km
Por ultimo remplazamos la longitud en la fórmula para encontrar el radio de Tierra.
R= L2 π
R=402352 π
R=6403.645 km
8. METODOLOGIA Y RECURSOS
8.1METODOLOGÍA
8.1.1 MÉTODOS
Método deductivo: En nuestra investigación partimos del concepto general para poder
obtener información específica acerca de cómo realizar la medición del radio de la
tierra.
Método científico: la investigación se basó en este método debido a que entiende
aquellas prácticas utilizadas y ratificadas por la comunidad científica. Fue utilizado
debido a que se buscó un conocimiento específico el cual fue conocer el radio de la
tierra.
Método de observación: en la investigación aplicamos este método a que observamos el
objeto el cual íbamos a analizar para describir y explicar el comportamiento del mismo.
Experimentación: utilizamos este método ya que para comprobar si la teoría de
Eratóstenes acerca de la medición del radio de la tierra era correcta necesitamos
comprobar nosotros mismos.
8.1.2 TÉCNICAS
Para nuestro informe utilizamos el método científico que es un método de investigación
usado principalmente en la producción de conocimiento en las ciencias; este método se
basa en lo empírico y en la medición sujeto a los principios específicos de las pruebas
de razonamiento y además utilizamos el método de observación que se basa en observar
y determinar el comportamiento del objeto estudiado.
8.2.- RECURSOS
8.2.1 RECURSOS MATERIALES
Computadora, Impresora, Libro “Investigación de la ciencia y tecnología”, papelote,
pala, marcadores, regla, cámara, celular, reloj, cronometro.
8.2.2 RECURSOS TÉCNICOS
Se ha utilizado los siguientes sitios web: Wikipedia, prezi.com, .slideshare,
monografias.com, .wordpress.com, google académico, google maps.
8.2.3 RECURSOS HUMANOS
Dayanna Chaglla
Jessica Sánchez.
Paula Dávila.
Erika Aguilar.
Raúl Obregón.
9. CONCLUSIONES
La teoría de Eratóstenes brindo ciertas explicaciones sobre cómo medir el
radio de la tierra, sus teorías ayudaron para que hoy en día podamos realizar
un proceso similar al que el realizo para medir la tierra desde un punto
específico.
Hoy en día aplicar la técnica que utilizo Eratóstenes es mucho más sencillo
debido a que la tecnología ha ido avanzando a lo largo del tiempo, a más de
eso los materiales son sencillos de conseguir, por lo que cualquier persona
puede aplicar esta técnica.
Como conclusión podemos decir que el elemento más importante para
realizar esta técnica es el sol, debido a que sin este el proyecto no será
posible debido a que necesitamos su sombra.
10.RECOMENDACIONES
Las medidas de tiempo y de longitud deben ser los más exactas posibles, ya
que si estas no se aproximan a la realidad, la medida final es decir el radio de
la tierra no coincidirá con la realidad.
Investigar correctamente el procedimiento que se debe aplicar, las técnicas
que se van a utilizar, y los materiales que se van a necesitar, ya que de no ser
así podríamos arruinar la investigación, y por lo tanto no determinar cuál es
el verdadero radio de la tierra.
Elegir un día adecuado para realizar el proyecto, debido a que se necesita
que el día tenga mucha luz solar, para que así proyecte la sombra necesaria
para la investigación.
11.BIBLIOGRAFIA
https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa
http://definicion.de/geometria/#ixzz3rVnHbDi3
http://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/matema/practica/eratostenes.htm
https://es.wikipedia.org/wiki/Erat
%C3%B3stenes#Medici.C3.B3n_de_las_dimensiones_de_la_Tierra
http://www.astromia.com/biografias/eratostenes.htm
http://www.batanga.com/curiosidades/4684/eratostenes-y-la-medicion-del-
diametro-de-la-tierra
http://web.educastur.princast.es/proyectos/fisquiweb/Videos/RadioTierra/
http://www.sinciforma.com.es/detup/index.php?var=eratos.html
http://historiaybiografias.com/eratostenes/
http://www.iar.unlp.edu.ar/divulgacion/activ-06.htm
https://www.youtube.com/watch?v=g_tyJYQWIVs
https://www.youtube.com/watch?v=aRHYASmH1hQ
https://www.youtube.com/watch?v=eTNNL4AJcmE
https://www.youtube.com/watch?v=46ikuG6QM2o
12.ANEXOS
El primer paso que aplicamos es la medición de la altura de la pala.
Como podemos ver aquí nos encontramos ubicando la pala y el punto medio del mismo para tener una medida más exacta.
Posteriormente en la imagen podemos observar que el material utilizado es la pala el cual se encuentra ubicado en sentido norte para poder captar la sombra del sol.
En la presente imagen podemos observar el momento en el que íbamos captando el movimiento de la sombra de la pala cada 5 min por el lapso de 2 horas.
Aquí podemos ver como trazamos la línea desde el punto medio hacia al otro punto en el que se encuentran marcadas las horas indicadas anteriormente.
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